תרגול 1: מד"ר 1 הפרדת משתנים משוואות,, 0 הומוגניות משוואות מציבים לינאריות כאשר 0 המשוואה הומוגנית של כפונקציה של בלבד. משוואות ברנולי מסמנים או:

אריאל סטולרמן 1 סיכומי תרגולים: סיכומים במד"ר 1 סמסטר קיץ 2009 (פרופ' ודים אוסטפנקו) תרגול 1: סוגים של מד"ר ודרכי פתרון: חשוב: לשים לב לקבוע c המצורף כתוצאה מאינטגרציה דרך פתרון שיטה צורה הפרדת משתנים משוואות הומוגניות משוואות המקיימות: פתרון ע"י העברת אגפים ואינטגרציה לפי כל משתנה בנפרד: ניתן להציג בצורה נסמן ונקבל משוואה מהצורה לעיל (הפרדת משתנים),, משוואות לינאריות כאשר 0 המשוואה הומוגנית מציבים מחשבים את : מבודדים מתוך האגף הימני את ומציבים במקום זה את מתקבל ביטוי של כפונקציה של בלבד מבצעים אינטגרציה על מה שהתקבל ומשווים להצבה המקורית של, ממנה מבודדים את או: כותבים את המשוואה בצורה: 1 ולכן (מסדר 1) משוואות ברנולי מסמנים מציבים במשוואה ומקבלים משוואה לינארית: 1 1 מוצאים את וממנו מוצאים את משוואות,, 0 מדוייקות אם אזי המשוואה מדוייקת, ואין צורך במציאת גורם אינטגרציה הפתרון הוא מהצורה:, המקיים:,,,, כדי למצוא את : מתקיים, ולכן מחשבים את וע"י אינטגרציה מחשבים את לבסוף מקבלים את u ורק אז מוסיפים את הקבוע:, מציאת גורם אינטגרציה: כאשר לא מתקיים התנאי הראשון, ניתן להגיע למשוואה מדוייקת ע"י הכפלה בגורם אינטגרציה שנסמנו,, אם אם (פונ' של בלבד) אז: אז:, המשוואה 0 מדוייקת

אריאל סטולרמן 2 תרגולים 2,3: קירובים: שיטת (קירוב) אויילר: בהינתן מד"ר, ותנאי התחלה השיטה מסתמכת על חישוב פונ' האינטגרל של y על אינטרוולים קטנים הנוסחה:, כאשר הוא אורך האינטרוול, 0,1,2, תיאור השיטה: (על קטע (, מחלקים את הקטע ל- n חלקים שווים באורך,,,, :h בקטע, מוצאים את הישר העובר דרך, ששיפועו, נקודת החיתוך שלו עם הישר היא הנק' הבאה,, מחברים בין הנקודות,,, ממשיכים כך עד הקטע האחרון מתקבל גרף פונ' מקורב לפתרון תזכורת: משוואת ישר היא קירוב פיקרד:, כאשר: הקירוב הוא ע"י סדרת פונ', עם תנאי התחלה בהינתן מד"ר, קיום ויחידות : בהינתן, : אם f רציפה אז קיים פתרון, לא בהכרח יחיד דוגמא: אם f גם גזירה אז הפתרון הוא יחיד כדי למצוא את תחומי הפאזה (של,) בהם יש למד"ר פתרון יחיד, נמצא את התחומים בהם f גזירה ורציפה פתרון מד"ר ע"י טורי חזקות: בהינתן מד"ר, : מכך מתקבל: מסמנים פתרון כללי בצורת טור חזקות: וכו', 1 לשים לב מהיכן מתחיל k בטורים במקרה זה 0 עבור y, 1 עבור וכו'! תנאי התחלה יקבעו את תחילת הסדרה : יקבע את, יקבע את וכן הלאה מציבים את הטורים הנ"ל במד"ר מבצעים השוואת מקדמי פולינום לכל חזקה מערכת משוואות אינסופית מפתרונה נקבל פתרון לכל המקדמים: ע"י תנאי ההתחלה ונוסחת הנסיגה נוכל להגיע לפתרון כללי עבור מציאת רדיוס ההתכנסות:, ומכאן לפתרון המד"ר פתרון ע"י טורים עד סדר כלשהו: מייצגים את y עד הסדר הרצוי, למשל: 2, מחשבים בהתאם: 2 3 4 6 12 את, בהצבה במד"ר נסתכל על הגורמים עד הסדר הגבוה ביותר המופיע ב-, הנגזרת הגבוהה ביותר המופיע במד"ר (לרוב ( למשל בדוגמא לעיל נסתכל רק על גורמים עד סדר 2 מכל שאר הגורמים נתעלם פתרון סופי מתקבל ע"י השוואת מקדמי פולינום נקודות סינגולריות רגילות:,, היא נקודה סינגולרית רגילה אם: במשוואות מהצורה 0 הם גבולות סופיים אם כן, ניתן לפתור את המד"ר באופן הבא: מציבים כלומר

