Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 3: Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
ýý ÄÈÄ º½ º½º½ ÄÔÐ º½º½ ¹ ½ µº ô (Ø) ¹ [0+ ] 0 º ÄÔÐ L[(Ø)] L() ½ ½ ( ) L[(Ø)] + º Ê( ) 0º 0 (Ø) Ø Ø º½º½ ¹ ½µ ÄÔÐ º ºº ½ þ ýº ¾ º º ØØÔ : ÒÛÔÓÖÛÄÔÐ ØÖÒ ÓÖÑ
¾ ÄÔÐ º ýº º (3 ) (Ø) ( ) (Ø) L [( )] º½º½ ¹ ¾µ Á ºº ÄÔÐ Ü ºº º º½º¾ º½º¾ ¹ ½º (Ø) [ ] º º½º¾ ¹ ½µ Ø [ ] [ ] ( ) ( ) º (Ø) [0+ )º º½º¾ ¹ ¾º (Ø) ÙÒØÓÒ Ó ÜÔÓÒÒØÐ ÓÖÖµ Ø 0 Ø 0 0 (Ø) Å Ø Ø Ø 0 º½º¾ ¹ ½µ º ÄÔÐ º º½º¾ ¹ ½ µº ô (Ø) Ø [0+ )º ý
ft.0 0.8 0.6 0.4 0. 3 4 t º½º¾ ¹ ½ (Ø) Ø [0) (3) (34) Ø 3 lim Ø 0 Ø lim Ø +0 (Ø) lim Ø 3 0 (Ø) lim Ø 3+0 (Ø) 05º µ [0 ] 0 µ Ø 0 Ø 0 0 (Ø) Å Ø Ø [0+ ) º½º¾ ¹ ¾µ ÄÔÐ (Ø) º (3 ) ÖÐغ [0+ ) ÖÐØ ÄÔÐ L º ÄÔÐ º½º½ ¹ ½º
ÄÔÐ º ýº º½º¾ ¹ ½ ô (Ø) º ¾ L[(Ø)] ( ) + 0 Ø Ø lim ( ) lim 0 Ü+ Ü L() Ü+ Ø Ü 0 0 0 º½º¾ ¹ µ º½º¾ ¹ ¾ ø (Ø) Ø º ] L [ Ø + 0 + Ø Ø Ø + 0 Ü lim Ü + ( +)Ø 0 ( +)Ø Ø + 0 + ] L [ Ø + ] ] L [ 3Ø L [ ( 3) Ø +3 [ + lim 0 Ü + ( +)Ü + 0 º½º¾ ¹ µ +3 0 ] º½º ý ÄÔÐ ¹ º ¾ Ü Ü R lim Ü 0 lim Ü + + º ÄÔк
º½º ¹ ½ µº ô L º R L[(Ø)+(Ø)] L[(Ø)]+L[(Ø)] º½º ¹ ½µ ¹ º º½º ¹ ½ (Ø) sin Ø sin Ø ( Ø Ø) º (3 4) L(sin Ø) L ( Ø ) L ( Ø ) L ( ( ) Ø ) L ( Ø ) ø 0º ( +( ) ) + + L(sin Ø) º½º ¹ ¾µ + L(cos Ø) L [ Ø + Ø ] + L(sinh Ø) L [ Ø Ø ] L(cosh Ø) L [ Ø + Ø ] º½º ¹ µ º½º ¹ µ º½º ¹ µ º½º ¹ ¾º ý L L[(Ø)] ( ) L[(Ø)] ( ) 0 º½º ¹ µ
