ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΗΣ ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ

Αναπαραστάσεις στη Στατιστική της ΣΤ ηµοτικού ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΗΣ ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Αθανάσιος Γαγάτσης, Αντρέας Κουσιάππας, Ελένη Κοιλιάρη Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής-Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έρευνα προσπαθεί να διερευνήσει την ικανότητα αλλαγής πεδίου αναπαράστασης για διάφορες στατιστικές έννοιες που διδάσκονται στη Στ τάξη δηµοτικού. Μια αντίστοιχη έρευνα διεξάχθηκε στην Ελλάδα και γίνεται σύγκριση των αποτελεσµάτων των δύο ερευνών. Τα αποτελέσµατα στις δύο έρευνες παρουσιάζουν κοινά στοιχεία αλλά προκύπτουν και ενδιαφέρουσες διαφορές. 1. Θεωρητικό πλαίσιο O Kaput (αναφέρεται από τους Γαγάτση, 2001; Γαγάτση & Ηλία, 2003) εισηγείται πέντε ολότητες, οι οποίες περιλαµβάνονται στην έννοια της αναπαράστασης. Η πρώτη ολότητα αναφέρεται στην ολότητα που αναπαρίσταται και η δεύτερη ολότητα αναφέρεται στην ολότητα που αναπαριστά η αναπαράσταση. Έστω ότι η ολότητα προς αναπαράσταση είναι οι µαθητές και οι µαθήτριες της Στ δηµοτικού ενός σχολείου της Λάρνακας. Μια αναπαράσταση που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την ολότητα αυτή είναι χρωµατιστά µολύβια για τα αγόρια και κίτρινα για τα κορίτσια. Η τρίτη ολότητα αναφέρεται στις συγκεκριµένες πτυχές της ολότητας προς αναπαράσταση και η τέταρτη ολότητα αναφέρεται στις συγκεκριµένες πτυχές της ολότητας που αναπαριστά. Για παράδειγµα, µια πτυχή της ολότητας που αναπαρίσταται µπορεί να είναι η ηλικία των µαθητών και των µαθητριών. Έστω ότι ζητείται να αναπαρασταθεί ο αριθµός των µαθητών και των µαθητριών που έχουν ηλικία πάνω από 11 χρονών. Για κάθε ένα/µια µαθητή/τρια µε ηλικία πάνω από 11 χρονών υπάρχει και ένα ξυσµένο µολύβι, από το αντίστοιχο χρώµα. Η πέµπτη ολότητα αναφέρεται στην αντιστοιχία ανάµεσα στις δύο ολότητες. Στις δύο ολότητες που αναφέρονται πιο πάνω (µαθητές/τριες και µολύβια) υπάρχουν κάποιες αντιστοιχίες, όπως, για παράδειγµα, τα κίτρινα ξυσµένα µολύβια αντιστοιχούν στις µαθήτριες µε ηλικία πάνω από11 χρόνων. Μια διάκριση των αναπαραστάσεων, σύµφωνα µε τον Dufour-Janvier (Γαγάτσης, 2001) είναι η κατηγοριοποίησή τους σε εσωτερικές και εξωτερικές αναπαραστάσεις. Με τον όρο εσωτερικές αναπαραστάσεις αναφερόµαστε σε νοητικές εικόνες που κατασκευάζουν τα υποκείµενα, για να αναπαραστήσουν την εξωτερική πραγµατικότητα. Ο όρος εξωτερικές αναπαραστάσεις αναφέρεται σε όλους τους εξωτερικούς συµβολικούς φορείς (σύµβολα, σχήµατα, διαγράµµατα) οι οποίοι στοχεύουν στην εξωτερική αναπαράσταση µιας συγκεκριµένης πραγµατικότητας. Στη στατιστική χρησιµοποιούνται διάφορες µορφές αναπαράστασης, όπως για παράδειγµα λεκτικές, συµβολικές, διαγραµµατικές, για σκοπούς κατανόησης εννοιών 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 3

Α. Γαγάτσης κ.ά. αλλά και επίλυσης µαθηµατικού προβλήµατος. Η επίλυση προβλήµατος, σύµφωνα µε τους Αναστασιάδου και Γαγάτση (2005), διέρχεται από τρεις φάσεις: την εκφώνηση του προβλήµατος, την επεξεργασία µέσων µετάφρασης ή µετασχηµατισµού και την συµβολική επεξεργασία. Στον ελληνικό χώρο, η στατιστική αποτελεί µέρος των αναλυτικών προγραµµάτων του δηµοτικού σχολείου και αφορά σε στοιχειώδεις έννοιες της στατιστικής, όπως ποσοστά επιτυχίας, συχνότητα, µέσος όρος κ.