ΑΣΚΗΣΗ 1: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή οι φοιτητές εκπαιδεύονται επάνω στη χρήση οργάνων ακριβείας με τα οποία μπορούν να μετρήσουν διάφορες ποσότητες της μηχανικής. Εξοικειώνονται με τη χρήση του παχυμέτρου (γνωστού και ως διαστημομέτρου) για τη μέτρηση μήκους, τον ζυγό ακριβείας για τη ζύγιση μαζών και το χρονόμετρο για τη μέτρηση του χρόνου. Στο πρώτο μέρος της άσκησης, υπολογίζονται οι τιμές του όγκου και της πυκνότητας διαφόρων σωμάτων. Στο δεύτερο μέρος της άσκησης προσδιορίζεται η επιτάχυνση της βαρύτητας και συγκρίνεται η τιμή της με την αντίστοιχη τιμή από την βιβλιογραφία. Στο τρίτο μέρος της άσκησης, μελετάται η ροπή αδρανείας κάποιων σωμάτων ως προς έναν άξονα περιστροφής, η οποία προσδιορίζεται σαν συνάρτηση της μάζας των σωμάτων και της απόστασής τους από τον άξονα περιστροφής. ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙΔΙΑ Χρόνος, μήκος, μάζα, ακρίβεια, αβεβαιότητα, απόλυτο σφάλμα, αξιοπιστία, μετάδοση σφάλματος, παχύμετρο, βερνιέρος, σταθερά του βερνιέρου, μετάδοση σφάλματος, απλό εκκρεμές, επιτάχυνση της βαρύτητας, γωνιακή ταχύτητα, γωνιακή επιτάχυνση, ροπή αδρανείας, κινητική ενέργεια 2 Μέτρηση πυκνότητας στερεού 2.1 Μέτρηση του μήκους Το μήκος είναι ένα θεμελιώδες φυσικό μέγεθος και αποτελεί βασικό στοιχείο των διαστάσεων των σωμάτων. Μονάδα μήκους στο SI είναι το μέτρο (m) και στο σύστημα CGS το εκατοστόμετρο (cm). Έχουν αναπτυχθεί αρκετά όργανα μέτρησης μήκους με πιο κοινό την μετροταινία με ελάχιστη υποδιαίρεση το 0.001 m. Όταν οι μετρήσεις απαιτούν μεγαλύτερη ακρίβεια στη μέτρηση του μήκους, τότε χρησιμοποιούμε όργανα που φέρουν βερνιέρο, όπως το παχύμετρο (ή διαστημόμετρο) και το μικρόμετρο. 2.2 Παχύμετρο Το παχύμετρο (ή διαστημόμετρο) είναι ένα όργανο που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του μήκους μέχρι περίπου τα 20 cm. Όπως φαίνεται στο Σχ. 1.1, το παχύμετρο αποτελείται από ένα κανόνα που φέρει την κύρια κλίμακα με διαιρέσεις σε mm (ή και σε ίντσες). Η ελάχιστη υποδιαίρεση της κύριας 1
κλίμακας είναι το 1 mm. Στον κανόνα είναι προσαρμοσμένος ένας άλλος μικρότερος κανόνας που καλείται βερνιέρος και κινείται παράλληλα με την κύρια κλίμακα (Σχήμα 1.1). Σχήμα 1.1: Το παχύμετρο. Το παχύμετρο είναι κατασκευασμένο κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να μπορούμε να μετρήσουμε εξωτερικές διαστάσεις, εσωτερικές διαστάσεις και βάθος. Η κύρια κλίμακα του παχυμέτρου διαθέτει δύο σταθερές σιαγόνες (η πάνω αριστερά και η κάτω αριστερά στο σχήμα) και το στέλεχος του βερνιέρου διαθέτει δύο αντίστοιχες κινητές σιαγόνες (η πάνω δεξιά και η κάτω δεξιά στο σχήμα). Όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.2, οι δύο κάτω σιαγόνες (μια σταθερή και μια κινητή) χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση των εξωτερικών διαστάσεων ενός σώματος ενώ οι αντίστοιχες δυο πάνω σιαγόνες για την μέτρηση εσωτερικών διαστάσεων (π.χ. κοιλοτήτων). Επίσης ο άξονας που προεξέχει από το τέλος του στελέχους της κύριας κλίμακας δεξιά, χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του βάθους. Σχήμα 1.2: Τρόποι μέτρησης με το παχύμετρο. 2
