ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Στάσιμο κύμα ονομάζεται το αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων της ίδιας συχνότητας και του ίδιου πλάτους που διαδίδονται στο ίδιο μέσο με αντίθετες κατευθύνσεις. Συνήθως προκύπτουν από ανάκλαση ενός κύματος. t y1 = A ηµ ( π( ) Τ λ α β α+ β ( ) ( ) t ηµα+ ηµβ= συν ηµ y A = ηµ ( π( + ) Τ λ t π t y= y1+ y= A συν( π ) ηµ ( π ) v= v1+ v= A ( ) συν( π ) συν( π ) λ T Τ λ T π t α= α1+ α= A ( ) συν( π ) ηµ ( π ) Π λατος: Α = Aσυν ( π ) Α Τ λ T λ Οι παραπάνω εξισώσεις αφορούν την περίπτωση που στη θέση =0 υπάρχει κοιλία που τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται σε απομάκρυνση y=0 με θετική ταχύτητα. Το πλάτος της ταλάντωσης Α δεν είναι ίδιο για όλα τα σημεία αλλά εξαρτάται από τη θέση του. Σε κάθε περίπτωση Α Α 0 Κοιλίες του στάσιμου κύματος: Α = Α. Βρίσκονται στις θέσεις =κ (λ/), με κ=0, ±1, ±, ±, ±,. Δεσμοί του στάσιμου κύματος: Α =0. Βρίσκονται στις θέσεις =κ (λ/)+λ/, με κ=0, ±1, ±, ±,. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι ίση με το μισό του μήκους κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα. Εφόσον στο στάσιμο κύμα υπάρχουν σημεία που παραμένουν πάντα ακίνητα, δε μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο. Η ενέργεια που είχαν τα αρχικά κύματα, η συμβολή των οποίων έδωσε το στάσιμο κύμα, εγκλωβίζεται ανάμεσα στους δεσμούς. y A αν εκείνη τη στιγμή όλα τα σημεία βρίσκονται σε ακραίες θέσεις ή έχουν μηδενική ταχύτητα. λ/ λ/ λ/ L Για την επίλυση προβλημάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί στιγμιότυπο του στάσιμου. Χορδή πακτωμένη σε ένα άκρο της έχει αναγκαστικά δεσμό στο άκρο της αυτό. Σε χορδή με πακτωμένα και τα δυο άκρα στην οποία δημιουργείται στάσιμο κύμα, αναγκαστικά πρέπει να ισχύει L= κ (λ/) με L το μήκος της χορδής. Αυτό σημαίνει πως στην χορδή αυτή δεν μπορεί να δημιουργηθεί στάσιμο με οποιοδήποτε μήκος κύματος. Αν έχουμε χορδή μήκους L, με δεσμό στο ένα άκρο και κοιλία στο άλλο άκρο μπορούμε να πούμε χρησιμοποιώντας στιγμιότυπο ότι πρέπει L= κ (λ/)+λ/. Δυο σημεία στις θέσεις 1 και που ταλαντώνονται μπορεί να έχουν διαφορά φάσης 0 ή π. Για να βρούμε την διαφορά φάσης μπορούμε να κάνουμε τα εξής: Αν ανάμεσα στα δυο αυτά σημεία υπάρχει άρτιος αριθμός δεσμών τότε η διαφορά φάσης είναι ίση με 0. Αν ανάμεσα στα δυο αυτά σημεία υπάρχει περιττός αριθμός δεσμών τότε η διαφορά φάσης είναι ίση με π. Διαφορετικά βρίσκουμε το πρόσημο του πηλίκου y 1 /y για την ίδια χρονική στιγμή. Έτσι αν το πηλίκο y 1 /y =συν(π 1 /λ)/συν(π /λ) είναι θετικό τότε η διαφορά φάσης για τα σημεία 1 και είναι 0, ενώ αν το πηλίκο y 1 /y είναι αρνητικό τότε η διαφορά φάσης για τα σημεία 1 και είναι π. 1
