Περιεχόμενα Νικόλαος Μανάρας... 2 Σενάριο για διδασκαλία/ εκμάθηση σε μια σύνθεση μεικτής μάθησης (Blended Learning) με τη χρήση του δυναμικού μαθηματικού λογισμικού Geogebra σε διαδραστικό πίνακα και της εκπαιδευτικής πλατφόρμας ηλεκτρονικής μάθησης GUNET... 3 Διανύσματα... 3 Γνωστική περιοχή:... 3 Θέμα:... 3 Τεχνολογικά εργαλεία:... 3 Σκεπτικό:... 3 Πλαίσιο εφαρμογής... 4 Σε ποιους απευθύνεται:... 4 Χρόνος υλοποίησης:... 4 Χώρος υλοποίησης:... 4 Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης... 4 Στόχοι:... 4 Ανάλυση του σεναρίου... 5 Τα εργαλεία που θα χρησιμοποιηθούν... 6 Επέκταση... 6 Αξιολόγηση μετά την εφαρμογή... 7 Ως προς τις επιδιώξεις του σεναρίου... 7 Ως προς τα εργαλεία... 7 Εργασία 1: παράλληλα κάθετα διανύσματα... 8 Δραστηριότητες... 8 Βιβλιογραφία... 9 [1]
Νικόλαος Μανάρας 2ο ΓΕΛ Αγίου Αθανασίου (Νέα Μεσήμβρια) [2]
Σενάριο για διδασκαλία/ εκμάθηση σε μια σύνθεση μεικτής μάθησης (Blended Learning) με τη χρήση του δυναμικού μαθηματικού λογισμικού Geogebra σε διαδραστικό πίνακα και της εκπαιδευτικής πλατφόρμας ηλεκτρονικής μάθησης GUNET Γνωστική περιοχή: Διανύσματα, τάξη Β Λυκείου Διανύσματα Συντεταγμένες στο επίπεδο Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Θέμα: Το προτεινόμενο θέμα αφορά τη μελέτη της σχέσης που έχουν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων στην περίπτωση του αθροίσματος, της διαφοράς, της παραλληλίας και της καθετότητας. Τεχνολογικά εργαλεία: To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του δυναμικού μαθηματικού λογισμικού GeoGebra σε διαδραστικό πίνακα και της εκπαιδευτικής πλατφόρμας ηλεκτρονικής μάθησης (e-learning) GUNET Σκεπτικό: Βασική ιδέα: Οι μαθητές με τη βοήθεια της ψηφιακής τεχνολογίας εμπλέκονται σε μια σειρά απλών κατασκευών που αναδεικνύουν με δυναμικό τρόπο τη σχέση των συντεταγμένων των παράλληλων και κάθετων διανυσμάτων καθώς και την περίπτωση αθροίσματος και διαφοράς. [3]
Πλαίσιο εφαρμογής Σε ποιους απευθύνεται: To σενάριο απευθύνεται στους μαθητές της Β' Λυκείου. Χρόνος υλοποίησης: Για την εφαρμογή του σεναρίου εκτιμάται ότι απαιτείται 1 διδακτική ώρα. Χώρος υλοποίησης: To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί εξ' ολοκλήρου στο εργαστήριο υπολογιστών όπου είναι τοποθετημένος και ο διαδραστικός πίνακας. Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Οι μαθητές εργαζόμενοι σε ομάδες 3-4 ατόμων καθοδηγούμενοι από φύλλο εργασίας, ενώ μια ομάδα καλείται στον πίνακα να πειραματίζεται και να υλοποιεί όσα και οι υπόλοιπες ομάδες προτείνουν ώστε να κατασκευάσουν και να εξερευνήσουν συγκεκριμένα σχήματα και να απαντήσουν σε συγκεκριμένες ερωτήσεις. Επομένως η διερεύνηση αυτή θα γίνει συνεργατικά. Για να υπάρχει κοινός στόχος και καλή συνεργασία οι μαθητές καλούνται να συμπληρώσουν ένα κοινό φύλλο εργασίας που περιέχει ερωτήσεις σχετικές με το θέμα. Φυσικά το φύλλο εργασίας αυτό θα πρέπει να αφήνει μια αρκετά μεγάλη ελευθερία στους μαθητές ώστε να θέτουν τα δικά τους ερωτήματα και να απαντούν σ' αυτά. Στη διάρκεια της υλοποίησης του σεναρίου ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να ελέγχει τα συμπεράσματα των μαθητών, να συνεργάζεται μαζί τους, να τους καθοδηγεί ώστε να αντιλαμβάνονται καλύτερα τα αποτελέσματά τους και να τους ενθαρρύνει να