فصل چهارم: جبر رابطه اي

فصل چهارم: جبر ه اي عملوند ها اعداد هستند. که با آن بخوبي آشنا هستيم جبر هاي در جبر رياضي حاصل يک عدد ديگر مي و عدد انجام مي شود دو عملگري )مثل +( روي مثال جبري است که که بحث اين فصل از کتاب است جبر ه اي اما شود. عملگر عملوندهاي آن ه ها )جدولها( هستند. يعني عملگري )مثل پيوند( روي يک يا چند ه انجام مي شود و حاصل يک ه ديگر مي در جبر ه اي دستوراتي پايه اي براي انجام عمليات مختلف شود. روي داده هاي بانک اطالعات نوشته مي شود. مهمترين اين دستورات دستور بازيابي داده ها از بانک اطالعات مي باشد که خروجي آن يک ه است. نکته اي که بايد به آن توجه شود اين است که ه حاصل از عمليات بر خالف ه هاي اصلي که عملگرها روي آنها اعمال مي شوند )که روي ديسک ذخيره شده اند( بطور موقت در حافظه ميباشند. عملگرهاي جبر هاي در جبر ه اي عملگرهاي مختلفي براي کاربردهاي مختلف روي ه ها تعريف شده اند. مهمترين عملگرهاي جبر ه اي را مي توان بصورت زير تقسيم بندي کرد. برخي از اين عملگرها عملگرهاي اصلي هستند. اما برخي عملگرهاي فرعي مي باشند بدين معني که از روي عملگرهاي اصلي قابل اشتقاق هستند. توضيح کامل اين بحث در ادامه فصل خواهد آمد. Selection Projection -1-2 عملگر هاي ساده -1 اجتماع -2 اشتراك عملگر هاي جبر ه اي عملگر هاي مجموعه اي تقسيم عملگر هاي پيوند 1 -ضرب دكارتي ) ( 2 -پيوند شرطي) ) 3 -پيوند طبيعي ) ( 4 -نيم α عملگرهاي ساده)تک عملوندي(

Selection )گزينش( عملگر گزينش يک عملگر تک عملوندي است )روي يک ه اعمال مي شود( که تاپلهايي از يك ه را که شرط يا شرطهاي خاصي را دارا ميباشند گزينش ميكند. بنابراين ه حاصل ه اي است با همان اسکيما که تنها سطرهايش )احتماال( محدودتر شده است. عملگر گزينش را مي توان فيلتري دانشت که شرطي که در آن ذکر مي شود براي تک تک رکوردها جداگانه چک مي شود و هر تاپلي که شرط را داشته باشد از فيلتر عبور کرده و نمايش داده مي شود. مثال: )تصوير يا پرتو( Projection هر گاه مايل نباشيم تمام ستونهاي يک ه را در گزارشگيري خود عملگر تصوير نمايش مشاهده کنيم از عملگر تصوير استفاده مي کنيم. اين ه را به تعدادي از فيلدها )بجاي همه فيلدها( محدود ميکند. اما بر خالف گزينش که تك عملوندي است. عملگر نيز همانند عملگر گزينش به ساختار ه کاري نداشته و تنها داده ها را محدود مي کند عملگر تصوير ستونها را محدود مي کند. پس اسکيماي ه حاصل با اسکيماي ه اصلي متفاوت است. نکته اي که در مورد عمليات جبر ه اي وجود دارد اين است که اگر يک دستور جبر ه اي منجر به ايجاد تاپلهاي تکراري شود تاپلهاي تکراري يک بار بيشتر نمايش داده نمي شوند. در مورد عملگر تصوير بايستي توجه کرد که انتخاب تنها تعدادي از ستونهاي يک ه ممکن S است منجر به ايجاد تاپلهاي تکراري شود. بعنوان مثال اگر در ه بود بعد از اجراي دستور زير Ali Ahmadi زير نام دانشجوي سوم هم تاپلهاي اول و سوم تکراري مي شد. در اينصورت تعداد تاپلها )بدليل تاپل کاهش مييافت. 2 حذف تاپلهاي تکراري( به مثال: اسکيماي جدول حاصل معموال تغيير مي کند.

