יחידתלימודבנושא " שלמשולשישרזווית" http://www.hebrewkhan.org/lesson/533 מעט היסטוריה הפרושהמילולישלהמילה "" הוא "מדידתמשולשים". משולש "טריגונו" מיוונית - "מטריה"- מיוונית - מדידה, ענףשלהמתמטיקההעוסק, ביןהיתר, בחקר משולשים ובקשרשבין הצלעותוהזוויות שלהם. במשולשישרזווית קיימתהתאמהבין גודלזווית ליחסים השונים ביןאורכיהצלעותשלהמשולש, לדוגמההיחסביןשניהניצביםאוביןאחדהניצביםליתר. התאמותאלו הן חלקממגווןהפונקציותטריגונומטריות אשריורחבובהמשךהלימודים. ההיסטוריהשל, כמדעשחוקריחסיםביןזוויותוצלעותבמשולשיםובצורות גיאומטריותאחרות, היאבתיותרמאלפייםשנה. ברובהמקרים, איאפשרלמצואאת היחסיםהאלהבפעולותאלגבריותרגילות, ולכןצריךהיהלפתחכלימתמטיחדשהמאפשר לבצע חישוביםשלצלעותוזוויותבצורותגיאומטריותשונות. ראשיתהשלהבמאהה- 3 לפניהספירהכענףשלהגיאומטריה. תכונותשל יחסיםביןחלקימשולשהיוידועות כברבמצריםהעתיקה, אךהרעיוןשלמדידתהזוויות הומצא מאוחריותר, עלידיהיווניםהקדמונים, ולכןמקובללראותאתתחילת הבתקופה זו. זוהיתקופתושלאויקלידס, המוכרלנו, מהגיאומטריה, וארכימדס, המוכרלנו, מחוקיהפיסיקה. היסטוריונים מניחים ש נוצרה על ידי אסטרונומים קדומים, ומעט מאוחר יותר התחילו להשתמש בה גם למדידת אדמה וגם באדריכלות. הסבר לוגי כללי של היחסים הטריגונומטריים הופיע בגיאומטריה יוונית עתיקה, אך המתמטיקאים היווניים לא התייחסו ל כחלק עצמאי של המתמטיקה אלא ראו בה חלק מאסטרונומיה. - עמוד 1

התקדמות מיוחדת של קשורה לאסטרונום אריסטרכוס מסמוס (המאה השלישית לפנה"ס). בספרו "על מרחקים של השמש והירח" הוא כתב על קביעת מרחקים בין גופים בחלל. אריסטרכוס ערך את חישוביו באמצעות יחסים של צלעות במשולש ישר זווית עם ערך ידוע של אחת הצלעות. אריסטרכוס התייחס למשולש ישר זווית שנוצר על ידי השמש, הירח וכדור הארץ (ראו איור). הוארצהלחשבאתאורךהיתר (המרחקביןכדורהארץלשמש) באמצעותהניצב (המרחק ביןכדורהארץלירח) וערךידועשלהזוויתהחדה (87 ). ברורשבאמצעיםגיאומטריים רגיליםאיןאפשרותלחשבבאופןמדויקאתאורךהיתר. עלפיאריסטרכוס, המרחקבין כדורהארץוהשמשגדולפי 20 ממרחקושלכדורהארץמהירח. חישוביולאהיומדוייקים רקבגללטעותבמדידתהזווית. העובדההידועההיוםהיאשהשמשמרוחקתמכדורהארץ פי 400 ממרחקושלכדורהארץמהירח. למרותהטעות, עבודתושלאריסטרכוסהייתה פורצתדרךבתחוםהמדע. ההישג הבולט ביותר של המתמטיקאים היווניים היה פתרון בעיות חישוב של כל הצלעות וכל הזוויות במשולשים אם ידועים שלוש הצלעות, או אם ידועים שתי צלעות ואחת הזוויות או אם ידועים צלע אחת ושתי זוויות. הקיבלהתנופתהתפתחותבמאהה- 16 כשהספניםהשתמשובמדידות הזוויותלכוכביםהשונים, עלמנתלקבועמסלולישיט. ליישומיםמרוביםבמדעיםהשונים, בראשובראשונהבפיסיקה (מכניקה, אופטיקהועוד), בכימיהובקריסטלוגרפיה, ובמדעיםאחרים. חשיבותהמרובהבמיוחד בתחוםהמדידותהטופוגרפיות ובימינומשתמשיםבכמעטבכלתחוםמדעי, בהנדסה, רפואהובתחומיםנוספים. - עמוד 2

