ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ AΡΙΘΜΟΥΣ 1. Να βεζμύκ μη παγμαηηθμί αηζμμί θ,ι γηα ημοξ μπμίμοξ μη μηγαδηθμί = 4 κ + 3 λ + 7 κ θαη w = 7 (λ ) κα είκαη ίζμη.. Να βεζμύκ μη θ, ιr ώζηε μ = (8θ + θ) + 4ι + ( 3 ) κα είκαη ίζμξ με ημ μεδέκ. 3. Να βείηε γηα πμηεξ ηημέξ ημο ιr μ μηγαδηθόξ = 6 + ι 3 (ι + 6 ) είκαη α) παγμαηηθόξ β) θακηαζηηθόξ 4. Να βεζεί μ μηγαδηθόξ πμο ηθακμπμηεί ηεκ ζπέζε όπμο 1 = 3, = +. 1 1 5. Να βεζμύκ μη παγμαηηθμί αηζμμί x,ρ ώζηε κα ηζπύμοκ μη ηζόηεηεξ 1 α) x x ψ 1 β) x ψ 1 x 1 1 1 6. Να βεζμύκ μη x, ρr ώζηε κα ηζπύεη α) x + ρ = (1 + ) 8 θαη β) x + ρ = (1 ) 16. 7. Δείληε όηη 1 1 1. 8. 3 Γάκ μ = 1 κα βεζεί ημ Re(w) θαη ημ Im(w) όπμο w = 1. 9. Γάκ = x + ρ με x,ρr κα ιοζεί ε ελίζςζε : 0 10. Να ιοζεί ζημ C ε ελίζςζε : 5( ) 61 50 11. Να βεζμύκ μη μηγαδηθμί γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη όηη α) w = R θαη β) w = I 1. Γάκ μ είκαη μηγαδηθόξ με 1 κα βεζμύκ μη ζπέζεηξ ώζηε μ είκαη α) παγμαηηθόξ β) θακηαζηηθόξ w 1 κα
13. Έζης όηη μ είκαη μηγαδηθόξ με 1 θαη wr R w δείληε όηη ακ 1 14. Δείληε όηη,ακ γηα ημκ μηγαδηθό ηζπύεη 1,ηόηε δείληε όηη μ αηζμόξ + 1 R εκώ μ 1 Ι. 1 1 15. Δείληε όηη : 1 16. Να ιύζεηε ημ (Σ) w w 17. Να ιοζεί ημ (Σ) w w 18. Ακ C κα απμδείλεηε όηη: ) R ) μ αηζμόξ w είκαη παγμαηηθόξ. 19. Θεςμύμε ημ f(x) = x + α x + β. Να βεζμύκ ηα α, βr ώζηε μ μηγαδηθόξ = 4 κα είκαη ίδα ημο f(x). 0. Ακ C κα απμδείλεηε όηη ) Ι * ) Έζης ιr θαη λ. Να απμδείλεηε όηη μ αηζμόξ λ w είκαη λ θακηαζηηθόξ ακ θαη μόκμκ ακ μ είκαη θακηαζηηθόξ. 1. Ακ θαη w, w, w, w.,κα βείηε ημ μέημ ηςκ. Να βείηε ηα μέηα ηςκ μηγαδηθώκ:,,,
3. Nα δείλεηε όηη α) Re Re β) Re Re 4. 38. Δείληε όηη α) β) 4 Re( 1 ). 5. Δείληε όηη R 6. Δείληε όηη ακ R 7. Γάκ w γηα θάζε C { } δείληε όηη ακ w I ηόηε 8. Γάκ,, C { } με,ηόηε δείληε όηη ακ: 9. Γάκ με, C δείληε : 30. Δείληε όηη 31. Γάκ C { } θαη w με κ 1. Γάκ μ w είκαη θακηαζηηθόξ ηόηε. 3. Eάκ = α + β με α, β R θαη δείληε όηη : 33. Γάκ γηα ημοξ μηγαδηθμύξ 1,, 3 ηζπύμοκ όηη 1 + + 3 = 0 (1) () ηόηε 34. Γάκ γηα ημκ μηγαδηθό ηζπύεη α) β)
35. Γάκ, C θαη δείληε όηη : 36. Έζης * C. Να απμδείλεηε όηη μ αηζμόξ w R R ή 37. Έζης. Να απμδείλεηε όηη ακ ηόηε μ θακηαζηηθόξ θαη ακηίζημθα. w είκαη 38. Να δείλεηε όηη ε ελίζςζε δεκ έπεη παγμαηηθή ίδα. 39. Ακ ηζπύεη w w μέημ ίζμ με 1. ηόηε δείληε όηη έκαξ ημοιάπηζημκ από ημοξ,w έπεη 40. Ακ = 9 1 θαη w κα δείλεηε όηη w 41. Έζης μ w με, C { } α) Ακ κα δείλεηε όηη w R. β) Ακ w κα δείλεηε όηη μ I θαη όηη μ I. 181 1819 4. Ακ γηα ημκ μηγαδηθό ηζπύεη 1 ηόηε Im() 0 43. Ακ γηα ημκ μηγαδηθό = x + ρ ηζπύεη ( 1 ) v = v ηόηε δείληε όηη Re() = 1. 1 44. Aκ f() = 1, 1, κα απμδείλεηε όηη ) f() = f( ) με 0 ) ακ θαη ηόηε f()r 45. Δίκεηαη μ = x + ρ με x,ρ παγμαηηθμύξ. Να βεζμύκ ηα ζεμεία Μ() ημο επηπέδμο γηα ηα μπμία 6Re 7 0.
