סיכום לינארית 28 בינואר 2 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom
תוכן עניינים 3 מבוא והגדרות בסיסיות 6 שדות 7 המציין של השדה שדה המרוכבים C 2 4 מרחבים וקטורים 2 4 הגדרת המרחב והרבה דוגמאות 2 6 תלות ואי תלות לינארית 22 9 בסיס, מימד והקשרים ביניהם 23 24 תת מרחבים 24 3 תרגולים 25 39 המטריצה 3 39 העתקות לינאריות 3 4 המטריצה הגדרות בסיסיות 32 46 גרעין ודמות של העתקות לינאריות Image, Kernal 33 5 כפל (הרכבה של העתקות לינאריות 34 52 העתקה הופכית 35 55 מטריצת מעבר בסיסים 36 6 מערכת משוואות 37 7 דירוג מטריצות T he Gaussian Elimination 38 72 דטרמיננטה של מטריצה 39 83 מינור של מטריצה והמטריצה המצורפת 3 92 הדרגה של העתקה לינארית 3 96 תרגולים 32 2
מבוא והגדרות בסיסיות פרטי המרצה 829 יבגני סטרחוב, שפרינצק 7 שעות קבלה יום א' 4: 3:, טלפון 6584793 2 ספר מומלץ G Shilov Linear Algebra 2 הבעיה הבסיסית באלגברה לינארית נניח ונתונה לנו מערכת משוואות כלשהיא: a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a n x + a n2 x 2 + + a nn x n = b n נסמן את מערכת המשוואות הזו להיות נניח שהמקדמים a, a,2,, a nn וכמו כן b, b 2,, b n ידועים נשאל: אם הפתרון של קיים? 2 אם קיים פתרון, האם הוא יחיד? 3 אם הפתרון אינו יחיד, מה ניתן לומר על קבוצת הפתרונות? דוגמא: ניקח = m,n = וכמו כן a, b R אזי נקבל את המשוואה הבאה: ax = b נחפש את קבוצת הפתרונות של המשוואה,x = b a וזהו פתרון יחיד אם a אזי 2 אם = a b, אזי הפתרון אינו קיים 3 אם = a b = אזי R היא קבוצת הפתרונות 3 השדה ואקסיומות השדה הגדרה קבוצה F נקראת שדה (field או שדה מספרים numbers (field of אם פעולות חיבור וכפל מוגדרות בקבוצה זו, ומתקיימות אקסיומות חיבור וכפל "אתם יכולים להתקשר כל הזמן אני לא מבטיח שאני אענה" 3
הגדרה 2 אקסיומות חיבור: עבור כל אלמנטים α β של F אלמנט α + β קיים ב F ואלמנט זה יחיד 2 קומטטיביות עבור כל שני אלמנטים α, β של F מתקיים α + β = β + α 3 אסוציטיביות עבור כל אלמנטים α, β, γ של F מתקיים γ (α + β + γ = α + (β + 4 קיים בשדה F אלמנט כך שעבור כל אלמנט α של F מתקיים α + = α 5 עבור כל אלמנט α של F שקיים פתרון γ של משוואה = γ α, + ופתרון זה יחיד הגדרה 3 אקסיומות הכפל: 6 עבור כל שני אלמנטים,α β של F קיים אלמנט α β בשדה והוא יחיד 7 עבור שני אלמנטים α, β של F מתקים α β = β α 8 עבור אלמנטים α, β, γ של F מתקיים γ (α β γ = α (β 9 קיים אלמנט ב F כך שעבור כל אלמנט α של F מתקיים α = α, וגם קיום איבר הופכי עבור כל אלמנט α של F קיים אלמנט γ של F כך שמתקיים = γ α חוק הפילוג דיסטריביוטיביות: לכל אלמנטים α, β, γ ב F מתקיים: (α + β γ = α γ + β γ דוגמא: ניקח E} F = {N, N + N = N N + E = E E + E = N E + N = E N + E = E N N = N N E = N E E = E E N = N נטען כי זהו שדה! נבדוק כי מתקיימות אקסיומות השדה, והן אכן מתקיימות! לדוגמא: (N + E + E =? N + (E + E = N = Q זהו שדה! { p q p N q Z, q } טענה 4 הגדרה 5 שדה של מספרים מרוכבים numbers field of complex R} C = {a + Ib a R, b נגדיר את פעולת החיבור בצורה הבאה: (a + iib + (a 2 + Ib 2 := a + a 2 + I (b + b 2 4
את פעולת הכפל נגדיר בצורה הבאה: (a + Ib (a 2 + iib 2 := (a a 2 b b 2 + I (a b 2 + b a 2 טענה C 6 הוא שדה! מדוע? נביט באיבר i i = + I i i = ( + i ( + i = + I נשים לב שמספרים מהסוג I a + הם כמו ממשיים: = 2 i הגדרה 7 שדה איזומורפי ield (Isomorphic F ניקח F, F שני שדות בנוסף נניח כי קיימת התאמה חד חד ערכית ועל בין F לבין F כך שמתקיים: אם α α,α F, α F ואם,β β,β F, β F אזי β α β α β,α + β α + { a x + a 2 x 2 = b a 2 x + a 22 x 2 = b 2 כעת, נביט במערכת המשוואות הבאה ובמטריצה שלה 3 2 ( ( ( a a 2 x b = a 2 a 22 x 2 b 2 (a a 22 a 2 a 2 x 2 = b 2 a b a 2, (a a 22 a 2 a 2 x = b a 22 b 2 a 2 4 מעט על מטריצות נקרא מטריצה m n של אלמנטים בשדה F הגדרה 4 8 נניח,a, a 2,, a mn F כאשר F הוא שדה נתון a a 2 a n a2n אוסף כל האלמנטים amn 2 מיד נגדיר מטריצה, אל דאגה 3 החישוב בסוף זוהי הדטרמיננטה! ניתקל בה הרבה בהמשך 4 "אין לזה קשר לסרטים ניסיתי למצוא אבל לא הצלחתי" יבגני לכיתה 5
שדות הגדרה עבור שני איברים,α β F נגדיר: 229 α F β = α + γ כאשר γ הוא הפתרון של המשוואה: β + F γ = α F β = α F γ β F γ = F וזו תקרא פעולת החיסור הגדרה 2 עבור שני איברים (β F α, β F נגדיר: כאשר γ הוא הפתרון של המשוואה: וזו תקרא פעולת החילוק משפט 3 איבר F הוא יחיד בשדה F איבר F הוא יחיד בשדה F הוכחה: נוכיח את שני המשפטים באותה הצורה נתחיל עם המשפט הראשון: תחילה, נניח בשלילה כי קיימים שני אפסים F, כעת, עבור שני איברים כלשהם,a b F מתקיים: { a + F F = a = F + F b = b { F + F = F F + F F = F כעת, נציב ב b = F, a = F ונקבל: כלומר קיבלנו, F = F כפי שרצינו באותה שיטה נוכיח את המשפט השני נניח בשלילה כי קיימים שני איברים שונים F, F F כעת, עבור שני איברים כלשהם,a b F מתקיים: { a F F = a F F b = b { F F F = F F F F = F כעת, נציב ב b = F, a = F ונקבל: כלומר קיבלנו, F = F כפי שרצינו 6
5 סימונים נסמן: N = {, 2, 3, } Z = {, 3, 2,,,, 2, 3, } Z = {,, 2, } עבור n N נסמן } n Z n = {,, 2,, ב n a שארית המתקבלת על ידי חילוק של [a] n עבור Z a ב [5] 4 = 3, [3] לדוגמא: = המציין של השדה הגדרה 4 יהיו Z a, b נאמר (modn,a b אם מתקיים: a = b + k n, k Z, n N דוגמא: 5 3 (mod4 5 = 3 4 + 3 הגדרה } 5 n Z n = {,, 2,, הגדרה 6 נגדיר ב Z n פעולות חיבור וכפל עבור שני איברים כלשהם,a b Z n בצורה הבאה: a + n b := [a + b] n = [b + a] n = b + n a a n b := [a b] n = [b a] n = b n a משפט 7 לכל (Z n, n, + n,n >,n N מקיים את כל התכונות של השדה, פרט (אולי לקיום הופכי לכפל הוכחה: אקסיומות החיבור: a, b Z n ; a + n b = [a + b] n [a + b] n Z n היא שארית, ולכן [a + b] n a + n b = [a + b] n = [b + a] n = b + n a 2 a {,, 2,, n } כאשר a + n = [a] n = a 3 (a + n b + n c =? a + n (b + n c 4 [(a + n b + c] n = [[a + b] n + c] n כאשר האגף השמאלי שווה 7
נביט לרגע בשתי טענות עזר: טענה 8 במידה ומתקיים (modn a = a (modn, b = b כאשר Z a, b, a, b, אזי מתקיים: a + b a + b (modn [a + b] n = [a + b ] n a b a b (modn [a b] n = [a b ] n הוכחה: (לא הוכחה פורמלית, רק רעיון כללי: a = a + kn, b = b + mn a + b = a + b + (k + m n a + b a + b (modn [a] n טענה 9 אם Z a אזי מתקיים (modn = a כעת, claim 2 [a + b] n (a + b (modn, c c (modn claim [a + b] n + c (a + b + c (modn = [[a + b] n + c] n = [a + b + c] n = [a + [b + c] n ] n = a + n (b + n c 5 קיום איבר נגדי ביחס לחיבור: נניח ש =,a אזי = a נניח ש [ n,a [, 2,, אזי a = n a אקסיומות הכפל נבדקות באותה הצורה 2529 משפט כאשר n הוא מספר ראשוני, n (Z n, + n, הוא שדה הוכחה: ניקח n l, ונרצה להראות כי l קיים בקבוצה Z n נתבונן בקבוצה {l n,l n,l, n ( n } מספיק להראות כי כל האיברים בקבוצה זו הם שונים אחד מהשני מדוע? אם זה נכון, אזי קיים P כך שמתקיים } n,p n l =, P {,, 2,, אזי l = P (m k l n נניח שמתקיים (n k n l = m n l, k < m = j, j Z,* 5 ואז k l = m l j n אבל, * לא יכול להיות, מכיוון ש n מספר ראשוני (ושני המספרים k, m קטנים מ n אזי: משפט נניח ש n הוא אינו מספר ראשוני אזי: 5 שהרי כפל במודולו מתבצע בצורה הבאה: a nb = a n b a b = a b + j n 8
