ΓΙΑΤΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΥΣΚΟΛΕΥΟΝΤΑΙ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ;

Γιατί οι Mαθητές υσκολεύονται στα Κλάσµατα; ΓΙΑΤΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΥΣΚΟΛΕΥΟΝΤΑΙ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ; Αθανάσιος Γαγάτσης, Κύπρος Ιωάννου, Ανδρούλα Σιηµητρά- Κωνσταντίνου, Όλγα Χριστοδουλίδου Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Οι ρητοί αριθµοί αποτελούν θεµελιώδη µαθηµατική έννοια. Κατά συνέπεια ένα µεγάλο µέρος του αναλυτικού προγράµµατος των µαθηµατικών της πρωτοβάθµιας εκπαίδευσης στις περισσότερες χώρες, αφορά τη διδασκαλία των θετικών ρητών αριθµών. Παρά την έµφαση που δίνεται στα αναλυτικά προγράµµατα, οι ρητοί αριθµοί αποτελούν έννοια που δύσκολα κατανοούν οι µαθητές. Αυτό φαίνεται από τις επιδόσεις των µαθητών σε σχετικές ασκήσεις αλλά και από τα αποτελέσµατα πολλών ερευνητικών εργασιών. Ειδικότερα στην εργασία αυτή παρουσιάζονται ορισµένες δυσκολίες των µαθητών για την κατανόηση και µάθηση της έννοιας του κλάσµατος. Με βάση ένα πολυδιάστατο µοντέλο ερµηνείας των δυσκολιών µάθησης που βασίζεται σε δυσκολίες διδακτικής, επιστηµολογικής και αναπαραστατικής φύσης. 1. Εισαγωγή Παρ όλο που στην πρωτοβάθµια εκπαίδευση σηµαντικό µέρος του χρόνου διδασκαλίας αφιερώνεται στη διδασκαλία των κλασµάτων και γενικά των ρητών αριθµών εν τούτοις µε βάση τα αποτελέσµατα αξιολογήσεων τα κλάσµατα είναι µια δύσκολη έννοια που δύσκολα κατανοούν οι µαθητές ((Brousseau, Brousseau & Warfield, 2004; Kieren, 1993; Lamon, 1999; Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist, & Reys, 1981; Carpenter, Lindquist, Brown, Kouba, Silver, & Swaffort, 1988; Traverς, & Westbury, 1990. Στο: Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001). Σύµφωνα µε τους ερευνητές, υπάρχουν πολλοί λόγοι για τους οποίους οι µαθητές δυσκολεύονται στην κατανόηση των κλασµάτων. Οι δυσκολίες των µαθητών οφείλονται από τη µια στη φύση των κλασµάτων και από την άλλη στον τρόπο διδασκαλίας τους. Στην εργασία αυτή αρχικά σκιαγραφείται µια ιστορική αναδροµή µε βάση την επιστηµολογική εξέλιξη και τη χρήση των κλασµάτων µε αναφορά σε τέσσερις χρονικές περιόδους. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η έννοια του κλάσµατος µε βάση το θεωρητικό µοντέλο που περιλαµβάνει τις πέντε διαστάσεις του κλάσµατος όπως τις εισηγήθηκαν διάφοροι ερευνητές: α) το κλάσµα ως µέρος όλου β) το κλάσµα ως λόγος γ) το κλάσµα ως µέτρο δ) το κλάσµα ως διαίρεση και ε) το κλάσµα ως πολλαπλασιαστής. Παρουσιάζονται επίσης ο ρόλος των αναπαραστάσεων στη διδασκαλία των κλασµάτων καθώς και διάφορα λάθη των µαθητών που σχετίζονται µε τα κλάσµατα. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 99

Α. Γαγάτσης κ.á. 2.Ιστορικά στοιχεία για την έννοια του κλάσµατος Η ιστορική µελέτη της έννοιας του κλάσµατος- είναι πολύ σηµαντική για δυο κυρίως λόγους: από τη µια πλευρά για ανακάλυψη των προβληµάτων στα οποία έδωσε λύση η συγκεκριµένη µαθηµατική έννοια και από την άλλη για προσδιορισµό πιθανών εµποδίων στην εξέλιξη της έννοιας αυτής. Η ιστορική εξέλιξη της έννοιας του κλάσµατος περιλαµβάνει πολλά στάδια, τα οποία διαφοροποιούνται τόσο από το πεδίο εφαρµογών της, όσο και από την εννοιολογική της υπόσταση θεωρητική ή επιστηµολογική. Πρώτη περίοδος: Αιγύπτιοι Βαβυλώνιοι (2000 π. Χ 500 π. Χ) Ιστορικά στοιχεία που χρονολογούνται από το 1800 1300 π.χ. φανερώνουν ότι η έννοια του κλάσµατος ήταν γνωστή στους αρχαίους Αιγυπτίους (Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001). Για το κτίσιµο των πυραµίδων, (2700 π. Χ.), είναι βέβαιο πως ήταν απαραίτητη η εκτεταµένη γνώση των αναλογιών και κατά συνέπεια η χρήση των κλασµάτων ήταν αναγκαία. Τα αιγυπτιακά εναδικά κλάσµατα αποτελούν µια πρώτη µορφή αυτού που σήµερα ονοµάζεται κλάσµα. Παράλληλα µε τους αρχαίους Αιγυπτίους, οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν ένα σύστηµα αρίθµησης µε αξία θέσης και βάση το εξήντα. Οι αριθµοί γράφονταν ως αθροίσµατα δυνάµεων του εξήντα. Οι Βαβυλώνιοι αναπαριστούσαν κοινά κλάσµατα ως εξηκονταδικά. Για παράδειγµα, το ½ ισοδυναµεί µε το 30, το 1/3 µε το 20 κλπ. Αντίθετα µε τα αιγυπτιακά εναδικά, τα εξηκονταδικά κλάσµατα είχαν µορφή ακεραίου και προέκυψαν, καθώς υποδιαιρούσαν το χρόνο σε 360 µέρες, την ώρα σε 60 λεπτά και το λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα (Burton, 1988). Το σύστηµα µέτρησης του χρόνου στην εποχή µας είναι αποµεινάρι του βαβυλωνιακού εξηκονταδικού συστήµατος. εύτερη περίοδος: Αρχαίοι Έλληνες (600 π. Χ 300 µ. Χ) Οι Πυθαγόρειοι (540 450 π. Χ.), ο Πλάτωνας (4 ος αι. π.