46. Να βεζεί μ γη ηςκ εηθόκςκ Μ() γηα ημοξ μπμίμοξ μ w α) παγμαηηθόξ β) θακηαζηηθόξ είκαη 47. Να βεζεί μ γη ηςκ ζεμείςκ Μ() ημο επηπέδμο γηα ηα μπμία ηζπύεη :. 48. Να βεζμύκ ηα ζεμεία ημο μηγαδηθμύ επηπέδμο γηα ηα μπμία ηζπύεη. 49. Να βεζεί μ γ.η. ηςκ εηθόκςκ ηςκ Μ γηα ηα μπμία ηζπύεη : με 3. 50. Από ημοξ μηγαδηθμύξ γηα ημοξ μπμίμοξ ηζπύεη πμημξ έπεη ημ ειάπηζημ θαη πμημξ ημ μέγηζημ μέημ; 51. Ακ C με κα βείηε ηεκ μέγηζηε ηημή ηεξ παάζηαζεξ f. Γηα πμηα ηημή ημο ζομβαίκεη; 5. Θεςμύμε ημοξ μηγαδηθμύξ 1,, 3 0 με 1 = (1 + ) 3 θαη. Να απμδείλεηε όηη ημ ηίγςκμ με θμοθέξ A( 1 ), Β( ), Γ( 3 ) είκαη ηζόπιεομ. 53. Ακ C θαη κα βείηε ηεκ ειάπηζηε θαη ηεκ μέγηζηε ηημή ηεξ Α =. 54. Θεςμύμε ημοξ μηγαδηθμύξ = ι 5 + (15 ι), ι R. Να βείηε ημκ γ.η. ηςκ εηθόκςκ ημο όηακ ημ ιr. Να βεζεί πμημξ από ημοξ έπεη ηεκ πιεζηέζηεε εηθόκα από ημ Ο(0,0). 55. Ακ 1,, 3 C θαη = = = 1, κα απμδείλεηε όηη : =. 56. Ακ 1, C θαη > 0, κα απμδείλεηε όηη : α) = +. β) =.
57. Ακ C θαη =, κα απμδείλεηε όηη : = 4. 58. Να απμδείλεηε όηη : γηα θάζε C ηζπύεη + +. 59. Να βεζεί μ γεςμεηηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ αηζμώκ, ακ ηθακμπμημύκ ηεκ ζπέζε : Re() =. 60. Να απμδείλεηε όηη : ακ w = 61. Να απμδείλεηε όηη : = R ή Ι. R 1 R ή = 1. 6. Ακ =, κα απμδείλεηε όηη : Re( ) =. 63. Ακ, wc θαη + w = 0 ηόηε : α) Να βεζεί μ γεςμεηηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ w, ακ = 1. β) Να βεζεί μ γεςμεηηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ w, ακ = 1. 64. Ακ C θαη 1 θαη = 1, κα απμδείλεηε όηη : 1. 65. α) Να απμδείλεηε όηη μη εηθόκεξ ηςκ μηγαδηθώκ αηζμώκ,, με 0, είκαη θμοθέξ ηζμπιεύμο ηηγώκμο. β) Ακ ημ εμβαδόκ ημο ηζμπιεύμο ηηγώκμο είκαη, κα οπμιμγίζεηε ημ. 66. Να βεζεί μ γεςμεηηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ αηζμώκ, ακ ηθακμπμημύκ ηεκ ζπέζε : = Re( 3 4 ) 16. 67. Να βεζεί μ γεςμεηηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ αηζμώκ, ακ ηθακμπμημύκ ηεκ ζπέζε : + =. 68. Ακ = (ι 1) + ( ι + ) όπμο ιr, κα βεζεί μ γεςμεηηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ αηζμώκ θαη κα βεζεί πμημξ από αοημύξ έπεη ημ ειάπηζημ μέημ. 69. Ακ C θαη + = 10, α) Να βεζεί μ γεςμεηηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ αηζμώκ. β) Να βείηε ημοξ θακηαζηηθμύξ αηζμμύξ πμο μη εηθόκεξ ημοξ ακήθμοκ ζημκ πααπάκς γ.η.
