ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i"

Transcript

1 Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ για τους οποίους οι μιγαδικοί = 4 κ + λ + 7 κ και w = 7 (λ ) α είαι ίσοι Να βρεθού οι κ, λr ώστε ο = (8κ + κ) + 4λ + ( ) α είαι ίσος με το μηδέ Να βρείτε για ποιες τιμές του λr ο μιγαδικός = 6 + λ (λ + 6 ) είαι α) πραγματικός φαταστικός 4 Να βρεθεί ο μιγαδικός που ικαοποιεί τη σχέση όπου =, = Να βρεθού οι x,ψr ώστε: x ψ 6 Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί x,ψ ώστε α ισχύου οι ισότητες x x ψ x ψ x α) 7Α Ν* και αβ 0, α αποδείξετε ότι: (α + +(β-α) =0 = 4κ +, κν* (α + β ) -(β-α) =0 = 4κ, κν* 8 Να βρεθού οι x, ψr ώστε α ισχύει α) x + ψ = ( + ) 8 και x + ψ = ( ) 6 9 Να υπολογίσετε το S = v με vn 0 Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α = ( + ) v + ( ) v με N* Δείξτε ότι Εά xr και N* δείξτε ότι x x x x Αφού πρώτα αποδείξετε ότι βρεθού οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης x 9 80 x x α 4 Α Ν* και η ευκλείδια διαίρεση του με το 4 είαι τέλεια, α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α = ( + ) v - ( - ) v 5 Α μιγαδικός και f () = Να δείξετε ότι: Ν* τότε: f(4λ) + f(4λ + ) + f(4λ + ) + f(4λ + ) = 0, Α = +, α βρείτε το εμβαδό του λ Ν* τριγώου που έχει κορυφές τις εικόες τω μιγαδικώ 0,, f (4λ+) 6 Εά = x + ψ με x,ψr α λυθεί η εξίσωση : 0 7 Να λυθεί στο C η εξίσωση : 5 ( ) Να βρεθού οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει ότι α) w = R και w = I 9 Να δειχθεί ότι ο = πραγματικός α α είαι 0 Εά, είαι μιγαδικοί και α R α δείξετε ότι ο αριθμός w = α( ) R Εά ο είαι μιγαδικός με α βρεθού οι σχέσεις ώστε ο w α είαι α) πραγματικός φαταστικός Έστω ότι ο είαι μιγαδικός με και w δείξτε ότι α wr R Εά x,ψ, τρεις μιγαδικοί αριθμοί με x ψψ και x + ψ + =, δείξτε ότι α) x ψ xψ + ψ + x = xψ 4 Δείξτε ότι,α για το μιγαδικό ισχύει,τότε δείξτε ότι ο αριθμός + R εώ ο Ι 5 Δείξτε ότι : 6 Α οι αριθμοι 0 4 0, είαι ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

2 πραγματικοι και R Να αποδειξετε ότι Να λύσετε το (Σ) w w 8 Να λυθεί το (Σ) w w 9 Α C α αποδείξετε ότι: ) R ) ο αριθμός w είαι πραγματικός 7 Nα δείξετε ότι α) Re Re Re Re 8 Δείξτε ότι α) 4 Re( ) 9 Δείξτε ότι R 40 Δείξτε ότι α R 0 Δίεται το πολυώυμο f(x) = x + ( ) x + 5 Να βρεθού τα f( ), f( + ), και α δείξετε f ( + ) f ( ) Θεωρούμε το f(x) = x + α x + β Να βρεθού τα α, βr ώστε ο μιγαδικός = 4 α είαι ρίζα του f(x) Δίεται η εξίσωση x x με ρίζες x, x ) Να υπολογίσετε τα x x, x + x, x x ) Α οι ρίζες της εξίσωσης x + κ x + λ = 0, με κ, λ R είαι οι x και x α βρείτε τις τιμές τω κ, λ Α C α αποδείξετε ότι ) Ι * ) Έστω λr και λ Να αποδείξετε ότι ο λ αριθμός w είαι φαταστικός α και μόο λ α ο είαι φαταστικός 4 Α +=0 α δειξετε ότι α) = b) 0 c) 6k+ 6m+ +=0, k,m Z 5 Α C και w I ( I η ) w, α δειξετε ότι 6 Να βρείτε τα μέτρα τω μιγαδικώ:,,, 4 Εά w για κάθε C { } δείξτε ότι α w I τότε 4 Εά,, C { } με,τότε δείξτε ότι α: 4 Εά με, C δείξτε : 44 Δείξτε ότι 45 Εά C { } και w είαι φαταστικός τότε w με Εά ο 46 Εά C δείξτε ότι α) m m, mr {, } γ) λ λ,λr {, } 47 Eά = α + β με α, β R και δείξτε ότι : 48 Εά για τους μιγαδικούς,, ισχύου ότι + + = 0 () () τότε ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