χ.) φαίνεται να δέχονται µόνο την ύπαρξη των ακεραίων αριθµών. Τον 4ο αιώνα π. Χ. επικρατεί η αντίληψη του Πλάτωνα για το αδιαίρετο της µονάδας. Η αντίληψη αυτή έρχεται σε σύγκρουση µε την έννοια του κλάσµατος. Το κλάσµα στην αρχαία Ελλάδα έχει την ίδια τυπολογία µε τα αιγυπτιακά κλάσµατα, µε µόνη διαφορά ότι εκεί τα κλάσµατα ονοµάζονται µέρη ή µόρια. Η ιδέα του λόγου, ακόµη και όταν αναφέρεται σε αυτά τα µέρη, δε σχετίζεται µε αριθµητική ποσότητα (Fowler, 1987). Οι αρχαίοι Έλληνες αντί να αναφέρουν ότι µια ποσότητα είναι τα 2/5 µιας άλλης αναφέρουν ότι ο λόγος τους είναι 2 στα 5. Τρίτη περίοδος: Άραβες Λατίνοι (700 µ. χ 1600 µ. χ) Πρώτοι οι Άραβες κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα έδωσαν µεγάλη ώθηση στις διαδικασίες των πράξεων. Εισήγαγαν την έννοια και το συµβολισµό του κλάσµατος µε τη σηµερινή του µορφή και εισήγαγαν τη χρήση της αρίθµησης µε δεκαδική θέση. (Σταφυλίδου, 2001). Επιπλέον, οι µαθηµατικοί της εποχής εκείνης, στην προσπάθειά τους να ξεπεράσουν τις δυσκολίες που δηµιουργούσαν οι υπολογισµοί µε κλάσµατα, τα 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 100

Γιατί οι Mαθητές υσκολεύονται στα Κλάσµατα; οποία περιλάµβαναν τεράστιους αριθµούς, επιχείρησαν να ανακαλύψουν νέους πιο εύχρηστους αλγόριθµους για την επίλυση των µαθηµατικών προβληµάτων. Ως λύση το πρόβληµα αυτό ήρθε η χρήση των δεκαδικών αριθµών. (Γαγάτσης,, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001). Τέταρτη περίοδος (1600 µ. Χ 1900 µ. Χ) Την περίοδο αυτή ο Euler δίνει πλήρη ορισµό του κλάσµατος ως µαθηµατικής αφηρηµένης έννοιας. Συγκεκριµένα, αναφέρει ότι αν το πηλίκο δύο αριθµών δεν είναι ακέραιος, τότε υπάρχει ένα ιδιαίτερο είδος αριθµού που ονοµάζεται κλάσµα και που δηλώνει ένα τέτοιο πηλίκο. Ορίζει, δηλαδή, το κλάσµα α / β, ως το πηλίκο διαίρεσης του α δια του β, τα οποία ονοµάζει αριθµητή και παρονοµαστή. Επίσης, ορίζει το κλάσµα α / β ως το γινόµενο του ακεραίου α επί την κλασµατική µονάδα 1/β. Επιπρόσθετα, διακρίνει τις εξής περιπτώσεις κλασµάτων: (α) το κλάσµα α / α, όπου ο αριθµητής είναι ίσος µε τον παρονοµαστή και το κλάσµα είναι ίσο µε το 1, (β) το κλάσµα α / β, όπου α < β, το οποίο είναι µικρότερο του 1 και (γ) το κλάσµα α / β, όπου α > β, το οποίο είναι µεγαλύτερο του 1 (Σταφυλίδου, 2001). 3. Η έννοια του κλάσµατος Όπως έχει αναφερθεί και στην εισαγωγή της εργασίας, ένας άλλος πολύ σηµαντικός λόγος που καθιστά τη διδασκαλία των κλασµατικών αριθµών µια πολύπλοκη διαδικασία, σχετίζεται µε την άποψη που έχουν αρκετοί ερευνητές (Kieren 1976; Behr,Lesh, Post and Silver 1983; Sinicrope & Mick 1998. Στο: Γαγάτσης, Α., Ευαγγελίδου, Α., Ηλία, Ι., Σπύρου, Π., 2004), ότι η διδασκαλία των κλασµάτων πρέπει να γίνεται µέσω ενός θεωρητικού µοντέλου, που σχετίζεται µε τη διδασκαλία διαφόρων διαστάσεων του κλάσµατος. Ένα τέτοιο θεωρητικό µοντέλο είναι: α) το κλάσµα ως µέρος όλου β) το κλάσµα ως λόγος γ) το κλάσµα ως µέτρο δ) το κλάσµα ως διαίρεση και ε) το κλάσµα ως πολλαπλασιαστής. α) Tο κλάσµα ως µέρος όλου: Σε αυτήν τη περίπτωση, το κλάσµα µπορεί να παρουσιαστεί ως µέρος µιας επιφάνειας ενός γεωµετρικού σχήµατος, που είναι χωρισµένη σε οµοιόµορφα τµήµατα ή ως µέρος ενός συνόλου αντικειµένων. Το κλάσµα ως µέρος επιφάνειας - είναι συνήθως και η πρώτη επαφή των παιδιών µε τα κλάσµατα και θεωρείται ευκολότερη προσέγγιση σε σχέση µε τις υπόλοιπες (Kouba, Zawojewski, & Strutchens 1997; Larson 1987. Στο: Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001). Μετά τη διδασκαλία του κλάσµατος ως µέρος επιφάνειας, συνήθως ακολουθεί η διδασκαλία του κλάσµατος ως µέρος ενός συνόλου αντικειµένων. β) Το κλάσµα ως λόγος: Το κλάσµα ως λόγος αποδίδεται µε την έννοια της σύγκρισης µεταξύ δύο ποσοτήτων. Οι µαθητές πρέπει να αντιληφθούν την έννοια των σχετικών ποσών (Lamon,1993; Marshall, 1993) για να κατανοήσουν πλήρως την έννοια των κλασµάτων ως αναλογίας. Πρέπει να κατανοήσουν ότι οι δύο ποσότητες που βρίσκονται σε σχέση αναλογίας, αλλάζουν µαζί πολλαπλασιάζονται ή διαιρούνται- ώστε η σχέση τους να παραµένει σταθερή. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 101