ÄÔÐ º ýº º½º ¹ ¾ º¾º¾ ¹ ¾ (3 ) L(cos Ø) L(sin Ø) ( ) + ( º½º ¹ µ + ) + + 0 º½º ¹ µ L(cosØ) +4 L(sinØ) +4 ºº º½º ¹ µº ý L L[(Ø)] ( ) [ ] L Ø (Ø) ( +) + 0 0 º½º ¹ µ º¾º¾ ¹ (33 7) ¹ (33 8) [ ] L Ø cos Ø [ ] L Ø sin Ø + ( +) + ( +) + º½º ¹ ½¼µ º½º ¹ ½½µ [ ] L Ø cosø [ ] L 3Ø sinø [ ( L Ø sin Ø+ )] 4 + ( +) + + + +5 [ ] L ( ) Ø sinø [ +( 3)] + 6 +3 ( L [ Ø sinøcos 4 +cosøsin )] 4
[ ] L Ø sinø + [ ] L ( Ø) sinø + ( ) + + + +5 [ ] L Ø cosø [ ] L ( Ø) cosø ( ) + º½º ¹ º ý L L[(Ø)] ( ) L[Ø(Ø)] ( ) ( ) Ò º½º ¹ Ò L[Ø Ò (Ø)] ( ) Ò Ò ( ) Ò ( ) Ò (Ò) ( ) º½º ¹ ½¾µ º½º ¹ (33 8) L(sin3Ø) 3 +9 (33 ) Ò L[Ø sin3ø] ( ) [ ] L Ø sin3ø ( ) 3 +9 6 ( +9) ( ) ( ) 3 [ ] 6 +9 ( +9) 8( 3 ) ( +9) 3
ÄÔÐ º ýº º½º ¹ ø (33 8) L [ Ø] + (33 ) ] L [Ø Ø ] L [Ø Ø ] L [Ø 3 Ø ( ) ( + ) ( +) ( ) ( ) [ ] + ( +) ( ) ( ) 3 3 3 [ ]! + ( +) 3 + 0º! {}}{ ( +) 3 3! {}}{ 3 ( +) 4 º ] L [Ø Ò Ø º ( ) Ò Ò Ò ( ) + [ ] (Ò )! ( +) Ò Ò! ( +) Ò+ ] L [Ø Ò Ø Ò 0 + 0º ý (33 3) 0 Ò! ( +) Ò+ º½º ¹ ½ µ L[Ø Ò ] Ò! Ò 0 º½º ¹ ½µ Ò+ (33 3) (33 4) ] L [Ø 3Ø! ( 3) + ( 3) 3 [ L Ø 3] 3! 3+ 6 4 º½º ¹ µº ý L Ø 0 ÄÔÐ ¹ L [ (Ø) ] L[(Ø)] (0) º½º ¹ ½µ
(33 5) Ø 0 L [ (Ø) ] L [ (Ø) ] (0) { L[(Ø)] (0)} (0) L [ (Ø) ] L[(Ø)] (0) (0) º½º ¹ ½µ º½º ¹ ô (Ø) Øsin غ (0) 0 (Ø) sin Ø+Øcos Ø (0) 0º (33 6) (33 ) Ò L [ (Ø) ] L[Øsin Ø] (0) (0) L[Øsin Ø] 3 ( +) ÄÔÐ (Ø) ÅÌÀÅÌÁ ÅÌÄ ÄÔÐÌÖÒ ÓÖÑ Øµ Ø ÝÑ Ø ÐÔРص Ø µ ý ½º ÄÔÐ (Ø) ) Ø 3 Ø+ Ú) Ø cos3ø ) sin(ø) ) ØsinØ Ú) Ø sin3ø º () 6 4 + () 4+ () (Ú) 4+ 8 (Ú) (Ú) 8+ º (4+ ) 36 + 3 6 + 3 Ú) ØcosØ Ú) sin 3Ø sin Ü cosüµ Ú) cos Ø cos Ü +cosüµº 4 (Ú) 8( 3+ ) (4+ ) (9+ ) 3 (Ú) + 3+4 +
