Πιθανότητες.3096. α) Αν Α,Β,Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii) B iii) iv) (Μονάδες ) β) Στο διπλανό σχήμα παριστάνονται με διάγραμμα Venn ο παραπάνω δειγματικός χώρος και τα τρία ενδεχόμενα Α,Β και Γ αυτού. Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του (α) ερωτήματος. (Μονάδες 3) α) i) A B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B= πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii) = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α και Β και Γ. iv) = δεν πραγματοποιείται το Α β) Είναι,,,, 5,0,7,6,,3,4,8,,0 με 4,,,,, 5 με 5, B,,0,7,8 με NB 5 και,,8, 6, με 5 i) Είναι A B,,,, 5, 0, 7,8 με A B 8, άρα A B ii) Είναι B,8 με iii) Είναι με και 5 9 P A 4 4 iv). 8 4 4 7 B και B 4 7 4 Διάταξη πραγματικών αριθμών.35. Δίνονται οι παραστάσεις α β και αβ όπου α,β. α) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή των α, β. (Μονάδες ) β) Για ποιες τιμές των α,β ισχύει η ισότητα ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3)
α) α β αβ α α αβ β 0 α α β 0 ισχύει αφού α 0 α β 0. και β) α β αβ α α αβ β 0 α α β 0 α 0 και α β 0 α β Άρα η ισότητα ισχύει όταν α β 0. Εξισώσεις ου βαθμού.3073. Το πάτωμα του εργαστηρίου της πληροφορικής ενός σχολείου είναι σχήματος x + ορθογωνίου με διαστάσεις x μέτρα και x μέτρα. α) Να γράψετε με τη βοήθεια του x την περίμετρο και το εμβαδόν του πατώματος. (Μονάδες 0) β) Αν το εμβαδόν του πατώματος του εργαστηρίου είναι 90 τετραγωνικά μέτρα, να βρείτε τις διαστάσεις του. ( Μονάδες 5) x α) Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι: x x x x 4x m. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι: E xx x x m. β) E 90 x x 90 x x 90 0. Η τελευταία είναι εξίσωση ου βαθμού με διακρίνουσα: 4 90 36 36 9 και ρίζες x, x 9 και x 0 απορρίπτεται αφού x 0 Επομένως οι διαστάσεις του εργαστηρίου είναι 9 m και 0 m..353. Δίνεται το τριώνυμο x κx, με κ. α) Να αποδείξετε ότι 0για κάθε κ, όπου Δ η διακρίνουσα του τριωνύμου. (Μονάδες 0) β) Αν x,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x κx 0 (), i) να βρείτε το άθροισμα S x x και το γινόμενο P xxτων ριζών της (). ii) να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες ρ,ρ, όπου ρ x και ρ x. Μονάδες 9 α) κ 4 κ 8 0 για κάθε κ. κ β) i) Από τους τύπους Vieta είναι S x x κ και P x x ii) Η ζητούμενη εξίσωση έχει άθροισμα ριζών
S ρ ρ x x x x S κ και γινόμενο ριζών ρ ρ x x 4x x 4 8 Η εξίσωση είναι η x S x P 0 x κx 8 0 4.3078. Δίνεται η εξίσωση 8 λx λ x 0 με παράμετρο λ. α) Να βρείτε τη τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι ου βαθμού. (Μονάδες 5) β) Αν η εξίσωση είναι ου βαθμού, να βρείτε τις τιμές του λ ώστε αυτή να έχει μια διπλή ρίζα. Για τις τιμές του λ που βρήκατε, να προσδιορίσετε τη διπλή ρίζα της εξίσωσης. (Μονάδες 0) γ) Για τις τιμές του λ που βρήκατε στο ερώτημα (β), να δείξετε ότι το τριώνυμο 8 λx λ x είναι μη αρνητικό, για κάθε πραγματικό αριθμό x. (Μονάδες 0) α) Η εξίσωση είναι ου βαθμού όταν 8 λ 0 λ 8. Τότε η εξίσωση γίνεται: 8 x 0 x 0 β) Η εξίσωση είναι ου