Βερνιέρος Ο βερνιέρος είναι μια ιδιαίτερη κλίμακα που χρησιμοποιείται σε πολλά όργανα και βελτιώνει την ακρίβεια του αντιστοίχου οργάνου κατά 10 έως 1000 φορές. Η κλίμακα αυτή κινείται πάνω στην κύρια κλίμακα του οργάνου. Η λειτουργία του βερνιέρου στηρίζεται στο ότι οι υποδιαιρέσεις του είναι μικρότερες από τις υποδιαιρέσεις της κύριας κλίμακας κατά 1/x όπου x είναι ένα πολλαπλάσιο του 10 π.χ. 1/10, 1/100 ή1/1000, ανάλογα με την ακρίβεια του παχυμέτρου. Η ακρίβεια ενός οργάνου που φέρει βερνιέρο προσδιορίζεται από το λόγο της ελάχιστης υποδιαίρεσης της κύριας κλίμακας δια του αριθμού των χαραγών του βερνιέρου. Ο λόγος αυτός λ ονομάζεται σταθερά του βερνιέρου η οποία πρέπει να είναι γνωστή πριν το όργανο χρησιμοποιηθεί σε συγκεκριμένη μέτρηση. Διαδικασία μέτρησης με παχύμετρο Για τη μέτρηση των εξωτερικών διαστάσεων ενός σώματος, απομακρύνουμε τις σιαγόνες με μετακίνηση του βερνιέρου πιέζοντας την ασφάλεια του και τοποθετούμε το αντικείμενο ανάμεσα στις σιαγόνες. Πλησιάζουμε τις σιαγόνες μέχρι να έλθουν σε επαφή με το σώμα, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.2. Προσδιορίζουμε τις ακέραιες υποδιαιρέσεις της κύριας κλίμακας που είναι πριν από το μηδέν του βερνιέρου και καταγράφουμε αυτό το νούμερο ως x. Επίσης καταγράφουμε το νούμερο m το οποίο περιγράφει την m οστή ένδειξη της κλίμακας του Βερνιέρου που συμπίπτει με μια και μοναδική γραμμή της κύριας κλίμακας. Το μετρούμενο μήκος τότε ισούται με x = x + mλ σε χιλιοστά. Χρησιμοποιώντας τις άλλες σιαγόνες ανάλογα και με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, μετράμε εσωτερικές διαστάσεις και βάθη, πάντα στην ίδια κλίμακα. Για παράδειγμα το Σχήμα 1.3 δείχνει σε μεγέθυνση μια μέτρηση με παχύμετρο. Ο συγκεκριμμένος βερνιέρος έχει 20 υποδιαρέσεις (προσέξτε και τα μισά ανάμεσα από τα 10 νούμερά του) ενώ η κύρια κλίμακα έχει ελάχιστη υποδιάρεση το 1 mm και έτσι η σταθερά του βερνιέρου ισούται με λ = 1/20 = 0,05 mm. Από την κύρια κλίμακα διαβάζουμε x = 23,00 mm ενώ στον βερνιέρο βλέπουμε ότι συμπίπτει η m = 12 υποδιαίρεση (το 6). Επομένως η μέτρηση στο σχήμα αυτό αντιστοιχεί σε μήκος L = x + mλ = 23 + 12 0,05 = 23,60 mm. Σχήμα 1.3: Μια μέτρηση με παχύμετρο (ένδειξη 23.60 mm (= 23,00 + 12 0,05)). Η σταθερά του βερνιέρου (η ακρίβεια) προσδιορίζεται από το λόγο της ελάχιστης υποδιαίρεσης της κύριας κλίμακας δια του αριθμού των χαραγών του βερνιέρου: 1 mm/20 = 0,05 mm 3