ά. Πέραν της λεκτικής έκφρασης, στο δηµοτικό σχολείο χρησιµοποιούνται οι γραφικές αναπαραστάσεις και η µορφή πίνακα (Αναστασιάδου & Γαγάτσης 2005). Συνήθεις µορφές γραφικής παράστασης, που χρησιµοποιούνται και στο σχολείο είναι αυτές που εισηγήθηκε ο William Playfair στα τέλη του 18 ου αιώνα και περιλαµβάνουν τις εικονικές γραφικές παραστάσεις, τα ραβδογράµµατα, τα ιστογράµµατα και τα κυκλικά διαγράµµατα. Ο πίνακας είναι µια άλλη µορφή συγκέντρωσης δεδοµένων στη στατιστική. Οι Mosenthal και Kirsch (Friel et al, 2001) µελέτησαν τις γραφικές παραστάσεις από την οπτική της σχέσης τους µε τους πίνακες και ορίζουν τους πίνακες ως απλές λίστες που φτιάχνονται για ένα σύνολο στοιχείων που µοιράζονται ένα κοινό χαρακτηριστικό. Το χαρακτηριστικό αυτό παρουσιάζεται µε µια ταµπέλα. Οι πίνακες φαίνεται να χρησιµοποιούνται µε δύο τρόπους. Ένας τρόπος χρήσης του πίνακα είναι η παρουσίαση δεδοµένων. Ο Ehrenberg (Friel et al, 2001) διατύπωσε εισηγήσεις σχετικά µε το σχεδιασµό πινάκων ως είδος παρουσίασης δεδοµένων. Οι εισηγήσεις του περιλάµβαναν διάφορες αρχές, όπως το στρογγύλεµα των αριθµών σε δύο δεκαδικά ψηφία, για διευκόλυνση των νοερών πράξεων, καθώς και να δίνεται ο µέσος όρος των στηλών, των σειρών ή και των δύο ως αντιληπτικά σηµεία αναφοράς. Ένας άλλος τόπος χρήσης του πίνακα είναι η οργάνωση πληροφοριών, ως ενδιάµεσο στάδιο για τη δηµιουργία γραφικών παραστάσεων. Η κατασκευή γραφικής παράστασης απαιτεί την οργάνωση των δεδοµένων σε πίνακες. Για την κατασκευή της γραφικής παράστασης πρέπει να αποφασιστεί το πώς θα φτιαχτεί ο πίνακας. Έννοιες της περιγραφικής στατιστικής έχουν εισαχθεί στα αναλυτικά προγράµµατα της µαθηµατικής εκπαίδευσης λόγω των αυξανόµενων αριθµών επαγγελµατικών πεδίων που απαιτούν τη χρήση στοιχείων στατιστικής συλλογιστικής (Αναστασιάδου & Γαγάτσης, 2005). Ειδικότερα, όσον αφορά στους στόχους που σχετίζονται άµεσα µε τις γραφικές παραστάσεις και τους πίνακες, οι µαθητές µαθαίνουν να καταγράφουν δεδοµένα, να κατασκευάζουν απλές γραφικές παραστάσεις µε τη βοήθεια των δεδοµένων ενός πίνακα και να παίρνουν πληροφορίες από µια γραφική παράσταση στη Γ και Ε τάξη του δηµοτικού σχολείου. Στην Στ δηµοτικού, αναφέρουν οι Αναστασιάδου και Γαγάτσης, οι µαθητές πρέπει να αποκτήσουν τις ικανότητες, που αναφέρονται στα αναλυτικά προγράµµατα, να κατασκευάζουν δηλαδή σχετικούς πίνακες για γεγονότα και να ασκηθούν σε µεγαλύτερο βάθος στην κατασκευή γραφικών παραστάσεων. Παραδοσιακά, οι δάσκαλοι και τα σχολικά εγχειρίδια δίνουν ιδιαίτερη έµφαση τόσο στις συµβάσεις των γραφικών αναπαραστάσεων όσο και στην καθαρή παρουσίαση. Η Ainley et al (2000) τονίζει ότι ο σχεδιασµός καθαρών, λεπτοµερών γραφικών παραστάσεων µε το χέρι είναι χρονοβόρα διαδικασία, ιδιαίτερα για τα µικρά 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 4

Αναπαραστάσεις στη Στατιστική της ΣΤ ηµοτικού παιδιά µε περιορισµένες κινητικές ικανότητες, ακόµη και όταν οι νοητικές απαιτήσεις της άσκησης είναι σχετικά χαµηλές. Επεκτείνοντας, υποστηρίζεται ότι ο παράγοντας χρόνος, σε συνδυασµό µε τη σχετικά µεγάλη αξία που δίνεται στην γραφική αναπαράσταση, ως αυτοτελές θέµα, οδήγησε στην αντίληψη ότι η κατασκευή της γραφικής παράστασης είναι το τελικό στάδιο και ο σκοπός κάθε άσκησης, µε ελάχιστη έµφαση να δίνεται στην ερµηνεία ή τη χρήση της γραφικής παράστασης ως εργαλείο λύσης προβλήµατος (Ainley et al, 2000). Η κατανόηση-αντίληψη των γραφικών παραστάσεων (graph comprehension) ορίζεται από την Friel et al (2001) ως το σύνολο των ικανοτήτων των αναγνωστών των γραφικών παραστάσεων να λαµβάνουν µηνύµατα από παραστάσεις, κατασκευασµένες από τους ίδιους ή από άλλους. Η κατανόηση-αντίληψη των γραφικών παραστάσεων περιλαµβάνει την ικανότητα του ατόµου να διαβάζει και να βγάζει νόηµα από ήδη κατασκευασµένες γραφικές παραστάσεις, όπως για παράδειγµα αυτές που συναντιούνται στον καθηµερινό τύπο (π.