Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 1 Η ΙΟ ΟΣ ΕΠΑΦΗΣ Κατά τη δηµιουργία µιας -n επαφής αρχικά υπάρχουν µόνο οπές στην -περιοχή και µόνο ηλεκτρόνια στην n-περιοχή. Οι οπές µε τα αρνητικά ιόντα της πρόσµιξης που δρουν ως αποδέκτες ηλεκτρονίων στην -περιοχή και τα ηλεκτρόνια µε τα θετικά φορτισµένα ιόντα της πρόσµιξης που δρουν ως δότες ηλεκτρονίων στην n-περιοχή εξασφαλίζουν την ηλεκτρική ουδετερότητα στις δύο αυτές περιοχές. Λόγω όµως της ύπαρξης βαθµίδας συγκέντρωσης τόσο για τις οπές όσο και για τα ηλεκτρόνια οι οπές αρχίζουν να κινούνται προς την n-περιοχή και τα ηλεκτρόνια προς την -περιοχή. Με τον τρόπο αυτό, στην περιοχή της επαφής τα ηλεκτρόνια επανασυνδέονται µε τις οπές στις δύο πλευρές της επαφής µε αποτέλεσµα να δηµιουργούνται τελικά δύο στενές περιοχές µε ακάλυπτα φορτία (µη αντισταθµισµένα ηλεκτρικά από ελεύθερους φορείς), αρνητικά στην - περιοχή και θετικά στην n-περιοχή (Σχήµα 1). Τα φορτία αυτά χαρακτηρίζονται ως ακάλυπτα (unneutralized ή uncovered) επειδή δεν αντισταθµίζονται πια από ελεύθερους φορείς. Η περιοχή αυτή των δύο λεπτών ζωνών κοντά στην επαφή λόγω της απουσίας ελευθέρων φορέων χαρακτηρίζεται ως περιοχή διακένωσης (deletion region) ή περιοχή φορτίων χώρου (sace-charge region) ή µεταβατική περιοχή (transition region). Το εύρος της περιοχής αυτής είναι της τάξης του µήκους κύµατος του ορατού φωτός (0.5µm) και στο σχήµα 1 παρουσιάζεται εκτός κλίµακας σε µεγέθυνση. Και ενώ στην περιοχή διακένωσης δεν υπάρχουν ελεύθεροι φορείς, στα αριστερά αυτής (στην -περιοχή) η συγκέντρωση ελευθέρων φορέων είναι N A και στα δεξιά (στην n- περιοχή) είναι n N D.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) Σχήµα 1. ιάγραµµα µιας -n επαφής στο οποίο η περιοχή φορτίων χώρου παρουσιάζεται σε µεγέθυνση. Παρουσιάζονται επίσης η πυκνότητα φορτίου, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, το ηλεκτροστατικό δυναµικό και η ενέργεια των ηλεκτρονίων. Η ενέργεια των οπών είναι ανάλογη του δυναµικού.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 3 Σχήµα. ιάγραµµα ενεργειακών ζωνών σε µια -n επαφή υπό συνθήκες ανοικτού κυκλώµατος. Οι ενεργειακές ζώνες αντιστοιχούν στη δυναµική ενέργεια των ηλεκτρονίων. Στο σχήµα παρουσιάζεται το διάγραµµα ενεργειακών ζωνών που αντιστοιχούν στη δυναµική ενέργεια των ηλεκτρονίων σε µια -n επαφή υπό συνθήκες ανοικτού κυκλώµατος (όπως στο σχήµα 1). Κάτω από αυτές τις συνθήκες, στην κατάσταση ισορροπίας η ενέργεια Fermi παραµένει σταθερή σε ολόκληρη την έκταση της διόδου. Αν κάτι τέτοιο δεν ίσχυε αυτό θα σήµαινε ότι ηλεκτρόνια από τη µια µεριά της επαφής θα είχαν υψηλότερη µέση ενέργεια από τη µέση ενέργεια των ηλεκτρονίων στην άλλη µεριά της επαφής µε αποτέλεσµα να υπάρχει µια κίνηση ηλεκτρονίων και µεταφορά ενέργειας έτσι ώστε τελικά η στάθµη της ενέργειας Fermi στις δύο περιοχές να εξισωθεί.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 4 Η µετατόπιση Ej των ενεργειακών ζωνών κατά τη µετάβαση από την n στην περιοχή µπορεί να υπολογιστεί ως εξής: [ ] E j = a+b = EG / ( EF EV) + EG / ( ECn EF) E j = EG ( EF EV) ( ECn EF) (1) είναι όµως : E G = kt N N ln C V ni N ECn EF = ktln N N EF EV = ktln N C D V A οπότε, λαµβάνοντας υπόψη τις εξ., 3 και 4 η εξίσωση 1 γράφεται : E j NCNV NV N C = kt ln ln ln ni NA ND 1 1 NCN V N V N C Ej = ktln ni NA N D E j = kt N N D A ln ni () (3) (4) (5) Αξίζει στο σηµείο αυτό να σηµειωθεί ότι η µετατόπιση ενέργειας Ej δεν εξαρτάται από το πλήθος των φορτίων χώρου που συσσωρεύονται
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 5 στην περιοχή διακένωσης, εξαρτάται µόνο από τις συγκεντρώσεις ισορροπίας. Αν µάλιστα ληφθεί υπόψη ότι στην κατάσταση ισορροπίας ισχύουν: Για n-τύπου ηµιαγωγό n = n, nn0 n n i N, D n0 n N i D Για -τύπου ηµιαγωγό n = n, 0 i N, A n 0 n N i A η µετατόπιση ενέργειας όπως εκφράζεται από την εξίσωση 5 µπορεί να γραφεί και ως: n Ej = ktln = ktln n 0 n0 n0 0 (6) όπως αποδείχτηκε και στην ενότητα ηµιαγωγοί. Στα σχήµατα 3 και 4 παρουσιάζεται ο διαχωρισµός στάθµης της ενέργειας Fermi στην -περιοχή από την αντίστοιχη στάθµη στην n- περιοχή σε συνθήκες ανάστροφης και ορθής πόλωσης αντίστοιχα. Στην ανάστροφη πόλωση µια εξωτερική πηγή τάσης V εξ τοποθετείται έτσι ώστε το υψηλό της δυναµικό να συνδέεται µε την n-περιοχή της διόδου και το χαµηλό της δυναµικό µε την -περιοχή. Στην ανάστροφη πόλωση το ενεργειακό φράγµα στην κίνηση των ηλεκτρονίων αυξάνεται κατά qv εξ έναντι αυτού που αναπτύσσεται υπό συνθήκες ανοικτού κυκλώµατος. Αντίθετα στην ορθή πόλωση µειώνεται κατά την ίδια ποσότητα.