9. UIIAREA RASFORMAEOR APACE ŞI Î SUDIU SEMAEOR rform Forr (ră ş vră) rlă o rformr rprăr ml oml mp î oml frvţă ( ω) ş vr. Grlâ vrbl mgră ω omplă: σ ω (frvţ omplă), obţ mol m grl rprr mllor, m rform pl. 9.. RASFORMAA APACE BIAERAĂ F mll r îplş oţ: α M pr < < ; β M pr > A grl: α > β ( ): B 9.. (9.) σ ω B (9.) mş rform pl blrlă mll. Coţ ovrgţă grl (9.) : σ < ω (9.3) Pr rm oml ovrgţă rform pl blrl, vlă grl (9.): B < ( ασ) ( βσ) lm lm ασ βσ < M M. α σ β σ Pr ovrgţă, v ă l oă lm rb ă f l, rg pă oţl: α σ > β < σ < α (9.) β σ < Pr rm rform pl blrlă vră, po obrv ă (9.) σ rpră pr rform Forr mll y : F σ ω ( y ) : ( σ ω) S po obrv ă pobl ă po rformă Forr, r y, oţ rpăr oţ ovrgţă (9.). Î oform (6.), orgll y obţ rlţ: y σ F ( ( σ ω) ) ( σ ω) π ( σ ω) ω σ π ω ω ω Dr σ ω ω ; m < ω < σ < < σ, fl ă:
σ B ( B ), (9.5) π σ pr rpră rform pl blrlă vră (forml vr Mll-Forr), oţ σ ă îplă oţ ovrgţă (9.). D mov, σ m mş ş for ovrgţă. Î fgr 9. rpr oml ovrgţă l rform pl blrl, pr l β < ; α >. Smll poă mbl rform (Forr ş pl) ă oml ovrgţă l ş mgră. 9.. RASFORMAA APACE UIAERAĂ Î l ş pror mlor ş rlor lr, mll ţ (orgll) ob l pr < (ml l). U fl ml po f r ş b form:, (9.6), mll rpă (Hv). Î fl r foloş rform pl lrlă, fă pr rlţ: ( ):, (9.7) î r lm froră grr oră, pr p ţ o ş mplrl Dr δ pr î l vllor oăţ î moml. Cm rform Forr mp rţ orgll ă f l, p vr m pţ rrvă. Coţ ovrgţă (9.3) v: σ <, (9.8) r oţ (9.) p r rb ă o îplă orgll rformă î: < M ; R (9.9) (ă o poţlă î rpor r rş m rp); m mş ş rşr l mll. Vlor mmă l, r rformă (9.9) î gl, mş bă ovrgţă bolă ş oă σ. Alfl p, σ vlor mmă vrbl σ pr r îplă oţ ovrgţă (9.8). Coţ ovrgţă rform Forr <, (9.) rg pă rţ lm, p â î l rform pl (lrlă blrlă), lm rpvă po f lă, orgll volâ, oform (9.9), b poţl. C rmr, pl vr l ovrgţ, rform Forr m rrvă â rform pl lrlă. rr l rform pl lrlă l rform Forr ş vr po f pr bţl oă oţ: Fg. 9. Doml ovrgţă l rform pl blrl ω, rpv ω, m ă îpl ml β ω α σ 9.
