ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Οι διχοτόμοι των γωνιών A, ˆ B ˆ τέμνουν τη ΓΔ στα Ρ, Ε και οι διχοτόμοι των γωνιών ˆΓ, Δ ˆ τέμνουν την ΑΒ στα Σ, Τ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΔΕΒΤ είναι παραλληλόγραμμο. β) Το τετράπλευρο ΚΛΗΘ που σχηματίζουν οι διχοτόμοι είναι ορθογώνιο. γ) Οι διαγώνιοι του παραπάνω ορθογωνίου είναι παράλληλες προς τις πλευρές του ΑΒΓΔ και είναι ίσες με τη διαφορά των πλευρών του. α) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο επομένως είναι ΤΒ // ΔΕ (1) και E 1 = B 1 εναλλάξ) B 1 = Δ (γιατί Β Δ επομένως Β Δ ή B 1 = Δ ) άρα E 1 = Δ οπότε ΔΤ // ΕΒ () από τις σχέσεις (1) και () έχουμε ότι το τετράπλευρο ΔΕΒΤ είναι παραλληλόγραμμο. (ως εντός β) Ανάλογα έχουμε ότι και το τετράπλευρο ΑΣΓΡ είναι επίσης παραλληλόγραμμο επομένως είναι ΚΘ // ΛΗ και ΚΛ // ΘΗ, τότε το τετράπλευρο ΚΛΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης είναι: ο Α Β Α Β 180 ο A1 Δ1 90 άρα Κ =90 ο επομένως το τετράπλευρο ΚΛΗΘ είναι ορθογώνιο. γ) Το τρίγωνο ΑΔΤ είναι ισοσκελές αφού η ΑΚ είναι διχοτόμος και ύψος, άρα η ΑΚ είναι και διάμεσος του τριγώνου, οπότε ΔΚ = ΚΤ. Ανάλογα έχουμε ΕΗ = ΗΒ. Αλλά από το παραλληλόγραμμο ΔΕΒΤ έχουμε ΔΤ = // ΕΒ δηλαδή ΔΤ ΕΒ, οπότε ΔΚ =//ΕΗ οπότε το τετράπλευρο ΔΕΗΚ είναι παραλληλόγραμμο, συνεπώς ΚΗ//ΔΕ, δηλαδή ΚΗ//ΓΔ. Είναι Θ 1 = Κ 1 (από το ορθογώνιο ΚΘΗΛ), Κ 1 = Δ (από το παραλληλόγραμμο ΚΗΕΔ) και Δ = Δ 1 (ΔΤ διχοτόμος), άρα Θ 1 = Δ 1, επομένως ΘΛ // ΑΔ // ΒΓ. Ακόμα ΚΗ = ΔΕ = ΓΔ ΓΕ = ΓΔ ΒΓ.

ΑΣΚΗΣΗ η Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι απέναντι γωνίες του Β και Δ είναι παραπληρωματικές. Οι πλευρές του ΔΑ και ΓΒ τέμνονται στο σημείο Ε, ενώ οι ΑΒ και ΔΓ τέμνονται στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των διχοτόμων των γωνιών Ε και Ζ με τις πλευρές του ΑΒΓΔ είναι κορυφές ρόμβου. Εάν Ρ, Κ, Λ και Μ τα σημεία τομής των διχοτόμων των γωνιών E και Z με τις πλευρές του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΡΚΛΜ είναι ρόμβος. Ονομάζουμε τις γωνίες AMZ ω και ΕΚΜ φ, τότε οι γωνίες ω και φ είναι εξωτερικές στα τρίγωνα ΔΜΖ και ΚΒΖ αντίστοιχα, επομένως ισχύουν: ω = Δ Ζ φ Ζ = Β1 = ο Ζ Ζ 180 Β = Δ (αφού ο Β Δ 180 από την υπόθεση.) άρα ω = φ, δηλαδή το τρίγωνο ΕΜΚ είναι ισοσκελές και η διχοτόμος του ΕΗ είναι διάμεσος και ύψος, άρα ΕΗ ΜΚ και ΜΗ = ΗΚ. Αντίστοιχα, το τρίγωνο ΡΖΛ είναι ισοσκελές και ισχύουν ΖΗ ΡΛ και ΡΗ = ΗΛ. Αφού ΜΗ = ΗΚ και ΡΗ = ΗΛ, τότε το τετράπλευρο ΜΡΚΛ είναι παραλληλόγραμμο στο οποίο οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα, συνεπώς είναι ρόμβος.