(דיון).1.2.3 מה תוכלו לומר על כל המשולשים ישרי הזווית בעלי זווית חדה שגודלה ידוע, למשל?35 מהידועעלזוויותהמשולשים? מהידוע עלצלעותהמשולשים? מהידועעלהיחסיםביןצלעותהמשולשים? שרטטו שני משולשים ישרי זווית הדומים למשולש הנתון: מה משותף לכל המשולשים הללו? - עמוד 3

ג. שרטטו שני משולשים ישרי זווית הדומים למשולש הנתון: מה משותף לכל המשולשים הללו? מסקנה: בכל המשולשים ישרי הזווית היחס בין הצלעות הוא קבוע כשהמשולשים הם בעלי אותה זווית כי הם משולשים דומים. במשולש ישר זווית קיימת התאמה בין גודל הזווית לבין היחסים הטריגונומטריים: היחס בין הניצב שמול הזווית לבין היתר היחס בין הניצב שליד הזווית לבין היתר היחס בין הניצב שמול הזווית לבין הניצב שליד הזווית נכוןלהתבונןבשלושתהיחסיםשביןהצלעותהמתאימותלאותההזווית. ההתאמה ביןגודל הזוויתלביןהיחסיםהטריגונומטריים היאהסיבה. - עמוד 4

D תרגול חזרהעלדמיוןמשולשים הסתכלובשרטוטשלפניכם: הקטעים ו- DE מאונכיםלקטעE. נוצרוכאןשנימשולשיםישריזווית הדומיםזהלזה. DE.1 α E מדוע המשולשים דומים? רשמו את זוגות הזוויות השוות זו לזו. ג. רשמו זוגות צלעות מתאימות זו לזו. 4 ס"מ =. 3 ס"מ =, ד. נתוןכי: 10 ס"מ=,D 1 ח. שבו את אורך הקטע: 2. חשבו את אורכי הקטעים DE,E (1), (2) DE D ה. חשבואת היחסים הבאים: הסבירו את התוצאה שקבלתם..E נעלהאנךלצלע הנתוניםמשאלה 1 תקפיםלשאלותזו: הנקודה P, אמצעהקטע D.K בנקודה החותךאתהצלעD E K.2 α (3) P KP K הוכיחוכיהמשולש הםמשולשיםדומים. והמשולש KP ג. חשבואת ארכיהקטעיםP KP, וK ואתהיחס: האם קבלתם E =? נמקו. DE D = KP K - עמוד 5

השוויוןביחסיםשקבלנונובע מגודלהזוויתהחדהבמשולשישרזווית, כי לכלזוויתחדה במשולשישרזוויתמתאיםיחסקבוע ביןהניצבמולהזוויתוהיתר. נהוגלסמןיחסזהב- sinα (סינוסאלפא, כאשראלפאהוא גודל הזווית). a c = sinα גודל הזווית α 1 = 2 3 = 2 3 = 5 0.6 0.5 0.7071 0.8660 36.87 30 45 60 הטבלהמתארתקשרביןשנימשתנים (הזוויתוהסינוסשלהזווית). לכלערךשלהזוויתאנו יכוליםלהתאים אתהערךשלסינוסהזווית. כדילעשותזאת, נשתמשבמחשבון מדעי. במחשבוןניתןלמצואאתהערךשלsinα עבורכלהזוויות 90 α.0.3 השלימואתהטבלהבאמצעותהמחשבון: גודל הזווית α a c = sinα גודל הזווית α למציאתערךהזווית ישלהקישבמחשבון עלהמקש -1 sin a c = sinα 0 25 a c 0.25 0.50 50 75 α 0.75 0.9 80 90 - עמוד 6