βαθμού όταν 8 λ 0 λ 8. Τότε έχει διακρίνουσα: λ 4 8 λ 4 λ 4λ 4 3 4λ 4λ 6λ 6 3 4λ 4λ λ 6 Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα όταν 0 4λ λ 6 0λ 3λ 4 0. Η τελευταία είναι εξίσωση ου βαθμού ως προς λ με 3 4 4 5 και 3 5 3 5 ρίζες λ, λ 4 ή λ. Για λ 4 η εξίσωση γίνεται: 4x 4x 0 x 0 x 0 x x Για λ η εξίσωση γίνεται: 9x 6x 0 3x 0 3x 0 3x x 3 γ) Για λ 4 το τριώνυμο γίνεται: 8 4x 4 x 4x 4x x 0 και για λ το τριώνυμο γίνεται Ανισώσεις ου βαθμού 4.308. Δίνεται το τριώνυμο x α x 4 α, α (:4) 9x 6x 3x 0 α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: α 6. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 0) 3
γ) Αν το τριώνυμο έχει ρίζες x,x, τότε: i) Να εκφράσετε το άθροισμα S xxκαι το γινόμενο P xxτων ριζών του συναρτήσει του α (Μονάδες ) d x, d x, 4 (Μονάδες 8) ii) Να αποδείξετε ότι: α) Η διακρίνουσα είναι: α 4 4 α α α 6 4α α α 6 α 6 β) Το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες όταν 0 α 6 0 α 6 α 4 α 4 α 3 ή α 4 α 5 α 4 α γ) i) S x x α και P x x 4 α d x, d x, x x x x x x x x ii) d x, d x, x x x x 4 α x x 4 α α dx,d x, 4 α α 4 Ανισώσεις ου βαθμού 4.3086. Δίνεται το τριώνυμο λx λ x λ, λ 0. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ 0. (Μονάδες 9) β) Για ποιες τιμές του λ το παραπάνω τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες; λx λ x λ 0, για κάθε x. γ) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε 4 4 λ 4 λ λ λ λ 4λ λ λ λ α) 4 ( Μονάδες 0) λ 0, άρα το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ 0. β) Το τριώνυμο έχει ρίζες ίσες όταν γ) Είναι 0 λ 0 λ 0 λ λ. λx λ x λ 0, για κάθε x όταν 0 και λ 0 (το τριώνυμο διατηρεί σταθερό πρόσημο, είναι ομόσημο του α). Όμως από το (α) σκέλος είναι 0, άρα τελικά πρέπει 0 και λ 0. Είναι 0 λ και επειδή λ 0, τελικά είναι λ. 4.30 Δίνεται η εξίσωση: x x 4 5 0, με παράμετρο λ R α) Να αποδείξετε ότι αν λ = 5 η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα.
(Μονάδες 5) β) Να εξετάσετε αν υπάρχει και άλλη τιμή του λ, ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα. (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες. (Μονάδες 0) δ) Αν 4 5 4 5, λ R- {-, 5} να δείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες. (Μονάδες 5) Η διακρίνουσα είναι : ( ) 4 (4 5) 4 6 0 4( 4 5) 4( )( 5) α) Για λ=5 : Δ =0 άρα η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα β) 0 ( )( 5) 0 ( 0 ) ή ( 5 0 5). Επομένως και για λ =- έχει διπλή ρίζα 0 ( )( 5) 0 ή 5 (, ) (5, ) γ) Πρέπει δ) 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 πρέπει 0 ( )( 5) 0 (,5) 4.307 Δίνεται το τριώνυμο: f ( x) x ( ) x, R {0} α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R-{0} (Μονάδες 8) β) Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S = x +x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P = x x των ριζών. (Μονάδες 5) γ) Αν λ > 0 το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. δ) Αν 0<λ και x, x, με x <x, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να βρείτε το πρόσημο του γινομένου f(0) f(κ) f(μ), όπου κ, μ είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε x <κ < x < μ 4 4 α) ( ) 4 4 ( ) 0. Άρα το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R-{0} β) S x x και x x γ) Αν λ>0 τότε S >0 και P=>0 άρα έχει ρίζες θετικές. δ) Επειδή λ> 0 το τριώνυμο έχει θετικές ρίζες. Επομένως : 0<x <κ < x < μ και το πρόσημο του τριωνύμου είναι: x - 0 x κ x μ + f(x) - + 5
