סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 תוכן העניינים מבוא לפרק "סימני התחלקות" ב 3, ב 6 וב 9............ 38 א. סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה)............ 44 ב. סימן ההתחלקות ב 3.............................. 47 ג. סימן ההתחלקות ב 9.............................. 50 ד. סימן ההתחלקות ב 6.............................. 53 נספחים לפרק מבדק מסכם........................................ 90. דפי רב דף.17-8..................................... 91 37
מבוא לפרק "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 " כדי לעבוד בפרק זה על התלמידים לדעת לפתור תרגילי חילוק שבהם מחלקים מספר דו-ספרתי או תלת-ספרתי במספר חד-ספרתי. לפתרון תרגילים כאלה הם יכולים להשתמש באלגוריתם של חילוק ארוך. לפתרון תרגילי החילוק אפשר להשתמש גם בכל אלגוריתם מתאים אחר (למשל, חיסור חוזר או פילוג). סימני ההתחלקות הנלמדים בכיתות ג' ו ד' בכיתה ג' סימן ההתחלקות ב- 2 : מספר מתחלק ב- 2, אם ורק אם ספרת היחידות שלו היא זוגית. סימן ההתחלקות ב- 5 : מספר מתחלק ב- 5, אם ורק אם ספרת היחידות שלו היא 5 או 0. סימן ההתחלקות ב- 10 : מספר מתחלק ב- 10, אם ורק אם ספרת היחידות שלו היא 0. בכיתה ד' - בפרק הנוכחי סימן ההתחלקות ב- 3 : מספר מתחלק ב- 3, אם ורק אם סכום הספרות שלו מתחלק ב- 3. סימן ההתחלקות ב- 6 : מספר מתחלק ב- 6, אם ורק אם הוא מתחלק גם ב- 2 וגם ב- 3. סימן ההתחלקות ב- 9 : מספר מתחלק ב- 9, אם ורק אם סכום הספרות שלו מתחלק ב- 9. שימו לב, סימני ההתחלקות מקיימם את הקשר הלוגי אם ורק אם. אפשר להציג את הקשר כך: אם מספר מתחלק ב 2, ספרת היחידות שלו היא זוגית. וההפך: אם ספרת היחידות של מספר היא זוגית, המספר מתחלק ב 2. הקשר בין מספר המתחלק ב 3 למספר המתחלק ב 9 אינו קשר אם ורק אם. אם מספר מתחלק ב 9, המספר מתחלק גם ב 3, אך הקשר ההפוך אינו מתקיים: אם מספר מתחלק ב 3, המספר אינו בהכרח מתחלק ב 9. לדוגמה: 24 מתחלק ב 3, אך אינו מתחלק ב 9. 38
מבוא לפרק "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 " כפולות ומחלקים כשעוסקים במספרים הטבעיים (השלמים החיוביים), אומרים שמספר מתחלק במספר אחר, אם אין שארית בתוצאה של פעולת החילוק. דוגמאות: 15 מתחלק ב 3, כי = 5 3, 15 : והתוצאה של פעולת החילוק היא מספר שלם ללא שארית. 15 אינו מתחלק ב- 4, כי (שארית 3) 3 = 4, 15 : ובתוצאה של פעולת החילוק יש שארית. אם מספר a מתחלק במספר b (כאמור, ללא שארית), אומרים שהמספר a הוא כפולה של המספר b וגם שהמספר b הוא מחלק של המספר a. בדוגמה הראשונה לעיל נאמר ש 15 הוא כפולה של 3, ו 3 הוא מחלק של 15. כיצד בודקים אם מספר מתחלק במספר אחר? בפרק נלמדות שתי דרכים שבעזרתן אפשר לבדוק אם מספר מסוים מתחלק במספר אחר: 1. מבצעים את פעולת החילוק ובודקים את התוצאה: אם התוצאה היא מספר שלם ללא שארית, התשובה היא שהמספר מתחלק במספר האחר, ואם בתוצאה יש שארית, המספר אינו מתחלק. דוגמה: האם 2,645 מתחלק ב- 2? מחלקים: (שארית 1) 1,322 = 2. 2,645 : בתוצאה של החילוק יש שארית, ולכן המסקנה היא ש- 2,645 אינו מתחלק ב- 2. 