=, όπου Τ είναι η περίοδος του 12

Ερωτήσεις στα κύματα 1. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα, διαδίδεται πάνω σε εαστική χορδή μεγάου μήκους. Μετά την διάδοση του κύματος οι τααντώσεις που έχουν πραγματοποιηθεί κάποια χρονική στιγμή t 1 σε δυο σημεία Κ και Λ της χορδής διαφέρουν μεταξύ τους κατά Ν, όπου Ν ακέραιος θετικός αριθμός. Αν η συχνότητα του κύματος ήταν διπάσια, τότε οι τααντώσεις στα σημεία Κ και Λ την ίδια χρονική στιγμή t 1, θα διέφεραν κατά τον ακέραιο θετικό N όπου α. Ν = Ν β. Ν = 2Ν γ. Ν = 4Ν δ. Ν = Ν/2 Ι. Ποια από τις παραπάνω σχέσεις είναι σωστή ; ΙΙ. Να αιτιοογήσετε την επιογή σας. 2. Στο σχήμα φαίνονται δυο στιγμιότυπα α και β ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος χωρίς αρχική φάση, το οποίο διαδίδεται πάνω σε εαστική χορδή μεγάου μήκους, κατά τη θετική φορά του άξονα x. Τα στιγμιότυπα αντιστοιχούν στις χρονικές στιγμές t α, t β με t κύματος. β T tα =, όπου Τ είναι η περίοδος του 12 y +Α t α t β α β 0,0 Μ N x y 1 -Α 2Α : Αν το μήκος κύματος, θα ισχύει : α. ΜΝ =, β. ΜΝ = /2, γ. ΜΝ = /12, δ. ΜΝ =2 /3 I. Ποια από τις παραπάνω σχέσεις είναι η σωστή ; ΙΙ. Να αιτιοογηθεί η επιογή. Εμμ. Β. Δρακάκης 1

2Β: Αν Α είναι το πάτος του κύματος, θα ισχύει : α. y 1 = -A, β. y 1 = - A/2, γ. y 1 = -A/3, 3 δ. y 1 = A 2 Ι. Ποια από τις παραπάνω σχέσεις είναι η σωστή ; ΙΙ. Να αιτιοογηθεί η επιογή. 3. Δυο σύγχρονες πηγές αρμονικών εγκάρσιων κυμάτων Π 1, Π 2 απέχουν μεταξύ τους σταθερή απόσταση L και παράγουν στην επιφάνεια υγρού κύματα χωρίς αρχική φάση. Μετά τη συμβοή των κυμάτων δυο σημεία Κ και Λ βρίσκονται αντίστοιχα στην πρώτη και δεύτερη υπερβοή ενισχυτικής συμβοής μετά την μεσοκάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τις πηγές όπως φαίνεται στο σχήμα. Κ Π 1 Μ Π 2 Λ Αν d K = Π 1 Κ Π 2 Κ και d Λ = Π 1 Λ Π 2 Λ τότε: α. d K d Λ = 0 β. dk - d Λ = γ. dk - d Λ = /4 δ. καμιά από τις παραπάνω σχέσεις δεν ισχύει. Ι. Τι από τα παραπάνω είναι σωστό. ΙΙ. Να αιτιοογήσετε την επιογή σας. 4. Στο σχήμα, φαίνονται δυο στιγμιότυπα ενός στάσιμου κύματος, τις χρονικές στιγμές t 1, t 2. Το σημείο Β που βρίσκεται πάνω σε κοιία του στάσιμου κύματος, τη χρονική στιγμή t 1 κινείται κατά τη θετική φορά και τη χρονική στιγμή t 2, ηρεμεί στιγμιαία. t 2 t 1 Β Δ Κ Μ Γ Ν Λ Εμμ. Β. Δρακάκης 2

