Η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( εύτερη Φάση Σάββατο, πριλίου, 7 Ώρα:.. Οδηγίες: Το δοκίµιο αποτελείται από έξι (6 θέµατα. Να απαντήσετε τα ερωτήµατα όλων των θεµάτων. Να εκφράζετε τις απαντήσεις σας, όπου χρειάζεται, µε ακρίβεια δύο σηµαντικών ψηφίων. 4 Όταν σε ένα θέµα δε δίνονται αριθµητικά δεδοµένα, να εκφράζετε τις απαντήσεις σας σε συνάρτηση µε τα µεγέθη που δίνονται στο αντίστοιχο θέµα ή ερώτηµα. 5 Να χρησιµοποιείτε µόνο τις σταθερές που δίνονται σε κάθε ερώτηµα. 6 Επιτρέπεται η χρήση µόνο µη προγραµµατισµένης υπολογιστικής µηχανής. 7 εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. ΘΕΜ ( µονάδες Το εκκρεµές ενός ρολογιού τοίχου αποτελείται από µικρό σφαιρίδιο που βρίσκεται στο ένα άκρο αβαρούς ράβδου. Το ρολόι δείχνει τον ακριβή χρόνο σε θερµοκρασία 4 C, όταν η περίοδος του εκκρεµούς είναι T =, 5s, και το µήκος της ράβδου. (α Να υπολογίσετε τον αριθµό των ταλαντώσεων που εκτελεί το εκκρεµές όταν ο ωροδείκτης συµπληρώσει πλήρεις κύκλους. (µ. Όταν η θερµοκρασία είναι 4 C η ράβδος επιµηκύνεται κατά,% του µήκους. (β Το ρολόι θα πηγαίνει µπροστά ή πίσω; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. (µ. (γ Να υπολογίσετε το σφάλµα σε δευτερόλεπτα µετά από ένα εικοσιτετράωρο στη θερµοκρασία των 4 C. (µ.5 ( ίνεται: + +, για πολύ µικρές τιµές του.
η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( εύτερη Φάση ΘΕΜ ( µονάδες ύο σύγχρονες κεραίες εκποµπής ραδιοκυµάτων και βρίσκονται σε απόσταση η µια από την άλλη. Οι κεραίες εκπέµπουν ραδιοκύµατα µήκους κύµατος λ. έκτης που βρίσκεται πάρα πολύ µακριά από τις κεραίες (θ θ θ ανιχνεύει τα κύµατα όπως φαίνεται στο σχήµα. Ζητούνται: (α Η διαφορά φάσης µε την οποία φθάνουν τα κύµατα στο δέκτη σαν συνάρτηση της γωνίας θ. (µ.5 (β Η σχέση που δίνει τις τιµές τις γωνιάς θ για τις οποίες ο δέκτης ανιχνεύει µέγιστα της έντασης των κυµάτων λόγω συµβολής. (µ.5 θ θ θ (δέκτης x ΘΕΜ ( µονάδες Τέσσερις µεταλλικές ράβδοι µήκους =,5 η κάθε µια, συνολικής αντίστασης R=Ω, είναι συνδεδεµένες µεταξύ τους µε αρθρώσεις στα άκρα τους. ν τραβήξουµε το νήµα που είναι δεµένο στην άρθρωση, οι ράβδοι σχηµατίζουν ρόµβο του οποίου οι διαγώνιοι µεταβάλλονται. Κλείνουµε τις ράβδους ώστε να σχηµατίζουν ευθύγραµµη διάταξη και τις κρεµάζουµε σε στήριγµα από το σηµείο. Η διάταξη βρίσκεται σε µαγνητικό πεδίο µαγνητικής επαγωγής =Τ όπως φαίνεται στο σχήµα. Τη χρονική στιγµή t = τραβούµε το νήµα, οπότε η άρθρωση κινείται προς τα κάτω, κάθετα στις µαγνητικές δυναµικές γραµµές, µε σταθερή ταχύτητα µέτρου υ=/s. Τα φαινόµενα αµοιβαίας επαγωγής και αυτεπαγωγής είναι αµελητέα. δδ ( ίνεται το εµβαδόν ρόµβου S = Ζητούνται: (α Οι σχέσεις που εκφράζουν τη µεταβολή σε συνάρτηση µε το χρόνο, i. του εµβαδού του ρόµβου S=f(t, που σχηµατίζεται από τις ράβδους και ii. του επαγωγικού ρεύµατος που τις διαρρέει, I επ =f(t. (µ.4+5 (β Να σχεδιάσετε σε βαθµολογηµένους άξονες τις γραφικές παραστάσεις S=f(t και I επ =f(t. (µ.+ (γ Η χρονική στιγµή t κατά την οποία το επαγωγικό ρεύµα αλλάζει φορά και να εξηγήσετε γιατί συµβαίνει αυτό. (µ. (δ Να σχεδιάσετε σε δύο ξεχωριστά σχήµατα τη φορά του επαγωγικού ρεύµατος πριν και µετά τη χρονική στιγµή t. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. (µ.4 =Τ Ζ Σχ. =Τ Ζ =,5 Σχ.