χ. δηµοσκοπήσεις). Επιπλέον, περιλαµβάνει την αντίληψη των στοιχείων που λαµβάνουν µέρος στην κατασκευή γραφικών παραστάσεων ως εργαλεία για την οργάνωση δεδοµένων και, το σηµαντικότερο, τη σηµασία της γραφικής παράστασης σε µια δεδοµένη κατάσταση. 2. Η έρευνα Υποθέσεις της έρευνας- Πειραµατικός πληθυσµός -Ερωτηµατολόγιο Βασικός στόχος της έρευνας είναι η διερεύνηση της ικανότητας αλλαγής πεδίου αναπαράστασης για διάφορες στατιστικές έννοιες, που διδάσκονται στην τελευταία τάξη του δηµοτικού σχολείου, από τους µαθητές αυτής της συγκεκριµένης τάξης. Πιο συγκεκριµένα η έρευνα προσπάθησε να απαντήσει στο κατά πόσο οι µαθητές της Στ τάξης του ηµοτικού έχουν γνώσεις για αναπαραστάσεις απλών στοιχείων της καθηµερινής ζωής σε µορφή πίνακα. έχουν γνώσεις για αναπαραστάσεις απλών στοιχείων της καθηµερινής ζωής σε µορφή γραφικής παράστασης. µπορούν να ερµηνεύουν τα δεδοµένα γραφικών παραστάσεων. Παρόµοια έρευνα έγινε και στην Ελλάδα από τους Αναστασιάδου και Γαγάτση το 2005, συγκεκριµένα στη υτική Μακεδονία και θα επιχειρηθεί να γίνει µια σύγκριση των αποτελεσµάτων σε Ελλάδα και Κύπρο. Στην έρευνα πήραν µέρος 138 µαθητές της Στ τάξης του ηµοτικού Σχολείου από την επαρχία Λάρνακας. Η έρευνα διεξάχθηκε το Μάρτιο του 2006. Το ερωτηµατολόγιο (παράρτηµα) αποτελείται από τέσσερα προβλήµατα/ ασκήσεις µε ερωτήµατα που αφορούσαν την έννοια του µέσου όρου, του ραβδογράµµατος και ιστογράµµατος και των εφαρµογών τους στην επίλυση προβληµάτων της καθηµερινής ζωής. Θεωρήσαµε τις παρακάτω µεταβλητές: V1tf: ανάγνωση από πίνακα και συµπλήρωση αριθµητικών στοιχείων σε κλάσµα V1tp: ανάγνωση από πίνακα και συµπλήρωση αριθµητικών στοιχείων σε ποσοστό. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 5

Α. Γαγάτσης κ.ά. V1tg1: κατασκευή ιστογράµµατος µε βάση τον προηγούµενο πίνακα. V1tg2: κατασκευή ραβδογράµµατος µε βάση τον προηγούµενο πίνακα. V2tf: ανάγνωση από πίνακα και συµπλήρωση αριθµητικών στοιχείων σε κλάσµα V2tp: ανάγνωση από πίνακα και συµπλήρωση αριθµητικών στοιχείων σε ποσοστό. V3ta: ανάγνωση από πίνακα και εύρεση του µέσου όρου τιµών. V3ag: γραφική παράσταση του µέσου όρου τιµών. V3ing: ανάγνωση ραβδογράµµατος και άντληση πληροφοριών από αυτό. V4vg: µετατροπή λεκτικής µορφής σε διαγραµµατική. V4va: µετατροπή λεκτικής µορφής σε αλγεβρική (εύρεση του µέσου όρου). V4ag: γραφική παράσταση του µέσου όρου τιµών. V4ing: ανάγνωση από πίνακα και άντληση πληροφοριών από αυτή. V4vv: επεξεργασία των πληροφοριών της γραφικής παράστασης για την εξαγωγή γενικού συµπεράσµατος. 3. Αποτελέσµατα Ανάλυση δεδοµένων Για την ανάλυση των δεδοµένων χρησιµοποιήθηκε το Συνεπαγωγικό Στατιστικό Μοντέλο του Gras µε τη χρήση του λογισµικού CHIC και το πρόγραµµα Microsoft Excel ιαγράµµατα Οµοιότητας V1tf V3ta V1tg1 V1tg2 V3ag V3ing V4ing V4vv V4ag V4vg V4va V1tp V2tf V2tp ιάγραµµα 1 ιάγραµµα οµοιότητας της έρευνας στην Κύπρο 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 6

