פולינומים אורתוגונליים

פולינומים אורתוגונליים מרצה: פרופ' זינובי גרינשפון סיכום: אלון צ'רני הקורס ניתן בסמסטר אביב 03, בר אילן

פולינומים אורתוגונאליים תוכן עניינים תאריך 3.3.3 הרצאה מרחב מכפלה פנימית (הגדרה, תכונות, דוגמאות) נורמה (הגדרה, דוגמאות) אי-שוויון קושי-שוורץ-בוניאקובסקי (הוכחה, נוסחת השגיאה) תרגילים: מכפלה פנימית תאריך 0.3.3 הרצאה אי-שוויון המשולש (הוכחה) ניצבות של ווקטורים, והגדרת מערכת אורתוגונאלית. מקדמי פורייה (הגדרה, דוגמא) משפט דיריכלה תרגילים: מכפלה פנימית תאריך 7.3.3 הרצאה 3 אי-שוויון ינסן (Jese) אי-שוויון יונג (Yug) אי-שוויון הולדר (Hölder) אי-שוויון מינקובסקי (Mikovsky) תרגילים: אי-שוויונים תאריך 7.4.3 הרצאה 4 תרגילים: אי-שוויונים (המשך) תאריך 4.4.3 הרצאה 5 מטריקה (הגדרה, תכונות, דוגמאות: המטריקה של טיחונוב) גבול של סדרה תחת מטריקה סדרת קושי ומרחב שלם הגדרת נורמה עבור מרחבים שונים (הגדרה ודוגמאות) ALON CHARNY

תאריך.4.3 הרצאה 6 ההרצאה בוטלה תאריך 8.4.3 הרצאה 7 תרגילים: מטריקה מרחב הילברט (הגדרה, תכונות) משפט ניומרק משפט פישר-ריס תרגילים: מרחב הילברט תאריך 5.5.3 הרצאה 8 תרגילים: מרחב הילברט (המשך) נוסחת הפולריזציה דטרמיננטה של גרם-שמיט פונקצית משקל / מומנט הצגה של פולינום מנורמל מסדר בעזרת הדטרמיננטה של גרם-שמיט מערכות פולינומים אורתוגונאליים ידועות לג'נדר (Legader) צ'בישב (Tchebyshev) יעקובי (Jacoby) הרמיט (Hermit) לגר (Laguerre) ברנשטיין - סג'ייה (Beristei-Szego) תאריך.5.3 הרצאה 9 תהליך גרם-שמיט הקירוב הטוב ביותר אי-שוויון בסל / שוויון פרסבל משפטי השלמות של מערכות אורתונורמאליות ALON CHARNY

תאריך 9.5.3 הרצאה 0 שלמות מערכת פולינומים אורתונורמאלית שני עקרונות עבור פולינומים אורתוגונאליים יחידות מערכת אורתוגונאלית מערכת אורתוגונאלית עם פונקצית משקל סימטרית משוואות תלת נסיגה תאריך 6.5.3 הרצאה משוואות תלת נסיגה (המשך) מקדמי פורייה של כל פולינום חסומים. זהות דרבו-כריסטופל, והגרעין של כריסטופל P תכונות אפסים של ( x) תאריך.6.3 P ( x) (המשך) הרצאה תכונות אפסים של משפט פיקונה תאריך 9.6.3 הרצאה 3 תרגילים: מערכות אורתוגונאליות תאריך 6.6.3 הרצאה 4 α Lip M מרחב ליפשיץ התכנסות נקודתית ובמידה שווה של טור פורייה של פולינומים אורתוגונאליים הצגת רודריגו הרצאת חזרה תאריך 7.7.3 הקירוב הטוב ביותר משפט פישר-ריס תרגילים: הקירוב הטוב ביותר תהליך גרם-שמיט משפט פיקונה ALON CHARNY 3