3 49 Εά για το μιγαδικό ισχύει α) 50 Εά, C και δείξτε ότι : * 5 Έστω C Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w R R ή 6 Δίοται τα πολυώυμα Ρ() = α + β + γ, Φ() = α + β + γ δ και σ() = α + β 4αγ δ με α, β, γ, δr και β 4 α γ 0 Δείξτε ότι Px ψ Φx σψ 6 Nα βρεθού στο μιγαδικό επίπεδο και α παρασταθού οι λύσεις της εξίσωσης 6 Να βρεθού τα σημεία Μ() του μιγαδικού επιπέδου για τα οποία ισχύει : 5 Έστω Να αποδείξετε ότι α τότε ο w είαι φαταστικός και ατίστροφα 5 Α η εξίσωση w και * N με άγωστο, έχει ρίζα στο R α δείξετε ότι w 54 Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματική ρίζα δε 55 Α ισχύει w τότε δείξτε ότι έας w τουλάχιστο από τους,w έχει μέτρο ίσο με 56 Α = 9 και w α δείξετε ότι w 57 Έστω ο w με, C { } α) Α α δείξετε ότι w R Α w α δείξετε ότι ο I και ότι ο 58 Α για το μιγαδικό ισχύει 8 89 τότε Im() 0 59 Α για το μιγαδικό = x + ψ ισχύει ( ) v = v τότε δείξτε ότι Re() = 60 A f() =,, α αποδείξετε ότι I ) f() = f( ) με 0 ) α και τότε f()r 64 Να βρεθού στο μιγαδικό επίπεδο οι λύσεις της εξίσωσης Δίεται ο = x + ψ με x,ψ πραγματικούς Να βρεθού τα σημεία Μ() του επιπέδου για τα οποία 6Re Να βρεθεί ο γτ τω εικόω Μ() για τους οποίους ο w είαι α) πραγματικός φαταστικός 67 Να βρεθεί ο γτ τω σημείω Μ() του επιπέδου για τα οποία ισχύει : 68 Να βρεθού τα σημεία Μ(), α ξέρετε ότι οι εικόες τω μιγαδικώ,, είαι συευθειακά σημεία 69 Να βρεθού τα σημεία Μ() του μιγαδικού επιπέδου α για τα οποία ισχύει όπου α R και o α σταθερός μιγαδικός 70 Να βρεθού τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου για τα οποία ισχύει 7 Να βρεθεί ο γτ τω εικόω τω Μ για τα οποία ισχύει : με 7 Δίεται ο μιγαδικός = x + ψ με C {, } και οι αριθμοί w, και w α) Εά ο w είαι καθαρός φαταστικός δείξτε ότι ο γτ τω Μ είαι κύκλος του οποίου α βρεθού τα στοιχεία Εά ο w είαι πραγματικός δείξτε ότι ο γτ τω εικόω του είαι ευθεία ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

