Παραδείγματα Ασκήσεις για το μάθημα Ηλεκτρικές Μηχανές

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ / Σ.Τ.ΕΦ. Τμήμα: ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ Παραδείγματα Ασκήσεις για το μάθημα Ηλεκτρικές Μηχανές ΑΣΚΗΣΗ 1 Τριφασικός ασύγχρονος κινητήρας έχει στάτη τυλιγμένο σε αστέρα και p = 1. Σε ονομαστική λειτουργία η τάση τροφοδοσίας είναι 400V και το ρεύμα τροφοδοσίας 10Α. Για το μονοφασικό ισοδύναμο του κινητήρα είναι γνωστά τα ακόλουθα: R s = 1Ω, X s = 7Ω, R R =2Ω, Χ R =10Ω, R Fe =1.5kΩ, Χ m =4.0kΩ. Για την ονομαστική λειτουργία να υπολογιστούν: Στροφές του κινητήρα, συνολικές απώλειες χαλκού, απώλειες σιδήρου, ηλεκτρομαγνητική ισχύς (ισχύς διακένου), συντελεστής ισχύος, ηλεκτρική ισχύς εισόδου, ισχύς εξόδου, ροπή, απόδοση. (β) Συνδέουμε στον κινητήρα ένα φορτίο, του οποίου οι στροφές διατηρούνται σταθερές και ίσες με τις ονομαστικές του κινητήρα. Αν η τάση τροφοδοσίας μειωθεί στο μισό της ονομαστικής να υπολογιστούν η ροπή και η ισχύς στον άξονα του κινητήρα. Είναι προφανές ότι για αυτό το πρόβλημα πρέπει να σχεδιάσουμε το μονοφασικό ισοδύναμο κύκλωμα και να το επιλύσουμε. Από την επίλυση αυτή θα προκύψουν όλα τα ζητούμενα. ΤΟ ΠΡΩΤΟ πράγμα που θα αναζητήσουμε (και το οποίο μας λείπει για να είναι πλήρως γνωστό το ισοδύναμο κύκλωμα) είναι η ολίσθηση s. Κατά τα γνωστά, ομιλώντας για ονομαστική λειτουργία, θα χρησιμοποιήσουμε το απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα, ενώ θα λάβουμε υπόψη τον κλάδο με τα στοιχεία R Fe και Χ m μόνο για τον υπολογισμό των απωλειών σιδήρου, δηλαδή η X m δε θα μας χρειαστεί πουθενά. Σημειώνεται πως η τιμή της Χ m μας είναι χρήσιμη μόνο αν αναζητούμε το εν κενώ ρεύμα της μηχανής. Σχεδιάζουμε το μονοφασικό ισοδύναμο κύκλωμα της μηχανής, με τάση εισόδου (ΠΡΟΣΟΧΗ!!!) 230V. Z ολ = (1 + 2/s) + j(7 + 10) => Z ολ = sqrt[(1 + 2/s) 2 + 17 2 ] Όμως επίσης Z ολ = V s /I s = 230/10 = 23 Άρα: sqrt[(1 + 2/s) 2 + 17 2 ] = 23 =>... => s = 0.138 ΠΡΟΣΟΧΗ: Στον υπολογισμό της ολίσθησης και φυσικά όπου αλλού μετά θα χρησιμοποιήσετε την τιμή της όπως και ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΣΑΣ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ, να κρατάτε ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΤΡΙΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ... ΤΕΣΣΕΡΑ ΘΑ ΕΛΕΓΑ ΓΙΑ ΣΙΓΟΥΡΙΑ! Λιγότερα σημαντικά ψηφία ενδέχεται να οδηγήσουν τους υπολογισμούς σας σε μεγάλα σφάλματα και να χάσετε πολύτιμες μονάδες! Προσέξτε!... Αναφέρομαι σε σημαντικά και όχι σε δεκαδικά ψηφία! Από την άλλη, το να κρατάτε στις πράξεις σας μια ατέλειωτη ουρά από ψηφία όσα δείχνει το κομπιουτεράκι δηλώνει ότι μάλλον... δεν κάνετε για μηχανικοί και προδιαθέτει αρνητικά τον βαθμολογητή. Οι παραπάνω υποδείξεις έχουν γενική ισχύ και δεν ισχύουν μόνον εδώ! p = 1 n s = 3000rpm s = (n s - n)/ n s => 0.138 = (3000 - n)/3000 =>. => n = 2586rpm