Αναπαραστάσεις στη Στατιστική της ΣΤ ηµοτικού v1tf v1tp v3ta v3ag v1tg1 v4vg v1tg2 v3ing v4ing v4va v4ag v2tf v2tp ιάγραµµα 2 ιάγραµµα οµοιότητας της έρευνας στην Ελλάδα Παρατηρήσεις από τα διαγράµµατα οµοιότητας 1. Παρατηρούµε µια έντονη οµοιότητα στα προβλήµατα v3ing και v4ing που πλησιάζει το 1. Είναι δύο διαφορετικά προβλήµατα, αλλά αφορούν και τα δύο ερµηνεία γραφικών παραστάσεων (ανάγνωση από γραφική παράσταση). Άρα οι µαθητές που αποκτούν αυτές τις δεξιότητες τις κατέχουν και τις εφαρµόζουν ανεξάρτητα από το πλαίσιο της άσκησης. Αυτό παρατηρείται και στην αντίστοιχη έρευνα στην Ελλάδα 2. Επίσης παρατηρούµε σύνδεση αυτών των δύο µε τη V4vv που έχει να κάνει µε την αξιολόγηση των συµπερασµάτων της ανάγνωσης από γραφική παράσταση και τη γενίκευσή τους. Αυτό ήταν αναµενόµενο γιατί για να µπορέσει κανείς να καταλήξει σε ένα γενικό συµπέρασµα από µια γραφική παράσταση, προϋποθέτει τη γνώση της ανάγνωσης από γραφική παράσταση. 3. Αυτές οι τρεις συνδέονται και µε τις V3ag και V4ag που απαιτούν σωστή τοποθέτηση του µέσου όρου στη γραφική παράσταση. Σ αυτή τη οµάδα των πέντε µεταβλητών, οµαδοποιούνται οι µεταβλητές που απαιτούν µια πιο βαθιά κατανόηση της γραφικής παράστασης από την επιφανειακή απλή τοποθέτηση κάποιων τιµών για να κατασκευάσουµε µια γραφική παράσταση. Εδώ απαιτείται κατανόηση του τι παριστάνει η γραφική παράσταση για να µπορέσουν να τοποθετήσουν σωστά την τιµή του µέσου όρου και να εξαγάγουν σωστά συµπεράσµατα. Στην αντίστοιχη έρευνα στην Ελλάδα δεν παρατηρείται κάτι ανάλογο, οι µεταβλητές αυτές πλέκονται µαζί µε άλλες. Οµαδοποιούνται οι τρεις µεταβλητές V3ing, V4ing και V1tg1 που έχουν να κάνουν µε γραφική παράσταση ραβδογράµµατος, έπαιξε δηλαδή µεγαλύτερο ρόλο το είδος της γραφικής παράστασης στις απαντήσεις των µαθητών. 4. Παρατηρούµε ότι συνδέονται οι µεταβλητές V4vg και V4va, δηλαδή η κατασκευή γραφικής παράστασης µε λεκτικά δεδοµένα και η εύρεση του µέσου όρου από τα λεκτικά δεδοµένα. Φαινοµενικά, αυτές οι δύο µεταβλητές δεν έχουν καµιά σχέση, αλλά φαίνεται ότι η ικανότητα να διαβάζουν και να κατανοούν λεκτικά δεδοµένα οµαδοποιεί 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 7

Α. Γαγάτσης κ.ά. τις δύο µεταβλητές. Με άλλα λόγια οι µαθητές που κατάφεραν να κατανοήσουν το λεκτικό µέρος του προβλήµατος έκαναν και τη γραφική παράσταση και βρήκαν το µέσο όρο. Θα ανέµενε κανείς η V4va να συνδέεται µε τη V3ta, αφού και οι δύο ζητούσαν την εύρεση του µέσου όρου. Αυτό όµως δε συµβαίνει λόγω του διαφορετικού λεκτικού µέρους. Στην Ελλάδα οµαδοποιούνται οι V4va και V4ag, που όπως θα δούµε πιο καθαρά στο συνεπαγωγικό διάγραµµα όσοι βρήκαν το µέσο όρο κατά 99% τον τοποθέτησαν σωστά στη γραφική παράσταση, άρα σηµείο κλειδί για αυτή τη σύνδεση ήταν η εύρεση του µέσου όρου. 5. Στο διάγραµµα οµοιότητας παρατηρούµε και µια άλλη παράξενη, εν πρώτης, σύνδεση µεταξύ των µεταβλητών V1tf και V3ta που και οι δύο όµως απαιτούν ορθή ανάγνωση πινάκων µε τιµές και µετατροπή τους στη µεν πρώτη σε κλασµατική µορφή και στη δεύτερη εύρεση του µέσου όρου. Καταλήγουµε ότι σ αυτή την οµάδα ανήκουν µαθητές που έχουν άνεση στην ανάγνωση από πίνακα τιµών, αφού µπορούν να το κάνουν σε διάφορα είδη πινάκων. Το ίδιο συµπέρασµα βγαίνει και από τη σύνδεση της V1tp µε τις V2tp και V2tf. Στην Ελλάδα παρατηρούµε ότι οµαδοποιούνται οι µεταβλητές V1tf - V1tp, V2tf - V2tp και V3ta - V3ag δηλαδή συνδέονται οι µεταβλητές της ίδιας άσκησης όταν έχουν να κάνουν µε πίνακα, έτσι διακρίνουµε µια δυσκολία στην ανάγνωση πίνακα, αφού τα παιδιά δεν µπορούν να το κάνουν σε διαφορετικές ασκήσεις. 