טענה n 2 (Z n, + n, אינו שדה הוכחה: ניתן לרשום k, l n ; n = kl נניח בשלילה כי n (Z n, + n, הוא שדה אזי קיים k מכיוון שכך, נביט במכפלה הבאה:,l = k n (k n l = k n [kl] n וכך הגענו לסתירה! = k n [n] n = הגדרה 3 המציין של השדה F characteristic הוא המספר הטבעי k המינימלי שעבורו מתקיים: k times {}}{ F + F + + F = F נסמן char (F = k ( F + F + + F }{{} k times = ( F + F + + F = }{{} n times ( F + F + + F = }{{} l times אם * אינו מתקיים עבור כל,k N,k אזי נאמר = (F char משפט 4 אם n,char (F = אזי n הוא מספר ראשוני הוכחה: נניח בשלילה כי n אינו מספר ראשוני אזי ניקח n = kl כאשר < k, l < n k times {}}{ ( F + F + + F + + ( F + F + + F }{{}}{{} l times l times אזי = F ( F + F + + או = F ( F + F + + }{{}}{{} l times k times אבל זה לא יכול להיות, כי הגדרנו את n להיות המספר המינימלי עבורו המשוואה הזו שווה לאפס, בסתירה! ניקח: משפט 5 יהיF שדה סופי, q מספר האיברים בשדה F a = { F q = 2 a q 2 q > 2 טענה 6 עבור :a F, a F הוכחה: נניח כי = 2 q אזי } F a = F,F = { F, אזי,a = F וסיימנו נניח כי > 2 q אזי נתבונן בקבוצה: F פרט ל F קבוצה זו כוללת את כל האיברים של B = {a, a 2,, a q } {aa, aa 2,, aa q } ולכן נוכל לבנות קבוצה,a F קבוצה זו כוללת את אותם איברים כמו קבוצה B לכן: ( q q q a i = (aa i = a q a i i= i= i= q,a q = F כלומר a a q 2 = כפי שרצינו כמו כן i= F 9
2 שדה המרוכבים C סעיף זה מתוך תרגול מתאריך 2629 2 הגדרות הגדרה 7 מספר מרוכב הוא זוג סדור (y,x כאשר,x y R (בהמשך נסמן במקום זאת iy x + על קבוצה זו מגדירים חיבור וכפל בצורה הבאה: (החיבור השמאלי במרוכבים, הימני בממשיים( (x, y + (x 2, y 2 = (x + x 2, y + y 2 (x, y (x 2, y 2 = (x x 2 y y 2, y x 2 + x y 2 המרוכבים הם שדה ביחס לפעולות האלו ה C של המרוכבים הוא (, ה של C המרוכבים הוא (, נראה שזה נכון: (x, y (, = (x + y (x + y = (x, y ( נראה שזה נכון: x x 2 +y, 2 הנגדי ל ( y ( x, y :(x, y x 2 +y ההופכי ל ( y,x אינו (,, אלא 2 ( (x, y x x 2 +y, 2 y x 2 +y 2 = ( x x 2 +y + y 2 x 2 +y 2, xy x 2 +y + yx 2 x 2 +y = (, 2 נסמן R} R = {(x, x ונתבונן בהעתקה (x, α : R C; α (x = מה נוכל לומר על ההעתקה הזו? ההעתקה היא חח"ע, תמונתה היא R, והיא מכבדת את החיבור והכפל, כלומר מתקיים: α (x + x 2 = α x + α x 2 (x + x 2, = (x, + (x 2, α (x x 2 = α x α x 2 (x x 2, = (x, (x 2, לכן, אפשר לזהות את R כתת קבוצה של C עם אותן הפעולות C הוא תת שדה של R כלומר R, C
נשים לב כי: (, 2 = (, (, = (, מסמנים = 2 = i, i (, מזהים עבור :x, y R (x, y x + yi (x, y i (x 2 + y 2 i = (x x 2 y y 2 + (x y 2 + x 2 y i הגדרה 8 אם z, =,x (y C אזי מסמנים את "החלק האמיתי" ו"החלק המדומה" בצורה הבאה: Re (z = x; Im (z = y וכמו כן, מסמנים את הגודל:, z = x 2 + y 2 והצמוד: z = (x, y = x yi 22 משמעות גיאומטרית אם (, (y,x, אזי יש אפשרות נוספת להציג אותו באמצעות המרחק מראשית הצירים r והזווית עם הכיוון החיובי θ המרחק r = x 2 + y 2 הזווית θנקבעת עד כדי 6 2π הגדרה 9 הצגה בצורה (y,x נקראת הצגה קרטזית הגדרה 2 הצגה בצורה (θ,r נקראת הצגה קוטבית\פולרית r = x 2 + y 2, איך עוברים בין ההצגות השונות? אם נתונים θ x = rcosθ, y = rsinθ :(r, y x = tanθ θ = arctan y x אם נתונים y + π :(x, נשים לב כי tan היא פונקציה מחזורית r = 2 + 2 = 2, דוגמאות: נתון + i, דהיינו (, מהי הצורה הקרטזית? θ = arctan = π 4 θ = π 4 + 2π = 7π 4 2 נתון i אזי: 3 + 2 אזי: 2 3 נתון i r =, θ = π 3 6 מדוע? כל 2π (או כפולה שלו נגיע לאותה הנקודה
בצורה קוטבית (פולרית: חיבור: (x + y i + (x 2 + y 2 i = (x + x 2 + (y + y 2 i כפל: z = (r, θ, z 2 = (r 2, θ 2 z z 2 = (r r 2, θ + θ 2 בצורה קרטזית: נסמן: z = (r cosθ, r sinθ z 2 = (r 2 cosθ 2, r 2 sinθ 2 z z 2 = (r r 2 (cosθ cosθ 2 + sinθ sinθ 2, r r 2 (cosθ sinθ 2 + cosθ 2 sinθ = (r r 2 cos (θ + θ 2, r r 2 sin (θ + θ 2 אם נסמן θ,z z 2 = (r, אזי r = r r 2, θ = θ θ 2 נוכל להגדיר: (, =,z ובאינדוקציה n+ z אם כך, בצורה קוטבית נקבל: z = (r, θ, z n = (r n, nθ לדוגמא: בצורה קרטזית z = + i z 6 = ( ( 2 6 6π, = 8, 3π = 8i 4 2 z = ( 2, π 4 בצורה קוטבית הגדרה 2 אם z C ו N,n אז שורש של z מסדר n הוא מספר מרוכב w כך ש z w n = מסקנה 22 אם ההצגה הקוטבית של z היא (θ,r, ו w הוא שורש מסדר n של z בעל הצגה קוטבית (α,l, אז l n = r, nα = θ + 2πk עבור k Z הגדרה זו שקולה לכך ש r l, = n α = θ+2πk n וכמו כן, k Z מסקנה 23 אם z אזי ל ( θ z = (r, יש בדיוק n שורשים מסדר n ( ( כאשר n k =,,, n r, θ+2πk n = n r, θ ההצגות הקוטביות הן n + 2π n k 2
מסקנה 24 מדיון בכיתה באקסיומות השדה, אין צורך לדרוש יחידות לגבי האיבר הנייטרלי לחיבור היחידות נובעת ישירות מההגדרה ומשאר האקסיומות מסקנה 25 גם לכפל אין צורך לדרוש את יחידות האיבר הנייטרלי מסקנה 26 באקסיומות השדה אין צורך לדרוש יחידות עבור האיבר הנגדי ועבור האיבר ההופכי 3
2 מרחבים וקטורים 2 הגדרת המרחב והרבה דוגמאות הגדרה 2 נאמר שקבוצה V הוא מרחב וקטורי מעל שדה F, אם מוגדרים עבור איברי V פעולות חיבור וכפל על איברים של F (סקלרים, כך שמתקיימות האקסיומות הבאות: אקסיומות החיבור : 7 V γ, γ 2 V ; γ + γ 2 = γ כאשר γ הוא וקטור (סגירות לחיבור γ + γ 2 = γ 2 + γ 2 γ + (γ 2 + γ 3 = (γ + γ 2 + γ 3 3 γ V V V V + γ = γ 4 5 לכל γ V קיים γ כך ש: γ + ( γ = V אקסיומות הכפל: V d F γ V, d γ (סגירות לכפל בסקלר γ V, α, β F, α (β γ = (α β γ 2 γ, γ 2 V, α F, α (γ + γ 2 = α γ + α γ 2 3 γ V, F γ = γ 4 α, β F, γ V ; γ (α + β = γ α + γ β 5 לדוגמא: 2829 V = R n = {(x, x 2, x n n R, x,, x n R} (x,, x n + (y,, y n := (x + y,, x n + y n d (x,, x n := (αx,, αx n, α R טענה V 22 הוא מרחב וקטורי דוגמא נוספת: יהי F שדה כלשהוא V = {(x, x 2, x n, x,, x n F} (x,, x n + (y,, y n := (x + y,, x n + y n d (x,, x n := (αx,, αx n, α F טענה V 23 הוא מרחב וקטורי דוגמא שלישית: F = R, V = {(α, β, γ α + β + γ =, α, β, γ R} (α, β, γ + (α, β 2, γ 2 := (α + α 2, β + β 2, γ + γ 2 τ (α, β, γ := (τα, τβ, τγ, τ R 7 חמש אקסיומות אלו הן ההגדרה לחבורה אבלית 4
טענה 24 גם זהו מרחב וקטורי (מושאר לקורא הנמרץ בהמשך לדוגמא מעלה נניח שמגדירים פעולת כפל ב V בעזרת: (α, β, γ (α 2, β 2, γ 2 = (α α 2, β β 2, γ γ 2 אזי מתקיים גם = 2,α + β + γ = α 2 + β 2 + γ אבל לא נובע מזה כי!α α 2 + β β 2 + γ γ 2 לכן לא מגדירים פעולת כפל דוגמא רביעית: יהיה מרחב וקטורי P מעל שדה F כלשהוא, כאשר P היא קבוצת כל הפולינומים מעל השדה F במשתנה t פולינום במשתנה t מעל שדה F הוא ביטוי מהצורה: P n (t = a n t n + a n t n + + a ; a n,, a F כאשר פעולת החיבור מוגדרת בצורה הבאה: q m (t = b m t m + b m t m + + b, n m, a,, a n F, b,, b m F P n (t + q m (t = a n t n + a m t m + + (a m + b m t m + + (a + b α F, (α p n (t = αa n t n + αa n t n + + αa את פעולת הכפל בסקלר נגדיר בצורה הבאה: טענה P 25 הוא מרחב וקטורי דוגמא חמישית: V = {(x, x 2 x, x 2 R}, F = R (x, x 2 + (y, y 2 := (x + x 2, y + y 2 α (x, x 2 := ( α 2 x, α 2 x 2 ; α R טענה V 26 אינו מרחב וקטורי הוכחה: נראה כי דיסטריביוטיביות לא מתקיימת במקרה הזה (α + β (x, x 2 = ((α + β 2 x, (α + β 2 x 2 β (x, x 2 = ( β 2 x, β 2 x 2 α (x, x 2 = ( α 2 x, α 2 x 2 כלומר אין שיוויון, ולכן האקסיומה לא מתקיימת 5