Α. Γαγάτσης κ.á. γ) Το κλάσµα ως µέτρο: Η αριθµητική γραµµή εκφράζει την έννοια του αριθµού ως µέτρο, δηλαδή ως απόσταση (Lamon, 1999). Το κλάσµα µπορεί να παρουσιαστεί ως ένα σηµείο πάνω στην αριθµητική γραµµή µεταξύ δύο ακεραίων. Αυτό είναι µια δεξιότητα πολύ χρήσιµη για την εννοιολογική κατανόηση των κλασµάτων παρόλο που είναι αρκετά αφηρηµένη για τους µαθητές. Η Ni (2002) επισηµαίνει ότι πάνω στην αριθµητική γραµµή µπορούν να αναπαρασταθούν θεµελιώδεις έννοιες των κλασµατικών αριθµών, όπως για παράδειγµα, η πυκνότητα, η διαδοχικότητα, η µοναδικότητα και το άπειρο των κλασµατικών αριθµών. Η µονάδα µέτρησης της αριθµητικής γραµµής, µπορεί να διαιρείται συνεχώς σε µικρότερες µονάδες, παρουσιάζοντας διαφορετικά ονόµατα κλασµάτων. Όταν διαφορετικές µονάδες καλύπτουν την ίδια απόσταση, τότε έχουµε ισοδυναµία κλαµάτων. ηλαδή η αριθµητική γραµµή επιλύει το πρόβληµα των ενδιάµεσων αριθµών αφού αναπαριστά το κλάσµα που βρίσκεται ανάµεσα στα δύο αρχικά κλάσµατα. δ) Το κλάσµα ως διαίρεση: Όσον αφορά τη διάσταση κλάσµατος ως πηλίκου, το κλάσµα µπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσµα της διαίρεσης του αριθµητή διά του παρονοµαστή. Οι µαθητές πρέπει να κατανοήσουν το ρόλο του διαιρετέου και του διαιρέτη και να κατανοήσουν ότι ο διαιρετέος αναφέρεται στον αριθµό των αντικειµένων που θα µοιραστούν ενώ ο διαιρέτης, στον αριθµό των ίσων κοµµατιών που θα µοιραστεί το κάθε αντικείµενο. Για παράδειγµα, ο Marshall(1993) αναφέρει ότι αν ζητηθεί από τους µαθητές να µοιράσουν 3 πίτσες σε 4 παιδιά, οι µαθητές πρέπει να κατανοήσουν ότι οι πίτσες θα µοιραστούν σε τέταρτα και το κάθε παιδί θα πάρει τρία κοµµάτια. ε) Το κλάσµα ως πολλαπλασιαστής: Το κλάσµα ως πολλαπλασιαστής σηµαίνει ότι για το γινόµενο 4Χ 3/5 ο πολλαπλασιασµός 4Χ3 προηγείται της διαίρεσης µε το 5. Το γινόµενο των κλασµάτων σε αντίθεση µε το γινόµενο ακεραίων µπορεί να δίνει αποτέλεσµα µικρότερο από τους παράγοντες που πολλαπλασιάζονται. 4. Η έννοια των κλασµάτων και οι αναπαραστάσεις Οι αναπαραστάσεις που χρησιµοποιούνται στο ηµοτικό Σχολείο για την προσέγγιση των κλασµατικών εννοιών και την οικοδόµηση των ρητών αριθµών, παίζουν καθοριστικό ρόλο στη σηµασία της έννοιας. Ο Vergnaud (1996) τις θεωρεί συστατικό των εννοιών. Υπάρχουν αναπαραστάσεις συγκεκριµένων καταστάσεων ή περιπτώσεων, οι οποίες λειτουργούν άλλοτε ως πρότυπα παραδείγµατα των εννοιών (π.χ. τα πρότυπα σχήµατα στη γεωµετρία, το γεωµετρικό σχήµα που σχεδιάζουµε σε µια συγκεκριµένη άσκηση µε βάση ορισµένα δεδοµένα), άλλοτε ως αντιπρόσωποι της έννοιας και άλλοτε απλώς αποτελούν αντικείµενο µελέτης. Υπάρχουν επίσης αναπαραστάσεις εµπράγµατες (παρουσιάζουν αντικείµενα), εικονικές ή διαγραµµατικές (παρουσιάζουν εικόνες αντικειµένων αναπαραστάσεις) 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 102

Γιατί οι Mαθητές υσκολεύονται στα Κλάσµατα; Η διδασκαλία των κλασµατικών εννοιών γίνεται κυρίως µε τη χρήση εικονικών και διαγραµµατικών αναπαραστάσεων. Η χρήση αυτών των αναπαραστάσεων δίνει στους µαθητές τη δυνατότητα οπτικής επεξεργασίας των δεδοµένων. Σύµφωνα µε τους Γαγάτση, Μιχαηλίδου και Σιακαλλή (2001) τα παιδιά στα πλαίσια της διδασκαλίας των Μαθηµατικών, έρχονται σε επαφή µε µια µεγάλη ποικιλία εξωτερικών αναπαραστάσεων. Για να υπάρξει βαθιά εννοιολογική κατανόηση µιας µαθηµατικής έννοιας θα πρέπει να υπάρχουν οι εξής δεξιότητες: α) Ικανότητα αναγνώρισης της έννοιας µέσα από ποικιλία αναπαραστάσεων της, β) Ικανότητα ευέλικτου χειρισµού της έννοιας ανάµεσα στις ποιοτικά διαφορετικές αναπαραστάσεις της. γ) Ικανότητα µετάφρασης της έννοιας από τη µία µορφή αναπαράστασης στην άλλη. Για την ανάπτυξη της δεξιότητας για µετάφραση από τη µια αναπαράσταση των κλασµατικών αριθµών στην άλλη, τα παιδιά χρειάζονται πληροφορίες σχετικά µε το πώς αναπαρίστανται