Name, Matr-Nr, Unterschrift) Klausur Strömungsmechanik II 3 8 Aufgabe a) Einflussgrößen: Partikeldurchmesser d P Partikeldichte ρ P Dichte des Fluids ρ F Viskosität des Fluids η F Sinkgeschwindigkeit v s Erdbeschleunigung g [d] [ρ] [ρ] [η] [v] [g] = m = kg m 3 = kg m 3 = kg m s = m s = m s Es sind 6 Variable vorhanden mit insgesamt 3 unterschiedlichen Grundeinheiten s, m, kg) Laut Pi-Theorem besitzt das Problem 6 3 = 3 Kennzahlen Wiederkehrende Variable: g, d P, ρ P Π = v s g α d β P ργ P [m] : = + α + β 3γ β = / [s] : = α α = / [kg] : = γ γ = Π = v s gdp = F r Π = ρ F g α d β P ργ P [m] : = 3 + α + β 3γ β = [s] : = α α = [kg] : = + γ γ = Π = ρ F ρ P Π 3 = η F g α d β P ργ P [m] : = + α + β 3γ β = 3/ [s] : = α α = / [kg] : = + γ γ = η F Π 3 = = ρ F gdp ρ P d P ρ P η F ρ F d P v s v s gdp = F r Re ρ F ρ P
b) Damit das Ergebnis für die Sinkgeschwindigkeit übertragen werden kann, müssen die drei dimensionslosen Kennzahlen übereinstimmen: ρ F, ρ P, = ρ F, ρ P, ρ F, = ρ F, ρ P, ρ P, F r = F r v s gdp, = v s, gdp, v s, = v s, d P, d P, Re = Re ρ F, d P, v s, = ρ F,d P, v s, η F, η F, 3/ ρ P, d P, η F, = η F, ρ P, d P, 3/ c) Eine zusätzliche Einflussgröße mit keiner weiteren Grundeinheit: Oberflächenspannung σ F [σ] = kg s Eine zusätzliche Kennzahl: Π 4 = σ F g α d β P ργ P [m] : = + α + β 3γ β = [s] : = α α = [kg] : = + γ γ = Π 4 = σ F ρ P d P g = σ F ρ P v sd P v s g d P = F r σ F ρ P v sd P = F r W e
Aufgabe a) Zweifache Integration: u y = dp η y + C u = dp y η + C y + C Randbedingungen: y = : u = u, v = y = h) : u = v = C = u, C = u + ) dp h h η u = u y ) dp h y y ) h η h h Konstanter Volumenstrom: dp = η u h V h 3 h) V = ) Integration mit p) = pl) = p : pl) = p = p + 6ηu V = u h ) h 3 ) = u H η V h ) Spaltgeometrie: h) = h h h L h ) = L ) h h h h L h 3 ) = L ) h h ) h h ) L h h h h H = L h h ) V = u h h h + h h h ) = h h h + h b) V einsetzen: dp = 6ηu h Maimaler Druck p = p ma für h) = H: h h h = h h L h + h ) H h = h h + h ) h h h + h udy = konst = u h L h h = Lh h + h h 3 ) h3 dp η
3 Aufgabe a) Potentialfunktion: Φr, φ) = u r cos φ + v r sin φ + E π ln r + Γ π φ oder Ψr, φ) = u r sin φ v r cos φ + E π φ Γ π ln r v r r, φ) = Φ r = u cos φ + v sin φ + E πr v φ r, φ) = Ψ r = u sin φ + v cos φ + Γ πr b) Staupunkt: v r = r = v φ = r = E πu cos φ + v sin φ) Γ πv cos φ u sin φ) E v cos φ u sin φ) = Γ u cos φ + v sin φ) E v u tan φ) = Γ u + v tan φ) ) Ev Γu φ = arctan Γv + Eu Berechne v so, dass φ s = 45 = π 4 Ev Γu Γv + Eu = E + Γ v E Γ) = u E + Γ) v = u E Γ Koordinaten des Staupunktes: φ s = π 4 E r s = ) π u E+Γ + u E Γ) = πu c) Stromfunktion: E Γ Ψr, φ) = u r sin φ v r cos φ + E π φ Γ π ln r Punkt London hat Koordinaten r =, φ = π 4 = u + E + Γ ) E E Γ 8 = u E E Γ E 8 Stromfunktion im Ursprung: Ψ, ) Ψ L = u v E π Γ ln π 4 π d) Berechne erst den Wert der Stromfunktion auf der Staupunktstromlinie Ψ s Der Ursprung liegt sicher in der Aschewolke Quelle der Aschewolke liegt im Ursprung) und besitzt ein Maimum der Stromfunktion Daher entscheide, ob Ψ L [Ψ s, Ψ, )] In diesem Fall befindet sich London unter der Aschewolke Andernfalls befindet sich saubere Luft über London
e) Skizze: 45 y
4 Aufgabe a) Aus Eulergleichung u a ) du a) = dp ρ folgt mit p = konst dass u a ) = u = konst b) Massenerhaltung/Volumenbilanz am differenziellen Element: δ) δ ) v= v ) A δ+) δ +) H/ Wegen v, H/) = kein Volumenstrom über die Symmetrieebene y = H/ ) H u δ ) + v A + ) H ) = u δ + ) v A ), δ ) mit Taylorreihe entwickeln: einsetzen in Volumenbilanz: dv A u δ + v A + d δ v A = u d ) c) δ = δ uua y ) d = δ δ δ = δ u u a v A + ) = v A) + dv A + δ + ) = δ ) + dδ + }{{} von höherer Ordnung klein ) uua y ) d = δ 6 δ ) τy = ) = η du dy = η u u d a u a y= δ d ) y = η u a δ δ y δ = Einsetzen in Kàrmàn-Pohlhausen: dδ = dδ dδ dδ = dδ 6 dδ = dδ dδ dδ = dδ = u δ u dδ = η u δ
dδ 6 + dδ = η ρ u δ 3 δ dδ = η ρu 3 δ = η + C ρ u Anfangsbedingung für δ: = δ) = C = δ) = η 3 ρu d δ d) v A ) = u = u d 3 ) η ρu 3η = u ρu = 3ηu 4 ρ
5 Aufgabe a) Temperaturverhältnis T T : h = h + u c p T = c p T + γrt M mit h = c p T, c p = γr γ und u = M γrt T = + γ M ) T Temperatur am Austritt: T = T = γ + T mit M = engster Querschnitt und p a = <, 58) p 5 Geschwindigkeit u am Austritt: u = c = γrt γrt = γ + b) Massenstrom ṁ : ṁ = ρ c A ṁ = ρ t) ρ t) ρ t) γr T T A aus = p p t) γr T T T p t) RT A aus T ) γ ) γ / γ = p t) A aus γ + RT γ + ) γ+ γ ) γ ṁ = A aus p t) γ + RT c) austretende Masse m: m = V ρ t e ) ρ t )) m = V p t ) p t e )) mit ρ = p und T = konst RT RT p t e ) = p ) γ t e ) γ + γ p a = pa kritisches Druckverhältnis) p a m = V ) γ ) γ + γ p t ) pa RT
6 Aufgabe a) Mit dieser Impulsgleichung kann Fall A nicht analysiert werden, da im Fall A der Mittelwert u zeitabhängig ist, aber der Term u nicht in der Gleichung berücksichtigt wird In t Fall B ist der Mittelwert u nicht zeitabhängig und somit kann dieser Fall mit der im Mittel stationären Impulsgleichung analysiert werden b) Skizze: Übergangsbereich δ u laminarer Bereich turbulenter Bereich c) Machzahlverläufe: p/p p*/p 3 4 Ma 4 3 In Fall 3 tritt ein Verdichtungsstoß in der Düse auf Die Totaltemperatur und der Totaldruck ändern sich in Fall 4 nicht d) Druckbeiwert: c p = p p ρ u c p = im Staupunkt