براي انتخاب همه ستونهاي يک ه بجاي نوشتن نام تک تک ستونها مي توان از * استفاده کرد. مثال: П S.* (S) S چند تست مرتبط: اگر A يک ه داراي n خصيصه باشد تعداد تصاوير A که تهي نيستند برابر است با: )نرم افزار سراسري 22( 2n-1.1 n! 1.2 n 2-1.3 2 n -1.4 پاسخ اين سوال گزينه 4 مي باشد. اگر مجموعه صفات يک ه n عضو داشته باشد به تعداد زير مجموعه هاي اين مجموعه مي توان عملگرهاي تصوير مختلف روي ه اعمال کرد يعني 2 n که با در نظر نگرفتن حالت تهي برابر با 1- n 2 مي شود. جدولي با n ستون داراي يک کليد اصلي و يک کليد کانديد ديگر هر کدام شامل يک صفت است. اين جدول چند ابرکليد دارد )نرم افزار سراسري 24( 3 * 2 n-2.1 2 n 2. 2 3 * 2 n-3.3. 4 2 n -1 با توجه به تعريف انواع کليد ابرکليد در يک ه يا خود کليد کليد 2 کانديد است يا کليد کانديد جزئي از آن است. اين ه شامل حالت 3 B(. بنابراين هر ابرکليد در اين ه و A کانديد است )مثال دارد: نباشد. B باشد و شامل A شامل - نباشد. A باشد و شامل B شامل - باشد. B و A شامل - حالت ابرکليد مي تواند شامل هر ترکيبي )هر 3 در هريک از اين ديگر( باشد که صفت )2-n B و A زيرمجموعه اي( از ساير صفات غير از 2-n 2. در نتيجه تعداد کل ابرکليدها برابر مي شود با: برابر است با 3*2 n-2 چند مثال: مثال: ليست نام و نام خ تمام دانشجويان رشته کامپيوترکه شماره آنها کمتر از 04118 است. راب طه

π Name, Family (σ Id < 24118 ^ Field = 'Computer' (s) ) مثال: ليست شماره و نام خ تمام دانشجويان رشته هاي کامپيوترو شيمي. π Id,Family ( σ Field = Computer v Field = Chemistry (S) ) مثال: 04118 ليست شماره است. و نام تمام دانشجويان که شماره آنها کمتر از π Id, name (σ Id < 24118 (S) ) يا σ Id < 24118 (π Id, name (S) ) 04118 مثال: ليست نام تمام دانشجويان که شماره آنها کمتر از است. π name (σ Id < 24118 (S) ) يا σ Id < 24118 (π name (S) ) بر خالف مثال قبل در اين مثال پاسخ دوم صحيح نيست. زيرا حاصل داخل پرانتز ه اي است که فقط شامل فيلد Name است و فيلد Id ندارد. بنابراين نمي توان شرطي روي ستون Id براي آن نوشت. )22 تست عبارت زير در چه صورت صحيح است )نرم افزار سراسري σ p (π a1,a2,,an (S) ) = π a1,a2,,an (σ p (S) ) برقرار باشد R حداقل براي يک سطر ه P 1. شرط را دربر گيرد an تا a1 فقط ستونهاي P 2. شرط را دربر گيرد an تا a1 همه ستونهاي P 3. شرط 4. هيچکدام صحيح است. در قسمت دوم تساوي حاصل داخل پرانتز ه اي 2 گزينه فقط مي تواند p است. بنابراين شرط an تا a1 است که فقط شامل ستونهاي روي اين صفات اعمال شود و نه هيچ صفت ديگري. اما واضح است که اجباري وجود ندارد که حتما روي تمام صفات يک ه شرط داشته باشيم. عملگرهاي مجموعه اي دسته ديگر از عملگرهاي جبر ه اي عملگرهاي مجموعه اي هستند که عبارتند از اجتماع اشتراک و تفاضل. اين عملگرها دو عملوندي هستند و شرط اينکه بتوان اين نوع عملگرها را بتوان بر روي دو ه اعمال کرد اين است که اسکيماي ه ها از نظر تعداد و نوع فيلدهاي متناظر يکي باشد. ه حاصل هم ه اي است که اسکيماي آن با اسکيماي دو ه اوليه يکي است.