2. לעתים קרובות אפשר למצוא אם מספר מסוים מתחלק במספר אחר גם בלי לבצע את החילוק. אפשר לעשות זאת לפי סימנים. הסימנים האלה נקראים סימני התחלקות. דוגמה: האם 171 מתחלק ב 3? מוצאים את סכום הספרות = 9 1.1 + 7 + מכיוון שהסכום 9 מתחלק ב 3, המספר מתחלק ב 3. יש דרך נוספת לקביעת ההתחלקות של מספר כלשהו במספר אחר. כדי לקבוע אם מספר כלשהו, a, מתחלק במספר אחר, b, אפשר לנסות להציג אותו כסכום של שני מחוברים (או יותר) שכולם מתחלקים באותו המספר, b. אם זה אפשרי, הרי שהמספר מתחלק ב b, אם לא, המספר איננו מתחלק ב b. דוגמאות: האם 714 מתחלק ב 7? נציג את 714 כסכום של מספרים המתחלקים ב 7 : = 700 + 14 714. מכיוון שכל אחד מהמחוברים מתחלק ב 7, הרי שהסכום גם הוא מתחלק ב 7. רוב התלמידים, תופסים זאת באופן אינטואיטיבי. הנה הסבר מתמטי: 102 7 = 2) (100 + 7 = 2 7 100 + 7 = 14 = 700 + 714. 714 מתחלק ב 7, כי הוא מכפלה של 7 במספר אחר. האם 9,918 מתחלק ב 9? נציג את 9,918 כסכום של מספרים המתחלקים ב 9 : = 9000 + 900 + 18 9,918. מאחר שכל אחד מהמחוברים מתחלק ב 9, הרי שהסכום גם הוא מתחלק ב 9. הסבר מתמטי:. 9,918 = 9,000 + 900 + 18 = 9 1,000 + 9 100 + 9 2 = 9 (1,000 + 100 + 2) = 9 1,102 39
מבוא לפרק "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 " האם 9,993 מתחלק ב 9? נציג את 9,993 כסכום של מספרים המתחלקים ב 9 ומספר נוסף שאיננו מתחלק ב 9 :. 9,993 = 9,000 + 900 + 90 + 3 דרך זו לקביעת ההתחלקות של מספר כלשהו במספר אחר נוחה לשימוש וגם מפתחת את תובנת המספרים. לפיכך אם נשאר זמן, מומלץ להציג דרך זו לפני התלמידים. איך מוצאים סימן התחלקות? מציאת סימני ההתחלקות יכולה להיעשות בשתי רמות. לדוגמה, נבדוק מהו סימן ההתחלקות ב- 2. רמה א אפשר לברר מהי סימן ההתחלקות על ידי חילוק מספרים רבים וניסיון למצוא חוקיות. לדוגמה, כדי למצוא מהו סימן ההתחלקות ב- 2 בודקים את ההתחלקות ב- 2 של כל המספרים השלמים מ- 1 עד 30. המספרים המתחלקים ב 2 :.30,28,26,24,22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2 המספרים שאינם מתחלקים ב- 2 :.29,27,25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1 מבדיקת ההתחלקות ב- 2 של 30 המספרים נוצר הרושם שקיימת חוקיות בחלוקה ב- 2. ואכן לגבי המספרים שבדקנו - כל המספרים שספרת היחידות שלהם היא זוגית מתחלקים ב- 2, וכל המספרים שספרת היחידות שלהם היא אי-זוגית אינם מתחלקים ב- 2. מבדיקת 30 המספרים ניתן להניח אפוא את ההכללה הזאת: כל מספר שספרת היחידות שלו היא זוגית מתחלק ב- 2, וכל מספר שספרת היחידות שלו היא אי-זוגית אינו מתחלק ב- 2. מבחינה לוגית - אי אפשר להכליל על סמך מספר מוגבל של דוגמאות. עדיין צריך להוכיח שהטענה נכונה לכל המספרים. רמה ב אפשר להוכיח בדרך לוגית את סימן ההתחלקות ב- 2. כל מספר שלם אפשר לרשום כסכום לפי המבנה העשרוני שלו (סכום של יחידות, עשרות, מאות וכן הלאה). דוגמה: = 2,000 + 600 + 40 + 5 2,645 המספרים 1000 100, 10, וכן הלאה מתחלקים ב- 2, ולכן גם כל הכפולות שלהם (40, 2,000 600, וכדומה) מתחלקות ב- 2. גם סכום הכפולות האלה (40 2,000) + 600 + מתחלק ב- 2. נשאר לבדוק אם ספרת היחידות מתחלקת ב- 2 או לא: אם ספרת היחידות מתחלקת ב- 2 (זוגית), המספר מתחלק ב- 2. אם ספרת היחידות היא אי-זוגית, המספר אינו מתחלק ב- 2. 40