6. Η σύνδεση µεταξύ των V1tg1 και V1tg2 δείχνει ότι οι µαθητές της Κύπρου συνδέουν το ιστόγραµµα µε το ραβδόγραµµα φτάνει να είναι οι ίδιες τιµές. Στην Ελλάδα υπάρχει ισχυρή και πάλι σύνδεση µεταξύ των δύο µεταβλητών, αλλά πιο ισχυρή είναι η σύνδεση της V1tg2 µε τις V3ing και V4ing που αφορούν ραβδογράµµατα ενώ η V1tg1 συνδέεται µε την V4vg που έχουν να κάνουν και τα µε ιστογράµµατα. Βλέπουµε λοιπόν ότι οι µαθητές στη έρευνα στην Κύπρο αντιµετωπίζουν το ίδιο τα ραβδογράµµατα και ιστογράµµατα και θεωρούν πιο σηµαντικό τις τιµές και τα δεδοµένα της άσκησης (δυσκολεύονται στην κατανόηση του λεκτικού µέρους) ενώ στην Ελλάδα πρωταρχικό ρόλο παίζει ο τύπος της γραφικής παράστασης (δυσκολεύονται στη χρήση διαφόρων µορφών γραφικών παραστάσεων). 7. Γενικά µε εξαίρεση τη V3ta βλέπουµε να διαχωρίζονται τα προβλήµατα που απαιτούσαν να εκφραστούν κάποια δεδοµένα σε κλάσµα ή ποσοστό από τα υπόλοιπα που είχαν να κάνουν µε χειρισµό γραφικών παραστάσεων. Φαίνεται ότι τα παιδιά δε συνδέουν αυτές τις δύο µορφές αναπαράστασης των στατιστικών δεδοµένων. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 8

Αναπαραστάσεις στη Στατιστική της ΣΤ ηµοτικού Συνεπαγωγικά διαγράµµατα V4vv v3ing V4ing v4ing v3ag v2tf v3ta v1tg2 v4ag v2tp v1tf v1tp V3ing v1tg1 v4va V1tg1 V4ag v4vg V4va V3ta V3ag ιάγραµµα 4 Συνεπαγωγικό διάγραµµα της έρευνας στην Ελλάδα V4vg V1tg2 ιάγραµµα 3 Συνεπαγωγικό διάγραµµα της έρευνας στην Κύπρο. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 9

Α. Γαγάτσης κ.ά. Παρατηρήσεις από τα συνεπαγωγικά διαγράµµατα Παρατηρούµε ότι τα συνεπαγωγικά διαγράµµατα ενισχύουν τις παρατηρήσεις και τα συµπεράσµατα από τα διαγράµµατα οµοιότητας, αλλά οδηγούν και σε νέα όπως: 1. Συγκρινόµενα τα δύο διαγράµµατα παρατηρούµε τον πρωταγωνιστικό ρόλο των V3ing και V4ing. Και στις δύο έρευνες αυτές οι µεταβλητές προϋποθέτουν σχεδόν όλες τις άλλες. Η σηµαντική διαφορά είναι ότι στην Ελλάδα δε συνδέονται µεταξύ τους πράγµα που σηµαίνει ότι δε θεώρησαν τη µια πιο εύκολη από την άλλη και παρόλο που τις αντιµετωπίζουν µε τον ίδιο τρόπο η επιτυχία στη µια δε συνεπάγεται και επιτυχία στην άλλη, ενώ στην Κύπρο το 99% αυτών που έλυσαν την V4ing έλυσαν και την V3ing, άρα η V3ing τους φάνηκε πιο εύκολη. 2. Στο συνεπαγωγικό διάγραµµα της έρευνας στην Κύπρο, παρατηρούµε ότι η V4vv (δεν υπάρχει αντίστοιχη στην Ελλάδα) δυσκόλεψε περισσότερο από όλα τα άλλα ερωτήµατα, πράγµα που φαίνεται και από τα χαµηλά ποσοστά που συγκέντρωσε. Η εξαγωγή γενικών συµπερασµάτων είναι από τη φύση της δύσκολη, γιατί απαιτεί τη κατανόηση τόσο του λεκτικού µέρους του προβλήµατος όσο και της διαδικασίας επίλυσής του (γραφική παράσταση, εύρεση µέσου όρου, σωστή ερµηνεία µέσου όρου) Οι µαθητές, όπως θα δούµε, δυσκολεύτηκαν και λόγω ελλιπούς κατανόησης της έννοιας του µέσου όρου. 3. Στις καταλήξεις των συνεπαγωγικών αλυσίδων βλέπουµε να βρίσκονται οι µεταβλητές V1tg1 και V1tg2 καθώς και η V4vg, δηλαδή η κατασκευή γραφικών παραστάσεων είναι µια εύκολη διαδικασία για τους µαθητές. Ανάλογο συµπέρασµα βγαίνει και από την αντίστοιχη έρευνα στην Ελλάδα. 4. Αξιοσηµείωτο και αναµενόµενο είναι η σχέση µεταξύ της V4ag και V3ag που δείχνει ότι το 99% αυτών που απάντησαν σωστά τη V4ag απάντησαν και τη V3ag. ηλαδή η τοποθέτηση του µέσου όρου στη γραφική παράσταση αντιµετωπίστηκε µε τον ίδιο τρόπο ανεξάρτητα από τα δεδοµένα της άσκησης. Στην αντίστοιχη έρευνα στην Ελλάδα αυτό δεν ισχύει πράγµα που δείχνει αδυναµία στο να εντοπίσουν ότι είναι η ίδια άσκηση µε διαφορετικές τιµές. Γενικά στην Ελλάδα διαχωρίζονται εντελώς οι µεταβλητές των δύο ασκήσεων (3 και 4) µε τις µεταβλητές της άσκησης 4 να έχουν ισχυρή σύνδεση µεταξύ τους. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 10