4 γ) Να υπολογισθεί το μήκος της χορδής που αποκόπτει ο 85 Να αποδείξετε ότι : Α = = = α κύκλος από τη ευθεία, καθώς και η απόσταση του κέτρου του από τη ευθεία δειξετε ότι ( + + )( ( ) 9 7 Από τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει ποιος έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο; 74 Α C με α βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης f Για ποια τιμή του συμβαίει; 75 Θεωρούμε τους μιγαδικούς,, 0 με = ( + ) και Να αποδείξετε ότι το τρίγωο με κορυφές A( ), Β( ), Γ( ) είαι ισόπλευρο 76 Α C και α βρείτε τη ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της Α = 77 Θεωρούμε τους μιγαδικούς = λ 5 + (5 λ), λ R Να βρείτε το γτ τω εικόω του ότα το λr Να βρεθεί ποιος από τους έχει τη πλησιέστερη εικόα από το Ο(0,0) 78 Α,, C και = = =, α αποδείξετε ότι : = 79 Α, C και > 0, α αποδείξετε ότι : α) = + = 80 Α C και =, α αποδείξετε ότι : = 4 8 Να αποδείξετε ότι : για κάθε C ισχύει Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ, α ικαοποιού τη σχέση : Re() = 8 Να αποδείξετε ότι : α w = R ή = 84 Να αποδείξετε ότι : = R R ή Ι 86 Α =, α αποδείξετε ότι : Re( ) = 87 Α, wc και + w = 0 τότε : α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ w, α = Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ w, α = 88 Α C και και =, α αποδείξετε ότι : 89 α) Να αποδείξετε ότι οι εικόες τω μιγαδικώ αριθμώ,, με 0, είαι κορυφές ισοπλεύρου τριγώου Α το εμβαδό του ισοπλεύρου τριγώου είαι, α υπολογίσετε το 90 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : o = ρ, με ρ > 0 και o C παίρει τη μορφή : = Re( o ) + ρ o 9 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : =,, C παίρει τη μορφή : Re[( ) ] = 9 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ, α ικαοποιού τη σχέση : = Re( 4 ) 6 9 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ, α ικαοποιού τη σχέση : + = 94 Α = (λ ) + ( λ + ) όπου λr, α βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ και α βρεθεί ποιος από αυτούς έχει το ελάχιστο μέτρο 95 Α C και + = 0, α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ Να βρείτε τους φαταστικούς αριθμούς που οι εικόες τους αήκου στο παραπάω γτ 96 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ w, α = και w = ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

5 97 Α =, α υπολογίσετε το ελάχιστο και το μέγιστο 004 ) 004 = 0 αήκου σε ευθεία και α της παράστασης Α = προσδιορίσετε τη εξίσωση Γιατί αυτή η ευθεία είαι μεσοκάθετη στο τμήμα ΑΒ με A(000,0) και B(004,); 98 Α ο γ τ τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ είαι ο κύκλος με κέτρο Ο(0,0) και ακτία ρ =, α βρείτε το γ τ τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ w, α α) w = w = + γ) w = 99 Α C και = α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ w = + + Ποιος από τους w έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο; 00 α) Α =, α βρεθεί ο γεωμ τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ αριθμώ και στη συέχεια α βρεθεί ποιος από αυτούς έχει το ελάχιστο μέτρο Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ 0 Α,, C που ικαοποιού τη σχέση : = ( ) και Α( ), Β( ), Γ( ) οι εικόες τους στο μιγαδικό επίπεδο α) Εξετάστε α τα σημεία Α,Β,Γ σχηματίζου τρίγωο Δείξτε ότι το τρίγωο ΑΒΓ είαι ορθογώιο γ) Να δείξετε ότι = και = 0 Εστω οι μιγαδικοί, w με w =, α) Α wi {0} α δειχθεί ότι η εικόα Μ() κιείται σε κύκλο Δίεται η εξίσωση + α α = 0 με αr, α δείξετε,χωρίς α λυθεί η εξίσωση, ότι οι εικόες τω ριζώ της είαι σημεία του προηγούμεου κύκλου 06 Α, C, 0 ώστε = ( + ) 00 α αποδείξετε ότι: α) = = ή R Α τα σημεία O, A( ), B( ) δε είαι συευθειακά, τότε τα διαύσματα ΑΒ ( ) και ΟΓ ( + ) είαι κάθετα μεταξύ τους 07 Α + + = + + τότε οι εικόες τω μιγαδικώ,, στο μιγαδικό επίπεδο είαι κορυφές ισόπλευρου τριγώου 08 Δίοται οι μιγαδικοί, με = Α για το C ισχύει ( ) ( ) + ( ) ( ) = 4 α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω του C Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης 09 Α C με και, θεωρούμε τη v συάρτηση f() = v α) Να αποδείξετε ότι f() = f( ) ότα 0 Α επιπλέο = α αποδείξετε ότι f () = f() γ) Α = συθ ημθ α αποδείξετε ότι f() R 0 Α = 0 και + = 0 α δείξετε ότι = 0 Α + + = 0 και + + = 0 τότε δείξτε ότι = = Α + + = + + τότε οι εικόες τω μιγαδικώ,, στο μιγαδικό επίπεδο είαι κορυφές ισόπλευρου τριγώου 0 Α, είαι ρίζες της εξίσωσης = 0 αποδείξτε ότι w = 4 Ι 8 04 Δίοται οι μιγαδικοί, που οι εικόες τους στο μιγαδικό επίπεδο αήκου στο ίδιο κύκλο με κέτρο τη αρχή τω αξόω Αποδείξτε ότι ο w = είαι πραγματικός αριθμός 05 Να αποδείξετε ότι οι εικόες τω ριζώ της εξίσωσης :( + ) 0 ( 000 ) 004 ( + ) 0 ( Δίεται ο μιγαδικός και έστω f() = f ( ) a) Nα δο: f ( ) b) Α και Μ είαι η εικόα του f() στο μιγαδικό επίπεδο, δο: το Μ αήκει σε ευθεία της οποίας α βρείτε τη εξίσωση ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