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 6 Σχήµα 3. ιάγραµµα ενεργειακών ζωνών σε µια -n επαφή υπό συνθήκες ανάστροφης πόλωσης. Οι ενεργειακές ζώνες αντιστοιχούν στη δυναµική ενέργεια των ηλεκτρονίων. Το ενεργειακό φράγµα αυξάνεται και ισούται µε Ε j + qv εξ.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 7 Σχήµα 4. ιάγραµµα ενεργειακών ζωνών σε µια -n επαφή υπό συνθήκες ορθής πόλωσης. Οι ενεργειακές ζώνες αντιστοιχούν στη δυναµική ενέργεια των ηλεκτρονίων. Το ενεργειακό φράγµα µειώνεται και ισούται µε Ε j - qv εξ.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 8 Σχήµα 5. Κατανοµή της συγκέντρωσης φορέων µειονότητας σε µια -n δίοδο επαφής σα συνάρτηση της απόστασης x από την επαφή σε συνθήκες: (α) ορθής πόλωσης και (β) ανάστροφης πόλωσης. Η περιοχή διακένωσης θεωρείται πολύ µικρή σε σχέση µε το µήκος διάχυσης και για το λόγο αυτό δεν παρουσιάζεται στο σχήµα. Κατά την ορθή πόλωση της διόδου, όπως φαίνεται στο σχήµα 4, το φράγµα δυναµικού χαµηλώνει µε αποτέλεσµα οπές από την -περιοχή να εισέρχονται στην n-περιοχή και ηλεκτρόνια από την n-περιοχή να εισέρχονται στην -περιοχή. Παρατηρείται λοιπόν έγχυση φορέων µειονότητας τόσο στην -περιοχή όσο και στην n-περιοχή (σχήµα 5α). Αντίθετα κατά την ανάστροφη πόλωση το φράγµα δυναµικού µεγαλώνει έναντι της τιµής που είχε υπό συνθήκες ανοικτού κυκλώµατος µε αποτέλεσµα η συγκέντρωση των φορέων µειονότητας να πέφτει κάτω από τις τιµές n 0 και n0 που έχει αντίστοιχα ο κάθε τύπος ηµιαγωγού πριν την επίτευξη της επαφής (σχήµα 5β).
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 9 Σχήµα 6. Οι συνιστώσες του ρεύµατος διάχυσης για τις οπές και τα ηλεκτρόνια συναρτήσει της απόστασης σε µια -n δίοδο επαφής. Η περιοχή θεωρείται πολύ περισσότερο ντοπαρισµένη από την n περιοχή. Η έκταση της περιοχής φορτίων χώρου στην επαφή θεωρείται αµελητέα και δεν φαίνεται στο σχήµα.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 10 Σχήµα 7. Ρεύµατα µειονότητας (κόκκινες καµπύλες) και πλειονότητας (πράσινες καµπύλες) συναρτήσει της απόστασης σε µια -n δίοδο επαφής. Στην πολύ στενή περιοχή διακένωσης έχει θεωρηθεί ότι δε συµβαίνει επανασύνδεση φορέων. Στο σχήµα 6 παρουσιάζονται τα ρεύµατα διάχυσης που οφείλονται στην περίσσεια φορέων µειονότητας που εγχέονται έξω από τα δύο όρια της περιοχής διακένωσης κατά την ορθή πόλωση της διόδου. Η ένταση του ρεύµατος διάχυσης οπών που διέρχονται µέσα από µια επιφάνεια διατοµής Α λόγω ύπαρξης διαφοράς συγκέντρωσης [ύπαρξη µεταβλητής συγκέντρωσης (x)] µεταβάλλεται µε την απόσταση x και είναι ανάλογη της κλίσης της κατανοµής της συγκέντρωσης (x): d( x) I( x) = AJ( x) = AqD dx (7)
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 11 Η κατανοµή των φορέων µειονότητας που εγχέονται έχει την ακόλουθη εκθετική µορφή µείωσης (βλ. Παράρτηµα): x 0 x 0 x L ( ) = + ( ) = + (0)ex( / ) (8) και το αντίστοιχο ρεύµα διάχυσης γράφεται: [ ] AqD (0) AqD (0) I x x L x L 0 ( ) = ex( / ) = ex( / ) L L επειδή µάλιστα πρόκειται για ρεύµα φορέων µειονότητας, χρησιµοποιείται διπλός δείκτης για το ρεύµα όπου ο πρώτος αναφέρεται στο είδος των φορέων ενώ ο δεύτερος στον τύπο αγωγιµότητας του ηµιαγωγού µέσα στον οποίο αυτές εγχέονται: [ ] AqD (0) AqD (0) I x x L x L n n n0 n( ) = ex( / ) = ex( / ) L L.(9) (10) Στο σηµείο της επαφής (x=0) η εξίσωση 10 παίρνει τη µορφή: I n (0) [ (0) ] AqD n n0 = (11) L Λαµβάνοντας υπόψη την εξίσωση Boltzmann: (0) ex( V / V ) = (1) n n0 T το ρεύµα των εγχεόµενων οπών στα όρια της επαφής γράφεται: I n (0) [ (0) ] [ ex( / ) ] AqD AqD V V n n0 n0 T n0 = = L L I AqD = [ V V ] (13) n0 n(0) ex( / T ) 1 L
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 1 Με παρόµοια διαδικασία προκύπτει για τα ηλεκτρόνια που εγχέονται στην -περιοχή: I AqD n = [ V V ] (14) n 0 n (0) ex( / T ) 1 Ln Το άθροισµα όµως των ρευµάτων διάχυσης στα όρια της περιοχής διακένωσης ισούται µε το συνολικό ρεύµα Ι που διαρρέει τη δίοδο (σχήµα 7) οπότε: I = I + I D = Aq D n + V V [ ] n0 n 0 n(0) n (0) ex( / T ) 1 L L n.(15) Η εξίσωση 15 είναι ουσιαστικά η χαρακτηριστική εξίσωση ρεύµατοςτάσης της διόδου: [ ] I = I ex( / ) 1 0 V V T (16) όπου το ανάστροφο ρεύµα Ι 0 έχει την ακόλουθη µορφή που εκφράζεται συναρτήσει των χαρακτηριστικών των υλικών που συνενώθηκαν για να σχηµατιστεί η -n επαφή: D D n D D I0 = Aq + = Aq + n n0 n 0 n i L Ln LND LnNA (17) Με δεδοµένο τώρα ότι για τη συγκέντρωση ελευθέρων φορέων σε ενδογενή ηµιαγωγό ισχύει: n = AT ex( E / kt) = AT ex( V / V ) (18) 3 3 i 0 G 0 G T και ότι για το Ge είναι D 1/ 0 1 ex( G / ) T και D 1/ T n έπεται ότι: I = CT E kt (19)