Επομένως f(0)>0, f(κ) <0,f( μ)>0 και f(0) f(κ) f(μ)<0 Αριθμητική πρόοδος 4.3093 Ο ιδιοκτήτης ενός ταξιδιωτικού γραφείου εκτιμά ότι, όταν για μια συγκεκριμένη διαδρομή διαθέτει τα εισιτήρια στην κανονική τιμή των ανά εισιτήριο, τότε πουλά κατά μέσο όρο 30 μόνο εισιτήρια, ενώ το λεωφορείο έχει 5 θέσεις. Θέλοντας να αυξήσει τη πελατεία του, κάνει την ακόλουθη προσφορά: Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει 3 και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει 0,5 περισσότερο από τον προηγούμενο. α) Να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο δεύτερος, ο τρίτος και ο τέταρτος επιβάτης. (Μονάδες 4) β) Αν για κάθε ν 5 ο αριθμός αν εκφράζει το ποσό που θα πληρώσει ο ν-οστός επιβάτης, να δείξετε ότι οι αριθμοί α, α,,α 5 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τη διαφορά ω αυτής της προόδου. γ) Αν το λεωφορείο γεμίσει, να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο 5 ος επιβάτης. (Μονάδες 7) δ) Να βρείτε πόσα τουλάχιστον εισιτήρια θα πρέπει να πουληθούν ώστε η είσπραξη του γραφείου με αυτή την προσφορά να ξεπερνά την είσπραξη που θα έκανε αν πουλούσε 30 εισιτήρια στην τιμή των ανά εισιτήριο. (Δίνεται ότι: 00 0 ) (Μονάδες 8) α) Ο δεύτερος επιβάτης θα πληρώσει 3+0,5=3,5 ο τρίτος επιβάτης θα πληρώσει 3,5+0,5=4 ο τέταρτος επιβάτης θα πληρώσει 4+0,5=4,5 β) Επειδή το ποσό που πληρώνει κάθε επιβάτης είναι κατά 0,5 περισσότερο από τον προηγούμενο η (αν) είναι αριθμητική πρόοδος με α=3 και διαφορά ω=0,5 γ) Το ποσό που θα πληρώσει ο 5 ος επιβάτης είναι 5 50 3 50 0,5 8 δ) Έστω ότι πρέπει να πουλήσει ν εισιτήρια.τότε η είσπραξη θα είναι Σν. ( 4) Οπότε : 30 ( ) 630 3 ( ) 0,5 630 6 0,5 0,5 50 50 0 50 0 () Η διακρίνουσα είναι : 4 ( 50) 0080 00 00 0 90 Έχει ρίζες : 45 και 00 0 56 450 Από την () ( 45)( 56) 0 56 0 56 Θα πρέπει να βγάλει τουλάχιστον 57 εισιτήρια που είναι αδύνατον γιατί το 6
λεωφορείο έχει 5 θέσεις 4.356 * Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (αν), όπου. Αν οι τρεις πρώτοι όροι της προόδου είναι: α = x, x 3x 4, a3 x, όπου x Z, τότε : α) να αποδειχθεί ότι x = 3. (Μονάδες 0) β) να βρεθεί ο ν-οστός όρος της προόδου και να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει όρος της προόδου που να ισούται με 04. (Μονάδες 8) γ) να υπολογιστεί το άθροισμα S = α + α 3 + α 5 +...+ α 5. (Μονάδες 7) α)επειδή α,α,α3 διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου : (x 3x 4) x x 4x 6x 8 x x 0 3 3x 7x 6 0 H διακρίνουσα είναι : 7 8 Οι ρίζες είναι : x 3 3 6 Επομένως x=3. ( 7) 43 ( 6) 49 7, x 7 4 Z απορρίπτεται 3 6 3 β) α=3,α= 5,α3 =7 και ω= α-α=5-3= ( ) 3 ( ) 3 04 04 03 άτοπο (άρτιος =περιττός) Επομένως δεν υπάρχει όρος της προόδου που να ισούται με 04 γ), 3, 5,..., 5 3,7,,...,3 Έστω η αριθμητική πρόοδος βν,με β=α =3,(β=7) και 3 7 3 4 ( ) 3 ( ) 4 3 3 4 4 4 3 8 5 8 S 3 5... 