mll l; b ovrgţă bolă lă ( σ ), mplă îplr rlţ (9.). Rlţ fţ rform pl lrl vr (9.5), î r rb îplă oţ σ > σ. Crb pll ompl p r gră î (9.5) (orl Bromwh) pră î fgr 9.. Îrâ rform pl lrlă m foloă, î or v rţ l rbl lrlă f mă p r or rform pl. 9.3. RASFORMAA F ml l pr < (ml l). Smll şo ( pro π şor ; π f ), [], f pr rlţ (8.), po ω prm m o: ( ) δ( ) ( ) δ( ) (9.) rform pl mll şo po ll por l (9.7), ţâ o propr lr (r vă): ( ) ( ) ( δ( )) (9.) Dr (pă m v ră lror, prr ă proprăţl rform pl ş morţl măăor l orpăor l rformăr Forr): δ (9.3) Rlă ă: ( ) ( ) (9.) C oţ: :, (9.5) îlo- î (9.) obţ: : ( ), (9.6) r rpră rform mll şo: ( ) ( ( )): ( ) (9.7) Obrvţ:. Dă r (9.7) ă ş ovrgă pr (ă ş pr vlor gv), pr orpăor mş rform blrlă. D ob îă lră ml rm, fl ă rform lrlă,, p r, rform ;. Sr (9.7) ovrgă ă r R, oă mă om ovrgţă, pă m po obrv î fgr 9.3; R Im ω Fg. 9. Corl Bromwh R Fg. 9.3 Doml ovrgţă rform r σ σ R 9.3
O 3. Rlţ (9.5) rpră o rformr oformă pll ( y) pll ( σ ω) Im σ î, fp m mplă r l, ş m rr b form rgoomră măr ompl: σ σ ω σ ω (9.8) rg ω S vor pr oă mpl rformr or ror î pll î l orpăor î pll : 3..F vrl σ î pll. ror orpăor î pll σ rl ră R (fgr 9.) ; 3..Corl ( Γ ) bof r orp fâş bă ( lăţm ω ) î mpll âg l pll, rformă îr- r ( R pr ă σ ), l oă ăr orp gmlor orol f ş b (fgr 9.b).. rformărl rorlor rfră (ş) oml ovrgţă l rform pl (blrlă lrlă) î pll î oml ovrgţă l rform (blrlă lrlă) î pll. Pr rmr rformăr vr, porş o l rform pl. Afl, mll orgl po rm orl rform l pl orl (9.5): Dă îloş, (9.5) v: σ ( ): (9.9) π σ Folo bţ (9.5) î (9.9) ş ţâ o rlţl v: l (r rformă oml âg rp σ, σ fgr 9. î rorl rl fgr 9.b), rlă: R Im Im f ω C σ Γ R R O b ω b ) b) Fg. 9. ror orpo î pll ş π C Dr ( σ ω ) 9. (9.), - or fâş bă pll, pr opr l (rmr vlor prplă fţ ompl l). Îlo lm rlţ î (9.) ş lâ, rlă: (9.) π C Epr (9.) fş rform vră. f Im O R
9.. PROPRIEĂŢI AE RASFORMAEOR APACE ŞI Îrâ proprăţ măăor, ş morţl lor, l vor f pr r. S vor folo oţ pl pr mll l ăror l orp rform pl pl () ş oţ pl [] ( ) pr mll şo pro şor, ăr î orp rform ([]) (( )). S vor pr î l rmă âv l m mpor proprăţ l rformlor pl ş. 9 r (9. ) (9. ) ofţ oţ. Dmorţl v, râ- l lr grl, rpv m (r). 9 orm îârr (plăr î mp) Dă mll îâr r, rpv mll îâr pro şor, : (9.3 ) Dmorţ: ) pl: ( ) ( [ ] ) ( ) Coform (9.7): ( ( ) ) ( ) ( ) 9.5 Dr mll () l ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) b) : <, fl ă: ( [ ] ) ( ) ( ( ) ) C oţ p, rlă:. p p ( [ ] ) ( p ) ( p ) p, îrâ pr <. Obrvţ: S po rpr - f oprorl îârr o proă. 9..3. orm plăr î frvţă ( îmlţr o poţlă) Dmorţ ) pl: ( ) ( ) ± m ( ) p ( ) ( ) ( ) (9.3 ) (9. ) (9. )
9.6 b) : ± ± m m 9 Mofr ăr rprr (orm măăr) (9.5 ) (9.5 ) Dmorţ ) pl: b) : 9..5. Drvr orgll (orm păr vl î mp) (9.6 ) (9.6 ) Dmorţ: ) pl: lm Dr, oform (9.9) rlă ă M σ σ <. Cm > σ, rlă ă lm, fl ă (9.6 ) moră. Grlr: (9.7 ) Dmorţ po f şrţă pr ţ. b) : Dă oă, rlă: 3. Grlr: (9.7 ) Dmorţ măăor m, mofr f ă v, l mr,, vră îr ş, pr obţ rform rb roş ş oş mă rm, ă (9.7 ).