اجتماع )Union( حاصل اجتماع دو ه با اسکيماي مشابه ه اي است با همان اسکيما که شامل تمام تاپلهاي دو ه اول است. اين عملگر دوعملوندي است. مثال:

اشتراک )Intersect( حاصل اشتراک دو ه با اسکيماي مشابه ه اي است با همان تاپلهاي مشترک بين دو ه اول است. تنها اسکيما که شامل مثال: تفاضل )Minus( حاصل تفاضل دو ه با اسکيماي مشابه )R2 R1( ه اي است با همان اسکيما که شامل تمام تاپلهايي است که در R1 هستند اما در R2 خير. مثال: چند نکته: - اجتماع و اشتراک خاصيت جابجايي و شرکت پذيري دارند اما تفاضل هيچکدام از اين خواص را ندارد. - σ p (AUB) = σ p (A) U σ p (B) - σ p (A - B) = σ p (A) - σ p (B) = σ p (A) - (B) عملگرهاي پيوند در عملگرهاي مجموعه اي هيچ تغييري بر روي ساختار ه ها انجام نمي شود. اما عملگرهاي پيوند )که مانند عملگرهاي مجموعه اي دو عملوندي هستند( ساختار دو ه را با هم پيوند مي زنند و تاپلهاي حاصل در واقع ترکيبي از تاپلهاي دو ه اول هستند. براي اعمال عملگرهاي پيوند لزومي به يکسان بودن اسکيماها نيست. ضرب دکارتي Product( )Cartesian ضرب دکارتي ساده ترين عملگر پيوند است که مشابه ضرب دکارتي در رياضي است که بر روي دو مجموعه اعمال مي شود. در اين نوع پيوند تمام تاپلها از دو ه دو بدو با هم پيوند مي خورند. پس اگر ه اول شامل n تاپل و دومي شامل m تاپل باشد ه حاصل از ضرب دکارتي آنها m*n تاپل خواهد داشت. ضرب دکارتي در رياضي نه خاصيت جابجايي دارد و نه شرکت پذيري. اما در جبر ه اي ضرب دکارتي هر دو خاصيت را دارد. مثال:

سوال: n جدول داريم که اولي شامل 1 ستون و 1 سطر دومي شامل 2 ستون و 2 سطر... و n امي شامل n ستون و n سطر است. حاصل ضرب دکارتي اين n جدول در هم چند ستون و چند سطر خواهد داشت پيوند شرطي ( Ө ) پيوند شرطي مشابه ضرب دکارتي است اما بجاي اينکه تمام تاپلها از دو ه با هم پيوند بخورند پيوند تنها بين تاپلهايي از دو ه انجام ميشود که شرط خاصي براي آنها برقرار باشد )Ө شرط است(. بنابراين هر پيوند شرطي بين دو ه زير مجموعه اي از ضرب دکارتي آن دو ه است. مثال: در که شرطش در خودش نهفته است. است نوعي پيوند شرطي پيو ند طبي عي ( Natu )ral Join پيوند طبيعي که مقادير فيلدهاي با هم پيوند مي خورند تاپلهايي اين پيوند تنها همنامشان )در صورت وجود( با هم برابر باشد. برخي از خواص پيوند طبيعي بدين شرح است: دو ه در ه حاصل تنها يکبار ظاهر مي ستونهاي همنام )بدليل برابر بودن مقادير( شوند خاصيت جابجايي و شرکت پذيري دارد. همنام نداشته باشند معادل ضرب دکارتي ستون دو ه اگر )چون شرطي چک نمي شود(. است ميشود )چون برابري A B اگر همه فيلدها همنام باشند معادل مقدار تمام ستونها چک ميشود(. مثال:

ه نکته اي در مورد پيوند طبيعي اگر در ه B يک کليد خارجي از ه A موجود باشد حاصل پيوند طبيعي A,B همان ه B است )با همان تاپلها( با اين تفاوت که بجاي تنها نمايش کليد ه A تمام ستونهاي A را نمايش ميدهد. مثال S STC همان جدول STC است که مشخصات کامل هر دانشجو )نه تنها شماره او( و نمره او را نشان ميدهد: نيم پيوند Join( )Semi مبناي عملگر نيم پيوند پيزي جز پيوند طبيعي نيست. در اين عملگر فقط حاصل اما در جواب همان پيوند طبيعي بين دو ه انجام ميشود ديده مي شود. صفتهاي يکي از دو ه )ه چپ يا راست( مثال: R1 α R2 )نيم پيوند چپ( بعد از انجام پيوند طبيعي در ه حاصل فقط هسمت چپ )R1( مي آيد. در واقع R1 α R2 معادل است با: (R1 R2) П R1.* ستونهاي ه نيم پيوند راست بر عکس است و بعد از انجام پيوند طبيعي تنها ستونهاي ه سمت راست در خروجي ميآيد.

فرا پيوند Join( )Outer پايه عملگر فراپيوند نيز پيوند طبيعي است. اين عملگر بر سه نوع است فراپيوند چپ فراپيوند راست و فراپيوند کامل. )L.O.Join( فراپيوند چپ 1. ابتدا پيوند طبيعي بين دو ه انجام ميشود. 2. هر تاپلي از ه سمت چپ که نتوانسته در پيوند شرکت کند به سطرهاي ه حاصل اضافه ميشود و بجاي مقادير ساير ستونها Null قرار ميگيرد. مثال: است يعني آنچه :)R.O.Join( بر خالف فراپيوند چپ راست فراپيوند در ه راست مهم است اين است که تمام تاپلهاي ه سمت حاصل بيايند. فراپيوند کامل :)full( حالت جامع دو نوع فراپيوند چپ و راست است. يعني بعد از انجام پيوند طبيعي هر تاپلي از ه سمت راست و نيز هر تاپلي از ه سمت چپ را که در پيوند شرکت نکرده اند به ه حاصل اضافه مي کند و در هر مورد بجاي ستونهاي باقيمانده مقدار Null قرار ميدهد. سوال: پيچيدگي زماني اجراي کدام عملگر از همه کمتر است )فرض کنيد از الگوريتمهاي ساده و معمولي براي پياده سازي عملگرها استفاده شده باشد( 3. عملگرهاي پيوند 2. تصوير 1. گزينش 4. عملگرهاي مجموعه اي جواب: اگر ه اي شامل n تاپل باشد عمل گزينش شرطي را براي هريک از تاپلها چک مي کند )يک حلقه با تعداد تکرار n( پس پيچيدگي زماني آن O(n) است. اما عملگر تصوير که خيلي ساده و بدون پيچيدگي بنظر ميآيد پيچيدگي اش از عملگر گزينش باالتر است. دليل آن اين است که زماني که عملگر تصوير تعدادي از ستونها را کنار مي گذارد ممکن است تاپل تکراري ايجاد شود )اگر کليد جزء ستونهاي انتخابي نباشد(. پس کار عمده اي که بايد انجام شود بررسي وجود تاپلهاي تکراري و حذف آنهاست. براي کشف تاپلهاي تکراري بايد هر تاپل با تمام بقيه تاپلها مقايسه شود )دو حلقه تودرتو( پس مرتبه اجرايي آن ) 2 O(n است. در مورد عملگرهاي پيوند هم اگر تعداد تاپلهاي دو ه را n )يا ضريبي از n( فرض کنيم تاپلهاي دو ه دوبدو با هم مقايسه و

