גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת סביבה מנוקבת של a. במילים אחרות, ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ x D f ) הגדרה: (גבול של פוקציה בנקודה לפי Cauchy בשפה של (,ɛ δ נאמר ש l R הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל a (או ש f(x) שואף ל l כאשר x שואף ל ; a או l הוא הגבול של f(x) ב a) אם ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l < ɛ) במקה זה נכתוב lim f(x) = l ( f מעבירה נקודות קרובות ל a לנקודות קרובות ל l ( הגדרה: (גבול של פונקציה בנקודה לפי Heine בשפה של סדרות) l R הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל a אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n a x n a (i) (ii) (iii) מתקיים f(x n ) l ( f מעבירה סדרות מתכנסות ל a לסדרות מתכנסות ל l ( משפט: שתי ההגדרות שקולות. הוכחה: נניח ש l R מקיים את הגדרת. Cauchy תהי ) n x) סדרה עם התכונות של הגדרת. Heine עלינו להראות ש. f(x n ) l בהינתן > 0,ɛ לפי הגדרת,Cauchy.( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l < ɛ) 1
נתבונן ב δ שמתאים ל ɛ. תהי ) n x) סדרה עם התכונות של הגדרת.Heine בגלל ש x n a ו x n a ( N N)( n > N)(0 < x n a < δ) ( n > N)( f(x n ) l < ɛ) על כן, לפי תנאי הגדרת,Cauchy ולכן.f(x n ) l בכיוון השני, בדרך השלילה, נניח ש l R אינו מקיים את הגדרת Cauchy ונראה שאינו יכול לקיים את הגדרת. Heine אם l R אינו מקיים את הגדרת Cauchy אזי.( ɛ > 0)( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l ɛ) δ = 1 n ונבנה סדרה ) n (x אשר מקיימת עבור ɛ כזה נבחר סדרה של ערכים.x n D f, 0 < x n a < 1 n f(x n) l ɛ מכאן ש ) n x) מקיימת את התכונות שבהגדרת Heine אבל f(x n ) l כי הרי. f(x n ) l ɛ מסקנה: (יחידות הגבול) אם lim f(x) = l ו l lim f(x) = אזי. l = l משפט: אם lim f(x) = l ו 0 l אזי.( δ > 0)( x)(0 < x a < δ sgn(x) = sgn(l)).( δ > 0)( x)(0 < x a < δ q < f(x)) בצורה יותר כללית, אם q < l אזי.( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) < q) ואם l < q אזי משפט: אם f(x) c אזי. lim f(x) = c 2
משפט: (אריתמטיקה של גבולות) נניח שקיימים f(x) lim ו g(x). lim אזי lim (f(x) + g(x)) = ( lim f(x)) + ( lim g(x)) lim (f(x) g(x)) = ( lim f(x)) ( lim g(x)). lim (f(x) g(x)) = ( lim f(x)) ( lim g(x)) f(x). lim g(x) = lim f(x) lim g(x) אם 0 g(x) lim אזי משפט: אם lim f(x) = lim h(x) = l ו ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) g(x) h(x) אזי.lim g(x) = l משפט: (כלל ההצבה) נניח ש: (i) g(x) שואף ל b כאשר x שואף ל a, כלומר lim g(x) = b (ii) קיימת סביבה מנוקבת של a כך ש g(x) b לכל x באותה סביבה. במילים אחרות ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ g(x) b) (iii) f(y) שואף ל l כאשר y שואף ל b, כלומר lim f(y) = l y b. lim f(g(x)) = l אזי 3