ΑΣΚΗΣΗ 3η Αν Ε, Ζ, Η και Θ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα, τετραπλεύρου ΑΒΓΔ και Κ, Λ είναι τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ, να δείξετε ότι: α) τα τετράπλευρα ΕΚΗΛ και ΖΚΘΛ είναι παραλληλόγραμμα. β) οι ευθείες ΕΗ, ΖΘ και ΛΚ συντρέχουν. α) Στο τρίγωνο ΑΒΓ τα σημεία Ε και Κ είναι μέσα των πλευρών του, επομένως ΕΚ =// ΒΓ και στο τρίγωνο ΒΓΔ τα σημεία Λ και Η είναι μέσα των πλευρών του, επομένως ΛΗ =// ΒΓ, άρα ΕΚ=//ΛΗ, τότε το τετράπλευρο ΕΚΗΛ είναι παραλληλόγραμμο. Ανάλογα έχουμε ότι ΘΛ =// ΑΒ επίσης παραλληλόγραμμο. ΑΒ και ΚΖ =//, άρα ΘΛ =// ΚΖ επομένως και το τετράπλευρο ΘΛΖΚ είναι β) Επειδή το τετράπλευρο ΘΛΖΚ είναι παραλληλόγραμμο, η ΘΖ διέρχεται από το μέσο της ΛΚ. Όμοια, αφού το ΕΛΗΚ είναι παραλληλόγραμμο η ΕΗ διέρχεται από το μέσο της ΛΚ, άρα οι ευθείες ΕΗ, ΘΖ και ΛΚ συντρέχουν, επειδή διέρχονται από το κοινό κέντρο των δυο παραλληλογράμμων.

ΑΣΚΗΣΗ 4η α) Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών παραλληλογράμμου, τεμνόμενες ανά δύο σχηματίζουν ορθογώνιο. β) Οι διαγώνιες του παραπάνω ορθογωνίου είναι παράλληλες προς τις πλευρές του παραλληλογράμμου. γ) Το άθροισμα των διαγωνίων του ορθογωνίου είναι ίσο με την περίμετρο του παραλληλογράμμου. α) Είναι ΑΔ // ΒΓ επομένως xab yba = 180 ο ή Όμοια είναι Λ Κ Ρ = 90 ο συνεπώς το τετράπλευρο ΜΛΚΡ είναι ορθογώνιο. xab yba = 90 ο ή ω φ = 90 ο τότε Μ = 90 ο. β) Στο τρίγωνο ΓΒΘ η διχοτόμος του ΓΛ είναι και ύψος του, άρα το τρίγωνο ΒΓΘ είναι ισοσκελές και η ΓΛ είναι και διάμεσος, επομένως ΒΓ = ΓΘ και ΒΛ = ΛΘ. Όμοια από το ισοσκελές τρίγωνο ΝΑΔ έχουμε ΑΝ = ΑΔ και ΝΡ = ΡΔ. Στο τετράπλευρο ΔΝΒΘ οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραμμο, οπότε: ΔΝ =// ΒΘ, δηλαδή ΔΝ // ΒΘ, οπότε ΝΡ=//ΒΛ. Επομένως το τετράπλευρο ΝΒΛΡ είναι παραλληλόγραμμο, άρα ΑΒ // ΡΛ και αντίστοιχα ΚΜ // ΑΔ γ) Από το παραλληλόγραμμο ΝΒΛΡ έχουμε: ΡΛ = ΝΒ = ΝΑ + ΑΒ = ΑΔ +ΑΒ. Επειδή οι διαγώνιες του ορθογωνίου είναι ίσες έχουμε ΚΜ = ΡΛ= ΑΔ + ΑΒ επομένως ΡΛ+ΚΜ=(ΑΔ +ΑΒ), δηλαδή το άθροισμα των διαγωνίων του ορθογωνίου είναι ίσο με την περίμετρο του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ.

ΑΣΚΗΣΗ 5η Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος του ΑΔ και προεκτείνουμε την ΒΓ κατά τμήμα ΓΜ = ΒΓ. Αν Κ είναι το μέσο του ΑΜ και η ΔΚ τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο σημείο Ε, να δείξετε : α) το τετράπλευρο ΒΚΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. β) ΕΔ = AM. γ) το σημείο Γ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΚΕΜ. α) Τα τρίγωνα ΒΕΔ και ΔΚΓ είναι ίσα γιατί Δ1 Δ (ως κατακορυφήν), ΒΔ = ΔΓ (γιατί στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος του ΑΔ είναι και διάμεσός του) και Β Γ (ως εντός εναλλάξ), αφού ΚΓ//ΑΒ (γιατί;), άρα ΔΕ = ΔΚ. 1 1 Στο τετράπλευρο ΒΚΓΕ είναι ΔΕ = ΔΚ και ΒΔ = ΔΓ δηλαδή οι διαγώνιοι του διχοτομούνται, συνεπώς είναι παραλληλόγραμμο. β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΜ η ΔΚ είναι διάμεσος, επομένως ΔΚ = AM. Αλλά ΔΚ = ΕΔ, άρα ΕΔ = AM. γ) Από το παραλληλόγραμμο ΒΚΓΕ έχουμε ΔΚ = ΕΔ, άρα στο τρίγωνο ΚΕΜ η ΜΔ είναι διάμεσος και ΜΓ=ΒΓ=ΓΔ.. Συνεπώς το σημείο Γ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΚΕΜ.

