Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

Transcript

1 Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες των παραπάνω ενδεχόμενα που βρήκατε συναρτήσει των κ, λ, μ. ) i) ( ), ii) ( ) ( ), iii) ( ), i), ) ( ), i) (( ) ( )) ) i) (( ) ) 1 ( ) 1 ( ( ) ( ) ( )) 1 ),( ) ii) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iii) (( ) ) 1 ( ) 1 i) ( ) ( ) ( ) ) (( ) ) 1 ( ) 1 ( ( ) ( )) 1 i) ((( ) ( )) ) 1 (( ) ( )) 1 Άσκηση Αν ( ) ( ) ( ) να δείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1 ( )) ( ) ( ) ( ) ( )(1 ( ) ( ) ( )

2 Άσκηση Αν για δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει 16( ( ) ( )) 1 8( ( ) ( ) τότε α) Να βρείτε τα Ρ(Α), Ρ(Β) β) Να εξετάσετε αν Α, Β είναι ασυμβίβαστα γ) Να δείξετε ότι 1 1 ( ) 4 δ) Να δείξετε ότι Ρ( ) 4 α) Η δοσμένη σχέση γράφεται 16( ( ) ( )) 1 8( ( ) ( ) 16 ( ) 16 ( ) 1 16 ( ) 4 ( ) 16 ( ) 16 ( ) 1 16 ( ) 4 ( ) 0 16 ( ) 16 ( ) 4 16 ( ) 4 ( ) (4 ( ) ) (4 ( ) ) 0 4 ( ) 0 4 ( ) 0 ( ) ( ) β) Έστω ότι Α,Β ασυμβίβαστα. Τότε 1 5 ( ) ( ) ( ) δηλαδή 4 4 Άρα τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. 5 ( ) 1 άτοπο. 4 γ) Είναι Επίσης Τελικά δ) Είναι 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4

3 Άσκηση 4 Ρίχνουμε ένα ζάρι μια φορά. Υποθέτουμε ότι το να έρθει έχει διπλάσια πιθανότητα από τα να έρθει 1 ή, η πιθανότητα να έρθει το 4 είναι ίση με το να έρθει το 5 και τριπλάσια από το να έρθει 1, ενώ η πιθανότητα να έρθει το 6 είναι διπλάσια της πιθανότητας να έρθει το 4. Να βρείτε την πιθανότητα να έρθει άρτιος. Έστω Ρ(1) = χ. Τότε Ρ() = χ, Ρ() =χ, Ρ(4) = Ρ (5) = χ και Ρ(6) = 6χ Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των απλών ενδεχομένων είναι 1, οπότε 1 (1) () () (4) (5) (6) Το ενδεχόμενο να έρθει άρτιος είναι το, 4,6 και επειδή η πιθανότητα ενός ενδεχομένου ισούται με το άθροισμα των απλών ενδεχομένων που περιέχει, έχουμε : 10 5 ( ) () (4) (6) Άσκηση 5 Από μια έρευνα προέκυψε ότι το 40% των μαθητών ενός λυκείου παίζει σε ομάδα ποδοσφαίρου, το 10% παίζει σε ομάδα πόλο αλλά όχι σε ομάδα ποδοσφαίρου και το 90% δεν παίζει ταυτόχρονα και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή του λυκείου. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων. α) Ο μαθητής παίζει και στις δύο ομάδες. β) Ο μαθητής παίζει αποκλειστικά σε μία από τις δύο ομάδες. γ) Ο μαθητής δεν παίζει τουλάχιστον σε μια από τις δύο ομάδες. δ) Ο μαθητής παίζει πόλο ή δεν παίζει ποδόσφαιρο. ε) Ο μαθητής δεν παίζει σε καμία ομάδα. Αν Α το ενδεχόμενο να παίζει ποδόσφαιρο και Β το ενδεχόμενο να παίζει πόλο τότε Ρ(Α) = 0,4, Ρ(Β-Α) = 0,1 και (( ) ) = 0,9 α) Αναζητώ την ( ). Αφού (( ) ) 0,9 ( ) 0,1 και αφού Ρ(Β-Α) = 0,1 ( ) ( ) 0,1 ( ) 0, β) Αναζητώ την (( ) ( )). Είναι ),( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,4 0,1 0,1 0,4 γ) Αναζητώ την ( ). Όμως ( ) αφού το να μην πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α,Β σημαίνει να μην πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα δύο και αντιστρόφως οπότε ( ) = (( ) ) = 0,9 δ) Αναζητώ την ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 0,7 ε) Αναζητώ την (( ) ) 1 ( ) 1 ( ( ) ( ) ( )) 0,5

