(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

Transcript

1 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ x5=0 α) ^α+β για κάθε α, β > 0. β) Αν α = β = 0, τότε η εξίσωση αχ +β = 0 είναι ταυτότητα. γ) Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α 5 και διαφορά ω δίνεται από τον τύπο S ν(ν-) ω+ να,. δ) Για κάθε α, β, γ,δ eμ ισχύει η συνεπαγωγή: (α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. ε) Αν οι πραγματικοί αριθμοί α και γ είναι ετερόσημοἰ τότε η εξίσωση αχ +βχ + γ = 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Α. Να αποδείξετε ότι ( α+β < j α + [ β για κάθε α,β e Ε. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ΖΗΤΗΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x + 9-»/ Ç + 3. Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Β. Να βρείτε την τιμή f(6). ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Β3. Να αποδείξετε ότι (f(ό)) + 6f(6) = 36. ΜΟΝΑΔΕΣ 0

2

3 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΓΔΟΝΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕ.Λ. Θέματα Προαγωγικών Εξετάσεων περιόδου Μαΐου Ιουνίου 06 Θέμα Α Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για αριθμούς a, β) Για κάθε a,, ισχύει η ιδιότητα: και θετικό ακέραιο ισχύει η ισοδυναμία: a a a a γ) Το τριώνυμο ax x με διακρίνουσα Δ > 0 και ρίζες x και x παραγοντοποιείται στη μορφή: x x x x δ) Τρεις αριθμοί a,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν: ε) Η διαδικασία f : A B a κατά την οποία για κάθε στοιχείο του Α, περισσότερα στοιχεία του ενός, του συνόλου Α, μπορούν να αντιστοιχηθούν στο ίδιο στοιχείο του συνόλου Β είναι μια συνάρτηση. Μονάδες 0 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β, ισχύει: B = P A + P B P A Μονάδες 5 Θέμα Β Δίνεται η αριθμητική πρόοδος a για την οποία ο εκατοστός όρος a 00 είναι ίσος με 35 και η διαφορά ω της αριθμητικής προόδου είναι ίση με 3. Β. Να αποδείξετε ότι ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου a είναι ίσος με. Β. Να βρείτε τον δέκατο τρίτο όρο της αριθμητικής προόδου. Β3. Να υπολογίσετε το άθροισμα των πρώτων 5 όρων της αριθμητικής προόδου. Β4. Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου ισούται με 50; Μονάδες 7 Μονάδες 5 Μονάδες 5 Μονάδες 8

4 Θέμα Γ Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με τύπους: f x x x 5 6 και g x Γ. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f κα g. Γ. Να λύσετε την εξίσωση: Γ3. Να λυθεί η ανίσωση: x x 3 g, για κάθε x, 3, f x x x f f 0 Μονάδες 0 Μονάδες 7 Μονάδες 8 Θέμα Δ Δίνονται η εξίσωση x x Δ. Να λύσετε την εξίσωση. και η συνάρτηση f x x, x x 8x, x 0 x Δ. Να βρείτε την τιμή f (Μονάδες 3) και να απλοποιήσετε τον τύπο της f για x 0 (Μονάδες 4). Δ3. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του συνόλου Ω για τα οποία: η P A η PA B ανήκει στο σύνολο λύσεων της εξίσωσης του Δ ισούται με το f Μονάδες 0 Μονάδες 7 η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β είναι 5 6 Να βρείτε την πιθανότητα: α) να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β β) να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Β Μονάδες 8 Παρατηρήσεις. Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα.. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

5 Θέμα Α Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr Α Λυκείου Άλγεβρα ο Λύκειο Κοζάνης 4/05/06 Α. Να αποδείξετε ότι α β α β, α,β r (Μονάδες 5) Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν α β και γ 0 τότε αγ βγ.. α α, α r 3. Αν α x β τότε x α,β 4. Αν ν περιττός και ν N, τότε η εξίσωση x 5. x ρ ρ x ρ για ρ 0. ν ν α έχει μοναδική λύση την x α Θέμα Β Σε μια αριθμητική πρόοδο ο 7 ος όρος είναι 3 και ο ος όρος είναι Β. Να δείξετε ότι ω 4 Β. Να βρείτε τον όρο α 0 Β3. Να υπολογίσετε το άθροισμα S 0 των 0 πρώτων όρων. Θέμα Γ Δίνεται η εξίσωση x 3x 0 Γ. Να λυθεί η εξίσωση. Γ. Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο Γ3. Έστω η παράσταση απλοποιήσετε. A x 3x x x 3x. Γ4. Αν A x, να λύσετε την ανίσωση A 3 Θέμα Δ Έστω η συνάρτηση f x x 4x λ, λ r. Να βρείτε πότε ορίζεται και να την Δ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση f x 0 έχει δύο ρίζες άνισες. Δ. Για λ 3 να βρείτε : (Μονάδες 0) (Μονάδες 7) (Μονάδες 8) (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) (Μονάδες 7) (Μονάδες 8) (Μονάδες 5) (Μονάδες 6) α. τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες xx και yy.