η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( εύτερη Φάση ΘΕΜ 4 ( µονάδες Ένα αµαξάκι µάζας κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου υ πάνω σε αεροδιάδροµο εργαστηρίου και πλησιάζει δεύτερο αµαξάκι µάζας <. Το δεύτερο αµαξάκι βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε απόσταση από το πλησιέστερο άκρο,, του αεροδιαδρόµου, όπως δείχνει το σχήµα. υ Τη χρονική στιγµή t = το αµαξάκι συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε το αµαξάκι. Μετά την κρούση το αµαξάκι συγκρούεται ελαστικά µε το άκρο του αεροδιάδροµου και επιστρέφει πίσω. Τη χρονική στιγµή t τα δύο αµαξάκια συγκρούονται για δεύτερη φορά σε απόσταση x από το άκρο. Όλες οι κρούσεις είναι αµελητέας χρονικής διάρκειας. Ζητούνται: (α Η σχέση που εκφράζει την απόσταση x σε συνάρτηση µε τα µεγέθη, και. (µ. (β Η σχέση που εκφράζει τη χρονική στιγµή t σε συνάρτηση µε τα µεγέθη,, και υ. (µ.4 (γ Η σχέση µεταξύ των µαζών και ώστε: (i x = και (µ. (ii να µπορούν τα δύο αµαξάκια να συγκρούονται για δεύτερη φορά. (µ. ΘΕΜ 5 ( µονάδες ύο υλικά σηµεία, είναι τοποθετηµένα στα άκρα και λεπτής οµογενούς ράβδου µήκους. Το σύστηµα των υλικών σηµείων και της ράβδου βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε οριζόντια επιφάνεια η οποία δεν παρουσιάζει τριβές. Υλικό σηµείο που κινείται οριζόντια µε ταχύτητα υ συγκρούεται ελαστικά µε το σύστηµα στη θέση, όπως φαίνεται στο σχήµα. Η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αµελητέα. Τα υλικά σηµεία και η ράβδος έχουν την ίδια µάζα. 4 ( ίνονται: Iρ(κ.µ. = και Iρ( = (α Να βρεθεί η ταχύτητα του υλικού σηµείου, αµέσως µετά την κρούση, σε συνάρτηση µε την ταχύτητα υ. (µ.4 (β ν η κρούση είναι πλαστική και η ράβδος µπορεί να περιστρέφεται γύρω από το, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου σε συνάρτηση µε τα µεγέθη υ και. (µ.6 υ κ.µ.
