جلسه ی ۳: نزدیک ترین زوج نقاط

دانشکده ی علوم ریاضی ا نالیز الگوریتم ها ۴ بهمن ۱۳۹۱ جلسه ی ۳: نزدیک ترین زوج نقاط مدر س: دکتر شهرام خزاي ی نگارنده: امیر سیوانی اصل ۱ پیدا کردن نزدیک ترین زوج نقطه فرض می کنیم n نقطه داریم و می خواهیم در بین این نقاط نزدیک ترین زوج نقطه را بیابیم منظور از فاصله ی نقاط ) ۱ P = (x ۱, y و ) Q = (x, y که از رابطه ) dist(p, Q) = (x ۱ x ) + (y ۱ y محاسبه می شود همان فاصله اقلیدسی است او لین و ساده ترین راه حل این است که همه ی زوج نقاط روی صفحه را در نظر بگیریم و کوچک ترین فاصله ی این زوج نقاط را با استفاده از جستجوی کامل ۱ بیابیم شبه کد این الگوریتم در زیر ا مده است این الگوریتم از مرتبه ی ) Θ(n است function Closest-Pair-Brute-Force(P 1,, P n ) mindist for every pair (P i, P j ) with 1 i < j n do d dist(p i, P j ) if d < mindist then mindist d closestp air (P i, P j ) return closestp air ۱۱ حالت یک بعدی ۱۱۱ ر وش عادی در این حالت ورودی مجموعه ای از اعداد مانند ) n x) ۱,, x است که بیانگر مو ل فه ی طول این n نقطه در روی محور افقی هستند این الگوریتم به این صورت کار می کند که ابتدا نقاط را بر حسب مو ل فه ی طول شان مرت ب کرده و در ا رایه ی مرت ب شده ی ) n (x ۱,, x قرار می دهد سپس کم ترین i ۱ x i x را یافته و به عنوان جواب بازمی گرداند x ۱ x i ۱ x i x n مرتبه ی زمانی مرت ب کردن مجموعه ی طول ها (n O(n log است پیدا کردن کمینه ی ۱ i x i x نیز از مرتبه ی O(n) زمان می برد زیرا نیازمند یک بار پیمایش ا رایه هستیم پس مرتبه ی زمانی کل ی الگوریتم (n O(n log خواهد بود ۱ brute force ۳-۱

۱۱ تقسیم و حل راه حل فوق در دل خود از رهیافت تقسیم و حل استفاده می کند (در قسمت مرتب سازی ا رایه ورودی) اما تعمیم روش برای حالت دو بعدی سرراست به نظر نمی رسد ما به دنبال یک روشی مبتنی بر تقسیم و حل هستیم که بتوان ا ن را تعمیم داد فرض می کنیم که ا رایه ورودی ) n x) ۱,, x مرت ب باشد الگوریتم زیر را در نظر بگیرید با استفاده از روش تقسیم و حل n نقطه ورودی را به دو دسته نقطه ی L و R که هر یک شامل /n نقطه است تقسیم می کنیم به طوری همه ی نقاط L در سمت چپ میانه و همه ی نقاط R در سمت راست ا ن باشند دق ت کنید که چون ا رایه ورودی مرت ب است این کار را در O(n) می توان انجام داد حال برای هر دسته مسا له را به صورت بازگشتی حل می کنیم از هردسته زوج نقطه ای به عنوان پاسخ خواهیم داشت کمینه ی این دو فاصله لزوما نزدیک ترین زوج نقطه را نمایش نمی دهد زیرا ممکن است زوج نقطه ای در دو طرف میانه قرار داشته باشند که به هم نزدیک تر باشند بنابراین باید سمت راست ترین نقطه ی دسته ی سمت چپ و سمت چپ ترین نقطه ی دسته ی سمت راست (یعنی نقاط دوطرف میانه) را نیز محاسبه کنیم در نهایت کمینه ی نزدیک ترین زوج نقاط در سمت چپ سمت راست و دوطرف میانه را به عنوان پاسخ باز می گردانیم شبه کد این الگوریتم را در زیر مشاهده می کنید function Closest-Pair-1D(x 1,, x n ) [assumes input array is sorted and n is a power of two] if n = 2 then mindist = x 1 x 2 else mindistl Closest-Pair-1D(x 1,, x n/2 ) [ie, min dist of the left half points] mindistr Closest-Pair-1D(x n/2+1,, x n ) [ie, min dist of the right half points] mindists x n/2 x n/2+1 [ie, min dist of of the split points] return min{mindistl, mindistr, mindists} با فرض مرتبب بودن ا رایه ورودی صحت الگوریتم فوق روشن است و زمان اجرای ا ن (n O(n log است با توجه به اینکه ا رایه اولیه را نیز در زمان (n O(n log می توان مرتب کرد نزدیک ترین زوج نقاط را می توان در زمان (n O(n log پیدا نمود اضافه کردن قابلیت پیدا کردن نزدیک ترین نقاط (علاوه بر فاصله ا نها) به الگوریتم فوق نیز سرراست است ۱ حالت دو بعدی در راستای تعمیم راه حل یک بعدی به دوبعدی دقت کنید که تقسیم صفحه به چهار قسمت به گونه ای که هر قسمت شامل یک چهارم نقاط صفحه باشد میسر نیست فرض می کنیم که نقاط داده شده بر حسب مو ل فه ی xشان مرت ب هستند این کار را در زمان (n O(n log می توان انجام داد راه حل دیگری که به ذهن می رسد تقسیم نقاط به دو قسمت چپ و راست بر مبنای مو ل فه ی طولشان و استفاده از رهیافت تقسیم و حل است ۳-