2.3 Μέτρηση της μάζας Την μάζα ενός σώματος την μετράμε με τη βοήθεια του ζυγού ακριβείας ο οποίος συνήθως έχει ελάχιστη υποδιαίρεση το 1/100 του γραμμαρίου. Είναι σημαντικό να μηδενίζουμε πάντοτε την ένδειξη του οργάνου πριν από κάθε μέτρηση (πιέζοντας το κουμπί με την ένδειξη TARE ). Όταν ζυγίζουμε υγρά, μηδενίζουμε το ζυγό έχοντας επάνω του άδειο το δοχείο που πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε. Ακολούθως γεμίζουμε το δοχείο με το υγρό ώστε να μετρήσουμε μόνο τη μάζα του υγρού και όχι του υγρού μαζί με το δοχείο του. Ο ζυγός βασίζεται στην απόκλιση ενός πολύ ευαίσθητου μικροελατηρίου και έτσι πάντοτε προσέχουμε να τοποθετούμε με φροντίδα τα διάφορα σώματα επάνω του ώστε να μην καταστραφεί το ελατήριο. 2.4 Πυκνότητα Ο ορισμός της πυκνότητας ρ ενός σώματος μάζας m είναι ο εξής ρ = m/v (1) Η πυκνότητα είναι μια πολύ σημαντική ιδιότητα των υλικών. Τυπικές τιμές πυκνότητας για διάφορα σώματα σε g/cm και kg/m δίνονται στον παρακάτω Πίνακα 1. Ο φοιτητής πρέπει να θυμάται ότι το νερό έχει πυκνότητα 1.0 g/cm και συγκρινόμενο με αυτό ο αέρας είναι περίπου 1000 φορές αραιότερος ενώ το ελαφρύτερο μέταλλο, το αλουμίνιο, είναι 2.7 φορές πυκνότερο. Πίνακας 1: Πυκνότητα διάφορων υλικών Υλικό - Ουσία Πυκνότητα Πυκνότητα (kg/m 3 ) (g/cm 3 ) Αέρας 1.2 0.0012 Πάγος 920 0.92 Νερό 1000 1.0 Αλουμίνιο Al 2700 2.7 Αλουμίνα Al 2O 3 3980 3.98 Ζιρκόνια ZrO 2 5960 5.96 Σίδηρος 7800 7.8 Χάλυβας 7800 7.8 Πλατίνα 21400 21.4 2.5 Πειραματική διάταξη Χρησιμοποιούνται παχύμετρο για τις μετρήσεις μήκους και ζυγό για τη ζύγιση των μαζών. Μελετώνται σώματα από διάφορα υλικά και με διαφορετικές γεωμετρίες. 2.6 Πειραματική διαδικασία 1. Προσδιορίστε την σταθερά του παχύμετρου σας. 4
2. Μετρήστε τις διαστάσεις 2 διαφορετικών αντικειμένων και καταγράψτε τις τιμές. 3. Ζυγίστε τα ίδια 2 αντικείμενα και καταγράψτε τις τιμές. 4. Ποιο είναι το απόλυτο σφάλμα στη μέτρηση της διάστασης και της μάζας; 2.7 Εργαστηριακή Αναφορά Στο κομμάτι της θεωρίας απαντήστε μόνο τις παρακάτω ερωτήσεις: (1) Εξηγείστε τις έννοιες χρόνος, μήκος και μάζα στο σύστημα SI. (2) Εξηγείστε τους όρους ακρίβεια, αβεβαιότητα, απόλυτο σφάλμα και αξιοπιστία. (3) Τι διακρίνει ένα τυχαίο σφάλμα από ένα συστηματικό σφάλμα; (4) Εξηγείστε την έννοια σταθερά του βερνιέρου. (5) Τη είναι η μετάθεση (μετατόπιση) του μηδενός και η μετάδοσης σφάλματος; Δώστε παραδείγματα. (6) Δώστε τις γνωστές εξισώσεις για το εμβαδόν και το όγκο ένας σώματος της μορφής δακτυλίου. Εφαρμόστε επίσης για τον ίδιο σώμα την γνωστή εξίσωση της μετάδοσης σφάλματος για την περίπτωση εμβαδόν, όγκο και πυκνότητα. (7) Στον πίνακα με τις πυκνότητες, οι τιμές δίνονται σε δυο διαφορετικές μονάδες. Δείξτε αναλυτικά πως μετατρέπεται η τιμή ρ = 1 g/cm στο S.I. (8) Στον πίνακα με τις πυκνότητες, το Αλουμίνιο είναι με έντονη γραφή επειδή έχει ξεχωριστή θέση στα υλικά. Από τις τιμές του πίνακα, μπορείτε να μαντέψετε τον λόγο αυτής της ιδιαιτερότητας; Ζητούνται τα ακόλουθα στο κεφάλαιο «αποτελέσματα»: (1) Υπολογίστε όγκο και