פולינומים אורתוגונאליים סיכום קורס מכפלה פנימית מקיימת את התנאים הבאים:. < u, u> 0 < u, u>= 0 iff u 0. < u, v>=< v, u> 3. < αu, v>= α < u, v> < u, αv>= α < u, v> 4. < u+ v, w>=< u, w>+< v, w> נורמה מקיימת את התנאים הבאים:. v 0 v = 0 iff v= 0. α v = α v 3. x+ y x + y תנאי 3 נקרא אי-שוויון המשולש. אם מעל מרחב ליניארי מוגדרת מכפלה פנימית, אזי המכפלה הפנימית משרה נורמה. אי-שוויון קושי-שוורץ-בוניאקובסקי, ונוסחת השגיאה. < f, g> f g ε = f g < f, g> ε = b b a a f ( x) g( y) g( x) f( y) dxdy < u, v> ווקטורים u, v ניצבים, אם מתקיים = 0 { } u סדרה מהווה מערכת אורתוגונאלית, אם היא המקיימת:. { u } < u, u 0 >= u m m = m הביטוי f מהווה הצגה של f במרחב, בעזרת הסדרה = a u k k k ALON CHARNY

אי-שוויון ינסן (Jese) f N k= α x k k N k= α k f ( x ) k f עבור פונקציה (x ( קמורה, מתקיים: אי-שוויון יונג (Yug) a b p a p q b + q עבור כל b> 0, a, וכן עבור p> מתקיים: p q= p כאשר p q או לחילופין בהצגה אחרת = + f ( x) = x p a 0 f b + ( x) dx f ( y) dy a b 0 מקרה פרטי של אי השוויון כאשר רציפה מעל עבור [ x, ) f ( x) p= אי-שוויון הולדר (Hölder) אי-שוויון הולדר מהווה הרחבה של אי-שוויון קושי-שוורץ הקיים עבור x P ( t), y( t) L [ a, נתון [b אם מתקיים: y q b = a y q q וגם < dt ( t) p q כאשר = + x P b = x a P P ( t) dt < b a x ( t) y( t) dt x y P q אזי p= אי-שוויון מינקובסקי (Mikovsky) אי-שוויון מינקובסקי מהווה הרחבה של אי-שוויון המשולש המוכר עבור x + y x + P P y P x P ( t), y( t) L [ a, נתון [b עבור P מתקיים: b a x P P P ( t) y( t) dt x( t) dt y( t) P b b + a a P dt P דהיינו: ALON CHARNY

. ρ ( x, y) 0 ρ( x, y) = 0 iff x y מטריקה מקיימת את התנאים הבאים:. ρ ( x, y) = ρ( y, x) 3. ρ ( x, y) ρ( x, z) + ρ( z, y) אם מעל מרחב ליניארי מוגדרת נורמה, אזי הנורמה משרה מטריקה. α v אין דרישה כזו ממטריקה. עבור מטריקה קיימת הדרישה = α v המטריקה של טיחונוב. x= { a} { } i y= b i= j =, j נתונות סדרות במרחב טיחונוב, המקיימות: ρ ( ) x, y = k= k a k + a b k k b k אזי המטריקה של טיחונוב מוגדרת להיות x x ( t) = max {{ x( t) } a t b ( t ) = Sup { { x( t) } a t b הגדרת נורמה מעל מרחבים שונים: ( t) V = Ca [ b], x, כאשר V מרחב הפונקציות הרציפות, אזי ( t) V = C( ab), x, כאשר V מרחב הפונקציות הרציפות, אזי אם אם x b = a ( t) [ x( t) ] P dt P, x אזי P ( t) V = L [ a, אם [b x [ ] = i= P a i P P [ ] = { a} V l = x, אזי i i= אם ( x ), = x x, אזי + x ϕ { x x } C, ϕ, כאשר ( x x ) V =, C אם המרחק בין שני איברים מוגדר לפי מטריקה, ובמרחב נורמי מתקיים: ρ לפי הגדרת הנורמה. ( x, xm) = x xm x גבול של סדרה limx = a ( ε) ; > N( ε) ρ( x, a) ε ε > 0 N < ( ρ אם קיים גבול, אזי הגבול יחיד וגם איברי הסדרה חסומים. ) M (0, ( x ALON CHARNY 3