احيانا پيوند مي خورند )دو حلقه تودرتو( پس مرتبه اجرايي عملگرهاي است. ) 2 O(n پيوند نيز براي عملگرهاي مجموعه اي پيدا کردن تاپلهاي مشترک )يکسان( بين دو ه مهم است. مثال براي اشتراک ما بدنبال همان تاپلهاي مشترک هستيم. در عملگر اجتماع نيز تاپلهاي مشترک بايستي کشف شوند تا در حاصل اجتماع يکبار بيشتر ظاهر نشوند. براي اين منظور هر تاپل از ه اول مي بايست با هر تاپل از ه دوم مقايسه شود. پس مرتبه ميشود. ) 2 O(n اجرايي اين دسته عملگرها نيز 1 2 پاسخ صحيح گزينه بنابراين عليرغم تصور اوليه در مورد گزينه است. چند مثال: ه )جدول نمرات( ه ه ه ليستي از مشخصات تمام دانشجوياني که تاکنون درس گرفته اند [ПSName, SFamily,Field,Sid ( S STC)] يا S α STC ليست تمام دانشجويان با نمرات آنها )اگر دانشجويي نمره هم ندارد باز در ليست باشد(. S L.O.Join STC مثال: ليست اسامي تمام دانشجوياني که درس OS را گرفته اند. П SName, SFamily [σ Cname = 'OS' ( S STC C)] حل يک مثال به چند روش: ه )جدول نمرات( ه ه ه ليستي از مشخصات دانشجويان رشته کامپيوتر که تاکنون نمره 28 گرفته اند. پاسخ اين سوال به 5 شکل مختلف در زير آمده است:

1) П Sname, sfamily, field, Sid (σ S.Sid=STC.Sid ^ Field= Computer ^ Mark=28 (S STC) ) 2) П Sname, sfamily, field, Sid (σ Field= Computer ^ Mark=28 (S STC)) 3) П Sname, sfamily, field, Sid (S STC) S.Sid=STC.Sid ^ Field= Computer ^ Mark=28 4) П Sname, sfamily, field, Sid ((σ Field= Computer (S)) (σ Mark=28 (STC)) 5) (σ Field= Computer (S)) α (σ Mark=28 (STC)) سوال: کداميک از پاسخهاي فوق بهينه تر )سريعتر( است براي پاسخ به اين سوال به بررسي دقيق 5 عبارت فوق مي پردازيم. 1( در پاسخ 1 ابتدا دو ه S و STC ضرب دکارتي مي شوند. اين موجب مي شود که همه دانشجويان )از ه S( با همه نمرات يعني نمرات خودشان و ديگران )از ه )STC پيوند بخورند! پس تاپلهاي زيادي توليد مي شوند که تنها تعدادي از آنها منطقي و صحيح هستند. بعد با اعمال شرط اول تاپلهاي بي ربط و غير صحيح حذف مي شوند. شرطهاي دوم و سوم هم موجب مي شوند که فقط تاپلهايي باقي بمانند که نمره آنها 28 و رشته دانشجو کامپيوتر بوده است. روشن است که در اين پاسخ در مرحله اول زمان زيادي صرف پيوندهايي مي شود که بخش عمده آنها زائد بوده و بعدا حذف مي شوند. 2( پاسخ 2 از 1 بهتر است. زيرا با جايگزين کردن پيوند طبيعي بجاي ضرب دکارتي موجب مي شود تاپل مربوط به هر دانشجو )از ه اول( تنها با نمرات خود او از ه دوم پيوند بخورد که اين کار در حين انجام پيوند با کنترل شرط برابري مقدار SId از دو ه انجام مي- گيرد. اما هنوز کامال بهينه نيست چون هر دانشجويي از هر رشته اي و با هر نمره اي در پيوند شرکت مي کند. بنابراين در مرحله بعد با فيلتر کردن خروجي تنها تاپلهاي خواسته شده باقي مي مانند. 3( پاسخ 3 از 2 بهتر است. در پاسخ 3 پيوند طوري انجام مي شود که از تشکيل هر تاپل غير الزم جلوگيري مي شود تا بعد از پيوند نياز به يک مرحله فيلتر کردن اضافي نباشد. در واقع تمام شرطهاي الزم در حين پيوند تاپلها کنترل مي شود. 4( پاسخ 4 از همه پاسخهاي قبل بهينهتر است. همانطور که مي دانيم عملگرهاي پيوند بدليل پيچيدگي زماني مربعي پرهزينه هستند. پس هرچه تعداد تاپلهاي دو ه کاهش يابد پيوند آنها بطور چشمگيري کاهش مي يابد. اما از طرفي عملگر گزينش بدليل داشتن پيچيدگي زماني خطي به نسبت بسيار کم هزينه تر است. بنابراين اگر شرطهاي الزم را قبل از پيوند بطور جداگانه روي ه ها اعمال کنيم ه هاي کوچکتري )با تاپلهاي کمتر( بدست مي آيد که پيوند آنها نسبت به ه هاي اوليه بسيار کم هزينه تر است. 5( پاسخ 5 تنها شکل نمايشي ديگري از پاسخ 4 است و بهينگي اجرايي نسبت به آن ندارد.