Αναπαραστάσεις στη Στατιστική της ΣΤ ηµοτικού Ποσοστά επιτυχίας Μεταβλητές Ποσοστά επιτυχίας στην Κύπρο Ποσοστά επιτυχίας στην Ελλάδα V1tf 97,8 V1tp 97,8 V1tg1 81,2 V1tg2 92,7 V2tf 96,3 V2tp 92 V3ta 67,4 88 V3ag 67,4 80 V3ing 60,9 30,7 V4vg 84,8 87,3 V4va 65,9 74 V4ag 63,8 68,7 V4ing 58,7 37,7 V4vv 10,1 Παρατηρήσεις από τα ποσοστά επιτυχίας 1. Στην έρευνα στην Ελλάδα βλέπουµε µια µεγάλη διαφορά στα ποσοστά επιτυχίας στα ερωτήµατα V3ing και V4ing, που δείχνει δυσκολία των µαθητών να διαβάσουν και να ερµηνεύσουν γραφικές παραστάσεις. Στην έρευνα της Κύπρου η διαφορά είναι µικρότερη. Μια εξήγηση γι αυτό είναι τα διαφορετικά σχολικά εγχειρίδια που χρησιµοποιούν οι µαθητές στην Ελλάδα και την Κύπρο. Οι Κύπριοι µαθητές έχουν την δυνατότητα να έχουν έγχρωµες γραφικές παραστάσεις και µε πιο οικεία θέµατα, αφού τα βιβλία γράφτηκαν πολύ πιο µετά από αυτά που χρησιµοποιούν οι µαθητές στην Ελλάδα. 2. Γενικά όµως υπάρχει ένα πιο ψηλό ποσοστό επιτυχίας στην Ελλάδα που µπορεί να οφείλεται σε διάφορους λόγους όπως: - καλύτερη κατανόηση της γλώσσας (έρευνες έχουν δείξει ότι οι µαθητές στην Κύπρο δυσκολεύονται στην κατανόηση κειµένου και οδηγιών) - το δείγµα στην Κύπρο ήταν από σχολεία της υπαίθρου 3. Παρατηρούµε ότι πολύ ψηλά ποσοστά επιτυχίας συγκεντρώνουν οι ασκήσεις 1 και 2 που ήταν πιο απλές και ακολουθεί η V4vg που ζητούσε κατασκευή γραφικής παράστασης. Οι µαθητές όπως είδαµε φαίνεται να κατέχουν τη δεξιότητα αυτή. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 11

Α. Γαγάτσης κ.ά. Ανάλυση των απαντήσεων που έδωσαν οι µαθητές Ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα λάθη των µαθητών στις πιο κάτω µεταβλητές V3ing: Το πιο συχνό λάθος ήταν να περιλαµβάνουν και το Σάββατο, που η θερµοκρασία ήταν όση ακριβώς και η µέση θερµοκρασία των υπόλοιπων ηµερών στην οµάδα των ηµερών πάνω ή κάτω από το µέσο όρο. Σωστή θεωρούσαµε την απάντηση που δεν περιλάµβανε σε καµιά από τις δύο οµάδες το Σάββατο. Σχετική διευκρίνιση έγινε και πριν αρχίσουν τα παιδιά το τεστ. Εδώ έχουµε ένα είδος διδακτικού συµβολαίου, όπου αφού ζητήθηκε από τα παιδιά να ορίσουν τις µέρες που είναι πάνω και κάτω από το µέσο όρο τα παιδιά δεν µπορούσαν να αφήσουν µια πίσω. V4ing. Εδώ τα παιδιά έκαναν το αντίθετο λάθος. Ο µέσος όρος ήταν κάποια εκατοστά του εκατοστόµετρου πιο κάτω από τα 60cm. Πολλά παιδιά δεν τοποθετούσαν σε καµιά από τις δύο οµάδες τον Περικλή που είχα µήκος χεριών 60 cm. V4vv: Εδώ η σωστή απάντηση ήταν ότι δεν έχει σηµασία το φύλο για το µήκος του χεριού, διότι όσα κορίτσια ήταν πάνω από το µέσο όρο ήταν και αγόρια, το ίδιο και κάτω από το µέσο όρο. Ποσοστό πέρα του 25% απάντησε περίπου ως εξής: «Το µήκος των χεριών των παιδιών είναι πάνω από το µέσο όρο» ή παροµοίως «τα περισσότερα παιδιά είναι πάνω από το µέσο όρο». Αυτό φανερώνει ελλιπή κατανόηση της έννοιας του µέσου όρου και δυσκολία κατανόησης της άσκησης και των οδηγιών. - Πρώτο η άσκηση ζητούσε να βρουν αν τα χέρια των αγοριών ή των κοριτσιών είναι µακρύτερα στην τάξη τους και άρα θα έπρεπε να συγκρίνουν πως κατανέµονται τα αγόρια και τα κορίτσια ως προς το µέσο όρο και όχι να συγκρίνουν