½¼ ý ÄÔÐ º ýº ¾º ø ) Ø Ø cos Ø Ú) Ø Ø sinø ) Ø Ø cos Ø Ú) Ø Ø ) Ø 3 Ø Ú) Ø Ø sin Ø º º¾ º¾º½ ý ÄÔÐ ý º½º¾ ¹ ½ º¾º½ ¹ ½ µ (Ø) [0+ ) ÄÔÐ L[(Ø)]º µ ô (Ø) (Ø) [0+ )º ÄÔÐ (Ø) (Ø) (Ø) [0+ ) ÄÔÐ (Ø) L[(Ø)] L[(Ø)] º º¾º½ ¹ ½ ô (Ø) Ø L[(Ø)] +3 0 Ø (Ø) Ø Ø [0+ ) {} º L[(Ø)] L[(Ø)] (Ø) (Ø)º () () () (+ + ) (+ + ) (+ ) (Ú) (Ú) º (+ ) 3 (+ + + ) + + 6 (+ ) 4 (Ú) L[(Ø)] +3 4(+ ) (5+ + )
½½ ý º¾º½ ¹ ½ µ L[(Ø)] ( ) (Ø) L ( ) (Ø) º L º º¾º½ ¹ ½º ô (Ø) ¹ Ø [0+ )º ý ÄÔÐ L[(Ø)] ( ) L [( )] (Ø) (Ø)º º¾º½ ¹ ½ ÄÔÐ º º¾º¾ ÄÔÐ ÄÔк º º¾º¾ ¹ ½ µº ýl[(ø)] ( ) L[(Ø)] ( ) R L [( )+( )] L [( )]+L [( )] (Ø)+(Ø) º¾º¾ ¹ ½µ º¾º¾ ¹ ½ ô (Ø) 3Ø (Ø) Ø º ] L [ 3Ø +3 ( ) [ ] L Ø ( ) º¾º¾ ¹ ½ L [ ( )+5 ( )] L [( )]+5L [( )] 3Ø +5 Ø
½¾ ý ÄÔÐ º ýº º¾º¾ ¹ ¾º ý L [( )] (Ø) L [( )] ( ) Ø 0 º¾º¾ ¹ ¾µ º¾º¾ ¹ ¾ ô (Ø) cos4ø L[(Ø)] +6 ( ) º¾º¾ ¹ ¾ [ ] L [(¾ )] L ¾ (¾ ) ( +6 ¾ cos 4 Ø ) ¾ cosø º¾º¾ ¹ µº ý L [( )] (Ø) L [( +)] Ø (Ø) + 0 0 º¾º¾ ¹ µ º¾º¾ ¹ ô (Ø) sinø ( ) +4 º¾º¾ ¹ [ ] L ( ) +4 L ( +( ) ) +4 }{{} ( ) Ø sinø Ø sinø
½ º¾º ¹ ½ ÄÔл (Ø) ( )» (Ø) ( ) 5 Ø sin Ø ( +) + Ø 6 cos Ø + 3 Ø Ò ; Ò Ò! Ò+ 7 Ø cos Ø + ( +) + 4 sin Ø + 8 sinh Ø º¾º ( ) º º¾º ¹ ½ º¾º ¹ ½ ô ( ) 3 ( ) +!! + ( ) 3 º¾º ¹ ½ º¾º¾ ¹ ½ (Ø) L [( )] Ø
½ ý ÄÔÐ º ýº º¾º ¹ ¾ ô ( ) +4 + ø 4 º¾º ¹ ½ º¾º ¹ ô (Ø) L [( )] sinø ( ) 5 + +37 ( ) 5 6 6 ( +}{{} ) +( }{{} 6 ) 6 5 º¾º ¹ ½ º¾º ¹ ½ (Ø) L [( )] 5 6 Ø sin6ø µ ø 0µ ( Ü + Ü+ Ü+ ) 4 º¾º ¹ ½µ 4 µ () º º¾º ¹ ô ( ) + +4 +5
