. ΠΙΕΣΗ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ. Υ ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ Fmα y s z s -Ηπίεσησ ένα σηµείο του ρευστού είναι ανεξάρτητη της διεύθυνσης
. ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ -Επιφανειακές δυνάµεις (λόω πίεσης) - υνάµεις σώµατος (π.χ. βάρος) Για ακίνητο ρευστό : x 0, y 0, z dp dz
- h h: πιεζοµετρικό ύψος h+p 0
Εξάρτηση της πίεσης από 0,,h ΟΧΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΗΜΑ
.3 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ή ΣΧΕΤΙΚΗ (GGE) ΠΙΕΣΗ Μέτρηση Ατµοσφαιρικής Πίεσης atm h+ vapor 0.00003 lb/in
.4 ΜΑΝΟΜΕΤΡΑ ΠΙΕΖΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΩΛΗΝΑΣ h+ 0 h ( 0 0,σχετική πίεση) Μειονεκτήµατα α) > atm β) Σχετικά µεάλη πίεση ια την ακριβή µέτρηση του h
ΜΑΝΟΜΕΤΡΟ ΤΥΠΟΥ U + h - h 0 h - h Το ρευστό του µανοµέτρου διαφορετικό από το ρευστό µέτρησης
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ένα κλειστό δοχείο περιέχει αέρα υπό πίεση και υρό µε πυκνότητα 900kg/m 3. Ένα υδραρυρικό µανόµετρο τύπου U συνδέεται στο δοχείο όπως φαίνεται στο σχήµα. Για h 0.94m, h 0.5m και h 3 0.8m, να προσδιορισθεί η ένδειξη στο πιεσόµετρο. αέρα αέρα αέρα αέρα Λύση Ακολουθώντας τη ενική µεθοδολοία των µανοµέτρων, αρχίζουµε από την διεπιφάνεια αέρα-υρού και καταλήουµεστοανοικτό άκρο του µανοµέτρου. + (h + h ) h 0 + ρ υρού υρού g(h + h ) ρ + 900* 9.8*(0.94 + 0.5) 3600* 9.8* 0.8 007 N / m (a) υδραρ. υδραρ. 3 gh 3 0 0
ΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ. Μέτρηση διαφοράς πίεσης * επίδραση του µηνίσκου h h h h h h 3 3 B B 3 3 + +
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σε ένα σωλήνα η παροχή όκου Q(m 3 /s)µπορεί να προσδιορισθεί µέσω ενός ακροφυσίου όπως φαίνεται στο σχήµα. Το ακροφύσιο δηµιουρεί µία πτώση πίεσης στο σωλήνα - B και η παροχή µπορεί να υπολοισθεί από τη σχέση QΚ - B (Κσταθερά). Η µέτρηση της πτώσης πίεσης ίνεται µέσω ενός µανοµέτρου τύπου U. Nα προσδιορισθεί η εξίσωση ια την - B σανσυνάρτησητων, και h. Λύση Ξεκινώντας από το σηµείο Α καταλήουµε στο σηµείο Β h h + (h + h ) B h ( ) B *όπως φαίνεται η πτώση πίεσης εξαρτάται µόνο από το ύψος h και όχι από το h. Όσο ψηλά και να τοποθετήσουµε το µανόµετρο (h 0.5m ή h 5m) η ένδειξη h παραµένει η ίδια
ΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ. ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΜΑΝΟΜΕΤΡΟ θ κατ του ξηση α θ θ ρια α Γ ια + θ θ + sin ά l ύ, sin l sin l έ h h sin l h sin l h B B 3 3 B B 3 3
.5 Υ ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΥΝΑΜΗ ΣΕ ΕΠΙΠΕ Η ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Υπολοισµός της δύναµης (µέεθος,διεύθυνση,σηµείο εφαρµοής) Για δεδοµένο h η δύναµη που ασκείται σε d είναι dfhd Η συνολική δύναµη είναι: F hd y sinθd sinθ y F F R c R R επιφάνειας ως προς χ yd y y h c c c Το ολοκλήρωµα H () ράφεται sinθ yd είναι η πρώτη ροπή της y συντεταµένη του κέντρου βάρους yd ()
Προσδιορισµός του σηµείου εφαρµοής της F R (κέντρο πίεσης) Ηροπή της συνισταµένης δύναµης είναι ίση µε τη ροπή των επιµέρους δυνάµεων. Η συντεταµένη y R προσδιορίζεται απο το αθροισµα ροπών ως προς τον αξονα x. Fy R R ydf sinθyd Α Αφού y R F R y d c y sinϑ Ix y y Ix Ixc + yc c c όπου όπου Παρόµοια η συντεταµένη F x sinϑxyd R R έχουµε I ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα x. Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα των παράλληλων αξόνων x I x x R και τελικά καταλήουµε στησχέση x I xyc R + xc όπου I y xyc c δεύτερη ροπή της επιφάνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο βάρους και παράλληλο στον άξονα x προσδιορίζεται από την εξίσωση ινόµενο αδράνειας ως προς ορθοώνιο σύστηµα συντεταµένων που διέρχεται από το κέντρο βάρους.