συνολικά όλα τα παιδιά που είναι πάνω και κάτω από το µέσο όρο. - εύτερο, δε σηµαίνει ότι ο µέσος όρος θα χωρίζει το δείγµα σε δύο ισοδύναµες οµάδες (όσα παιδιά είναι πάνω από το µέσο όρο να είναι και κάτω). - Τρίτο, θα µπορούσε να ειπωθεί αυτό το συµπέρασµα αν ο µέσος όρος έβγαινε από µια µεγάλη έρευνα σε πολλά παιδιά αυτής της ηλικίας και µετά συγκρίναµε τα παιδιά µε αυτό το µέσο όρο, αλλά από τη στιγµή που ο µέσος όρος βγήκε µέσα από τα µήκη των χεριών αυτών των παιδιών δεν µπορούµε να πούµε ότι βρίσκονται πάνω από το µέσο όρο. Τέλος, αξιοσηµείωτο είναι ότι πολλά παιδιά απάντησαν ότι τα κορίτσια έχουν µεγαλύτερο µήκος χεριών από τα αγόρια, ενώ κανένα παιδί δεν απάντησε ότι τα αγόρια έχουν µεγαλύτερο µήκος χεριών. Αυτό ίσως να οφείλεται στο ότι το πιο µακρύ χέρι το είχε ένα κορίτσι και το πιο κοντό ένα αγόρι. 4. Συµπεράσµατα 1. Γενικά φαίνεται ότι οι µαθητές της έκτης τάξης ηµοτικού έχουν σε πολύ ικανοποιητικό βαθµό γνώσεις για αναπαραστάσεις απλών στοιχείων της καθηµερινής ζωής σε µορφή πίνακα ή γραφικής παράστασης. Έχουν µεγάλη άνεση στο να κατασκευάζουν γραφικές παραστάσεις. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 12

Αναπαραστάσεις στη Στατιστική της ΣΤ ηµοτικού 2. Οι µαθητές µειονεκτούν στην ερµηνεία γραφικών παραστάσεων που είναι και το πιο σηµαντικό στοιχείο της στατιστικής αυτού του επιπέδου. Στην καθηµερινή ζωή κυρίως χρειάζεται να ερµηνεύουµε γραφικές παραστάσεις που παρουσιάζονται σε εφηµερίδες και τηλεοράσεις. Σπάνια µας ζητείται να κατασκευάσουµε γραφική παράσταση. Στη σηµαντική αυτή δεξιότητα φαίνεται να υστερούν οι µαθητές. Συγκριτικά οι µαθητές στην Ελλάδα φαίνεται να υστερούν σε µεγαλύτερο βαθµό σε αυτή τη δεξιότητα από ότι στην Κύπρο. 3. Μεγάλη δυσκολία φαίνεται να αντιµετωπίζουν στο συνδυασµό διαφόρων δεξιοτήτων (κατανόηση προβλήµατος και σωστή ερµηνεία της γραφικής παράστασης και του µέσου όρου) για την εξαγωγή γενικού συµπεράσµατος. 4. Οι µαθητές στη Κύπρο φαίνεται να υστερούν στην κατανόηση του λεκτικού µέρους του προβλήµατος, αλλά έχουν µεγαλύτερη ευχέρεια στο χειρισµό γραφικών παραστάσεων ραβδογράµµατος και ιστογράµµατος. Οι µαθητές στην Ελλάδα έχουν καλύτερη κατανόηση του λεκτικού µέρους, αλλά δυσκολεύονται στο να τα εκφράσουν σε ραβδόγραµµα και ιστόγραµµα. 5. Οι µαθητές στην Κύπρο κατανοούν και χειρίζονται καλύτερα τους πίνακες τιµών σε σχέση µε την Ελλάδα. Στην έρευνα στην Κύπρο οι µεταβλητές που έχουν να κάνουν µε ανάγνωση πίνακα συνδέονται, ενώ στην Ελλάδα συνδέονται µόνο µεταβλητές που έχουν να κάνουν µε πίνακα µέσα στην ίδια άσκηση. ηλαδή, τα παιδιά που κατανοούν το πίνακα σε µια άσκηση δεν κατανοούν και τον πίνακα σε µια άλλη. Περιορισµοί της έρευνας 1.Το ερωτηµατολόγιο περιλάµβανε µόνο τέσσερις ασκήσεις και δεν µπορούσαµε να επαληθεύσουµε αν ένα λάθος που κάνουν σε µια άσκηση είναι τυχαίο ή επαναλαµβάνεται. 2. Η έρευνα έγινε σε σχολεία της υπαίθρου, θα ήταν καλό να γινόταν µια παρόµοια έρευνα σε αστικές περιοχές, που οι µαθητές πιθανόν να έχουν µεγαλύτερη επαφή µε εφηµερίδες και περιοδικά και άρα καλύτερη σχέση µε ερµηνεία γραφικών παραστάσεων της καθηµερινής ζωής. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αναστασιάδου, Σ. & Γαγάτσης. Α. (2005). Αναπαραστάσεις στη Στατιστική της Στ ηµοτικού της Ελλάδας. Στο: Α. Γαγάτσης, Α. Παναούρα & Π. αµιανού(επιµ.), Πρακτικά 8 ου Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηµατικής Παιδείας και Επιστήµης (σελ. 163-174). Λευκωσία: Κυπριακή Μαθηµατική Εταιρεία. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 13