η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( εύτερη Φάση ΘΕΜ 6 ( µονάδες Κατακόρυφο αβαρές ελατήριο µπορεί να επιµηκύνεται και να συσπειρώνεται σε σχέση µε το φυσικό του µήκος. Στο ελατήριο κρεµάζουµε σώµα µάζας που ισορροπεί σε απόσταση από το άκρο του ελατηρίου (σχήµα. Συµπιέζουµε το ελατήριο κατά (σχήµα. Τη χρονική στιγµή t= το αφήνουµε ελεύθερο να εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση µε περίοδο T = s. Κατά τη διάρκεια της πρώτης ταλάντωσης, όταν το σώµα περνά από τη θέση ισορροπίας του, το σώµα εκρήγνυται σε δύο θραύσµατα αντίστοιχα και µε µάζες και + Σχ. Σχ. Σχ. Σχ. 4 Θ.Ι.( (σχήµα 4. Η χρονική διάρκεια της έκρηξης είναι αµελητέα. Τα θραύσµατα αµέσως µετά την έκρηξη κινούνται κατακόρυφα µε ταχύτητες ίσου µέτρου και αντίθετης φοράς. Η έκρηξη έχει αµελητέα χρονική διάρκεια. Ζητούνται: (α Η φορά κίνησης του σώµατος τη στιγµή της έκρηξης. (µ. (β Το νέο πλάτος ταλάντωσης του θραύσµατος, σε συνάρτηση µε την απόσταση. (µ.8 (γ Η χρονική στιγµή κατά την οποία το θραύσµα περνά από τη νέα θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά. (µ. (δ Η γραφική παράσταση της θέσης του ταλαντωτή σε συνάρτηση µε το χρόνο, y=f(t, από τη χρονική στιγµή t = µέχρι τη στιγµή που το θραύσµα περνά για δεύτερη φορά από τη νέα θέση ισορροπίας του µε φορά προς τα πάνω. Η γραφική παράσταση να γίνει σε βαθµολογηµένους άξονες. (µ.5 (ε Η ενέργεια που απελευθερώθηκε κατά την έκρηξη σε συνάρτηση µε τα µεγέθη και. (µ. 4
Η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός Σάββατο, πριλίου, 7 Ώρα:.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜ ( µονάδες (α Όταν ο ωροδείκτης συµπληρώσει πλήρεις κύκλους, συµπληρώνονται 4 ώρες. Μια πλήρης ταλάντωση συµπληρώνεται σε χρόνο µιας περιόδου, δηλαδή σε χρόνο,5 s. Εποµένως ο αριθµός των ταλαντώσεων N που εκτελεί το εκκρεµές σε 4 ώρες είναι, 4.6s N = = 6875. ( µον.,5s (β Το µήκος της ράβδου αυξάνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας. Εφόσον η περίοδος T του απλού εκκρεµούς δίνεται από τη σχέση T = π, είναι φανερό ότι µε την αύξηση του µήκους αυξάνεται η περίοδος. υτό σηµαίνει ότι θα χρειάζεται περισσότερος χρόνος για να δείχνει το ρολόι την ακριβή ώρα, δηλαδή για να δείξει ένα συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα. Εποµένως µε την αύξηση του µήκους του εκκρεµούς, το ρολόι θα πηγαίνει πίσω. ( µον. (γ Έστω T η περίοδος στη θερµοκρασία των 4 C και T η περίοδος στη θερµοκρασία των 4 C. Είναι, + T = π και T = π, όπου είναι η αύξηση του µήκους του εκκρεµούς. Έχουµε, T = π + = π + = π ( + = π +
η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός T = T + Με δεδοµένη την προσέγγιση + +, η τελευταία σχέση γίνεται, T = Τ( +. Όµως =,% =. Άρα,,, T = Τ( + = T =,5T =,5.,5 =, 5768s ρίσκουµε τον χρόνο σε δευτερόλεπτα για 6875 ταλαντώσεις (αριθµός ταλαντώσεων που θα εκτελούσε το εκκρεµές για ακριβή χρόνο 4 ωρών στη θερµοκρασία των 4 C (όπου η περίοδος είναι τώρα,5768 s. Έχουµε, t = 6875.,5768 = 864, 96s. ηλαδή το εκκρεµές θα χρειαστεί 864,96 s για να δείξει τον ακριβή χρόνο των 4 ωρών ή 864 s. Άρα το ρολόι πηγαίνει πίσω κατά 864,96 864 s =,96 s. (5 µον. ΘΕΜ ( µονάδες (α Με βάση την προσέγγιση έχουµε το εξής διάγραµµα για τη συµβολή των κυµάτων στο δέκτη. θ πό το διάγραµµα έχουµε για τη διαφορά δρόµου x των κυµάτων που φτάνουν στο δέκτη, x = ηµθ x Η διαφορά φάσης των κυµάτων που φτάνουν στο δέκτη δίνεται από τη σχέση, π φ = x. πό τις δύο σχέσεις παίρνουµε για τη διαφορά φάσης, λ π φ = ηµθ (5 µον. λ
η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός (β ια µέγιστα της έντασης (ενισχυτική συµβολή: φ = kπ, k =,,... π kλ kλ Άρα, kπ = ηµθ kλ = ηµθ ηµθ = θ = τοξηµ (, k =,,... λ (5 µον. ΘΕΜ ( µονάδες (α (i Έστω y και x το µήκος των δύο διαγωνίων του ρόµβου. Το µήκος y δίνεται από τη σχέση y = υt, Το µήκος x βρίσκεται από το πυθαγόρειο θεώρηµα. y y x = ( x =. 4 υ t 4 = 4 υ t Εποµένως το εµβαδόν του ρόµβου είναι, =Τ Ζ S = S yx υt 4 υ t = yx t 4.,5 t. ντικαθιστούµε, = = S = t. (4 µον. Σχ. =Τ (ii η µαγνητική ροή Φ που περνά από την επιφάνεια του ρόµβου είναι, Φ = συνθ. S. =. t = t η επαγωγική τάση είναι, E Φ Ν, N =. E t = (t t επ = επ. Ζ =,5 Σχ. E επ = ( ( 8t + t (8t Eεπ = Το επαγωγικό ρεύµα είναι Eεπ 8t Iεπ =, R = Ω. Iεπ = R. (5 µον.