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 13 Για το πυρίτιο, λόγω της γένεσης και επανασύνδεσης φορέων στην περιοχή φορτίων χώρου ισχύει για µικρά ρεύµατα [ η ] I = I ex( / ) 1 0 V V T µε η ενώ επίσης έχει βρεθεί ότι I n 0 i οπότε τελικά για το πυρίτιο ισχύει: I = C T E kt. (0) 3/ 0 ex( G / ) υναµική αντίσταση διόδου. Η δυναµική αντίσταση της διόδου µπορεί να προκύψει µε παραγώγιση της χαρακτηριστικής εξίσωσης ρεύµατος-τάσης της διόδου: 1 di I ex( V / ηv ) I + I I = I0 V VT = = = r dv ηv ηv r 0 T 0 [ ex( / η ) 1] ηv ηv I + I I T = 0 T T (1) T Η σηµασία του φορτίου που εγχέεται και η απλή σχέση του µε το ρεύµα της διόδου. Όπως προκύπτει από τα σχήµατα 4 και 5 στην ορθή πόλωση της διόδου το φράγµα δυναµικού χαµηλώνει µε αποτέλεσµα οπές από την -περιοχή να εισέρχονται στην n-περιοχή και ηλεκτρόνια από την n-περιοχή να εισέρχονται στην -περιοχή. Παρατηρείται λοιπόν έγχυση φορέων µειονότητας τόσο στην -περιοχή όσο και στην n-περιοχή, σύµφωνα και µε το σχήµα 5α. Για απλούστευση των πράξεων µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η -περιοχή είναι πολύ περισσότερο ντοπαρισµένη από την n µε αποτέλεσµα η ποσότητα των ηλεκτρονίων που εγχέονται στην - περιοχή να είναι αµελητέα σε σχέση µε τις οπές που εγχέονται στην n-
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 14 περιοχή. Κατά συνέπεια το ολικό φορτίο, Q, που εγχέεται θα οφείλεται αποκλειστικά στις οπές και θα προκύπτει από την ολοκλήρωση της κατανοµής των φορέων µειονότητας που εγχύθηκαν (σκιασµένη περιοχή) εντός της n-περιοχής (το σκιασµένο αυτό εµβαδό δίνει τη συγκέντρωση φορέων µειονότητας ανά µονάδα επιφάνειας) και τον πολλαπλασιασµό µε την επιφάνεια Α της επαφής: Q= Aq (0)ex( x/ L ) dx= AqL (0) () 0 Συνδυάζοντας τώρα την έκφραση για το ολικό εγχεόµενο φορτίο Q µε το αντίστοιχο ρεύµα : AqD n(0) I = In(0) = L (3) προκύπτει µια πολύ απλή έκφραση µε µορφή λόγου φορτίου προς χρόνο, το µέσο χρόνο ζωής των οπών τ : I Q τ = όπου τ = L D (4) Κατά συνέπεια, το ρεύµα Ι της διόδου παρέχει φορείς µειονότητας στην n-περιοχή µε έναν ρυθµό ίσο µε την ταχύτητα µε την οποία αυτοί οι φορείς εξαφανίζονται λόγω επανασύνδεσης. Η µεθοδολογία αυτή έκφρασης του ρεύµατος Ι της διόδου συναρτήσει του φορτίου Q των εγχεόµενων φορέων µπορεί να υιοθετηθεί και στην περίπτωση της ανάστροφης πόλωσης. Στην περίπτωση αυτή λαµβάνεται υπόψη το σκιασµένο εµβαδόν του σχήµατος 5β, το οποίο είναι αρνητικό αφού εκφράζει µείωση φορτίου σε σχέση µε τις συγκεντρώσεις σε θερµική ισορροπία απουσία εξωτερικής τάσης. Το ρεύµα αυτό ισούται µε το ανάστροφο ρεύµα που διαρρέει τη δίοδο σε ανάστροφη πόλωση.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 15 Το σηµαντικό πλεονέκτηµα της έκφρασης του ρεύµατος της διόδου συναρτήσει του φορτίου Q είναι η απλή µαθηµατική σχέση σε αντίθεση µε την εκθετική σχέση που ισχύει όταν εκφράζεται το ρεύµα Ι της διόδου συναρτήσει της τάσης V. Χωρητικότητα διάχυσης, C D. Η χωρητικότητα διάχυσης οφείλεται στο φορτίο για το οποίο έγινε λόγος στην προηγούµενη παράγραφο. Φορτίο Q, που εγχέεται και παραµένει κοντά στην n επαφή έξω από τα όρια της περιοχής διακένωσης κατά την ορθή πόλωση αυτής (diffusion ή storage caacitance). Λαµβάνοντας υπόψη τις εκφράσεις για το ρεύµα της διόδου συναρτήσει του εγχεόµενου φορτίου Q και τη δυναµική αντίσταση της διόδου r: I Q τ =, r V T η I = (5) η χωρητικότητα διάχυσης προσδιορίζεται ως εξής: C dq di τ dv dv r D = = τ = C τ I D = (6) ηvt Παρατηρούµε ότι η χωρητικότητα διάχυσης είναι ανάλογη του ρεύµατος Ι της διόδου. Στην περίπτωση τώρα που και το ρεύµα των φορέων µειονότητας στην -περιοχή (ηλεκτρονίων) είναι σηµαντικό ισχύει µε την ίδια λογική µια παρόµοια έκφραση και για τα ηλεκτρόνια µε αποτέλεσµα η συνολική χωρητικότητα διάχυσης να ισούται µε το άθροισµα των δύο επιµέρους χωρητικοτήτων.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 16 Χωρητικότητα περιοχής φορτίων χώρου, C SC ή C T ή C J. Σχήµα 8. ίοδος -n µε οµοιόµορφη κατανοµή φορτίων στην και την n περιοχή (ste-graded junction). Παρουσιάζονται, η πυκνότητα φορτίου, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και η µεταβολή του δυναµικού µε την απόσταση x από την επαφή.