מבוא לפרק "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 " בהוכחה הזאת השתמשנו בשני כללים: 1. אם אחד הגורמים מתחלק במספר מסוים, גם המכפלה מתחלקת במספר זה. לדוגמה: 100 מתחלק ב- 2, ולכן גם (6 600 100) מתחלק ב- 2. 2. אם כמה מספרים מתחלקים במספר מסוים, גם הסכום שלהם מתחלק באותו מספר. לכן גם 40) 2,640 (2,000 + 600 + מתחלק ב- 2. בשני הכללים האלה נשתמש בהמשך בהוכחות של סימני ההתחלקות ב- 3 וב- 9. בפרק הלימוד הנוכחי עוסקים בסימני ההתחלקות ב- 3, ב- 6 וב- 9 ברמה א בלבד: בודקים מספר מוגבל של מספרים ומנסים להגיע לידי הכללה. אנחנו עושים זאת אף שדרך זו אינה מדויקת מבחינה לוגית, משום שרוב הילדים בגיל הזה עדיין אינם "בשלים" להוכחות מתמטיות כלליות. נביא כאן גם את ההוכחות לסימני ההתחלקות ב- 3, ב- 6 וב- 9 (ההוכחות יכולות להתאים לתלמידים מתקדמים). בבדיקת ההתחלקות של מספרים במספר מסוים אנחנו מקפידים לבדוק גם מספרים שמתחלקים במספר וזה וגם מספרים שאינם מתחלקים בו - כך מוצאים סימן התחלקות הקיים בכל המספרים המתחלקים במספר הזה ואינו קיים במספרים שאינם מתחלקים בו. הוכחות של סימני ההתחלקות התחלקות ב- 9 כדי למצוא סימן להתחלקות ב- 9 נחפש הצגה של המספרים כסכום של מחוברים שאנו יודעים שהם מתחלקים ב- 9 ושארית שקל לבדוק אם היא מתחלקת ב- 9. המספרים 999 99, 9, וכן הלאה מתחלקים ב- 9 לכן ננסה להציג כל מספר כסכום של כפולות של 9, 999 99, וכן הלאה ועוד שארית. µ Ω µ ± ± ± Ω Ω µ πππ ± ππ ± π ± µ πππ ππ π µ דוגמה: שארית שיש לבדוק יודעים בוודאות שמתחלק ב 9 אם מתחלקת ב 9 השארית היא למעשה סכום הספרות של המספר, ולכן נשאר לבדוק אם סכום הספרות של המספר מתחלק ב- 9. סכום הספרות של מספר המתחלק ב- 9 יכול להיות 9 (המספר 81, למשל), 18 (המספר 774, למשל), 27 (המספר 84474, למשל) וכדומה. 41
מבוא לפרק "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 " סכום הספרות הסופי בחוברת לתלמיד סימני ההתחלקות ב 3 וב 9 מוגדרים לפי סכום הספרות ולא לפי סכום הספרות הסופי. ניתן גם להציג את סכום הספרות הסופי כהגדרה של סימני ההתחלקות וניתן אף לנסח אותו יחד עם התלמידים בתוך כדי דיון. בדיון מציגים מספר רב ספרתי המתחלק ב 9 וסכום ספרותיו גדול יחסית, למשל 8,888,886. התלמידים יחשבו את סכום הספרות (54), ובשלב זה תדון אתם המורה בשאלה: מה קורה אם לא יודעים אם 54 מתחלק ב 9? דיון זה יעודד אצל התלמידים חשיבה לוגית וייתכן שיוליך אותם להשתמש שוב בסימן ההתחלקות - חישוב סכום הספרות. בדרך זו הם יגיעו לכלל של חישוב סכום הספרות הסופי של המספר הנבדק. דוגמאות: 78,471 מתחלק ב 9, כי סכום הספרות הסופי הוא 9:. 2 + 7 = 9, 7 + 8 + 4 + 7 + 1 = 27 47,879 איננו מתחלק ב 9, כי סכום הספרות הסופי איננו 9:. 3 + 5 = 8, 4 + 7 + 8 + 7 + 9 = 35 לסיכום, כדי לבדוק אם מספר מתחלק ב 9, בודקים את סכום הספרות או את סכום הספרות הסופי של המספר: אם סכום הספרות של מספר מתחלק ב 9, המספר מתחלק ב 9. אם סכום הספרות הסופי של מספר הוא 9, המספר מתחלק ב 9. דוגמה: האם 888,987 מתחלק ב- 9? נבדוק אם סכום הספרות הסופי של המספר מתחלק ב- 9 : 888,987 48 12 3 סכום הספרות סכום הספרות סכום הספרות סכום הספרות של המספר 888,987 הוא 48 48. אינו מתחלק ב 9, ולכן 888,987 אינו מתחלק ב 9. כאמור, אפשר לבדוק את סכום הספרות הסופי: סכום הספרות הסופי של המספר 888,987 הוא 3. סכום הספרות הסופי אינו 9, ולכן 888,987 אינו מתחלק ב- 9. 42
מבוא לפרק "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 " התחלקות ב 3 כמו בהתחלקות ב- 9 גם בהתחלקות ב- 3 נציג את המספר שאת התחלקותו ב- 3 רוצים לבדוק כסכום של כפולות של 9999 999, 99, וכדומה ועוד שארית. דוגמה: האם 4,743 מתחלק ב- 3? 4,743 = 4 1000 + 7 100 + 4 10 + 3 = = (4 999 + 7 99 + 4 9) + (4 + 7 + 4 + 3) מכיוון ש- 9 מתחלק ב- 3, גם כל כפולה של 9 מתחלקת ב- 3, כלומר, 999 99, 9, מתחלקים ב 3, ולכן גם סכום המחוברים שבסוגריים השמאליים מתחלק ב- 3. נשאר לבדוק אם סכום המחוברים שבסוגרים הימניים (סכום הספרות של המספר) מתחלק ב 3, וכמו שראינו בסימן ההתחלקות ב 9 - אפשר לבדוק אם סכום הספרות הסופי של המספר מתחלק ב 3. לסיכום, כדי לבדוק אם מספר מתחלק ב 3, בודקים את סכום הספרות או את סכום הספרות הסופי של המספר: אם סכום הספרות של המספר מתחלק ב 3, המספר מתחלק ב 3. אם סכום הספרות הסופי של המספר מתחלק ב 3, המספר מתחלק ב 3. התחלקות ב 6 כדי למצוא אם מספר מתחלק ב 6, מסתמכים על ידע קודם: 2 3 = 6, ולכן אפשר לראות שמספר מתחלק ב 6, אם הוא מתחלק גם ב- 2 (ספרת היחידות שלו זוגית) וגם ב 3 (סכום ספרותיו מתחלק ב- 3 ). מסקנה: מספר מתחלק ב 6, רק אם ספרת היחידות שלו זוגית וגם סכום הספרות שלו מתחלק ב 3. פירוט הנושאים בפרק א. סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה) ביחידה זו חוזרים על סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 שנלמדו בכיתה ג' ועוסקים בניסוחים השונים המבטאים התחלקות של מספר במספר אחר: "כפולה של", "מתחלק ב" וגם "מתחלק ב...ללא שארית". ב. סימן ההתחלקות ב 3 ביחידה זו לומדים את סימן ההתחלקות ב 3 וכן חוקרים את הכפולות של 3 על ישר המספרים וגם בלוח המאה וכן את הקשר בין כפולות אלה לכפולות של 9. ג. סימן ההתחלקות ב 9 ביחידה זו לומדים את סימן ההתחלקות ב 9 וכן חוקרים את הכפולות של 9 על ישר המספרים וגם בלוח המאה במטרה לפתח את תובנת המספר. ד. סימני ההתחלקות ב 6 ביחידה זו חוקרים את הכפולות של 2 ואת הכפולות של 3, בודקים מתי הן מתלכדות ומנסחים את סימן ההתחלקות ב 6. 43
א. סימני התחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה) מה לומדים ביחידה זו? מזכירים את משמעות המושגים האלה בעולם המספרים הטבעיים: 1. מתחלק ב... (או מתחלק ב... ללא שארית) x מתחלק ב y, אם בתוצאת התרגיל x : y אין שארית. לדוגמה: 51 מתחלק ב 3, כי = 17 3. 51 : 58 אינו מתחלק ב 5, כי (שארית (3 11 = 5. 58 : 2. כפולה של....y z = x כך ש z אם קיים,y הוא כפולה של x 3. מחלק של... y הוא מחלק של, x אם בתוצאת התרגיל x : y אין שארית. סימן ההתחלקות ב 2 : אם ספרת היחידות של מספר היא זוגית, המספר מתחלק ב 2. אם ספרת היחידות של מספר היא אי זוגית, המספר אינו מתחלק ב 2. סימן ההתחלקות ב 5 : אם ספרת היחידות של מספר היא 0 או 5, המספר מתחלק ב 5. אם ספרת היחידות של מספר אינה 0 או 5, המספר אינו מתחלק ב 2. סימן ההתחלקות ב 10 : אם ספרת היחידות של מספר היא 0 (אפס), המספר מתחלק ב 10. אם ספרת היחידות של מספר אינה 0, המספר אינו מתחלק ב 10. סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 נלמדו בכיתה ג', בחוברת "המספרים עד - 10,000 חלק ב", עמודים 14-4. המטרות העיקריות של הפעילויות ביחידה זו: א. לברר אם התלמידים מבינים את המשמעות של "מספר מתחלק במספר אחר" (עמוד 62). ב. להזכיר לתלמידים את שלושת סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 ולתרגל אותם, לפני שלומדים סימני התחלקות חדשים ומורכבים יותר (עמודים 64-63). ואלה סימני ההתחלקות: מספר מתחלק ב 2, אם ספרת היחידות שלו זוגית. מספר מתחלק ב 5, אם ספרת היחידות שלו היא 5 או 0. מספר מתחלק ב 10, אם ספרת היחידות שלו היא 0. 44