συνεχίσουν την διερεύνηση. Με τη χρήση του διαδραστικού πίνακα είναι δυνατόν να επιτευχθεί η αξιοποίηση του συγκεκριμένου λογισμικού σε επίπεδο τάξης και σε επίπεδο ομάδας, αποφεύγοντας την απομόνωση ενός μαθητή στην οθόνη ενός Η/Υ. Στόχοι: Από την εφαρμογή του συγκεκριμένου σεναρίου οι μαθητές θα μάθουν να ανακαλύπτουν τη γνώση συνεργατικά. Επίσης με τη βοήθεια των προτεινόμενων εργαλείων θα μάθουν να διερευνούν με δυναμικό τρόπο τα γεωμετρικά σχήματα που οι ίδιοι κατασκευάζουν και θα μπορούν έτσι να κάνουν διάφορες εικασίες και υποθέσεις σχετικές με τα υπό διερεύνηση θέματα. Πιο συγκεκριμένα οι μαθητές μετά την ολοκλήρωση αυτής της διδασκαλίας: Θα έχουν εντοπίσει τη σχέση που συνδέει τις συντεταγμένες διανυσμάτων που είναι κάθετα ή παράλληλα. Θα εμπλακούν σε δραστηριότητες αυστηρά μαθηματικής απόδειξης. [4]
Ανάλυση του σεναρίου Ροή εφαρμογής των δραστηριοτήτων Οι μαθητές κατά την εκτέλεση αυτού του σεναρίου θα εμπλακούν στις παρακάτω δραστηριότητες: Δραστηριότητα 1: Θα διαπραγματευτούν την έννοια του αθροίσματος και της διαφοράς δύο διανυσμάτων στο αντίστοιχο καρτεσιανό επίπεδο. Αναμένεται να κάνουν τις εξής ενέργειες: Ο διδάσκων ζητά από τους μαθητές που είναι στον πίνακα να σύρουν τα άκρα Β και Γ. Οι μαθητές παρατηρούν και σχολιάζουν τις μεταβολές των ΑΔ και ΒΓ εκτιμώντας ότι πρόκειται για το γεωμετρικό άθροισμα και τη διαφορά των u και v διανυσμάτων. (διαφάνεια ν.2) Ακολούθως ο διδάσκων ζητά από τους μαθητές να μεταβάλουν τα διανύσματα u και v σύροντας τα άκρα τους. (διαφάνεια ν.3) Οι μαθητές αναμένεται να παρατηρήσουν ότι οι συντεταγμένες του διανύσματος ΑΔ είναι ίσες με το άθροισμα των συντεταγμένων των u και v ενώ οι συντεταγμένες του διανύσματος ΒΓ είναι ίσες με τη διαφορά τους. (διαφάνεια ν.4) Ο εκπαιδευτικός έχει κατασκευάσει από πριν το αρχείο λογισμικού και ζητάει από τους μαθητές να τα χρησιμοποιήσουν. Δραστηριότητα 2: Οι μαθητές αναμένεται να δικαιολογήσουν με βάση τα προηγούμενα γιατί το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. (διαφάνεια ν.5) Δραστηριότητα 3: Οι μαθητές εμφανίζουν τις ευθείες ε, ζ, η από τα βοηθητικά αντικείμενα, μεταβάλλουν τη θέση τους και παρατηρούν τις μετρήσεις των κλίσεων των ευθειών λ ε, λ ζ, λ η. Αναμένεται να απαντήσουν ότι λ ε = λ ζ ενώ λ ε λ η =-1. (διαφάνεια ν.6) [5]
Δραστηριότητα 4: Καθώς οι μαθητές μεταβάλλουν το διάνυσμα u ή μετακινούν τα v και w μελετούν τη σχέση των συντεταγμένων τους και διαπιστώνουν ότι για τα u και v οι συντεταγμένες τους είναι ανάλογες (διαφάνεια ν.7) ενώ για τα u και w το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων είναι πάντα 0. (διαφάνεια ν.8) Σε κάθε διερεύνηση ο εκπαιδευτικός πρέπει να ζητά από τους μαθητές να δικαιολογούν και αλγεβρικά τις σχέσεις που παρατηρούν να έχουν οι αριθμοί που επιλέγουν. Επίσης παροτρύνει τους μαθητές να διατυπώνουν συμπεράσματα και θεωρήματα τα οποία αποδεικνύουν και θεωρητικά. Οι εικασίες που θα κάνουν στα παραπάνω θέματα θα δώσουν την αφορμή να παρουσιαστούν διεξοδικά οι αποδείξεις των σχετικών προτάσεων μέσα στη τάξη και φυσικά ο ρόλος της απόδειξης στα Μαθηματικά. Τα εργαλεία που θα χρησιμοποιηθούν To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του GeoGebra στον διαδραστικό πίνακα του σχολείου. Μέσω των επιμέρους εργαλείων μετακίνησης