½ 4 0 6 0 º¾º ¹ ½ () +4 +5 ( +) + + ( ) + +4 +5 + + ß + ( +) + ( +) + 3 +4 {}}{ 4+ ( +) + + ( +) + 3 ( +) + 5 7 º¾º ¹ ½ (Ø) L [( )] Ø cosø 3 Ø sin Ø Ø (cosø 3sin Ø) ( ) 6 ) 4 Ú) ( +) 4 ) ) Ú) Ú) Ú) ( +3) Ú) ( +) +4 9 +8 +7 + Ü) Ü) Ü) Ü) 9 +4 4 +9 +4 +4 4 + + + + + º () Ø3 () 3 Ø 3Ø ()(cosø + sinø) (Ú) 3Ø (Ú) Ø ( + Ø) (Ú) Ø 3 Ø (Ú) sin( Ø ) 6 3 (Ü) cos( ) 3Ø 4 (Ü) (4 3 Ø) Ø [ 3cos( 3Ø ) (Ü) 3 Ø + 3Ø )] 3 sin( º 3 + 3Ø (Ú) 3 4Ø sin Ø ) (Ü) Ø Ø 6 sin( 3Ø
½ ý ÄÔÐ º ýº ( ) ( ) È( ) É( ) È( ) É( ) È( ) É( )º ( ) º º¾º ¹ ô ( ) +3 + º ( +)( +) + + + ( +)( +) (+) +(+) + + 3 ( ) 3 + + (Ø) L [( )] 3 Ø Ø º¾º ¹ ø ( ) ( +9)
½ ( +9) + + +9 ( ) 9 9 +9 (Ø) L [( )] 9 9 cos3ø (Ø) L ½¼ [( )] ( ) ) ) ) Ú) ( 4) 3 ( 4 +4) ( + ) Ú) Ú) Ú) Ú) 3 +8 4 + 3 ( +)( +) º ÄÔÐ ¹ º º º º½ ½ ¹ º ½¼ () + Ø + Ø Ø () + + Ø () Ø + 4 8 8 4 4 Ø Ø (Ú) (Ú) Ø Ø cos ( 3Ø ) + Ø sin( 3Ø) 4 3 (Ú) 5 Ø + cos Ø 5 + sin Ø 5 º (Ú) Ø 4 + Ø 4 cos Ø (Ú) Ø 3 3 Ø cos ) cos Ø ( 3 Ø
½ ÄÔÐ º ýº Ý + Ý Ö(Ü) º º½ ¹ ½µ Ý Ý(Ü) Ü ( ) Rº Ý + Ý ¼ º º½ ¹ ¾µ ô Ý Ö L Ü 0º ÄÔÐ (33 ) L(Ý + Ý) L[Ö(Ü)] ¹ ÄÔÐ ½½ L(Ý) Ý(0)+ L(Ý) L[Ö(Ü)] ( ) L(Ý) Ý(0) Ý 0 ( ) ¹ ( ) (33 ) ( ) L[Ö(Ü)] + + Ý ¼ + + 0 º º½ ¹ µ (33 3) (33 ) Ý(Ü) L [( )] º º½ ¹ ½ ÄÔÐ ½½ þ ½º½º ½º½º ¹½ µº ô Lº R L[(Ø)+(Ø)] L[(Ø)]+L[(Ø)] ½º½º ¹ ½ µº ý L Ø 0 ÄÔÐ L [ (Ø) ] L[(Ø)] (0) 0
½ µ (33 ) Ö(Ü) ºº ½¾ µ (Ü) º º º º½ ¹ ½ Ý +Ý 3Ü Ý(0) 0 ½µ º ô ½µ Ü 0º Ö(Ü) 3Ü ¾ º¾º ¹ ½ ] L [ 3Ü +3 0 +3 ô Ý(Ü) ½µº ½µ ( ) L(Ý) Ý(0) Ý 0 0 (33 3) ( ) +3 + + 0 + ( +)( +3) + + 0 +3 º º º½ ¹ ½µ Ý(Ü) L [( )] Ü 3Ü 3Ü ( + Ü ) ½¾ þ ýº ½ º ½º
¾¼ ÄÔÐ º ýº yx 0.4 0. 0.0 0.08 0.06 0.04 0.0 0.5.0.5.0.5 3.0 x º º½ ¹ ½ º º½ ¹ ½ Ý(Ü) 3Ü ( + Ü ) Ü [03] º º½ ¹ ¾ Ý + Ý Ü Ý(0) ¾µ º ø ¾µ Ü 0º Ö(Ü) Ü ¾ º¾º ¹ ½ L [ Ü] + 0 + ô Ý(Ü) ¾µº ¾µ ( ) L(Ý) Ý(0) Ý 0 (33 3) ( ) + + + + ( +) + 0 + º º º½ ¹ ¾µ º º½ ¹ Ý(Ü) L [( )] Ü Ü Ü Ü ( +Ü) ø Ý + Ý sinü Ý(0) 0 µ