ΠΡΟΣΟΧΗ: ΟΛΑ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ πρέπει να συνοδεύονται από ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ. Σε αντίθετη περίπτωση χάνετε πολύτιμες μονάδες στη βαθμολόγηση. Είναι εξίσου λάθος να βρείτε π.χ. τις στροφές του κινητήρα σε km/h, όπως και το να μη βάλετε καθόλου μονάδες. Αυτός που δε δηλώνει τη μονάδα μέτρησης είναι συνήθως αυτός που δεν ξέρει καν ποια μπορεί να είναι αυτή... Στις ενδιάμεσες πράξεις μπορείτε να τις παραλείπετε (όπως κάνω κι εγώ παντού στα δεδομένα παραδείγματα), αρκεί βέβαια να ξέρετε κατά τ άλλα τι κάνετε. Πολύ προσοχή στα πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια και στις δυνάμεις του δέκα. Μια καλή ιδέα σε αρκετές περιπτώσεις (όχι πάντα) είναι, πριν ξεκινήσετε υπολογισμούς, να τα έχετε μετατρέψει όλα στο SI (αν υπάρχει κάτι που δίνεται σε άλλο σύστημα). P Cu = I 2 s (R s + R R ) = 10 2 (1 + 2) = 300W P Fe = V 2 s /R Fe = 230 2 /1500 = 35W Συνολικά: P Cu = 900W Συνολικά: P Fe = 105W Θυμηθείτε ότι στο απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα είναι Ι s = I R = Ι Ρ η/μ = I 2 s (2/s) = 10 2 (2/0.138) = 1450W P Cu, R = I 2 s R R = 10 2 2 = 200W P out = 4350 600 = 3750W Συνολικά: P η/μ = 4350W Συνολικά: P Cu, R = 600W Άρα: T = P/Ω = (3750 60) / (2π2586) = 13.85 Nt m cosφ = R/Z = [1 + (2/0.138)]/23 = 0.674 P in = P out + P Cu + P Fe = 3750 + 900 + 105 = 4755W a = 3750 / 4755 = 0.79 = 79% Προσέξτε εδώ ότι αν υπολογίζαμε την ισχύ εισόδου ως P in = 3 400 10 0.674 = 4650W θα είχαμε κάνει λάθος κατά 105W, που είναι οι απώλειες σιδήρου κι αυτό διότι όταν υπολογίσαμε το cosφ δε λάβαμε υπόψη τον κλάδο με τα R Fe και X m. Αυτό το λάθος βέβαια, στη συγκεκριμένη περίπτωση, (που οι απώλειες σιδήρου είναι πολύ μικρότερες από τις απώλειες χαλκού) είναι μικρό... «Ξεχνώντας» τις P Fe η απόδοση θα προέκυπτε 0.80 αντί 0.79. Σε μια άλλη μηχανή όμως, που οι απώλειες χαλκού και σιδήρου είναι συγκρίσιμες, ΔΕΝ μπορούμε απλά να τις «ξεχάσουμε»!!! (β) Τ 1 / Τ 2 = (V 1 / V 2 ) 2 = > T 2 = (V 2 / V 1 ) 2 T 1 = (200/400) 2 13.85 = 3.46 Νm P out = 3.46 (2π2586 / 60) = 937W

ΑΣΚΗΣΗ 2 Τριφασικός ασύγχρονος κινητήρας βραχυκυκλωμένου κλωβού τροφοδοτείται με τάση 400V, ρεύμα 0.71Α και η απόδοσή του είναι 90%. Ο άξονάς του περιστρέφεται με 1470rpm και συνδέεται σε ιδανικό μειωτήρα (χωρίς απώλειες) 10:1, ενώ στην άλλη πλευρά του μειωτήρα συνδέεται ιδανικό βαρούλκο με ακτίνα 50cm το οποίο ανυψώνει φορτίο μάζας 5kg. Να υπολογιστεί ο συντελεστής ισχύος στη γραμμή τροφοδοσίας. (β) Θέλοντας να επιτύχετε πλήρη διόρθωση του συντελεστή ισχύος (αντιστάθμιση της αέργου ισχύος), επιλέξτε τον πλέον κατάλληλο από τους τρεις ακόλουθους πυκνωτές: 230VAR, 255VAR, 280VAR. (γ) Αν η τάση τροφοδοσίας μειωθεί στα 200V, να υπολογιστεί η ταχύτητα ανύψωσης του φορτίου. n βαρ = 147rpm T φ = BR = mgr = 5 9.81 0.5 = 24.5 Nm P φ = Ρ αξ = Τ φ Ω βαρ = 