ΑΣΚΗΣΗ 6 η Έστω Ε σημείο της πλευράς ΑΒ τετραγώνου ΑΒΓΔ. Αν η διχοτόμος της γωνίας ΒΓ στο σημείο Ζ, να δείξετε ότι ΔΕ = ΑΕ + ΓΖ. ΕΔΓ τέμνει την πλευρά Προεκτείνουμε τη πλευρά του τετραγώνου ΒΑ κατά τμήμα ΑΗ = ΓΖ, οπότε ΗΕ=ΑΕ+ΓΖ. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι ΔΕ=ΗΕ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΑΗ και ΖΔΓ έχουν ΖΓ = ΑΗ (από κατασκευή) και ΑΔ = ΔΓ, άρα είναι ίσα, επομένως H Z1 και Δ1 Δ. Αλλά H Z1 ΑΔΖ (ως εντός εναλλάξ)= Δ3 Δ4 = Δ3 Δ (αφού η ΔΖ είναι διχοτόμος) = Δ3 Δ1 (αφού Δ1 Δ ) = ΗΔΕ. Επομένως το τρίγωνο ΗΕΔ είναι ισοσκελές, άρα ΔΕ = ΗΕ. ος τρόπος Από την κορυφή Α του τετραγώνου φέρνουμε την ΑΚ κάθετη στην ΔΖ που τέμνει την ΔΕ στο σημείο Λ και την ΔΓ στο σημείο Ρ. Στο τρίγωνο ΛΔΡ η ΔΚ είναι διχοτόμος και ύψος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, επομένως ΔΛ = ΔΡ (1) και Ρ1 Λ1. Όμως Ρ1 Α1 (ως εντός εναλλάξ) και Λ1 Λ (ως κατακορυφή), άρα Α1 Λ οπότε το τρίγωνο ΑΕΛ είναι ισοσκελές, επομένως είναι ΑΕ = ΕΛ () Στα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΡ και ΑΓΖ έχουμε: ΑΔ = ΔΓ και Α Δ (έχουν τις πλευρές τους κάθετες), άρα είναι ίσα, επομένως ΖΓ = ΔΡ (3) Τότε από τις σχέσεις (1), () και (3) έχουμε: ΔΕ = ΔΛ + ΛΕ = ΔΡ + ΑΕ = ΖΓ + ΑΕ.

ΑΣΚΗΣΗ 7 η Εξωτερικά τετραγώνου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ, ΓΔΗ και ΔΑΘ. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο. Αν συμβολίσουμε με α την πλευρά του τετραγώνου τότε: ΕΑ = ΕΒ = ΖΒ = = ΘΑ = α, επομένως τα τρίγωνα ΕΑΘ, ΕΒΖ, ΖΓΗ και ΔΗΘ είναι ισοσκελή. Επίσης A1 B1 Γ1 Δ1 = 360 ο 90 ο 60 ο 60 ο = 150 ο άρα τα παραπάνω τρίγωνα είναι ίσα, επομένως ΘΕ = ΕΖ = ΖΗ = ΗΘ, δηλαδή το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ρόμβος. Ακόμη είναι: άρα ΘΕΖ o 1 180 150 E E = 15 ο, = 60 ο + 15 ο + 15 ο = 90 ο o συνεπώς το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ρόμβος με μία γωνία ορθή, δηλαδή τετράγωνο.

ΑΣΚΗΣΗ 8η Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με A Δ = 90 ο, ΑΒ > ΓΔ, ΒΓ = 4ΓΔ και B = 60 ο. Φέρνουμε την ΓΗΑΒ και θεωρούμε τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών του ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχως. Να δείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. β) ΗΒ = ΕΖ. γ) Το τετράπλευρο ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. α) Αφού Α Δ = 90 ο, τα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι κάθετα στην ΑΔ, συνεπώς είναι μεταξύ τους παράλληλα, άρα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΗΒ είναι B = 60 ο, επομένως Γ 1 = 30 ο άρα ΗΒ = ΒΓ 4ΓΔ = ΓΔ. (1) Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ η ΕΖ είναι διάμεσός του άρα ΕΖ = ΑΒ ΓΔ ΓΔ ΓΔ ΓΔ = = 4ΓΔ = ΓΔ () = ΑH ΗΒ ΓΔ = από τις σχέσεις (1) και () έχουμε ότι: ΗΒ = ΕΖ γ) Αφού η ΕΖ είναι διάμεσος του τραπεζίου, είναι ΕΖ // ΗΒ και λόγω του β ερωτήματος είναι ΕΖ = ΗΒ, συνεπώς το τετράπλευρο ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραμμο.