חישוביצלעות וזוויות במשולשים בעיותחישוב נתוןמשולשישרזווית ( = 90 ) אורכושלהיתר 12 ס"מוזווית בת 40. חשבואת אורך הצלע..4 הצעה לפתרון: sin = = sin חישוב: ולכן: נציבאתהערכיםהמתאימיםלתוךהביטויונחשבבעזרתהמחשבון: = 12 7.71 ס"מ= sin 40 = 12 sin40 = 7.71 5. חשבואתאורכהשלהצלע בכלאחדמהמשולשים ישריהזווית הבאים: 10 ס"מ X 18 ס"מ 40 25 68 25 ס"מ ד. ג. 70 18 ס"מ - עמוד 7

משרד החינוך נתוןמשולשישרזווית ( = 90 ) אורכו של הניצב הוא 12 ס"מוזווית בת 40. חשבואת אורךהיתר..6 הצעה לפתרון: sin = sin = = sin חישוב: ולכן: נציבאתהערכיםהמתאימיםלתוךהביטויונחשבבעזרתהמחשבון: 12 = = 18.67 sin40 7. חשבואתאורכהשלהצלע בכלאחדמהמשולשיםישריהזוויתהבאים: 18 ס"מ X 18 ס"מ 42 35 73 ג. 65 ד. 10 ס"מ 12 ס"מ - עמוד 8

8.נתוןמשולשישרזווית ( = 90 ) אורכושלהיתר הוא 15 ס"מוזווית בת 65. חשבו את אורךהניצב. הצעה לפתרון: בבעיהזולאנתוןלנו הניצב שמולהזווית. נשתמש, אםכך, בתכונהשסכוםהזוויות במשולשהוא 180 ונחשבאתגודלהשלזווית (שמולהצלע ). = 25 65 ) + (90 180 = ואזנוכללהמשיךבחישוב, כמובתרגיל.1 sin = = sin חישוב: ולכן: נציבאתהערכיםהמתאימיםלתוךהביטויונחשבבעזרתהמחשבון: = 15 sin25 = 6.34 9.חשבואתאורכהשלהצלע בכלאחדמהמשולשיםישריהזוויתהבאים: 15 ס"מ X 20 ס"מ 42 35 73 ג. 65 ד. 23 ס"מ 12 ס"מ - עמוד 9

10.במשולשישרזווית נתון: 22 ס"מ= = 90, = 35, חשבואת:. ו- ג. אורכי הניצבים שטח המשולש היקף המשולש. 11.במשולשישרזווית נתון: 15 ס"מ= = 90, = 35, חשבואת: אורך היתר אורך הניצב ג. היקף המשולש ד. שטח המשולש * 12.נתוןמשולששווהשוקיים ( = ) אורךהשוקשלהמשולש 12 ס"מ. זוויותהבסיס בנות 50 כלאחת. חשבואת: גובההמשולש.(D) אורך הבסיסשלהמשולש.() ג. שטחהמשולש D הדרכה: במשולששווהשוקייםהגובהלבסיסהואגם תיכון לבסיס. - עמוד 10

13.חשבו את גודל הזוויתהמסומנתב- 1 בכלאחדמהמשולשיםהבאים : 20 ס"מ X 25 ס"מ 18 ס"מ 35 ס"מ 12 ס"מ 20 ס"מ *ג. *ד. 32 ס"מ 12 ס"מ 14.חשבו את גודל הזווית המסומנתב- במשולשיםהבאים: (היעזרובמשפטפיתגורס) 20 ס"מ 18 ס"מ 15 ס"מ 25 ס"מ X 12 ס"מ ג. ד. 32 ס"מ 20 ס"מ 12 ס"מ 1 לפי הצורך ניתן להיעזר במשפט פיתגורס או בסכום זוויות במשולש - עמוד 11

15 מ. הצמרתשלעץבגובה 12 מטרמתחוחבלעדלקרקעבאורך 15 מטריםוקבעואותו בעזרתיתדבאדמה. באיזה מרחק מהעץ קבעו את היתד? מהיהזוויתשביןהקרקע לחבל? 16.סולםבאורך 8 מטרים נשעןעלקיר (ראואיור). המרחק ביןהקירלסולםהוא 2 מטרים. לאיזה גובה הגיע הסולם (מה אורך?( מהי הזווית שנוצרה בין הסולם לבין הקיר? קיר סולם 2 מטר * 17.במשולששווה צלעות אורךהתיכוןהוא 8 ס"מ. חשבואתאורךהצלעשלהמשולש חשבואתהיקףהמשולש ג. מהו אורך הגובה של המשולש? נמקו. ד. חשבואתשטחהמשולש. * 18.במשולשישרזווית ( = 90 ) D הואהגובהליתר. נתון: 25 ס"מ= D ו- 30 ס"מ=. D ג. חשבואתהזוויתD חשבואתאורךהניצב חשבואתשטחהמשולש ד. חשבואתאורךהיתר. - עמוד 12