24.5 (2π147 / 60) = 377W P in = 377 / 0.9 = 419W cosφ = P in / 3VI = 419 / 3 400 0.71 = 0.85 (β) sinφ = sqrt(1 cos 2 φ) = 0.527 Q = 3VIsinφ = 3 400 0.71 0.527 = 259VAR Επιλέγουμε τον πυκνωτή 255VAR (γ) Σχεδιάζουμε στο επίπεδο Τ-n τις εξής τρεις καμπύλες (είναι ευθείες γραμμές): Τ βαρ n βαρ (υπενθυμίζεται ότι n βαρ = n κιν /10), με τάση τροφοδοσίας 400V Τ βαρ n βαρ με τάση τροφοδοσίας 200V Τ φ = σταθ. = 24.5 Nm και εκμεταλλευόμαστε τη γνώση πως για τον κινητήρα Τ n=σταθ. ~ V 2. Προσέξτε ότι οι σύγχρονες στροφές στο βαρούλκο είναι 150rpm. Οι λεπτομέρειες είναι απλή σύγκριση ομοίων τριγώνων: Τ(n=147rpm, V = 200V) = (1/4) 24.5 = 6.125Nm 6.125 / 24.5 = (150-147) / (150 - n βαρ ) =>... => n βαρ = 138rpm v = ΩR = (2π138/60) 0.5 = 7.22 m/s

ΑΣΚΗΣΗ 3 Μονοφασικός Μ/Σ 380/230V, I 2N = 20A. Χωρίς φορτίο και με ονομαστική τάση στο πρωτεύον έχουμε απώλειες 50W και ρεύμα 200mA. Στη συνέχεια, βραχυκυκλώνοντας το δευτερεύον, πετυχαίνουμε ονομαστικό ρεύμα στο πρωτεύον με εφαρμογή τάσης 23V και οι απώλειες τότε είναι 130W. Να σχεδιαστεί το απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα του Μ/Σ. (β) Να υπολογιστεί το ρεύμα βραχυκύκλωσης στην πλευρά της χαμηλής τάσης, όταν V 1 = V 1N. (γ) Συνδέουμε στην έξοδο του Μ/Σ αντίσταση φορτίου R φ = 11Ω και εφαρμόζουμε στην είσοδο ονομαστική τάση. Να βρεθούν η τάση στο φορτίο και η απόδοση του Μ/Σ. (δ) Συνδέουμε στην έξοδο του Μ/Σ ωμικό φορτίο R φ = 10.6Ω. Να υπολογιστεί η απαιτούμενη τάση στην είσοδο, ώστε η τάση φορτίου να είναι η ονομαστική του δευτερεύοντος του Μ/Σ. (ε) Με ονομαστική τάση στο πρωτεύον, συνδέουμε στο δευτερεύον του Μ/Σ ως φορτίο, αντίσταση 7Ω σε σειρά με επαγωγή 32mH. Να βρεθεί σε αυτή την περίπτωση η τάση του φορτίου και η απόδοση του Μ/Σ. (στ)για την περίπτωση του ερωτήματος (ε) να υπολογιστεί η τιμή (σε F) του πυκνωτή που απαιτείται να συνδεθεί στο φορτίο για να γίνει πλήρης διόρθωση του συντελεστή ισχύος. Πώς συνδέεται αυτός ο πυκνωτής, σε σειρά ή παράλληλα με το φορτίο; Πόσες θα είναι οι απώλειες χαλκού του Μ/Σ μετά τη σύνδεση του πυκνωτή; (Θεωρήστε πως με τη σύνδεση του πυκνωτή η τάση στο φορτίο δε μεταβάλλεται σημαντικά). R Fe = V 1N 2 / P 1o = 380 2 /50 = 2.89kΩ Ι Fe = V 1N / R Fe = 380 / 2.89 10 3 = 131mA I m = sqrt(i 1o 2 I Fe 2 ) = 151mA X m = V 1N / I m = 380V / 151mA = 2.52kΩ S 1N = S 2N => V 1N I 1N = V 2N I 2N => I 1N = (230 20) / 380 = 12.5A R eq = P 1sc / I 1N 2 = 130 / 12.5 2 = 832mΩ Ζ eq = V 1sc / I 1N = 23 / 12.5 = 1.84Ω Χ eq = sqrt(z eq 2 R eq 2 ) = sqrt(1.84 2 0.832 2 ) = 1.64Ω Έχοντας πλέον υπολογίσει όλα τα στοιχεία του, σχεδιάζουμε το απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα, θέτοντας R 1 = R 2 = R eq /2 και Χ 1 = Χ 2 = X eq /2 (β) Ι 1sc = I 2sc = V 1N / Z eq = 380 / 1.84 = 206.5A Ι 2sc = αi 2sc = (380/230) 206.5 = 341Α (γ) Θα χρησιμοποιήσουμε το απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα. R φ = α 2 R φ = (380/230) 2 11 = 30.0 Ω Z ολ = (30 + 0.83) + j1.64 = 30.83 + j1.64 Z ολ = sqrt(30.83 2 + 1.64 2 ) = 30.87 Ω Ι 1 = Ι 2 = V 1N /Z ολ = 380/30.87 = 12.31 Α V 2 = Ι 2 R φ = 12.31 30 = 369.3V V 2 = V 2 /α = 369.3/1.652 = 223.5V (α = 380/230 = 1.652) P φ = Ι 2 2R φ = 12.31 2 30 = 4546W P Cu = Ι 2 2R eq = 12.31 2 0.832 = 126W