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 17 Συνήθως οι -n επαφές δηµιουργούνται ασύµµετρες µε τη µια περιοχή περισσότερο ντοπαρισµένη (η περιοχή στο παράδειγµα του σχήµατος 8) από την άλλη. Λόγω του ότι το συνολικό φορτίο στην περιοχή διακένωσης πρέπει να είναι µηδέν θα ισχύει: NW = NW (7) A D n Για απλούστευση των πράξεων αλλά χωρίς µείωση της γενικότητας του τελικού αποτελέσµατος (όπως θα φανεί στη συνέχεια) µπορεί να θεωρηθεί ότι Ν Α >>Ν D οπότε και W << Wn W H θεώρηση αυτή µας επιτρέπει αρχικά να δεχθούµε ότι η συγκέντρωση δοτών είναι αµελητέα όπως αµελητέο είναι και το ηλεκτρικό πεδίο και το δυναµικό στο τµήµα της περιοχής φορτίων χώρου αριστερά της επαφής. Κατά συνέπεια από την εξίσωση Poisson προκύπτει: dv dx = ρ qn D ε = ε (8) Ολοκληρώνοντας και θεωρώντας (µε βάση τις υποθέσεις που έγιναν) ότι το ηλεκτρικό πεδίο είναι ουσιαστικά µηδέν για x < 0 και για x > Wn W προκύπτει ότι το ηλεκτρικό πεδίο θα δίδεται από την ακόλουθη γραµµική σχέση: dv qn E = = D ( x W) (9) dx ε Με νέα ολοκλήρωση και θεωρώντας ότι V(x=0)=0 προκύπτει εξάρτηση δευτέρου βαθµού του δυναµικού από την απόσταση x: qn V = D ( x Wx) (30) ε
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 18 Θέτοντας στην τελευταία αυτή εξίσωση x = W και θεωρώντας τη µεταβλητή V εξ θετική ποσότητα θα πρέπει να προκύπτει το φράγµα δυναµικού (V=V j +V εξ ) και κατά συνέπεια: qndw + = Vj V εξ ε ε W = ( Vj + Vεξ ) qn D (31) Η εξίσωση αυτή επιβεβαιώνει το γεγονός ότι όταν αυξάνει η τάση της ανάστροφης πόλωσης αυξάνει το εύρος της περιοχής φορτίων χώρου, κάτι που φαίνεται και στην ανάλυση µε τις ενέργειες Fermi (σύγκριση σχηµάτων & 3). Το συνολικό φορτίο στην περιοχή φορτίων χώρου σε µια έκταση W και µε την επιφάνεια της επαφής θεωρούµενη ίση µε Α θα είναι: Q= qn WA (3) D οπότε η χωρητικότητα της περιοχής διακένωσης (αλλιώς γνωστή και ως χωρητικότητα φορτίων χώρου, χωρητικότητα περιοχής µετάβασης ή χωρητικότητα επαφής) θα είναι ίση µε : C J dq = = dv εξ qn A D dw dv εξ (33) H παραγώγιση της εξίσωσης που δίνει το δυναµικό φράγµατος συναρτήσει του W δίνει: dw/dvεξ =ε/(qn D W) οπότε τελικά : C J dq = = dv εξ εα W (34) που πρόκειται για τη γνωστή έκφραση που δίνει τη χωρητικότητα δύο παράλληλων φορτισµένων οπλισµών επιφάνειας Α που βρίσκονται σε απόσταση W µεταξύ τους και στο χώρο ανάµεσά τους υπάρχει διηλεκτρικό µε διηλεκτρική σταθερά ε.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 19 Η εξίσωση αυτή ισχύει για την χωρητικότητα της περιοχής φορτίων χώρου ακόµη και στην περίπτωση που η συγκέντρωση των δοτών, Ν D, δε θεωρείται αµελητέα. Στην περίπτωση αυτή µε µια παρόµοια ανάλυση µπορούµε να φτάσουµε στο ίδιο αποτέλεσµα µε τη διαφορά ότι τώρα στο εύρος της περιοχής διακένωσης συνεισφέρει εκτός από το τµήµα πάχους W n και το τµήµα πάχους W για τα οποία µε τις καινούργιες οριακές συνθήκες προκύπτουν τα ακόλουθα (το W αντικαθίσταται από τα γινόµενα W W και W Wn αντίστοιχα): ε W Wn = ( Vj + Vεξ ) qn ε W W = ( Vj + Vεξ ) qn D A Προσθέτοντας κατά µέλη και λαµβάνοντας υπόψη ότι n (35) (36) W = W + W (37) Προκύπτει για το συνολικό εύρος της περιοχής φορτίων χώρου : W = W + Wn = ε ( V ) 1 1 j + Vεξ + q NΑ N D (38) Το ισοδύναµο κύκλωµα της διόδου Λαµβάνοντας υπόψη τις χωρητικότητες διάχυσης και επαφής το ισοδύναµο κύκλωµα της διόδου µπορεί να οριστεί σαν αυτό που παρουσιάζεται στο σχήµα 9. Στο ισοδύναµο αυτό κύκλωµα
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 0 περιλαµβάνονται οι χωρητικότητες επαφής C J και διάχυσης C D καθώς και οι ακόλουθες αντιστάσεις: η αντίσταση του σώµατος της διόδου Rs που είναι της τάξης των µερικών Ω, η αντίσταση διαρροής r L της τάξης των µερικών ΜΩ η µη γραµµική στατική αντίσταση της διόδου Rd (=V Q /I Q ) όπως αυτή καθορίζεται από το σηµείο λειτουργίας πάνω στην I-V χαρακτηριστική. Σχήµα 9. Ισοδύναµο κύκλωµα διόδου που περιλαµβάνει και τις χωρητικότητες επαφής και διάχυσης. Σε συνθήκες ανάστροφης πόλωσης η δυναµική αντίσταση της διόδου γίνεται πάρα πολύ µεγάλη µε αποτέλεσµα η χωρητικότητα C D να γίνεται
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 1 πολύ µικρή, τόσο ώστε να θεωρείται αµελητέα συγκριτικά µε τη χωρητικότητα C J. Αντίθετα σε συνθήκες ορθής πόλωσης η C D είναι συνήθως πολύ µεγαλύτερη της C J. ΤΟ ΙΠΟΛΙΚΟ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ ΕΠΑΦΗΣ Σχήµα 10. Σχηµατική παράσταση ενός συµµετρικού n τρανζίστορ όπου εικονίζεται το δυναµικό και η συγκέντρωση των φορέων µειονότητας σε συνθήκες ανοικτού κυκλώµατος. Οι περιοχές φορτίων χώρου στις επαφές J E και J C παρουσιάζονται εκτός κλίµακας, σε µεγέθυνση.