Για να βρούμε την μέγιστη και ελάχιστη απόσταση σε εγκάρσια κύματα μεταξύ δυο στοιχειωδών μαζών με θέσεις ισορροπίας 1 και κατά την διάρκεια της ταλάντωσης, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στιγμιότυπο του στάσιμου. Η ελάχιστη απόσταση είναι d min = 1 -, όταν οι μάζες είναι στη θέση ισορροπίας. Για την μέγιστη απόσταση πρέπει να βρούμε την διαφορά φάσης Δφ 1- μεταξύ των 1 και, να βρούμε τα πλάτη Α 1, Α στα σημεία 1 και και να χρησιμοποιήσουμε πυθαγόρειο θεώρημα. Ανάλογα με την περίπτωση: dma=(( 1 - ) + (Α 1 ±Α ) 1/ ) με - όταν Δφ1-=0 και με + όταν Δφ 1-=π y A (αν εκείνη τη στιγμή όλα τα σημεία βρίσκονται σε ακραίες θέσεις ή έχουν μηδενική λ/ λ/ λ/ Δφ 1- =0 y d ma 1 - A (αν εκείνη τη στιγμή όλα τα σημεία βρίσκονται σε ακραίες θέσεις ή έχουν μηδενική ταχύτητα.) 1 - Α 1 - Α λ/ λ/ d ma Δφ 1- =π Α 1 + Α Για να βρούμε την μέγιστη και ελάχιστη απόσταση σε διαμήκη κύματα μεταξύ δυο στοιχειωδών μαζών με θέσεις ισορροπίας 1 και κατά την διάρκεια της ταλάντωσης, πρέπει να βρούμε την διαφορά φάσης Δφ 1- μεταξύ των 1 και και να βρούμε τα πλάτη στα σημεία 1 και. Οι άξονες και y έχουν την ίδια διεύθυνση και άρα η θέση της στοιχειώδους μάζας σε χρόνο t είναι = + y με ακραίες θέσεις τις = ± A για Δφ1-=0 d min και d ma είναι το μικρότερο και μεγαλύτερο αντίστοιχα από τα d 1 και d με d1= ( 1 +A 1 ) - ( +A ) = 1 - +A 1 -A και d = ( 1 -A 1 ) - ( -A ) = 1 - +A -A 1 για Δφ1-=π d min = 1 - - (Α 1 +Α ) 0 και d ma = 1 - + (Α 1 +Α ) ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΤΡΕΧΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΤΡΕΧΩΝ ΚΥΜΑ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ Όλα τα υλικά σημεία του μέσου ταλαντώνονται Το πλάτος εξαρτάται από τη θέση του σημείου και με το ίδιο πλάτος κυμαίνεται από 0 (δεσμός) μέχρι Α (κοιλία) Έχουμε μεταφορά ενέργειας Δεν έχουμε μεταφορά ενέργειας Έχει ορισμένη διεύθυνση διάδοσης Δεν έχει υπάρχει διεύθυνση διάδοσης Όλα τα υλικά σημεία του μέσου κάνουν Κάποια σημεία του μέσου δεν εκτελούν ταλάντωση ταλάντωση (δεσμοί) Τα υλικά σημεία έχουν διαφορετικές φάσεις την Τα υλικά σημεία μεταξύ δυο διαδοχικών δεσμών ίδια χρονική στιγμή έχουν την ίδια φάση Τα υλικά σημεία περνούν από τη θέση ισορροπίας Τα υλικά σημεία περνούν ταυτόχρονα από τη θέση σε διαφορετικές χρονικές στιγμές ισορροπίας
ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 1 ο ΘΕΜΑ Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το μήκος κύματος δύο κυμάτων που συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα είναι λ. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου κύματος θα είναι α. λ. β. λ. γ. λ. δ. λ. Ημερ. 00. Στάσιμο κύμα δημιουργείται σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Τότε για τα διάφορα σημεία του ελαστικού μέσου ισχύει ότι α. έχουν το ίδιο πλάτος ταλάντωσης β. έχουν διαφορετική συχνότητα ταλάντωσης γ. το πλάτος ταλάντωσής τους εξαρτάται από τη θέση τους δ. γίνεται μεταφορά ενέργειας από το ένα σημείο στο άλλο. Ομογ. 00. Το πλάτος της ταλάντωσης κάθε σημείου ελαστικού μέσου στο οποίο σχηματίζεται στάσιμο κύμα α. είναι το ίδιο για όλα τα σημεία του μέσου. β. εξαρτάται από τη θέση του σημείου. γ. εξαρτάται από τη θέση και τη χρονική στιγμή. δ. εξαρτάται από τη χρονική στιγμή. Επ. Ημερ. 00. Σ ένα στάσιμο κύμα όλα τα μόρια του ελαστικού μέσου στο οποίο δημιουργείται α. έχουν ίδιες κατά μέτρο μέγιστες ταχύτητες. β. έχουν ίσα πλάτη ταλάντωσης. γ. διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας. δ. έχουν την ίδια φάση. Ημερ. 006 5. Σε στάσιμο κύμα δύο σημεία του ελαστικού μέσου βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών. Τότε