6 Δίεται η εξίσωση ημ θ ημθ + 5 4ημ θ = 0 με θ (0, π) α) Να λύσετε τη εξίσωση Να δείξετε ότι καθώς το θ διατρέχει το διάστημα (0, π), οι εικόες τω ριζώ της παραπάω εξίσωσης κιούται πάω σε μία υπερβολή 4 Να βρείτε το άθροισμα τω όρω: Σ = + ( + ) + (4 + 5) + + [( ) + ( ) ] 5 Έστω ο μιγαδικός για το οποίο ισχύει: =004 Na αποδείξετε ότι: a) ( ) 00 = 00 =(Υπόδειξη: Να πάρετε τα συζυγή τω δύο μελώ) b) = c) αριθμός w= είαι φαταστικός 6 Έστω το τριώυμο Ρ()=α +β +γ με α0, διακρίουσα Δ0 και α,β,γ,εώ ο CΑ, λύσεις της Ρ()=0: d) Νδο: + e) Νδο: + με Ν * είαι πραγματικός αριθμός f) Α Α( ), Β( ) οι εικόες τω, ατίστοιχα α και β Να αποδειξετε ότι εας τουλαχιστο απο αυτους β εχει μετρο μικροτερο η ισο από α 9 Έστω C τέτοιος ώστε: Να αποδείξετε ότι: Putam 989 A 0 Ας είαι C τέτοιος ώστε Να αποδείξετε ότι: Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς o,, ώστε για κάθε 0,, α είαι a Α ο μιγαδικός αριθμός v ικαοποιεί τη σχέση: v v v 0 τότε α αποδείξετε ότι: v 4 0 Παελλαδικές εξετάσεις 0 Μάιος Έστω C ώστε και 0, N Αποδείξτε ότι: a b k,k N [GM /00] δο: d(α,β)= g) Α Γ( + ) η εικόα του + τότε το εμβαδό του τριγώου ΑΒΓείαι:Ε (ΑΒΓ) = 4 7 A,α βρείτε τις γωίες του τριγώου με κορυφές τα σημεία Ο(0,0), Α( ) και Δ Δ4 Να Εά για το μιγαδικό αριθμό ισχύει 4 5, α βρείτε τη ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του 4 Έστω x y ( ), όπου x, y R και θετικός ακέραιος Εά k x9y 9 x9y9,k R α υπολογίζετε το πραγματικό αριθμό k Β( )(Υπ Να θεωρήσετε άγωστο το ) 8 Α οι μιγαδικοι αριθμοι,, ικαοποιου τις σχεσεις ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. όπου ν θετικός ακέραιος κ) z = 2 ( 3i 2. > να δείξετε ότι Re( )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. όπου ν θετικός ακέραιος κ) z = 2 ( 3i 2. > να δείξετε ότι Re( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ασκήσεις στο ορισμό και τις ιδιότητες 0) Να βρείτε το μέτρο τω μιγαδικώ αριθμώ α) 3i = ε) ( ) 5 β) = 7 στ) γ) = 4 3i ζ) δ) = 4+ 3i η) = = i θ) 3 = + i 3 = i ( α βi)

Διαβάστε περισσότερα

z = =5 ενώ z 1 z 2. (µε απόδειξη) z = z z I. z = z. z 1 z z όπου z 1 =x 1 +y 1 i και z 2 =x 2 +y 2 i σταθεροί z παριστάνει υπερβολή µε z 2

z = =5 ενώ z 1 z 2. (µε απόδειξη) z = z z I. z = z. z 1 z z όπου z 1 =x 1 +y 1 i και z 2 =x 2 +y 2 i σταθεροί z παριστάνει υπερβολή µε z 2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ. Εά τότε δε ισχύει πάτα. Πχ για τους µιγαδικούς +4i και 5i είαι 5 εώ.. 0 0. Για α αποδείξουµε ότι R µε τη βοήθεια του µέτρου αρκεί α αποδείξουµε ότι (µε απόδειξη. ηλαδή R. 4. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ Πράξεις Συζυγής