4 Άσκηση 7 Έστω η συνάρτηση f ( x) x s x x x 005 όπου x, s η μέση τιμή και η 0 τυπική απόκλιση ενός δείγματος με x 0. Α) Αν είναι γνωστό ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα να δείξετε ότι το δείγμα είναι ομοιογενές. Β) Αν είναι επίσης γνωστό ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο 1 σημείο της με τετμημένη 0 είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y = 1 χ+ και το άθροισμα όλων των παρατηρήσεων του δείγματος είναι 00, να βρείτε το μέγεθος του δείγματος. Α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f ( x) x s x x. 0 Το ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα σημαίνει ότι η f είναι γνησίως μονότονη ή ισοδύναμα η παράγωγος της διατηρεί πρόσημο. Όμως η f είναι τριώνυμο ως προς χ και για να διατηρεί πρόσημο πρέπει 0. Είναι 1 s 0 ( s) 4 x 0 4s 0, 4x 0,1 c 0,1 ( τονίζουμε ότι x 0 ) 0 x Αφού c 0,1 έχουμε ότι το δείγμα είναι ομοιογενές. 1 Β) Το ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη 0 είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y = 1 χ+ σημαίνει ότι 1 f (0).Είναι xi i1 00 f (0) x x 10. Όμως x Άσκηση 8 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x 1. Α) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y = χ. Β) Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι δύο φορές και αντιστοιχούμε τα αποτελέσματα των δύο ρίψεων χ, ψ στα σημεία Μ(χ,ψ) του επιπέδου.να βρείτε την πιθανότητα κάποιο από αυτά τα σημεία Μ να ανήκει στην παραπάνω εφαπτομένη.

5 Α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f ( x) 4x. Έστω ( x0, f ( x 0)) το σημείο επαφής. Το ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο ( x0, f ( x 0)) είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y = χ σημαίνει ότι f ( x ) 4x x Το σημείο επαφής λοιπόν είναι το (1,1). Η ζητούμενη εφαπτομένη (ε) είναι της μορφής y = λχ + β όπου λ = f (1) οπότε (ε) : y = χ +β. Το σημείο επαφής (1,1) ανήκει στην (ε) οπότε 1 = + β δηλαδή β = -1. Τελικά (ε) : y = χ 1 Β) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος φαίνεται στον παρακάτω πίνακα διπλής όψης: Για να ανήκει ένα σημείο από τα παραπάνω στην ευθεία (ε) : y = χ 1 πρέπει οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της. Με δοκιμές βρίσκουμε ότι από τα 6 αυτά σημεία μόνο τα (1,1), (, ), (,5) την επαληθεύουν. Συνεπώς η 1 ζητούμενη πιθανότητα είναι. 6 1 Άσκηση 9 Το ύψος των μαθητών μιας τάξης κυμαίνεται από 15 cm μέχρι 00 cm, ενώ η κατανομή είναι περίπου κανονική. α) Να βρείτε μέση τιμή, διάμεσο τυπική απόκλιση και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. β) Μια μέρα προς ένδειξη διαμαρτυρίας για την άδικη αποβολή ενός μαθητή, ξάπλωσαν όλοι οι μαθητές της τάξης στην αυλή του σχολείου ο ένας μετά τον άλλο χωρίς να αφήνουν κενά, με αποτέλεσμα να δημιουργηθεί μια ευθεία 44 μέτρων.να βρείτε πόσοι είναι οι μαθητές της τάξης. γ) Για ένα μαθητή που επιλέγεται τυχαία από την τάξη αυτή να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων : Α : Ο μαθητής να έχει ύψος , Β : Ο μαθητής να έχει ύψος Γ : Ο μαθητής να έχει ύψος , Δ : Ο μαθητής να έχει ύψος

6 α) Γνωρίζουμε ότι σε μία περίπου κανονική κατανομή όλες σχεδόν οι παρατηρήσεις βρίσκονται στο διάστημα ( x s, x s). Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι x s 15, x s 00 που αν λύσουμε το σύστημα βρίσκουμε x 176cm s 8cm Στην κανονική κατανομή είναι δ = x οπότε 176cm Τέλος s 8 c 0, 045 0,1 και άρα το δείγμα είναι ομοιογενές. x 176 β) Αυτό που ουσιαστικά περιγράφεται με αυτόν τον τρόπο είναι ότι το άθροισμα των υψών όλων των μαθητών είναι 44 μέτρα ή 4400 cm. Όμως xi i x γ) Οι ζητούμενες πιθανότητες ισούνται με τα ποσοστά των μαθητών που βρίσκονται στα αντίστοιχα διαστήματα. Το διάστημα ( 160, 19 ) είναι το ( x s, x s) διάστημα αυτό είναι 68% και άρα Ρ(Α) = 0,68 Το διάστημα ( 168, 19 ) είναι το ( x s, x s) διάστημα αυτό είναι 68%+ 95% 68% 81,5% και άρα Ρ(Β) = 0,815 Το διάστημα ( 15, 184 ) είναι το ( x s, x s) 99,7% 68% διάστημα αυτό είναι 8,85% και άρα Ρ(Γ) = 0,815 Το διάστημα ( 160, 00 ) είναι το ( x s, x s) διάστημα αυτό είναι 95%+ 99,7% 95% 97,5% και άρα Ρ(Β) = 0,975.