των δεικτών των μεταβολέων και της εντολής ιδιότητες οι μαθητές θα κάνουν πειράματα και θα διατυπώσουν εικασίες και υποθέσεις. Επέκταση Μια ενδιαφέρουσα επέκταση του σεναρίου αναφορικά με την ίδια γνωστική περιοχή των μαθηματικών θα αποτελέσει ένα Κριτήριο Αυτοαξιολόγησης στα διανύσματα στην εκπαιδευτική πλατφόρμα GUNET. Η πλατφόρμα GUNET eclass αποτελεί ένα ολοκληρωμένο Σύστημα Διαχείρισης Ηλεκτρονικών Μαθημάτων. Ακολουθεί τη φιλοσοφία του λογισμικού ανοικτού κώδικα και υποστηρίζει την υπηρεσία Ασύγχρονης Τηλεκπαίδευσης χωρίς περιορισμούς και δεσμεύσεις. Η πρόσβαση στην υπηρεσία γίνεται με τη χρήση ενός απλού φυλλομετρητή (web browser) χωρίς την απαίτηση εξειδικευμένων τεχνικών γνώσεων. [6]
Αξιολόγηση μετά την εφαρμογή Ως προς τις επιδιώξεις του σεναρίου Ο εκπαιδευτικός ελέγχει κατά πόσο επιτεύχθηκαν οι στόχοι του σεναρίου και εξετάζει του λόγους για τους οποίους κάποιοι δεν επιτεύχθηκαν ώστε να παρέμβει ανάλογα στο σενάριο. Ως προς τα εργαλεία Ο εκπαιδευτικός ελέγχει την ευκολία με την οποία οι μαθητές αξιοποίησαν τα εργαλεία του προτεινόμενου λογισμικού σε συνδυασμό με την σαφήνεια των οδηγιών του και των περιγραφών των φύλλων εργασίας. Αφού αξιολογήσει τα δεδομένα του επεμβαίνει ανάλογα στο σενάριο για την επόμενη εφαρμογή. Η διαδραστικότητα του εργαλείου ενισχύεται με συνδυασμό των τεχνολογικών του δυνατοτήτων και την εφαρμογή μαθητο-κεντρικών μοντέλων κατά τη διδασκαλία. [7]
φύλλο εργασίας Εργασία 1: παράλληλα κάθετα διανύσματα Στην επιφάνεια εργασίας του διαδραστικού πίνακα προβάλλονται μία σειρά από διανύσματα και σημεία που καθορίζουν τα άκρα των διανυσμάτων. Ο στόχος μας είναι να μελετήσουμε τη σχέση που έχουν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων στην περίπτωση του αθροίσματος, της διαφοράς, της καθετότητας και της παραλληλίας. Δραστηριότητες 1. Να μεταβάλετε τα διανύσματα ΑΒ και ΑΓ. Ποια σχέση συνδέει τις συντεταγμένες των διανυσμάτων αυτών με τις συντεταγμένες των ΑΔ και ΒΓ; Σημειώστε την απάντηση σας εδώ: 2. Να εξετάσετε αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Σημειώστε την απάντηση σας εδώ: 3. Να εμφανίσετε τις ευθείες ε, ζ, η από τα βοηθητικά αντικείμενα. Με βάση τις μετρήσεις των κλίσεων των ευθειών λ ε, λ ζ, λ η να εκτιμήσετε την σχέση που υπάρχει μεταξύ τους. Τι σχέση έχουν τα διανύσματα u, v, w; Σημειώστε την απάντηση σας εδώ: 4. Να εμφανίσετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων αυτών. Ποια σχέση έχουν οι συντεταγμένες τους; Σημειώστε την απάντηση σας εδώ: [8]
Βιβλιογραφία Επιμορφωτικό υλικό για την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών στα Κέντρα Στήριξης Επιμόρφωσης, Τεύχος 1: Γενικό Μέρος, ΙΤΥ 2010. Σχολικό βιβλίο Μαθηματικά Β Γενικού Λυκείου Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Αργυρόπουλος, Βλάμος, Κατσούλης, Μαρκάτης, Σίδερης), Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα Μανάρας Νικόλαος (2012). Ιδιαιτερότητες στην εξ Αποστάσεως Εκπαίδευση στα Μαθηματικά. Διπλωματική Εργασία στο πρόγραμμα σπουδών του ΕΑΠ Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά Maria Alessandra Mariotti, Introduction to proof: the mediation of a dynamic software environment Ackermann Edith Piaget s Constructivism, Papert s Constructionism: What is the difference? [9]