¾½ yx 0.5.0.5.0.5 3.0 x 0.5.0.5 º º½ ¹ ¾ º º½ ¹ ¾ Ý(Ü) Ü ( +Ü) Ü [ 03] º ø µ Ü 0º Ö(Ü) sinü º¾º ¹ ½ L[sinÜ] +4 ý Ý(Ü) µ ( ) L(Ý) Ý(0) Ý 0 0 (33 3) ( ) 5 + +4 + 5 º º º½ ¹ µ ( +)( +4) 5 + + 5 + 5 +4 + 0 + Ý(Ü) L [( )] 5 Ü + 5 ( cosü+sinü) ý µ lim Ü Ý(Ü) + µ Ü Ü ½ Ý(Ü) 5 ( cosü sinü) + sin(ü+) 5 045sin(Ü+) arctan( ) 07 Ö 045º ½ ô cos(ü)+sin(ü) ý 0 tan
¾¾ ÄÔÐ º ýº yx.0.5.0 0.5 0.5 4 6 8 0 x º º½ ¹ º º½ ¹ Ý(Ü) 5 + Ü 5 ( cosü+sinü) Ü [ 30] Ò cos(ü)+sin(ü) Ò [ cos(ü)+sin(ü) ] [tan cos(ü)+sin(ü)] [sin Òcos(ÒØ)+cos Òsin(ÒØ)] cos +tan sin(ü+) + sin(ü+)
¾ ½ ) Ý + Ý Ü; Ý(0) Ú) Ý +3Ý Ü sinü; Ý(0) 0 ½ ) Ý +4Ý 3Ü ; Ý(0) 0 Ú) Ý + Ý sin Ü; Ý(0) ) Ý + Ý Ü Ü ; Ý(0) 0 Ú) Ý +4Ý sinh Ü; Ý(0) 0 Ú) Ý + Ý sinü; Ý(0) 0 Ú) Ý + Ý sin Ü cosü; Ý(0) 0º º º¾ ¾ Ý + Ý + Ý ¼ º º¾ ¹ ½µ Ý Ý(Ü) Ü ( ) R Ý (Ü) Ý (Ü) Ü ( )º ý Ý L (33 ) L[Ý + Ý + ] 0 ½ º () Ý(Ü) + Ü + Ü 0 () Ý(Ü) 3Ü + 4Ü () Ý(Ü) Ü Ü + Ü 0 (Ú) Ý(Ü) Ü + (Ú) Ý(Ü) 5 3Ü + Ü ( 3cos3Ü+sin3Ü) 3 (Ú) Ý(Ü) 3 Ü + (5 cosü sinü) 4 ( 0 0 (Ú) Ý(Ü) 4Ü 0 5Ü +6 Ü) 9 60 60 Ü + (5cos Ü 3cos3Ü 5sin Ü+sin3Ü) 0 0
¾ ÄÔÐ º ýº ½ ÄÔÐ L(Ý) Ý(0) Ý 0 (0)+[ L(Ý) Ý(0)]+L(Ý) 0 L(Ý) ( ) Ý(0) Ý 0 Ý (0) Ý 0 µ ( ) ( ) ( +)Ý ¼ + Ý ¼ ¾ + + (33 ) º º¾ ¹ ¾µ Ý(Ü) L ½ [( )] º º¾ ¹ µ (33 3) + + (33 )º º º½ ¹ ½ º º º¾ ¹ ½ Ý +5Ý +6Ý 0 Ý 0 0 Ý 0 º (33 ) ( ) ( +5) 0+ +5 +6 +5 +6 ( +3)( +) +3 + + +3 + + ½ þ ½º½º ½º½º ¹½ µº ô Lº R L[(Ø)+(Ø)] L[(Ø)]+L[(Ø)] ½º½º ¹ ½ µº ý L Ø 0 ÄÔÐ L [ (Ø) ] L[(Ø)] (0) 0 (3 7) L [ (Ø) ] L[(Ø)] (0) (0) 0