( ɛ > 0)( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(g(x)) l < ɛ) הוכחה: עלינו להוכיח ש ( γ > 0)( y)(0 < y b < γ f(y) l < ɛ) יהי > 0.ɛ לפי (iii) נתבונן ב γ. לפי (i), עבור γ זה ( δ 1 > 0)( x)(0 < x a < δ 1 g(x) b < γ) ( δ 2 > 0)( x)(0 < x a < δ 2 g(x) b) מצד שני, לפי (ii) יהי } 2.δ = min{δ 1, δ אזי ( x)(0 < x a < δ 0 < g(x) b < γ) ( x)(0 < x a < δ f(g(x)) l < ɛ) מכאן נקבל ש כפי שרצינו. משפט: (קריטריון ( Cauchy קיים l R אשר lim f(x) = l אםם ( ɛ > 0)( δ > 0)( x, y)(0 < x a < δ 0 < y a < δ f(x) f(y) < ɛ) הוכחה: נניח ש.lim f(x) = l בהינתן > 0 ɛ יהי ) 2 < δ = δ( ɛ 0 כך ש.0 < x a < δ f(x) l < ɛ 2 0 < x a < δ 0 < y a < δ יהו x ו y אשר מקיימים 4
אז f(x) f(y) f(x) l + l f(y) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ והקריטריון מתקיים. בכיוון ההפוך, נניח שהקריטריון מתקיים. יהי > 0 ɛ ו δ(ɛ) δ. = נבחר סדרה ) 1 n x) עם התכונות x n D f x n a x n a (i) (ii) (iii) היות ו x n a.( N N)( n > N)(0 < x n a < δ) 0 < x n a < δ יהו n, m > N אזי 0 < x m a < δ f(x n ) f(x m ) < ɛ לכן, לפי הקריטריון, על כן הסדרה (( n (f(x היא סדרת,Cauchy ולכן היא מתכנסת לגבול l. טענה: l.lim f(x) = יהי > 0 ɛ. עלינו להארות ש ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l < ɛ) < δ = δ( ɛ 2 0 אשר מקיים לפי הקריטריון, עבור ɛ זה קיים ).( x, y)(0 < x a < δ 0 < y a < δ f(x) f(y) < ɛ 2 ) x n (a δ + זהו ה δ המבוקש. δ 1 לפי הנחה מתקיים,(a δ, a + δ) {a} D f לכן נוכל לבחור δ n+1, a + δ n+1 ) {a} 5
בגלל ש, f(x n ) l עבור אותו ɛ.( N 1 N)( n > N 1 )(0 < f(x n ) l < ɛ 2 ) מצד שני, בגלל ש, x n a עבור אותו δ.( N 2 N)( n > N 2 )(0 < x n a < δ) נבחר אינדקס n N אשר מקיים } 2 n > N = max{n 1, N ויהי x n האיבר המתאים. בתנאים אלה.N < n N 1 < n f(x n ) l < ɛ 2 כמו כן N < n N 1 < n 0 < x n a < δ לכן, אם x מקיים x a < δ <,0 לפי הקריטריון יתקיים f(x) f(x n ) < ɛ 2 ומכאן נקבל ש. f(x) l f(x) f(x n ) + f(x n ) l ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ ( δ > 0)( x)(0 < x a < δ x D f ) גבולות חד צדדיים יהו a R ו f פונקציה עבורם מתקיים במקרה זה נגיד ש f מוגדרת בסביבה ימנית מנוקבת של a. הגדרה: (גבול מימין של פוקציה בנקודה) נאמר ש l R הוא גבול מימין של f(x) כאשר x שואף ל a (או ש f(x) שואף ל l כאשר x שואף ל a מימין) אם ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)(0 < x a < δ f(x) l < ɛ) 6