19.במלבןאורכיהצלעותהן 12 ס"מו- 8 ס"מ. חשבואתאורךהאלכסוןשלהמלבן. חשבואתהזוויותשהאלכסוןיוצרעםהצלעותשלהמלבן. * 20.שטחושלמשולשקהה-זווית הוא 10.5 סמ"ר. נתון: 7 ס"מ= 5 ס"מ=. חשבו את הגובה ל- D חשבואתגודלהשלזווית ו- 21.נתוןהישר + 6 2.y = הן נקודות החיתוך של הישר עם הצירים. מהאורכושלהקטע? מה גודלהשלהזוויתביןהישרוביןהכיווןהחיובישלצירה- ( O) - עמוד 13

.22 נתוניםהישרים: + 5 y = ו- + 1.y = הישרים מאונכים זה לזה. רשמו את כל המשולשים הדומים שנוצרו בעזרת הישרים במערכת הצירים. נמקו את תשובתכם..D ו- חשבו את אורכי הקטעים קוסינוס הזווית α במשולשישרהזווית היתר. sinα= sinβ = הגדרנואתסינוס הזווית כיחסביןהניצבשמולהזוויתלבין קוסינוס הזווית הוא היחס בין הניצב שליד הזווית לבין היתר. β cosα= cosβ= - עמוד 14

בכלמשולשישר זוויתנוכללהשתמשגםבסינוסהזוויתוגםבקוסינוסהזוויתלפיהצורך. לפניכם תרגיל 9 אותופתרתםבעזרתסינוס הזווית, כעת נפתורתרגילזהבאמצעות קוסינוס הזווית. 23. חשבואתאורכהשלהצלע בכלאחדמהמשולשיםישריהזוויתהבאים: 15 ס"מ X 42 20 ס"מ 73 ד. 35 ג. 65 23 ס"מ 12 ס"מ הצעה לפתרון סעיף א': cos35 = 15 = 15 cos35 = 12.29 בשאלהזוהשימוש בקוסינוס הזווית הואיותרפשוטמאשר שימוש בסינוס הזווית. פתרואתיתרהסעיפיםשלשאלהזובאמצעותקוסינוסהזווית. - עמוד 15

(דיון) טנגנס הזווית.24 לפניכםמספר גרפיםשלפונקציותקוויות המקביליםזהלזה. 1. מהמשותףלכלהגרפים? 2. מהתוכלולומרעלהזוויתביןכלאחדמהגרפיםלבין הכיוון החיובישלציר? בגרףשלפניכם a מייצגאתהשינויבערךשלy (כשמתקדמיםמנקודהאחתלנקודה שנייהלאורךהישר) ו- b מייצגאתהשינויבערךשל (כשמתקדמיםמנקודהאחת לנקודהשנייהלאורךהישר) כיצדמוגדרהשיפועשלהישרהנתון? a b α b a f D c E ג. D,, בשרטוטהןנקודותעלהישר המשורטט. המקביללציר. E ניצביםלקטע DE ו- הסבירומדועהמשולשיםDE ו- דומים. מההמסקנההמתקבלתמתוךהדמיון? השלימו: = b a a c = b f כמו כן: (מדוע?) - עמוד 16