א. סימני התחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה) פעילות פתיחה: סימני התחלקות ב 2, ב 5 וב 10 כל תלמיד מתבקש לרשום על דף עשרה מספרים דו ספרתיים. בכל שלב המורה אומרת הגדרה כלשהי, והתלמידים בודקים אם יש ברשימתם מספרים המתאימים להגדרה ומסמנים אותם. מנצח: הראשון שסימן את כל המספרים (או הראשון שסימן מספר אחר של מספרים לפי מה שהוחלט או שמחליטים מראש לסיים אחרי זמן שנקבע מראש). דוגמאות להגדרות: מספרים המתחלקים (או שאינם מתחלקים) ב 10 מספרים המתחלקים (או שאינם מתחלקים) ב 5 מספרים המתחלקים (או שאינם מתחלקים) ב 2 מספרים המתחלקים ב... ואינם מתחלקים ב... מספרים שספרת היחידות/העשרות שלהם היא... מספרים הגדולים/הקטנים מ... הערה: בשלבים שבהם ההגדרה קשורה לסימני התחלקות מומלץ לרכז על הלוח מספרים מתאימים שמצאו התלמידים ברשימותיהם. עמוד 62 בפעילות 1 אפשר להסביר בדרכים שונות וכל תלמיד יכול לבחור את דרך ההסבר הנוחה לו. הנה דוגמאות להסברים אפשריים לסעיף ב: כותבים תרגיל חילוק ופותרים: = 24 4, 96 : אין שארית בתוצאה ולכן 96 מתחלק ב 4. מנסים להשלים תרגיל כפל מתאים: 4 24 = 96 100 מתחלק ב 4, ולכן גם (100-4) 96 מתחלק ב 4. בפעילות 2 כל התשובות בסעיף ב נכונות ומטרת הפעילות להזכיר את המושגים "כפולה של", "מתחלק ב..", "מחלק של..." ו"מתחלק ב.. ללא שארית". 45
א. סימני התחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה) עמודים 64-63 פעילות 3 נועדה להזכיר את השימוש בסימן ההתחלקות ב 5. סימן התחלקות זה הוא בדרך כלל אינטואיטיבי לילדים ומובן להם שכל מספר שספרת היחידות שלו היא 5 או 0 מתחלק ב 5, וכל מספר שספרת היחידות שלו שונה מ 0 או מ 5 אינו מתחלק ב 5. בפעילות 4 עוסקים בהתחלקות ב 2 דרך סיפור על קבוצות של רקדנים שרוצות לרקוד ריקודי זוגות. במקרה זה בודקים התחלקות ב 2 על ידי חלוקת קבוצה לזוגות (חילוק להכלה). אפשר, כמובן, לבדוק התחלקות ב 2 על ידי חלוקה לשתי קבוצות שוות (חילוק לחלקים). בפעילות 5 עוסקים בהתחלקות ב 10 : מספר המתחלק גם ב 2 וגם ב 5 מתחלק גם ב 10. חשוב גם להכליל ולומר שספרת היחידות של מספרים אלה היא 0. 46
ב. סימן ההתחלקות ב 3 פעילות פתיחה המורה רושמת על הלוח מספר, לדוגמה:, 435 ושואלת: - האם המספר מתחלק ב 5? - האם המספר מתחלק ב 10? - האם המספר מתחלק ב 2? - האם המספר מתחלק ב 3? התלמידים עדיין לא למדו את סימן ההתחלקות ב 3 וכאן המקום לערוך דיון בכיתה: איך נוכל לבדוק אם המספר 435 מתחלק ב 3? בשלב זה הדרך היא לפתור את תרגיל החילוק: = 145 3. 435 : בתוצאה אין שארית, ולכן התשובה היא שהמספר 435 מתחלק ב 3. טעות רווחת - מכיוון ששלושת סימני ההתחלקות שנלמדו עד כה נשענים על הבדיקה של ספרת היחידות, יש תלמידים שמשליכים מכך על הבדיקה של התחלקות ב 3 וחושבים שמספר מתחלק ב 3, אם ספרת היחידות שלו היא 3. מומלץ לעשות פעילות דומה עם מספר שאינו מתחלק ב 3, לדוגמה:. 713 מסקנה מהפעילות: בשלב זה כדי לדעת אם מספר נתון מתחלק ב 3 או אינו מתחלק ב 3 עלינו לחלק ולבדוק. בפעילויות הבאות נלמד סימן שבעזרתו נוכל לבדוק אם מספר מתחלק ב 3 בלי לפתור את תרגיל החילוק. עמוד 65 בפעילויות שבעמוד זה עוסקים בתובנות הקשורות להתחלקות ב 3. בפעילות 1 רואים שהמספרים המתחלקים ב 3 יוצרים על ישר המספרים סדרה בקפיצות של 3. בפעילות 2 לומדים דרך בחינת דוגמאות שאם מוסיפים 3 או כפולה של 3 למספר המתחלק ב 3, התוצאה גם היא מספר המתחלק ב 3, ולהפך: אם מוסיפים מספר שאינו מתחלק ב 3, למספר המתחלק ב 3, התוצאה