η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός (β ( µον. S (,45,4,5,,5,,5,,5,5,,5,,5,,5,4,45,5,55,6,65 t (s I (A 4,5,,5,,5,,5,4,45,5,55,6,65 t (s - ( µον. 4
η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός (γ Το ρεύµα αλλάζει φορά τη χρονική στιγµή που η συνάρτηση I επ = f (t αλλάζει πρόσηµο. πό τη σχέση I επ = f (t, εξάγεται ότι αυτό συµβαίνει τη χρονική στιγµή t = s =, 5s. 8 ( µον. (δ Ι επ Ι επ t <,5s t >,5s (4 µον. ΘΕΜ 4 ( µονάδες (α Έστω V και V οι ταχύτητες των αµαξιών και αντίστοιχα µετά την κρούση. Κατά την κρούση διατηρείται η ορµή: u = V + V. (θεωρούµε θετική φορά προς τα δεξιά. Εφόσον η κρούση είναι ελαστική διατηρείται και η κινητική ενέργεια: u + V =. πό τις δύο εξισώσεις προκύπτει: V u = V + u + V ( u = V ( +. Άρα, V ( = ( u και V u + + =, V, το αµαξάκι κινείται προς τα > δεξιά. Εφόσον >, προκύπτει V >. Το αµαξάκι κινείται επίσης προς τα δεξιά. Το αµαξάκι κινούµενο προ τα δεξιά συγκρούεται µε το άκρο του αεροδιαδρόµου και επιστρέφει πίσω µε την ίδια σε µέτρο ταχύτητα. Στην επιστροφή συγκρούεται µε το αµαξάκι, για δεύτερη φορά. Έστω x η απόσταση από το άκρο που συµβαίνει η δεύτερη κρούση, τη χρονική στιγµή t. Μεταξύ των δύο κρούσεων το αµαξάκι διανύει απόσταση -x και το αµαξάκι διανύει απόσταση +x. Άρα t + x x + x x = = =, ( + x( = ( x V V u u( + + x Τελικά, + x = (, (σχέση ( µον. 5
η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός (β t x ( + = =, (σχέση V ( u ( u + t ( = + (4 µον. (γ (i πό τη σχέση, µε x=, + = + = = ( µον. (ii ια να µπορούν να συγκρούονται για δεύτερη φορά πρέπει να υπάρχει θετική λύση της σχέσης, για την τιµή t. Άρα, > > ( µον. ΘΕΜ 5 ( µονάδες (α Η ράβδος µετά την κρούση εκτελεί σύνθετη κίνηση. ια το σύστηµα ισχύει (i η αρχή διατήρησης της ορµής, (ii η αρχή διατήρησης της στροφορµής και (iii η αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας. υ Έστω, V η ταχύτητα του υλικού σηµείου αµέσως µετά την κρούση, V κµ και ω η γραµµική ταχύτητα του κέντρου µάζας και η γωνιακή ταχύτητα αντίστοιχα του συστήµατος ράβδουυλικών σηµείων και. πό τις αρχές διατήρησης έχουµε: κ.µ. (i u = Vκµ + V u = V κµ + V, (Σχέση (ii u = ( + ω + V, (Σχέση (iii u = ( + ω + V + V κµ (Σχέση. u V (Σχέση V = κµ (Σχέση ω = ( u V 7 ντικαθιστούµε τις σχέσεις και στην (iii: u u V = ( + V 7 + u V ( ( 7 6