מד"ר 1 אריאל סטולרמן 3 כמו קודם גוזרים ומציבים את הטורים במד"ר, ומתקבל שהמקדם של הוא הפולינום האינדיציאלי שהוא ריבועי ב - נסמנו לשים לב שכאן הטורים של, מתחילים גם כן מ- 0! מקרה ספציפי: אם ל- שני שורשים ממשיים שונים שההפרש ביניהם לא שלם, יתקבלו הפתרונות: ) וכו'), עבור והפתרון הכללי הוא:,, קבועים כלשהם (את, מוצאים ע"י נוסחת הנסיגה המתאימה לשורשים שמצאנו) תרגול 4: דיוקן פאזה של מערכת אוטונומית: מערכת אוטונומית: מערכת משוואות דיפרנציאליות שאגף ימין שלה אינו תלוי ב- t, למשל: 1) ( 2), ;( וכו' טענה: אם פתרון למערכת אוטונומית אזי גם פתרון (אם פתרון, גם פתרון) קו פאזה: קו שהפתרון של המערכת מצייר במרחב נשים לב: שני קוי פאזה או לא נחתכים, או מתלכדים עקומת פאזה עבור משוואות ניוטון: החוק השני של ניוטון: 0 (משוואה אוטונומית); מכאן: 0 נסמן : האינטגרל הראשון: - הגורם השמאלי הוא האנרגיה הקינטית והימני הוא הפוטנציאלית שרטוט קווי פאזה : עוברים למערכת משוואות מסדר ראשון:, לאחר סימון הופך למערכת המשוואות:, הוקטורי:,,, מחשבים אינטגרל ראשון,: ואינטגרציה על גורם זה תתן את התוצאה מוצאים נקודות קריטיות ע"י השוואהל- 0,0:0, עבור נקודות קריטיות, שהתקבלו, הנקודות הקריטיות של הם, מחשבים נגזרת שניה של כדי לזהות מינימום/מקסימום מכאן מתקבל השדה משרטטים את גרף, ועליו משרטטים את כל קוי הגובה (שהם האנרגיה הכוללת ) האפשריים בהתאמה למקרים השונים ניתן לדמות את גרף הפונ' כמסילה עליה נוסע כדור תיאור מהירותו ותנועתו על גרף הפונ' מתאימה לקוי הפאזה שנשרטט משרטטים על גרף מישור הפאזה את קוי הפאזה המתאימים לכל אחד מהמקרים השונים של E בהתאם לעקרונות הבאים: כיווןש- אז במקומות בהם (קוי גובה קטנים מהפונ') אין קוי פאזה במקומות בהם יש חיתוך עם נק' קיצון, תהיה במישור הפאזה נקודה סינגולרית בודדת (הכדור עומד במקומו) למשל), יש תנועה מחזורית עם מהירות 0 בקצוות ושיא בקיצון (ככל שהאנרגיה במקומות בהם יש חיתוך חלק קעור ) כמו הפוטנציאלית -גובהית גדולה יותר, כך הקינטית קטנה יותר ולהיפך) במקרה זה קוי הפאזה מהצורה סימטריה ביחס לציר ה - משוואות מהצורה 0 : ומכאן: נסמן מכאן:,, הוא השדה הוקטורי תרגול 5: נגזרות Lie ואינטגרל ראשון: יהי וקטור היוצא מנק' בתחום :,U ו- : עקומה פרמטרית המשאירה את עם מהירות כךש- 0, 0 ניתן להגדיר את ההרכבה :

אריאל סטולרמן 4 נגזרת כיוונית: הנגזרת של פונ' בכיוון הוקטור הוא: יהי V שדה וקטורי ו - :, אז: נגזרת Lie של : הנגזרת של הפונ' f בכיוון השדה V הוא פונ' חדשה : שבכל נקודה הערך שלה הוא הנגזרת של בכיוון וקטור השדה היוצא מ :- הפונקציה היא נגזרת Lie של האינטגרל הראשון (הגדרה פורמלית): יהי V שדה וקטורי, : דיפרנציאבילית היא אינטגרל ראשון של המשוואה אם מתקיים 0 הגדרה שקולה קלה יותר לבדיקה: אינטגרל ראשון אם היא קבועה לאורך כל פתרון :, כלומר על מערכת משוואות לינאריות: יהי היא קבועה : אופרטור לינארי, ומערכת nמשוואות לינאריות הומוגניות מסדר 1 עם מקדמים קבועים (בקיצור משוואה לינארית) המשוואה הלינארית מוגדרת ע"י השדה הוקטורי והיא מהצורה: עבור סימון קורדינטות,, ניתן לכתוב את המשוואה בצורת מערכת משוואות: המטריצה המייצגת של האופרטור A מט' זו היא המטריצה המייצגת של המערכת פתרון מערכת מצורה זו: עבור תנאי התחלה אקספוננט של אופרטור לינארי: לכל,1 כאשר פתרון יהיה: 0, כאשר E מט'/אופרטור יחידה הינו גם כן אופרטור לינארי!! מציאת אם המטריצה של האופרטור הלינארי אלכסונית עם איברי אלכסון,, אז גם המט' של האופרטור אלכסונית עם,, באלכסון אופרטור A ניתן ללכסון אם המט' שלו ניתנת ללכסון (אלכסונית בבסיס כלשהו) תהי P המט' המלכסנת של A כך ש- D) אלכסונית), אזי: : תחילה מלכסנים את A: מוצאים פולינום אופייני ואת שורשיו שהם הע"ע של,, A: לכל ע"ע נמצא ו"ע מתאים ע"י דירוג המטריצה והשוואתה ל -0 מכאן נוציא את הו"ע (יתכנו יותר מאחד) 0 כעת המטריצה המלכסנת P היא מהצורה: ו- ) הו"ע המתאים ל - ( מחשבים את 0 דירוג לצד מטריצת היחידה) (למשל בשיטת שלב סופי: במקרים אחרים ניתן להסתכל על טור החזקות ולנסות למצוא חוקיות לחזקות של A! אופרטור נילפוטנטי: אם עבור (החל מ) חזקה כלשהי הוא מתאפס אם A נילפוטנטי אז הסדרה סופית תכונות אקספוננט: לינאריות: דיפרנציאביליות: מסקנה (משפט): פתרון המשוואה הלינארית עם תנאי התחלה 0 הוא מציאת קבוצת פתרונות עבור מערכת משוואות: להלן תפורט קבוצת הפתרונות הבסיסית, כאשר הפתרון הכללי הוא צירוף לינארי של כולם בהינתן מערכת המשוואות כאשר : אם ל A- יש n ע"ע ממשיים ושונים,, עם ו"ע,,, קבוצת הפתרונות הבסיסית היא:,, כאשר לע"ע כלשהו ריבוי אלגברי גדול מ -1, נסמנו d: אם מס' הו"ע המתאימים לאותו ע"ע (ריבוי גיאומטרי) הינו גם d, קב' הפתרונות עבור,, :