במקה זה נכתוב lim f(x) = l a<x סימונים אחרים:. lim x a f(x) = lim +0 f(x) = lim f(x) = f(a+) + משפט: הגדרה זו שקולה לאיפיון הבא לפי סדרות: l R הוא גבול מימין של f(x) כאשר x שואף ל a אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f a < x n x n a (i) (ii) (iii) מתקיים.f(x n ) l בצורה אנלוגית לגמרי נגדיר גבול משמאל של פונקציה בנקודה. משפט: תהי f פונקציה מוגדרת בסביבה מנוקבת של a. אזי lim f(x) = l אםם lim x<a f(x) = lim f(x) = l a<x (הגבול קיים אםם קיימים שני הגבולות החד צדדיים ושניהם שווים). lim f(x) = f(a) רציפות הגדרה: נאמר ש f רציפה ב a אם במילים אחרות, a D f lim f(x) (i) (ii) 7
lim f(x) = f(a) (iii) משפט: הגדרה זו שקולה לכל אחת מההגדרות הבאות: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x)( x a < δ f(x) f(a) < ɛ).1 2. לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n a (i) (ii) lim f(x) = f(a) a<x מתקיים f(a) f(x n ) הגדרה: אנו נאמר ש f רציפה מימין אם lim f(x) = f(a) x<a ונאמר ש f רציפה משמאל אם משפט: f רציפה ב a אםם f רציפה מימין ב a ו f רציפה משמאל ב a ומתקיים lim x<a f(x) = f(a) = lim f(x) a<x רציפות בקטע הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע. אנו נאמר ש f רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה של אותו קטע. אם הקטע הוא סגור, בקצוות הקטע הרציפות הנדרשת היא רציפות חד צדדית. אזי f + g, f g, f g הן רציפות ב a ;ו אם f g משפט: יהו f ו g רציפות ב a..a רציפה ב f g 0 g(a) אז מסקנה: יהו f ו g רציפות בקטע.I אזי f + g, f g, f g הן רציפות ב I ו רציפה בל נקודה ב I ש g לא מתאפסת בה. משפט: (כלל ההצבה לפונקציות רציפות) תהי g(x) y = רציפה ב a ותהי f(y) z = רציפה ב g(a) b. = נניח ש g מוגדרת בסביבה פתוחה של a שתמונתה מוכלה בתחומה של f. אזי f g רציפה ב a. 8
( ɛ > 0)( δ > 0)( x)( x a < δ f(g(x)) f(g(a)) < ɛ) הוכחה: עלינו להראות ש יהי > 0 ɛ. בגלל הרציפות של f ב b, עבור ɛ זה ( γ > 0)( y)( y b < γ f(y) f(b) < ɛ) בגלל הרציפות של g ב a, עבור γ זה.( δ > 0)( x)( x a < δ g(x) g(a) < γ x a < δ זהו ה δ המבוקש. יה x אשר מקיים g(x) g(a) < γ אזי f(g(x)) f(g(a)) < ɛ ואז כפי שרצינו. (הרכבה של פונקציות רציפות היא רציפה) פונקציות רציפות בקטע סגור משפט: אם f רציפה ב b] [a, ו < 0 f(b) f(a) אזי c [a, b] : f(c) = 0 הוכחה: בלי הגבלת הכלליות נניח ש f(b) f(a) < 0 < (אחרת נסתכל ב f ). יהו.a 1 = a, b = b 1 f( a1+b1 סיימנו. 2 אם = 0 ) ;a 2 = a 1, b 2 = a1+b1 2 f( a1+b1 נגדיר 2 אם > 0 ).a 2 = a1+b1 2, b 2 = נגדיר b 1 f( a1+b1 2 אם < 0 ) בצורה רקורסיבית נבנה סדרה של קטעים ([ n a]) n, b אשר מקיימים את התכונות 9