היא מספר שאינו מתחלק ב 3. אין המטרה כאן להביא את התלמידים לידי שליטה בכללים אלה, אלא המטרה היא "שיחושו" את הדברים דרך דוגמאות העוסקות במקרים הפשוטים. פעילות פתיחה מציירים על הלוח ישר מספרים כזה: 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 מבקשים מהתלמידים לרשום במחברת את המספרים המתחלקים ב 3, ומקיפים אותם על ישר המספרים. מציירים על הישר קפיצות (בקשתות) ומבקשים מהתלמידים להתאים תרגיל לכל קפיצה. - קפיצה מ 66 ל 69 (69=66+3) - קפיצה מ 69 ל 72 (72=69+3) - קפיצה מ 66 ל 72 (72=66+6) - קפיצה מ 69 ל 75 (75=69+6) 47
ב. סימן ההתחלקות ב 3 שואלים: מה משותף לכל התרגילים? כותבים על הלוח את התרגילים האלה:.66+12 66+14 66+15 מבקשים מהתלמידים למצוא, בלי לפתור את התרגילים, אילו תוצאות יתחלקו ב 3. הרחבה: כותבים על הלוח את המספר 130 ושואלים אם הוא מתחלק ב 13 (כן, כי.(13 10 =130 מבקשים מהתלמידים למצוא: - שלושה מספרים בין 130 ל 200 המתחלקים ב 13. - שלושה מספרים בין 130 ל 200 שאינם מתחלקים ב 13. עמודים 68-66 פעילות 3 בסעיף א התלמידים מתבקשים לסמן תחילה את המספרים שלגביהם הם יכולים לקבוע בוודאות שהם מתחלקים ב 3 או שהם אינם מתחלקים ב 3 ומומלץ לבקש מהם לנמק את קביעתם. לגבי מספרים שהתלמידים אינם בטוחים אם הם מתחלקים ב 3 יש להנחות אותם לבדוק כל מספר כזה על ידי תרגיל של חילוק ב 3 : - אם בתוצאה אין שארית, המספר מתחלק ב 3. דוגמה: = 17 3, 51 : מכאן: 51 מתחלק ב 3. - אם בתוצאה יש שארית, המספר אינו מתחלק ב 3. דוגמה: (שארית 2) 17 = 3, 53 : מכאן: 53 אינו מתחלק ב 3. בסעיפים ג-ה בודקים את סכומי הספרות של המספרים המתחלקים ב 3 לעומת סכומי הספרות של המספרים שאינם מתחלקים ב 3. מומלץ לתת לתלמידים לנסות למצוא בעצמם את סימן ההתחלקות ב 3 לפני שנותנים להם את הניסוח המדויק. בפעילות 4 בודקים בשני אופנים אם מספר מתחלק ב 3 גם לפי סכום הספרות וגם על ידי פתרון תרגיל חילוק. דיון לסיכום הפעילות: - האם כדי לקבוע אם מספר מתחלק ב 3 צריך לבדוק את סכום הספרות שלו וגם לפתור את תרגיל החילוק? - איזו מהדרכים נוחה יותר לבדיקת התחלקות ב 3? בפעילויות 5 ו 6 בונים מספרים המתחלקים ב 3 ומספרים שאינם מתחלקים ב 3 על ידי שימוש בסימן ההתחלקות. בפעילות 5 בונים מספרים תלת ספרתיים שספרת היחידות שלהם 5. בסעיף א אפשר להנחות את התלמידים לעבוד כך: משלימים את אחת הספרות, למשל את ספרת המאות 3:. 3 5 יש כמה אפשרויות להשלמת ספרת העשרות כך שסכום הספרות יתחלק ב 3 : 375. 345, 315, 48
ב. סימן ההתחלקות ב 3 באופן דומה אפשר למצוא עוד הרבה מספרים מתאימים. בסעיף ב משלימים באופן דומה, אבל למספרים שסכום ספרותיהם אינו מתחלק ב 3. בפעילות 7 מיישמים את סימן ההתחלקות ב 3. בסעיפים ה ו ו למעשה מחפשים מספרים דו ספרתיים שונים שספרת העשרות שלהם היא 8 והם מתחלקים ב 3. יש 3 אפשרויות: 87. 84, 81, רב דף 8 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 91. רב דף 9 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 92. רב דף 10 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 93. 49