P ۴ P ۵ P n P ۷ P ۹ P ۱ P ۶ P ۳ P P n ۱ P ۸ function Closest-Pair-2D(P 1,, P n ) [assumes P i = (x i, y i ) where (x 1,, x n ) is sorted and n is a power of two] if n = 2 then mindist = dist(p 1, P 2 ) else mindistl Closest-Pair-2D(P 1,, P n/2 ) [ie, min dist of the left half points] mindistr Closest-Pair-2D(P n/2+1,, P n ) [ie, min dist of the right half points] mindists Closest-Pair-Split(P 1,, P n ) [ie, min dist of of the split points] return min{mindistl, mindistr, mindists} پیدا کردن نزدیک ترین نقاط جدا از هم الگوریتم فوق بر روی n نقطه ورودی که برحسب مو ل فه ی طول شان مرتب هستند اعمال می شود با استفاده از رهیافت تقسیم و حل ابتدا نقاط ورودی را به دو دسته نقطه ی چپ و راست که هر کدام شامل n نقطه است تقسیم می شود سپس به صورت بازگشتی نزدیک ترین فاصله میان نقاط هر دو دسته محاسبه می شود در نهایت لازم است که نزدیک ترین فاصله میان نقاط جدا از هم نیز محاسبه شود و جواب ها با هم ادغام گردند ما به دنبال یک الگوریتم سریع برای پیاده سازی پیدا کردن نزدیک ترین نقاط جدا از هم هستیم ساده ترین راه حل مقایسه ی همه ی نقاط موجود در یک دسته با نقاط دسته دیگر است که دارای مرتبه ی زمانی ا ن ) O(n می باشد اما ۳-۳

با استفاده از الگوریتم غیر بدیهی زیر می توان این مسا له را در زمان (n O(n log حل کرد function Closest-Pair-Split(P 1,, P n ) [assumes P i = (x i, y i ) where (x 1,, x n ) is sorted] [assumes mindistl and mindistr have already been computed] δ = min(mindistl, mindistr) Let ˆx be the median of x coordinates Let S contanins all thos those points P i = (x i, y i ) with x i ˆx δ Sort points in S by their y coordinate and call them P 1,, P m mindists δ for everay pair P i, P j S with i j 7 do if dist(p i, P j ) < mindists then mindists = dist(p i, P j ) return mindists P ۵ P ۴ P ۳ P P ۱ ˆx δ ˆx ˆx + δ الگوریتم فوق ابتدا mindistr) δ = min(mindistl, و xˆ میانه ی مو ل فه های ی x نقاط را محاسبه می کند و نقاطی را که طولشان در بطه ی x xˆ < δ صدق می کنند در مجموعه ی S قرار می دهد سپس مجموعه ی نقاط را بر حسب عرض شان مرت ب می کند و ا ن ها را به ترتیب ) m P ۱ (x ۱, y ۱ ),, P m (x m, y می نامد ا نگاه نزدیک زوج نقطه ) j (P i, P که ۷ j i محاسبه می شود اگر فاصله ا نها کمتر از δ باشد mindists برابر این فاصله قرار داده می شود ۳-۴

محاسبه ی پیچیدگی الگوریتم به فرض اینکه نقاط ورودی بر حسب مو ل فه طولشان مرتب شده باشند پیچیدگی الگوریتم از رابطه بازگشتی = (n) T n) T ( n ) + O(n log محاسبه می شود که جواب ا ن n) T (n) = O(n log است با توجه به اینکه مرت ب سازی اولیه نقاط بر حسب مو ل فه طولشان از مرتبه ی زمانی (n O(n log است پیچیدگی الگوریتم (n O(n log است البت ه با پیش پردازش به گونه ای که x و y ها مرت ب شده باشند می توان یک الگوریتم با پیچیدگی (n O(n log اراي ه کرد که به عنوان تمرین به خواننده واگذار می گردد صحت الگور یتم در ادامه L مجموعه نقاط سمت چپ R مجموعه نقاط سمت راست و δ نزدیک ترین فاصله بین نقاطی که هر دو در یک سمت می باشند است ادعا ۱ اگر P = (x ۱, y ۱ ) L و Q = (x, y ) R و dist(p, Q) < δ ا ن گاه P, Q S برهان P / S x ۱ x δ (۱) Q / S x x + δ () از ۱ و داریم: dist(p, Q) x ۱ x δ (۳) ادعا بعد از مرت ب کردن نقاط برحسب مو ل فه عرضشان اگر > ۷ j i ا نگاه dist(p i, P j ) > δ برهان بدون از دست دادن کلیت مسا له فرض کنید j > i و ) i P j = (x j, y j ) P i = (x i, y فرض خلف کنید که dist(p i, P j ) δ بنابراین داریم y j y i δ حال یک مستطیل با ابعاد δ δ به صورت زیر در نظر بگیرید همه + ۱ i j نقطه P i, P i+۱,, P j (که تعداد ا نها حداقل ۹ تاست) در درون یا بر روی اضلاع این مستطیل جای دارند مستطیل را به ۸ مربع با ابعاد /δ /δ همانگونه که در شکل نشان داده شده است تقسیم کنید طبق اصل لانه کبوتری حداقل دو نقطه از این نقاط در درون یا روی اضلاع یکی از مربع ها قرار خواهد گرفت اما در این صورت فاصله این دونقطه حداکثر برابر قطر مربع یعنی /δ خواهد بود که خلاف این فرض است که هیچ دونقطه ای در یک سمت با فاصله کمتر از δ وجود ندارد y i + δ δ y i + δ/ y i ˆx δ ˆx P i ˆx + δ ۳-۵