f(a n ) < 0 < f(b n ) (i) [a n 1, b n 1 ] [a n, b n ] (ii) b n a n = 1 2 n 1 (iii) )f an+bn,סיימנו. אחרת נבנה סדרה אינסופית עם 2 אם בשלב כלשהו = 0 ) התכונות הנ ל. סדרה זו של קטעים מקיימת את תנאי משפט קנטור (Cantor) ולכן קיים c R אשר מקיים ( n N)(a a n c b n b) lim a n = c = lim b n יתר על כן lim f(a n ) = f(c) = lim f(b n ) בגלל הרציפות של f נקבל f(a n ) < 0 lim f(a n ) = f(c) 0 אבל f(b n ) > 0 lim f(b n ) = f(c) 0 לכן = 0.f(c) משפט: (תכונת ערך הביניים I.V.P ) אם f רציפה ב b] [a, אזי לכל d בין f(a) לבין f(b) קיים a c b כך ש.f(c) = d הוכחה: בלי הגבלת הכלליות נניח ש f(b).f(a) < d < נתבונן בפונקציה f. d פונקציה זו הינה רציפה בהיותה הפרש של שתי פונקציות רציפות. יתר על כן היא מקיימת את תנאי המשפט הקודם בקטע [b,a], לכן קיים a c b כך ש = 0 d (f d)(c) = f(c) ואז מתקיים.f(c) = d 10
הגדרה: יהו f ו A. D f נאמר ש f חסומה ב A אם הקבוצה f(a) = {f(x) : x A} חסומה. משפט: אם f רציפה ב [b,a] אזי f חסומה באותו קטע. הוכחה: נניח בשלילה ש f אינה חסומה מלמעלה. אזי ( n N)( x n [a, b] : f(x n ) > n) על כן תהי הסדרה ) n x). סדרה זו היא חסומה כי כל איבריה נמצאים ב [b,a] ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת ) nk x) וגבולה גם נמצא [b,a]. בגלל הרציפות של f,הסדרה (( nk (f(x אף היא מתכנסת ולכן היא חסומה, בסתירה לעובדה ש ) k.( k N)(f(x nk ) > n בצורה דומה מוכיחים ש f חסומה מלמטה. משפט: אם f רציפה ב [b,a] אזי f מקבלת מקסימום ומינימום באותו קטע. במילים אחרות, קיימים a x min, x Max b כך ש ( x [a, b])(f(x min ) f(x) f(x Max )) הוכחה: לפי המשפט הקודם f חסומה מלמעלה ב [b,a]. יהי M = sup{f(x) : a x b} טענה: M הוא המקסימום של f ב [b,a]. ( ɛ > 0)( x [a, b] : M ɛ < f(x) M) ɛ = 1 n ונבנה סדרה ) n (x של איברים ב b] [a, אשר מקיימת נבחר ( n N)(M 1 n < f(x n) M) סדרה זו היא חסומה כי כל איבריה נמצאים ב [b,a] ולכן יש לה תת סדרה מתכנסת ) nk x) וגבולה גם נמצא [b,a]. יהי x Max = lim k x n k 11
מצד שני f,הסדרה (( nk (f(x מתכנסת ל ) Max.f(x בגלל הרציפות של מתקיים ( k N)(M 1 n k < f(x nk ) M) M lim k f(x n k ) = f(x Max ) M ולפי משפט הסנדוויץ נקבל ( x [a, b])(f(x) M = f(x Max )) לכן x Max מקיים בצורה דומה בונים x min אשר מקיים ( x [a, b])(f(x min ) = m f(x)) הוכחות שלושת המשפטים מבוססות על שיקולי סדרות של נקודות בקטע. נביא להלן הוכחות שונות אשר מבליטות פן אחר של פונקציות רציפות. רציפות של פונקציה היא תכונה לוקלית (מקומית) במובן שההתנהגות של פונקציה בנקודת רציפות מושפעת מההתנהגות של הפונקציה בנקודות בסביבתה ומקרינה עליהן. למשל משפט: פונקציה רציפה בנקודה היא חסומה בסביבה של אותה נקודה. במילים אחרות, אם f רציפה ב a אזי ( δ > 0)( m, M)( x)( x a < δ m f(x) M) הוכחה: נניחש.lim f(x) = l יהי = 1.ɛ אזי ( δ > 0)( x)( x a < δ f(x) l < 1) ( δ > 0)( x)( x a < δ l 1 < f(x) < l + 1) במילים אחרות ומספיק לקחת + 1 l.m = l 1, M = בצורה דומה ניתן להכליל את המשפט למקרה של פונקציה רציפה מימין או פונקציה רציפה משמאל. במילים אחרות, רציפות חד צדדית גוררת חסימות חד צדדית לוקלית. 12