Γεωµετρικές ιδιότητες χαρακτηριστικών επιφανειών
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Η δεξαµενή του σχήµατος περιέχει θαλασσινό νερό (ρ05kg/m 3 ) σε ένα βάθος 3.0m. Χρειάζεται να αντικατασταθεί το τριωνικό κοµµάτι στη µία ωνία. Να προσδιορισθεί το µέεθος και το σηµείο εφαρµοής της δύναµης που ασκεί το νερό στην τριωνική επιφάνεια. Λύση Οι διάφορες αποστάσεις φαίνονται στο σχήµα (b) y c h c.7m και F R h c 9.8*05*.7(0.9) /0995N Η δύναµη αυτή είναι ανεξάρτητη του µήκους της δεξαµενής. Η συντεταµένη y του κέντρου πίεσης βρίσκεται από τη σχέση
ΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ. 0.0083m x 0.009m 0.9 7 0.9(0.9) I, x y I x : ό.76m.7 (0.9* 0.9).7 0.08 y 0.08m 36 0.9(0.9) I, y y I y R 4 xyc c c xyc R R 4 3 xc c c xc R + µοια Παρ + +
.6 ΠΡΙΣΜΑ ΠΙΕΣΗΣ F F R R p αν όκος h (h)(bh) h F F + F R Fy Fy + Fy y R R R
ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗΣ ΠΙΕΣΗΣ
.7 Υ ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΥΝΑΜΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Επιλοή όκου ελέχου που περιλαµβάνει την επιφάνεια Ισορροπία δυνάµεων στον όκο ελέχου Οριζόντια διεύθυνση F F H αtan-(f V /F H ) ως προς το οριζόντιο επίπεδο Κατακόρυφη διεύθυνση F +WF V F R F H+F V
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Ο αποχετευτικός σωλήνας του σχήµατος έχει διάµετρο.8 m και είναι µισοεµάτος µενερό.να υπολοισθεί το µέεθος και η διεύθυνση της δύναµης που ασκείτονερόστοτµήµα BC του σωλήνα, µήκους 0.3 m (κάθετα στη διατοµή). Λύση Επιλοή όκου ελέχου που περιλαµβάνει την επιφάνεια BC Προσδιορισµός των δυνάµεωνπουδρουνστονόκοελέχουf : ηδύναµη που δρα στην επιφάνεια C, W: Tο βάρος του νερού στον όκο ελέχου F H,F V :Οι αντιδράσεις από το τοίχωµαστονερό
Ισορροπία δυνάµεων F F F W F F H V H h 9.9N V c V F F V H 0.9 980* π0.9 980* 4 ( 0.9* 0.3) F *0.3 F 87.N Fολ FH + FV 9. 4Ν V H
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Μία σφαιρική σηµαδούρα έχει διάµετρο.5m, ζυίζει 8.5kΝκαιείναιακυρωµένη στον πυθµένα της θάλασσας µεένακαλώδιο.σε κανονικές συνθήκες η σηµαδούρα επιπλέει στην επιφάνεια του νερού. Για κάποιες συνθήκες η σηµαδούρα είναι βυθισµένη όπως φαίνεται στο σχήµα. Να υπολοισθεί η τάση στο καλώδιο. Λύση Από ισορροπία δυνάµεων έχουµε TF B -W F B θαλ νερο V ρθαλ νερο W 8.5kN Από την () έχουµε. ύ. ύ T.785*0 gv 05* 9.8 4 N 0.85*0 π.5 6 4.785*0 9.65*0 3 N 4 N