ש( מד"ר 1 אריאל סטולרמן 5,,,,,,, אם מס' הו"ע המתאימים ל - הוא, : כאשר את מוצאים ע"י הצבה במשוואה והשוואת מקדמים, למשל עבור: והמשוואה, מסמנים וקטור נעלמים עבור ומציבים: מהשוואת מקדמים נמצא את הוקטורים הנ"ל אם קיים ע"ע מרוכב גם הצמוד שלו הוא ע"ע), נשתמש בנוסחת אויילר לקבלת 2 פתרונות ממשייםב"ת: :, תרגולים 6,7: לינאריזציה: נקודה קריטית המאפסת את השדה בה"כ ניתן לקחת המוגדרת ע"י שדה וקטורי V במרחב הפאזה, תהי (אחרת בהינתן משוואה פשוט מזיזים את מע' הקורדינטות) פיתוח השדה סביב נקודה זו לטור טיילור, כאשר הגורם הראשון בו לינארי, והשמטת שאר הגורמים נקראת, הוא יעקוביאן, כלומר: ו- למערכת חדשה: כאשר לינאריזציה: המעבר מהמשוואה (נגזרת הרכיב ה -i לפי הרכיב ה- j בנקודה קריטית) באופן אחר: משוואות לינאריות במקדמים קבועים: פתרון כללי של מד"ר הומוגנית מסדר 2: לכל מד"ר לינארית הומוגנית מסדר 2 שמקדמיה רציפים באינטרוול I (לרוב קבועים) ניתן למצוא בדיוק 2 פתרונות ב"ת ב- I, המקיימים זו קבוצה יסודית/בסיסית של המד"רפתרון כללי למד"ר: 0 0 וורונסקיאן: יהיו n,, פתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית בקטע I עם מקדמים רציפים (כאן: קבועים) וורונסקיאן:,, הפתרונות,, תלויים לינארית ב- I אמ"מ :,, לפיכך: בהינתן פתרונות למד"ר, ניתןם לבדוק נכונות ע"י הצבה במד"ר, ואי תלות ע"י הצבה בוורונסקיאן ובדיקה שלא מתקבל 0 לכל t פתרון משוואות לינאריות הומוגניות במקדמים ממשיים: בהינתן מד"ר לינארית מסדר 2 לא הומוגנית שמקדמיה קבועים וממשיים: 0,),, ( אזי: אם הפולינום האופייני של המד"ר: 0 (באופן דומה עבור סדר n) קבוצת הפתרונות הבסיסית נקבעת מהשורשים לפי:, שורשים ממשיים שונים:, אם שורש ממשי יחיד:, (בריבוי גבוה יותר:, וכו'), שורשים מרוכבים (צמודים אחד לשני), לפי נוסחת אויילר: ( ) אם הפתרון הכללי:,, נקבעים ע"פ תנאי ההתחלה משוואות לינאריות לא הומוגניות במקדמים קבועים: - משוואה לינארית לא הומוגנית מסדר 2 - זוג פתרונות של המשוואה ההומוגנית המתאימה 0 בהינתן: - פתרון מסויים של המשוואה הלא הומוגנית, נסמנו ~ הפתרון הכללי של המשוואה הלא הומוגנית הוא: ~ של המשוואה ~ בהינתן: - פתרון כלשהו של המשוואה ~ - פתרון כלשהו