τα κλάσµατα, µε τη χρήση εικόνων και χειριστικών αντικειµένων. Οι πληροφορίες αυτές αναµένεται να βοηθήσουν στην αµφίδροµη µετάφραση ανάµεσα στη µαθηµατική συµβολική αναπαράσταση και την αναπαράσταση ενσωµάτωσης (βλ. διάγραµµα 1) Μαθηµατική συµβολική αναπαράσταση 2 3 Παίρνω 2 από τα 3 µέρη Αναπαράσταση ενσωµάτωσης (2) 3 ιάγραµµα1: Μετάφραση ανάµεσα στη µαθηµατική συµβολική αναπαράσταση και την αναπαράσταση ενσωµάτωσης. Ένα άλλο χαρακτηριστικό σκέψης, που είναι θεµελιώδες για την επιτυχία του παιδιού σε προβλήµατα σειροθέτησης και ισοδυναµίας, είναι η σταδιακή απεξάρτηση της σκέψης από ενσωµατώσεις που χρησιµοποιούνται για την αναπαράσταση κλασµάτων. Η θέση αυτή αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για την απόκτηση κλασµατικής σκέψης (Behr et al., 1985. Στο: Γαγάτσης, Α., Ευαγγελίδου, Α., Ηλία, Ι., Σπύρου, Π., 2004). Τα παιδιά µπορούν να βοηθηθούν να αντιληφθούν ότι η σκέψη είναι ανεξάρτητη από τις ενσωµατώσεις µε τη χρήση χειριστικών µοντέλων στα οποία δεν υπάρχει προκαθορισµένη µονάδα. Με τον τρόπο αυτό το παιδί µπορεί να επιλέξει τη µονάδα για αναπαράσταση δύο κλασµάτων. Έτσι αντιλαµβάνεται ότι µια οµάδα από 6 (ή πολλαπλάσια του 6) αντικείµενα µπορεί να οµαδοποιηθεί σε 6 υποοµάδες και να οµαδοποιηθεί ξανά σε 3 υποοµάδες. Το παιδί καθορίζει µε νοητικούς χειρισµούς ότι µια µονάδα των 6 (ή πολλαπλάσιο του 6) είναι απαραίτητη. Όταν τα παιδιά έχουν προχωρήσει σε αυτό το επίπεδο, η χρήση ενσωµατώσεων αποτελεί επιβεβαίωση µιας πρόβλεψης βασισµένης σε νοητικούς χειρισµούς. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 103

Α. Γαγάτσης κ.á. 5. υσκολίες, παρανοήσεις και λάθη των µαθητών Όπως αναφέρουν διάφοροι ερευνητές (Boulet, 1998;Davis, Hunting & Pearn,1993. Στο: Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001) αν και δίνεται µεγάλη έµφαση στη διδασκαλία των κλασµατικών αριθµών, οι µαθητές συνεχίζουν να παρουσιάζουν πάρα πολλές αδυναµίες διότι είναι γεγονός ότι τα κλάσµατα αποτελούν ένα περίπλοκο κατασκεύασµα. Η ανάπτυξη όµως της ικανότητας των παιδιών να χειρίζονται τους κλασµατικούς αριθµούς αποτελεί ανάγκη της καθηµερινής ζωής και από την άλλη σύµφωνα µε τους Behr,Lesh, Post, & Silver(1983. Στο: Γαγάτσης, Α., Ευαγγελίδου, Α., Ηλία, Ι., Σπύρου, Π., 2004) οι κλασµατικοί αριθµοί αποτελούν το θεµέλιο πάνω στο οποίο στηρίζονται οι στοιχειώδεις αλγεβρικές πράξεις. Γιατί όµως οι µαθητές κάνουν τόσα πολλά λάθη και έχουν τόσες πολλές παρανοήσεις και δυσκολίες; Γενικά οι δυσκολίες που συναντούν οι µαθητές αποδίδονται τόσο στην εννοιολογική φύση των ρητών αριθµών, στο συµβολισµό και τις αναπαραστάσεις τους, τις διαδικασίες λογισµού µε κλασµατικούς αριθµούς (Γαγάτσης, Α. Μιχαηλίδου, Ε. Σιακαλλή, Μ. 2001; Φιλίππου & Χρίστου, 1995) αλλά και σε επιστηµολογικά εµπόδια. Λάθη παρανοήσεις επιστηµολογικής φύσης: Ορισµένα σηµαντικά λάθη οφείλονται στο επιστηµολογικό εµπόδιο των φυσικών αριθµών: α) Στη διαίρεση µε κλάσµα 6: ½ = 3 β) Στην πρόσθεση οµωνύµων κλασµάτων 4/8+3/8=7/16 γ) Στην πρόσθεση ετερωνύµων κλασµάτων 1/2+1/3=1/5 Λάθη παρανοήσεις εννοιολογικής φύσης: Οι δυσκολίες, οι σχετικές µε την εννοιολογική φύση των ρητών αριθµών, οφείλονται στην πυκνή δοµή των ρητών αριθµών σε αντίθεση µε τη διακριτή δοµή των φυσικών αριθµών, οι οποίοι αποτελούν το µοντέλο πάνω στο οποίο οργανώνεται η οικοδόµηση της έννοιας του κλασµατικού αριθµού. Ως σηµαντικότερες δυσκολίες εννοιολογικής φύσης αναφέρονται οι εξής: α) Η σύνδεση του κλάσµατος κ/µ µε την απόλυτη αξία των φυσικών αριθµών κ και µ. β) Η αντίληψη ότι ανάµεσα σε δύο διαδοχικά κλάσµατα όπως 1/3 και 2/3 δεν υπάρχει άλλος κλασµατικός αριθµός. γ) Η αντίληψη ότι η κλασµατική µονάδα είναι σταθερό µέγεθος. δ) Η κυριαρχία της αντίληψης της σχέσης µέρους µέρους, αντί της σχέσης µέρους όλου. ε) Ο λογιστικός χειρισµός των αριθµητών ανεξάρτητα από τους παρονοµαστές. στ) Η δυσκολία των παιδιών να υπερβούν την κλασµατική ποσότητα, να αποσυνδέσουν δηλαδή το κ/µ του χ από το χ και να οικοδοµήσουν τελικά την έννοια του κλασµατικού αριθµού. Λάθη παρανοήσεις αναπαραστατικής φύσης: α) Λάθη των µαθητών στην αναγνώριση κλασµάτων ως µέρος συνεχούς επιφάνειας: Οι µαθητές ενδέχεται να δυσκολεύονται στην αναγνώριση του κλάσµατος µέσα από 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 104