5... 8 S8 ( 8) S8 4 (3 3) S8 4 34 36 Άρα S=36 Γεωμετρική Πρόοδος 4.3088. Εξαιτίας ενός ατυχήματος σε διυλιστήριο πετρελαίου, διαρρέει στην θάλασσα πετρέλαιο που στο τέλος της ης ημέρας καλύπτει 3 τετραγωνικά μίλια (τ.μ), στο τέλος της ης ημέρας καλύπτει 6 τ.μ, στο τέλος της 3ης ημέρας καλύπτει τ.μ. και γενικά εξαπλώνεται έτσι, ώστε στο τέλος κάθε ημέρας να καλύπτει επιφάνεια διπλάσια από αυτήν που κάλυπτε την προηγούμενη. α) Να βρείτε την επιφάνεια της θάλασσας που θα καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος 7
της 5ης ημέρας μετά το ατύχημα. (Μονάδες 7) β) Πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος το πετρέλαιο θα καλύπτει 768τ.μ.; (Μονάδες 9) γ) Στο τέλος της 9ης ημέρας επεμβαίνει ο κρατικός μηχανισμός και αυτομάτως σταματάει η εξάπλωση του πετρελαίου. Στο τέλος της επόμενης ημέρας η επιφάνεια που καλύπτει το πετρέλαιο έχει μειωθεί κατά 6 τ.μ. και συνεχίζει να μειώνεται κατά 6 τ.μ. την ημέρα. Να βρείτε πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από το πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα τ.μ. (Μονάδες 9) α) Επειδή η επιφάνεια που καλύπτει στη θάλασσα το πετρέλαιο κάθε μέρα είναι διπλάσια από την προηγούμενη ημέρα,οι αριθμοί 3, 6,, που είναι τα τετραγωνικά που καλύπτει το πετρέλαιο είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με α 3 και λ. Στο τέλος της 5ης ημέρας η επιφάνεια της θάλασσας που θα καλύπτει το πετρέλαιο 4 4 είναι α α λ 3 48 τ.μ. β) 5 ν ν 768 ν ν 8 α ν 768 3 768 56, άρα ν 8 ν 9. 3 Δηλαδή στο τέλος της 9ης ημέρας το πετρέλαιο θα καλύπτει 768τ.μ. γ) Οι αριθμοί των τετραγωνικών μέτρων που δηλώνουν την επιφάνεια που καλύπτει το πετρέλαιο στη θάλασσα από το τέλος της 9ης ημέρας και μετά είναι: 768,76,756,... και αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με β 768 και ω 6 Έστω ότι τη ν οστή ημέρα το πετρέλαιο καλύπτει τ.μ στη θάλασσα. Τότε β β ν ω 768 6 ν 768 6ν 6 ν 76 768 6 6ν 6ν 76 ν 7. 6 Δηλαδή σε 7 ημέρες η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από το πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα τ.μ. 4.309 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από ώρα υπάρχουν 0400 βακτήρια, μετά από ώρες 500 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από 6 ώρες; β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν 300, ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση. Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για 5 ώρες. Συμβολίζουμε με βν το πλήθος των βακτηρίων ν ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης (v 5). i) Να δείξετε ότι η ακολουθία (βν) είναι γεωμετρική πρόοδος, και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της. 8