{ } x סדרה תקרא סדרת קושי אם היא מקיימת את התנאי הבא על איברי הסדרה: ( ε) ;, m> N( ε) ρ( x x ) ε ε > 0 N, < m מרחב ייקרא מרחב שלם אם כל סדרת קושי מתכנסת לגבול השייך למרחב.. e Q a ( + ) Q = המרחב Q של הרציונאליים לא שלם, כי שואף ל- e, אך מרחב מכפלה פנימית ייקרא מרחב הילברט אם המרחב מקיים את התנאים הבאים: הנורמה מושרת ע"י המכפלה הפנימית ניתן להגדיר את המכפלה הפנימית בעזרת הנורמה. (מתקיים תנאי המקבילית) המרחב שלם x, מתקיים תנאי המקבילית: אם עבור כל שני ווקטורים השייכים למרחב y V x+ y x y ( x ) = y משפט ניומרק: אם תנאי המקבילית מתקיים, אזי ניתן להגדיר את המכפלה פנימית בעזרת נורמה. L דהיינו רק, P= קיום מרחב הילברט: עבור מרחב מרחב הילברט. P V = L תנאי המקבילית מתקיים רק עבור נובע מאילוץ תנאי המקבילית עבור: הוא x 0 0 t ( t) = y( t) t 0 = 0 t t =P, דהיינו רק l הוא עבור מרחב מרחב הילברט. P V l= תנאי המקבילית מתקיים רק עבור נובע מאילוץ תנאי המקבילית עבור: {,, 0, 0, 0,... } = {,, 0, 0, 0,... } x= y x ( t) = max {{ x( t) } a t b [ b] במרחב Ca, V = אם הנורמה ולא איננו מרחב הילברט. לא מתקיים תנאי המקבילית, ALON CHARNY 4

תכונות מרחבי הילברט: לא כל מרחב הילברט הוא מרחב ספרבילי. מרחבי הילברט בעלי אותו מימד הם: איזומורפיים - לכל איבר במרחב אחד, קיים איבר במרחב השני איזומטריים הנורמה של זוג איברים שווה. (פרסבל) { c משפט פישר רוס: כל סדרה ב- l } ניתן להציג כמקדמי פורייה של פונקציה c,{ u ולהיפך. } ( x) u ( )> =< f x, ( x) L f, ביחס למערכת אורתונורמאלית f דהיינו, בהינתן (x ( קיימת סדרה המקיימת f ( ) x = = 0 c f ( x) = c u ( x) = 0 כך שניתן לרשום את הפונקציה וגם מתקיים 4 נוסחת הפולריזציה ביטוי מכפלה פנימית בעזרת נורמה [ u+ v u v + iu+ iv iu ] < u, v>= iv (בשביל שיתקיימו כל תנאי מכפלה פנימית, צריך להתקיים תנאי המקבילית) { } u i נתונה מערכת בלתי-תלויה המרחב V. נסמן ב- את הדטרמיננטה של גרם-שמיט Q ( x) < u, u > < u, u > = : : < u, u > = < u, u < u, u > : : < u, u > > < u, u < u < u, u : :, u < u, u > > > > < u, u > : : < u, u >........................... < u, u < u < u < u, u < u, u < u, u, u : :, u > > > Q להלן: ( x) > > > u u u ( x) ( x) : : ( x) { ( x) } Q נסמן את אזי המערכת אורתוגונאלית: < Q ( x), Q ( x) k >= Q ( x) 0 = k k= ALON CHARNY 5

( a,b) פונקציה x) P( על קטע תקרא פונקצית משקל, אם היא מקיימת:. P ( x) > 0 x. 3. b a P P ( x) dx> 0 ( x) dx< µ b = x P a ( x) הביטוי dx יקרא המומנט ה- של.P(x) מערכות פולינומים אורתוגונאליים ידועות שם לג'נדר קטע משקל P(x) סימון הערה P ( x) [,] T סוג ( x) x סוג סוג 3 U ( x) V ( x) x + x x צ'בישב,] [ סוג 4 ( ) α, β> J W ( x) ( α, β)( x) H ( x) + x x ( x ) α ( + x) β exp { x } [,] (, ) יעקובי הרמיט α α L ( x) α e x e לגר 0, ) ( wk ρ l ( x) ( x) ברנשטיין - סג'ייה,] [ - משקל צ'בישב ρ l ( x) > 0 w k ( x) מערכות הפולינומים של לג'נדר וצ'בישב הינם מקרים פרטיים של מערכת הפולינומים של יעקובי. ALON CHARNY 6