P Fe = V 2 1N /R Fe = 380 2 /2900 = 50W (το ξέραμε άλλωστε κι από την εκφώνηση της άσκησης) η = P out / (P out + P loss ) = 4546 / [4546 + (126 + 50)] = 0.963 = 96.3% (δ) Επιλύουμε και πάλι το απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα, μόνο που τώρα άγνωστος δεν είναι η τάση στο δευτερεύον, αλλά η τάση στο πρωτεύον. R φ = α 2 R φ = (380/230) 2 10.6 = 28.93 Ω V 2 = 380V (από τα δεδομένα του υποερωτήματος... δηλαδή η τάση εξόδου πρέπει να είναι 230V) άρα: Ι 2 = V 2 / R φ = 380 / 28.93 = 13.14A Z ολ = sqrt[(28.93 + 0.83) 2 + 1.64 2 ] = 29.80Ω V 1 = I 1 Z ολ = 13.14 29.80 = 391.6V (ε) Ζ φ = α 2 Ζ φ = (380/230) 2 [7 + j2π50 0.032] = 19.11 + j27.44 = R φ + jx φ Z ολ = (19.11 + 0.83) + j(27.44 + 1.64) = 19.94 + j29.08 Z ολ = sqrt(19.94 2 + 29.08 2 ) = 35.26Ω Ι 1 = Ι 2 = V 1N /Z ολ = 380/35.26 = 10.78Α V 2 = Ι 2 Ζ φ = 10.78 sqrt(19.11 2 + 27.44 2 ) = 10.78 33.44 = 360.5V (Z φ = 33.44Ω) V 2 = V 2 /α = 360.5/1.652 = 218.2V P φ = Ι 2 2R φ = 10.78 2 19.11 = 2221W P Cu = Ι 2 2R eq = 10.78 2 0.832 = 97W P Fe = V 1N 2 /R Fe = 380 2 /2900 = 50W η = P out / (P out + P loss ) = 2221 / [2221 + (97 + 50)] = 0.938 = 93.8% (στ) Ο πυκνωτής ασφαλώς συνδέεται ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ στο R-L φορτίο!!! Πλήρης διόρθωση του συντελεστή ισχύος σημαίνει πλήρης αντιστάθμιση της αέργου ισχύος του φορτίου, δηλαδή η άεργος ισχύς του πυκνωτή θα πρέπει να είναι ίση με την άεργο ισχύ του πηνίου: Q C = Q L <=> V φ 2 ωc = I φ 2 Χ L => V φ 2 ωc = [V φ / sqrt(r φ 2 + Χ φ 2 )] 2 ωl => C = L / (R φ 2 + ω 2 L 2 ) Και αντικαθιστώντας τις τιμές: C = 0.032 / [7 2 + 314 2 0.032 2 ] = 213μF -------------------------------------------------------- Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε (με λίγες παραπάνω πράξεις όμως) αν βρούμε την έκφραση που δίνει την εμπέδηση για τον παράλληλο συνδυασμό φορτίου - αντισταθμιτή και στη συνέχεια απαιτήσουμε το φανταστικό μέρος αυτής να είναι ίσο με μηδέν: (R + jωl) // (1 / jωc) =. = A + jβ, όπου Α = LR/C + (R/ωC) [(1/ωC) - ωl)] Β = (L/C) [(1/ωC) - ωl)] R 2 /ωc Θέτοντας Β = 0 καταλήγουμε στην ίδια έκφραση με παραπάνω. ------------------------------------------------------------------------ Για το φορτίο είναι: φ = tan -1 (ωl / R) = tan -1 (314 0.032/7) = 55.1 o Μετά τη σύνδεση του αντισταθμιτή, από την πηγή τροφοδοσίας του φορτίου (δηλαδή από τον Μ/Σ) έρχεται πλέον μόνο η ενεργός συνιστώσα του ρεύματος, που εδώ είναι:

Ι εν = Ι cosφ = 10.78 cos(55.1 o ) = 6.17 A P Cu = 6.17 2 0.832 = 32W (από 97W που ήταν!)