שינויבערך y α שינויבערך E שיפוע הישר נמדדעלידיהיחסביןהשינויבערךשלy לשינויבערךשל. ליחס ביןהניצבשמולהזוויתלניצבשלידהזוויתקוראיםטנגנסהזווית. מסקנה: שיפועשלפונקציהקוויתהואגםטנגנסהזווית. עליישוםמענייןשלטנגנס הזוויתניתןללמודבאמצעותפרויקט עולמילמדידתהיקףכדור הארץ: http://highmath.haifa.ac.il/inde.php?option=com_content&task=view&id=966 טנגנסשלזוויתמוגדר כיחסביןהניצבשמולהזוויתלניצבשלידהזוויתבמשולשישרזווית. α tag α= tag β= β 25.נתוןמשולשישרזווית ( = 90 ) אורכושלהניצב הוא 12 ס"מוזווית בת 40. חשבואת אורך הניצב. (בעזרת טנגנס הזווית). 12 = = 14.30 tan40 tan40 = 12 הצעה לפתרון: tan = - עמוד 17

26. חשבואתאורכהשלהצלע בכלאחדמהמשולשיםישריהזוויתהבאים: 20 ס"מ X 42 73 ד. 35 15 ס"מ ג. 65 23 ס"מ 12 ס"מ 27.חשבו את גודל הזווית המסומנתב- במשולשיםהבאים: 20 ס"מ 15 ס"מ 18 ס"מ 25 ס"מ X 12 ס"מ ג. ד. 32 ס"מ 12 ס"מ 20 ס"מ - עמוד 18

פתרו אתהתרגיליםהבאים: 28.רשמולידכלמשולשבאיזהמהיחסיםישלהשתמשכדילגלותאתהערךשל או הערךשל y: סינוס, קוסינוסאוטנגנס. y y.29 אורךהמגלשה 5 מטרים. הזוויתביןהמגלשהלקרקע 40. חשבואתגובההמגלשה () הזוויתביןהסולםלקרקע 70. חשבואתאורך הסולם. - עמוד 19

130 * 30.במשולששווה-שוקיים ( = ) זוויתהראש היאבת 130 (ראו שרטוט), ואורךהשוקהוא 15 ס"מ. חשבואתהאורךשלבסיסהמשולש. 31.במלבןD נתון: 12 ס"מ=. D = 32,D חשבואתשטחהמלבן. D 3 ס"מ. 32.במשולשישר-זווית ( =90 ) אורךהניצב הוא (ראו שרטוט). שטחהמשולשהוא 10.5 ס"מ. 3 ס"מ חשבו את אורך מצאו את. tan ג. ד. חשבו את גודל הזווית חשבו את היקף המשולש. - עמוד 20

33.חשבואתגודלהזוויתשביןהישר 6 3 y = וביןהכיווןהחיובישלצירה-. * 34.נתוניםהישרים: y = 2 ו- + 5 0.5.y = חשבו את שיעורי הנקודות, חשבו את גודל הזווית ג. ד. ה. חשבו את אורך הקטע חשבו את גודל הזווית, הציגו דרך פתרון. חשבו בשתי דרכים את אורך הקטע D - עמוד 21

משרד החינוך אגף מדעים המזכירות הפדגוגית * 35.נתון: בהתאמה. ~ KLM K חלקמהנתוניםרשומיםעלגביהשרטוט. 5 ס"מ 2.5 ס"מ חשבואתשטחהמשולש. D M P L 8 ס"מ מהושטחהמשולש?KLM נמקו. הנקודה D מחלקתאתהקטע ביחסשל,1 : 3 D.D < מהגודלהשלזווית? ג. ד. מהגודלהשלזוויתM במשולשKLM?. =.36 משולששווהשוקיים, = 53,D ס"מ= 4,D 4 ס"מ חשבואתאורךהבסיס חשבואתשטחהמשולש D 53 ג. חשבו את היקף המשולש F G ( = ) הואמשולששווהשוקיים.37** מעביריםישרמקביללבסיס החותךאת השוקיים ו- בנקודותF ו- G בהתאמה. בנוסף, מורידיםגובה H לבסיס. נתון: 15 ס"מ=, 5 ס"מ=,FG 7 ס"מ=.G H הוכיחוכי: FG חשבואתאורךהקטעG, הציגואתדרךהחישו חשבו את ג. H ד. ה. חשבו את אורך הגובה H חשבו את שטח המשולש - עמוד 22