¾ yx 0.5 0.0 0.05 0.05 0.0 0.5.0.5.0 x º º¾ ¹ ½ º º¾ ¹ ½ Ý(Ü) 3Ü + Ü Ü [ 0]º º º º¾ ¹ ½µ Ý(Ü) L [( )] 3Ü + Ü º º º¾ ¹ ¾ ø Ý 4Ý +4Ý 0 Ý 0 Ý 0 º (33 ) ( ) ( 4) + 4 +4 3 ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ÄÔÐ ( ) L[(Ü)] L[Ü (Ü)] ( ) ( )
¾ ÄÔÐ º ýº yx.0 0.5 0. 0.5 0. 0.4 0.6 0.8.0. x.0.5.0 º º¾ ¹ ¾ º º¾ ¹ ¾ Ý(Ü) Ü ( Ü) Ü [ 0] º º º¾ ¹ ¾µ Ý(Ü) L [( )] Ü ( Ü) º Ü 0 Ü R Ý (Ü) 0 Ü 0 º Ü 0 º º º¾ ¹ ø 6Ý +8Ý +7Ý 0 Ý 0 Ý 0 0 º Ý + Ý + 7 6 Ý 0 (33 ) ( ) ( + ) +0 + 7 + 6 + + 6+ 4 + 6 + + 4 + 6 + + ( ) + 4 + 4 ( + 4 + + 4) + + 4 ( + 4) + + 4 ( + 4) +
¾ µ yx 4 4 4 6 8 0 x µ yx.0 0.8 0.6 0.4 0. 0. 0.4 5 0 5 0 5 30 x º º¾ ¹ º º¾ ¹ ¾ Ü [ 04] µ 4 Ü4 µ 4 cos Ü + sin Ü µ µ Ý(Ü) 4 Ü4 (4 cos Ü + sin Ü)º µ ¾º¾¹½ º º º¾ ¹ Ý(Ü) L [( )] Ü4 cos Ü+ 4 Ü4 sin Ü º ½ ½ ) Ý +4Ý +5Ý 0; Ý 0 Ý 0 Ú) Ý +5Ý 0; Ý 0 Ý 0 ) Ý Ý Ý 0; Ý 0 Ý 0 0 Ú) Ý +Ý +4Ý 0; Ý 0 Ý 0 0 ) Ý +Ý +0Ý 0; Ý 0 Ý 0 0 Ú) Ý Ý + Ý 0; Ý 0 Ý 0 º ½ º ½ () Ü (cos Ü+3 sin Ü) () 7 ( 3Ü + 4Ü) () 3 Ü sin3ü (Ú) 5 (5cos5Ü+sin5Ü) (Ú) 3 Ü sin ( 3 Ü ) (Ú) Ü ( +Ü)º
¾ ÄÔÐ º ýº Ý + Ý + Ý Ö(Ü) º º¾ ¹ µ R Ý Ý(Ü) Ö(Ü) 0 Ü ( ) R Ý (Ü) Ý (Ü) Ü ( )º ô Ý Ö L º ÄÔÐ (33 4) ( ) L[Ö(Ü)] ¾ + + + ( +)Ý ¼ + Ý ¼ º º¾ ¹ µ ¾ + + Ý(Ü) L ½ [( )] º º¾ ¹ µ º º¾ ¹ Ý 3Ý +Ý Ü Ý 0 Ý 0 0 º 3 L[Ö(Ü)] L(Ü) ý (33 5) ( ) ( 3 +) ( )( ) + + Γ + 3 4 + + 4( )
¾ (33 6) Ý(Ü) L [( )] 3 4 + Ü Ü + Ü 4 º º¾ ¹ ø Ý +Ý + Ý Ü Ý 0 Ý 0 0 º ø (33 5) L[Ö(Ü)] L( Ü ) + ( ) ( +)( + +) ( +)( +) + + ( +) + Γ + + + ( +) + (33 6) Ý(Ü) L [( )] Ü + Ü Ü Ü Ü (+Ü Ü Ü ) º º¾ ¹ ø Ý +4Ý Ü Ý 0 Ý 0 0 º ø 0 4 L[Ö(Ü)] L(Ü)