4Α : Τη χρονική στιγμή t 1 : α. Το σημείο Γ κινείται κατά τη θετική φορά. β. Το σημείο Γ κινείται κατά την αρνητική φορά. γ. Το σημείο Γ κινείται με την ίδια φορά που κινείται και το σημείο Δ. Ι. Τι από τα παραπάνω ισχύει; ΙΙ. Μα αιτιοογηθεί η επιογή. 4Β: Τη χρονική στιγμή t 2 : α. Το σημείο Δ κινείται με μέγιστη ταχύτητα. β. Το σημείο Γ περνά από τη θέση ισορροπίας του. γ. Τα σημεία Γ και Δ θα ηρεμούν. Ι. Τι από τα παραπάνω ισχύει; ΙΙ. Μα αιτιοογηθεί η επιογή. 5. Στάσιμο κύμα της μορφής y = 2Ασυν(2π/) ημωt δημιουργείται πάνω σε χορδή μεγάου μήκους. Στο σημείο που βρίσκεται στη θέση x = +d σχηματίζεται κοιία. Αν Ν Κ το πήθος των κοιιών και Ν Δ το πήθος των δεσμών που σχηματίζονται στο θετικό ημιάξονα στην περιοχή από x = 0 έως x = d ισχύει: α. Ν Κ =(d+1)/ και Ν Δ = (d-1)/, 2 d 2d β. N K = + 1 και Ν Δ = 2 d 2 γ. N K = + 1 και Ν Δ = + 1, d δ. Τίποτα από τα Α, Β, Γ δεν ισχύει Ι. Να επιέξετε ποιο από τα α, β, γ, δ είναι σωστό και ΙΙ. να αιτιοογήσετε την επιογή σας 6. Σε ευθεία γραμμή κάθετη στον κατακόρυφο τοίχο της προβήτας ενός ιμανιού, είναι τοποθετημένες μέσα στη θάασσα, σημαδούρες που τις θεωρούμε υικά σημεία. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα, μήκους και πάτους Α, διαδίδεται στην επιφάνεια της θάασσας χωρίς απώεια ενέργειας και πέφτει κάθετα στον τοίχο της προβήτας. Αν αγνοήσουμε τις τριβές κατά την κίνηση του νερού πάνω στον τοίχο, η πρώτη σημαδούρα μετά την προβήτα που παραμένει διαρκώς ακίνητη, αρκετή ώρα αφού φτάσει το κύμα στην προβήτα, είναι σε απόσταση d από την τοίχο με α. d = β. d = /2 γ. d = /4 Εμμ. Β. Δρακάκης 3

δ. d = 3/4 Ι. Να επιέξετε ποιο από τα α, β, γ, δ είναι σωστό και ΙΙ. να αιτιοογήσετε την επιογή σας. 7. Στο σχήμα δίνεται ένα στιγμιότυπο εγκάρσιου αρμονικού κύματος που διαδίδεται στο θετικό ημιάξονα τη χρονική στιγμή t 1. y Α Α/2 Β Γ 0,0 x B x Γ 7/4 x -Α Η διαφορά φάσης των σημείων Β και Γ την ίδια χρονική στιγμή είναι α. π/2 β. 2π γ. 8π/3 δ. 4π/3 Ι. Να επιέξετε ποιο από τα α, β, γ, δ είναι σωστό και ΙΙ. να αιτιοογήσετε την επιογή σας 8. Κατά μήκος μιας εαστικής χορδής μεγάου μήκους συμβάουν δύο τρέχοντα εγκάρσια κύματα που έχουν ίδιο πάτος Α ίδια συχνότητα f και διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Από τη συμβοή τους προκύπτει στάσιμο κύμα. Στη θέση x = 0 η εξίσωση απομάκρυνση χρόνου μετά το σχηματισμό του στάσιμου είναι y = 2Aημ(2πft). Στις θέσεις του στάσιμου x = ( 2k+ 1) όπου k =0,1,2,3, και το μήκος του τρέχοντος κύματος, η 8 μέγιστη ταχύτητα είναι α. 2πΑf β. 2πΑf 2 γ. πfa δ. πfa/2 Ι.Να επιέξετε ποιο από τα α, β, γ, δ είναι σωστό και ΙΙ. να αιτιοογήσετε την επιογή σας. Εμμ. Β. Δρακάκης 4

9. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1, Π 2 τααντώνονται με βάση την εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου y = Aημωt και παράγουν στην επιφάνεια υγρού αρμονικά εγκάρσια κύματα, τα οποία διαδίδονται χωρίς απώειες ενέργειας. Η κυματική διαταραχή που προέρχεται από την Β πηγή Π 2 φτάνει στο σημείο Β της επιφάνειας του Π 1 Π 2 υγρού την χρονική στιγμή t 1 και ενώ η πηγή Π 2 έχει εκτεέσει Ν 2 = 3 τααντώσεις, ενώ η κυματική διαταραχή που προέρχεται από την πηγή Π 1 φτάνει στο ίδιο σημείο, την χρονική στιγμή t 2 = t 1 +2T όπου Τ, η περίοδος του κύματος. Μετά τη συμβοή των κυμάτων η μέγιστη επιτάχυνση στο σημείο Β θα είναι α. ω 2 Α β. ω 2 Α 2 γ. ω² 2Α δ. ω²a/2 Ι. Να επιέξετε ποιο από τα α, β, γ, δ είναι σωστό και ΙΙ. να αιτιοογήσετε την επιογή σας. 10. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων A και Β, τααντώνονται με βάση την εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου y = Aημωt και παράγουν στην επιφάνεια υγρού αρμονικά εγκάρσια κύματα, τα οποία διαδίδονται χωρίς απώειες ενέργειας. Δύο σημεία Γ και Δ της επιφάνειας του υγρού, βρίσκονται εκατέροθεν της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Γ Δ Έστω t αγ, t βγ οι χρόνοι για να φτάσουν τα κύματα στο σημείο Γ, και t αδ, t βδ οι χρόνοι για να φτάσουν τα κύματα στο σημείο Δ, από τις πηγές Α και Β, όπου t αγ = t βδ και Α 4 tβγ = tαδ = tαγ. Β Μ 3 Αν τη χρονική στιγμή που τίθεται σε ταάντωση για πρώτη φορά υικό σημείο στο Γ, η πηγή Α έχει εκτεέσει τρεις τααντώσεις τότε μετά τη συμβοή των κυμάτων σ όη την επιφάνεια του υγρού 10Α : οι απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας στα σημεία και Γ και Δ θα είναι κάθε χρονική στιγμή α. y Γ = y Δ Εμμ. Β. Δρακάκης 5

β. y Γ = 2y Δ γ. y Γ = y Δ /2 δ y Γ = 2 y Δ Ι. Να επιέξετε ποιο από τα α, β, γ, δ είναι σωστό και ΙΙ. να αιτιοογήσετε την επιογή σας. 10Β: Η απομάκρυνση στο σημείο Γ, κατά τις χρονικές στιγμές που η ταχύτητα στο σημείο Δ είναι υ = υ Δ ± max,δ α. y Γ = ± Α/2 β. y Γ = ± Α γ. y Γ = -2Α δ. y Γ = ± Α 3 3 2, όπου υ max,δ, η μέγιστη ταχύτητα στο Δ, μετά την συμβοή των κυμάτων έχει τιμή Ι. Να επιέξετε ποιο από τα α, β, γ, δ είναι σωστό και ΙΙ. να αιτιοογήσετε την επιογή σας. Μανώης Δρακάκης 3ο Λύκειο Χανίων drakakismanolis@gmail.com Εμμ. Β. Δρακάκης 6