{ u } = {, x, x,... x } i ] a,b CL[ המקיימים: { } u i נתבונן במערכת ווקטורים במרחב אזי P ( x) = <, > < x,> : : < x,> <, x> < x, x> : : < x, x>......... <, x < x, x < x, x > > > x : : x P ( x) = µ µ 0 : : µ µ µ µ : : +......... µ µ µ + x : : x מהווה הצגה של פולינום מנורמל מסדר. P ( x) P x ( ) המערכת מהווה מערכת אורתונורמאלית. { } w i { } u i נתונה מערכת מכפלה פנימית שיתקיים: וגם בלתי-תלויים, תהליך בניית ווקטורים מערכת אורתונורמאלית, כך v = u { } w i { w} spa{ } spa = w = i u i נקרא תהליך גרם-שמיט v v v = u < u, w > w w = v v v = u k= < u, w k > w k w = v v ALON CHARNY 7

. f V { } v נתונה מערכת אורתונורמאלית כמו-כן נתון ווקטור, k= a k v k,{ v דהיינו, } נציג את המקדמים f כצירוף ליניארי של } a k { המביאים למינימום את המרחק בין הווקטור f ובין הצירוף הליניארי, a k =< f, vk הם > ונקראים הקירוב הטוב ביותר. (הקט"ב) argim 3 a k f k= a k v k הערות: k= a k < f כאשר המרחב לא שלם מקבלים את אי-שוויון בסל k= a k = f כאשר המרחב שלם מקבלים את שוויון פרסבל המשפט לעיל נכון גם עבור מערכת אינסופית. lim { a = 0 a k k= עבור מערכת אינסופית, הטור מתכנס, ולכן מתקיים { } v משפטי השלמות של מערכות אורתונורמאליות מערכת אורתונורמאלית שלמה אם"ם היא מקיימת אחד מששת התכונות השקולות הבאות (יש עוד תכונות שקולות שלא פורטו בקורס): = = f c c =< f, v סגירות: > { } v f ~ { } c f, f = = c v הצגה: ונסמן הצגה של f ע"י מערכת ε > 0 N, c ; f f c v <ε = צפיפות: שלימות: לא קיים איבר שונה מאפס המאונך לכל המערכת. If f ~ { a} & g ~ { b} the f g >= If f ~, { c } & g ~ { c } the f g = < ab יחידות: הרחבה של סגירות: ALON CHARNY 8

[ a,b] שלמות מערכת פולינומים אורתוגונאלית ( ) מערכת פולינום אורתונורמאלית בקטע p x במרחב מכפלה פנימית V C= P (מרחב הפונקציות הרציפות עם משקל (x )p ועם מכפלה פנימית ו/או L ( x) [ ab] נורמה ב- ( L הינה מערכת שלמה. P ( x) = γ x +... + γ 0 מקדמים γ הינו המקדם של פולינום אורתוגונאלי P ( x) = µ x +... + µ 0 µ הינו המקדם של פולינום אורתונורמאלי p ( x) { ( x) } p עקרונות עבור מערכת אורתוגונאלית: נתונה מערכת פולינומים אורתוגונאליים אזי כל איבר מהמערכת מאונך לכל פולינום אחר (לאו דווקא מהמערכת) מסדר m כאשר. m< מבין כל מערכות הפולינומים המתוקנים (המקדם של החזקה הגבוהה ביותר שווה ) p לפולינומים האורתוגונאליים המתוקנים יש את הנורמה המינימאלית. ( x) = µ x +... + µ x+ µ 0 p( x) = µ ( a,b) יחידות מערכת אורתוגונאלית בהינתן פונקצית משקל (x )p יחידה עם מקדם מעל קטע, µ (אם נתונות שתי מערכות אזי קיימת מערכת אורתוגונאלית { p ( x) }{ q ( x) }, אורתוגונאליות, ( { q ( x) } = ( ± ) { p ( x) } > 0 { ( x) } q אזי מערכת מקיימת p ( x) p( x) תכונת הסימטריה עבור פולינומים אורתוגונאליים עם פונקצית מעל קטע משקל זוגית, דהיינו, מתקיים. p ( x) = ( ) p ( x) a] a,,[ אזי כל a] a,.[ אזי מתקיים p ( x) = p( x) p ( x) = p( x) אם פונקצית המשקל זוגית גם סימטרית. על קטע סימטרי { a b}, max, k ck < C= דהיינו, עבור כל פולינום בקטע סופי [b, [ a מתקיים מקדמי פורייה של כל פולינום חסומים. ALON CHARNY 9