דוגמא שישית: V = {(x, x 2 x F, x 2 F}, F is, the, field (x, x 2 + (y, y 2 := (x + x 2, y + y 2 α (x, x 2 : = (αx x 2, F ; α R טענה V 27 אינו מרחב וקטורי הוכחה: ניקח,α = F נראה כי F v v 2, F (x, x 2 = (x x 2, (x, x וסיימנו! דוגמא שביעית ואחרונה: V = R + = {x x R, x > }, F = R x y := x y α y := y α ; α R טענה V 28 הוא מרחב וקטורי! הוכחה: נוכיח את כל האקסיומות: חיבור: xy R + נוכל להסיק כי x, y > מכיוון ו x y = xy > x y = xy = yx = y x 2 x (y z = x yz = xyz = xy z = (x y z 3 x V = x V = x = x = x 4 x ( x = x = x 5 כפל: x α R נוכל להסיק כי x >, α ומכיוון ו R,α x = x α F x = x = x 2 α (β x = α x β = x αβ = (αβ x 3 (α + β x = x α+β = x α x β = α x + β x 4 α (x y = α xy = (xy α = x α y α = α x α y 5 22 תלות ואי תלות לינארית הגדרה 29 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F נאמר שקבוצה } k φ K = {v,, v כאשר v,, v k V היא תלויה לינארית, אם קיימים α,, α k F סקלרים כך שקיים לפחות α i אחד 8 עבורו i i k; α, עבורם α v + + α k v k = V 8 כלומר, לפחות אחד מהסקלרים אינו אפס 6
הערה 2 אם הקבוצה K כוללת את הוקטור, V אזי K תלויה לינארית מדוע? נגיד ש =,v אזי ניקח = n,α, α 2 = = α אזי מתקיים α v + + α k v k = V v v 2 v 3 {}}{{}}{{}}{ V = P ; K = t; t ( t; + t 2 דוגמא: 29 חיבור שלהם יתן אפס, ולכן הקבוצה K תלויה לינארית במרחב P הערה 2 נסמן הקבוצה הריקה {φ} היא בלתי תלויה לינארית (בת"ל הגדרה 22 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F קבוצה סופית φ K = {v,, v n } V היא בלתי תלויה לינארית אם מתקיים α =,, α n = α v,, α n v n = V = R 2, F = R v, v 2 = α v + α 2 v2 = V α דוגמא: נניח שהקבוצה } 2 K = { v, v תלויה לינארית, v = α2 α אזי v2 כלומר, שני הוקטורים הללו על אותו הישר נניח שהקבוצה } 2 K = { v, v היא בלתי תלויה לינארית אזי שני הוקטורים לא יהיו על אותו הישר V = R 3, F = R דוגמא: אזי } 3 K, v, v 2, v 3,K = { v, v 2, v תלויה לינארית אזי: α אזי: v + α 2v2 + α 3v3 =, α v = α2 α v2 α3 α v3 ואז הוקטורים v, v 2, v 3 על אותו המישור הגדרה 23 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F וקטור v V נקרא צירוף לינארי של וקטורים v,, v n אם מתקיים: α,, α n F, v = α v + + α n v n 7
משפט 24 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F תהי K V קבוצה סופית, K φ וכמו כן תהי K,K φ,k K קבוצה תלויה לינארית אזי K גם כן תלויה לינארית הוכחה: } k K = {v,, v מתקיים = k,α v + α 2 v 2 + + α k v כאשר לא כל הסקלרים α,, α k הם אפס K = {u,, u n },K K קיימים u,, u k כך שמתקיים: u i = v,, u ik = v k נבחר סקלרים β,, β n כך שמתקיים:,β i = α,, β ik = α k ואחרים שווים לאפס אזי, יתקיים:,β u + + β n u n = V ולא כל β,, β n שווים לאפס, ולכן K תלויה לינארית (לפי ההגדרה משפט 25 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה 9 F תהי v,, v n,{v,, v n } = K V שני התנאים הבאים שקולים: א קבוצה K היא תלויה לינארית ב קיים k n,k,2 כך שוקטור v k הוא צירוף לינארי של k v,, v הוכחה: ב' א': נניח ש k הוא המספר המינימלי שעבורו מתקיים: α v + + α k v k = 2 k n 2 3 k α,, α הם לא כולם אפס כמו כן ידוע כי k α מדוע k?α נניח בשלילה כי = k α אזי מתקיים: α v + + α k v k = k 2 α,, α לא כולם אפס אם k n 2 יש לנו סתירה, שהרי אז k אינו המינימלי המקיים את התנאים 3 לדוגמא: נניח = 2,k α 2 = אזי =, α = v,α v וזה לא יכול להיות לפי ההגדרה שלנו מ ומכך ש k α נובע: v k = α v α k α k α k v k 9 זהו משפט שסביר מאוד שיופיע במבחן לפי יבגני!! מעתה, כשנסמן n וקטורים הכוונה היא לקבוצה סופית 8
(פשוט העברנו אגפים וחילקנו ב α k כלומר vהוא k צירוף לינארי של k v,,, v כפי שרצינו ב' א': מתקיים k k n,v k = β v + + β k v,2 לכן הקבוצה } k {v,, v תלויה לינארית {v, v 2,, v k } K ולכן על פי 24 K היא קבוצה תלויה לינארית 23 בסיס, מימד והקשרים ביניהם 23 בסיס של מרחב וקטורי הגדרה 26 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F קבוצה B תקרא בסיס של המרחב הוקטורי V אם מתקיימים התנאים הבאים: B V 2 B היא קבוצה בלתי תלויה לינארית 3 כל וקטור v V הוא צירוף לינארי של הוקטורים מ B הגדרה 27 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F, ויהי B בסיס למרחב V אם B היא קבוצה סופית (בעל מספר סופי של וקטורים, V יקרא מרחב וקטורי בעל מימד סופי דוגמא: t מרחב הפולינומים במשתנה P P בסיס ל B = {, t, t 2, } B אינה קבוצה סופית, ולכן P אינו מרחב בעל מימד סופי דוגמא נוספת: מרחב וקטורי R},R n = {(x,, x n x R,, x n },,, (,,,, (,, ;, {(,, = B קבוצה בה n וקטורים, 429 ולכן R n הוא מרחב וקטורי בעל מימד סופי טענה 28 יהי V מרחב וקטורי בעל מימד סופי, B בסיס ל V, B = {v,, v n }, v = n k= α iv i, α F אזי v מגדיר את α,, α n באופן יחיד הוכחה: נניח בשלילה כי הטענה אינה נכונה v = n אזי גם i= β iv i, β i F V = n i= α iv i n i= β iv i = n i= (α i b i v i, V = (α β v + + (α n β n v n v,, v n היא קבוצה בלתי תלויה לינארית (כי קבוצה זו היא בסיס אזי = i α i β לכל i n אזי α i = β i לכל i n הערת הכותבת שימו לב שבעצם ההגדרה הזו שקולה לעובדה שבסיס הוא הקבוצה הבלתי תלויה לינארית הגדולה ביותר במרחב הוקטורי כל וקטור שיתווסף אליה יהיה תלוי לינארית באחרים 9
משפט 29 יהי V מרחב וקטורי בעל מימד סופי, U = {u,, u m } V קבוצה בלתי תלויה לינארית במקרה זה ניתן להשלים את U לבסיס ב V, כלומר קיימים,u m+,, u m+p V כך שהקבוצה } m+p {u,, u m, u m+,, u היא בסיס ל V הוכחה: יהי } n {v,, v בסיס במרחב V נגדיר } n S ( = {u,, u m, v,, v קבוצה זו היא תלויה לינארית 2 אזי, קיים i n כך שוקטור v i הוא צירוף לינארי של i 3 u,, u m, v,, v "נזרוק" את הוקטור הבעייתי ונקבל את הקבוצה } n S ( = {u,, u m, v,, v i, v i+, v אם ( S היא בלתי תלויה לינארית, אז המשפט הוכח, 4 וסיימנו אם לא נחזור על התהליך עד ש"ניפטר" מכל הוקטורים התלויים לינארית, עד שנקבל קבוצה בלתי תלויה לינארית למה 22 יהי V מרחב וקטורי בעל מימד סופי, 5 {v,, v n הוא צירוף לינארי של הוקטורים ב { V כל וקטור ב,S = {v,, v n } כמו כן, L,L = {u,, u m } V בלתי תלויה לינארית אזי n m הוכחה: תהי קבוצה } n S (m = {u m, v,, v קבוצה (m S היא תלויה לינארית, כי הרי u m הוא צ"ל של v,, v n אזי, קיים i n כך שוקטור v i הוא צ"ל של קודמיו נגדיר } n S (m = {u m, u m, v,,, v i, v i+,, v וקטור m u הוא צ"ל של וקטורים,v,, v n והוקטור v i הוא צ"ל של הוקטורים הקודמים לו, כלומר i,u m, v,, v לכן m u הוא צ"ל של הוקטורים 6 u m, v,, v i, v i+, v n ומכאן נובע כי ( m S תלויה לינארית כעת נעשה את אותו התהליך עבור ( m S כלומר מהתלות הלינארית אנו מסיקים כי קיים j i, j n כך שהוקטור v j הוא צירוף לינארי של קודמיו נגדיר } n S (m 2 = {u m 2, u m, u m, v,, v i, v i+, v j, v j+,, v מהתהליך שעשינו לפני כן, גם קבוצה זו ת"ל, 2 כל וקטור ב V הוא הרי צירוף לינארי של איברי הבסיס, כולל הוקטורים u,, u m 3 k k m,u אינו צירוף לינארי של קודמיו, כי הקבוצה m} {u,, u היא בלתי תלויה לינארית 4 שהרי כל וקטור במרחב הוא בעצם צירוף לינארי של v,, v n מצד שני v i הוא צירוף לינארי של i u,, u m, v,, v מכאן נובע שכל וקטור במרחב V הוא צירוף לינארי של וקטורים מקבוצה ( S 5 נשים לב שאין זה אומר ש S הוא בסיס, כי לא אמרנו דבר על תלות לינארית בין הוקטורים 6 מדוע? כאמור v i תלוי לינארית בוקטורים i u,m v,, v כלומר, נוכל "ליצור" אותו מהוקטורים הללו, ולכן נוכל להוריד אותו מהקבוצה של הוקטורים היוצרים את m u (איברי S, בצירוף, u m בו כאמור i v תלוי לינארית ההוכחה עד החלק הזה מראה שבעצם נוכל להחליף בין הוקטורים ולקבל קבוצה תלויה לינארית לכן, למרבה ההפתעה, חלק מהמרצים מלמדים את הטענה הזו כ"למת ההחלפה" העובדה כי n m מופיעה כמשפט נפרד ע"י מרצים אלו 2