ΑΣΚΗΣΗ 9η Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90 ο ) με B = 30 ο και ΑΓ = λ. Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΒΓ αντιστοίχως και Μ, Ν τα μέσα των τμημάτων ΑΚ και ΓΛ αντιστοίχως, να δείξετε ότι: α) το τετράπλευρο ΚΛΓΑ είναι τραπέζιο. β) το τετράπλευρο ΚΛΔΑ είναι ορθογώνιο, όπου Δ είναι η προβολή του Λ στην ΑΓ. γ) ΜΝ = 3ΔΝ. α) Επειδή τα Κ, Λ είναι μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ, είναι ΚΛ = // ΑΓ ή ΚΛ // ΑΓ, άρα το τετράπλευρο ΚΛΓΑ είναι τραπέζιο. β) Επειδή ΚΛ // ΑΓ, ΛΔ // ΚΑ (ως κάθετες στην ίδια ευθεία) και A = 90 ο, προκύπτει ότι το τετράπλευρο ΚΛΔΑ είναι ορθογώνιο. γ) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι B =30 ο, επομένως ΑΓ = BΓ ΑΓ = ΒΛ = ΛΓ = λ, και ΚΛ= = λ KΛ ΑΓ λ λ ΚΛΓΑ η διάμεσος του ΜΝ είναι ίση με: ΜΝ = = 3 λ = λ. Στο τραπέζιο Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΛΔΓ η ΔΝ είναι διάμεσος, οπότε ΔΝ = ΛΓ δηλαδή ΜΝ = 3ΔΝ. = λ = λ, επομένως ΜΝ = 3 ΔΝ,

ΑΣΚΗΣΗ 10η Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ και ΒΓΖ από τα οποία το ένα βρίσκεται μέσα στο τετράγωνο και το άλλο έξω απ αυτό. Αφού υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΑΔΕ, ΒΕΓ και ΒΕΖ, να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά. Για τις γωνίες του τριγώνου ΑΔΕ έχουμε: A 1 = 90 ο 60 ο = 30 ο αφού το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ισοσκελές. Είναι ΑΔ = ΑΕ οπότε το τρίγωνο ΑΔΕ είναι επίσης ισοσκελές, επομένως έχουμε: Δ 1 = Ε 1 = ο 180 30 ο = 75 ο Για τις γωνίες του τριγώνου ΒΕΓ έχουμε ανάλογα Β 1 = 30 ο και Γ 1 = ΒΕΓ = 75 ο Για τις γωνίες του τριγώνου ΒΕΖ έχουμε: = 1 ΕΒΖ Ε 3 = Ζ 1 = Β + Β ο 180 90 = 30 ο + 60 ο = 90 ο. Επίσης το τρίγωνο ΒΕΖ είναι ισοσκελές γιατί ΒΕ = ΑΒ = ΒΖ άρα ο = 45 ο Επιπλέον είναι Ε = 60 ο γιατί το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ισόπλευρο, οπότε: Ε 1 + Ε + Ε 3 = 75 ο + 60 ο + 45 ο = 180 ο, άρα τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά.

ΑΣΚΗΣΗ 11η Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A =90 ο ) και ΑΔ το ύψος του. Από σημείο Ε της ΑΒ φέρνουμε παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει το ύψος ΑΔ στο Ζ. Φέρνουμε την κάθετη στην ΖΓ στο σημείο Ζ που τέμνει την ΑΒ στο Η και στην συνέχεια από το σημείο Ζ φέρνουμε ευθεία παράλληλη της ΑΒ που τέμνει τις πλευρές ΒΓ και ΑΓ του τριγώνου στα σημεία Ρ και Ν αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το σημείο Ζ είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΡΓ και β) ΑΗ = ΒΕ. α) Είναι ΡΝ // ΑΒ και ΑΒ ΑΓ, επομένως θα είναι και ΡΝ ΑΓ, άρα το σημείο Ζ είναι σημείο τομής των υψών ΑΔ και ΡΝ του τριγώνου ΑΡΓ επομένως είναι ορθόκεντρό του. β) Είναι ΑΡ // ΗΖ ως κάθετες στην ευθεία ΖΓ και ΑΗ // ΡΖ από κατασκευή, επομένως το τετράπλευρο ΑΗΖΡ είναι παραλληλόγραμμο, τότε ΑΗ = ΡΖ (1) Τέλος είναι ΕΖ // ΒΡ και ΡΖ // ΒΕ, άρα το τετράπλευρο ΒΕΖΡ είναι παραλληλόγραμμο, τότε ΒΕ = ΡΖ () Από τις σχέσεις (1) και () έχουμε ότι ΒΕ = ΑΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΖΘ και ΑΓΔΕ. Φέρνουμε ΓΚ ΒΔ και ΒΛ ΓΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Το ύψος ΑΗ του τριγώνου ΑΒΓ και οι ΓΚ, ΒΛ διέρχονται από το ίδιο σημείο. β) Το ύψος ΑΗ διέρχεται από το μέσο Ν της ΘΕ. γ) Αν ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑΜ = ΕΘ. α) Θεωρούμε ότι η ΒΛ τέμνει το ύψος ΑΗ του τριγώνου στο σημείο Ρ και η ΓΚ στο σημείο Ρ διαφορετικό του Ρ. Τα τρίγωνα ΖΒΓ και ΡΑΒ έχουν: ΑΒ = ΒΖ ( γιατί το ΑΒΖΘ είναι τετράγωνο), ω = φ (οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες) και = 90 ο + 1, = 90 ο + και 1 = (οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες) άρα =, επομένως τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα ΑΡ = ΒΓ (1) Όμοια τα τρίγωνα ΑΓΡ και ΔΒΓ είναι ίσα, οπότε ΑΡ = ΒΓ () Από τις σχέσεις (1) και () έχουμε ΑΡ = ΑΡ, δηλαδή τα σημεία Ρ και Ρ ταυτίζονται, επομένως το ύψος ΑΗ, η ΒΛ και η ΓΚ διέρχονται από το ίδιο σημείο. ΣΧΟΛΙΟ: Το σημείο τομής Η των ΒΔ, ΓΖ και ΑΗ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΡΒΓ β) Τα τρίγωνα ΑΡΘ και ΑΒΓ έχουν: ΑΡ = ΒΓ ( από το πρώτο ερώτημα), ΑΒ = ΑΘ ( επειδή το ΑΒΖΘ είναι τετράγωνο) και 1 = (οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες) Επομένως είναι ίσα, τότε ΘΡ = ΑΓ = ΑΕ Όμοια έχουμε ότι και ΑΘ = ΡΕ, οπότε το τετράπλευρο ΑΘΡΕ είναι παραλληλόγραμμο, οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, επομένως το σημείο Ν είναι το μέσο του ΘΕ. γ) Προεκτείνουμε την διάμεσο ΑΜ κατά τμήμα ΜΟ = ΑΜ, τότε το τετράπλευρο ΑΒΟΓ είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιοι του διχοτομούνται, άρα ΓΟ = ΑΒ ή ΓΟ = ΑΘ. Έχουμε A + = 180 ο και A + =180 ο επομένως είναι =, τότε τα τρίγωνα ΑΘΕ και ΑΓΟ έχουν επιπλέον ΑΓ = ΑΕ, ΘΑ = ΑΒ = ΓΟ, άρα είναι ίσα τότε ΑΟ = ΘΕ ή ΑΜ = ΘΕ