Γιατί οι Mαθητές υσκολεύονται στα Κλάσµατα; συνεχή επιφάνεια αφού, σύµφωνα µε τους Φιλίππου & Χρίστου (1995) στρέφουν την προσοχή τους µόνο στο µέρος που χρωµατίζεται ή αποκόπτεται και δεν συγκρατούν και τις δύο διαστάσεις που απεικονίζει ένας κλασµατικός αριθµός. Επίσης µπορεί να µην κατανοούν ότι τα µέρη πρέπει να είναι ισοδύναµα, για να ισχύει η σχέση που αντανακλά το κλάσµα. β) Λάθη των µαθητών στην αναγνώριση κλασµάτων ως µέρος συνόλου αντικειµένων. Εδώ οι µαθητές µπορεί να απαντούν µε κλάσµα, αλλά να αναφέρονται σε λόγο και όχι σε µέρος από σύνολο αντικειµένων, όχι απαραίτητα ίδιου σχήµατος ή µεγέθους. Επίσης δυσκολεύονται να απαντήσουν σε παρόµοιες ασκήσεις όπου το σύνολο των αντικειµένων είναι πιο µεγάλο από τον παρονοµαστή του κλάσµατος που τους ζητείται να επιλέξουν (Φιλίππου & Χρίστου, 1995). Λάθη των µαθητών στην αναγνώριση κλάσµατος ως λόγου: Το κλάσµα 3/4 µπορεί να εκφράζει 3 αγόρια για κάθε 4 κορίτσια ή 3:4. Αυτό προκύπτει µέσα από συγκρίσεις µεταξύ επιµέρους οµάδων εντός µιας ολότητας (παράδειγµα: 3 αγόρια και 4 κορίτσια ο λόγος των κοριτσιών προς τα αγόρια είναι 4 : 3). Εδώ παίζει ρόλο και η σειρά αναφοράς του κάθε επιµέρους συνόλου. Λάθη των µαθητών στην αναγνώριση κλάσµατος ως µέτρου: Η χρήση της αριθµητικής γραµµής στην αναπαράσταση της έννοιας του κλάσµατος βασίζεται στο ότι τα κλάσµατα αποτελούν σηµεία πάνω στη γραµµή και ταυτόχρονα αποστάσεις από το σηµείο 0. Οι δυσκολίες σχετικά µε την αναπαράσταση της έννοιας πάνω στην αριθµητική γραµµή, σύµφωνα µε διάφορους ερευνητές ( Behr et al.1983; Bright et al.1988. Στο: Γαγάτσης, Α. Μιχαηλίδου, Ε. Σιακαλλή, Μ. 2001) είναι οι εξής: α) υσκολίες στην αναγνώριση της µονάδας αναφοράς του κλάσµατος στην αριθµητική γραµµή. β) υσκολίες στην επίλυση προβληµάτων στα οποία οι υποδιαιρέσεις στην αριθµητική γραµµή δεν ισούνται µε τον παρονοµαστή του κλάσµατος. γ) υσκολίες στην επίλυση προβληµάτων στα οποία οι υποδιαιρέσεις της αριθµητικής γραµµής δεν είναι παράγοντες ή πολλαπλάσια του παρονοµαστή του κλάσµατος. δ) υσκολίες στη µετάφραση ανάµεσα στη συµβολική και εικονική αναπαράσταση των πληροφοριών της αριθµητικής γραµµής. Σε έρευνα τους οι Γαγάτσης και Ηλία (2004), διαπίστωσαν ότι στα έργα µε αριθµητική γραµµή, οι µαθητές είχαν τις χαµηλότερες επιδόσεις. Αρκετές φορές οι µαθητές µετρούν τα σηµεία αντί τα διαστήµατα πάνω στην αριθµητική γραµµή. Άλλοι ερευνητές (Ni, 2002) υποστηρίζουν ότι η αριθµητική γραµµή περιλαµβάνει παραπλανητικά στοιχεία για τους µαθητές οι οποίοι έχουν παρανοήσεις ή δεν έχουν αναπτύξει πλήρως την έννοια των κλασµατικών αριθµών, για αυτό αποτελεί όχι απλώς µοντέλο για τη διδασκαλία των κλασµάτων, αλλά και αξιολογικό εργαλείο για τον εντοπισµό των παρανοήσεων των µαθητών. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 105

Α. Γαγάτσης κ.á. Λάθη των µαθητών στην αναγνώριση κλασµάτων ως διαίρεση: Αν και γίνεται αναφορά σε προβλήµατα διαίρεσης από την καθηµερινή ζωή, οι µαθητές δυσκολεύονται να δουν το κλάσµα ως διαίρεση ανάµεσα σε δύο αριθµούς. (π.χ.: πόση ποσότητα σοκολάτας θα φάνε έξι παιδιά, αν υπάρχουν µόνο 4 σοκολάτες;) Λάθη παρανοήσεις διδακτικής φύσης Η αλγοριθµική προσέγγιση και η έµφαση στην διαδικαστική γνώση και την παραδοσιακή διδασκαλία δηµιουργεί δυσκολίες στην κατανόηση των κλασµατικών αριθµών αφού οι διαδικασίες και οι κανόνες εφαρµόζονται µηχανικά (Hart, 1981; Kerslake,1986; Ni,2001. Στο:Γαγάτσης, Α., Ευαγγελίδου, Α., Ηλία, Ι., Σπύρου, Π., 2004). Η παραδοσιακή διδασκαλία των κλασµάτων περιλαµβάνει την πρόωρη χρήση συµβολικών αναπαραστάσεων (σύµβολο κλάσµατος, αλγόριθµοι) και δίνει έµφαση στην υπο-έννοια µέρος-όλο και στο εµβαδόν κύκλου. Αρκετοί δάσκαλοι προσεγγίζουν τα κλάσµατα µε τον τρόπο σκέψης ενός ενήλικα και όχι ενός παιδιού και δίνουν έµφαση στον τυπικό συµβολικό τρόπο παρουσίασης των κλασµάτων, όπως αυτός έχει οικοδοµηθεί πλήρως σε ένα ενήλικα. Κατά τη διδασκαλία δίνεται σηµασία στη διαδικαστική γνώση (κανόνων, αλγορίθµων, διαδικασιών), όπου οι γνώσεις αυτές µαθαίνονται µηχανικά, µένοντας ασύνδετες µε την έννοια και χωρίς οι µαθητές να γνωρίζουν το γιατί τις εφαρµόζουν. Επιπλέον κατά τη διδασκαλία γενικότερα, δεν επιχειρείται µία συνειδητοποιηµένη σύνδεση και συσχέτιση της έννοιας των κλασµάτων µε τους δεκαδικούς και τους ακεραίους ή ακόµα και µία σύγκριση, ώστε οι µαθητές να εντοπίζουν τι κρατάµε και τι πετάµε από τις γνώσεις µας αυτές όταν µιλάµε για παράδειγµα για την έννοια των κλασµάτων. Ακόµα ο τρόπος παρουσίασης των αναπαραστάσεων για τα κλάσµατα είναι συγκεκριµένος, στερεότυπος, συχνά πολύ καθοδηγούµενος. (π.