וכן הלאה נניח בשלילה כי m > n כלומר, אם נמשיך עם התהליך, בסופו של דבר "נעיף" את כל הוקטורים v, i ונשאר עם הקבוצה } m S (k = {u k,, u לפי התהליך שראינו מעלה, זוהי קבוצה ת"ל אבל, הנחת הלמה היא שקבוצה זו בת"ל, לכן הגענו לסתירה! כלומר n, m כפי שרצינו להראות 829 משפט 22 יהי V מרחב וקטורי בעל מימד סופי, ויהי B = {v,, v n } V בסיס ב,V וגם } m B = {u,, u בסיס ב,V אזי,n = m כלומר בכל בסיס ב V ישנו אותו מספר איברים 7 דוגמא: R 2 = {(x, x 2 x, x 2 R} אזי יהיו: B = {(,, (, } B = {(,, (, } שני בסיסים שונים קל לראות כי הוקטורים בלתי תלויים לינארית הוכחה: מכיוון ו B בסיס, כל וקטור במרחב V הוא צירוף לינארי של הוקטורים מקבוצה B הקבוצה B בלתי תלויה לינארית מהלמה 22 שהוכחנו, n m באותה הצורה, מכיוון ו B בסיס, כל וקטור במרחב V הוא צירוף לינארי של הוקטורים מקבוצה B קבוצה B היא בלתי תלויה לינארית מהלמה 22 שהוכחנו, m n ולכן, בסה"כ m, = n כמתבקש 7 גם זה משפט מאוד קריטי שעלול להופיע במבחן! 2
232 מימד של מרחב וקטורי הגדרה 222 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F נגדיר את המימד של המרחב הוקטורי space (dimention of a vector להיות: אם,V = φ אזי = dimv 2 אם V בעל מימד סופי,,dimV = n כאשר n הוא מספר האיברים בבסיס של V 3 אם V אינו בעל מימד סופי, אזי = dimv טענה 223 יהי V מרחב וקטורי, > n dimv = n, U = {u,, u n+ } V אזי הקבוצה U תלויה לינארית הוכחה: נניח בשלילה כי הטענה אינה נכונה, כלומר U בלתי תלויה לינארית לפי המשפט 29 שהוכחנו, ניתן להשלים את U לבסיס B, כל שמספר האיברים ב B יהיה גדול מ + n זוהי סתירה להגדרת המימד! ולכן סיימנו משפט 224 יהי V מרחב וקטורי, dimv = n U = {u,, u n } V אזי שני התנאים הבאים הם שקולים: א U בסיס למרחב הוקטורי V ב U קבוצה בלתי תלויה לינארית הוכחה: א' => ב' לפי ההגדרה של הבסיס ב' => א' נניח בשלילה כי U אינה בסיס אזי לפי משפט 29, ניתן להשלים את U לבסיס עם מספר איברים < n, בסתירה להנחה כי!dimV = n 233 איזומורפיזם הגדרה 225 העתקה בין קבוצה A לקבוצה B, היא פעולה המעבירה איברים של A לאיברים של B 22
הגדרה T 226 היא העתקה חח"ע, אם: T (v T (v 2 v v 2 הגדרה T 227 היא העתקה על W, אם לכל w W קיים v V כך ש w T (v = הגדרה 228 יהיו,V W שני מרחבים וקטורים מעל אותו השדה F T (α v + α 2 v 2 = α T (v + α 2 T (v 2 תהי T העתקה מ V ל,W כלומר V T W אם T היא חח"ע ועל, ובנוסף, עבור כל,v, v 2 V,α, α 2 F אזי,V W יקראו מרחבים איזומורפיים, ו T נקרא איזומורפיזם בין V לבין W משפט 229 יהיו,V W מרחבים וקטוריים איזומורפיים בעלי מימד סופי V בסיס ל B = {v,, v n } בעל מימד סופי, ויהי V כמו כן תהי T העתקה V T W כאשר T איזומורפיזם אזי: W הוא בסיס ל T (B := {T (v,, T (v n } dimv = dimw 2 הוכחה: מספיק להראות שהקבוצה } n T (B = {T (v,, T (v היא בלתי תלויה לינארית ב W מדוע זה יספיק לנו? ניקח w W קיים v V כך שמתקיים (v w = T,v = α v + + α n v n כאמור בסיס, ולכן נוכל לכתוב v,, v n אזי מתקיים:,w = T (α v + + α n v n ומהתכונות של T הביטוי הזה שווה ל ( α T (v + + α n T (v n כלומר כל וקטור w W הוא צ"ל של הוקטורים n,t (v,, T (v וסיימנו W = β T (v + + β n T (v n נניח בשלילה כי הקבוצה } n {T (v,, T (v היא תלויה לינארית W = T (β v + + β n v n? β v + + β n v n = V אזי קיימים β,, β n כאשר לא כולם אפס, כך ש זה אומר שקבוצה } n {v,, v היא תלויה לינארית, אבל זו סתירה כי } n v},, v היא בסיס ב V, בסתירה 29 23
משפט 8 23 יהי V מרחב וקטורי בעל מימד סופי מעל שדה F כמו כן dimv = n אזי V איזומורפי למרחב וקטורי F} F n = {(x,, x n x,, x n הוכחה: ניקח בסיס ל B = {v,, v n } V לכן קיימים α,, α n סקלרים ב F כך ש v = α v + + α n v n נביט בהעתקה n V T F n,t (v = (α,, α נוכיח כי היא איזומופיזם, כלומר נוכיח את שלושת התנאים: T היא העתקה חד חד ערכית: נביט בוקטורים v = α v + + α n v n, u = β v + + β n v n,(α,, α n (β,, β n v u כי וקטור מגדיר איברים של שדה בצירוף לינארי באופן יחיד (V במרחב v = α v + + α n v n אזי קיים (α,, α n F n אם (כי F n היא העתקה על T 2 αv + βu = α (α v + + α n 3 נוכיח כי T מקיימת (u T (αv + βu = αt (v + βt ניקח שוב את הוקטורים,v u כפי שהם מופיעים מעלה כעת = α (α v + a n v n + β (β v + + β n v n = (αα + ββ v + + (αα n + ββ n v n T (αv + βu = (αα + ββ,, αα n + ββ n F n = α (α,, α n + β (β,, β n = αt (v + βt (u ולכן הוכחנו את כל התנאים, ולכן T איזומורפיזם 24 תת מרחבים הגדרה 23 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F Ω V אם לכל ω, ω 2 Ω ולכל α, β F מתקיים: αω + βω 2 Ω (כלומר מקיים סגירות וכפל בסקלר, אזי Ω נקרא תת מרחב של V טענה Ω 232 הוא מרחב וקטורי בעצמו הוכחה: מושארת כתרגיל טענה V Ω 233 הוכחה: נניח ש Ω ω אזי גם ω כעת, V עבור = β :α =, αω + βω = ω + ( ω = V Ω מסגירות לחיבור ולכפל בסקלר דוגמאות: 8 עוד משפט מאוד פופלרי שמופיע בבחינות, על פי יבגני 24
V הוא תת מרחב של המרחב הוקטורי V (של עצמו Ω = {v v = (α,, α n ; α,, α m = ; α,, α n R} Ω (t = {p (t p (t P (t, p (t = p ( t} 2 נניח ש n m נגדיר אזי Ω הוא תת מרחב של R n 3 גם הקבוצה הריקה φ היא תת מרחב F מעל שדה t הוא מרחב וקטורי של כל הפולינומים במשתנה P (t אזי ניתן לבדוק ולמצוא כי (t Ω הא תת מרחב של (t P ω d := {ω d I ω ω d } d I 4 הגדרה 234 יהיו,K I קבוצות ω d K כאשר {ω d } d I נביט ב נגדיר: I = {, 2}, K = R 2 דוגמא לסימונים מעלה: I = [ ] 2,, ω = { (x, y x 2 + y 2 d 2, x, y R } 2 משפט 235 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F,V אוסף תת המרחבים של {ω d } d I יהי כלומר, כל ω,, ω d V הוא תת מרחב של V לכל d I V הוא תת מרחב של Ω = ν I אזי ω d הוכחה: Ω היא תת קבוצה של V מהגדרתה תחילה, נשים לב כי כל תת מרחב וקטורי ω d כולל את V יהיו ω, ω 2 Ω אזי ω, ω 2 שייכים לכל d I, ω d לכן ω d הוא תת מרחב עבור כל d I לכן αω + βω 2 ω d עבור כל,d I, d ולכן,αω + βω 2 Ω וסיימנו (הוכחנו סגירות וכפל בסקלר 529 25