κατόπιν την πυκνότητα για τα 2 αντικείμενα και συγκρίνετε με τον Πίνακα 1. (2) Υπολογίστε επίσης την μετάδοση σφάλματος στον όγκο και στην πυκνότητα για ένα αντικείμενο (μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα υπολογιστικό πρόγραμμα όπως το Excel ή το Origin). (3) Καταγράψτε τα τελικά αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα. Α/Α 1 βάθος h/mm εξωτερική διάμετρος D/mm εσωτερική διάμετρος d/mm όγκος V/mm μετάδοση σφάλματος σ /mm πυκνότητα ρ/kgm μετάδοση σφάλματος σ /kgm 2 5
3 Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας 3.1 Θεωρία Το απλό εκκρεμές αποτελείται από ένα βαρίδι μάζας m, θεωρητικά σημειακό, που αναρτάται από ένα αβαρές νήμα. Όταν το βάρος είναι σε θέση ισορροπίας, το νήμα είναι κατακόρυφο. Όταν το βάρος μετακινηθεί κατά μια μικρή γωνία (< 5 ) από τη θέση ισορροπίας, τότε το εκκρεμές εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ που δίνεται από τη σχέση: Τ = 2π L/g (2) όπου L είναι το μήκος του νήματος και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Είναι αυτονόητο ότι όταν μεταβάλλεται το L θα μεταβάλλεται και το T. Από την καθημερινή μας εμπειρία γνωρίζουμε ότι εάν εκτρέψουμε το εκκρεμές κατά μια μικρή γωνία σε σχέση με την κατακόρυφο, τότε αυτό θα εκτελέσει ταλαντώσεις γύρω από αυτή σε τροχιά τόξου. Θεωρήστε το εκκρεμές στο διπλανό σχήμα σε τυχαία γωνία θ. Στη μάζα ασκούνται δυο δυνάμεις, το βάρος του mg και η τάση Τ του νήματος. Είναι βολικό να αναλύσουμε τις δυνάμεις αυτές κατά μήκος του νήματος και κατά μήκος της κυκλικής τροχιάς της μάζας m. Κατά μήκος του νήματος, η συνολική δύναμη Τ mg cosθ παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου ενώ κατά μήκος της τροχιάς η F = mgsinθ παίζει τον ρόλο της δύναμης επαναφοράς. Το μείον έχει την έννοια του ότι η F έχει αντίθετο πρόσημο από αυτό της γωνίας θ. Από τη δεξιά μεριά π.χ. της κατακορύφου θ > 0 ενώ η F είναι αρνητική (προς την κατεύθυνση x) και αντίθετα στην αριστερή μεριά. Ο 2 ος νόμος του Νεύτωνα κατά μήκος της κυκλικής τροχιάς δίνει F = mα => mx = mg sinθ (3) όπου α = x είναι η επιτάχυνση της μάζας και ο διπλός τόνος συμβολίζει διπλή παραγώγιση ως προς το χρόνο. Στην παραπάνω διαφορική εξίσωση πρέπει να συσχετίσουμε το x με το θ. Το x είναι το μήκος του τόξου και γνωρίζουμε από απλή γεωμετρία ότι ισούται με την ακτίνα L επί την γωνία θ. Έτσι η διαφορική εξίσωση γίνεται x = g sin x (4) L Αυτή είναι μια μη γραμμική εξίσωση και δεν λύνεται εύκολα. Άλλωστε στο εκκρεμές μας ενδιαφέρουν μόνο οι μικρές γωνίες θ και έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση sinθ ~ θ (ισχύει μόνο για γωνίες που είναι σε ακτίνια). Έτσι x = g x L (5) 6