χ. Ο µαθητής έχει να σκιάσει το 3/4 ενός ορθογωνίου ή ενός κύκλου, τα οποία είναι εκ των προτέρων χωρισµένα σε 4 ίσα µέρη). Επειδή οι αναπαραστάσεις που χρησιµοποιούνται έχουν µια στερεότυπη µορφή σχηµάτων, ο διαχωρισµός αυτών των σχηµάτων τείνει να εξελιχθεί σε στερεότυπο. Ένα ακόµα συµπέρασµα που εξάγεται έρευνες είναι πως όταν το σχήµα παρουσιάζεται µε στερεότυπη µορφή, δηλαδή χωρισµένο σε τόσα µέρη όσα και ο παρονοµαστής του κλάσµατος, οι µαθητές ακολουθούν πάντα την ίδια διαδικασία για να σκιάσουν την επιφάνεια που τους ζητείται. Στην περίπτωση αυτή οι µαθητές απλά καταµετρούν τόσα µέρη, όσα και ο αριθµητής του κλάσµατος. Ο σχηµατισµός ενός τέτοιου στερεοτύπου στο µυαλό των µαθητών οδηγεί σε εσφαλµένες αντιλήψεις. Η διαδικασία καταµέτρησης κάνει τους µαθητές να επικεντρώνουν την προσοχή τους µόνο στον αριθµητή του κλάσµατος, αγνοώντας τον παρονοµαστή. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα να ενισχύεται η δυσκολία των µαθητών να αντιληφθούν το κλάσµα ως µία ποσότητα, ένα αριθµό που η σηµασία του προέρχεται από τη σχέση που έχει ο αριθµητής µε τον παρονοµαστή. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 106

Γιατί οι Mαθητές υσκολεύονται στα Κλάσµατα; Οι αναπαραστάσεις που χρησιµοποιούνται κατά κόρον για τη διδασκαλία της έννοιας των κλασµάτων είναι αναπαραστάσεις εµβαδού επιφάνειας. Τα γεωµετρικά σχήµατα και το εµβαδόν τους λειτουργούν ως το άλλο πλαίσιο «µεταφοράς», οι ιδιότητες του οποίου αποτελούν το υπόβαθρο ανάδειξης των χαρακτηριστικών και των ιδιοτήτων των κλασµατικών αριθµών. Όµως σύµφωνα µε τους Καλδρυµίδου Κοντοζήση (2003) (Στο: Γαγάτσης, Α. και Ηλία, Ι., 2003) η χρήση των γεωµετρικών σχηµάτων ως µέσων για κατανόηση της αριθµητικής σηµασίας των κλασµάτων, προϋποθέτει την πολύ καλή γνώση των σχηµάτων, των ιδιοτήτων τους και των σχέσεων των µερών τους. Η πείρα όµως αποδεικνύει ότι η προαπαιτούµενη αυτή γνώση δεν είναι κτήµα όλων των µαθητών. Ενδεχόµενο αποτέλεσµα αυτής της έλλειψης γνωσιολογικού υποβάθρου των µαθητών, για τις γεωµετρικές έννοιες και του εννοιολογικού πεδίου της επιφάνειας, είναι οι µαθητές να επικεντρώνονται κάθε φορά στη συγκεκριµένη περίπτωση που έχουν να επεξεργαστούν και όχι στην έννοια των κλασµάτων που αναπαρίστανται µέσω της επιφάνειας. Αποτέλεσµα είναι οι γεωµετρικές αναπαραστάσεις από µέσο οργάνωσης των πληροφοριών για κατανόηση της έννοιας των κλασµάτων, να µετατρέπονται σε αντικείµενο επεξεργασίας. Αρκετές φορές τα σχήµατα που χρησιµοποιούνται ως αναπαραστάσεις καταστάσεων µέρους όλου µπορεί να οδηγήσουν σε παρανοήσεις, ανάλογα µε το πώς τις αντιλαµβάνονται οι µαθητές. Αυτό συµβαίνει αν οι µαθητές αντί να επικεντρώνουν την προσοχή τους στην έννοια του κλάσµατος, επικεντρώνονται στην ίδια την αναπαράσταση του αντικειµένου. Η ύπαρξη δύο σχηµάτων δηµιουργεί προϋποθέσεις για εννοιολογική σύγχυση, δεδοµένου ότι η πρόσθεση εµφανίζεται ως ένωση των µερών, αλλά όχι ως ένωση του όλου. Η χρήση της αριθµητικής γραµµής ως αναπαράστασης για την πρόσθεση των κλασµάτων µπορεί να ενισχύει την αναπαραγωγή της οργάνωσης των φυσικών αριθµών και τη διακριτή θεώρηση για το σύνολο των κλασµατικών αριθµών. 6. Συµπεράσµατα-Συζήτηση Τα κλάσµατα είναι µια από τις πιο σηµαντικές και ταυτόχρονα πιο πολύπλοκες έννοιες στη διδασκαλία των Μαθηµατικών. Έτσι φαίνεται φυσικό που ο Pluvinage, F. (1988) αναρωτιέται κατά πόσο είναι αναγκαίο να διδάσκονται τα κλάσµατα, αφού πλέον στις οθόνες των διαφόρων ηλεκτρονικών µέσων που χρησιµοποιούµε στη ζωή µας εµφανίζονται αριθµοί µόνο σε δεκαδική µορφή. Έτσι τα παιδιά της κοινωνίας µας, από µικρή ηλικία έρχονται σε επαφή µε τους δεκαδικούς αριθµούς. Στη συνέχεια της εργασίας του, ο Pluvinage, F. θέτει την επιστηµολογική άποψη η οποία αντικρούει ένα τέτοιο ενδεχόµενο. Υποστηρίζει ότι πρέπει να αντισταθούµε στην τάση να πετάξουµε ή να καθυστερήσουµε τη διδασκαλία των κλασµάτων, διότι τα κλάσµατα εκφράζουν έννοιες που προηγούνται µε φυσικό τρόπο αυτών που εκφράζονται µε δεκαδική µορφή. Μπορούµε να συνδέσουµε δηλαδή τα κλάσµατα µε τις διαδικασίες µέτρησης και τους δεκαδικούς, µε τα αποτελέσµατα µέτρησης. Και από επιστηµολογική άποψη είναι 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 107