6 Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr β. τις τετμημένες των σημείων της C f που βρίσκονται πάνω από τη gx x. γ. να μετατρέψετε την παράσταση f 4 C g, αν (Μονάδες 6) (Μονάδες 7) σε ισοδύναμη με ρητό παρανομαστή (Μονάδες 6)

7 Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr Θέμα Α Α Λυκείου Άλγεβρα ο Λύκειο Κοζάνης 4/05/06 Α. Αν α,β r να δείξετε ότι ισχύει α β α β (Μονάδες 5) Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος) α) Δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου λέγονται ασυμβίβαστα όταν Α Β. β) Αν α,β,γ,δ r και α β και γ δ τότε ισχύει α β. γ δ γ) Ισχύει α δ) Αν ισχύει α για κάθε αr. α β 0 τότε α 0 και β 0. ε) Αν αx βx γ 0, α 0 πραγματικές και άνισες αν αγ 0. Θέμα Β και α,β,γ r τότε η έχει δύο ρίζες (Μονάδες 0) Αν Α και Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με PA 0,4, PB 0,4 και PA B 0,. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Γ : Να πραγματοποιείται το Α Δ : Να πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β Ε : Να μην πραγματοποιείται κανέναν από το Α και Β Ζ : Να πραγματοποιείται μόνο το Β Η : Να πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α και Β Θέμα Γ Δίνεται η εξίσωση x 5λx 0 λ r Γ. Να δείξετε ότι η έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. Γ. Να προσδιορίσετε τις τιμές του λr ώστε να ισχύει 06 x x 8λ 7 x x 0 Γ3. Για λ να βρείτε την τιμή της παράστασης x x x x 3x 4 3x (Μονάδες 5) (Μονάδες 0) (Μονάδες 8) (Μονάδες 7)

8 Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr Θέμα Δ Δ. Να λυθεί η εξίσωση x 6 8. Δ. Να λυθεί η ανίσωση x 9x 8 0. Δ3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης fx Δ4. Να μετατρέψετε το κλάσμα 4 f 0 x 9x 8 x 6 8 σε ισοδύναμο με ρητό παρανομαστή (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 0) (Μονάδες 5)

9 Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΡΕΘΥΜΝΟΥ 4/05/06 ΜΑΥΡΑΚΗ ΛΟΥΠΗ - ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε τους τύπους του Vieta β S και α γ P όπου α 0. α Α. Σε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε με Σ αν είναι σωστή και με Λ αν είναι λανθασμένη. ν ν ν Σ Λ αx βx γ α x x x x όπου α 0 και x, x οι ρίζες του τριωνύμου.. S α α. 3. Αν α 0 και ν άρτιος, τότε ν ν x α x α Σ Λ 4. α β α β για κάθε α,β R Σ Λ 5. αβ α β για κάθε α,β R Σ Λ Σ Λ ΘΕΜΑ Β Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Β. Να βρείτε τον δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. Β. Να βρείτε τα στοιχεία των ενδεχομένων Α Β και Α Β, όπου Α: «εμφανίζονται δύο κεφαλές», Β: «εμφανίζεται κεφαλή στην πρώτη ρίψη» Β3. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες PA,PΑ Β,PA B ΘΕΜΑ Γ Γ. Να λύσετε την εξίσωση x x 6 0. Γ. Αν ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι η μικρότερη από τις ρίζες της εξίσωσης του (Γ) και η διαφορά είναι η μεγαλύτερη ρίζα, να υπολογίσετε τον 5 ο όρο της προόδου και το άθροισμα των πρώτων 5 όρων αυτής. x 7α S x 3 0 Γ3. Να λύσετε την ανίσωση 5 5

10 Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση x x λ λ 0, λ Δ. Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της () είναι Δ 4 4 λ Δ. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η () να έχει ρίζες πραγματικές. Δ3. Για λ 3 και x 3, να απλοποιήσετε την παράσταση Α x x λ λ x 3