p( x) ( a,b) { ( x) } p שוויון תלת נסיגה נתונה מערכת אורתונורמאלית מעל קטע עם פונקצית משקל p ( x) = µ x +... + µ x+ µ 0 בהינתן מתקיים כלל הנסיגה: p µ µ + c k = ~ ( p ( x)) x p ( x) = ( x c ) p ( x) + p ( x) ( x) p ( x) p( x) µ p+ µ b a k dx {,µ, p ( x) p ( x) } c0 0 0, אם ידועים ניתן לחשב את כל המערכת. משוואות הנסיגה עבור פולינומים אורתוגונאליים מנורמלים ~ ~ ~ + ( x) = p( x)( x c) λ p ( x) λ µ a,a] ], נקבל את p ( x) = p( x) µ אם פונקצית המשקל זוגית על קטע סימטרי (c = 0 ). p ~ ~ ~ + ( x) = x p המשוואות: x) ( x) λ p ( k= 0 p k ( x) p ( t) k = c + p + ( x) p ( t) p ( t) p ( x) x t + זהות דרבו-כריסטופל c + µ λ µ + k= 0 k ( x) p ( t) k הביטוי p נקרא הגרעין של כריסטופל. ALON CHARNY 0

,b],[ a אזי: { ( x) } P P תכונות אפסים של (x ( P אם x) ( כל האפסים פולינום ממערכת פולינומים על קטע ממשיים, ראשוניים. P + ( x).( a,b) ( ) = 0 P ξ ξ כך שמתקיים (ללא ריבוב / ריבוי גדול מ- ) ונמצאים בקטע P אם ξ הינו שורש של (x ( אם ξ הינו שורש של אזי הוא איננו שורש של אזי ולהיפך. ( ) ( ) 0 P P + ξ ξ <. P ( x) P ( x) הפרדת אפסים: ( ) ξ k השורש ה- k של פולינום יהיה a< ω ( ) ( ) ( ) a< ξ <.. < ξ <.. < ξ a< ω P + ( x). P + k ( x) < b ( +) ω l השורש ה- l של פולינום ( + ) ( + ) ( + ) <. < ω < < ω. k.. P ( x) < b יהיה אזי בין כל שני שורשים של נמצא שורש של ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) < ξ <. ω < ξ < ω < < ξ < ω. k k k.. < b c P( x) כאשר, f משפט פיקונה ( x) CL ( )[ ab] P x נתון, נסמן ב- את מקדמי הפורייה של הינה פונקצית משקל. ( x) p ( )> =< f x,, f דהיינו, ( x) c S ( x) = c p ( x) k= 0 k k S ( f, x) S ( x) = נסמן ב- נסמן את ההפרש ב- את הסכומים החלקיים של טור הפורייה ϕ ( x) = f( x) S ( x) x),ϕ( דהיינו, אזי ל- (x )ϕ יש לפחות + אפסים מעל קטע [b, [ a α Lip M מרחב ליפשיץ f ( x) f( t) M x t α α Lip M f פונקציה x) ( שייכת למרחב אם היא מקיימת ALON CHARNY

, כמו-כן, לכל מתקיים ( x δ, x+δ) ( x δ, x+δ) התכנסות f( x) Lip M בסביבה נתונה פונקציה lims אזי x) ( x) = f( בסביבה. התכנסות נקודתית., כמו-כן, לכל מתקיים [ α, β] [ a,b] [ α, β] [ a,b] ( x) f Lip M p ( x) k נתונה פונקציה אזי בקטע בקטע. התכנסות במידה שווה. lims ( x) = f( x) p ( x) k A ( x) = ax+ b B( x) הצגת רודריגו לכל פולינום קלאסי, עם משקל פירסון, המקיים ' ( x) y ( x) y A, = cx + cx+ c3 = B d p! dx ( x) = ( x ) יש הצגת רודריגו, דהיינו: ALON CHARNY