Ερωτήσεις στα κύματα - απαντήσεις 1. Αρχικά η διαφορά φάσης των τααντώσεων στα σημεία Κ και Λ είναι Δφ = Ν 2π (1) Αά 2π Δχ Δφ = 2π Δχ f ά ρα Δφ = (2) υ υ και = f, όπου υ η ταχύτητα διάδοσης του κύματος στη χορδή. Από (1) και (2) προκύπτει ότι Δχ f Ν= υ (3) Αν η συχνότητα του κύματος γίνει f η (3) γράφεται Ν = 2Ν Άρα σωστή είναι η β Δχ f Ν = υ από την οποία για f =2f προκύπτει ότι 2Α. Η απόσταση ΜΝ που διανύει το κύμα σε χρόνο t β t α είναι ΜΝ = υ (t β -t α ) ή Τ ΜΝ = = Τ 12 12 Άρα σωστή είναι η γ 2Β. Αφού το κύμα δεν έχει αρχική φάση, η εξίσωση απομάκρυνσης χρόνου στη θέση x = 0 θα είναι y=aημ(ωt). Από το σχήμα προκύπτει ότι την χρονική στιγμή t α το κύμα έχει διαδοθεί κατά 3/2 άρα t α = 3Τ/2 και t β = t α +Τ/12 ή t β = 3Τ/2+Τ/12 2π 3 1 π Α Έτσι y1 = Aημ Τ + = Αημ 3π+ = Τ 2 12 6 2 Άρα σωστή είναι η β 3. Τα σημεία που βρίσκονται σε κροσσούς ενισχυτικής συμβοής απέχουν από τις πηγές αποστάσεις που διαφέρουν μεταξύ τους κατά d = k με k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... Αφού το Κ βρίσκεται στη πρώτη υπερβοή ενισχυτικής συμβοής δεξιά της μεσοκαθέτου θα είναι dk = 1 = ομοίως d Λ = 2 οπότε d K d Λ = Άρα σωστή είναι η β 4Α. Τα σημεία Β και Γ βρίσκονται εκατέροθεν του ίδιου δεσμού και σε αποστάσεις μικρότερες του /2 απ αυτόν, άρα οι φάσεις των διαφέρουν κατά π. Κι αυτό γιατί, στους δεσμούς, μηδενίζεται ο τριγωνομετρικός αριθμός που περιέχει τη θέση τους στην εξίσωση του στάσιμου κύματος. Έτσι από τη μορφή της τριγωνομετρικής συνάρτησης προκύπτει ότι, Εμμ. Β. Δρακάκης 1

εκατέροθεν του σημείου που αυτή μηδενίζεται, τα πρόσημά της είναι αντίθετα όπως στο παράδειγμα που φαίνεται στο σχήμα x -5/4 συν 2πx + +1 + -/4 /4 + x -3/4 3/4 5/4 0,0 - - -1 Επομένως όταν το Β κινείται κατά τη θετική φορά το Γ κινείται κατά την αρνητική φορά. Άρα σωστή είναι β. 4Β. Σ ένα στάσιμο κύμα όα τα σημεία ηρεμούν στιγμιαία ταυτόχρονα. Κι αυτό γιατί, όταν ο τριγωνομετρικός αριθμός που περιέχει τη φάση τους στην εξίσωση του στάσιμου κύματος, παίρνει την τιμή ± 1, οι απομακρύνσεις θα είναι μέγιστες για όα τα σημεία την ίδια χρονική στιγμή. Άρα σωστή είναι η γ. 5. Οι κοιίες στο θετικό ημιάξονα, σχηματίζονται στις θέσεις x = k, k = 0,1, 2,3, 4,... 2 Αφού στη θέση x = d σχηματίζεται κοιία θα έχουμε ότι ( ) d = N 1 (1) 2 όπου Ν Κ το πήθος των κοιιών από x = 0 έως x = d. Εξ άου οι δεσμοί στο θετικό ημιάξονα σχηματίζονται στις θέσεις x = ( 2k + 1 ), k = 0,1, 2,3,... 4 ενώ ο τεευταίος δεσμός από x= 0 έως x = d σχηματίζεται στη θέση x = d 4 Έτσι αν Ν Δ το πήθος των δεσμών από x= 0 έως x = d θα είναι d = [ 2( ΝΔ 1) + 1] (2) 4 4 Από την (1) προκύπτει Άρα σωστή είναι η β 2d Ν Κ = + 1 και από την (2) ότι Ν Δ 2d = K 6. Το προσπίπτον κύμα στον τοίχο της προβήτας και το ανακώμενο, συμβάουν στην ευθεία που βρίσκονται οι σημαδούρες, και προκύπτει στάσιμο κύμα. Εμμ. Β. Δρακάκης 2

