Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Transcript

1 Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

2 Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8

3 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= α) Να δείξετε ότι: Α= 4. (Μονάδες ) β) Να λύσετε την εξίσωση: x+α =. (Μονάδες 3)

4 Άσκηση Δίνεται η εξίσωση λ x = x+ λ, με παράμετρο λ R. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: ( λ )x = ( λ )( λ+ ), λ R (Μονάδες 8) β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε. (Μονάδες 8) γ) Για ποια τιμή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)

5 Άσκηση 3 Δίνεται η εξίσωση: (α+3)x = α - 9, με παράμετρο α R. α) Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις: i)όταν α = (Μονάδες 5) ii)όταν α = -3 (Μονάδες 8) β) Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και να προσδιορίσετε τη λύση αυτή. (Μονάδες )

6 Άσκηση 4 Δίνεται η εξίσωση: ( ) λ 9 x= λ 3λ, με παράμετρο λ R () α) Επιλέγοντας τρείς διαφορετικές πραγματικές τιμές για το λ, να γράψετε τρείς εξισώσεις. (Μονάδες 6) β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ R, ώστε η () να έχει μία και μοναδική λύση. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την τιμή του λ R, ώστε η μοναδική λύση της () να ισούται με 4. (Μονάδες 0)

7 Άσκηση 5 Δίνεται η εξίσωση: (λ -)x=(λ+)(λ+), με παράμετρο λ R α) Να λύσετε την εξίσωση για λ= και για λ= -. (Μονάδες ) β) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει μοναδική λύση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3)

8 Άσκηση 6 Δίνονται οι παραστάσεις +x A= και x B =, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός. x x α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: x και x 0. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει A= B. (Μονάδες 3)

9 Άσκηση 7 α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: x + 0x=. (Μονάδες 5) β) Να λύσετε την εξίσωση: x 0x = 0 + x (Μονάδες 0)

10 Άσκηση 8 α) Να λύσετε την εξίσωση x = 3 (Μονάδες ) β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση α x +β x+ 3= 0 (Μονάδες 3)

11 Άσκηση 9 α) Να λύσετε την εξίσωση x = 3. (Μονάδες 0) β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος. (Μονάδες 5)

12 Άσκηση 0 Δίνεται η εξίσωση x λx + 4(λ -) = 0, με παράμετρο λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. (Μονάδες 8) γ) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: x + = (Μονάδες 9) x x x

13 Άσκηση Δίνεται η εξίσωση x + λx+ 4( λ -) = 0, με παράμετρο λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. (Μονάδες 8) γ) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: ( x ) + x x x = + (Μονάδες 9)

14 Άσκηση Δίνεται το τριώνυμο x +5x-. α) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, x και x. (Mονάδες 6) β) Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων: x +x, x x και x + (Mονάδες 9) x γ) Να προσδιορίσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς x. x και (Μονάδες 0)

15 Άσκηση 3 Δίνονται οι αριθμοί: A=, B= α) Να δείξετε ότι: i) Α+Β= (Μονάδες 8) ii) A B= 0 (Μονάδες 8) β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς Α και Β. (Μονάδες 9)

16 Άσκηση 4 Δίνεται η παράσταση: K = x 4x+ 4 x 3x. α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο x x. (Μονάδες 0) 3 β) Για ποιες τιμές του x R ορίζεται η παράσταση K; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Mονάδες 7) γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση K. (Μονάδες 8)

17 Άσκηση 5 α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 3x x (Μονάδες 8) β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες έχει νόημα η παράσταση: A(x) = x 3x x και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. (Μονάδες 9) γ) Να λύσετε την εξίσωση: A(x) = (Μονάδες 8)

18 Άσκηση 6 Δίνεται το τριώνυμο x +λx-5, όπου λ R. α) Αν μια ρίζα του τριωνύμου είναι ο αριθμός x 0 =, να προσδιορίσετε την τιμή του λ. (Μονάδες ) β) Για λ=3, να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο. (Μονάδες 3)

19 Άσκηση 7 Δίνεται το τριώνυμο x + ( 3 ) x+ 3. α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: = ( 3+ ) (Μονάδες ) β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο (Μονάδες 3)

20 Άσκηση 8 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: α+β= και α β+αβ =-30 α) Να αποδείξετε ότι: α β = -5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β και να τους βρείτε. (Μονάδες 5)

21 Άσκηση 9 Δίνεται η εξίσωση x -(λ-)x+6=0, () με παράμετρο λ R. α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το,να βρείτε το λ. (Μονάδες 3) β) Για λ= να λύσετε την εξίσωση () (Μονάδες )

22 Άσκηση 0 Δίνεται η εξίσωση: λx - (λ-)x - = 0, με παράμετρο λ 0. α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ 0. (Μονάδες ) (Μονάδες 3)

23 Άσκηση Δίνεται η εξίσωση ( λ+ )x + λ x+λ = 0, με παράμετρο λ -. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες: α) η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 3) β) το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με. (Μονάδες )

24 Άσκηση Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: α β=4 και α β+αβ =0 α) Να αποδείξετε ότι: α+β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β, και να τους βρείτε. (Μονάδες 5)

25 Άσκηση 3 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: α+β = - και α 3 β + α β + αβ 3 = - α) Να αποδείξετε ότι: α β = -. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β και να τους βρείτε. (Μονάδες 5)

26 Άσκηση 4 α) Να βρείτε για ποιες τιμές του x η παράσταση Π= x + x x x έχει νόημα πραγματικού αριθμού. (Μονάδες 0) β) Για τις τιμές του x που βρήκατε στο α) ερώτημα, να λύσετε την εξίσωση: x + x x x = 0. (Μονάδες 5)

27 Άσκηση 5 Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο Π = 0cm και εμβαδό E = 4cm. α) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των πλευρών αυτού του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 0)

28 Άσκηση 6 Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί α,β, τέτοιοι ώστε: α + β= και α + β =7. α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας (α + β) = α + αβ + β, να δείξετε ότι: α β = (Μονάδες 8) β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς α, β. (Μονάδες 0) γ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς α,β. (Μονάδες 7)

29 Άσκηση 7 Δίνονται οι αριθμοί: A=, B= α) Να δείξετε ότι: A + B= 3 και A B= (Μονάδες ) β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς Α, Β (Μονάδες 3)

30 Άσκηση 8 Δίνεται το τριώνυμο: x - κx -, με κ R α) Να αποδείξετε ότι Δ 0 για κάθε κ R, όπου Δ η διακρίνουσα του τριωνύμου. (Μονάδες 3) β) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x - 3x -=0 (), i) Να βρείτε το άθροισμα S = x +x και το γινόμενο P = x x των ριζών της (). ii)να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες ρ, ρ, όπου ρ = x και ρ = x. (Μονάδες )