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) Ένα n τρανζίστορ µπορεί να θεωρηθεί ως µια n δίοδος σε σειρά µε µια n δίοδο και κατά συνέπεια τα όσα αναφέρθηκαν στις προηγούµενες παραγράφους για τη συµπεριφορά της διόδου µπορούν να αξιοποιηθούν και για την περιγραφή της συµπεριφοράς του τρανζίστορ. Στο σχήµα 10 παρουσιάζεται η περίπτωση όπου στο τρανζίστορ δεν εφαρµόζονται κάποιες εξωτερικές πηγές τάσης πόλωσης. Με δεδοµένο λοιπόν ότι οι ακροδέκτες του τρανζίστορ είναι ελεύθεροι δε θα πρέπει να υπάρχει ροή ρεύµατος στο τρανζίστορ. Τα δυναµικά επαφής που αναπτύσσονται στις δύο επαφές, την επαφή εκποµπού-βάσης (συµβολίζεται µε J E ) και την επαφή βάσης-συλλέκτη (συµβολίζεται µε J C ) είναι τέτοια ώστε να µην επιτρέπουν στους ελεύθερους φορείς να διασχίσουν τις επαφές. Στην περίπτωση ενός συµµετρικού τρανζίστορ όπου οι δύο -περιοχές έχουν τις ίδιες διαστάσεις και το ίδιο επίπεδο ντοπαρίσµατος αναµένεται τα δύο δυναµικά επαφής να έχουν την ίδια τιµή (Vj) όπως φαίνεται στο σχήµα 10. Κάτω από αυτές τις συνθήκες, η συγκέντρωση των φορέων µειονότητας µένει σταθερή σε κάθε περιοχή και ισούται µε την αντίστοιχη τιµή σε συνθήκες θερµικής ισορροπίας ( n0 στην n-τύπου βάση και n 0 στους -τύπου εκποµπό και συλλέκτη). Στο σχήµα 11 παρουσιάζονται τόσο το δυναµικό όσο και η συγκέντρωση των φορέων µειονότητας για την περίπτωση που το τρανζίστορ λειτουργεί στην ενεργό περιοχή. Όταν δηλαδή η επαφή εκποµπού-βάσης είναι ορθά πολωµένη και η επαφή βάσης-συλλέκτη ανάστροφα. Παρατηρούµε ότι το φράγµα δυναµικού στην επαφή του εκποµπού ελαττώνεται τόσο όσο είναι το µέγεθος της τάσης ορθής πόλωσης V EB ενώ το φράγµα δυναµικού στην επαφή του συλλέκτη αυξάνεται κατά το µέγεθος της τάσης ανάστροφης πόλωσης V CB. Για το λόγο αυτό παρατηρείται εκατέρωθεν της επαφής του εκποµπού (J E ) έγχυση φορέων µειονότητας ενώ εκατέρωθεν της επαφής του συλλέκτη
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 3 (J C ) µειώνεται η αντίστοιχη συγκέντρωση κάτω από τα επίπεδα της θερµικής ισορροπίας. Σχήµα 11. Σχηµατική παράσταση ενός n τρανζίστορ όπου εικονίζεται το δυναµικό και η συγκέντρωση των φορέων µειονότητας σε συνθήκες λειτουργίας στην ενεργό περιοχή. Η επαφή J E είναι ορθά πολωµένη ενώ η J C ανάστροφα.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 4 Στο σχήµα 11 φαίνεται επίσης ο τρόπος µε τον οποίο αλλάζει η έκταση των δύο περιοχών φορτίων χώρου όταν από την κατάσταση ανοικτού κυκλώµατος (όρια µε διακεκοµµένες γραµµές) το τρανζίστορ µεταβαίνει στην κατάσταση ενεργούς λειτουργίας (περιοχές χρωµατισµένες µε κίτρινο χρώµα). Παρατηρούµε ότι λόγω της ορθής πόλωσης στην επαφή του εκποµπού συρρικνώνεται η έκταση της περιοχής φορτίων χώρου ενώ αντίθετα στην ανάστροφα πολωµένη επαφή του συλλέκτη η περιοχή φορτίων χώρου διευρύνεται (σε συµφωνία µε την εξίσωση 38). Οι οπές που εγχέονται από τον εκποµπό προς τη βάση συναντούν µηδενικό ηλεκτρικό πεδίο εντός της βάσης και κινούνται λόγω διάχυσης φτάνοντας µέχρι την επαφή του συλλέκτη όπου το ηλεκτρικό πεδίο της αντίστοιχης περιοχής διακένωσης τις επιταχύνει. Ουσιαστικά πέφτουν στο πηγάδι δυναµικού και καταλήγουν στο συλλέκτη. ε φτάνουν όµως όλες οι οπές στο συλλέκτη. Η πλειοψηφία τους ρεύµα αι Ε (στο σχήµα 1) φτάνει στο συλλέκτη, ένα ποσοστό όµως από τις οπές που εγχέονται στη βάση από τον εκποµπό επανασυνδέονται µε τα ηλεκτρόνια της βάσης ρεύµα (1-α)Ι Ε. Τα ηλεκτρόνια που χάνονται µέσα στη βάση λόγω της επανασύνδεσης αναπληρώνονται από την πηγή V EB µε τη βοήθεια του ρεύµατος βάσης. Επίσης εντός της περιοχής του εκποµπού υπάρχει ένα ρεύµα ηλεκτρονίων µειονότητας που οδεύουν µε διάχυση προς τον ακροδέκτη του εκποµπού. Η βάση έχει σκόπιµα µικρό πλάτος και χαµηλά επίπεδα ντοπαρίσµατος έτσι ώστε τόσο η επανασύνδεση των οπών µε τα ηλεκτρόνια στη βάση να είναι αµελητέα και να οδεύει η πλειοψηφία των οπών στο συλλέκτη όσο και το ρεύµα διάχυσης των ηλεκτρονίων στον εκποµπό να θεωρείται αµελητέο. Το ρεύµα της διόδου κάτω από αυτές τις συνθήκες είναι ένα ρεύµα οπών. Το ρεύµα του συλλέκτη αποτελείται από το ρεύµα αι Ε και από ένα ρεύµα Ι CB0 που οφείλεται στη θερµική γένεση ζευγών οπών και ηλεκτρονίων στις περιοχές του συλλέκτη και της βάσης. Το ρεύµα αυτό είναι
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 5 ουσιαστικά το ανάστροφο ρεύµα Ι 0 (για το οποίο έγινε λόγος και στη δίοδο) το οποίο είναι ανεξάρτητο της τάσης V CB. Τα ρεύµατα αυτά παρουσιάζονται στο σχήµα 1. Σχήµα 1. Συνοπτική µορφή παρουσίασης των ρευµάτων σε ένα n τρανζίστορ. Οι περιοχές φορτίων χώρου δεν εικονίζονται λόγω του πολύ µικρού τους εύρους. Σύµφωνα µε τις φορές ρευµάτων του σχήµατος 1, για τον κόµβο του συλλέκτη ισχύει: IC + aie ICB0 = 0 IC = aie + ICB0 (39)