ΑΣΚΗΣΗ 4 DC κινητήρας ξένης διέγερσης, 2100rpm, 1.2kW, 220V, 6.5A, 0.25A. Βρείτε τα R f, R a, CΦ Ν, Ε an (β) Σχεδιάστε το ισοδύναμο κύκλωμα (γ) Υπολογίστε τη ροπή και την απόδοση σε ονομαστική λειτουργία (δ) Υπό ονομαστική διέγερση και ονομαστικό φορτίο, να βρεθεί η τάση τροφοδοσίας τυμπάνου ώστε η ταχύτητα του κινητήρα να είναι 2300rpm. (ε) Να βρεθεί η ταχύτητα του κινητήρα αν τροφοδοτείται με ονομαστική τάση (σε τύμπανο και διέγερση) και η ροπή του φορτίου δίνεται από την έκφραση Τ φ (n) = 3.3 + 0.9 10-6 n 2 Μελετήστε το υλικό που σας έχω δώσει στα «Παλιά Θέματα» και επαληθεύστε τα παρακάτω αποτελέσματα. Ε aν = 1200 / 6.5 = 184.6V R a = (220 184.6) / 6.5 = 5.45Ω R f = 220 / 0.25 = 880Ω CΦ Ν = 60 184.6 / (2π2100) = 0.8394 Vsec (γ) Τ Ν = 60 1200 / (2π2100) = 5.46 Νm η Ν = 1200 / [220(6.5 + 0.25] = 80.8% (δ) Ε α = (2300/2100) 184.6 = 202.2V V T = 202.2 + 6.5 5.45 = 237.6V --------------------------------------------------------------------- Σημείωση: Εφόσον γνωρίζουμε τα n, CΦ, R a και Τ, η V T μπορεί επίσης να βρεθεί ως η μόνη άγνωστη ποσότητα και από την εξίσωση ροπής - στροφών του κινητήρα (δες εξίσωση στο επόμενο υποερώτημα). --------------------------------------------------------------------- (ε) Ω = Ω ο ΚΤ <=> 2πn/60 = V T /CΦ [R a /(CΦ) 2 ] Τ =>... => Τ = -0.0135n + 33.88 T κιν = Τ φ =>... => 0.9 10-6 n 2 + 0.0135n 30.58 = 0 n = 2000rpm

ΑΣΚΗΣΗ 5 DC κινητήρας ξένης διέγερσης, 2000rpm, 1.8kW, 200V, 10A, 0.35A. Βρείτε τα R f, R a, CΦ Ν, Ε an (β) Σχεδιάστε το ισοδύναμο κύκλωμα (γ) Υπολογίστε τη ροπή και την απόδοση σε ονομαστική λειτουργία (δ) Υπό ονομαστική διέγερση και ονομαστικό φορτίο, να βρεθεί η τάση τροφοδοσίας τυμπάνου ώστε η ταχύτητα του κινητήρα να είναι 2150rpm. (ε) Να βρεθεί η ταχύτητα του κινητήρα αν τροφοδοτείται με ονομαστική τάση (σε τύμπανο και διέγερση) και η ροπή του φορτίου δίνεται από την έκφραση Τ φ (n) = 3 + 0.7 10-6 n 2 Ε aν = 180V, R a = 2Ω, R f = 571Ω, CΦ Ν = 0.86 Vsec (γ) Τ Ν = 8.6 Νm, η Ν = 0.87 (δ) Ε α = 193.5V, V T = 213.5V (ε) Τ κιν = -0.0387n + 86 T κιν = Τ φ =>... => 0.7 10-6 n 2 + 0.0387n 83 = 0 n = 2067rpm

ΑΣΚΗΣΗ 6 DC γεννήτρια ξένης διέγερσης 220V, 10A, 1500rpm, 0.5A, R a = 1.5Ω. Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο κύκλωμα (β) Με ονομαστική διέγερση και ονομαστικές στροφές, να υπολογιστεί η εν κενώ τάση εξόδου. (γ) Με ονομαστική τάση εξόδου, να βρεθούν οι εν κενώ στροφές. (δ) Με ονομαστική διέγερση και ονομαστικές στροφές, να βρεθούν η τάση στο φορτίο και η ροπή στον άξονα, αν το ρεύμα φορτίου είναι το μισό του ονομαστικού της μηχανής. (ε) Με ονομαστική διέγερση και ονομαστικές στροφές, να υπολογιστούν το