b باشد که به جدول a کليد خارجي در جدول fk تست اگر ستون کدام گزينه معادل عبارت زير است )نرم افزار سراسري ارجاع مي دهد )03 Π a.* [ ^ a.fk =b.fk] در پيوند شرطي فوق همان شرط اصلي در پيوند fk σ θ (a b).1 σ θ (a b).2 П a.* (a b).3 П a.* (σ θ (a α b)).4 شرط برابري مقدار طبيعي و نيم پيوند است. پس بجاي پيوند شرطي فوق مي توان يک پيوند طبيعي نوشت )که شرط مذکور در خود آن نهفته است( و بعد شرط باقيمانده )θ( را روي حاصل پيوند اعمال کرد. از آنجا که در نهايت را مي خواهيم مي توان بجاي پيوند طبيعي نيم a تنها ستونهاي ه چون از نيم پيوند 4 4(. البته در گزينه پيوند چپ نوشت )گزينه استفاده شده ديگر نيازي به نوشتن عملگر تصوير هم نيست. بين گزينه که البته بشرطي مي تواند مي تواند صحيح باشد 4 هاي سوال تنها گزينه باشد. a تنها شامل شرط روي ستونهاي ه θ صحيح باشد که شرط مثالي از جمالت منفي: a b ه را نگرفته اند. ه ه )جدول مث ه نمرات( ال : لي ست اس ام ي تمام دانشجوياني که درس OS π sname,sfamily [σ Cname < > 'OS' (S STC C ) ] غلط است. خروجي اين دستور ليست دانشجوياني است که تاکنون اين پاسخ هم را OS درس اين افراد آيا گرفته اند و معلوم نيست OS درس غير از گرفته اند يا نه. راه پاسخ به سواالت مشابه سوال فوق که شامل فعل منفي هستند استفاده از عملگر تفاضل است. بدين نحو که ابتدا حالت مثبت را در نظر گرفته و مجموعه حاصل از آن را از مجموعه کل کم مي کنيم. مثال براي پاسخ به را از ليست گرفته اند OS سوال باال کافي است ليست دانشجوياني که درس کل دانشجويان کم کنيم:

π SName,SFamily(S) - π SName,SFamily[σ Cname = 'OS' (S STC C) ] افرادي كه گرفته اند ساير عملگرها: عملگر انتساب ) (: با استفاده از اين عملگر مي توان نتيجه يک عمليات جبر ه اي را در يک ه موقتي ريخت تا در ادامه بتوان عمليات ديگر را بر روي اين ه انجام داد مثال: Tmp П S.* (S STC) Tmp2 S Tmp ρ y (x) داده شود از دستور y نام مستعار x عملگر نامگذاري )ρ(: براي اينکه به يک ه مثل استفاده مي شود. کاربرد اصلي اين عملگر زماني است که مي خواهيم تاپلهاي يک ه را با خود همان ه مقايسه کنيم )مثال پيوند يک جدول با خودش(. چون يک ه نمي تواند با خودش پيوند بخورد بايد استفاده از اين عملگر از روي دو نسخه مجزا از آن داشته باشيم. با ايجاد مي شود که مي توان آنها y يک نسخه کپي بنام x ه اي مانند را مانند دو جدول مجزا با هم مقايسه نمود و يا پيوند داد. سوال: کار دستور زير چيست П Mark (STC) [П First.Mark (ρ First (STC) ρ Second (STC))] First.Mark < Second.Mark در اين دستور هر تاپل از STC قرار است با تمام تاپلهاي ديگر مقايسه شود )مقدار ستون نمره(. بنابراين دو نسخه به نامهاي First و Second از روي جدول STC ايجاد کرده است. بخش اول دستور ليست تمام نمرات جدول STC را بدست مي آورد. حاصل بخش داخل کروشه هم ليست تمام نمراتي است که نمره اي باالتر از آنها وجود دارد. تنها نمره اي در جدول STC که اين شرط براي آن برقرار نيست نمره ماکزيموم است. پس حاصل بخش داخل کروشه ليست تمام نمرات جدول STC بجز نمره ماکزيموم است. وقتي اين مجموعه از مجموعه کل نمرات کسر شود نمره ماکزيموم بدست ميآيد. تمرين: در مساله تهيه کنندگان و قطعات دستوري در جبر ه اي بنويسيد که مينيموم تعداد توليد )Qty( را بدست آورد. تمرين: در مساله دانشگاه ليست شماره جفت دانشجوياني را بيابيد که نام خانوادگي يکساني دارند. R2 عملگر تقسيم عملکرد عملگر تقسيم را مي توان بصورت زير خالصه کرد: ه R1 بر ه R2 بخشپذير است اگر مجموعه ستونهاي مجموعه ستونهاي R1 باشد. زير

وجود R2 است که در R1 ستونهاي اسکيماي ه حاصل شامل تمام ندارند. قرار مي گيرند که همه R1 در ه حاصل تنها تاپلهايي از ديده شود. R1 در کنار آنها در R2 تاپلهاي مثال: کاربرد عملگر تقسيم )جدول ه کاربرد تقسيم براي نمرات(پاسخ به ه پرس و جوهايي استه که در شرط آنها ه کلمه همه ذکر شده است. را گرفته اند. همه دروس دانشجوياني که شماره مثال: ليست براي پاسخ به اينگونه پرس و جوها بايستي از عملگر تقسيم و به طريق زير استفاده کرد: مقسوم عليه تقسيم ه اي است که در کنار آن کلمه "همه" - ذکر شده )C(. مقسوم تقسيم ه اي است که ارتباط از طريق آن برقرار - مي شود.)STC( مشخص مي شود که چه دانشجويي چه درسي را گرفته. پس بنظر مي STC در بدست آيد که با تنها شماره دانشجوياني C بر STC رسد که با تقسيم همه دروس ارتباط دارند )همه دروس را گرفته اند(. اما چند اشکال وجود دارد: ستونهاي ديگري هم هستند که سبب SId عالوه بر STC در جدول - مي شوند تقسيم به جواب مورد نظر ما نرسد. شامل ستونهايي C قابل تقسيم نيست چون C بر STC ه - وجود ندارد. STC است که در براي حل اشکال اول کافي است با استفاده از عملگر تصوير ستونهاي کنار گذاشت. STC اضافي را از ه