משפט: אם f רציפה ב a ו 0 f(a) אזי 0 f בסביבה של a. יתר על כן, באותה סביבה מתקיים sgn(f(a)).sgn(f(x)) = בצורה דומה ניתן להכליל משפט זה למקרה של רציפות חד צדדית. משפט: אם f רציפה ב b] [a, ו < 0 f(b) f(a) אזי c [a, b] : f(c) = 0 הוכחה: בלי הגבלת הכלליות נניח ש f(b).f(a) < 0 < נסתכל בקבוצה.S = {t [a, b] : x [a, t], f(x) < 0} S כי הרי S a. S חסומה בהיותה תת קבוצה של הקטע [b,a]. יהי.c = sup S טענה: = 0.f(c) לפי המשפט הקודם קיימת סביבה ימנית של a שבה f שלילית. במילים אחרות.( δ > 0)( x)(0 x a < δ f(x) < 0) מכאן נסיק ש a. < c מצד שני קיימת סביבה שמאלית של b שבה f חיובית. במילים אחרות.( δ > 0)( x)(0 b x < δ f(x) > 0) מכאן נסיק ש.c < b על כן.a < c < b נניח, בדרך השלילה, ש < 0.f(c) על כן קיימת סביבה של c שבה f שלילית. במילים אחרות.( δ > 0)( x)( x c < δ f(x) < 0) יהי a < c δ < d < c כך ש f שלילית ב d] [a, ויהי c < e < c + δ < b כך ש.c = sup S בסתירה להיותו [a, e] שלילית ב f אז נקבל ש.[c, e] שלילית ב f בטיען דומה שוללים את האלטרנטיבה ש > 0 f(c) ולכן נכונות הטענה והמשפט. משפט: אם f רציפה ב [b,a] אזי f חסומה באותו קטע..S = {t [a, b] : x [a, t]( m, M)m f(x) M} הוכחה: נסתכל בקבוצה. S כי הרי S.a S חסומה בהיותה תת קבוצה של הקטע b].[a, יהי.c = sup S 13
טענה: c. = b ברור ש a. c b לפי משפט קודם קיימת סביבה ימנית של a שבה f חסומה. מכאן נסיק ש a. < c נניח, בדרך השלילה, ש c. < b קיימת סביבה של c שבה f חסומה. יהי a < c δ < d < c כך ש f חסומה ב d] [a, ויהי c < e < c + δ < b כך ש f חסומה ב [e,c]. אז נקבל ש f חסומה ב [e,a] בסתירה להיותו c. = sup S על כן f חסומה בכל תת קטע [t,a] לכל a. t < b (בינתיים איננו יכולים להסיק חסימות בכל הקטע המקורי, עד לקצהו הימני, בגלל שהחסם העליון של הקבוצה f שבה b לפי משפט קודם קיימת סביבה שמאלית של S) אינו שייך בהכרח ל S חסומה. לכן קיים a g < b כך ש f חסומה ב b].[g, היות ו f,g < b = sup S חסומה ב [g,a] לכן f חסומה ב [b,a]. משפט: אם f רציפה ב [b,a] אזי f מקבלת מקסימום ומינימום באותו קטע. הוכחה: יהי b}.m = sup{f(x) : a x נניח ש. x [a, b], f(x) M = g(x),מוגדרת ורציפה בקטע [b,a]. אבל 1 M f(x) נתבוננן בפונקציה ( ɛ > 0)( x [a, b] : M ɛ < f(x)) ( ɛ > 0)( x [a, b] : 1 ɛ < 1 M f(x) = g(x)) ( a, b I)( x)(a < x < b x I) או במילים אחרות בסתירה לחסימות של g עצמה. הגדרה: I R תקרא קטע אם משפט: תהי f מוגדרת ורציפה בקטע I. אזי f(i) J = גם קטע. הוכחה: יהו,c. d J עלינו להראות שכל y בין c לבין d גם הוא שייך ל J. a, b I : (f(a) = c f(b) = d) a, b I [a, b] I מכאן ש על כן f רציפה ב [b,a]. יהי y בין c לבין d. לפי תכונת ערך הביניים של f בקטע [b,a] x [a, b] : f(x) = y ולכן f(i).y J = 14