¼ ÄÔÐ º ýº (33 5) ( ) ( +4) + + Γ + +4 4 4 4 + 4 +4 º (33 6) Ý(Ü) L [( )] 4 Ü 8 sinü º º¾ ¹ ø Ý +Ý +0Ý Ý 0 Ý 0 0 º 0 L[Ö(Ü)] L() º (33 5) ( ) ( + +0) + + µ + +Γ + +0 0 0 0 0 0 0 + ( +) +3 [ + ( +) +3 + 3 + + +0 ] 3 ( +) +3 + +0 º
½ Ý(Ü) L [( )] 0 0 ( Ü cos3ü+ ) sin3ü 3 Ü ý ½º Ý Ý(Ü) Ý 0 Ý 0 ¾¼ 0½ ) Ý +4Ý +3Ý Ü Ú) Ý +Ý + Ý sin Ü ) Ý + Ý sin Ü Ú) Ý + Ý Ü sin Ü ) Ý +3Ý +Ý Ü Ú) Ý +4Ý +3Ý 4 Ü º ¾º Ý +4Ý +3Ý Æ(Ø) Ý Ý(Ü) Ý 0 Ý 0 0 Ý(Ü) Ü (cos3ü+sin3ü) ¾½ ½ º ¾¼ () 30 Ü (3 Ü 3cos3Ü sin3ü) () ( Ücos Ü+sin Ü) () 3 4 Ü 4 + Ü + Ü (Ú) Ü (+Ü Ü cos ) (Ú) Ü ( + Ü +cos Ü sin Ü) (Ú) 3Ü( Ü +Ü Ü) º ¾½ ý º ýº º ¹ÑÐ ÖØ Ó ØØºÖ ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ºØغֻÖØ Ó»
þ ½ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁËÆ ß¼ß ½ßߺ ¾ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ߺ ÖÓÒ ÓÒ Êº ½µ ÁËÆ ß¼¼¼ß½ß¼½ß º ý ýº ½ µ ÄÔÐ ÓÙÖÖ ÁËÆ ¼ß ½ß¾½ßº ÓÒ º ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ßº ËÔРź ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÄÔÐ ÌÖÒ ÓÖÑ ½µ ÅÖÛ¹ ÀÐÐ ÙØÓÒ ß ÙÖÓÔ ÁËÆ ß¼¼ß¼¼ß¾ ½ß½º ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖкÔÑÒغÖÙ»ÒܺØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖкÛÓÐÖѺÓÑ» ØØÔ»»ÓѺ ÔÖÒÖº»
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 04. Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ. Ενότητα 3: Μετασχηματισμός Laplace». Έκδοση:.0. Αθήνα 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.