ii) Να εκφράσετε το πλήθος βν των βακτηρίων συναρτήσει του ν. iii) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό 3 ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης; (Μονάδες 7) Επειδή ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε ώρα έχουμε γεωμετρική πρόοδο με 0400 βακτήρια και. 5 α) Μετά από 6 ώρες θα έχουμε 6 0400 0400 300 3 βακτήρια β) i) Μετά από μία ώρα θα έχουμε 300 3 9600 βακτήρια. Επειδή ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε να τριπλασιάζεται έχουμε γεωμετρική πρόοδο με 9600 και λ=3 ii) 9600 3 iii) 3 9600 9 86400 βακτήρια. Η έννοια της συνάρτησης 4.3084. Δίνεται η συνάρτηση gx x x 4 x κx λ 5, η οποία έχει πεδίο ορισμού το,. α) Να βρείτε τις τιμές των κ, λ. (Μονάδες 9) β) Για κ και λ, i) να απλοποιήσετε τον τύπο της g. (Μονάδες 9) g α 3 g α α,,. (Μονάδες 7) ii) να δείξετε ότι: όταν α) Επειδή η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το, και είναι ρητή, οι αριθμοί και είναι ρίζες του παρονομαστή. Άρα κ λ 0 4 κ λ 0 κ λ 4 () και κ λ 0 κ λ () Αφαιρώντας από την () τη (), έχουμε: 3 κ λ κ λ 4 3κ 4 3κ 3 κ 3 Από τη () για κ έχουμε λ λ β) i) Για κ και λ είναι g x x x 4 x x x x x x x x gx x x 9
ii) Είναι gα 3 α 3 α 3 α 4α και gα α α άρα gα 3 gα α 4α α α α 4α α α 0 α α 4 α 0 α α 0 6 α 0 4 α α 0 α. Επειδή όμως α και α τελικά είναι α,, 4.3085. Δίνεται η συνάρτηση gx x x 4 x κx λ, η οποία έχει πεδίο ορισμού το,. α) Να βρείτε τις τιμές των κ, λ. (Μονάδες 9) β) Για κ και λ, i) να απλοποιήσετε τον τύπο της g. (Μονάδες 9) g α g β 0 α,β,,. (Μονάδες 7) ii) να δείξετε ότι: όταν α) Επειδή η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το, και είναι ρητή, οι αριθμοί και είναι ρίζες του παρονομαστή. Άρα κ λ 0 4 κ λ 0 κ λ 4 () και κ λ 0 κ λ () Αφαιρώντας από την () τη (), έχουμε: 3 κ λ κ λ 4 3κ 4 3κ 3 κ 3 Από τη () για κ έχουμε λ λ β) i) Για κ και λ είναι g x x x 4 x x x x x x x x 0 gx x x ii) Είναι gαgβ α α β β Επειδή α,β,,, είναι α 0, α 0, β 0, β 0, οπότε gαgβ 0. Γραφική παράσταση συνάρτησης 4.3090. Δίνονται οι συναρτήσεις f x x 3x και g x x, x. α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το οποίο στη συνέχεια να προσδιορίσετε. ( Μονάδες 0) β) Δίνεται η συνάρτηση hx x α. Να δείξετε ότι: i) Αν α, τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,h έχουν δύο κοινά
σημεία. ii) Αν α, τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,h δεν έχουν κοινά σημεία. (Μονάδες 5) α) Η τετμημένη του κοινού σημείου βρίσκεται από την εξίσωση f x gx Είναι f x gx x 3x x x x 0 x 0 x 0 x. Τότε f g 0 M,0.., άρα κοινό σημείο είναι το β) Για τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f,h έχουμε: f x hx x 3x x α x x α 0 (). Η () είναι εξίσωση ου βαθμού και έχει διακρίνουσα 4 α 4 8 4α 4α 4 4 α i) Αν α, τότε 0 και η () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, άρα οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,h έχουν δύο κοινά σημεία. ii) Αν α, τότε 0 και η () δεν έχει πραγματικές ρίζες, άρα οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,h δεν έχουν κοινά σημεία. Η συνάρτηση y=αx+β 4.355 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) 4x και g( x) 4x 9 με πεδίο ορισμού το