ג. סימן ההתחלקות ב 9 פעילות פתיחה המורה כותבת מספר על הלוח, למשל:. 165 שאלה: האם המספר הנתון מתחלק ב 3? תשובה: התלמידים מחשבים את סכום הספרות: = 12 5. 1 + 6 + 12 מתחלק ב 3, ולכן 165 מתחלק ב 3. שאלה: האם המספר הנתון מתחלק ב 9? תשובה: התלמידים עדיין לא למדו את סימן ההתחלקות ב 9, ולכן עליהם לחלק את המספר הנתון ב 9 : (שארית 3) 18 = 9. 165 : יש שארית בתוצאה, ולפיכך 165 אינו מתחלק ב 9. שאלה: האם תוכלו למצוא מספר המתחלק ב 3 וגם מתחלק ב 9? תשובה: לאחר שימצאו התלמידים דוגמאות שונות מתאימות, ייתכן שאף יכלילו: כל המספרים המתחלקים ב 9 מתאימים, כי הם מתחלקים גם ב 3. התלמידים צריכים להיות ערים לכך שכאשר המשימה היא לבדוק אם מספר x מתחלק במספר y, הם יכולים לענות על סמך סימן ההתחלקות ב y (אם הם מכירים אותו) בלי לפתור את תרגיל החילוק. אם התלמידים אינם מכירים את סימן ההתחלקות, עליהם לפתור את תרגיל החילוק ולענות לפי התוצאה (אם אין שארית המספר מתחלק, אם יש שארית המספר אינו מתחלק). המלצה: במהלך הלימוד של סימני התחלקות חדשים מומלץ מדי פעם לפתוח שיעור או לסכם שיעור בעזרת סדרת שאלות על בדיקת ההתחלקות ולשלב גם שאלות שבעזרתן בודקים התחלקות שסימנה לא נלמד וחייבים לחלק כדי לענות. דוגמה: האם 378 מתחלק ב 7? סימן ההתחלקות ב 7 לא נלמד, ולכן כדי לענות חייבים לפתור את תרגיל החילוק = 54 7. 378 : אין שארית בתוצאה, ולכן התשובה: 378 מתחלק ב 7. 72 לעומת זאת כדי לבדוק אם 378 מתחלק ב 3, בודקים את סכום הספרות: = 18 8. 3 + 7 + סכום הספרות (18) מתחלק ב 3, ולכן 378 מתחלק ב 3. עמודים 72-69 בפעילות 1 התלמידים מתרגלים קפיצות של 9 על ישר המספרים. התלמידים יכולים להבין שנוח למצוא את המספר הבא המתחלק ב 9 על ידי של 10 קדימה ודילוג של 1 לאחור. כך הם מגלים שבכל עשרת המספר המתחלק ב 9 "נסוג" מקום אחד שמאלה בתוך העשרת: 9 18 27 36 45 54 63 72 81 99 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 בפעילות 2 עוסקים בכפולות של 9 וכפולות של 3 על לוח המאה. סימון הכפולות של 9 נועד למציאת החוקיות של פיזור המספרים האלה על הלוח. התלמידים מגלים שהכפולות של 4 מסודרות על קו אלכסון היורד מימין לשמאל ויכולים לנסות להסביר מדוע הסידור הוא כזה (כי = 10-1 9, כלומר המשמעות של קפיצה של 10 על לוח המאה היא "ירידה" למשבצת שמתחת למספר הנתון, וקפיצה של 9 היא קפיצה למספר שמשמאלו). כמו כן בפעילות זו התלמידים נוכחים לדעת שכל המספרים המתחלקים ב 9 מתחלקים גם ב 3 (המספרים האלה מסומנים גם ב וגם ב ), ומספר המספרים המתחלקים ב 3 גדול פי 3 ממספר המספרים המתחלקים ב 9. 50
ג. סימן ההתחלקות ב 9 בעמודים 72-70 עוסקים בסימן ההתחלקות ב 9 באופן דומה לתהליך שנעשה לגבי סימן ההתחלקות ב 3 (בעמודים 67-66). המסקנה מפעילות 6 בעמוד 72: כשמחליפים את סדר הספרות של מספר, סכום הספרות אינו משתנה ולכן גם ההתחלקות ב 9 אינה משתנה. פעילות 7 בעמוד 72 דומה לפעילות 2 בעמוד 65, והמטרה היא לפתח את החוש למספרים בנושא ההתחלקות ב 9. 684 + 1 = 684-1 = 684 + 10 = פעילות פתיחה בדקו אם המספר 684 מתחלק ב 9. 18) = 4 18,6 + 8 + מתחלק ב 9, ומכאן 684 מתחלק ב 9.) בדקו את השערותיכם בעזרת סימן ההתחלקות ב 9. מה מסקנתכם מהפעילות? 684 + 2 = 684-2 = 684 + 18 = שערו אילו מתוצאות התרגילים האלה מתחלקות ב 9 : 684 + 5 = 684 + 9 = 684-3 = 684-9 = 684-10 = 684-90 = תלמידים ברמת הבנה גבוהה מסיקים מהפעילות שאם למספר המתחלק ב 9 מוסיפים מספר המתחלק ב 9 או מחסרים ממנו מספר המתחלק ב 9 - גם התוצאה מתחלקת ב 9. אם מוסיפים או מחסרים מספר שאינו מתחלק ב 9, גם התוצאה אינה מתחלקת ב 9. מובן שאין הכרח שכל התלמידים יגיעו להכללה זו. 51 רב דף 11 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 94.