נקודות אי רציפות אם f אינה רציפה ב a D f נאמר ש a נקודת אי רציפות של f. תהי f פונקציה מוגדרת בקטע I ו a I נקודת אי רציפות של a f. תקרא נקודת אי רציפות מסוג ראשון אם קיימים שני הגבולות הצדדיים f(a+) ו.f(a ) במקרה המיוחד ש f(a+) f(a ) = נקודת האי רציפות תקרא סליקה. במקרה שאחד מהגבולות הצדדיים אינו קיים, a תקרא נקודת אי רציפות מסוג שני. פונקציות מונוטוניות הגדרה: יהו f ו.A D f פונקציה f תקרא עולה ב A אם היא מקיימת.( x, y A)(x < y f(x) f(y)).פונקציה f תקרא עולה ממש או עולה במובן החזק ב A אם היא מקיימת.( x, y A)(x < y f(x) < f(y)).פונקציה f תקרא יורדת ממש או יורדת במובן החזק ב A אם היא מקיימת.( x, y A)(x < y f(x) > f(y)).פונקציה f תקרא יורדת ב A אם היא מקיימת.( x, y A)(x < y f(x) f(y)).פונקציה f תקרא מונוטונית ב A אם היא מקיימת אחת מהתכונות הקודמות. משפט: תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע I. אזי f רציפה בקטע I אםם f(i) J = קטע. הוכחה: אם f רציפה בקטע I,אזי f(i) J = קטע, לפי המשפט הקודם. בכיוון השני, נראה שמונוטוניות גוררת רציפות. ב.ה.כ. נניח ש f עולה. תהי a. I נתבונן ב f(a) J ונניח שהיא איננה נקודת קצה. על כן יש ב J נקודה משמאלה ונקודה מימינה של f(a) ולכן γ > 0 : (f(a) γ, f(a) + γ) J ( δ > 0)( x)( x a < δ f(x) f(a) < ɛ) יהי < ɛ < γ.0 נראה ש.(f(c) = f(a) η) (f(d) = f(a) + η) יהי < η < ɛ 0 ויהו c, d I כך ש 15
ברור כי c < a < d (בגלל ש f עולה). אם נקח c < x < d,בגלל המונוטוניות של f, נקבל ש f(a) η = f(c) f(x) f(d) = f(a) + η f(x) f(a) η < ɛ או במילים אחרות לכן מספיק לקחת a}.δ = min{a c, d אם f(a) J נקודת קצה יתכן ש {f(a)} = J ואז f קבועה ובוודאי רציפה. אחרת, ב.ה.כ., נניח ש f(a) היא הקצה הימני אך לא יחידה ב. J אז γ > 0 : (f(a) γ, f(a)] J אם קיים,a < d I אז f(a)) ( a x d)(f(x) = (בגלל ש f עולה והעובדה ש f(a) קצה ימני של J). יהי < η < ɛ 0 ויהי c I כך ש.f(c) = f(a) η ברור כי c < a (בגלל ש f עולה). אם נקח c < x < d,בגלל המונוטוניות של f, נקבל ש f(a) η = f(c) f(x) f(d) = f(a) f(a) + η f(x) f(a) η < ɛ או במילים אחרות לכן שוב מספיק לקחת a}.δ = min{a c, d אם a הקצה הימני של I עלינו להראות ש f רציפה משמאל ב a. יהי < η < ɛ 0 ויהי c I כך ש.f(c) = f(a) η ברור כי c < a (בגלל ש f עולה). אם נקח c < x < a,בגלל המונוטוניות של f, נקבל ש f(a) η = f(c) f(x) f(a) f(a) + η f(x) f(a) η < ɛ או במילים אחרות לכן מספיק לקחת.δ = a c משפט: תהי f רציפה ועולה ממש(יורדת ממש) בקטע I. אזי קיימת פונקציה g אשר מקיימת: D g = I f = f(i) := J (i) 16