τα σημεία αυτά έχουν α. διαφορά φάσης π. β. την ίδια φάση. γ. διαφορά φάσης που εξαρτάται από την απόστασή τους. δ. διαφορά φάσης π/. Ημερ. 009 6. Στη χορδή μιας κιθάρας, της οποίας τα άκρα είναι σταθερά στερεωμένα, δημιουργείται στάσιμο κύμα. Το μήκος της χορδής είναι ίσο με L. Τέσσερα () συνολικά σημεία (μαζί με τα άκρα) παραμένουν συνεχώς ακίνητα. Αν λ είναι το μήκος κύματος των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα, τότε α. L = λ. β. L = λ. γ. λ L =.. δ. λ L =. Επαν. Ημερ. 009 7. Μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών στάσιμου κύματος τα σημεία του ελαστικού μέσου α. έχουν το ίδιο πλάτος ταλάντωσης. β. έχουν την ίδια φάση. γ. έχουν την ίδια ταχύτητα ταλάντωσης. δ. είναι ακίνητα. Ημερ. 010 8. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Μερικοί διαδοχικοί δεσμοί ( 1,, ) και μερικές διαδοχικές κοιλίες (Κ1, Κ, Κ) του στάσιμου κύματος φαίνονται στο σχήμα. Αν λ το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο κύμα, τότε η απόσταση( 1 Κ α. λ β. λ λ γ. δ. λ. Επαν. Ημερ. 01 ) είναι 9. Στάσιμο κύμα δημιουργείται σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Για όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου που ταλαντώνονται ισχύει ότι α. έχουν την ίδια μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης. β. έχουν την ίδια περίοδο. γ. το πλάτος ταλάντωσής τους δεν εξαρτάται από την θέση τους. δ. έχουν την ίδια φάση. Ομογ. 01
Β. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη λέξη Λάθος για τη λανθασμένη. 10. Με τα στάσιμα κύματα μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου σε άλλο σημείο του ιδίου μέσου. 11. Σε στάσιμο κύμα τα σημεία του μέσου που ταλαντώνονται, διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους. 1. Σε στάσιμο κύμα, μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, όλα τα σημεία έχουν την ίδια φάση. 1. Σε ένα στάσιμο κύμα τα σημεία με μηδενικό πλάτος ταλάντωσης ονομάζονται δεσμοί του στάσιμου κύματος. 1. Στα στάσιμα κύματα, τα σημεία που παρουσιάζουν μέγιστο πλάτος ταλάντωσης ονομάζονται κοιλίες. 15. Στα άκρα της χορδής μιας κιθάρας δημιουργούνται πάντα κοιλίες στάσιμου κύματος. 16. Όταν σε μια ελαστική χορδή δημιουργείται στάσιμο κύμα, τότε όλα τα σημεία της χορδής διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους. 17. Σε ένα στάσιμο κύμα, τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έχουν φάσεις που διαφέρουν κατά π. 18. Στα στάσιμα κύματα μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο. ο ΘΕΜΑ 19. Στη χορδή μιας κιθάρας δημιουργείται στάσιμο κύμα συχνότητας f1. To στάσιμο κύμα έχει τέσσερις δεσμούς, δύο στα άκρα της χορδής και δύο μεταξύ αυτών. Στην ίδια χορδή, με άλλη διέγερση, δημιουργείται άλλο στάσιμο κύμα συχνότητας f, που έχει εννέα συνολικά δεσμούς, δύο στα άκρα της χορδής και 7 μεταξύ αυτών. Η συχνότητα f είναι ίση με: 8 5 α. f1. β. f 1. γ. f 1. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Επ. Ημ. 005 π. 0. Ένα στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση y = 10συν.ημπt,όπου τα, y είναι σε cm και το t σε s. Το μήκος κύματος των δύο κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα είναι: α. cm. β. cm. γ. 8 cm. Ομογ. 008 1. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο, κατά μήκος του ημιάξονα Ο, δημιουργείται στάσιμο κύμα με κοιλία στη θέση = 0. ύο σημεία Κ και Λ του ελαστικού μέσου βρίσκονται αριστερά και δεξιά του λ λ πρώτου δεσμού, μετά τη θέση = 0, σε αποστάσεις και από αυτόν αντίστοιχα, όπου λ το 6 1 μήκος κύματος των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα. Ο λόγος των μεγίστων ταχυτήτων υ υ Κ Λ των σημείων αυτών είναι α.. β. 1. γ.. Ημερ. 01. Το παρακάτω σχήμα δίνει το στιγμιότυπο στάσιμου κύματος, με περίοδο Τ και μήκος κύματος λ, τη χρονική στιγμή t = T. Το σημείο 0 είναι κοιλία που για t=0s 8 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα. Το
λ πλάτος της ταλάντωσης σημείου Β με B = είναι: α. 0,05 m. β. 0,1 m. γ. 0, 1 m. 8 Επαν. Ημερ. 01. Στη χορδή ενός μουσικού οργάνου έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα συχνότητας f 1. Το στάσιμο κύμα έχει συνολικά πέντε (5) δεσμούς, δύο () στα άκρα της χορδής και τρεις () μεταξύ αυτών. Στην ίδια χορδή με άλλη διέγερση δημιουργείται άλλο στάσιμο κύμα συχνότητας f = f 1. O συνολικός αριθμός των δεσμών που έχει τώρα το στάσιμο κύμα είναι: α. 7. β. 9. γ. 11. Ομογ. 01. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο (1) δημιουργείται στάσιμο κύμα έτσι ώστε το ένα άκρο του μέσου να είναι δεσμός και το άλλο άκρο να είναι κοιλία. Μεταξύ των δύο άκρων υπάρχουν άλλοι 5 δεσμοί. Σε ένα δεύτερο ελαστικό μέσο () από το ίδιο υλικό αλλά με διπλάσιο μήκος από το πρώτο, δημιουργείται άλλο στάσιμο κύμα, έτσι ώστε και τα δύο άκρα του δεύτερου μέσου να είναι δεσμοί. Μεταξύ των δύο άκρων του δεύτερου μέσου υπάρχουν άλλοι οκτώ δεσμοί. Ο λόγος των συχνοτήτων ταλάντωσης των δύο μέσων είναι: α. f 1 /f =11/9 β. f 1 /f =/. γ. f 1 /f =9/11. Επαν. Ημερ. 015 5. Ένα στάσιμο κύμα που δημιουργείται σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο περιγράφεται από την εξίσωση: y=aσυν(π/λ)ημ(πt/t). Το πλάτος ταλάντωσης Α ενός σημείου Μ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται δεξιά του τρίτου δεσμού από το σημείο =0 και σε απόσταση από λ/1 από αυτόν είναι: α. Α =Α β. Α =Α/ γ. Α =Α Ημερ. 015 ο ΘΕΜΑ 6. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους 0,08m και μήκους κύματος m διαδίδεται κατά τη θετική φορά σε οριζόντια ελαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα. Θεωρούμε ότι το σημείο της χορδής στη θέση = 0 τη χρονική στιγμή t = 0 έχει μηδενική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του και θετική ταχύτητα. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι 100m/s. α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα με την οποία ταλαντώνονται τα σημεία της χορδής. β. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος στο S.I. γ. Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης στοιχειώδους τμήματος της χορδής μάζας 0,00 kg. (Να θεωρήσετε το στοιχειώδες τμήμα της χορδής ως υλικό σημείο). δ. Έστω ότι στην παραπάνω χορδή διαδίδεται ταυτόχρονα άλλο ένα κύμα πανομοιότυπο με το προηγούμενο, αλλά αντίθετης φοράς, και δημιουργείται στάσιμο κύμα με κοιλία στη θέση = 0. Να υπολογίσετε στο θετικό ημιάξονα τη θέση του 11 ου δεσμού του στάσιμου κύματος από τη θέση = 0. Δίνεται: π =10. Επαν. Ημερ. 00 7. Η μία άκρη ενός τεντωμένου σχοινιού είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο και η ελεύθερη άκρη εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, οπότε σχηματίζεται στάσιμο κύμα με εξίσωση y=0, συν(10π)ημ(0πt) (SI). Α. Να υπολογίσετε το πλάτος και το μήκος κύματος για το κύμα, από το οποίο προκύπτει το στάσιμο. Β. Να υπολογίσετε σε πόση απόσταση από την ελεύθερη άκρη του σχοινιού σχηματίζεται ο τρίτος δεσμός του στάσιμου κύματος. Ομογ. 00 8. Ένα τεντωμένο οριζόντιο σχοινί ΟΑ µήκους L εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα. Το άκρο του Α είναι στερεωµένο ακλόνητα στη θέση = L, ενώ το άκρο Ο που βρίσκεται στη θέση =0 είναι ελεύθερο, έτσι ώστε µε κατάλληλη διαδικασία να δηµιουργείται στάσιµο κύµα µε 5 συνολικά κοιλίες. 5
Στη θέση =0 εµφανίζεται κοιλία και το σηµείο του µέσου στη θέση αυτή εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγµή t=0 το σηµείο =0 βρίσκεται στη θέση µηδενικής αποµάκρυνσης κινούµενο κατά τη θετική φορά. Η απόσταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωση αυτού του σηµείου του µέσου είναι 0,1 m. Το συγκεκριµένο σηµείο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του 10 φορές κάθε δευτερόλεπτο και απέχει κατά τον άξονα απόσταση 0,1 m από τον πλησιέστερο δεσµό. α. Να υπολογίσετε την περίοδο του κύµατος. β. Να υπολογίσετε το µήκος L. γ. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιµου κύµατος. δ. Να υπολογίσετε το µέτρο της ταχύτητας της ταλάντωσης του σηµείου του µέσου =0 κατά τη χρονική στιγµή που η αποµάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας έχει τιµή y = +0,0 m. ίνεται π =,1. Ημερ. 00 π 9. Σε μια χορδή δημιουργείται στάσιμο κύμα, η εξίσωση του οποίου είναι y = 10συν. ημ0πt,όπου, y δίνονται σε cm και t σε s. Να βρείτε: α. το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης, τη συχνότητα και το μήκος κύματος. β. τις εξισώσεις των δύο κυμάτων που παράγουν το στάσιμο κύμα. γ. την ταχύτητα που έχει τη χρονική στιγμή t=0,1 s ένα σημείο της χορδής το οποίο απέχει cm από το σημείο =0. δ. σε ποιες θέσεις υπάρχουν κοιλίες μεταξύ των σημείων = cm και =9 cm. Α B Δίνονται: π=,1 και π συν = -. Ημερ. 007 0. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο που εκτείνεται κατά μήκος του άξονα έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση: y = 0,1συν(π) ημ(10πt) (SI). Στη θέση = 0 εμφανίζεται κοιλία, και το σημείο του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση αυτή τη χρονική στιγμή t = 0 έχει μηδενική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του και κινείται κατά τη θετική φορά. α. Να υπολογιστεί η συχνότητα f και η ταχύτητα υ των κυμάτων από τα οποία προέκυψε το στάσιμο κύμα. β. Να υπολογιστεί τη χρονική στιγμή t 1 =1/0 s η απομάκρυνση ενός σημείου Κ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση K =1/ m. γ. Να προσδιοριστεί ο αριθμός των κοιλιών που υπάρχουν μεταξύ των σημείων Μ και Ν του ελαστικού μέσου που βρίσκονται στις θέσεις = 10,5m και = 1,75m αντίστοιχα. Μ Ν Δίνονται: ημ π π =συν =. Ομογ. 009 6