11 Ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧ. ΕΤΟΣ 05-6 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 06 Α ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Θέμα Α Α. Αν, R να δείξετε ότι: Μονάδες 5 Α. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: α) Αν x,xείναι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης x x 0, 0, τότε x x. β) Για κάθε Rισχύει 0 γ) Ισχύει x x x 0 δ) Αν Α(α, β), 0 είναι σημείο του καρτεσιανού επιπέδου, τότε το συμμετρικό του ως προς τον άξονα y y είναι το σημείο Α (α, -β). ε) Για κάθε Rισχύει Μονάδες 0 Θέμα Β Σε μια αδιαφανή κάλπη υπάρχουν κίτρινες (Κ) και μαύρες (M) μπάλες. Εκλέγουμε τυχαία μια μπάλα από τη κάλπη, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε στη κάλπη. Η διαδικασία αυτή γίνεται τρεις συνολικά φορές. Β. Με τη βοήθεια του δεντροδιαγράμματος να γράψετε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος τύχης. Μονάδες 4 Β. Έστω τα ενδεχόμενα Α: «Οι τρεις ενδείξεις έχουν το ίδιο χρώμα» και Β τέτοιο ώστε και PA B. Δίνεται ότι τα απλά 8 ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. α) Να δείξετε ότι Μονάδες 4 4 β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων i) A B, ii) Γ: «να μην πραγματοποιείται το Β» iii) Δ, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα Venn.

12 Ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧ. ΕΤΟΣ 05-6 Μονάδες = 7 Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση f x x, R x 3 Γ. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 7 Γ. Υπολογίστε το κ, αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x x στο σημείο με τετμημένη x =. Μονάδες 8 Γ3. Για κ = να βρείτε που τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις των f, g όπου gx x x, x. 3 Θέμα Δ Δίνεται Η εξίσωση Η παράσταση για τον ίδιο πραγματικό αριθμό λ. Δ. Να αποδείξετε ότι. Δ. Να δείξετε ότι 06 x η οποία είναι αδύνατη στο Rκαι Μονάδες Δ3. Να απλοποιήσετε την παράσταση 4 ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ Μονάδες 8 Μονάδες 9 Μονάδες 8 ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ ΒΟΥΔΟΥΡΗΣ ΠΟΛΥΒΙΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ

13 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΗΛΟΥ Γραπτές Προαγωγικές Εξετάσεις Μαΐου - Ιουνίου 06 Τάξη : Α Εξεταζόμενο Μάθημα : Άλγεβρα Γενικής Παιδείας ΘΕΜΑ Α Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες.. Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν + β= α γ γ. Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0 τότε x x = α 3. Όταν Δ>0 τότε το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0 μετατρέπεται σε γινόμενο του α επί δύο πρωτοβάθμιους παράγοντες. 4. Ο νιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και διαφορά ω είναι: ( ) α = α ν ω. ν Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr 5. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο. Α. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει : α +β α + β Μονάδες: Α. 0 Α. 5. ΘΕΜΑ Β Β. Αν ο 3 ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι 0 και ο 7 ος όρος είναι 3 να βρείτε την πρόοδο. Β. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 50 όρων της παραπάνω προόδου. Β3. Ποιος όρος της προόδου ισούται με 6059 ; Μονάδες: Β. 0 Β. 8 Β3. 7 ΘΕΜΑ Γ Γ. Να λύσετε την ανίσωση : x 6x+9 5 Γ. Να βρείτε τις κοινές λύσεις με την ανίσωση : ( ) x +4 x 5 Γ3. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των λύσεων της εξίσωσης x x = x είναι κοινή λύση των παραπάνω ανισώσεων. Μονάδες: Γ. 7 Γ. 0 Γ3. 8

14 Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr ΘΕΜΑ Δ Στο παρακάτω σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς 4 και το Μ σημείο της διαγωνίου ΑΓ. ΑΡ = x= ΣΑ. Αν Ρ, Σ οι προβολές του Μ στις ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα με ( ) ( ) Δ. Να αποδείξετε ότι : Το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ είναι Ε( x)= x, 0< x < 4 και το εμβαδόν του τραπεζίου ΜΓΔΣ είναι Ε ( x) = x +8, 0< x< 4 Δ. Να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστημα αξόνων τις συναρτήσεις Ε και Ε. Δ3. Να βρείτε τη θέση του Μ για την οποία το άθροισμα των εμβαδών Ε( x ) +Ε( x ) μεγιστοποιείται. Μονάδες: Δ. 7 Δ. 9 Δ3. 9 Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα. Καλή Επιτυχία Μήλος, Τρίτη 4 Μαΐου 06 Ο Διευθυντής Ο Εισηγητής Κωνσταντίνος Παπαδόπουλος Γιάννης Παπαδημητρίου