R. α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g με τον άξονα x x. β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία (3, 0) και ( 3, 0). (Μονάδες 4) γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g δεν έχουν κοινό σημείο πάνω σε κάποιον από τους άξονες. (Μονάδες 8) δ) Να βρείτε συνάρτηση h της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία, διέρχεται από το Α(0, 3) και τέμνει τη γραφική παράσταση της g σε σημείο του ημιάξονα Οx. (Μονάδες 7) α) Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ χ λύνουμε την εξίσωση : 4 x f ( x) 0 4x 0 4x x 4 4 Άρα το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ χ είναι το σημείο 0,
β) Τα σημεία (3,0) και (-3,0) ανήκουν στον άξονα χ χ.από το α) ερώτημα η γραφική παράσταση της f τέμνει τον χ χ μόνο στο σημείο Β. Άρα δεν τέμνει τους άξονες (τον χ χ ) σε κάποιο από τα σημεία (3, 0) και ( 3, 0). γ) Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον y y στο σημείο Γ(0,) Η γραφική παράσταση της g τέμνει τον y y στο σημείο Δ(0,-9) 4 x 9 9 3 g( x) 0 4x 9 0 4x 9 x x 4 4 4 Άρα τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ χ 3 3 είναι τα σημεία,0,,0. Επομένως τα κοινά σημεία των συναρτήσεων f και g δεν βρίσκονται πάνω στους άξονες δ) Έστω h(x)=αx+β. Επειδή η γραφική παράσταση της h διέρχεται από το σημείο Α έχουμε : 3 0 3 Επειδή η γραφική παράσταση της h τέμνει τη γραφική παράσταση της g σε σημείο 3 του ημιάξονα Οx, δηλαδή στο σημείο,0, ισχύει ότι: ( ) 3 3 0 0 3 3 6 0 3 6 Επομένως h( x) x 3. 4.358. Δυο φίλοι αποφάσισαν να κάνουν το χόμπι τους δουλειά. Τους άρεσε να ζωγραφίζουν μπλουζάκια και έστησαν μια μικρή επιχείρηση για να τα πουλήσουν μέσω διαδικτύου. Τα έξοδα κατασκευής (σε ευρώ) για x μπλουζάκια δίνονται από τη συνάρτηση x x και τα έσοδα από την πώλησή τους (σε ευρώ), σε διάστημα ενός,5 0 μηνός, από τη συνάρτηση E x 5,5 x. α) Αν η επιχείρηση κάποιο μήνα δεν κατασκευάσει μπλουζάκια, έχει έξοδα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β) Τι εκφράζει ο αριθμός,5 και τι ο αριθμός 5,5 στο πλαίσιο του προβλήματος; (Μονάδες 4) γ) Να βρείτε πόσα μπλουζάκια πρέπει να πουλήσουν ώστε να έχουν έσοδα όσα και έξοδα (δηλαδή να μην «μπαίνει μέσα» η επιχείρηση) δ) Αν πουλήσουν 60 μπλουζάκια θα έχουν κέρδος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9) α) Τα πάγια έξοδα της επιχείρησης είναι 0 0 ευρώ, γιατί πρόκειται για το κόστος της εταιρείας τους χωρίς καθόλου παραγωγή.
β) Επειδή τα πάγια έξοδα είναι 0 ευρώ και από την παραγωγή x μπλουζάκια, το κόστος είναι,5x,ο αριθμός,5 εκφράζει το πόσο κοστίζει ένα μπλουζάκι. Αντίστοιχα επειδή τα έσοδα από τη πώληση x τεμαχίων, η είσπραξη είναι 5,5x, το 5,5 είναι η είσπραξη από τη πώληση μιας μπλούζας, άρα το 5,5 εκφράζει το πόσο που πουλιέται ένα μπλουζάκι. γ) x E x,5x 0 5,5x 3x 0 x 40 μπλουζάκια Άρα πρέπει να πουλήσουν 40 μπλουζάκια για να μην «μπαίνει μέσα» η επιχείρηση. δ) Αν Α(x) η συνάρτηση του κέρδους τότε ( x) E( x) K( x) 5,5x,5x 0 3x 0 (60) 360 0 80 0 60 ευρώ Θα έχει κέρδος 60 ευρώ. 3