ρεύμα και η τάση φορτίου, καθώς και η απόδοση της γεννήτριας, αν το φορτίο είναι μια αντίσταση 30Ω. (στ)να υπολογιστεί η αντίσταση που πρέπει να είναι συνδεδεμένη ως φορτίο για να επιτύχουμε ονομαστική λειτουργία. (ζ) Να υπολογιστούν το ρεύμα και η τάση φορτίου αν κατά την ονομαστική λειτουργία με ωμικό φορτίο μειωθεί το ρεύμα διέγερσης κατά 10%. Θεωρήστε ότι οι στροφές παραμένουν σταθερές και ότι η μαγνητική ροή είναι ανάλογη του ρεύματος διέγερσης. R f = 220/0,5 = 440Ω (β) Ε αν = 220 + 10 1.5 = 235V (γ) n = (220/235) 1500 = 1404rpm (δ) V T = 235-5 1.5 = 227.5V CΦ N = 60 235 / (2π1500) = 1.50 Vsec T = 1.50 5 = 7.5 Nm (ε) Ι α = Ε α / R ολ = 235 / (30 + 1.5) = 7.46Α V φ = V T = 7.46 30 = 223.8V η = P out / P in = V T I φ / (Ε α Ι α + V f I f ) = 223.8 7.46 / (235 7.46 + 220 0.5) = 89.6% (στ) R φν = 220/10 = 22Ω (ζ) Εδώ δε χρειάζεται να υπολογίσουμε κάτι στο χαρτί... απλή εφαρμογή του νόμου του Ohm! 10% μείωση του Ι f 10% μείωση του E a 10% μείωση των Ι α και V φ : Ι α 9Α (από 10Α) V φ 198V (από 220V)

ΑΣΚΗΣΗ 7 DC γεννήτρια παράλληλης διέγερσης 220V, 10A, R a = 1.5Ω, R f = 440Ω. Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο κύκλωμα. (β) Για ονομαστική λειτουργία να υπολογιστούν: ωμικό φορτίο, απόδοση γεννήτριας, ροπή στον άξονα. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στις μηχανές παράλληλης διέγερσης το ρεύμα που δίνεται είναι το ρεύμα στην έξοδο της γεννήτριας (ή το ρεύμα τροφοδοσίας, αν πρόκειται για κινητήρα). Αυτό το ρεύμα είναι άθροισμα του ρεύματος τυμπάνου και του ρεύματος διέγερσης. (β) R φν = 220 /10 = 22Ω Ι αν = 10 + 0.5 = 10.5Α E an = 220 + 10.5 1.5 = 235.75V P in = 235.75 10.5 = 2475 W P out = 220 10 = 2200 W η Ν = 2200 / 2475 = 88.9% P in,n = T αξ,ν Ω Ν => T αξ,ν = 60 P in,n / 2πn N = 60 2475 / 2π1500 = 15.76 Νm ------------------------------------------------------------ (Άλλος τρόπος είναι να βρείτε το CΦ Ν = 60Ε αν / 2π1500 = 1.50 Vsec και μετά εύκολα: Τ Ν = CΦ Ν Ι αν = 1.50 10.5 = 15.75 Νm) --------------------------------------------------------- ΑΣΚΗΣΗ 8 Έχουμε τον ίδιο Μ/Σ όπως στα θέματα του Σεπτεμβρίου 2016, με στοιχεία 400/40V, 50Ηz, 4kVA. Αφήνοντας τον Μ/Σ εν κενώ τροφοδοτούμε το πρωτεύον με ονομαστική τάση και τότε η ισχύς απωλειών πάνω στον Μ/Σ είναι 130W και το ρεύμα είναι 0.55Α (το ρεύμα αυτό δε δινόταν τότε στην εξέταση, αλλά δε χρειαζόταν κιόλας!). Στη συνέχεια, βραχυκυκλώνουμε την έξοδο του Μ/Σ και τροφοδοτούμε το πρωτεύον με τάση 35V και τότε το ρεύμα στο πρωτεύον είναι ίσο με το ονομαστικό και η ισχύς απωλειών πάνω στο Μ/Σ είναι 180W. Να υπολογιστούν όλα τα στοιχεία του πλήρους ισοδύναμου κυκλώματος από την πλευρά