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 6 για τον κόµβο της βάσης ισχύει: I + (1 a) I + I = 0 B E CB0 1 1 I = I I E 0 1 a B 1 a CB (40) Ο συντελεστής α. του τρανζίστορ. Από την εξίσωση 39 προκύπτει ότι η παράµετρος α µπορεί να εκφραστεί ως εξής: I I I I a = = I I 0 C CB0 C CB0 E E (41) η εξίσωση 41 υποδηλώνει και έναν ορισµό που χρησιµοποιείται για την παράµετρο α µε βάση τον οποίο η παράµετρος αυτή εκφράζει το αντίθετο του λόγου της αύξησης του ρεύµατος του συλλέκτη (I C ) σε σχέση µε την τιµή του στην αποκοπή (στην αποκοπή I C = I CΒ0 ) προς την αντίστοιχη αύξηση του ρεύµατος του εκποµπού (I Ε ) σε σχέση µε την τιµή της αποκοπής (στην αποκοπή I Ε =0). Αν θεωρηθεί αµελητέα η τιµή του ανάστροφου ρεύµατος I CΒ0, προκύπτει η προσεγγιστική σχέση: a I I C E (4) Η τιµή του α κυµαίνεται στην περιοχή 0.90 0.995 και το πρόσηµό του είναι θετικό µια και τα ρεύµατα I C και I Ε είναι αντίθετα µεταξύ τους.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 7 Ο συντελεστής β του τρανζίστορ. Από τις σχέσεις 39 και 40 προκύπτει ότι: 1 IC = a IB + ICB0 (43) 1 a 1 a Ο συντελεστής του ρεύµατος Ι Β ορίζεται ως συντελεστής β του τρανζίστορ και αποτελεί και αυτός µια πολύ βασική παράµετρο του τρανζίστορ: β = a 1 a (44) Λύνοντας την εξίσωση 44 ως προς α (α = β/(β+1)) είναι δυνατό να εκφραστούν τα ρεύµατα σε εκποµπό και συλλέκτη σα συνάρτηση της παραµέτρου β του τρανζίστορ: I = ( β + 1) I Ε ( β + 1) I (45) C B CB0 B CB0 I = β I + ( β + 1) I (46) Αναλυτικότερη περιγραφή των ρευµάτων του τρανζίστορ. Στο σχήµα 13 γίνεται µια αναλυτικότερη παρουσίαση των ρευµάτων εντός του τρανζίστορ, ενώ ακολουθεί και αναλυτικότερη περιγραφή αυτών.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 8 Σχήµα 13. Αναλυτική µορφή παρουσίασης των ρευµάτων σε ένα n τρανζίστορ. Οι περιοχές φορτίων χώρου δεν εικονίζονται λόγω του πολύ µικρού τους εύρους. I E : ρεύµα οπών, πρόκειται για τις οπές που διασχίζουν την επαφή εκποµπού-βάσης και οδεύουν προς τη βάση. Είναι λοιπόν το ρεύµα διάχυσης των οπών µέσα στη βάση (φορείς µειονότητας στη βάση) και το µέγεθός του είναι ανάλογο της κλίσης της κατανοµής n (x) στο σηµείο της επαφής, J E. I ne : ρεύµα ηλεκτρονίων, ηλεκτρόνια που κινούνται από τη βάση στον εκποµπό (στο σχήµα φαίνεται η συµβατική φορά). Είναι λοιπόν το ρεύµα διάχυσης των ηλεκτρονίων µέσα στον εκποµπό (φορείς µειονότητας στον εκποµπό) και το µέγεθός του
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 9 είναι ανάλογο της κλίσης της κατανοµής n (x) στο σηµείο της επαφής, J E. Πρόκειται λοιπόν για τα ρεύµατα διάχυσης φορέων µειονότητας κατ αντιστοιχία προς τα I n (0) και I n (0) που αναφέρθηκαν στην περίπτωση της µελέτης της n επαφής διόδου. Κατά συνέπεια, όπως για τη δίοδο το συνολικό ρεύµα ισούται µε Ι= I n (0) + I n (0) έτσι και για το ρεύµα εκποµπού θα ισχύει: I E = I ne + I E. I C : ρεύµα οπών, πρόκειται για τις οπές που προέρχονται από τον εκποµπό και καταφέρνουν να διασχίσουν τη βάση και να περάσουν στο συλλέκτη. To ρεύµα αυτό συνήθως εκφράζεται ως κλάσµα του συνολικού ρεύµατος εκποµπού: I C = α I Ε, όπου α η παράµετρος του τρανζίστορ µε τιµές στην περιοχή 0.90-0.995. I E - I C : πρόκειται για το ρεύµα οπών εξέρχεται από τη βάση και οφείλεται σε οπές που επανασυνδέονται µε ηλεκτρόνια της βάσης. Στην πραγµατικότητα, ηλεκτρόνια από το εξωτερικό κύκλωµα εισέρχονται στη βάση για να αναπληρώσουν τα ηλεκτρόνια που χάθηκαν κατά την επανασύνδεση µε οπές που διήλθαν από τον εκποµπό στη βάση. I CB0 : πρόκειται ουσιαστικά για το ανάστροφο ρεύµα κόρου που παρατηρείται αν αφήσουµε ανοικτό το κύκλωµα του εκποµπού και διατηρήσουµε ανάστροφα πολωµένη την επαφή βάσης-συλλέκτη. Αποτελείται από δύο συνιστώσες, τις:
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 30 I CB0 που οφείλεται στη µικρή συγκέντρωση οπών που γεννούνται θερµικά µέσα στη βάση και διασχίζουν την επαφή του συλλέκτη, J C, κινούµενες από τη βάση προς το συλλέκτη (το άθροισµα I C + I CB0 εκφράζει το συνολικό ρεύµα διάχυσης οπών που διασχίζουν την επαφή J C προερχόµενες από τη βάση) και I ncb0 που οφείλεται στα ηλεκτρόνια που διασχίζουν την επαφή του συλλέκτη από την -περιοχή (το συλλέκτη) προς την n-περιοχή (τη βάση). Λόγω της φοράς που έχει αποδοθεί στο ανάστροφο ρεύµα I CB0, ώστε να είναι οµόρροπο µε αυτό του συλλέκτη όπως εικονίζεται στο εξωτερικό κύκλωµα, είναι προφανές ότι θα ισχύει: ICB0 = InCB0 + ICB0 (47) Στην περίπτωση ορθής πόλωσης της επαφής του εκποµπού και ανάστροφης πόλωσης της επαφής του συλλέκτη το ρεύµα του συλλέκτη θα είναι (σε συµφωνία και µε την εξίσωση 39): IC = ICB0 I C = ICB0 aie (48) Η εξίσωση αυτή έχει ισχύ µόνο για την ενεργό περιοχή λειτουργίας του τρανζίστορ, όπου η επαφή του εκποµπού (επαφή εκποµπού-βάσης) είναι ορθά πολωµένη και η επαφή του συλλέκτη (επαφή βάσης-συλλέκτη) είναι ανάστροφα πολωµένη.