* 38.בתוךמשולשישרזווית ( = 90 ) חסוםמלבןDEF כךשקודקודD נמצאעלהיתר והקודקודיםE ו- F נמצאים עלהניצבים ו- בהתאמה. נקודה E מחלקתאתהקטע ביחסשל 3 : 5 נתון: 5 ס"מ= E D. הוכיחוכי: DF ED חשבואתאורךהקטע. ED גדולהפי 4 מהצלעDE E נתוןבנוסףכיהצלע ג. חשבואת. F * 39.במגרשמלבנישמידותיו 4 מטריםו- 10 מטריםמתחושניחבלים: חבללאורך האלכסון של המגרשהמלבני (מסומן ב- (D וחבלנוסף (המסומןב-.(DE הזווית שנוצרהביןהצלעD לביןDE היאבת 40 (ראו שרטוט) E חשבו את גודל הזווית D חשבו את אורך הקטע E 4 מ' ג. חשבו את שטח המשולש ED (המקווקו) D 40 10 מ' - עמוד 23

תאודוליט הוא מכשירמדידה המשמשלמדידת זוויות: הזוויתביןקוראייהלבין מישוראופקיוהזוויתביןשניקוויראייהמאותהנקודה. כדילמדודבעזרתהתאודוליט מעמידיםאותועלחצובה: E כדילמדודמגדלנעזריםבתאודוליט אותומעמידיםבנקודה (ראושרטוט). 40.המרחק ביןהמגדללמודדהוא 35 מטרים. הזוויתD בת 10.5. הזוויתDE בת 43. מהגובהושלהמגדל? D E 41.גובההמגדל 50 מטרים. גובההחצובה 2 מטרים. המרחקביןהחצובהלמגדל 20 מטרים. מהגודלהזוויותבעזרתןמודדיםאתגובההמגדל? (זוויותD ו- (DE D - עמוד 24

משרד החינוך E.42 ו- הםקטעיםהמייצגיםשניבניינים. מנקודה הנמצאתעלגגבנייןE שגובהו 10 מטריםרואיםבנייןגבוהיותר בזווית = 70. מנקודה הנמצאתבתחתיתבניין רואיםאתקצההבניין E בזווית = 28. E D חשבו את המרחק בין שני הבניינים. חשבו את גובה הבניין. E בשרטוטשלפניכםנראה קטעכביש ששיפועו 60%. הזוויתהמתאימהלשיפוע 60% היא 30.96 הגדרה: שיפוע שלקטע כביששל 10% משמעותושעלכלתזוזהאנכיתשל 10 מטריש =. הזוויתהמתאימהלשיפועשל 10% 10 100 לזוזתזוזה אפקית של 100 מטר: 0.1 היא 5.7. - עמוד 25

43.בשרטוטלעילנראה קטעכביש ששיפועו 30%. 30 מטר 100 מטר שיפועשל 30% משמעותושאםברצוננולהגיעמנקודה לנקודה, עלכלהזזה אנכיתשל 30 מטרעלינולעשותהזזהאפקיתשל 100 מטר. השיפועהואטנגנס י הזוות. חשבואתהזויתהמתאימהלשיפועשל 30% חשבו את הזוית המתאימה לשיפוע 20% 44.ידועכיאורך קטעהכביש הוא 2 ק"מושיפועו 30% חשבואתהזוויתהמתאימהלשיפועשל קטע הכביש. (היעזרובשרטוט) חשבואתההזזההאפקיתשלקטע הכביש. 45.ידועכישיפוע קטעהכביש 25% וההזזההאפקיתהיא 1.5 ק"מ. *ג. חשבואתהזוויתהמתאימהלשיפועשל קטע הכביש. (היעזרובשרטוט) חשבואתאורךקטע הכביש. אםמהירותמכוניתהיא 60 קמ"ש, בכמהדקותתעבורהמכוניתאתהדרך? D 46.במלבן D אורךהצלע הוא 18 ס"מ. אתהזווית חילקוביחסשל 2 4 : 3 : כךש- הגדולהביותר. מהאורךהקטע?E D הקטנה ביותר ו- E E ג. מה אורך הקטע? מה היחסE?E : - עמוד 26