אריאל סטולרמן 6 אז עבור המשוואה הפתרון יהיה: ~ ~ ~ כדי למצוא את הפתרון הפרטי הנדרש למשוואה הלא הומוגנית ע"מ שנוכל לפתור את הנ"ל, נשתמש בשיטת המקדמים הלא ידועים (כשניתן): בהינתן (מקדמים קבועים), נציב פתרון כללי לפי הצורה של ונמצא אותו ע"י השוואת מקדמים: ), שורשים של הפולינום האופייני): כאשר ~ מדרגת - פולינום ב מחפשים פתרון מהצורה :, אם ~ :, אם אם ~ : :, כאשר ~ :, אם (מרוכבים תמיד שונים, צמודים): ~ (אותו תנאי על ( 0 מתקיים: אם יציבות: בהינתן מד"ר הומוגנית מסדר n: יציבות: (stable) אם כל פתרון נשאר חסום כאשר יציבות אסימפטוטית: stable) (Strictly אם לכל פתרון של המד"ר במקדמים קבועים נקבל רק יציבות אסימפ' או חוסר יציבות בכלל במקדמים קבועים: יציבה אסימפטוטית אמ"מ לכל ע"ע מתקיים 0 אם 0 עבור ע"ע כלשהו, המע' אינה יציבה קריטריון יציבות של :Ruth Hurwitz אם הפולינום האופייני מהצורה: - הקריטריון הוא: 0,0 - הקריטריון הוא:,, 0, אם הפולינום האופייני מהצורה: הגדרת יציבות עבור מע' אוטונומית כללית: תהי a נק' קריטית של מע' אוטונומית כךש- 0 אזי הנקודה a: יציבה: tלכל 0 קיים 0 כך שאם 0 אז 0: יציבה אסימפטוטית: אם קיים 0 כלשהו כך שאם 0 אז 0 יציבה לחלוטין: אם היא יציבה ויציבה אסימפטוטית עבור מד"ר אוטונומית מסדר 1, קריטריון פשוט ליציבות אסימפטוטית: הנקודה הקריטית 0 של המשוואה האוטונומית מסדר :1 יציבה אסימפטוטית אמ"מ קיים 0 כך שאם 0 אז 0 הנקודה הקריטית 0 של מע' משוואות אוטונומית לינארית במקדמים קבועים יציבה אסימפטוטית אמ"מ לכל ע"ע של A החלק הממשי לפי קריטריון הורוביץ התנאים ליציבות לחלוטין: ניתנת לכתיבה כ- 0 0 0 שלילי במקרה זה המערכת גם יציבה לחלוטין משוואה לינארית מסדר 02 תנאים ליציבות מד"ר: תהי משוואה לינארית הומוגנית כלשהי במקדמים קבועים מסדר n, ובה"כ יש לה k שורשים אופייניים,, כאשר כל אחד תורם לקבוצת הפתרונות:,, קריטריונים ליציבות אך לא לחלוטין:

אריאל סטולרמן 7 כל השורשים מקיימים 0 אם כל השורשים מקיימים 0 אז הפתרונות הללו דועכים ל- 0 כאשר והפתרון יציב לחלוטין אם 0 הפתרון לא יציב כלל קיים לפחות אחד המקיים 0 כל שורש המקיים 0 הינו שורש פשוט (מריבוי 1) סוגי נקודות יציבות: יהיו הפולינום האופייני הוא: 0 בהינתן משוואה אוטונומית Δ 4 4 שורשי הפולינום, נסמן: 4, מקרה : 0, 0,Δ 0:1 מכוונות לראשית, אם 0 הספירלות פתרונות המערכת הם ספירלות: אם 0-0 ו Δ0,, כאשר :Fcal Pints הן מתרחקות מהראשית, ואם 0 אלו עקומות סגורות (כמו מעגלים) :Ndal Pints כאשר 0,Δ0 ואז ממשיים בעלי אותו סימן המערכת יציבה כאשר, שליליים עקומת הפאזה מהצורה: - פרבולות המשיקות לראשית ממשיים בעלי סימן מנוגד עקומת הפאזה:, 0,Δ0:Saddle Pints נקודות אוכף תמיד אינן יציבות - שתי אסימפטוטות והיפרבולות ביניהן מקרה 2: Δ: 0, 0 עקומת הפאזה מורכבת מקוים ישרים דרך הראשית (קונפיגורציית כוכב או יוצאים מהראשית או נכנסים לראשית) יציבות: לא ברור! ): 2) Δ0, נקבל גם כן Ndal Pints יציב כאשר 0 ולא יציב כאשר 0 עקומת הפאזה מהצורה: כאשר החצים פונים החוצה או פנימה Δ: 0,0 עקומת הפאזה היא קווים מקבילים מהצורה (קווים מקבילים כאשר החצים פונים לכיוון ציר ה - או החוצה ממנו) הראשית נקודה יציבה אך לא לחלוטין אם 0, ולא יציבה כאשר 0 (בכל מקרה 0 ) 0 0 :Δ 0 עבור ישנו חומר נוסף שטרם נכלל בסיכום!!! נקבל נקודה Neutrally Stable (יציבה אך לא אסימפטוטית), ועבור 0 נקבל חוסר יציבות

אריאל סטולרמן 8 סיכומי הרצאות: משוואות קווזי-לינאריות (כמעט לינאריות):,, (משוואה נורמלית) משוואות מהצורה: 0,, כלומר:, פתרון של, בתחום, הוא פונ' (מפורשת או סתומה) כךש-,, : כל העקומים נמצאים ברצועה בין, ובכל נקודה עובר סוגים: האם פתרון קיים האם פתרון יחיד מהו תחום ההגדרה המקסימלי, משוואות מהצורה תלות ב- t בלבד (1) משפט :Barrw תהי,, אזי: ו - כך ש -, קיים פתרון יחיד למשוואה הפתרון של הוא פונ' הנתונה ע"י הנוסחה: עקום יחיד בתנאי שהפונ' רציפה משוואות מהצורה (תלות ב - בלבד, ללא תלות ב- t (2) פתרון: הערה: אינווריאנטית ביחס ל- t, כלומר עבור נקבל אותו דבר מכאן: אם פתרון אז גם משוואות לינאריות מסדר 0:1,,,,,,, אז מתקבלת משוואה נורמלית: 0 (3) אם ב -, מתקיים ln ולכן ln פתרון כללי: משוואות הומוגניות: מקרה פרטי בו 0, כלומר: שיטת פתרון: הפרדת משתנים: מפורט בתרגול פונקציות הומוגניות:, פונקציה הומוגנית (מסדר 0) אם,,, :, פתרון ע"י ההצבה, מפורט בתרגול משוואות לינאריות: משוואה לינארית:, פונקציה לינארית ביחס ל- :,, כאשר המשוואה היא: ו- 0 ) יהי פתרון למשוואה ההומוגנית, כלומר: 0, משוואה לינארית הומוגנית: כלומר משוואה מהצורה 0, 0 (פתרון זו מורכב משני פתרונות: פתרון: שיטת גורם אינטגרציה: (השלישי בטבלה בתרגול 1) עבור המשוואה: פתרון: מחפשים פתרון מהצורה: המשך הפתרון מפורט בתרגול משוואות מדוייקות: שיטה מלאה מפורטת בתרגול תבנית דיפרנציאלית : עבור, הביטוי,,, ותחום ההגדרה שלו הוא חיתוך תחומי ההגדרה של M ו- N טענה: מדוייקת אם קיימת פונקציה, כך ש - נניח התחום של שנסמנו הוא פשט קשיר (בין כל 2 נק' בתחום ניתן להעביר עקום לאו דווקא ישר) ופתוח אזי:

אריאל סטולרמן 9 לכל מסילה סגורה הוא, לכל, אמ"מ 0 אמ"מ דיפרנציאל: של פונ', בנקודה אינטגרל מסויים: אינטגרל מסילתי (קווי): עבור, הוא בהינתן תבנית דיפרנציאלית פרמטריזציה של עקומים: בהינתן עקום b פרמטריזציה היא פונ' של משתנה אחד כך ש: כאשר המסילה ועקום מכוון מתקבל מספר שסימונו, לכל למעט מספר סופי של נקודות, בכל נקודה של b היא חח"ע משפט הפונקציה הסתומה:,, ו-, אז: קיימת פונ' יחידה, כך ש:,, 0 נניח כי: היא מדוייקת המשוואה תכתב: 0 פונ, ואז מתקבל תיאור כללי של המשוואה 0,, בקטע,,,, משוואה מדוייקת: תהי פונקציה סתומה:, בתחום ופתרון משוואה מדוייקת הוא ' סתומה,,, הערה: בהינתן פונ' סתומה, מתקיים: פירוש גיאומטרי של משוואה מסדר ראשון: בהינתן,, השיפוע בנקודה, הוא כמובן, בודקים את היחס בין שיפוע זה לוקטור המיקום שהוא השיפוע בכל נקודה קיום ויחידות פתרונות לבעיות התחלה:, (, תנאי התחלה) נתעניין האם קיימת המקיימת את הנתונים, האם היא יחידה והאם ישנה בהינתן משוואה עם תנאי התחלה: תלות בתנאי ההתחלה (כלומר, אם היה פתרון יחיד לתנאי ההתחלה, האם בשינוי תנאי ההתחלה יתקבל פתרון אחר) פתרון הינו קו אינטגרלי המוגדר ע"י פונ' הפתרון משפט :Pean אזי: קיים לפחות קו אינטגרלי אחד העובר דרך,(,, (בפנים התחום \;G תהי, חסומה ורציפה בתחום G, ונניח הערה: בדוגמא ניתן לראות מדוע אין יחידות משפט :Picard,, אזי: קיימת סביבה, כאשר U הוא סביבה של כך שלמשוואה, קיים פתרון יחיד המקיים תהי - קרוב ל לכל העתקות מכווצות Mappings :Cntractin מרחב מטרי:, כאשר M קבוצת איבריםו- : מטריקה: : פונ' (מרחק) בעלת התכונות: אי שלילית: 0, 0,, סימטרית:,,

אריאל סטולרמן 10 אשמ"ש:,,, לכל,, סדרת :Cuchy סדרה במרחב מטרי, נקראת סדרת קושי/יסודית אם 0, lim, ובמילים אחרות: 0, :, כל סדרת קושי ב - מתכנסת עם המטריקה הרגילה, מרחב מטרי שלם:, מרחב מטרי שלם אם כל סדרת קושי ב -M מתכנסת לאיברב- :M :lim העתקה מכווצת: יהי, מרחב מטרי (לא בהכרח שלם), : העתקה A תהיה העתקה מכווצת אם קיים 01 כך ש:,,, אם העתקה מכווצת אז היא רציפה נקודת שבת: תהי M קבוצה ו -A העתקה הנקודה תהיה נקודת שבת אם יהי, מרחב מטרי שלם, : העתקה מכווצת, אזי: קיימת ל -A נקודת שבת נקודה זו יחידה הוכחה: יהי, נגדיר עבורו את הסדרה,,, : 1 הוכחה כי היא סדרת קושי: יהי,, אזי:,,, וזאת כיוון ש- A העתקה מכווצת עם מקדם יהי n ויהי עבור k : lim כלשהו רוצים להראות כי, 0,,,,,,, 1 אשמ"ש, אשמ"ש 1 lim, lim lim1 0 יהי lim lim מרחב שלם ולכן M 2 lim :A נקודת שבת של X 3 אם A מכווצת היא רציפה, ולכן מותר להכניס את ה- A לתוך הגבול ולקבל: lim ולכן X נקודת שבת של A 4 יחידות נקודת השבת: נניח קיימת כך ש-, אז:,, לכל n כי, נקודות שבת מכאן:, lim, lim מכווצת, 0, 0, יהיה פתרון בקטע (פתוח או סגור), אם, לכל,, ובאופן שקול:, - ובגבול התחתון של האינטגרל, כך ש עבור תנאי ההתחלה מתבטא בתוספת העתקת :,, :Picard מתקיים: הוא פתרון למשוואה, כלומר נקודת שבת של A תנאי ליפשיץ: יהיו,,, שני מרחבים מטריים, A העתקה המקיימת: :, אז A מקיימת תנאי ליפשיץ אם קיים 0 כך ש:

אריאל סטולרמן 11,, מושגי טופולוגיה: כדור: כדור ברדיוס 0 עם מרכז בנקודה, ו-, מרחב מטרי: כדור פתוח:,, כדור סגור:,, קבוצה פתוחה: U קבוצה פתוחה ב-, אם לכל קיים 0 כךש- (B, כדור פתוח) קבוצה סגורה: V קבוצה סגורה ב -, אם קבוצה קומפקטית: V קבוצה קומפקטית ב-, אם: V קבוצה סגורה (המשלים: (\ הוא קבוצה פתוחה ש:, כך חסומה, כלומר קיימים,0 V קבוצה קמורה: יהי V מרחב וקטורי (לא בהכרח ממימד סופי), קבוצה G קבוצה קמורה אם לכל, הקטע הישר (כל הנקודות על הקטע) 0 לכל 1 מקיים: 1 עם קבוע (נגזרות חלקיות רציפות) בקבוצה קמורה, אז: f מקיימת תנאי ליפשיץ ב- G max כאשר נניח,,, max, גרדיאנט, ומתקיים:,, הערה: בד"כ המשפט הוא עם sup ולא עם max הוכחה: נחבר את הנקודות,,, בקטע הישר:, 1, מתקיים: כיוון ש - 01 0,,1,,,,,,, אשמ"ש קושי שוורץ משפט הקיום והיחידות: : אזי הפתרון,,,,,, קיים יחיד עבור, פתרון לבעיית ההתחלה אז, (רציפה ביחס ל- ) פתרון אמ"מ היא נקודת שבת להעתקת פיקרד אם : העתקה מכווצת אזי קיימת נקודת שבת יחידה )כאשר העתקה מכווצת מקיימת: 1 (,,, משפט :Picard Lindelöf גליל (מלבן ב - ( ממשפט היחידות ב -,,, עובר קו אינטגרלי יחיד תבי יהי, min,, אזי:,:, : מקיימת תנאי ליפשיץ לפי f, max,, קיימת פונקציה יחידה מוגדרת בקטע, המקיימת, לכל,,

אריאל סטולרמן 12 מתקיים: ) הוא קירוב פיקרד) לכל כאשר,! הערה: תהליך פיקרד לא תמיד מתכנס, יתכן ויתקבלו כמה תתי סדרות הרחבה של פתרונות: תהי, כאשר V תחום קומפקטי (סגור וחסום), מערכות משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר 1: ניתן להרחיב עד השפה אזי: את הקו האינטגרלי העובר דרך,,,,,, ; סימונים:,:,,, כלומר המרחב הפאזי הוא נתונה מערכת מד"ר:,,, (הכולל זמן) הוא פתרון: : בו נמצא הקו האינטגרלי המערכת תייוצג כך:, - בעיית התחלה: כאשר כל משוואה מסדר n ניתנת ע"י סימונים להעברה למערכת של n משוואות מערכות אוטונומיות: צורה: מערכות מהצורה (ללא תלות ב- t ),, והמרחב הפאזי המורחב -,,( : כלומר כל הנגזרות החלקיות,,, : ) הן פונ' רציפות (מטריצת יעקובי רציפה) יהי פתרון למשוואה אוטונומית נבנה פונקציה חדשה (הזזה):,, אזי היא גם פתרון הוכחה: כלל השרשרת: ; כמו כן אינה תלויה ב- t סה"כ אין השפעה על הזזה בקבוע כי הנגזרת נשארת זהה כל מערכת לא אוטונומית ניתנת לרישום בצורה אוטונומית ע"י הגדרת של המערכת המקורית F שדה וקטורי: בכל נקודה במרחב (ואז 1 נתון וקטור עם הקורדינטות,, נקודה קריטית: c תהיה נקודה קריטית/סינגולרית לשדה F אם מרחב פאזה: תחום ההגדרה של, F: כלומר מרחב פאזה של מרחב פאזה מורחב: הוא מרחב פאזה מורחב של F כאשר מוסיפים מקום ל -t קו אינטגרלי: פתרון של - קו ב - - כי הפתרון הוא פונ' של t קו פאזי: התמונה של הקו האינטגרלי עבור פתרון, הקו/עקום פאזי של המערכת הוא ) הקו הפאזי של המערכת החדשה הוא קו אינטגרלי לכל נסמן : הפונקציה:, ויהי פתרוןל-, אזי גם פתרון, כלומר הפתרון אינו תלוי t למעשה כל הקווים המקבילים הם פתרון (עבור t המוגד לכל ) דרך כל נקודה במרחב פאזה לא עובר יותר מקו פאזה אחד הוכחה: נניח ישנם שני פתרונות,, אז קיימים, כךש- ו- לפי המשפט הקודם הוא גם פתרון, אבל - אותו תנאי התחלה שכן לפי משפט היחידות: אבל אז (בגלל שהתחום הוא כל התמונות שוות), ולכן - סתירה