η οποία έχει αρμονική λύση x = x sinωt με ω = g/l και επομένως περίοδο Τ που δίνεται από την Τ = (2π) L g (6) Μπορούμε να καταγράψουμε μια σειρά από διαφορετικές τιμές της περιόδου για διαφορετικές τιμές του νήματος L. Το L μετριέται με μια μετροταινία, ενώ το Τ μετριέται με χρονόμετρο. Συνήθως αφήνουμε το εκκρεμές να ταλαντεύεται για μια σειρά από διαδοχικές περιόδους, ταλαντώσεις (π.χ. 10), και μετρούμε έτσι με μεγαλύτερη ακρίβεια το χρόνο μιας περιόδου (γιατί;). Η εξίσωση (2) μπορεί να ξαναγραφεί με την εξής μορφή: Τ = 4π L (7) g η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως μια γραμμική σχέση της μορφής y = λx (8) εάν θέσουμε y = T, λ = 4π /g και x = L. Έτσι εάν απεικονίσουμε τις τιμές (x, y) σε ένα χαρτί μιλιμετρέ, θα προκύψει μια ευθεία γραμμή, η κλίση της οποίας θα μας δώσει την τιμή λ και κατ επέκταση την τιμή g της επιτάχυνσης της βαρύτητας. 3.2 Πειραματική διάταξη Η πειραματική διάταξη αποτελείται από κατακόρυφη βάση στήριξης, αβαρές νήμα, βαρίδι γνωστού βάρους, μετροταινία και ψηφιακό χρονόμετρο. 3.3 Πειραματική διαδικασία Να μετρηθούν οι τιμές του 10Τ για πέντε διαφορετικές τιμές του L. 3.4 Εργαστηριακή Αναφορά Στο κομμάτι της θεωρίας απαντήστε μόνο τις παρακάτω ερωτήσεις: (1) Εξηγείστε την έννοια επιτάχυνση της βαρύτητας. (2) Εφαρμόστε το 2 ος νόμο του Νεύτωνα κατά μήκος της κυκλικής τροχιάς στην περίπτωση του εκκρεμούς για να εξηγείστε τα παρακάτω ερωτήματα: Αν αλλάξει η μάζα του βαριδίου, ποιά θα είναι η επίδραση στην τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας; Τι θα συμβεί εάν αυξήσουμε την γωνία ταλάντωσης σε πολύ μεγάλες τιμές; 7
Ζητούνται τα ακόλουθα στο κεφάλαιο «αποτελέσματα»: (1) Να συμπληρώσετε στο παρακάτω πίνακα τα δεδομένα σας: 10Τ / sec T / sec T 2 / sec 2 L / cm (2) Να κατασκευαστεί το διάγραμμα Τ L σε χιλιοστομετρικό χαρτί (με το χέρι). Να χαραχθεί η ευθεία που θα περνά από το μηδέν (T = 0, L = 0). (3) Να υπολογιστεί από την κλίση της ευθείας η τιμή του g. Να συγκριθεί με τη θεωρητική τιμή της και να δικαιολογηθούν οι αποκλίσεις, εάν υπάρχουν. (4) Ποια συστηματικά σφάλματα γίνονται κατά τη μέτρηση του μήκους του εκκρεμούς; Αυτά τα σφάλματα είναι εντονότερα για μεγαλύτερο μήκος L ή για μικρότερο; (5) Γράψτε τις τιμές τριών γωνιών θ σε μοίρες που θεωρείτε ότι είναι σχετικά μικρές, μετατρέψτε τις σε ακτίνια και υπολογίστε το ημίτονό τους. Από τις τιμές σας σχολιάστε σε τι ποσοστό ισχύει η προσέγγιση sinθ ~ θ που χρησιμοποιήσαμε στην εξίσωση (4). Επίσης σχολιάστε εάν ισχύει τόσο για τις μοίρες όσο και για τα ακτίνια. (6) Στο πείραμα με το εκκρεμές μετράμε τον χρόνο 10 περιόδων και μετά διαιρούμε δια 10 για να βρούμε την περίοδο. Εξηγήστε γιατί δεν μετράμε τον χρόνο της μιας περιόδου απευθείας; 4 Βιβλιογραφία [1] Δ. Κουζούδης «Εργαστήριο Φυσικής, Μηχανική-Θερμοδυναμική-Κυματική», Γενικό τμήμα Πολυτεχνικής Σχολής, Πανεπιστήμιο Πατρών, 2011 (e-class, έγγραφα) [2] Μ. Πηλακούτα «Μετρήσεις-Αβεβαιότητα Μετρήσεων, Εργαστήριο Φυσικής (http://ikaros.teipir.gr/phyche/subjects/varsamis/ergastiria/askisi_1.pdf ) 8