** 47.לפניכםשניעמודיחשמל, האחדבגובה 5 מ' והשניבגובה 10 מ'. המרחקביןהעמודיםהוא 15 מטרים. מותחיםכבליםמקצהשלכלעמוד אלהקרקעכפישמתוארבשרטוט. 10 מ' 5 מ' K 15 מ' L ג. ד. ה. ו. ז. ח. מהיהיהגודלהזוויתהנוצרתביןכלאחדמהעמודיםוהכבלהיורדממנואלהקרקע כשהמשולשים K ו- L יחפפוזהלזה? אם המשולשים חופפים מה האורך של שני הכבלים ביחד? באיזהמרחקמהנקודהK ישלמקםאתנקודתהפגישהביןהכבליםכך שהמשולשיםהנוצריםביןהעמודיםוהכבליםיהיודומיםזהלזה? (מהיהיהאורךהקטע (K מה יהיה גודל הזווית הנוצרת בין כל אחד מהעמודים והכבל היורד ממנו אל הקרקע כשהמשולשים יהיו דומים זה לזה? אםהמשולשיםK ו- L דומיםמההאורךשלשניהכבליםביחד? מהיהיהאורךשניהכבליםביחדאםהנקודה תהיהבמרחק 3 מטרים מהנקודה K? מהיהיהאורךשניהכבליםביחדאםהנקודה תהיהבמרחק 7 מטרים מהנקודה K? באיזהמרחקמהנקודהK ישלמקםאת הנקודה כדישאורךהכבליםביחד 2 יהיהמינימלי? הוכיחו. - עמוד 27 2 היעזרוברמזהבא: עלפיתכונהפיזיקליתשהייתהידועהגםליוונים: המרחקהמינימלישקרןאורעוברתמ- ל- דרך היאבזוויתהשתקפותשווהביחסלקרקע. ראו הוכחהלבעייתהרוןבסוףהמסמךוכןיישומוןגאוגברה עמודי חשמלוכבלים"

תשובות: 10.503 ס"מ = עפ"י משפט הדמיון ז"ז 11..1 1. זוויתמשותפת α וזוויותישרות DE, 11.ג. היקףהמשולש 43.815 ס"מ ו- E,D ו- 1.ג. ו-,DE 11.ד. שטח המשולש 78.773 סמ"ר 9.193 ס"מ = D 15.427 ס"מ = 1.ד. 5 ס"מ = (1) 1.ד. (2) 1.ה. 12. 12. 12.ג. שטח המשולש 70.91 סמ"ר 8 ס"מ=,E 6 ס"מ= DE 3 DE 6 ( 1) = (2) = = 5 D 10 3 5 34.85 67.98 35.75 69.44 46.05 53.13 53.13 59.04 9 מ' 53.13 7.75 מ' 14.478 צלעהמשולש 9.238 ס"מ.13.14 15. 15. 16. 16. 17. 17. sinα, = = α KP = = 90 המשולשיםדומיםעפ"ימשפטהדמיוןז"ז 6 ס"מ=,P 4.5 ס"מ=,KP KP 4.5 3 7.5 ס"מ=,K = = K 7.5 5 DE KP 3 = = = D K 5 a c = 0 0.25 0.50 0.75 0.9 16.689 sinα a c = 2. 2..3.5.7.9 10. גודל הזווית α גודל הזווית α היקףהמשולש 27.713 ס"מ 6.725 10.457 0 14.478 30 48.590 64.158 13.24 23.492 13.24 0.422 0.766 0.966 0.985 11.57 26.9 1 25 50 75 80 90 4.266 31.382 14.863 12.287 12.619 ס"מ= 18.021 ס"מ= 10. 10.ג. 11. שטח המשולש 113.703 סמ"ר היקףהמשולש 52.64 ס"מ 17.ג. 17.ד. גובההמשולש 8 ס"מ במשולששווהצלעות התיכוןוהגובהמתלכדים שטחהמשולש 36.95 סמ"ר 18.312 ס"מ = - עמוד 28