9..6. orm vlor ţl ( ) lm Dmorţ: ) pl: (9.8 ) lm (9.8 ) Dă oă î org ( ) ( ) (9.6 ), rlă: lm 9.7 ş î oform lm( ( ) lm lm { 3 Dă oă î org, ( ( ) ( )) rv î org v ( ( ) ( )) δ( ) (9.6 ), obţ: ( ), fl ă. Iroâ î ( ( ) ( )) δ ( ( ) ( )) δ ( ) ( ) ( ) lm. 3 b) : Emâ (9.6), obrvă ă ă, lă oţ rm mă, (or pol gv), pţ prml,, rlă (9.8 ). 9..7. orm vlor fl lm lm lm( ) lm( ( ) ) Dmorţ: ) pl: Coform morţ orm (9.8 ), rlă: ( ) Rlă ă: lm (9.9 ) ( ) ( ) lm { ( ) lm lm ( ) lm (9.9 ) b) : S v or frţ ( ) îr oă şo ov l mll (r proporţolă rv ră): ( ) ( ( ) ) ( )
S v rm rform ml p oă ă: ) ( ( ( ) ) ( )) [ ( ( ) ) ( )] D, rlă ă: [ ( ( ) ) ( )] lm ( ) lm D (9.3) b) Folo (9. ) ş (9.8 ), D prmă fl: D ( ( ) ) ( ( )) ( ), rlă ă: D lm D lm (9.3) D (9.3) ş (9.3) rlă (9.9 ). Obrvţ: D pră b form (9.3), oră f rform rv r mll. 9..8. orm rvăr î frvţă (mlplr î mp) ( ) (9.3 ) ( ) (9.3 ) Dmorţ: ) pl: ( ) ( ) ( ) Grlr: ) (9.33 ) b) : ( ) ( ) ( ) (9.3) Dr, oform fţ (9.6), mmbrl âg l rlţ (9.3 ) : ( ) ( ) ( ) (9.35) D (9.3) ş (9.35) obţ rlţ (9.3 ). Grlr m l fl mplă î l rform pl. D mov, î l rvlor or pror po pro rrv, î mpll rmăor : ( ) ( ( )) ( ( )) Pr lll rform ( 3 ) proă măăor, por l pr blă m, ş..m.. 9.8
9.9 9..9. orm grăr orgll (măr) (9.36 ) p (9.36 ) Dmorţ: ) pl: S plă mo grăr pr părţ: v v. Fpl ă moră prr pro mlr l folo î prgrfl 9..5. b) : Fţ p proporţolă grl ră mll. Rlă ă: p p p p 3 3 Obrvţ: o î lgără m şolor, vă (ş) rmăor rlţ: lm (9.37) oă ş b ml orm m. A rl obţ m (9.6), orâ. 9 orm grăr mg (măr) p p (9.38) Dmorţ: F Y p p Y Φ Φ Φ.
F m y orgll mg Y. Coform (9.3 ), rlă ă: Y y y y y ( ) ( ) ă 9 Prol ovolţ p p. orm moră. Prol ovolţ oă ml log, ş, fo f (7.) ş v f rm î or: f ( ) : Cm mll ş l, rlă ă ( ) >, fl ă prol ovolţ v: ( ) Î l mllor şo, ş pr < (9.39) (l m), prol ovolţ fş măăor, grl v mă: f ( ) (( ) ): Prol ovolţ omv: Dmorţ: ) pl: Coform (9.39), ( ) C hmbr vrblă, rlă: ; ;, Afl ă obţ: b) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) C bţ, rlă: (( ) ) ( ), (9.) Î mo v, - obţ (9.), vrr or î r mă rm. C ş î l rform Forr, prol ovolţ r propr rmrblă ă po f p î lgără prol mglor pl, rpv. Afl: ( ) ( ) (9. ), (9. ) ă rforml (pl, rpv ) prol ovolţ gl prol lgbr l rformlor (pl, rpv ) l mllor ovol, rl o ş b ml orml prol ovolţ î oml mp. 9.