Span 24 הגדרה 236 יהי V מרחב וקטורי מעל F תהי קבוצה כלשהיא Ω, V Ω שכוללים את הקבוצה V אוסף כל תת המרחבים של ω} d } d V ויהי כלומר, d I Ω ω d I אזי, (Ω Span יוגדר להיות ω d V כולל את {ω d } d I הערה 237 האוסף הערה (Ω 238 Span הוא תת מרחב של V הערה 239 ניתן לומר כי (Ω Span הוא תת המרחב המינימלי הכולל את הקבוצה Ω משפט 24 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F, ותהי Ω V קבוצה נגדיר את K להיות קבוצה הבנויה מהצ"ל של הוקטורים מ Ω אזי Span (Ω = K דוגמא: V = R 3, Ω = {(,,, (,, } Span (Ω = {(x, y, x, y R} K = {x (,, + y (,, x, y R} משפט 24 יהי V מרחב וקטורי בעל מימד סופי מעל שדה F ותהי Ω קבוצה ב V תהי K הקבוצה של כל הצירופים הלינארים של וקטורים מ Ω, אזי Span (Ω = K הוכחה: נראה הכלה דו כיוונית: K הינו תת מרחב של V (מקיים סגירות לחיבור וכפל בסקלר כי הוא מכיל את כל הצ"ל, הכולל את הקבוצה Ω כמו כן (Ω Span הוא תת המרחב המינימלי הכולל את Ω, ולכן Span (Ω K מצד שני, (Ω Span הוא תת מרחב הכולל את Ω, לכן (Ω Span מכיל את את הצ"ל הבנויים מוקטורים של הקבוצה 9 Ω לכן Span (Ω K לכן בסה"כ משני הצדדים Span (Ω = K נסמן: 9 מההגדרה של תת מרחב, הוא מקיים סגירות לחיבור וכפל בסקלר כלומר כל הצ"ל נמצאים בו 26
הגדרה 242 d I ω d := {w k I w ω k } W W 2 = {w w W or W ω 2 } משפט 243 יהי V מרחב וקטורי, ויהיו W, W 2 V תתי מרחבים של V אזי כל וקטור מהקבוצה 2 Span (W W ניתן להצגה כ (2 w w ( + כאשר w ( W, w (2 W 2 הוכחה: לפי המשפט הקודם, 2 Span (ωw W היא קבוצה w = α w ( + + α m w ( n + β w (2 + + β k w (2 k w (,, w( m W, w (2 הבנויה מכל הצ"ל של הוקטורים מ W W 2 אם( w Span (W W 2 נוכל לרשום:,כאשר,, w(2 k W 2 W הוא תת מרחב, ולכן: w ( := α w ( + + α n w n W וכנ"ל עבור W2: w (2 := β w (2 + + β k w (2 k W 2 ולכן בסה"כ נוכל לרשום: w = w ( + w (2 ; w ( W, w (2 W 2 W + W 2 = Span (W W 2 סימון: יהיו W, W 2 שני תת מרחבים של V אזיL 242 המשלים של תת מרחב הגדרה 244 יהי V מרחב וקטורי כלשהוא, ויהיו,U W תת מרחבים של V נאמר כי U הוא המשלים של W ב V אם מתקיימים שני התנאים הבאים: U W = V V = Span (U W = U + W 2 27
דוגמאות: V = R 2 = {(x, x 2 x, x 2 R}, W = {(x, x R}, U = {(, y y R} W U = {(, } = { v } V = Span (W U W = {p (t p (t P (t, p (t = p ( t} U = {p (t p (t P (t, p (t = p (t} W U = {} Span (W U = P (t p (t P (t p (t = a 2n t 2n + a 2n t 2n + + a p (t = b 2m t 2m + b 2m 2 t 2m 2 + + b t + b p (t = p (t + p (t p (t = a 2n t 2n + a 2n 2 t 2n 2 + + a p = a 2n t 2n + + a t 2 יהי P (t = V מרחב כל הפולינומים במשתנה t מדוע האחרון מתקיים? כלומר, מעלה הראינו כי כל פולינום מורכב מאלמנט מ W ואלמנט מ U (פונקציה זוגית ואי זוגית כל פולינום שייך ל (,Span U W וכמו כן כל אלמנט של W Span U הוא פולינום מ ( t P אזי, W P (t = Spab (U 243 דיון נוסף בתת מרחבים משפט 245 יהי V מרחב וקטורי בעל מימד סופי, dimv = n יהי W תת מרחב של V אזי W הוא מרחב וקטורי בעל מימד סופי, ומתקיים dimw n הוכחה: אם } V W = { אזי = dimw מההגדרה, וסיימנו אחרת, נניח כי } V W { אזי, קיים וקטור v W, v v נגדיר } W = Span {v אם W = W המשפט הוכח שהרי אז = dimw אם,W W אז קיים,v 2 / W = Sp {v } v 2 W ולכןהקבוצה } 2 {v, v אינה תלויה לינארית 28
נגדיר } 2 W 2 = Span {v, v אם W = W 2 אז המשפט הוכח אם,W W 2 אז קיים,v 3 / W 2 v 2 W ונגדיר },W 3 = Span {v 3, v 2, v כאשר קבוצת הוקטורים היא בת"ל התהליך הזה יסתיים אחרי n צעדים, אחרת נקבל קבוצה } n+ {v, v 2,, v n, v שהיא בלתי תלויה לינארית, וזו סתירה לכך כי המימד של V הוא n 829 משפט 246 יהי V מ"ו בעל מימד סופי,,dimV = n יהי W V תת מרחב של dimw = m,v אזי קיים בסיס ב {w, w 2,, w m, v m+,, v n } V כך שהקבוצה } m {w,, w היא בסיס ב W הוכחה: } m {w,, w היא קבוצה בלתי תלוי הלינארית ב W ממשפט 29, ניתן להרחיב אותו לבסיס של V עולה השאלה: יהי W תת מרחב של V,V בעל מימד סופי, dimv = dimw = n האם יכול להיות ש V? W טענה V = W 247 הוכחה: נניח השלילה כי טענה אינה מתקיימת, כלומר V W אזי קיים וקטור v כך ש,v F וכמו כן v / W נניח שהקבוצה } n {w,, w היא בסיס ב W,{w,, w n } ועל כן אינו תלוי לינארית באיברי הבסיס,W אינו ב v לכן הקבוצה } v {w,, w n, אינה תלויה לינארית במרחב,V וזו סתירה לכך ש n dimv = (יש במרחב קבוצה בת"ל בגודל + n 244 משפט המימדים משפט 248 יהי V מ"ו 2 יהיו,N M תת מרחבים של V בעלי מימד סופי dim (M + N = dimm + dimn dim (M N כאשר לפי ההגדרה N M + N = sp (M 2 לא משנה אם V הוא בעל מימד סופי או אינסופי 29
הוכחה: N M הוא תת מרחב בעל מימד סופי (ממשפט קודם נניח כי הקבוצה } k {z,, z הוא בסיס של N M אזי, על פי משפט 29 קיים בסיס }, k {x,, x m, z,, z לת"מ, 2 M וכמו כן, קיים } k {y,, y n, z,, z בסיס לת"מ N תחילה, נוכיח כי sp {x,, x m } N = F נניח בשלילה כי,sp {x,, x m } N F אזי קיים וקטור } m F v sp {x,, x כך ש: v sp {x,, x m } N M N v M N מהגדרתו,,v = α x + + α m x m כאשר α,, α m הם סקלרים בשדה כך שלא כולם בנוסף מכיוון ו N,v = β z,, +β k z k,v M כאשר β,, β k הם סקלרים בשדה כך שלא כולם נחסר את שני הביטויים ונקבל: V = α x + + α m x m β z β k z k אזי הקבוצה } k {x,, x m, z,, z היא תלויה לינארית, וזו סתירה כי הקבוצה הזו היא בסיס של M כעת, נוכיח כי הקבוצה } n {x,, x m, z,, z k, y,, y היא קבוצה בת"ל נניח כי מתקיים עבור סקלרים כלשהם: V = α x + + α m x m + β z + + β k z k + γ y + + γ n y n נעביר אגפים ונקבל: α x α m x m = β z + + β k z k + γ y + + γ n y n כעת, צד שמאל הוא ב { sp {x,, x m כמו כן, צד ימין הוא ב N לכן, מכיוון והוכחנו כי,sp {x,, x m } N = F נקבל: V = α x + + α m x m β z + + β k z k + γ y + + γ n y n = V לכן, מכיוון ושתי הקבוצות הם צ"ל של בסיסים, נקבל כי = m,α,, α וכמו כן = n β,, β k, γ,, γ כלומר, קיבלנו כי הקבוצה } n {x,, x m, z,, z k, y,, y בת"ל, ומכילה את הבסיסים מ M ו N, ולכן היא בסיס ל ( N sp N + (M = sp M ולכן, לבסוף: dim (M + N = m + k + n = (m + k + (n + k k = dimm + dimn dim (N M 3
25 תרגולים 929 תרגול הגדרה 249 יהי F שדה קבוצה V נקראת מ"ו מעל F אם: א ב V מוגדרת פעולה שנסמנה ב + המקיימת: קשירות, קומוטטיביות, אסוציאטיביות, קיום איבר נייטרלי לחיבור שיסומן V ולכל איבר קיים איבר נגדי ב לכל a F ו v V מוגדר איבר יחיד של V, המסומן ב v a ונקרא המכפלה של a ב v המקיימים: a F, v, u V a (v + u = a u + a v a, b F, v V (a + b v = av + bv 2 F v = v 3 איברי F נקראים סקלרים איברי V נקראים וקטורים לא מוגדר כפל בין וקטורים דוגמאות: נתון שדה F נגדיר: } F F n = {(a,, a n a,, a n איברים אלו נקראים " n יות", ונשים לב כי יש חשיבות לסדר! נגדיר פעולות חיבור וכפל: (a,, a n + (b,, b n = (a + b,, a n + b n a (a,, a n = (aa,, aa n תחילה, קצת על פונקציות: יהיו,A B קבוצות פונקציה f : A B היא התאמה שמתאימה לכל איבר של A איבר יחיד ב B f הטווח של נקראת ו B f, נקראת תחום ההגדרה של A,g : R R x x, 2 g (x = x = 2 x = נסמן ב ( B F un,a את כל הפונקציות מ A ל B כמו כן, g = h אמ"מ (a a A g (a = h נתון שדה F נתונה קבוצה V = F un (A, F,A φ למשל: A = {x, y}, F = Z 2 אזי = (y f (x =, f (y = f 2 (x =, f 2 (y =, f 3 (x = f 3, f 4 =, f 4 (y = F un (A, Z 2 = {f, f 2, f 3, f 4 } 2 בהנתן F,g, h F un (A, 2 כאשר N M N, N M N 3