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 31 Γενικευµένη εξίσωση ρεύµατος τρανζίστορ. Για τον προσδιορισµό µιας γενικευµένης έκφρασης για το ρεύµα του συλλέκτη ενός τρανζίστορ η οποία να µην ισχύει µόνο για τις περιπτώσεις όπου η επαφή του συλλέκτη, J C, είναι ανάστροφα πολωµένη αρκεί να ληφθεί υπόψη η εξίσωση τάσηςρεύµατος µιας n διόδου η οποία θα αναφέρεται ουσιαστικά στην επαφή βάσης-συλλέκτη. Έτσι, στην εξίσωση 48 που ισχύει για την ενεργό περιοχή λειτουργίας του τρανζίστορ αρκεί να αντικατασταθεί το ανάστροφο ρεύµα Ι CB0 µε το ρεύµα µιας διόδου ICB0 I CB0 1 ex( VCn / VT ) όπου το δυναµικό V Cn εκφράζει την πτώση τάσης στην επαφή του συλλέκτη, J C, από την -περιοχή στην n-περιοχή, για να προκύψει τελικά: IC = aie + I CB0 1 ex( VCn / VT) (49) AC ρεύµατα στο τρανζίστορ. Στην περίπτωση όπου σε σειρά µε την DC τάση πόλωσης V BE εφαρµοστεί και µια εναλλασσόµενη τάση το τρανζίστορ θα διαρρέεται από χρονικά µεταβαλλόµενα ρεύµατα (σχήµα 14).
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 3 Σχήµα 14. DC και AC συνιστώσες των ρευµάτων ενός τρανζίστορ
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 33 Σε µια τέτοια κατάσταση, για τα ολικά ρεύµατα σε συλλέκτη και εκποµπό θα ισχύει µια εξίσωση παρόµοια µε την εξίσωση 39, µόνο που τώρα η νέα εξίσωση θα συνδέει τα ολικά ρεύµατα σε συλλέκτη και εκποµπό : ic = aie + ICB0 (50) ή ισοδύναµα, i = I + i = a( I + i ) + I (51) C C C( AC) E E( AC) CB0 Λαµβάνοντας υπόψη την εξίσωση 39 η οποία συνδέει τις DC συνιστώσες από την εξίσωση 51 προκύπτει: i = ai (5) C( AC) E( AC) Με παρόµοιο σκεπτικό προκύπτουν και οι ακόλουθες σχέσεις που συνδέουν µεταξύ τους τις AC συνιστώσες: i C( AC) βi Β ( AC) = (53) i = ( β + 1) i (54) Ε( AC) Β( AC) Στα σχήµατα 15 και 16 εικονίζονται τα AC ρεύµατα και η µεταξύ τους σχέση σε ένα nn και ένα n τρανζίστορ αντίστοιχα καθώς και η φορά του συνολικού ρεύµατος που διαρρέει το τρανζίστορ από τον εκποµπό ως το συλλέκτη. Τα ρεύµατα σε συλλέκτη και εκποµπό είναι στην πραγµατικότητα οµόρροπα (σε αντίθεση µε την κατά συνθήκη θεώρησή τους ως αντίρροπα). Στην περίπτωση του nn τρανζίστορ, στην -τύπου βάση εγχέονται ηλεκτρόνια η πλειοψηφία των οποίων φτάνει στο
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 34 συλλέκτη. Η κίνηση λοιπόν των φορέων είναι και πάλι από τον εκποµπό προς το συλλέκτη, απλά επειδή πρόκειται για ηλεκτρόνια (αρνητικά φορτία) η συµβατική φορά του ρεύµατος είναι αντίθετη προς την κίνησή τους και για το λόγο αυτό η κόκκινη γραµµή στο σχήµα 15 κατευθύνεται από το συλλέκτη στον εκποµπό. Αντίθετα, στο σχήµα 16 - στο n τρανζίστορ- οι οπές που κινούνται από τον εκποµπό στο συλλέκτη ισοδυναµούν µε θετικά φορτία µε αποτέλεσµα η συµβατική φορά του ρεύµατος να είναι οµόρροπη προς την φορά της κίνησής τους και στην κόκκινη γραµµή να καταδεικνύεται µια φορά από τον εκποµπό στο συλλέκτη (δικαιολογώντας εν τέλει και τις ονοµασίες των δύο αυτών ακροδεκτών). Σχήµα 15. AC ρεύµατα σε nn τρανζίστορ. Στην πραγµατικότητα το ρεύµα του συλλέκτη είναι οµόρροπο µε το ρεύµα εκποµπού. Η κόκκινη γραµµή υποδηλώνει τη ροή του συνολικού ρεύµατος σύµφωνα µε τη συµβατική φορά (αντίθετη προς την πραγµατική φορά κίνησης των ηλεκτρονίων).