ג. סימן ההתחלקות ב 9 רב דף 12 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 95. 52
ד. סימן ההתחלקות ב 6 פעילות פתיחה המורה רושמת על הלוח מספרים ושואלת: לגבי אילו מהמספרים האלה אתם יכולים לקבוע בוודאות שהם מתחלקים ב 6 בלי לחלק אותם? אילו מהם אינם מתחלקים ב 6? נמקו: 54 300 20 61 60 12 72 136 156 605 120 49 מומלץ להתמקד בנימוקי התלמידים. הנה דוגמאות לנימוקים של תלמידים: 54 מתחלק ב 6, כי הוא מופיע בשורת הכפולות של 6 בלוח הכפל. 61 אינו מתחלק ב 6, כי 60 מתחלק ב 6 ולכן 60 + 1 אינו מתחלק ב 6. 605 אינו מתחלק ב 6, כי הוא מספר אי זוגי. 300 מתחלק ב 6, כי 30 מתחלק ב 6. עמודים 75-73 בפעילויות 4-3 שבעמוד 74 רואים על ישר המספרים ועל לוח המאה את המספרים המתחלקים גם ב 2 וגם ב 3, והמטרה לתת את התחושה לסימן ההתחלקות ב 6 המוצג בעמוד 75. בפעילות 5 מומלץ לדון באוסף המספרים המתאימים לארבע השורות האחרונות בטבלה. מעניין לשאול את התלמידים אם בשורות אלה אפשר להשלים את הטור השמאלי גם לפני שמשלימים את המספר בטור הימני. (התשובה: בוודאי שאפשר. המספר מתחלק ב 6 רק במקרה שכתוב כן / כן בשני הטורים האמצעיים, כלומר, רק במקרה שספרת היחידות זוגית וסכום הספרות מתחלק ב 3.) הצעה נוספת: המורה תאמר מספר תלת ספרתי כלשהו שספרת המאות שלו 3, והתלמידים יבדקו לאיזו מהשורות האלה המספר מתאים. רב דף 13 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 94. 53
ד. סימן ההתחלקות ב 6 רב דף 14 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 97. עמודים 78-76 בפעילות 6 רצוי שהסברי התלמידים יהיו מבוססים על סימן ההתחלקות ב 6. מובן שגם נימוק על ידי פתרון תרגיל חילוק הוא מדויק ונכון. לדוגמה: 99 אינו מתחלק ב 6. נימוקים אפשריים: (שארית (3 16 = 6, 99 : יש שארית בתוצאה. ספרת היחידות (9) היא אי זוגית. 39 = 60 + 99 60, מתחלק ב 6, אך 39 אינו מתחלק ב 6. בפעילות 10 בעמוד 77 כל המספרים הם זוגיים (כי נתון שספרת היחידות היא זוגית). יש להשלים את הספרות החסרות, כך שסכום הספרות יתחלק ב 3. אלה המספרים המתאימים: א. 930,630,330 ב.,246,216,186,156,126,....996 ג..732,432,132 פעילות 11 בעמוד 78 למעשה מסכמת את סימני ההתחלקות ב 2, ב 3, ב 5, ב 6 וב 9. יש תלמידים שבשלב זה כבר בשלים לעשות קיצורי דרך ולנמק גם בלי לבדוק עד הסוף. למשל: קבוצה של 135 רקדנים אינה מתאימה לריקוד זוגות, ולכן בוודאי גם אינה מתאימה לריקוד שישיות. בארבע השורות האחרונות של הטבלה מומלץ לרכז על הלוח את אוסף המספרים שמצאו התלמידים לכל שורה. 54
ד. סימן ההתחלקות ב 6 רב דף 15 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 98. רב דף 16 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 99. רב דף 17 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 100. כאן מתאים המבדק המסכם שבסוף מדריך זה, עמוד 90. 55