Τα μόρια του νερού που είναι σ επαφή με τον κατακόρυφο τοίχο της προβήτας, είναι εεύθερα να κινηθούν κατακόρυφα κατά συνέπεια το ανακώμενο κύμα δεν αντιστρέφεται. Έτσι, με βάση την αρχή της επαηίας, η απομάκρυνση στο σημείο αυτό, προκύπτει από το άθροισμα των απομακρύνσεων δηαδή y = y πρ +y αν και y max = A+A = 2A. Δηαδή στον τοίχο της προβήτας προκύπτει κοιία. Η πρώτη σημαδούρα κατά συνέπεια, μετά την κοιία αυτή, που μένει διαρκώς ακίνητη είναι στη θέση του πρώτου δεσμού, δηαδή σε απόσταση d = /4 από την προβήτα. Άρα σωστή είναι η γ 7. Η απομάκρυνση του Γ θα είναι y Γ = Αημ(ω Δt Γ ) άρα Α/2 = Αημ(ω Δt Γ ) και ω Δt Γ = 2kπ+π/6 ή ω Δt Γ = 2kπ+5π/6, k ακέραιος. Κι επειδή τη χρονική στιγμή t 1 το σημείο Γ φτάνει για πρώτη φορά στη θέση Α/2 θα είναι ω Δt Γ = π/6 ή Δt Γ = Τ/12. Όμως σε χρόνο Τ αντιστοιχεί ένα μήκος κύματος, άρα σε Τ/12 αντιστοιχεί διάδοση κατά /12. Έτσι θα είναι x Γ = 7 5 = 4 12 3 και από όγω συμμετρίας xb = + = 4 12 3 Διαφορά φάσης θα είναι Άρα σωστή είναι η γ. 5 2π 2 π(xγ x B) 3 3 8π Δφ = = = 3 8. Επειδή στη θέση x = 0 η εξίσωση απομάκρυνση χρόνου μετά το σχηματισμό του στάσιμου είναι y = 2Aημ(2πft) η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι 2πx 2πt y= 2Aσυν ημ T Έτσι το πάτος των τααντώσεων στις θέσεις x = ( 2k+ 1) είναι 8 2π π 2 Α = 2Α συν ( 2k+ 1) = 2Α συν ( 2k+ 1) = 2Α = Α 2 8 4 2 Οπότε η μέγιστη ταχύτητα σε κάθε σημείο θα είναι υ max = A ω= Α 2 2π f Άρα σωστή είναι η β. 9. Η απόσταση Π 2 Β διανύεται από το κύμα σε χρόνο τριών τααντώσεων δηαδή σε χρόνο 3Τ άρα είναι Π 2 Β = 3. Η απόσταση Π 1 Β διανύεται σε χρόνο 3T+2T = 5T άρα είναι Π 2 Β = 5, επειδή σε χρόνο Τ το κύμα διαδίδεται κατά Οπότε: Π 1 Β Π 2 Β = 5-3 = 2 δηαδή ακέραιο ποαπάσιο του μήκους κύματος κατά συνέπεια στο Β προκύπτει ενισχυτική συμβοή. Εμμ. Β. Δρακάκης 3

Έτσι η μέγιστη επιτάχυνση στο Β θα είναι ω²2α. Άρα σωστή είναι η γ. 10Α. Θα είναι t αγ = 3Τ άρα ΑΓ = ΒΔ = 3 (1) και t βγ = t αδ = 4 3 t αγ = 4 3Τ = 4Τ και ΒΓ = ΑΔ = 4 (2) 3 Μετά τη συμβοή των κυμάτων : ΑΓ ΒΓ t AΓ + ΒΓ yγ = 2Ασυν2π ημ2π και με βάση τις (1) και (2) προκύπτει 2 T 2 t 7 yγ = 2Αημ2 π (3) T 2 ενώ ΑΔ ΒΔ t AΔ + ΒΔ yδ = 2Ασυν2π ημ2π 2 T 2 και με βάση τις (1) και (2) t 7 yδ = 2Αημ2 π ( 4) T 2 Από τις (3) και (4) προκύπτει ότι y Γ = y Δ Άρα σωστή είναι η α. 10Β. Με βάση το αποτέεσμα του ερωτήματος 10Α είναι y Γ = y Δ άρα και dyγ dyδ = ή υ Γ = υ Δ dt dt 2 2 3 2 2 Οπότε επειδή υ Γ = ±ω (2 Α) yγ θα είναι ±υ max, Δ = ±ω (2 Α) y Γ (1) με υ max, Δ =ω 2Α (2) 2 Από τις (1) και (2) προκύπτει τεικά y Γ = ±Α Άρα σωστή είναι η β. Μανώης Δρακάκης 3ο Λύκειο Χανίων drakakismanolis@gmail.com Εμμ. Β. Δρακάκης 4