Δίσκος Σύνθετη Τρίτη 01 Μαϊου 2012 ΑΣΚΗΣΗ 5 Ομογενής δίσκος ροπής αδράνειας, με μάζα και ακτίνας θα χρησιμοποιηθεί σε 3 διαφορετικά πειράματα. ΠΕΙΡΑΜΑ Α Θα εκτοξευθεί με ταχύτητα από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης και θα ανέλθει κυλιόμενος, χωρίς να ολισθαίνει, σε ύψος όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε: Αα. Τις τιμές της αρχικής ταχύτητας και της αρχικής γωνιακής ταχύτητας του δίσκου. Αβ. Το μέτρο της εμφανιζόμενης στατικής τριβής. ΠΕΙΡΑΜΑ Β Ο δίσκος θα παίξει το ρόλο τροχαλίας η οποία περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Γύρω από το δίσκο έχουμε τυλίξει αβαρές και μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους, στα ελεύθερα άκρα του οποίου έχουμε κρεμάσει απο το ίδιο οριζόντιο επίπεδο δυο σώματα μάζας όπως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο, οπότε τα δυο σώματα αρχίζουν να κινούνται κατακόρυφα, ενώ η τροχαλία περιστρέφεται χωρίς το νήμα να γλιστρά στη περιφέρειά της.
1 Δίσκος Σύνθετη Να υπολογίσετε: Βα. Τη χρονική στιγμή που τα σώματα θα απέχουν κατακόρυφη απόσταση. Ββ. Τη δύναμη που ασκεί ο άξονας περιστροφής στο δίσκο. ΠΕΙΡΑΜΑ Γ Εκτοξεύουμε σώμα μάζας με ταχύτητα προς τον ακίνητο ομογενή δίσκο, ο οποίος μπορεί και περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Η κρούση του σώματος γίνεται στο σημείο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, το οποίο απέχει κατακόρυφη απόσταση από το κέντρο ενώ το σώμα αμέσως μετά τη κρούση ακινητοποιείται. Γα. Να δείξετε οτι ο δίσκος θα κυλίσει ( χωρίς να ολισθήση καθόλου ) ανεξάρτητα από την τιμή του συντελεστή τριβής δαπέδου δίσκου. Γβ. Να βρείτε τη χρονική στιγμή που το σημείο κατακόρυφη απόσταση θέση; Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας:. απέχει για πρώτη φορά, μετά τη κρούση, από το έδαφος. Ποιά η ταχύτητα του σημείου Α σε αυτή τη
2 Δίσκος Σύνθετη ΛΥΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑ Α Αα. Εφαρμόζοντας την Α.Δ.Μ.Ε. για το δίσκο έχουμε: Όμως, θυμίζουμε επίσης πως η στατική τριβή δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της επομένως δεν παράγει έργο, έτσι η σχέση γράφεται αντικαθιστώντας την ροπή αδράνειας του δίσκου κύλισης χωρίς ολίσθηση του δίσκου, καταλήγουμε και παίρνοντας τη συνθήκη και Αβ. Εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης για το δίσκο έχουμε: Παίρνοντας τη συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση, καταλήγουμε Εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο της μεταφορικής κίνησης για το δίσκο έχουμε:
3 Δίσκος Σύνθετη Αντικαθιστώντας την στην τελευταία καταλήγουμε ΠΕΙΡΑΜΑ Β Βα. Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται οι δυνάμεις που ενεργούν στα σώματα και στη τροχαλία Κάθε σημείο του νήματος έχει την ίδια ταχύτητα και επιτάχυνση. Εφόσον τα νήματα δένονται στην ίδια περιφέρεια της τροχαλίας και δεν ολισθαίνουν πάνω σε αυτή κάθε χρονική στιγμή θα ισχύει: α 1 α 2 α α γων R Τα νήματα επίσης είναι αβαρή και μη εκτατά επομένως ισχύει Τ 1 Τ 1 και Τ 2 Τ 2 Για το σώμα Σ 2 : Για το σώμα Σ 1 : Για τη τροχαλία έχουμε : Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση και αντικαθιστώντας την μάζα της τροχαλίας καταλήγουμε: Από τις σχέσεις λύνοντας το σύστημα καταλήγουμε Επειδή τα σώματα έχουν την ίδια ταχύτητα και την ίδια επιτάχυνση θα διανύουν στον ίδιο χρόνο την ίδια απόσταση, ετσι όταν η κατακόρυφη απόστασή τους είναι, το κάθε σώμα θα έχει διανύσει απόσταση. Από τη χρονική εξίσωση της μετατόπισης παίρνουμε
4 Δίσκος Σύνθετη Ββ. Από την ισορροπία της τροχαλίας στον κατακόρυφο άξονα έχουμε: ΠΕΙΡΑΜΑ Γ Γα. Το σύστημα βλήμα Δίσκος είναι μονωμένο, έτσι ισχύουν. Εφαρμόζοντας την Αρχή Διατήρησης της Ορμής καταλήγουμε: Δεν έχουμε συσσωμάτωμα, το βλήμα δεν καρφώνεται μετά τη κρούση αλλά ακινητοποιείται!!! Εφαρμόζοντας την Αρχή Διατήρησης της Στροφορμής καταλήγουμε: Παρατηρούμε οτι επομένως ξεκινά κύλιση χωρίς ολίσθηση, ανεξάρτητα από την τιμή του συντελεστή τριβής δαπέδου δίσκου. Γβ. Από το τρίγωνο του σχήματος προκύπτει: Για τη γωνία φ ισχύει:
5 Δίσκος Σύνθετη Από τον ορισμό της γωνιακής ταχύτητας έχουμε, Η ταχύτητα του σημείου Α εκείνη τη χρονική στιγμή είναι: με γωνία που δίνεται από τη σχέση