f הפוכה של g J עולה ממש(יורדת ממש) ב g J רציפה ב g (ii) (iii) (iv) משפט: תהי f עולה ב (b,a). אזי לכל (b x,a) קיימים f(x+) ו f(x ) ומתקיים sup {f(t)} = f(x ) f(x) f(x+) inf {f(t)} a<t<x x<t<b הוכחה: הקבוצה x} {f(t) : a < t < חסומה מלמעלה על ידי.f(x) יהי.A f(x) ברור כי.sup a<t<x {f(t)} = A טענה: f(x ).A = צ ל ש ɛ) ( ɛ > 0)( δ > 0)( t)(0 < x t < δ f(t) A < יהי > 0.ɛ בהיותו sup a<t<x {f(t)} = A. δ > 0 : A ɛ < f(x δ) A.0 < x t < δ x δ < t < x נשים לב ש אם t עומד בתנאים אלה נקבל, בגלל המונוטוניות, f(x δ) f(t) A ɛ < f(x δ) f(t) A < A + ɛ אז. f(t) A < ɛ ומכאן ש בצורה דומה משלימים את יתר טענות המשפט. משפט: בתנאי המשפט הקודם a < x < y < b f(x ) f(x) f(x+) f(y ) f(y) f(y+) מסקנה: נקודות האי רציפות של פונקציה מונוטונית f ב (b,a) הן מסוג ראשון. מסקנה: קבוצת נקודות האי רציפות של פונקציה מונוטונית f ב (b,a) אי לכל היותר בת מניה. 17
גבולות אינסופיים וגבולות באינסוף הגדרה: נאמר ש l R הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל אם ( ɛ > 0)( X R)( x)(x < x f(x) l < ɛ) במקה זה נכתוב lim f(x) = l x משפט: l R הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n (i) (ii) מתקיים f(x n ) l בצורה אנלוגית מגדירים את הגבול ב. הגדרה: נאמר ש הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל a אם.( Y R)( δ > 0)( x)(0 < x a Y < f(x)) במקה זה נכתוב. lim f(x) = משפט: הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל a אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n a x n a (i) (ii) (iii) מתקיים ) n. f(x בצורה אנלוגית מאפינים את כגבול של פונקציה בנקודה. 18
הגדרה: נאמר ש הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל אם.( Y R)( X R)( x)(x < x Y < f(x)) במקה זה נכתוב. lim x f(x) = משפט: הוא גבול של f(x) כאשר x שואף ל אם לכל סדרה ) n x) עם התכונות x n D f x n (i) (ii) מתקיים ) n. f(x בצורה אנלוגית מגדירים ומאפינים יתר סוגי גבולות אינסופיים באינסוף. רציפות במידה שווה הגדרה: תהי f מוגדרת ב A. D f נאמר ש f רציפה במידה שווה ב A אם ( ɛ > 0)( δ > 0)( x, y A)( x y < δ f(x) f(y) < ɛ) משפט: תהי f רציפה ב [b,a]. אזי f רציפה במידה שווה ב [b,a]. הוכחה: נניח, בדרך השלילה, ש f אינה רציפה במידה שווה ב [b,a]. אזי ( ɛ > 0)( δ > 0)( x, y A)( x y < δ f(x) f(y) ɛ).δ = 1 n על כן קיימים b] x n, y n [a, עם התכונה נבחר x n y n < 1 n f(x n) f(y n ) ɛ הסדרה ) n x) הינה סדרה חסומה כי כל איבריה ב [b,a], לכן יש לה תת סדרה ) nk (x מתכנסת לגבול x באותו קטע b].[a, (x nk ) x k 19
נשים לב ש הסדרה ) n (x n y שואפת ל ;0 לכן גם התת סדרה ) nk (x nk y שואפת ל 0. טענה: התת סדרה ) nk y) מתכנסת בהיותה הפרש של שתי (תת) סדרות מתכנסות ומתקיים (y nk ) x k.x = lim(x nk ) = lim(x nk (x nk y nk )) = lim(y nk ) הוכחה: lim f(x n k ) = f(x) = lim f(y n k ) k k בגלל הרציפת של f מתקיים lim (f(x n k ) f(y nk )) = 0 k לכן. f(x nk ) f(y nk ) ɛ בסתירה לעובדה ש משפט: אם f רציפה במידה שווה ב A אז f רציפה ב A. 20