ΑΣΚΗΣΗ 13η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΗ 1, ΒΗ, ΓΗ 3 τα ύψη του που τέμνονται στο Η. Αν Μ το μέσο της ΒΓ και Λ το μέσο της Η Η 3, να δείξετε ότι: α) Το τρίγωνο Η ΜΗ 3 είναι ισοσκελές και β) ΜΛ Η Η 3. α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΗ Γ η Η Μ είναι διάμεσός του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, επομένως ΜΗ =, όμοια για το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΗ3 Γ έχουμε ότι η Η 3 Μ είναι διάμεσός του, οπότε ΜΗ 3 =. Από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε: ΜΗ = ΜΗ 3, δηλαδή το τρίγωνο Η ΜΗ 3 είναι ισοσκελές. β) Στα ορθογώνια τρίγωνα ΑΗ 3 Η και ΑΗ Η οι Η 3 Λ και Η Λ είναι διάμεσοι, επομένως Η 3 Λ = AH = Η Λ. Επομένως τα σημεία Μ και Λ ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος Η Η 3, άρα η ΛΜ είναι μεσοκάθετος του Η Η 3, οπότε ΜΛ Η Η 3

ΑΣΚΗΣΗ 14η Δίνονται τέσσερα συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ και Δ, τέτοια ώστε ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ. Από τα Β και Γ φέρνουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο παράλληλα τμήματα ΒΖ και ΓΕ ώστε ΒΖ = ΓΕ = ΒΓ. Να αποδείξετε ότι ΑΕ ΔΖ. Είναι ΒΖ = ΓΕ = ΒΓ = ΑΓ = ΒΔ, επομένως τα τρίγωνα ΑΓΕ και ΖΒΔ είναι ισοσκελή άρα E1 και 1 A Έχουμε ακόμη ότι ΒΖ = // ΓΕ επομένως το τετράπλευρο ΖΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο και λόγω των παραλλήλων ΖΕ και ΑΔ έχουμε: A E και A Z ως εντός εναλλάξ γωνίες, άρα E 1 E και Z 1 Z. Τέλος στο τρίγωνο ΡΖΕ έχουμε: E Z E Z Z = E 180 O = 90 ο άρα = 90 ο ή ΑΕ ΖΔ.

ΑΣΚΗΣΗ 15η Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) με Α Δ =90 ο, ΔΓ = ΑΒ και Β 3Γ. Φέρνουμε ΒΕ ΔΓ που τέμνει την διαγώνιο ΑΓ στο Μ. Φέρνουμε την ΑΕ που τέμνει την άλλη διαγώνιο ΒΔ στο Ν. Να δείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. β) ΑΕ ΒΔ. γ) ΜΝ = 1/4 ΓΔ. α) Είναι ΑΒ // ΓΔ, επομένως B = B = 180 ο ή 3 = 180 ο ή = 45 ο, άρα 3 = 3 45 ο = 135 ο. Το ορθογώνιο ΑΒΕΔ είναι ορθογώνιο, επομένως B 1 = 135 ο 90 ο = 45 ο και ΔΕ = ΑΒ =, οπότε το Ε είναι μέσο της ΓΔ, δηλαδή ΔΕ = ΕΓ. Έχουμε λοιπόν ότι ΑΒ = // ΓΕ, άρα το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. β) Στο τρίγωνο ΔΒΓ η διάμεσος ΒΕ είναι και ύψος, επομένως το τρίγωνο είναι ισοσκελές, τότε 1 = = 45 ο, τότε όμως το τρίγωνο ΔΒΓ είναι και ορθογώνιο, ( =90 ο ) και η ΒΕ είναι διάμεσός του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του, άρα ΒΕ = = ΔΕ, δηλαδή το ορθογώνιο ΑΒΕΔ είναι και ρόμβος, επομένως είναι τετράγωνο και οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα, δηλαδή ΑΕ ΒΔ. γ) Τα σημεία Μ και Ν είναι κέντρα των παραλληλογράμμων ΑΒΓΕ και ΑΒΕΔ, επομένως είναι μέσα των διαγωνίων τους, οπότε στο τρίγωνο ΑΕΓ η ΜΝ συνδέει τα μέσα των πλευρών του, άρα ΜΝ = // =// =// 4