אריאל סטולרמן 13 לקו פאזה 3 אפשרויות: נקודה בודדת נקודת שבת של המערכת קו סגור (שקול למעגל) ללא נקודות חיתוך עצמיות, כמו ללא נקודות חיתוך עצמי כלל, כמו ספירלה למשל (ולא כמו ) טענה: תהי פתרון של בקטע, בעל התכונה שקיימים, כךש- - כלומר יש חיתוך עצמי אזי קיימת Φ כך ש: תחום ההגדרה של Φ הוא כל מחזורית עם מחזור Φ הרחבה של Φ כלומר, לכל Φ טענה: תהי פונקציה ב -, T ו- S מחזורים של f, אזי גם כן מחזור של f טענה: תהי P קבוצת כל המחזורים של פונ' רציפה:, ותהי סדרה מתכנסת, אזי: lim הוכחה: lim lim lim lim תהי קבוצה סגורה ביחסל-" " וסגורה, אזי: או 0 או קיים כך ש -, כלומר 0,, 2, : אינטגרל ראשון: נגזרת של פונקציה לפי וקטור : יהיו,,,,,,:, כאשר F שדה וקטורי ב- U הישר עובר דרך וקטור F, פונקציה של s, הנגזרת של H לפי,, ( זו הנגזרת לפי F כמו הנגזרת הכיוונית לפי F רק לא מנורמלת (מוכפלת ב - אינטגרל ראשון: הוא אינטגרל ראשון של המשוואה (הרב מימדית = מערכת משוואות) : תחום, כאשר,U בכל אם 0, מכאן: (פונקציות) היא נגזרת לפי שדה H,F פונקציה של :, תכונות: אדיטיביות: כלל לייבניץ: יהי, כאשר הוא שדה חדש סכום שדות: כפל שדה בפונ': שדות וקטורים מהווים מודול מעל חוג/אלגברה מספר פתרון לכל אמ"מ 0 0 אמ"מ כל קו פאזה שייך לאחד (בלבד) ממשטחי גובה של H, כאשר משטח גובה עבור המתאים ל- c הוא (המקור של c לפי בH -U) וקטור הוכחה: ו- מהנתון עולה כי הנגזרת של לפי t היא 0 ולכן קבועה, נתון כי :, 0

אריאל סטולרמן 14 : כיוון זה זהה הוא קו פאזה, פתרון לפי הנ"ל ידועש- אמ"מ לאורך קו פאזה H קבועה, ולפי הנ"ל אמ"מ 0 משוואות קונסרבטיביות מדרגת חופש אחת: "שדה כוחות" כתיבה כמע' משוואות: נגדיר למערכת 3 פונקציות: משוואת ניוטון:,,,,;, אנרגיה קינטית: אנרגיה פוטנציאלית: תלויה במיקום, פונ' קדומה של T:, פונקציית :Hamiltn H היא אינטגרל ראשון של הוכחה: 0, E קבוע נסמן (אנרגיה), אזי: קו פאזה (קו גובה) E הוא עקום חלק בסביבה של כל נקודה רגילה, כלומר נקודה שאינה קריטית גזירה כךש- 0, בסביבה ( 0, 0: (נקודה קריטית, מקיימת 0,, כלומר במקרה זה עבור הוכחה: לפי משפט הפונ' הסתומה: אם אז קיימת פונ', 0 :, בסביבה של, 0 כלשהי של ולכן אם 0 הוכחנו אם 0 אז בהכרח 0 כי הנקודה אינה קריטית, ובמקרה זה - ומכאן גם בנקודה זו קיימת פונ' גזירה כךש- 0, בסביבה מסויימת של 0 נקודה קריטית:, תהיה נקודה קריטית אם, 0 וזה אמ"מ, נק' קריטית ל- H (כלומר 0 או ( 0 כאשר H הוא פונ' המילטון אינטגרל ראשון ערך קריטי: E ערך קריטי של H אם, (ערך הפונ' בנקודה הקריטית בה 0 (, קווי פאזה סביב נקודה קריטית: נקודה קריטית: 0 0 למת :Mrse תהי u פונ' בעלת התכונות: (1)0 0 (2)0, 0 (נקודה קריטית לא מנוונת, כלומר מינימום או מקסימום, לא אוכף), אזי: קיימת קור' כך ש- 0 (נשים לב כי ( היא פונ' גזירה, הפיכה והפונ' ההופכית שלה גם גזירה כלומר היא דיפיאומורפיזם למת :Hadamard סביב 0 כךש- אזי: קיימת,0 סביב 0 ומקיימת 0 נניח הוכחה:

אריאל סטולרמן 15 לכל, אז ניתן להמשיך כל פתרון של לכל ציר t (כי ), נניח כי פונ' הפוטנציאל חסומה מלמטה, כלומר מערכות לינאריות: היא,,, סביב נקודה כאשר נראת לינאריזציה של לינאריזציה: המשוואה (מע' המשוואות) sup מט' יעקובי של F נורמה של אופרטור: sup max,, תהי L קבוצת כל האופרטורים :, שהוא מרחב וקטורי, אזי, הוא מרחב מטרי שלם, כאשר, ו- L הוא מרחב נורמה (וכל מרחב נורמה הוא מרחב מטרי) לכן, כל סדרת קושי ב- L מתכנסת לאיבר ב- L מתכנס בהחלט ובמ"ש - צורת ג'ורדן נורמלית, כאשר הם ע"ע מתכנס, אזי: אם, כאשר t לכל 0 0 0 0 משפט :Weierstrass תהי סדרת : פונ' בעלת התכונה מתכנס ו - נניח, מסקנות: הטור מתכנס במ"ש, אזי: מתכנס בכל קטע ב- בהחלט ובמ"ש! הוא פתרון לבעיית ההתחלה 0 טענה: אם A לכסינה ומתקיים אז: 0 0 אם אז 0 0 משפט :C Jrdan לכל אופרטור : קיים בסיס כך שהמטריצה של A מקבלת צורה: של 0,1,A ניתן להציג כל מטריצה/אופרטור כסכום כאשר מטריצה לכסינה ו - מטריצה נילפוטנטית (מתאפסת החל מחזקה מסויימת), ו - (מתחלפות), וכך: אם, מתחלפות ) ( אז : פתרון ל-