Α. Γαγάτσης κ.á. φανερό ότι πρώτα πρέπει να δούµε τη µέτρηση µέσα σε καταστάσεις όπου υπάρχουν µοντέλα αναφοράς πριν κατασκευάσουµε τα µοντέλα µετρήσεων. Για την καλύτερη κατανόηση της έννοιας των κλασµάτων προτείνεται η εκκίνηση από τις προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών και -πιο συγκεκριµένα από την αντίληψη ότι το κλάσµα είναι µέρος όλου - στοχεύοντας σε µία ολοκληρωµένη οικοδόµηση της έννοιας µέσα από την τακτική εναλλαγής αναπαραστάσεων - εικονική, συµβολική, λεκτική. Είναι φανερό ότι, εάν κατά τη διδασκαλία των κλασµάτων επικεντρωνόµαστε µόνο σε ένα συγκεκριµένο µοντέλο αναπαράστασης, τότε αναπόφευκτα θα οδηγούµαστε σε ελλιπή κατανόηση της έννοιας του κλάσµατος. Προκύπτει επίσης η ανάγκη αναδιοργάνωσης των λαθών, που συνιστούν επιστηµολογικά εµπόδια. Προκειµένου λοιπόν βοηθήσουµε τα παιδιά να αποφύγουν παρανοήσεις, θα πρέπει να κατέχουµε µία ολοκληρωµένη εικόνα της φύσης και του εύρους των παρανοήσεων, που έχουν δηµιουργήσει τα παιδιά. Κατά συνέπεια θα πρέπει να προβαίνουµε σε πρακτικές όπως η υποβολή προφορικών ερωτήσεων (think aloud), η οποία µπορεί να βοηθήσει στο να αντιληφθούµε τον τρόπο που τα παιδιά αντιλαµβάνονται µία έννοια και κατ επέκταση, τις νοητικές αναπαραστάσεις και νοητικά µοντέλα (προϋπάρχουσες γνώσεις) (Vosniadou,2003.Στο:Γαγάτσης, Α. Μιχαηλίδου, Ε. Σιακαλλή, Μ. 2001) που έχουν ήδη δηµιουργήσει και στα οποία έχουν καταλήξει, ιδιαίτερα µέσα από τις καθηµερινές τους εµπειρίες αλλά και τη γνώση τους για τους ακέραιους αριθµούς. Στη βάση λοιπόν αυτή, µπορούµε να δηµιουργήσουµε ένα µοντέλο διδασκαλίας, το οποίο να πλησιάζει τη σκέψη των παιδιών. Με άλλα λόγια θα µπορούσε να ξεκινά από την ορθή αντίληψη των παιδιών, ότι ο χωρισµός επιφάνειας ή αντικειµένων βασίζεται κατά κανόνα στη δίκαιη µοιρασιά-µοιράζω σε ίσα µέρη. Από εκεί και πέρα µπορούµε να κτίσουµε πάνω σε αυτό, ζητώντας από τους µαθητές να ασκηθούν σε αυτό, χρησιµοποιώντας όχι µόνο µοντέλα αµφιµονοσήµαντης αντιστοιχίας αλλά και µη οµοιόµορφο υλικό. Με άλλα λόγια κατά τον διαµερισµό µιας επιφάνειας θα µπορούσε να χρησιµοποιείται όχι µόνο ο συνήθης χωρισµός γεωµετρικών σχηµάτων σε ίσα µέρη αλλά και ο συνδυασµός διαφορετικών γεωµετρικών σχηµάτων, όπως τρίγωνα, τετράγωνα, ορθογώνια. Έτσι λοιπόν, τα παιδιά θα αντιληφθούν ότι µπορούµε να έχουµε µέρη ίσα µεταξύ τους, αλλά και µέρη ισοδύναµα σε µέγεθος, που να αναπαριστούν την ίδια ποσότητα. Για να συµβεί αυτό, θα πρέπει προηγουµένως να οικοδοµηθεί µία πολύ καλή γνώση των γεωµετρικών σχηµάτων, που να αφορά στις ιδιότητές τους και στη χρήση των µερών τους (Kαλδρυµίδου και Κοντοζήσης, 2003). Επιπλέον σύµφωνα µε τους ίδιους (Καλδρυµίδου και Κοντοζήσης, 2003) οι στερεότυπες µορφές µε τις οποίες παρουσιάζονται στα παιδιά οι διάφορες αναπαραστάσεις των κλασµατικών εννοιών για παράδειγµα ο στερεότυπος χωρισµός ενός τετραγώνου σε τέταρτα από τη µια οδηγούν τα παιδιά στο σωστό αποτέλεσµα, άλλα ταυτόχρονα δεν εξασφαλίζουν την οικοδόµηση της αντίστοιχης έννοιας. Θα πρέπει να δίνεται έµφαση στη διδασκαλία µέσω της αριθµητικής γραµµής και έµφαση στη διδασκαλία και αξιολόγηση της µάθησης µε αριθµητική γραµµή. Η χρήση της αριθµητικής γραµµής βοηθά στον εντοπισµό παρανοήσεων των µαθητών αναφορικά µε την έννοια του κλάσµατος και τη µονάδα αναφοράς συµβάλλοντας έτσι τόσο στην κατανόηση της έννοιας, όσο και στις πράξεις µε κλάσµατα (Keijzer & 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 108