της χαμηλής τάσης. Πάνω απ όλα όχι πανικός! Υπάρχουν δύο τρόποι να προσεγγίσετε αυτό το πρόβλημα. Ο ένας είναι να βρείτε το πλήρες ισοδύναμο κύκλωμα από την πλευρά της υψηλής τάσης (την πλευρά του «πρωτεύοντος» στην εκφώνηση, την πλευρά δηλαδή από την οποία εμείς κάναμε τις δοκιμές μας, εν κενώ και βραχυκύκλωσης) και κατόπιν να κάνετε αναγωγή στην πλευρά της χαμηλής τάσης. Ο άλλος είναι να λάβετε υπόψη κάποιες σημαντικές παρατηρήσεις και να κάνετε εξ αρχής την ανεύρεση του ισοδύναμου κυκλώματος από την πλευρά της χαμηλής τάσης, παρότι οι δοκιμές έγιναν στην πλευρά της υψηλής τάσης. Όπως θα διαπιστώσετε, ο τρόπος Α είναι απλούστερος. Προσέγγιση Α : Θα βρούμε πρώτα, κατά τα γνωστά, το ισοδύναμο κύκλωμα από την πλευρά της υψηλής τάσης.

Ακολουθώντας τα γνωστά βήματα (κάντε το για εξάσκηση) βρίσκουμε τα εξής: R 1 = R 2 = R eq / 2 = 0.9Ω Χ 1 = Χ 2 = X eq / 2 = 1.5Ω R Fe = 1.23kΩ X m = 0.90kΩ Γνωρίζουμε ότι οι «αληθινές» τιμές των μεγεθών, που εδώ εμφανίζονται ανηγμένα, είναι Χ 2 = Χ 2 /α 2 = 1.5 / 100 = 15mΩ R 2 = R 2 /α 2 = 0.9 / 100 = 9mΩ Πάμε λοιπόν τώρα από την πλευρά της χαμηλής τάσης και κοιτάμε τον Μ/Σ. Τώρα πλευρά (1) είναι αυτή της χαμηλής τάσης και πλευρά (2) αυτή της υψηλής τάσης και ο λόγος μετασχηματισμού είναι α = 1/10 = 0.1, οπότε έχουμε: R 1 = R 2 = 9mΩ Χ 1 = Χ 2 = 15mΩ R Fe = α 2 1.23kΩ = 1.23kΩ / 100 = 12.3Ω X m = α 2 0.9kΩ = 900Ω / 100 = 9Ω Προσέγγιση Β : Πρέπει να θυμόμαστε πως οι απώλειες εν κενώ εξαρτώνται μόνο από την τάση, συνεπώς θα είναι οι ίδιες (130W) είτε εφαρμόζετε στην υψηλή τάση 400V και κρατάτε τη χαμηλή τάση ανοιχτή, είτε εφαρμόζετε στη χαμηλή τάση 40V και κρατάτε την υψηλή τάση ανοιχτή. Επίσης το εν κενώ ρεύμα στην χαμηλή τάση (με εφαρμογή ονοματικής τάσης) θα είναι α (10) φορές μεγαλύτερο απ όσο ήταν στην υψηλή τάση, δηλαδή 5.5Α. (β) Πρέπει να θυμόμαστε πως η σχετική τάση βραχυκύκλωσης είναι φέρον χαρακτηριστικό του Μ/Σ και δεν εξαρτάται από το σε ποια πλευρά εφαρμόζεται η τάση και σε ποια είναι το βραχυκύκλωμα. Εν προκειμένω είναι u k = (35/400) 100% = 8.75% Άρα η τάση βραχυκύκλωσης (τη συμβολίζουμε V k ή V sc ) στην πλευρά της χαμηλής τάσης (η τάση που πρέπει να εφαρμόσουμε για να περάσουν ονομαστικά ρεύματα με βραχυκυκλωμένη την υψηλή τάση) είναι (35/400) 40 = 0.0875 40 = 3.5V και φυσικά οι απώλειες θα είναι οι ίδιες (αφού κι εδώ ονομαστικά ρεύματα κυκλοφορούν) 180W. Τα υπόλοιπα τα ξέρετε πλέον καλά: R Fe = 40 2 / 130 = 12.3Ω Ι 1Ν = 4000 / 40 = 100Α S o = 40 5.5 = 220VA Q o = sqrt(s 2 o P 2 Fe ) = sqrt(220 2-130 2 ) = 177.5VAR X m = 40 2 / 177.5 = 9Ω (ή μπορείτε να το πάτε βρίσκοντας τo ρεύμα I Fe και έχοντας το Ι ο = 5.5Α)