ΑΣΚΗΣΗ 16η Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) με ΓΔ = ΑΒ, και οι μη παράλληλες πλευρές του τέμνονται στο σημείο Ο. Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των διαγωνίων του ΒΔ και ΑΓ αντίστοιχα και Μ, Ν τα μέσα των ΟΑ και ΟΒ αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΝΛΚ είναι παραλληλόγραμμο. Τα σημεία Μ και Ν είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΟΑΒ, επομένως ΜΝ = // AB (1). Ακόμα τα σημεία Κ, Λ είναι τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου ΑΒΓΔ, επομένως ΚΛ = = AB AB =. Επειδή ΚΛ // ΑΒ // ΓΔ (γιατί;) είναι ΚΛ = // () Από τις (1) και () προκύπτει ότι: ΜΝ = // ΚΛ, επομένως το τετράπλευρο ΜΝΛΚ είναι παραλληλόγραμμο.

ΑΣΚΗΣΗ 17 η Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) με ΑΔ = ΑΒ + ΓΔ και Μ το μέσο της ΒΓ. Η ευθεία ΑΜ τέμνει την ΓΔ στο σημείο Ε και η ΔΜ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ζ. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΔΕΖ είναι ρόμβος. Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΕ έχουν: ΒΜ = ΜΓ, M 1 M ( ως κατακορυφή ) και (ως εντός εναλλάξ), επομένως είναι ίσα, άρα ΑΜ = ΜΕ. A1 E1 Αντίστοιχα και τα τρίγωνα ΒΜΖ και ΔΜΓ είναι ίσα, οπότε είναι και ΔΜ = ΜΖ. Άρα στο τετράπλευρο ΑΔΕΖ οι διαγώνιοι του διχοτομούνται, επομένως είναι παραλληλόγραμμο. Επιπλέον αν Κ είναι το μέσο της ΑΔ, τότε η ΚΜ είναι διάμεσος του τραπεζίου και είναι ΚΜ = AB =, οπότε το τρίγωνο ΑΜΔ είναι ορθογώνιο στο Μ, δηλαδή οι διαγώνιες του παραλληλογράμμου ΑΔΕΖ τέμνονται κάθετα, άρα είναι ρόμβος.

ΑΣΚΗΣΗ 18η Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) οι μεσοκάθετοι των πλευρών του ΑΓ και ΒΓ τέμνονται στο σημείο Ο. Θεωρούμε το συμμετρικό σημείο Μ του Ο ως προς την πλευρά ΑΓ και από στο Μ φέρνουμε την παράλληλη προς την πλευρά του τριγώνου ΑΒ που τέμνει τις ΑΓ και ΒΓ στα σημεία Σ και Δ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΟΓΜ είναι ρόμβος β) Τα τρίγωνα ΣΔΓ και ΓΣΜ είναι ισοσκελή γ) Η γωνία ΜΟΔ είναι ορθή. α) Αφού ΑΚ = ΚΓ και ΟΚ = ΚΜ τότε στο τετράπλευρο ΟΑΓΜ οι διαγώνιοι του διχοτομούνται, επιπλέον η ΟΜ είναι μεσοκάθετος της ΑΓ, άρα οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου τέμνονται κάθετα, επομένως είναι ρόμβος. β) Είναι 1, ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΜΔ και ΑΒ και, αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές άρα 1, συνεπώς το τρίγωνο ΔΣΓ είναι ισοσκελές. Επειδή το τετράπλευρο ΟΑΓΜ είναι ρόμβος, έχουμε ότι ΜΓ // ΑΟ, επειδή όμως η ΑΟ είναι κάθετη στην ΒΓ έχουμε ότι και η ΜΓ είναι κάθετη στην ΒΓ. Επιπλέον έχουμε ότι: M1 1 = 90 ο και 1 =90 ο άρα M 1 1 = 1 ή M 1 = 1 αφού 1 =, άρα και το τρίγωνο ΓΣΜ είναι επίσης ισοσκελές. γ) Από τα ισοσκελή τρίγωνα ΔΣΓ και ΜΣΓ έχουμε ότι ΣΔ = ΣΓ = ΣΜ και στο τρίγωνο ΟΜΔ έχουμε ότι τα σημεία Κ και Σ είναι μέσα των πλευρών του, επομένως ΚΣ // ΟΔ, άρα ΟΔ ΟΜ άρα η γωνία ΜΟΔ είναι ορθή.