אריאל סטולרמן 16 0) ולכן : דרך בסיס כאשר ע"ע שונים: מוצאים משוואה אופיינית של det :A מוצאים את שורשי הפולינום,, מוצאים ו"ע מתאימים,, מציגים את ( 1 הפתרון: ע"ע מרוכבים: פירוט דרכי פתרון למקרים שונים בתרגול לשים לב: עבור I אופרטור כפל ב,- המט' של I בבסיס הסטנדרטי היא 0 1 ומקיימת:, 1 0 מכפלה קרטזית של מערכות מד "ר: 1 0 0 לכל מטריצה יש צורה קנונית של ג'ורדן מעל המרוכבים: (בלוקים) כאשר 1 0 0 0 ו - והפתרון הוא: : היא מכפלה של מערכות : ע"ע עם ריבוי: 0 1 0 0,,, 1 0, 0 0 0 0 משוואות : :, ניתן להרחיב את הפתרון עד לקצוות כאשר,, המוגדר לקטע max אזי:,, נניח פתרון של אז הוא פתרון למשוואה ההומוגנית המתאימה לה אם, שני פתרונות למשוואה עד טענה: ניתן להמשיך את כל הפתרון של בעיית ההתחלה מסקנה: ניתן להרחיב כל פתרון של לכל מרחב וקטורי של פתרונות: יהי X מרחב וקטורי של פתרונות משפט עיקרי של מד"ר 1: כלומר:,( ) איזומורפי למרחב הפאזה של X מסקנות: dim האופרטור : הוא איזומורפיזם (מ- ל- X ומ- X ל - ( הערה: כל מערכת עם n וקטורים במרחב וקטורי ממימד n מהווה בסיס (אורתוגונליים אחד לשני) וורונסקיאן: יהיו,,, אזי הפונ' וורונסקיאן :, מוגדרת: היא הוורונסקיאן של המערכת W,, נניח (1 ) פתרונותל- אם לכל, מתקיים 0 אזי,, פתרונות בת"ל

אריאל סטולרמן 17 לפי משפט הקיום והיחידות, היא מוגדרת:, אמ"מ ידוע: 0 איזומורפיזם בין X ו- : ; קובעים מפורש: ואז פונ' האיזו' המסומנת איזומורפיזם, בכל נקודה עובר קו אחד ויחיד (האנך חותך את מרחב הפתרונות פעם אחת בדיוק בכל נקודה) מסקנה: כל פתרון של הוא צריף לינארי של n פתרונות "יסודיים" כל בסיס ב- X נקרא מערכת פתרונות יסודית : עבור, משוואות,,, יהי Y המרחב הוקטורי של הפתרונות, כאשר:, 0 1 0 0 0 0 1 0 המטריצה המתאימה למערכת: 0 0 0 1 יהי,, מערכת יסודית (כלומר פתרונותל- ( בת"ל, ז"א קיים, כךש- 0 הוכחה : :, כךש- 0 בת"ל אמ"מ קיים, כאשר: של,, הפתרונות מסקנה: אם,, בת"ל אבל 0, אזי לא קיימת מד"ר ש-,, פתרונותיה מערכות לינאריות לא הומוגניות: פתרון כללי ל- :, כאשר,, מערכת יסודית ומכאן X יהיה פתרון ל- אמ"מ פתרון כללי ל :- משוואות לינאריות: נקודה המקיימת 0 a, ב- a ) F יעקובי של (מטריצת אם: a סביב נקודה קריטית היא לינאריזציה של לינאריזציה: המשוואה

אריאל סטולרמן 18, כך ש: P יקראו שקולות אם קיימת מט' הפיכה,,, משוואות שקולות: מסקנה: אם המשוואות שקולות, הפולי' האופייניים שווים מערכות במישור ) ): תהי 0 1, אזי המערכת שקולה ל- det מסקנה: אם אז, שקולות אמ"מ הפולינומים האופייניים מקיימים: יציבות: יציבות: תהי a נק' קריטית למשוואה אוטונומית אזי: 0 0 כךש: קיים 0 יציבה (ליאופונוב): אם לכל 0 0 lim ש: 0 כך אטרקטיבית: אם קיים 0 נקודה יציבה ממש: אם שני הסעיפים הנ"ל מתקיימים הנקודה 0 אטרקטיבית למשוואה אמ"מ 0 לכל ע"ע של A אם 0 נקודה אטרקטיבית, אז היא נקודה יציבה ממש מסקנה עבור סדר 2: עבור,, :Δ 4 : ניתן להסתכל על הנתונים,Δ, וכל השאר כדי להסיק מהם על מס' הע"ע השונים, ריבויים וסימנים, ומהם להסיק על יציבות באופן הבא: אם כל הע"ע שליליים (שונים שליליים או אחד שלילי מריבוי 2) יציבות ממש (לחלוטין), כלומר שאיפה ל- 0 כש- אם יש ערך עצמי אחד לפחות חיובי ממש, אין יציבות בגלל שאיפה לאינסוף כש - אם יש ע"ע שלילי וע"ע 0 או ע"ע 0 מריבוי 2 יש יציבות רגילה, כיוון שהאקספוננט נהיה 1, וכש- מקבלים קבוע תמיד להסתכל על צורת הפתרונות: ומהם להסיק מה קורה כש- -