Α. Γαγάτσης κ.ά. Γαγάτσης, Α. & Ηλία, Ι. (2003). Οι αναπαραστάσεις και τα γεωµετρικά µοντέλα στη µάθηση των µαθηµατικών. Τόµοι I και II. Λευκωσία: Εκδόσεις Intercollege. Γαγάτσης, Α., Μιχαηλίδου, Ε. & Σιακαλλή, Μ. (2001). Θεωρίες αναπαράστασης και µάθησης των µαθηµατικών. Λευκωσία: Πανεπιστήµιο Κύπρου-Erasmus IP1. Ainley, J., Nardi, E. & Pratt, D. (2000). The construction of meanings for trend in active graphing. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 5, 85-114. Friel, S. N., Curcio, F. R. & Bright, G. W. (2001). Making sense of graphs: Critical factors influencing comprehension and instructional implications. Journal for Research in Mathematics Education, 32, Iss 2, 124-159. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Απάντησε σε όλες τις ερωτήσεις 1. Ο Κώστας προπονείται στην καλαθόσφαιρα. Σε κάθε προπόνηση ρίχνει την µπάλα στο καλάθι 50 φορές και ο προπονητής του καταγράφει τις επιτυχίες του. Ο πίνακας δείχνει τις επιτυχίες του στις τελευταίες 6 προπονήσεις. Προπόνηση Επιτυχίες Επιτυχίες σε Επιτυχίες σε κλάσµα ποσοστό 1 η 10 10/50 20% 2 η 25 3 η 35 4 η 20 5 η 30 6 η 40 α) Να συµπληρώσετε τον πιο πάνω πίνακα β) Να συµπληρώσετε τις γραφικές παραστάσεις που δείχνουν τις επιτυχίες του Κώστα µε τον έναν τρόπο και µε τον άλλο. (ραβδόγραµµα και τεθλασµένη γραµµή) 50 40 30 20 10 1η 2η 3η 4η 5η 6η 100 80 60 40 20 1η 2η 3η 4η 5η 6η 2. Ο δάσκαλος στην τάξη της Ειρήνης έδωσε στα παιδιά ένα τεστ µε απλές αριθµητικές πράξεις δεκαδικών αριθµών: 10 στην πρόσθεση, 10 στην αφαίρεση, 10 στον πολλαπλασιασµό και 10 στη διαίρεση. Η Ειρήνη κατέγραψε σε έναν πίνακα τις επιτυχίες της κατά αριθµητική πράξη. Να συµπληρώσετε τον πίνακα. Αριθµητικές πράξεις Επιτυχίες Επιτυχίες σε κλάσµα Επιτυχίες σε ποσοστό Πρόσθεση 10 10/10 100% Αφαίρεση 8 Πολλαπλασιασµός 9 ιαίρεση 7 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 14

Αναπαραστάσεις στη Στατιστική της ΣΤ ηµοτικού 3. Τρία παιδιά παρουσίασαν µε πίνακα και γραφική παράσταση τη θερµοκρασία των ηµερών µιας εβδοµάδας Ηµέρα ευτέρα Θερµοκρασία 5 ο C Να βρείτε το µέσο όρο της θερµοκρασίας, να τον σηµειώσετε στη γραφική παράσταση. Ύστερα να πείτε Τρίτη 11 ο C ποιες ηµέρες η θερµοκρασία ήταν πάνω ή κάτω από το Τετάρτη 6 ο C µέσο όρο. Πέµπτη 11 ο C Παρασκευή 14 ο C Σάββατο 9 ο C Κυριακή 7 ο C Πάνω από το µέσο όρο. Κάτω από το µέσο όρο 4. Ο ηµήτρης αναρωτιέται: Τα χέρια των αγοριών ή των κοριτσιών είναι µακρύτερα στην τάξη τους Τα παιδιά, για να διαπιστώσουν τι συµβαίνει, µέτρησαν το µήκος των χεριών 16 παιδιών: Α. Να κάνετε στο τετραγωνισµένο χαρτί µια γραφική παράσταση µε το µήκος των χεριών των 16 παιδιών. Β. Ύστερα να βρείτε το µέσο όρο, να τον σηµειώσετε στη γραφική παράσταση (µε µια ευθεία) και να χρωµατίσετε µε διαφορετικό χρώµα τα σηµεία που είναι πάνω και κάτω από αυτόν. Γ. Κατόπιν να ονοµάσετε τα παιδιά που είναι πάνω και κάτω από το µέσο όρο και να καταλήξετε σε ένα συµπέρασµα. -Φώτης 50 εκ - ήµητρα 56 εκ -Μαρία 63 εκ -Φωφώ 67 εκ -Σπύρος 52 εκ -Παύλος 66 εκ -Νίκη 57 εκ -Στέφανος 61 εκ -Βούλα 64 εκ -Γεωργία 54 εκ -Αθηνά 64 εκ -Περικλής 60 εκ -Νίκος 62 εκ -Πυθαγόρας 59 εκ -Βάσω 61 εκ -Ευκλείδης 63 εκ Πάνω από το µέσο όρο Κάτω από το µέσο όρο Συµπέρασµα: 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 15

Α. Γαγάτσης κ.ά. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 16