a A (g + h (a = g (a + h (a F נרצה להגדיר את g + h באופן הבא: נרצה להגדיר את c g באופן הבא: (c g (a = c g (a אזי במקרה שלנו: (f 2 + f 3 (x = f 2 (x + f 3 (x = + = = f 4 (x (f 2 + f 3 (y = f 2 (y + f 3 (y = + = = f 4 (y לא בדקנו שזהו אכן מרחב וקטורי קל להוכיח זאת: a A f (a = 3 יהי L שדה, ויהי F L תת שדה F הוא מרחב וקטורי מעל L החיבור הוא החיבור הרגיל ב L גם הכפל הוא הכפל הרגיל ב L, שמצומצם למכפלות מהצורה a v כאשר a,f v L טענה 25 יהי F שדה, ויהי V מרחב וקטורי מעל F אזי v V, F v = V הוכחה: F v = ( F + F v = F v + F v נחבר (v F לשני האגפים ונקבל: F v + ( ( F v = ( F v F v = ( F v ואז צד שמאל שווה ל, V צד ימין שווה ל F v + V = F V טענה ( F v = v 25 הוכחה: בתרגיל תתי מרחבים הגדרה 252 יהי V מ"ו קבוצה φ U V תקרא תת מרחב של V אם היא מקיימת את האקסיומות של מ"ו מעל F, כאשר הפעולות הן אותן הפעולות של V מסקנה 253 אם U הוא תת מרחב, אז הוא סגור לחיבור ולכפל בסקלר (מאקסיומת הקשירות טענה 254 יהי V מרחב וקטורי U V קבוצה אזי U תת מרחב אם ורק אם U קבוצה לא ריקה, סגורה לחיבור ולכפל בסקלר 32
הוכחה: נשים לב כי הוכחה זו לא מלאה, לקורא החרוץ נשארת המשימה להשלמה כיוון ברור נוכיח את קשירות לחיבור נתונה קומוטטיביות ואסוציאטיביות ישירות מההגדרה קיום איבר נייטרלי לחיבור נבחר u U מסגירות לכפל בסקלר הנתונה לנו: V = F u U כאשר השיוויון השמאלי מהטענה 25 קיום איבר נגדי יהי u U אזי מסגירות לכפל בסקלר ומהטענה 25: u = ( F u U האקסיומות של הכפל מתקיימות מיידית דוגמאות לתתי מרחבים: יהי V מרחב וקטורי {},V הם תתי מרחבים 2 יהי } = z (x, y, z R 3 3x 2y + {, תת מרחב של R 3 3 לא תת מרחב } = z W = { (x, y, z R 3 3x 2y + מדוע? (x, y, z, (x 2, y 2, z 2 W 3x 2y + z =, 3x 2 2y 2 + z 2 = (x, y, z + (x 2, y 2, z 2 n? W 2!(= 2 (x + x 2 2 (y + y 2 + (z + z,3 ולכן אין סגירות לחיבור 4 לא תת מרחב } = 2 + (x (x, y, z R 3 (x { לדוגמא / W (3,, = (2,, + (,, 5 F Uנוכיח = {f F un (A, F b B f (b = },φ B A,V = F un (A, כי זהו תת מרחב! f, f 2 U (f + f 2 (b = f (b + f 2 (b = F + F = F סגירות לחיבור c F, (cf (b = c (f (b = c F = F סגירות לכפל בסקלר W, W 2 תת מרחבים האם W W 2 הוא תת מרחב? כן! הקבוצה אינה ריקה כי האפס בטוח נמצא בה סגירות לחיבור וכפל בסקלר גם מתקיימים (שוב מושאר לקורא החרוץ האם W W 2 הוא תת מרחב? לא! לא בהכרח יש סגירות לחיבור 629 תרגול מרחב הפולינומים יהי F שדה הגדרה [x] 255 F n מרחב הפולינומים ממעלה לכל היותר = n אוסף כל הביטויים הפורמליים מהצורה a n x n + a n x n + + a x + a = a i x i i= כאשר a i F לכל i n שני פולינומים ב [x] F n הם שווים אם כל המקדמים שווים הדרגה/מעלה של פולינום [x] f F n מסומנת ב ( f,deg והיא שווה ל i המקסימלי עבורו i a ( deg = או 33
פעולת החיבור תוגדר כך: a i x i + b i x i = (a i + b i x i i= i= i= פעולת הכפל בסקלר תוגדר כך: ( n c a i x i = ca i x i i= i= איבר האפס: x i i= אם [x] f F n נוכל לחשוב עליו גם כפולינום ב [ x ] F: +n f (x = a i x i i= f (x = x n+ + a n x n + + a x + a דהיינו [x] F n [x] F n+ הגדרה 256 נגדיר את מרחב הפולינומים: F [x] = n=f n [x] בכל פולינומים המקדמים מתאפסים החל ממקום מסויים אם [x] f, g F אז קיימים n, m כך ש [ x ] f F n [x], g F m נניח,n m אז [x],f, g F m ונחבר את f ו g ב [ x ] F m כל פולינום הוא פונקציה מ F ל F הערה 257 אזהרה! שני פולינומים שונים יכולים להגדיר את אותה הפונקציה לדוגמא: F, = Z 2 ונגדיר את שני הפולינומים הבאים: f (x = x 2 + x, g (x = נשים לב כי,f g שונים כפולינומים אבל, הם מגדירים את אותה הפונקציה Z 2 Z 2 Span הגדרה 258 יהי V מ"ו { n } תהי A V תת קבוצה sp (A = i= a i v i n N, a i F, v i A 34
אוסף כל הצירופים הלינאריים (הסופיים של איברים מ A כמו כן, נגדיר: sp (φ = {} נזכיר בקצרה מספר טענות שהוכחו בכיתה: A המכיל את V הוא תת מרחב של sp (A זהו תת מרחב המינימלי המכיל את A, כלומר אם U תת מרחב ו U,A אזי sp (A U sp (v,, v n = sp (av, v 2,, v n טענה 259 יהיו,v,, v n V ויהי {} F/ a, אזי הוכחה: נוכיח הכלה דו כיוונית נתחיל ב : sp (av, v 2,, v n c av + c 2 v 2 + + c n v n אבל בוודאי מתקיים : 22 sp (v, v 2,, v n c av + c 2 v 2 + + c n v n נוכיח : c v + c 2 v 2 + + c n v n sp (v,, v n = c a av + c 2 v 2 + + c n v n וזה בוודאי איבר ב ( sp (av, v 2,, v n טענה 26 יהי Vמ"ו, ויהיו,A B V תת קבוצות אם (B A sp וגם (A B sp אז (B sp (A = sp הוכחה: (B sp (A, sp הם התת מרחבים המינימליים המכילים את,A B בהתאמה sp (A sp (B ולכן A sp (B sp (B sp (A ולכן B sp (A ומשתי ההכלות בסה"כ נקבל שיוויון 22 פשוט נבחר את הסקלר של v להיות c a 35
x 6 5 2 + y? sp 6 5, 5 3 2 4 5 3 4 + z 6x + 5y + z = 5x + 3y = 2x + 4y =, תרגיל: ב,R 3 האם למעשה, אנו שואלים אם קיימים,x,y,z R כך ש: = כלומר קיבלנו את מערכת המשוואות הבאה: נשים לב שכאן אין חשיבות ליחידות הפתרון תלות לינארית הגדרה 26 יהי V מ"ו מעל שדה F יהיו v,, v n V v,, v n יקראו תלויים לינארית (ת"ל אם קיימים סקלרים,a, a n F לא כולם אפס, המקיימים: a i v u = i= משפט 262 יהי V מ"ו, v,, v n V אזי v,, v n ת"ל אמ"מ אחר מהם הוא צירוף לינארי של האחרים משפט 263 יהי V מ"ו,, v,, v n V v,, v n ת"ל אמ"מ אחד מהם הוא צ"ל של קודמיו אם רוצים להוכיח ש v,, v n הם בת"ל, אז מראים: a i v i = a = a 2 = = a n = i= φ היא בת"ל טענה 264 יהי V מ"ו, a F,v,, v n V אזי v,, v n ת"ל אמ"מ av, v 2,, v n ת"ל 36
הוכחה: n v,, v ת"ל, כלומר קיים צ"ל לא טריוויאלי ששוה : c i v i = c a av + c 2 v 2 + + c n v n i= c av + c 2 v 2 + + c n v n = c i עבור c i כאשר n i= c iv i = נשים לב כי: וזהו צ"ל לא טריוויאלי כי אם 2 i אז ברור, ואם = i אז a c a n av, v 2, v ת"ל אזי קיים צ"ל לא טריוויאלי ששווה : וקיים i n כך ש i c זהו גם צ"ל לא טריוויאלי של v,, v n כי: אם i 2 אז ברור, ואם i אז a c תרגיל: ת"ל? 6 5 2, 5 3 4, האם שוב נכתוב משוואה ונשווה אותה ל אם יש למשוואה פתרון לא טריוויאלי אז הם תלויים לינארית אם הפתרון היחיד הוא = z x = y = אז הם בלתי תלויים לינארית 329 תרגול עוד קצת על הנושא הקודם: תרגיל יהי F שדה, V מ"ו מעל F נניח שקיימים תתי מרחבים ממש V,, V m V כך ש m i= V i = V אזי F שדה סופי הוכחה נניח תחילה כי V m i=2 V i נבחר,v V / m i= V i ו v 2 V/V נביט בקבוצה F} T = {v 2 + av a נראה כי מספר האיברים ב F שווה למספר האיברים ב T נתבונן בהעתקה: f : F T f (a = v 2 + av 37
f היא בוודאי על, מהגדרתה נראה ש f חח"ע נניח (b f (a = f אזי: v 2 + av = v 2 + bv av = bv (a b v = v לכן = b a ולכן a = b לכן, מספיק להוכיח כי T סופית T = T V = T ( m i=v i = m i= (T V i T V = φ מדוע? אם w T V אז: w = v 2 + av V v 2 + αv = v v 2 = v αv V והגענו לסתירה נראה שלכל i m 2 מתקיים i T (כאשר V ה משמעו מספר האיברים נניח בשלילה כי w, w 2 T V i אזי: w = v 2 + av V i w 2 = v 2 + bv V i V i w w 2 = (a b v אם a b אז נקבל: v = w + w 2 a b V V i בסתירה להגדרת V קיבלנו כי T סופית, ולכן F סופית, ו m F ללא ההנחה הנוספת ההוכחה באינדוקציה על m: אם = m אין מה להוכיח, כי לא ייתכן גם V V וגם V = V נניח כי > m וכי הטענה הוכחה לטבעיים קטנים יותר אם,V m i=2 V i אזי קבוצות V 2,, V m מקיימות, m i=2 V i = V ולכן נוכל להשתמש בהנחת האינדוקציה לגביהן ואם V m i=2 V i אז הוכחנו כבר 38