18. D=56.443 24.א.( 1 ) בעלי אותו השיפוע 18. 45.227 ס"מ = 24.א.( 2 ) אותו גודל זווית a : b 18.ג. שטח המשולש 678.41 סמ"ר 24. המשולשיםDE ו- דומיםכילשניהםזווית משותפתα וזוויתישרה, עלפיכךשנתוניםניצבים לקטעE. מכאןקייםיחסשווהבין הצלעותהמתאימות. a b = c f כמו מתקיים: af=cb ו- a c = b f 18.ד. 19. 19. 20. 20. 21. 54.272 ס"מ= אורךהאלכסון 14.42 ס"מ 56.31,33.69 אורךהגובהל- הוא 3 ס"מ = 143.13 = 45 24.ג. 22.212 10.503 7.032 25.734 35.754 53.13 69.44 59.04 משמאללימין: בעזרתקוסינוס y בעזרתטנגנס בעזרתסינוס בעזרתקוסינוס y בעזרתטנגנס בעזרתטנגנס בעזרתסינוס 3.214 מ' = (גובה המגלשה) 3.42 מ' = אורךהסולם.26.27.28 29. 29. 63.435 EF DE FD המשולשיםישריזוויתושווישוקיים: נתבונןבמשולשEF אוEO (הנקודה F מתלכדתעםהנקודה O) = 90 OE (הזוויתנוצרתמחיתוךבין הצירים) 1 יח' = O OE = ולכןהמשולש OE משולשישרזוויתושווה שוקיים 21. 22. ו- = 45 EO, EO = כךגםהזווית הקדקודית שווה 45 ולכןלכלהמשולשים זוויתבת 45. כמוכןנתוןשהישריםמאונכיםולכן = 90 E. ED = המשולשיםדומיםעל פימשפטהדמיוןז"ז. דרךאחרת: נתבונןבמשולש :EF אורךהיתר 2 בעזרת היחסביןהניצבליתרנמצאש- = 45. EF ההמשך זהה לדרך הקודמת..30 22. 2.828 יח' =, 4.243 יח' = D אורכושלבסיסהמשולש 27.189 ס"מ שטחהמלבן 89.98 סמ"ר.31 6.725 28.394 14.863 12.287.23 - עמוד 29

3.5 ס"מ= G G = 5 = 15 + 7 5+ 35= 15 35= 10 3.5= 32. 7 ס"מ = 32. 37. 7 tan = 3 32.ג. = 66.801 H = 45.585 32.ד. היקףהמשולש 17.62 ס"מ 37.ג 37.ד. 7.348 ס"מ = H 71.565 33. 55.114 סמ"ר 34.,(2,4) (10,0) 37.ה. ED = DF = 90 34. = 26.565 38.א 34.ג. במלבן זוויות ישרות 8.944 יח' = ED = DF = 90 זוויות צמודות לזוויות ישרות ED = 63.435 D (משלימהל- (90 tan D=0.5 D = 26.565 = 90 34.ד., = ED זוויות מתאימותשוותבין ישריםמקבילים. DF ED עלפימשפטהדמיוןז"ז. 1.875 ס"מ= DE = 67.38 4.472 יח' = חישובבעזרתסינוסזוויתאומשפטפיתגורס. 20 סמ"ר 34.ה. 35. 35. שטחמשולשKLM 5 סמ"ר. D:KP = 5:2.5 = 2:1 לכןהיחסביןהשטחיםהוא 4:1 38. 38.ג. D = 21.801 35.ג. = 39.806 39. 5.233 מ' = E 35.ד. = 39.806 M 39. 10.466 מ"ר 36. 6.028 ס"מ = 39.ג. 39.125 מ' 40. 36. שטח המשולש 12.057 סמ"ר D = 5.711.41 36.ג. היקףהמשולש 16.045 ס"מ DE = 67.38 37., = FG FG = GF זוויותמתאימותשוותביןישרים מקבילים. FG על פי משפט הדמיון ז"ז. - עמוד 30

, K = 63.435 42. 18.807 מ' 47., L = 26.565 22.361 מ' 42. 26.934 מ' 47. 5 מ' 43. 16.699 47.ג. 45 43. 11.31 47.ד. 21.21 מ' 44. 16.699 47.ה. 21.451 מ' 44. 1.916 ק"מ 47.ו. 21.409 מ' 45. 14.036 47.ז. 5 מ' 45. 1.546 ק"מ 47.ח. 45.ג. 1.546 דקות 46. 6.551 ס"מ = E 46. 21.452 ס"מ = 46.ג. = 2.274 : 1 6.551 14.9001 : - עמוד 31