.8 ΑΝΩΣΗ-ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ F B F F W W : βάρος ραµ / µ ένης επιφ. F F (h h ) F B (h h ) {(h h ) V} F B V V : όκος σώµατος
ΕΥΣΤΑΘΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΑΣΤΑΘΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ
x ρα x,.9 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΣΕ ΡΕΥΣΤΟ ΜΕ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ-ΣΩΜΑΤΟΣ y ρα y, z + ρα z, α) Γραµµική Κίνηση * αx 0 0 x * ρα y y * ρ(g + αz ) z *dp dy + dz y z dp ρα * Για ραµµ ή σταθερής πίεσης dp 0 dz dy ( Για α y y αy g + α 0, α dy ρ(g + α z z z )dz 0 π. χ. ασανσέρ, Για α z dp dz g ρ(g + α dp dz 0 z ))
β) Περιστροφή στερεού σώµατος ρrω r 0 θ z dp dr + dz r z dp ρrω dr dz Για dz dr z dp 0 rω g ω r g Για την πίεση dp ρω + σταθερά ( παραβολικές επιφάνειες) rdr dz ρω r p z + σταθερά µεταβολή της πίεσης µε την ακτίνα αλλά ια δεδοµ ένη ακτίνα η πίεση µεταβάλλεται υδροστατικά στο z
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 Ηδεξαµενή του σχήµατος κινείται µεσταθερήραµµική επιτάχυνση. (α) Να προσδιοριστεί η σχέση µεταξύ της επιτάχυνσης και της πίεσης στον αισθητήρα ια υρό µεπυκνότητα650 kg/m 3. (β) Ποια είναι η µέιστη επιτάχυνση ια την οποία η ελεύθερη επιφάνεια του υρού αίζει τον αισθητήρα; Λύση (α) Για σταθερή οριζόντια επιτάχυνση η κλίση της ελεύθερης επιφάνειας προσδιορίζεται από τη σχέση dz αy (αz 0) dy g
Για επιτάχυνση a y η µεταβολή του βάθους z δίνεται από τη σχέση z α y 0.75 g z α 0.75 g y Η πίεση θα είναι υδροστατική (α z 0) και εποµένως αy p h p ρgh p 650* 9.8* 0.05 0.75 g p 388. 487.5αy z α y (β) Από την εξίσωση έχουµε 0.75 g 0.5 0.75 α y,max g α y,max 6.54m / s
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 Η ωνιακή ταχύτητα ω ενός σώµατος ή ενός εµβόλου µπορεί να µετρηθεί µετη διάταξη του σχήµατος µετρώντας µεένασταθµήµετρο τη διαφορά στάθµης (Η-h 0 ). Να προσδιορισθεί η σχέση µεταξύ ω και (Η-h 0 ). Λύση Το ύψος h της ελεύθερης επιφάνειας µπορεί να προσδιορισθεί από τη σχέση ω r h + h g 0
Ο αρχικός όκος του ρευστού στη δεξαµενή είναι V αρχ πr H Ο τελικός όκος του ρευστού υπολοίζεται µε βάση τον στοιχειώδη όκο του σχήµατος R 4 ω r πω R V τελ π r + h0 dr + g 4g 0 πr Από Vαρχ V τελ (χωρίς υπερχείλιση) έχουµε πr H πω R 4g 4 + πr h 0 H h 0 ω R 4g h 0