9. Dmorţ: ) pl: S proă l morr lş orm pr rforml Forr:.3 S- folo propr lor oă ml f l ( prm rr prol ovolţ b form foloă î rl morţ) ş - l pobl vrăr or grr. b) : S porş l prol rformlor. p p p D m, b l ovolţ po f or ş mgl (pl ) mllor, fţ p oţlor lor ţă: π (9. ) π C (9. ) U, m σ σ >, r C rb mţoă î (9.) î fgr 9.. C ş î l rform Forr, ovolţ mglor r propr rmrblă ă po f p î lgără prol orgllor. Afl: (9.3 ), (9.3 ) rl o ş b ml orml ovolţ î oml frvţă. Dmorţ: ) pl: π π π Shmbâ or grr, obţ:
π ( ) ( ) π π π ( ) ( ) ( ) (. ) b) : Afrmţ (9.3 ) po f moră măăor. D mov v pr lă morţ, po f pă ş pr fr rlţ (9.3 ). Afl, ţl orm hvl ( ), v ll rform prol: ( ) I 3 ( ) π C vrâ or mr/grr, rlă: π C 3 ( ) ( ) ( ) 9.6. EERGIA SEMAEOR EŞAIOAE prol lor : F C şol mll ş P ( ) ( ) ( ) ogl lor. rform Rlă ă P rpră rg mll şo: E ( ) ( ) (.3 ) π C Cm ml l, rlă ă C po or rl, pă m - vă î (9.) î fgr 9.. Rlă ă po f hmbr vrblă: θ θ ; π θ π, ϕ( θ) fl ă () v ( θ) Î mo, pr rg mll şo v: E π π π ϕ( θ) ϕ( θ) θ ( θ) ( θ) { Î fl, ţâ o ş ă ( θ) ( θ) θ θ 3, obţ rl mş orm l Prvl pr ml şo, bl- fl o lgără îr rg lor ş moll rform, vl p rl : π E ( θ) θ π π (9.) 9.
9.7. EOREME DE IVERSIUE Pr rmr fţlor orgl, rpv, - pf rlţl grl (9.5), rpv (9.) rforml pl, rpv vr. A f f grl l or fţ ompl, rlă ă pr vl ăţ or oşţ (m) v lă omplă, mpl orm rrlor. Cm î m mr pr plţlor hă rforml pl pră b form or frţ rţol, ă orm pf, r fp r prlr l orm rrlor. Dfţ A Dă : m m b b b b B m ror l rform pl, r răăl ţ, răăl ţ A B m pol rform pl. Alog pr rform. Obrvţ: Dă mll l, m (mărăorl r grl l ml gl grl morl). U pro r po f l î orr ompr fţ î frţ mpl, l ăror rform vr ro pr îo. ormă (Hv) Dă pol fţ rfr,,, M, fr l mlplă m, m,, m M or, : M ( m ) A m lm (9.5) m! B Î l î r pol fţ rfr mpl, (9.5) v: m A ( ) (9.6) B ( ) Pr rmr rform vr, po obrv ă fă o r pr. Rlă ă mo prplă volr pr î r pr. Î l î r o fţ rţolă, po pro l ompr î frţ mpl fţ : A A A m A A A m m m. D ă formă, rlă r b form m poţl. Î l î r ă pol mlpl, î pr (ş) rm form A ( ) p, ăror l po pl rvr î frvţă (9.3 ). O lă moă po f plă împărţr (mărăorl l mor), r pr o volr î r pr: m m, m. Rlă ă b b b b î mo - rm şol mll :,., ( ) O lă moă po f vă î vr lr prol ovolţ. 9.3
9.8. APICAŢII 9.8.. F mll (mpll vo) fgr 9.5. Să ll rform pl ş rform Forr. Dpă m - m pro ş ror, po f prm m r o rpă ră povă ş gvă, îâră: ( ). Aplâ lr (9. ) ş îârr î mp (9.3 ), rlă ş orâ U ( ): ( ) ( ) ( ) U - U Fg. 9.5: Impll vo Rlă ă Cm mll l ş vlor fă grl moll, rform Forr l po obţ rform pl, bţ ω: ω ω ω ω ω ω ( ω) ω ω S po roş rll obţ pr lll r l rform Forr. 9.8.. F ml l b form r mplr ră ş proă (fgr 9.6). Să rm rform pl mll. D plţ roră, rlă ă rform pl prml mpl. Impll l moml Fg. 9.6 r mplr > obţ pr îârr prml mpl ş v v rform pl (9.3 ). Pr rmr: 3 3 (3.85) progr gomră q A ml r vlor fă grl moll, îplă oţ ţă rform Forr. Î oţă, oră plr bţ ω pr rm fţ prlă mll. Dpă m ş l rform Forr, ml ( or ml pro) r r Forr ş rformă Forr. 9.8.3. Să rm rforml pl ş pr mll rmăor; î l rform, mll oră şo pro : < ) 9.