ΑΣΚΗΣΗ 19η Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90 ο ) είναι Γ 5Β. Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου, να δείξετε ότι ΒΓ = 4ΑΔ. Είναι =90 ο ή 5 = 90 ο ή 6 = 90 ο άρα = 15 ο. Φέρνουμε την διάμεσο ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑΜ = = ΜΒ επομένως το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές, άρα 1 = 15 και 1 = 15 ο + 15 ο = 30 ο ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΜΒ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΜΔ έχουμε 1 = 30 ο άρα ΑΔ = ΒΓ = 4ΑΔ. AM = ή 4

ΑΣΚΗΣΗ 0η Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ. Αν Ε, Ζ σημεία των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, να δείξετε ότι οι ευθείες ΕΒ, ΕΔ, ΖΑ και ΖΓ τεμνόμενες σχηματίζουν κυρτό τετράπλευρο στο οποίο οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. Επειδή οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούνται και τέμνονται κάθετα, έχουμε ότι κάθε διαγώνιος του είναι μεσοκάθετος της άλλης διαγωνίου του, επομένως τα τρίγωνα ΒΕΔ και ΑΖΓ είναι ισοσκελή τότε: EB και Στο τρίγωνο ΜΖΔ η γωνία είναι εξωτερική του άρα 1 (1) και στο τρίγωνο ΖΚΒ η γωνία είναι εξωτερική του άρα () Από τις σχέσεις (1) και () έχουμε ότι 1= ή 1 = Όμως 1 = 180 ο ή = 180 ο δηλαδή οι απέναντι γωνίες του σχηματιζόμενου τετραπλεύρου ΚΛΜΝ είναι παραπληρωματικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1η BΔ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στην διάμεσό του ΒΔ παίρνουμε τμήμα ΒΚ= και στην πλευρά του ΒΓ 4 ΒΓ τμήμα ΒΛ=. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, να αποδείξετε ότι: 8 ΔΜ α) ΚΛ = // 4 ΑΒ β) ΚΛ = // 8 α) Έστω Ε και Ζ τα μέσα των ΒΔ και ΒΜ B BE Είναι ΒΚ= και Ε το μέσο του τμήματος ΒΔ, τότε θα είναι ΒΚ=. 4 B BZ Είναι ΒΛ= και Μ, Ζ τα μέσα των τμημάτων ΒΓ και ΒΜ αντίστοιχα, τότε θα είναι ΒΛ= 8 Στο τρίγωνο ΒΕΖ έχουμε τα Λ, Κ μέσα των ΒΖ και ΒΕ, συνεπώς είναι ΚΛ=// Στο τρίγωνο ΒΔΜ έχουμε τα Ε, Ζ μέσα των ΒΔ και ΒΜ συνεπώς ΕΖ=// Από τις σχέσεις (1) και () έχουμε : EZ ΚΛ=// =// άρα ΚΛ=// 4 () EZ (1) β) Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε Μ, Δ μέσα των ΒΓ και ΑΓ, επομένως ΔΜ=// ερωτήματος γίνεται: ΚΛ=// AB 4 ή ΚΛ=// AB 8 AB, τότε η σχέση του (α)

ΑΣΚΗΣΗ η Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με μια γωνία του 135 ο. Αν υ το ύψος του, δ η διάμεσός του και Β, β η μεγάλη και η μικρή βάση του, να αποδείξετε: α) Β = β+υ β) δ+υ = Β Έστω το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ// ΓΔ και ΓΔ = Β, ΑΒ= β, ΒΕ = ΑΖ = υ και ΚΛ = δ η μεγάλη, η μικρή βάση, το ύψος και η διάμεσός του αντίστοιχα. Αφού AB =135 ο και ΒΕ το ύψος του τραπεζίου, τότε = 135 ο -90 ο = 45 ο, συνεπώς το τρίγωνο ΒΕΖ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα ΒΕ = ΔΖ = υ. Όμοια στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΖΔ είναι ΑΖ =ΔΖ = υ. Από το ορθογώνιο ΑΒΕΖ είναι ΑΒ = ΖΕ = β επομένως: α) Β= ΔΓ= ΔΖ+ΖΕ+ΕΓ = υ+β+υ = β+υ β) Από τα (α) ερώτημα είναι β = Β-υ επομένως η διάμεσος δ του τραπεζίου ΑΒΓΔ είναι: δ = άρα δ+υ =Β