3 המטריצה 3 העתקות לינאריות הגדרה 3 יהיו,V W מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה F 2229 A V, A W תקרא העתקה לינארית מ V ל W, אם יתקיימו שני התנאים הבאים : 23 v, v 2 V, v v 2 Av Av 2 v, v 2 V, α, α 2 F A (α v + α 2 v 2 = α Av + α 2 Av 2 דוגמאות: R 2 = {(x, y x R, y R}, V = R 2, W = R 2 A (x, y = (y, x =Av (y, x (y =Av v v 2 2, x 2 (x, y (x 2, y 2 A (α (x, y + α 2 (x 2, y 2 = A (α x + α 2 x 2, α y + α 2 y 2 = (α y + α 2 y 2, α x + α 2 x 2 = α (y, x + α 2 (y 2, x 2 = α A (x, y + α 2 A (x 2, y 2 כלומר, הוכחנו את כל התנאים, ולכן A היא העתקה לינארית A (x, y = ( x 2, y 2 2 נטען כי A אינה העתקה לינארית! נוכיח זאת: A (α (x, y + α 2 (x 2, y 2 = ((α x + α 2 x 2 2, (α y + α 2 y 2 2 = α 2 ( x 2, y 2 + α 2 2 ( x 2 2, y 2 2 + 2α α 2 (x x 2, y y 2 ומצד שני: ( α A (x y + α 2 A (x 2, y 2 = α x 2, y 2 ( + α2 x 2 2, y2 2 קל לראות כי אין שיוויון בין שני הביטויים, ועל כן אין זו העתקה לינארית! 23 הגדרה 32 ישנו גם קריטריון שקול שנלמד בשנים אחרות בכל מקרה, המטרה היא להראות כי סגירות לחיבור וכפל בסקלר נשמרת, וכמו כן כי ההעתקה היא חד ערכית (לא חד חד ערכית שני דברים שונים לגמרי" 39
V = R 2, W = R 2 A (x, y = (e x, e y גם זו אינה העתקה לינארית!,t הוא מרחב כל הפולינומים במשתנה P (t כאשר,V = P (t 4 P (t = { a n t n + a n t n + + a t + a n, a n, a n,, a R } D ( a n t n + a n t n + + a = an nt n + a n (n t n + + a D a j t j = a j jt j j= j= דהיינו, D היא העתקת הגזירה והיא אכן העתקה לינארית נראה דוגמאות: p (t = 2t 2 + 3t +, p 2 (t = 4t + 2 5p (t = t 2 + 5t + 5, 2p 2 (t = 8t + 4 D (5p (t + 2p 2 (t? = 5Dp (t + 2Dp 2 (t D ( t 2 + 23t + 9? = 5 (4t + 3 + 2 4 2t + 23 = 2t + 5 + 8 3 V = W = P (t 5 I a j t j = j= j= a j j + tj+ הפעם נביט בהעתקת האינטגרציה: m I α a j t j + β b k t k, n m : j= k= m I (αa j + βb j t j + j= j=m+ = a m j αa j + βb j j + tj+ = t j+ + j + j= j= ( m αi a j t j + βi b k t k = j= k= αa j t j = I A j t j ; A j = j= j= j=m+ αa j j + tj+ + αa j j + tj+ m k= βb k k + tk+ זוהי גם העתקה לינארית! נוכיח: { αa j + βb j αa j j m m < j n וקיבלנו שיוויון, כמתבקש 6 V = R 2, W = R 2 A (x, y = (x + y, x y בהגדרות אלה, A היא העתקה לינארית 4
hom F (V, W 3 הגדרה 33 יהיו,V W מרחבים וקטורים מעל אותו שדה F אזי קבוצת כל ההעתקות הלינאריות ממ"ו V למ"ו W יסומנו ב ( hom F,V W משפט 34 יהיו W A, B hom F (V, נגדיר את הפעולות הבאות על W :hom F,V v V (A + B v := Av + Bv v V ( A v := Av α F, V (αa v = αav V v V, ˆ v = w עם הפעולות הללו, W hom F,V מהווה מרחב וקטורי מעל F הוכחה: נבדוק שאם W :A + B hom F (V, W A, B hom F (V, (A + B (α v + α 2 v 2 = A (α v + α 2 v 2 + B (α v + α 2 v 2 = α Av + α 2 Av 2 + α Bv + α 2 Bv 2 = α (Av + Bv + α 2 (Av 2 + Bv 2 = α (A + B v + α 2 (A + B v 2 הוכחנו סגירות לחיבור ולכפל בסקלר, ולכן A + B היא העתקה לינארית כעת: (A + B v (A + B v 2 Av + Bv 2 Av 2 + Bv 2? v v 2 נניח שזה לא נכון, אזי: v = v 2 Av = Av 2, Bv = Bv 2 Av + Bv = Av 2 + Bv 2 את שאר האקסיומות ניתן להוכיח בקלות 32 המטריצה הגדרות בסיסיות הגדרה 35 יהיו,V W מ"ו מעל שדה F בעלי מימד סופי, ונסמן dimv = n, dimw = m כמו כן, נבחר } n {v,, v בסיס ב,V ו { {w,, w m בסיס ב W תהי W A hom F (V, Av = a w + a 2 w 2 + + a m w m Av 2 = a 2 w + a 22 w 2 + + a 2m w m Av n = a n w + a n2 w 2 + + a nm w m 4
[A] = Av = a w + a 2 w 2 + + a m w m Av 2 = a 2 w + a 22 w 2 + + a 2m w m Av n = a n w + a n2 w 2 + + a nm w m כאשר i n, j m, a ij F אזי אוסף זה יקרא המטריצה של העתקה A דוגמאות: V = R 2 = W A (x, y = (y, x Av = A (, = (, = (, + (, Av 2 = A (, = (, = (, + (, ( [A] = ונבחר את הבסיסים שלהם להיות {(,, (,} 2 V = R 2 = W A (x, y = (x + y, x y A (, = ( +, = (, = (, + (, A (, = ( +, = (, = (, (, ( [A] = 2529 42
n V = P n (t = p (t p (t = W = P n (t {, t, t 2,, t n} basis in V {, t, t 2,, t n } basis in W 3 מרחב הפולינומים והעתקת הגזירה: α j t j, α j R j= = D = + t + t 2 + + t n = Dt = + t + + t n 2t = Dt 2 = + 2t + t 2 + + t n nt n = Dt n = + t + t 2 + + nt n 2 [D] = n V = P n (t, W = P n+ (t ( n I d k t k d k = k + tk+ k= k= {, t, t 2,, t n} basis in V {, t, t 2,, t n+} basis in W t = I = + t + t 2 + + t n+ t 2 2 = It = + t + 2 t2 + + t n+ כאשר יש + n שורות ו n עמודות 4 מרחב הפולינומים והעתקת האינטגרציה: t 3 3 = It2 = + t + t 2 + 3 t3 + + t n+ t n+ n + = Itn = + t + t 2 + + n + tn+ 2 [I] = 3 n+ כאשר מספר השורות הוא + n ומספר עמודות הוא + 2 n 43
M n m (F = הגדרה 36 נרצה להפוך כל מטריצות מסוג זה: a a m, a ij F a n a nm למרחב וקטורי אזי, ניקח מטריצות ונגדיר עליהן פעולות חיבור וכפל בסקלר: [A], [B] M n m (F [A] = (a ij i n, [B] = (b ij j m a + b a 2 + b 2 a m + b m a 2 + b 2 a 22 + b 22 a 2m + b 2m [A] + [B] = a n + b n a n2 + b n2 a nm + b nm αa αa 2 αa m αa 2 αa 22 αa 2m α F, α [A] = αa n αa n2 αa nm [] = משפט (F 37 M n m מרחב וקטורי, וכמו כן dim (M n m (F = n m הוכחה: החלק הראשון של המשפט הוא פשוט הוכחת אקסיומות המ"ו i n, j m, e ij = הושאר כתרגיל (לא מסובך נוכיח את החלק השני: נגדיר: α ij F, i= j= כלומר, הכל אפסים מלבד במקום ה ij, בו יש אחד (נקרא גם בסיס שבלייה α m α m α ij e ij = α n α nm M n m היא בסיס ב ( F {e ij } i n, j m נוכיח כי הקבוצה = α ij ; i, j משפט 38 יהיו,V W מרחבים וקטוריים מעל F dimv = n, dimw = m 44
µ (αa + βb = αµ (A + βµ (B Av = Ãv = נגדיר העתקה,Hom F (V, W µ M n m (F :µ A Hom F (V, W, µ (A := [A] אזי, µ היא איזומורפיזם, כלומר היא חח"ע ועל הוכחה: נוכיח תחילה כי ההעתקה היא חח"ע: נניח בשלילה כי קיימים, Aכך Ã ש A, Ã [Ã] אבל = [A] יהי } n {v,, v בסיס ב,V ו { {w,, w m בסיס ב W v = n אזי: ניקח v, V אזי הוא צ"ל של איברים הבסיס =j α jv j α j Av j = j= α j Ãv j = j= j= j= α j α j m k= m k= a jk w k a jk w k Av = Ãv, w V A = Ã j= Av k = כפי שרצינו כעת, נוכיח כי ההעתקה היא על: תהי (F [A] M n m נגדיר העתקה A ע"י התנאי: m a kj w j j= ניתן לבדוק כי כל A כנ"ל היא העתקה לינארית, מושאר כתרגיל [A] = (a kj, [B] = (b kj m m m (αa + βb v k = αav k + βbv k = α a kj w j + β b kj w j = (αa kj + βb kj w j j= j= כעת, נוכיח כי µ היא לינארית: [αa + βb] = (αa kj + βb kj = αa + βb αa m + βb m a b αa m b b m = α + β αa n + βb n αa nm + βb nm a n a nm b n b nm = α [A] + β [B] כלומר, הוכחנו כי µ היא לינארית מסקנה ישירה מכך היא כי µ היא על, כנדרש (כי המימדים זהים dim (Hom F (V, W = n m מסקנה 39 45
33 גרעין ודמות של העתקות לינאריות Image, Kernal תהי W A Hom F (V, אזי הגדרה 3 הדמות של ההעתקה לינארית יוגדר להיות: ImA = {w w W, Av = w v V } KerA = {v v V, Av = W } הגדרה 3 הגרעיון של ההעתקה לינארית יוגדר להיות: דוגמא: V = P 5 (t = { a 5 t 5 + a 4 t 4 + + a t + a, a 5,, a R } W = P 5 (t D dif f rention operator Im (D = P 4 (t Ker (D = the set of constant polynomials כלומר, העתקת הגזירה הקרנל יהיה כל הפולינומים הקבועים (שהרי גזירה של פולינום קבוע תהיה אלו בעצם מספרים קבועים דוגמא נוספת: V = R 2 = W A (x, y = (x + y, x y ImA = R 2 KerA = {(x, y x + y =, x y = } = {(, } 2929 משפט 32 תהי A העתקה לינארית ממ"ו V למ"ו W, כאשר: ImA = {w w W, w = Av} KerA = {v a V, Av = W } אזי, ImA הוא תת מרחב של W, וכמו כן, KerA הוא תת מרחב של V הוכחה: נזכור כי על מנת להוכיח כי קבוצה היא תת מרחב, עלינו להראות כי הקבוצה אינה ריקה, וכמו כן כי מתקיימת סגירות לחיבור ולכפל בסקלר כעת: 46