η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός u V ( u V = ( u V + 7 6 u + V = ( u V 5 V = u. (Το αρνητικό πρόσηµο δείχνει την κατεύθυνση, προς τα 7 αριστερά. (4 µον. (β Η ράβδος εκτελεί περιστροφική κίνηση µετά την πλαστική κρούση. Ισχύει µόνο η αρχή διατήρησης της στροφορµής. Ως προς το σηµείο έχουµε: 4 u = ( + ( 8 ω u = ω u ω =. 8 (6 µον. ΘΕΜ 6 ( µονάδες (α Κατά την έκρηξη ισχύει η διατήρησης της ορµής. Έστω u η ταχύτητα της µάζας τη στιγµή της έκρηξης. Εφόσον η έκρηξη γίνεται στη θέση ισορροπίας Θ.Ι.(, είναι, u = ωy. πό την αρχή διατήρησης της ορµής έχουµε, + Θ.Ι.( u = Au A bub. (Η θετική φορά είναι προς πάνω. ίνεται ότι: u A = ub = u, A =, B =. Άρα, Σχ. Σχ. Σχ. Σχ. 4 u u = u u u =. Εποµένως η φορά της ταχύτητας u είναι προς τα κάτω (από το αρνητικό πρόσηµο. ( µον. (β Η θέση ισορροπίας του ταλαντωτή αλλάζει. Η νέα θέση ισορροπίας Θ.Ι.( βρίσκεται εκεί που ισορροπεί το θραύσµα. Στη θέση ισορροπίας Θ.Ι.( ισχύει, από το νόµο του Hooke, = K K = Στη θέση ισορροπίας Θ.Ι.(, έχουµε, 7
η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός = Ke e = = e =. K η απόσταση y από το σηµείο της έκρηξης έως το νέο σηµείο ισορροπίας Θ.Ι.(, είναι ίση µε την απόσταση e. Άρα, y = e = = ( ιαφορετικά, η απόσταση y είναι η επιµήκυνση που προκαλεί το θραύσµα. Άρα, από το νόµο του Hooke, = Ky y =, y = y = K Το νέο πλάτος y της ταλάντωσης µπορεί να βρεθεί από τη σχέση: u = ω y y. Όπου, u K ω = = Άρα η σχέση u A u =, u = ωy, = ω y y γίνεται, y =, K ω = =, = y ( 9 4 9 = ( y 4 9 4 = y 4 4 6 6 4 + = y = y y = 9 4 y =. (β τρόπος πό την αρχή διατήρησης της ενέργειας, (η ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση µε την κινητική ενέργεια και την δυναµική ελαστική ενέργεια ως προς τη νέα Θ.Ι.(. Άρα, + Ky, ντικαθιστούµε, Ky A u = A =, K u = u = ω y =, 4 K 4 K +.9. = Ky, 9 9 4 y =. (8 µον. 8
η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός (γ Η περίοδος ταλάντωσης του θραύσµατος είναι: η περίοδος πριν την έκρηξη είναι: π π T = =. Άρα, ω T π = = ω π T T = = s, ( T = s. Ο ζητούµενος χρόνος t είναι ο χρόνος t για να κινηθεί το σώµα από την αρχική ακραία θέση,, µέχρι τη Θ.Ι.( και ο χρόνος t για να κινηθεί το θραύσµα, A, από τη Θ.Ι.( µέχρι τη Θ.Ι.(. Ο χρόνος t γίνεται σε ¼ της αρχικής περιόδου. Ο χρόνος t γίνεται σε χρόνο που π ικανοποιεί τη σχέση, ω t =, εφόσον το 6 θραύσµα θα πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση, y = y ηµ ( ω t, µε T t =. Τελικά, y T T t = + = + =, 5s. 4 4 y =, όταν t = t. Άρα, t = u 5 4 Θ.Ι.( Θ.Ι.( ( µον. 9
η ΠΚΥΠΡΙ ΟΛΥΜΠΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός (δ y 4,4,76,9 s,4 s,6 Θ.Ι.( t (s,5 s, s,5 s (5 µον. (ε E = u + u u = ( u u = (9u u 4π E = 4u = 4ω y = 4 (, T = s, Άρα T 64π E =. 7 Σηµείωση, εάν αντικαταστήσουµε στη σχέση E = ω, 4 y ω =, και y =, παίρνουµε, 44 6 E = = 9 9, που είναι αποδεκτή. ( µον.