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 35 Σχήµα 16. AC ρεύµατα σε n τρανζίστορ. Στην πραγµατικότητα το ρεύµα του συλλέκτη είναι οµόρροπο µε το ρεύµα εκποµπού. Η κόκκινη γραµµή υποδηλώνει τη ροή του συνολικού ρεύµατος σύµφωνα µε τη συµβατική φορά (οµόρροπη προς την πραγµατική φορά κίνησης των οπών). Το µέγεθος του συνολικού αυτού ρεύµατος, που στο µεγαλύτερό του µέρος (µε τις προϋποθέσεις που ήδη συζητήθηκαν) καταλήγει από τον εκποµπό στο συλλέκτη χωρίς σηµαντικές απώλειες, µπορεί να ρυθµιστεί τόσο µε την αλλαγή του ρεύµατος βάσης όσο και (πιο άµεσα) µε την αλλαγή της τάσης που εφαρµόζεται µεταξύ βάσης και εκποµπού. Τόσο η αλλαγή του ρεύµατος βάσης όσο και η αλλαγή της εφαρµοζόµενης διαφοράς δυναµικού µεταξύ βάσης και εκποµπού αλλάζουν το ύψος του φράγµατος δυναµικού στην επαφή του εκποµπού µε αποτέλεσµα να ρυθµίζεται η ποσότητα των φορέων µειονότητας που εγχέονται στη βάση από τον
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 36 εκποµπό. Η δράση αυτή του ρεύµατος βάσης µπορεί να γίνει κατανοητή αν ληφθεί υπόψη ότι µεταξύ του ρεύµατος βάσης και της διαφοράς δυναµικού µεταξύ βάσης και εκποµπού ισχύει η γνωστή σχέση ρεύµατος-τάσης που ισχύει και για µια απλή δίοδο n επαφής. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Βασικές εξισώσεις που ισχύουν στους ηµιαγωγούς. Νόµος διατήρησης φορτίου Εξίσωση συνέχειας. 0 1 J = t τ q x (Π1) n n n0 n 1 J = + n t τ q x (Π) Η εξίσωση της συνέχειας εκφράζει την αρχή διατήρησης του φορτίου και π.χ για τις οπές µέσω της εξίσωσης Π1 ουσιαστικά αναλύεται η συνολική µεταβολή φορτίου ανά µονάδα όγκου στις εξής συνιστώσες: το πλήθος των οπών ανά µονάδα όγκου που δηµιουργούνται κάθε δευτερόλεπτο λόγω θερµικής γένεσης 0 τ το πλήθος των οπών ανά µονάδα όγκου που χάνονται κάθε δευτερόλεπτο λόγω επανασύνδεσης τ και
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 37 τη µεταβολή της συγκέντρωσης των οπών ανά µονάδα όγκου σε κάθε δευτερόλεπτο λόγω της ύπαρξης ροής ρεύµατος πυκνότητας J P. Για τις πυκνότητες ρεύµατος στη γενικότερη περίπτωση λαµβάνονται υπόψη δύο συνιστώσες, αυτή του ρεύµατος µετατόπισης λόγω ύπαρξης ηλεκτρικού πεδίου και αυτή του ρεύµατος διάχυσης που οφείλεται στην ύπαρξη χωρικής διαφοράς συγκέντρωσης. Έτσι τόσο για τις οπές όσο και για τα ηλεκτρόνια ισχύουν αντίστοιχα (όπως παρουσιάστηκε και στο κεφάλαιο ηµιαγωγοί): = J qµ E qd x n Jn = qnµ ne+ qdn x (Π3) (Π4) όπου Ε το ηλεκτρικό πεδίο µ και µ n οι ευκινησίες οπών και ηλεκτρονίων και D και D n οι συντελεστές διάχυσης οπών και ηλεκτρονίων αντίστοιχα. Εξίσωση Poisson. Η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου σχετίζεται µε την πυκνότητα φορτίου ρ, µέσα από το νόµο του Poisson: x E V ρ q = = = + N D n N A x ε ε ( ) (Π5)
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 38 Γενικά σε έναν ηµιαγωγό είναι ρ=0. Σε µια n επαφή, η περιοχή φορτίων χώρου είναι µια περιοχή που δεν ισχύει η ηλεκτρική ουδετερότητα και είναι ρ 0. Το τελευταίο µέλος της ισότητας στην εξίσωση Π5 έχει τη µορφή αυτή µε την προϋπόθεση ότι όλες οι προσµίξεις είναι ιονισµένες. Γενική διαφορική εξίσωση για τη συγκέντρωση ελευθέρων φορέων. Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις των πυκνοτήτων ρεύµατος (Π3 & Π4) στις αντίστοιχες εκφράσεις της εξίσωσης της συνέχειας (Π1 & Π) προκύπτουν αντίστοιχα: ( ) (Π6) 0 E = µ + D t τ x x n n ( ) (Π7) n 0 ne n = + µ n + Dn t τ n x x Παράδειγµα Η εξίσωση Π6 µπορεί να εφαρµοστεί για τον προσδιορισµό της κατανοµής των οπών που εγχέονται από την στην n-περιοχή (φορείς µειονότητας) µιας διόδου κατά την ορθή πόλωση αυτής µε µια DC διαφορά δυναµικού. Στην περίπτωση αυτή, έξω από την περιοχή διακένωσης και εντός της n-περιοχής µιας διόδου (ή της βάσης ενός n τρανζίστορ) το ηλεκτρικό πεδίο είναι µηδέν και η συγκέντρωση
Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική (ΕΤΥ-48) 39 των φορέων µειονότητας είναι ανεξάρτητη του χρόνου t = 0. Κατά συνέπεια, η εξίσωση Π6 απλοποιείται και n παίρνει την ακόλουθη µορφή: 0 ( 0) 0 µ D τ x x = + d d = = n n0 n n n0 n D dx τ dx D τ d n n0 n = dx L (Π8) όπου βέβαια η µερική παράγωγος αντικαταστάθηκε από απλή λόγω έλλειψης εξάρτησης από το χρόνο, και L = Dτ το µήκος διάχυσης για τις οπές. Το µήκος διάχυσης εκφράζει την απόσταση στην οποία η συγκέντρωση των ελευθέρων φορέων που εγχύθηκαν πέφτει στο 1/e της τιµής που έχει για x=0. Η λύση αυτής της Ε (παρουσιάστηκε ήδη και στην εξίσωση 8) είναι η ακόλουθη: ( x) = + ( x) = + (0)ex( x/ L ) (Π9) n n0 n n0 n (0) = (0). όπου βέβαια n n n0