Γιατί οι Mαθητές υσκολεύονται στα Κλάσµατα; Terwel, 2000: Keijzer & Terwel, 2001: Ni,2000. Στο: Γαγάτσης, Α., Ευαγγελίδου, Α., Ηλία, Ι., Σπύρου, Π., 2004) Η διδασκαλία των ακέραιων αριθµών αποτελεί επιστηµολογικό εµπόδιο στη διδασκαλία των ρητών αριθµών και οι µαθητές εφαρµόζουν ιδιότητες των ακεραίων αριθµών στις πράξεις µε τους κλασµατικούς αριθµούς. Σύµφωνα µε τις Σταφυλίδου και Βοσνιάδου (2002). Στο: Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001) οι µαθητές θεωρούν τον αριθµητή και τον παρονοµαστή ενός κλάσµατος ως δύο διαφορετικούς ακέραιους αριθµούς που είναι ανεξάρτητοι ο ένας από τον άλλο. Οι Philippou & Christou, (1994) επισηµαίνουν την έλλειψη συνδέσεων ανάµεσα στην εννοιολογική και διαδικαστική γνώση των κλασµατικών αριθµών γεγονός που αποτελεί ένδειξη της αποσπασµατικότητας των γνώσεων των µαθητών και της έµφασης που δίνεται στην παραδοσιακή διδασκαλία. Επίσης υποστηρίζουν ότι µεγάλο ποσοστό παιδιών δεν συνδέει τη δηµιουργία κλασµάτων µε την πράξη της διαίρεσης παρόλο που λεκτικά τουλάχιστον αναφέρονται συχνά στην πράξη αυτή στην προσπάθεια τους να εξηγήσουν την έννοια των κλασµάτων. Οι µαθητές θα πρέπει να ενθαρρύνονται για αιτιολόγηση των απαντήσεών τους στη βάση πάντα του εννοιολογικού ορισµού της έννοιας και για επινόηση δικών τους αναπαραστάσεων για την ισοδυναµία ρητών αριθµών, που να έχουν νόηµα για τους ίδιους. Σε κάθε βήµα θα πρέπει να τονίζονται συνειδητά οι σχέσεις µε προηγούµενα διδαχθέντα σηµεία και τυχόν οµοιότητες µε τη δοµή του συστήµατος και των πράξεων των ακεραίων, ώστε να διευκολύνεται η οικοδόµηση συσχετιστικής και κατ επέκταση εννοιολογικής κατανόησης για τα κλάσµατα (σύνδεση εννοιολογικής-διαδικαστικής γνώσης). Τέλος πιστεύουµε ότι η συστηµατική µελέτη των λαθών, των παρανοήσεων και των επεξηγήσεων των µαθητών, είναι πολύ σηµαντική για τον εκπαιδευτικό διότι τον βοήθα να προσεγγίσει και να αναλύσει τον τρόπο σκέψης των παιδιών ώστε να µπορεί να προγραµµατίζει τις αναγκαίες παρεµβάσεις που θα οδηγούν σε µια ολοκληρωµένη κατανόηση της έννοιας των κλασµάτων. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Γαγάτσης, Α., Ευαγγελίδου, Α., Ηλία Ι., Σπύρου Π. (2004). Αναπαραστάσεις και µάθηση των Μαθηµατικών; Λευκωσία: Intercollage Press. Ηλία Ι., Γαγάτσης, Α.(2004). Η εικόνα στην επίλυση προβλήµατος: Αρωγός ή εµπόδιο; Λευκωσία: Iδρυµα Προώθησης Έρευνας: Πανεπιστήµιο Κύπρου. Γαγάτσης,Α., Μιχαηλίδου Ε., και Σιακαλλή Μ. (2001).Θεωρίες Αναπαράστασης και Μάθηση των Μαθηµατικών. Πανεπιστήµιο Κύπρου,Λευκωσία. Καλδρυµίδου, Μ., & Κοντοζήσης,.(2003). Εικονικές αναπαραστάσεις και εννοιολογική προσέγγιση των κλασµατικών εννοιών: Η έννοια του µισού στα νήπια. Στο: Γαγάτσης, Α & Ηλία, Ι., (2003) Οι αναπαραστάσεις και τα 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 109

Α. Γαγάτσης κ.á. γεωµετρικά µοντέλα στη Μάθηση Μαθηµατικών (Τόµος1,σ.129-152).Λευκωσία: Intercollege Press. Lamon, S. J.(1999). Teaching Fractions and Ratios for Understanding. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. Lamon, S. J.: (1993). Ratio and Proportion: Children's Cognitive and Metacognitive Process, in T. P. Carpenter, E. Fennema and T. A. Romberg (eds.), Rational Numbers: An Integration of Research, Lawrence Erlbaum Associates, New Jersey, pp. 131-156. Marshall, S. P.: (1993). Assessment of Rational Number Understanding: A Schema Based Approach, in T. P. Carpenter, E. Fennema and T. A. Romberg (eds.). Rational Numbers: An Integration of Research. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates (pp. 261-288). Ni, Y.(2002). Number lines as assessment procedure for diagnostic utility and achievement estimation. Manuscript submitted to British Journal of Educational Psychology for publication. Pluvinage F. (1988). Η µάθηση των αριθµών στην εποχή των ηλεκτρονικών υπολογιστών. ιάσταση,2, σ.48-58. Θεσσαλονίκη: ΕΜΕ. Φιλίππου,Γ.,& Χρίστου Κ.(1995). ιδακτική των Μαθηµατικών. Αθήνα: αρδανός. Σταφυλίδου, Σ. (2001). Μαθηµατικές Έννοιες και ιαδικασίες Μάθησης: Η Ανάπτυξη της Έννοιας του Κλάσµατος. Αδηµοσίευτη ιδακτορική ιατριβή. Αθήνα. Vergnaud, G.(1996).The theory of conceptual fields. In: L.Steffe, P.Nesher,P.Cobb,g.Goldin,B.Greer,(eds).Τheories of Mathematical Learning.. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates (pp. 221-238). 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 110