70. Να βεζεί μ γεςμεηηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ w, ακ = θαη w =. 71. Ακ C θαη 1 = α) Να βεζεί μ γεςμεηηθόξ ηόπμξ ηςκ εηθόκςκ ηςκ μηγαδηθώκ w = + 1 +. β) Πμημξ από ημοξ w έπεη ημ ειάπηζημ θαη πμημξ ημ μέγηζημ μέημ; 7. Ακ 1,, 3 C πμο ηθακμπμημύκ ηεκ ζπέζε : 3 = ( 1 3 ) θαη Α( 1 ), Β( ), Γ( 3 ) μη εηθόκεξ ημοξ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ. α) Γλεηάζηε ακ ηα ζεμεία Α,Β,Γ ζπεμαηίδμοκ ηίγςκμ. β) Δείληε όηη ημ ηίγςκμ ΑΒΓ είκαη μζμγώκημ γ) Να δείλεηε όηη = θαη = 73. Δίκμκηαη μη μηγαδηθμί 1, πμο μη εηθόκεξ ημοξ ζημ μηγαδηθό επίπεδμ ακήθμοκ ζημκ ίδημ θύθιμ με θέκημ ηεκ απή ηςκ αλόκςκ. Απμδείληε όηη μ w = 1 1 είκαη παγμαηηθόξ αηζμόξ. 74. Ακ 1,, 3 єc ηζπύεη 1 = = 3 =1 θαη 1 + + 3 = 4 κα οπμιμγηζζεί ημ μέημ ημο μηγαδηθμύ 1 1 1 w = + + 1 3 75. Ακ γηα ημοξ 1,, 3 єc ηζπύεη 1 = = 3 =1 θαη έζης μη μηγαδηθμί = 1 + + 3 θαη w = 1 + 3 1 + 3. Nα απμδείλεηε όηη = w. 76. Ακ γηα ημοξ 1, ηζπύεη 1 + = 1 +, ηόηε κα δείλεηε όηη 1 0 77. Ακ γηα ημοξ 1,, 3 єc ηζπύμοκ 1 + + 3 = 0 θαη 1 1 3 3 1, κα δεηπζεί όηη : 1 1 1 0.
78. Ακ γηα ημοξ μηγαδηθμύξ, w ηζπύμοκ = w = 1 θαη 1 = +w + αw + 1, = +w + w + α, όπμο α є R. Nα δείλεηε όηη : ) 1 = w ) ημ ηίγςκμ ΟΑΒ είκαη ηζμζθειέξ όπμο Α ε εηθόκα ημο 1, B ε εηθόκα ημο θαη Ο ε απή ηςκ αλόκςκ. 79. ) Nα ιύζεηε ηεκ ελίζςζε + +1 = 0 (1). ) Oκμμάδμομε 1 ηε ίδα ηεξ (1) ηεξ μπμίαξ Im( 1 ) > 0. Nα οπμιμγίζεηε ηα 3 1, 1. ) Aκ Α, Β, Γ μη εηθόκεξ ηςκ μηγαδηθώκ 1,, ακηίζημηπα ζημ 3 1 1 μηγαδηθό επίπεδμ, δείληε όηη ημ ηίγςκμ ΑΒΓ είκαη μζμγώκημ. v) Nα οπμιμγίζεηε ημ Γ ΑΒΓ. 80. Δίκεηαη μ μηγαδηθόξ w, γηα ημκ μπμίμ ηζπύεη w = w -1 + w. ) Nα βεζεί ημ w. ) Nα βεζεί μ μηγαδηθόξ w. 81. Έζης όηη γηα ημ μηγαδηθό ηζπύεη :. α. Να βείηε ημ γεςμεηηθό ηόπμ ηςκ εηθόκςκ ημο. β. Πμημξ έπεη ημ ειάπηζημ θαη πμημξ ημ μέγηζημ μέημ ; γ. Ακ, κα δείλεηε όηη 8. Ακ