Α1 δ, Α2 δ, Α3 β, Α4 γ, Α5 α Λ, β Σ, γ Λ, δ Λ, ε Λ. έχει φορά προς τα κάτω. Στο σχήμα 2 ο τροχός θα κινηθεί προς τα κάτω αφού F F

Transcript

1 Λύσεις διαγωνίσματος 8 06 Θέμα Α Α δ, Α δ, Α β, Α4 γ, Α5 α Λ, β Σ, γ Λ, δ Λ, ε Λ Θέμα Β Β Ι Στο σχήμα ο τροχός θα κινηθεί προς τα πάνω αφού F w και w w 0,8w άρα F w Επειδή έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση και η στατική τριβή είναι η μόνη δύναμη που έχει ροπή θα πρέπει να δικαιολογεί τη γωνιακή επιτάχυνση άρα a και οπότε η T θα έχει φορά προς τα κάτω Στο σχήμα ο τροχός θα κινηθεί προς τα κάτω αφού F F 0,6w και w w 0,8w άρα F w Επειδή έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση και η στατική τριβή είναι η μόνη δύναμη που έχει ροπή θα πρέπει να δικαιολογεί τη γωνιακή επιτάχυνση άρα a και οπότε η T θα έχει φορά προς τα πάνω T ΙΙ Σωστή απάντηση είναι η (γ) Σχήμα : ΘΝΜ F a F w T a () c c ΘΝΣ I a T I a T () a T ac T ac Όμως 0,w () () F w T T T w 0,8w T Σχήμα : ΘΝΜ F a w F T a () c c ΘΝΣ I a T I a T () a T a c T a c Όμως 0,w () () w F T T T 0,8w 0,6w T T Άρα T T T Β Ι Σωστή απάντηση είναι η (α) Το πλάτος του σημείου Σ είναι:,5 A A A A A A

2 Λύσεις διαγωνίσματος 8 06 ΙΙ Σωστή απάντηση είναι η (β) Η χορδή αρχικά ταλαντώνεται με συχνότητα f οπότε δημιουργούνται συνολικά πέντε δεσμοί άρα 4 για το μήκος ισχύει 9 Μεταβάλλουμε τη συχνότητα ταλάντωσης της 4 4 χορδής στην τιμή f οπότε δημιουργούνται συνολικά τρεις δεσμοί άρα για το μήκος ισχύει Πρέπει: 9 5 Για το νέο πλάτος του σημείου Σ έχουμε: ,5 5 5 A A A A A 9 Β Σωστή απάντηση είναι η (δ) A A Αφού τα κύματα φτάνουν στο σημείο Σ με χρονική διαφορά t 4T η διαφορά των αποστάσεων από τις δύο πηγές είναι r r 4 οπότε το σημείο Σ είναι σημείο ενισχυτικής συμβολής και ανήκει στην υπερβολή N 4 Μεταξύ της μεσοκαθέτου και της ευθείας υπάρχουν τρεις υπερβολές ενισχυτικής συμβολής, οι N,,, και τέσσερις υπερβολές ακυρωτικής συμβολής, οι N 0,,,, οπότε πάνω στην ευθεία υπάρχουν επτά σημεία ενισχυτικής συμβολής (έξι σημεία για τις υπερβολές N,,, δύο για κάθε μια, και το σημείο Σ στην υπερβολή N 4 ) και οκτώ σημεία ακυρωτικής συμβολής (δύο για κάθε μια από τις υπερβολές N 0,,, ) Θέμα Γ Γ Από εξίσωση απομάκρυνσης y 0,4 0 t I έχουμε: A 0,4 και 0 f 0 f 0Hz T 0, f Όταν η αρχή του άξονα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της κινούμενη προς την αρνητική T κατεύθυνση για τέταρτη φορά ισχύει t T t 0,5 Τότε ξεκινά να ταλαντώνεται το σημείο Σ στη θέση,4 άρα t 0,5 t, οπότε για την ταχύτητα διάδοσης έχουμε,4 4 Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής το μήκος κύματος t 0,5 4 είναι f 0,4 Η εξίσωση του αρμονικού κύματος θα είναι: f 0 t t y A 0,4 y 0,4 0 t 5 I T 0, 0, 4

3 Λύσεις διαγωνίσματος 8 06 Γ Η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Σ είναι: V t t Va A 0 0, 4 0 t5, 4 T T V 0,8 0 t 7 I με t 0,5 Η αντίστοιχη γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Γ Τη χρονική στιγμή t 0,5 η ταχύτητα της θέσης 0 είναι: t a 0,8 0 0, 5 0,8 5 0,8 T V V V V άρα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας κινούμενη προς την αρνητική κατεύθυνση Τα ζητούμενα σημεία που έχουν την ίδια κινητική ενέργεια με τη θέση 0 θα βρίσκονται στη θέση ισορροπίας τους τη χρονική στιγμή t 0, 5 Λύνοντας την τριγωνομετρική εξίσωση y 0 τη χρονική στιγμή t 0,5 έχουμε: y 0 0, 4 0 0, ( ) 5 Το κύμα τη χρονική στιγμή t 0,5 έχει φτάσει στη θέση t 40,4 Οι θέσεις των ζητούμενων σημείων βρίσκονται Για 0 5, 0,8, 0,6, 0, 4, 4 0,, 5 0 η αρχή Άρα τα τρία πλησιέστερα σημεία του θετικού ημιάξονα στην αρχή του άξονα είναι τα 0,6, 0, 4, 0, a