ΑΣΚΗΣΗ 3η Δίνονται οι κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που δεν έχουν κοινά σημεία. Η διάκεντρος ΚΛ τέμνει τους κύκλους στα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα. Αν ΒΓ είναι κοινό εφαπτόμενο τμήμα των δύο κύκλων, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΚΒΓΛ είναι τραπέζιο. β) ΒΜ ΓΝ α) Επειδή η εφαπτομένη του κύκλου είναι κάθετη στην ακτίνα του στο σημείο επαφής είναι ΚΒ//ΛΓ ως κάθετες στην ίδια ευθεία ΒΓ, συνεπώς το τετράπλευρο ΚΛΓΒ είναι τραπέζιο. β) Το τρίγωνο ΚΒΜ είναι ισοσκελές (ΚΒ = ΚΜ =R) τότε K =180 ο - (1) K + =180 ο ή Ανάλογα από το ισοσκελές τρίγωνο ΝΛΓ έχουμε =180 ο - () Αλλά ΚΒ//ΛΓ τότε K + =180 ο από τις σχέσεις (1) και () η παραπάνω σχέση γίνεται: (180 ο - )+(180 ο - )=180 ο ή 360 ο -( + ) =180 ο ή + =90 ο άρα MTN =90 ο συνεπώς ΒΜΓΝ

ΑΣΚΗΣΗ 4η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν η διάμεσός του ΒΜ και το ύψος του ΓΔ είναι ίσα και Ν η προβολή του σημείου Μ στην πλευρά ΑΒ, τότε: ΓΔ α) Να αποδείξετε ότι ΜΝ=// β) Να υπολογίσετε σε μοίρες το μέτρο της οξείας γωνίας που σχηματίζουν η διάμεσος ΒΜ και το ύψος ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ. Έστω Κ το σημείο τομής της διαμέσου ΒΜ και του ύψους ΓΔ. α) Στο τρίγωνο ΑΔΓ είναι το Μ μέσο της πλευράς ΑΓ και ΜΝ//ΓΔ ( κάθετες στην ίδια ευθεία ΑΒ) άρα και το σημείο Μ θα είναι μέσο της ΑΔ, τότε ΜΝ=// BM β) Από το (α) ερώτημα έχουμε ΜΝ=// ή ΜΝ=//, συνεπώς στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΜΝ η γωνία NBM =30 ο άρα η γωνία της διαμέσου ΒΜ και του ύψους ΓΔ είναι: = 60 ο

ΑΣΚΗΣΗ 5η Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Έστω τυχαίο σημείο Ε της πλευράς του ΓΔ και ΑΖ η διχοτόμος της γωνίας BAE. Φέρνουμε την ΔΙ κάθετη στην ΑΖ που την τέμνει στο σημείο Θ και την ΑΕ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΗΔΕ είναι ισοσκελές β) Τα τρίγωνα ΑΔΙ και ΒΑΖ είναι ίσα. γ) ΑΕ = ΒΖ+ΔΕ α) Στο τρίγωνο ΑΗΙ η ΑΘ είναι διχοτόμος και ύψος, συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα I1 = H 1, ακόμη H1 H ως κατακορυφή γωνίες και I1 = 1 ως εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται από τις παράλληλες πλευρές του τετραγώνου. Από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε 1 = H συνεπώς το τρίγωνο ΗΔΕ είναι ισοσκελές. β) Τα τρίγωνα ΑΔΙ και ΒΑΖ έχουν ΑΒ = ΑΔ ( πλευρές τετραγώνου), είναι ορθογώνια και έχουν I1 = Z 1 (πλευρές κάθετες) συνεπώς είναι ίσα. γ) Έχουμε: ΑΕ = ΑΗ+ΗΕ= = ΑΙ+ΗΕ (από το ισοσκελές τρίγωνο ΑΗΙ) = ΒΖ+ΗΕ (από την ισότητα των τριγώνων ΑΔΙ, ΒΑΖ) = ΒΖ+ΔΕ (από το ισοσκελές τρίγωνο ΗΔΕ)

ΑΣΚΗΣΗ 6η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ, Ε τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Από τυχαίο σημείο Λ της ΔΕ φέρουμε παράλληλες προς τις ΑΒ και ΑΓ που τέμνουν την ΒΓ στα σημεία Θ και Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΕΖΘ είναι παραλληλόγραμμο. Επειδή η ΔΕ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ θα είναι ΔΕ = // B (1) Το τετράπλευρο ΒΘΛΔ είναι παραλληλόγραμμο αφού οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες επομένως ΔΛ = ΒΘ. (). Με τον ίδιο τρόπο το τετράπλευρο ΔΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, επομένως ΛΕ = ΖΓ (3) Είναι όμως ΒΓ = ΔΕ ΒΘ + ΘΖ + ΖΓ = ΔΕ ΔΕ +ΘΖ = ΔΕ ΘΖ = ΔΕ (4) Από τις σχέσεις (1) και (4) προκύπτει το ζητούμενο. ος τρόπος Φέρνουμε την ευθεία ΑΛ που τέμνει την ΒΓ στο σημείο Η. Στο τρίγωνο ΑΒΗ έχουμε ότι το σημείο Δ είναι μέσο της ΑΒ και το Λ μέσο της ΑΗ. Επειδή ΛΘ // ΑΒ θα είναι το Θ το μέσο της ΒΗ. Με τον ίδιο τρόπο έχουμε ότι το Ζ είναι μέσο του ΗΓ. Άρα ΘΖ = ΘΗ + ΗΖ = H = = ΔΕ. Δηλαδή ΔΕ = // ΘΖ.