,(A V = W (כי מתקיים W ImA לכן הקבוצה ImA אינה ריקה בנוסף, w, w 2 ImA w = Av, w 2 = Av 2 α w + α 2 w 2 = α Av + α 2 Av 2 = A (a v + α 2 v 2 כאשר המעבר האחרון נובע מכך ש A היא העתקה לינארית α v + α 2 v 2 = Av α w + α 2 w 2 ImA כלומר, קיים וקטור v = α v + α 2 v 2 V כך ש: ולכן ImA הוא תת מרחב של W נוכיח כי KerA הוא תת מרחב של V: תחילה, נשים לב כי KerA אינה קבוצה ריקה, כי (A V = W V KerA כעת, ניקח,v, v 2 KerA אזי: A (α v + α 2 v 2 = α Av + α 2 Av 2 = α W + α 2 W W α v + α 2 v 2 KerA וזה הכל משפט 33 יהיו,V W מרחבים וקטורים מעל F, וכמו כן A : V A W העתקה לינארית אזי שני התנאים הבאים הם שקולים: א } V KerA = { ב העתקה A היא העתקה חד חד ערכית הוכחה: א' ב': נרצה להוכיח:? v, v 2 V, Av = Av 2 v = v 2 אזי, ניקח שני וקטורים כלשהם המקיימים A (v v 2 = W לכן: v v 2 KerA v v 2 = V v = v 2 ב' א': נניח כי A העתקה חד חד ערכית אזי, אם Av = W, A V = W v = V v KerA v = V KerA = { V } וזהו 47
משפט 34 יהיו,V W מרחבים וקטורים מעל F, וכמו כן A : V A W העתקה לינארית,KerA = { V } וכמו כן {v,, v n } V קבוצה בלתי תלויה לינארית אזי הקבוצה } n {Av,, Av גם היא בלתי תלויה לינארית α Av + α 2 Av 2 + + α n Av n = W A (α v + α 2 v 2 + + α n v n = W α v + α 2 v 2 + + α n v n KerA α v + α 2 v 2 + + α n v n = V α = α 2 = = α n = הוכחה: וזהו 33 משפט המימדים 2 משפט 24 35 יהיו,V W מרחבים וקטורים מעל F,,dimV = n, n וכמו כן A : V A W העתקה לינארית אזי, ImA, KerA הם מרחבים וקטורים בעלי מימד סופי יתרה מזו, dimv = dimkera + dimima הוכחה: ממשפט קודם, V, הוא תת מרחב של KerA שהוא מ"ו בעל מימד n, ולכן dimkera n נבחר בסיס ל KerA } m {v,, v אזי ממשפט קודם,29 ניתן להשלים אותו לבסיס } n {v,, v m v m+,, v של V w ImA w = Av, v = α i v i i= מספיק להראות כי הקבוצה } n {Av m+,, Av היא בסיס של ImA ( n ( m w = A α i v i = A α i v i + = i= m α i Av i + i= } {{ } = W i=m+ i= α i Av i i=m+ α i v i 24 עוד משפט בעל סיכוי גבוה להופיע במבחן 48
אם,w ImA אזי w הוא צ"ל של וקטורי Av m+, A m+2,, Av n נביט ב { {Av m+, Av m+2, Av n נוכיח כי היא בת"ל β m+ Av m+ + β m+2 Av m+2 + + β n Av n = W A (β m+ v m+ + + β n v n = W β m+ v m+ + + β n v n KerA לכן נוכל לבטא את האיבר הזה כצ"ל של איברי הבסיס המקורי של :KerA β m+ v m+ + + β n v n = γ v + + γ m v m β m+ v m+ + + β n v n γ v γ m v m = V β m+ = = β n = γ = = γ m = כאשר הגרירה אחרונה נובעת מכך שהקבוצה היא בת"ל (צ"ל של איברי הבסיס של V, לכן הקבוצה } n {Av m+,, Av היא בת"ל, והנוסחא נכונה מסקנה 36 יהי V מ"ו בכל מימד סופי, וכמו כן A : V A W העתקה לינארית אזי שני התנאים הבאים שקולים: א A היא חד חד ערכית ב dimima = dimv דוגמאות: A : R 3 R A (x, y, z = 3x + 2y + z נשאל מהו?dimKerA dimima לכם =,ImA {} וכמו כן,R הוא תת מרחב של ImA dimr 3 = 3 3 = dimima + dimkera dimkera = 2 2 A : R 3 R 2 P rojection OperatorA (x, y, z = (x, y V = R 3, dimv = 3 KerA = {(,, z z R} dimkera = dimima = 2 2229 49
34 כפל (הרכבה של העתקות לינאריות הגדרה 37 יהיו, Vמ"ו,W U מעל שדה F, ויהיו V B W A U העתקות לינאריות אזי ההעתקה C = A B V C U תוגדר כך: Cv = (A B v = A (Bv ותקרא כפל של של ההעתקות הלינאריות A ו B משפט C 38 היא העתקה לינארית הוכחה: נוכיח את האקסיומות: C (α v + α 2 v 2 = A B (α v + α 2 v 2 = A (B (α v + α 2 v 2 = A (α Bv + α 2 Bv 2 = α A (Bv + α 2 A (Bv 2 = α Cv + α 2 Cv 2 (A B v (A B v 2? v v 2 (A B v (A B v 2 A (Bv A (Bv 2 A Linear Bv Bv 2 B Linear v v 2 משפט 39 יהיו,V,W U מ"ו מעל שדה F, וכמו כן dimv = m; dimw = n; dimu = k בנוסף ניקח } n {v,, v בסיס ל,V,W בסיס ל {w,, w m } בסיס ל U {u,, u k } יהיו V B W A U העתקות לינאריות, ו U C = A B V C 5
Bv = b w + b 2 w 2 + + b n w m Bv 2 = b 2 w + b 22 w 2 + + b n2 w m Bv n = b n w + b 2n w 2 + + b nm w m b b 2 b n [B] = m n b m b m2 b mn Aw = a u + a 2 u 2 + + a k u k Aw 2 = a 2 u + a 22 u 2 + + a k2 u k Aw m = a m u + a 2m u 2 + + a km u k a a 2 a m [A] = k m a k a k2 b km Cv = c u + c 2 u 2 + + c k u k Cv 2 = c 2 u + c 22 u 2 + + c k2 u k Cv n = c n u + c 2n u 2 + + c kn u k c c 2 c n [C] = k n c k c k2 c kn אזי, מתקיים: m c ij = a il b lj i k, j n l= הוכחה: k cv j = c ij u i i= m m m cv j = A (Bv j = A b lj w l = b lj Aw l = k c ij u i = l= i= i= l= ( k m a il b ij u i b lj l= l= i= k a il u i 5
[A] = [B] = a a m a 2 a 2m k m a k a km b b n a 2 b 2n m n a m b mn הגדרה 32 מטריצה [ C ]מסדר k n נקראת כפל של A ו B, כלומר [B],[C] = [A] אם מתקיים m c ij = a il b lj i k j n l= 34 חוק האסוציאטיביות עבור מטריצות משפט 32 תהי [A] מטריצה מסדר,n m,m k מטריצה מסדר [B],k r מטריצה מסדר [C] כולן מעל אותו שדה F אזי, [A] ([B] [C] = ([A] [B] [C] [A] = (a ij, [B] = (b js, [C] = (c sl m [A] ([B] [C] = j= a ij } {{ } ([A]([B][C] il k k m b js c sl = a ij b js s= }{{} s= j= }{{} ([B][C] jl ([A][B] is c sl הוכחה: 6229 35 העתקה הופכית הגדרה 322 תהי A : V W העתקה לינארית העתקה לינארית S תקרא הופכית להעתקה A, 52
אם מתקיימים התנאים הבאים: V A W S V דהיינו S A = I V (כאשר I V היא העתקת הזהות כלומר ( v V I V v = v W S V A W 2 דהיינו A S = I W הגדרה 323 העתקה A תקרא הפיכה, אם קיימת לה העתקה הופכית משפט 324 תהי V A W העתקה לינארית נניח כ S,R הן העתקות הפכיות ל A, דהיינו: V A W S V, A S = I V W S V A V, S A = I W V A W R V, A R = I V W R V A V, R A = I W אזי S, = R דהיינו ההעתקה ההופכית היא יחידה הוכחה: R = R I W = R (A S = (R A S = I V S = S משפט 25 325 תהי A העתקה לינארית ממרחב Vלמרחב W, כאשר,V W מ"ו מעל אותו השדה F אזי, שני התנאים הבאים שקולים: א ההעתקה A הפיכה ב A הוא איזומורפיזם הוכחה: א' => ב' V A W S V, A S = I V ; W S V A V, S A = I W נוכיח כי ההעתקה חח"ע: יהיו שני וקטורים,v, v 2 V עבורם Av = Av 2 25 עוד משפט לבחינה 53
אזי, מתקיים 2 S (Av = S (Av אבל,S A = I V ולכן,v = v 2 כלומר, A היא חח"ע כעת נוכיח כי היא על: יהי w W אזי: A (Sw = (A S w = I W w = w כלומר, קיים וקטור v = Sw V כך שמתקיים,Av = w ולכן ההעתקה היא על, וסיימנו ב' => א',V A W כאשר העתקה A היא איזומורפיזם אזי היא חח"ע ועל יהי w W מכיוון וA על קיים v V כך ש w Av = כמו כן, ניתן לומר כי v הוא יחיד (מחד חד ערכיות נגדיר העתקה W S V בצורה הבאה: Sw = v Av = w = A (Sw A S = I W כמו כן, Av = w Sw = v = S (Av S A = I V כעת, נבדוק אם ההעתקה לינארית: w, w 2 W, Av = w, Av 2 = w 2 A (α v + α 2 v 2 = α Av + α 2 Av 2 S (α w + α 2 w 2 = S A (α v + α 2 v 2 = α v + α 2 v 2 = α Sw + α 2 Sw 2 ולכן ההעתקה לינארית, וסיימנו 54