4 Λύσεις διαγωνίσματος 8 06 Γ4 Τα σημεία Σ και Μ έχουν διαφορά φάσης:,,4, 0,4 Τα σημεία αυτά κάθε στιγμή θα έχουν αντίθετες απομακρύνσεις και αντίθετες ταχύτητες (αντίθεση φάσης), οπότε απέχουν τη μέγιστη απόσταση μεταξύ τους απέχουν όταν βρίσκονται στις ακραίες θέσεις τους Για πρώτη φορά απέχουν μέγιστη απόσταση όταν το σημείο Μ βρίσκεται για πρώτη φορά στη θέση y A Αυτό συμβαίνει όταν T το σημείο Μ ταλαντώνεται για χρονικό διάστημα t 0, 05 Το κύμα φτάνει στο 4 σημείο Μ τη χρονική στιγμή t, δηλαδή t t 0,5 Η ζητούμενη χρονική στιγμή που τα σημεία Σ, Μ απέχουν μέγιστη απόσταση για πρώτη φορά είναι η: t t t 0,5 0, 05 t 0,55 Η μέγιστη απόσταση d a που απέχουν τα σημεία θα βρεθεί από το Πυθαγόρειο Θεώρημα ως εξής: a d A da 0, 6 0,8 0,6 0, 64 d a Θέμα Δ Δ Στον τροχό ασκούνται το βάρος του w, η κάθετη δύναμη N, η τάση νήματος T, η στατική τριβή T και η δύναμη F Στον κύλινδρο ασκούνται το βάρος του w, η κάθετη δύναμη N, η τάση νήματος T και η στατική τριβή T Γράφοντας τις συνθήκες ισορροπίας για κάθε στερεό έχουμε: Για κύλινδρο: F 0 T T w 0 () 4

5 Λύσεις διαγωνίσματος 8 06 F 0 N w 0 y y 0 0 T T 0 T T () T T w Από (), () T T w T w T () Για δίσκο: F 0 F T w T 0 (4) F 0 N w 0 y y F r F F T F r T (5) T T () F w F g Από (4) (5) F w 0 g 0 8Kg Δ Μόλις κοπεί το νήμα τα δύο στερεά αρχίζουν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο Για τον κύλινδρο έχουμε: F a w T a (6) c c F 0 N w 0 N g (7) y y 5

6 Λύσεις διαγωνίσματος 8 06 Ia T I a T a a a T a T a c c α) (6) (7) w ac a c g a c 0 ac g (9) ac β) (8) (9) (8) T g T g Ο κύλινδρος για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πρέπει: T T a g N g w y g g in 9 Δ Για την επιτάχυνση του σημείου Α του τροχού ισχύει: a a a a a a a a a a a ra a a a c c A c A A c A A c c c A Ισχύει F a (0) FT w a c c a a c ac I ύa F T I ύa Fr T I ύ r F T I a c () ύ r I ύ I ύ (0) () F F w ac a c F g a c 8 0 4ac ac άρα a c a A a A Δ4 Τη χρονική στιγμή t που ο τροχός εισέρχεται σε τμήμα του κεκλιμένου επιπέδου που είναι εντελώς λείο λόγω της αρχικής του κίνησης έχει ταχύτητα c ac t c 4 και c 4 γωνιακή ταχύτητα c 0 0, 6

7 Λύσεις διαγωνίσματος 8 06 Στο λείο τμήμα του κεκλιμένου επιπέδου ο τροχός δέχεται το βάρος του w, την κάθετη δύναμη N, τη στατική τριβή T και τη δύναμη F Ο τροχός εκτελεί μια σύνθετη κίνηση ομαλά επιταχυνόμενη μεταφορική και στροφική για τις οποίες ισχύει: F a F w a c c F g a c 0 a c a c και I ύa F I ύa Fr I ύ a, 0,08 a a 5 (Η κίνηση δεν κύλιση χωρίς ολίσθηση αφού a 0,5 a c) Μέχρι τη χρονική στιγμή t 4 ο τροχός εκτελεί τη νέα κίνηση για χρονικό διάστημα t tt άρα η ταχύτητα του κέντρου μάζας θα είναι: c c a ct 4 c 6 και η γωνιακή του ταχύτητα θα είναι: a t Για την ταχύτητα του σημείου Α του νήματος τη χρονική στιγμή t 4 ισχύει: c c c r 6 0,50 7