R eq = 180 / 100 2 = 18mΩ R 1 = R 2 = 9mΩ Ζ eq = 3.5 / 100 = 35mΩ Χ eq = sqrt(z eq 2 R eq 2 ) = sqrt(35 2 18 2 ) = 30mΩ Χ 1 = Χ 2 = 15mΩ ΑΣΚΗΣΗ 9 Μια αντλία τραβάει νερό από μια δεξαμενή με ελεύθερη επιφάνεια και το διοχετεύει σε μια μάνικα. Η παροχή του νερού είναι Q, το μανομετρικό ύψος h και το εμβαδόν του στομίου της μάνικας είναι S. Αν η υδραυλική απόδοση στις σωληνώσεις είναι 1 και ο μηχανικός βαθμός απόδοσης της αντλίας είναι επίσης 1, να βρεθεί η ισχύς που αποδίδεται στην αντλία από τον ηλεκτρικό κινητήρα που την περιστρέφει. Πρέπει να θυμάστε την πυκνότητα του καθαρού νερού. Αν δε σας δίνεται κάτι άλλο, θα θεωρείτε αυτή ως γνωστή. Το μόνο που έχετε να κάνετε από κει και πέρα είναι να επιστρατεύσετε τα γνωστά σας για τη δυναμική και την κινητική ενέργεια και να προσέξετε μην μπουρδουκλώσετε τις μονάδες μέτρησης. Η παροχή θα σας δίνεται σε lt/sec, m 3 /min ή κάτι τέτοιο, το h σε m και το S πιθανότατα σε cm 2. Ε κιν = 0.5mv 2 και E δυν = mgh Με δεδομένη την παροχή Q γνωρίζετε πόση μάζα νερού Δm ανά μονάδα χρόνου Δt ανυψώνεται κατά ύψος h και άρα γνωρίζετε την ισχύ μεταφοράς: P μετ = gh(δm/δt) Με δεδομένη τη διατομή του στομίου (ακροφύσιου) της μάνικας (μπορεί αντί αυτής να σας δίνεται έμμεσος τρόπος να τη βρείτε) και την παροχή Q, μπορείτε εύκολα να βρείτε την ταχύτητα εξόδου του νερού: Q = S(Δl/Δt) = S v => v = Q / S και η ισχύς εκτόξευσης του νερού θα είναι P εκτ = 0.5(Δm/Δt)v 2 Και τελικά: P = P μετ + P εκτ (β) Σε μια υδροηλεκτρική μονάδα με μοναδιαίο υδραυλικό βαθμό απόδοσης το μέτωπο ύδατος είναι h [m] o μηχανικός βαθμός απόδοσης του υδροστρόβιλου αντίδρασης είναι n t, ενώ το νερό εισέρχεται στα πτερύγια του υδροστρόβιλου μέσω ανοίγματος διατομής S [m 2 ]. Το νερό εξέρχεται από τον υδροστρόβιλο με ταχύτητα που είναι κατά 60% μειωμένη σε σχέση με την ταχύτητα εισόδου σε αυτόν. Βρείτε την ισχύ που αποδίδεται στον άξονα του υδροστρόβιλου.

Η ισχύς λόγω μεταβολής της δυναμικής ενέργειας είναι P = gh(δm/δt) όπου το (Δm/Δt) θα το βρείτε εύκολα από την παροχή Q. Η ισχύς αυτή γίνεται κινητική ισχύς του νερού στο ακροφύσιο. Με δεδομένο ότι η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, από τα δεδομένα προκύπτει πως μόνο το (1-0.4 2 ) = 0.84 αυτής αποδίδεται τελικά στα πτερύγια του στροβίλου και από αυτήν το ποσοστό n t θα βγει τελικά στον άξονα. ------------------------------------------ Εσείς βέβαια ξέρετε από τα μηχανολογικά σας μαθήματα ότι η ανάλυση της απόδοσης μιας υδροηλεκτρικής μονάδας ή μιας μονάδας άντλησης, χωρίς απλοποιήσεις και προσεγγίσεις, είναι αρκετά πιο περίπλοκη, αλλά για τους δικούς μας σκοπούς εδώ οι παραπάνω υπενθυμίσεις είναι υπεραρκετές.