9.5, or lm ă > σ (b ovrgţă bolă ) S- obţ o progr gomră, ăr rţ q. Rlă oţ ovrgţă: q > <, r om oml ovrgţă. lm b) < (rp ) S po obrv ă ă, mll poţl l p. ) v. Rlă ă: lm U (- rgă rll l problm 9.8.) lm U, ovrgă pr >. Ş rl po vrf pr ll r: U ) < Dor, r rforml mll poţl o l p. ), rlă ă: o Î mo măăor, pr mll o, obţ: o
( ) ( ) o ( o( ) ) o < (rp îâră ) ( ) pro şor) Coform (9.3) orm îârr, rlă: U U ; ovrgă pr >. ) b ( ) Dă oă y ( ),, î oform (9.) orm plăr î frvţă îmlţr o poţlă, rlă: Y( b) b b b Y b b ( ) o Î mo măăor, pr b o( ) ( b b o( ) ) ( b) ( ) b b b o o b b o( ) b o( ) b b o( ) b obţ: b o 9.8.. Să rm orgll orpăor rmăorlor rform pl: ) l. Să rm. b l l b b b ( ) b K b) ω K ω r o pol mpl: ; ω ω ω ω ω K ω K o ω ω ω b 9.6
9.7 ) 5 6 5 75 3 Dompâ î frţ mpl, obţ: 6 3 3 5, î r po roş rforml pl l fţ o, r l f plă î frvţă. Rlă ă : o 5 o 3 ) M. : Dă omp î frţ mpl, rlă:, F E D C B A Pr fr, obţ m (6) ţ, ol A, B,, F. M mpl: Î ă formă, po roş rmăorl: U 9.3 o 9.36 Î fl obţ fţ orgl: o 8 3 8 6 o 8 3 6 M. : S plă orm l Hv orpăor lor 3 pol bl ( ; 3 ; 3 ) fţ :!!! ),
î r ro rforml l mllor şo ş poţl. Rlă ă obţ : ( ) δ ( ) δ( ) f) l, < Dvolâ î r pr, obţ: l, Ifâ ă rlţ fţ (9.6) rform, ofţ vrbl -, v, şol fţ. Rlă ă: δ( ) 9.8.5. Să rm prol ovolţ l rmăorlor ml: pr < < ) ;, < < lfl ( ) Dă <,. Rlă ă: ( ) l Dă,. Rlă ă: Î ol: l l ( ) ( ) pr pr < < b) ; ( ) (( ) ) Dă l l l, < <, f pro şor., ( ),, (( ) ) ( ) Dă >, ( ),,. Rlă ă:. Rlă ă: ( ) 9.8
9.9 Î ol : pr pr Obrvţ: C m bă moă pr vrf or rolvăr problm îr (o) lă moă. Î l fţă, po folo omv prol ovolţ: ) Dă <, < < ş. Rlă ă: l l Dă, pr <. Rlă ă: l l S obrvă ă - obţ lş rl î l pr. b) Dă, ş,,. Rlă ă: Dă >,,,. Rlă ă: Ş î, rll l obţ ror.