ΜΑΘΗΜΑ Πράξεις Συζυγής ΜΑΘΗΜΑ. Πράξεις Συζυγής Ασκήσεις Εξισώσεις Από σχέση σε σχέση ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Α, είαι οι ρίζες της εξίσωσης + i + = + i. 5 = 7 + i + 5 + 7 = 0 + = = = 7, α αποδείξετε ότι =, = 7 = 7 ( + ) + i = + i 5 7 5 = 6

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 9 Γενικές ασκήσεις µιγαδικών

ΜΑΘΗΜΑ 9 Γενικές ασκήσεις µιγαδικών ΜΑΘΗΜΑ 9 Γεικές ασκήσεις µιγαδικώ. Για το µιγαδικό δίεται ότι. Να βρείτε i) το ii) το σύολο τιµώ του i. i) ( )( ) [ ] Άρα ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 () (). 0 ii) i i ( ) ( i) i ( ) ( i) ( ) i () i ( ) ( i)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο 1) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο 1) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο ) ΛΥΚΕΙΟ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΝΝΟΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα εξετάσεων στους μιγαδικούς

Θέματα εξετάσεων στους μιγαδικούς Θέμα ο α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: 6 4 β Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: i (Ιούλιος 00) Θέμα ο i

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0 ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ C Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C, αποτελείται από αριθμούς της μορφής =α+βi,όπου α,βr Το στοιχείο i είναι τέτοιο ώστε : i = - Το σύνολο C είναι υπερσύνολο του R Οι πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z).

Ασκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z). εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις. ν α,β,γ,δ και ο OA, w a βi γ δi OB, των a βi, γ δi. α λυθεί η ανίσωση 0 πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης είναι φανταστικός, να δειχθεί ότι οι διανυσματικές ακτίνες αντίστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi. ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Τι οομάζουμε σύολο Μιγαδικώ Αριθμώ; Τι οομάζουμε πραγματικό μέρος - φαταστικό μέρος εός μιγαδικού αριθμού α + βi. Σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ οομάζουμε έα υπερσύολο τω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0 Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς Σελίδα από 8 Θέματα από τους μιγαδικούς Θέμα ο Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - - Γ Λυκείου ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός Έστω ο μιγαδικός αριθμός x yi και M(x, y) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-09 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. iz+α. (z 1)(z + 1) f ( ) = f (z). (1993-2ο- 1) (1994-2ο) (1999-2ο) ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. iz+α. (z 1)(z + 1) f ( ) = f (z). (1993-2ο- 1) (1994-2ο) (1999-2ο) ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ.. Αν +α w =, α R και α να αποδειχθεί ότι: +α α) Ο w είναι φανταστικός αριθµός, αν και µόνο αν, ο είναι φανταστικός αριθµός. β) Ισχύει: w =, αν και µόνο αν, ο είναι πραγµατικός αριθµός. (99-ο)..

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. πο

ΘΕΜΑ (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. πο ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (000-03) ΘΕΜΑ 000 α. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης + + = 0, να αποδείξετε ότι 0-0 =0. β. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης του α. ερωτήματος, με φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ax 3 βx γx δ 0) πραγµατικούς συτελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 10 Νοεμβρίου 2018 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 10 Νοεμβρίου 2018 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: 3 3 ( 8) ( 12) ( 8) ( 12) Α= + + 10 + 22. 3 3 2 2 2 ( 3) 2 ( 3) Στο διπλαό σχήμα το τρίγωο ΑΒΓ είαι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ), με, και ΑΔ είαι η

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Μαθηματικών 1 ης Δέσμης 1983

Θέματα Μαθηματικών 1 ης Δέσμης 1983 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θέματα Μαθηματικώ ης Δέσμης 983 ΖΗΤΗΜΑ Α. α) Α ( ), ( ) ΖΗΤΗΜΑ α β ακολουθίες πραγματικώ αριθμώ με : lim α = α και limβ = β α αποδειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklxcvbn mqwertyuiopasdfghjklxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjkl

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ - - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ. Να βρεθούν οι τετραγωνικές ρίζες του µιγαδικού =3+4i. (+i και --i ). Nα αποδείξετε ότι v v+ v+ v+ 3 i + i + i + i = + + + v v+ v+ v+ 3. i i i i 3. Να

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης) Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιγαδικοί Αριθμοί ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ Μιγαδικοί Αριθμοί ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α. Πράξεις Συζυγής - Μέτρο Α. Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ορισµοί. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 )

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ορισµοί. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 ) ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ 1 ορισµοί Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 ) Γησίως αύξουσα: σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται µια συάρτηση f ότα για κάθε χ 1,χ 2 µε χ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α ίνονται τα διανύσµατα α και β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4. ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΥΓΩΝΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Δύο καοικά οκτάγωα είαι όμοια.. * Δύο καοικά πολύγωα με το ίδιο αριθμό πλευρώ είαι όμοια.. * Έα κυρτό πολύγωο που έχει όλες του τις

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει α είαι σε θέση: 1 Να μπορεί α βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύολο τιμώ της τη τιμή της σε έα σημείο x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι α = α 1 + (-1)ω. Μοάδες 7 Β. Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 6 Οκτωβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση η (3//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35 ΓΗ_Α_ΑΛΓ

Διαβάστε περισσότερα

Ον/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 1 0

Ον/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 1 0 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 Υλη: Μιγαδικοί Γ Λυκείου Ον/μο:.. 9-0-3 Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 0 Α. Να αποδείξετε ότι : «Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών i και i είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτινών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί 1η. Άσκηση Να αποδείξετε ότι Α) όπου Β) Αν με τότε Γ) όπου ν Δ) Αν με τότε Ε) αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει τότε 2η. Άσκηση Α) Εφαρμογή 1 σελίδα 93. Β) Να βρείτε τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις7 80. AU διαγώνιο. αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του A. Πρόσθετες ιδιότητες κανονικών πινάκων: Έστω A o

Ασκήσεις7 80. AU διαγώνιο. αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του A. Πρόσθετες ιδιότητες κανονικών πινάκων: Έστω A o Ασκήσεις7 80 Ασκήσεις7 Διαγωοποίηση Ερμιτιαώ Πιάκω Βασικά σημεία Λήμμα του Schur (μιγαδική και πραγματική εκδοχή) Φασματικό θεώρημα (μιγαδική και πραγματική εκδοχή) Ορισμός και ιδιότητες καοικώ πιάκω Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100 Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x + 5) + (y 5) =. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου x + y 8x + 4y + 11 = 0 3. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα του κύκλου (x 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι µιγαδικοί αριθµοί και w συνδέονται µε την σέση a β w =, όπου γ α,β,γ R Όταν =0 τότε w= και όταν =-i τότε w=- i Να βρείτε τις σταθερές α,β,γ α Αν το άθροισµα και το γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

= u u I, ως διαφορά συζυγών. z + 2. i) R. Λύση: α τρόπος. + z z = . Άρα. x 2 +y 2 +x-2=0. , ως. i) Re(z 2 )= -4, ii) Im(z 2 )=2, iii) Re(1+z 2 )=0.

= u u I, ως διαφορά συζυγών. z + 2. i) R. Λύση: α τρόπος. + z z = . Άρα. x 2 +y 2 +x-2=0. , ως. i) Re(z 2 )= -4, ii) Im(z 2 )=2, iii) Re(1+z 2 )=0. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ) Υπολογίστε τους µιγαδικούς, των οποίων το τετράγωνο ισούται µε: α) 6 β) - γ) -7 δ) - ε) α) 6 ± 6 β) - ± ± γ) -7() -7-7 7 0-7 ± ± ±± δ) -() - - - ± m ± m ±m 0 ε) () - ±± 0 0 ) Εάν, µιγαδικοί,

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

(2+ i)z (3 i)u= 5i (1+2i)z+(1+3i)u=7+8i

(2+ i)z (3 i)u= 5i (1+2i)z+(1+3i)u=7+8i Να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: 00 00 005 006 ( ( ( ( ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ + + + + (Απ:0 5ν+ 5ν+ 5ν+ 5ν+ + + + (Απ:0 Να γίνουν οι πράξεις: + (Απ:0 5 ( 5 ( ( + + + + +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών Είναι γνωστό ότι η εξίσωση x δεν έχει λύση στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 8 Νοεμβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση 3 η (//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35

Διαβάστε περισσότερα