براي حل اشکال دوم دو راه وجود دارد يکي اينکه با عملگر تصوير ستونهاي اضافي را از C حذف کنيم و تنها ستون کليد آن را نگه داريم. راه ديگر اينکه ابتدا STC را با C پيوند طبيعي دهيم )حاصل همان STC است که تنها ستونهايش کامل شده( و حاصل را بر C تقسيم کنيم. بعبارت ديگر راه اول کوچک کردن مقسوم عليه و راه دوم بزرگ کردن مقسوم است. با توجه به توضيحات فوق دو پاسخ زير را مي توان براي اين پرس و جو نوشت: (π CId,SId(STC) ) π CId(C) همه قسمت يا ((π CId, SId (STC)) C) C درس داشته اند. T (π TId,SId (STC) π SId (S) ) مثال: ليست اساتيدي که با همه دانشجويان يا ( S (П CId,SId (STC) ) T ) S همه قسمت سوال: در رياضي ضرب و تقسيم کامال معکوس يکديگر عمل مي کنند مثال.(A B) B = A آيا اين ه در جبر ه اي نيز برقرار است اين ه در جبر ه اي برقرار نيست. مثال فرض کنيد دو ه P )قطعات( و SP )توليدات( ساختار ساده زير را داشته باشند: P: P# SP: P1 P2 S# S1 S2 S3 S3 P# P2 P1 P1 P2 برقرار است يا نه. (SP P) P = SP مي خواهيم بررسي کنيم که آيا ه شماره تهيه کنندگاني بدست ميآيد که همه قطعات P بر SP با تقسيم S3 P2( را توليد کرده اند. از آنجا که اين شرط تنها براي و P1 )يعني S1 و S2 خواهد بود. يعني S3 برقرار است حاصل تقسيم تنها شامل مقدار ديگر P ضرب اين حاصل تقسيم در ه ديگر وجود ندارند. بنابراين با اوليه نمي رسيم بلکه SP برنمي گردند. يعني ديگر به ه S1 و S2 S1 )که شامل مقدار SP ه اي بدست ميآيد که تنها شامل دو تاپل آخر هستند( مي باشد. تمرين: با توجه به سوال فوق آيا ه A) (B B = A اي برقرار است در جبر ه

عملگرهاي اصلي و فرعي: از ميان عملگرهاي معرفي شده براي جبر ه اي تنها تعدادي از آنها عملگر اصلي )پايه( هستند و مابقي فرعي هستند. عملگرهاي اصلي که به آنها مجموعه کامل عملگرها نيز گفته مي شود عملگرهايي هستند که از روي آنها مي توان ساير عملگرها را بدست آورد اما خود آنها از روي بقيه قابل اشتقاق نيستند. عملگرهاي اصلي جبر ه اي عبارتند از:,σ,π,-,υ, بعنوان مثال عملگر تقسيم را مي توان با استفاده از عملگرهاي تفاضل ضرب دکارتي و تصوير بروش زير محاسبه کرد: A(Y,X) B(X) = A[Y] (( A[Y] B) A)[Y] A B = A (A B) Πy(A) اين دو ه heading بترتيب وS R دو ه باشند و s و r تست اگر r s است کدام عبارت معادل R زيرمجموعه S باشند و با فرض آنکه 28( دولتي IT )کنکور است 1. Π R-S (r) - П R-S ((П R-S (r) s)) 2. Π R-S (r) П R-S ((П R-S (r) s)) 3. Π R-S (П R-S (r) s) - П R-S, S (r)) 4. Π R-S (r) - П R-S ((П R-S (r) s) П R-S, S (r)) صحيح است. 4 گزينه از عمليات جبر ه اي: کليد کانديد جداول حاصل هستند. A همان کليدهاي کانديد (A) σ p کليدهاي کانديد مانده باشد کليد کانديد A هر کليد کانديدي از П(A) اگر در نيز خواهد بود و گرنه ترکيب تمام صفات کليد کانديد مي П(A) شود. B و کليد کانديد A ترکيب کليد کانديد :A B کليد کانديد B يا کليد کانديد A کليد کانديد :A B کليد کانديد :AUB ترکيب کل صفات کليد کانديد A کليد کانديد :A-B کليد کانديد است: A صفت مشترک کليد کانديد در حالتي که A B کليد کانديد B کليد کانديد است. اما کليد S کليد کانديد S STC مثال صفت مشترک در است. STC کانديد جدول حاصل همان کليد 2 دو مساله: براي پاسخ به مثال بعدي جداول زير را در نظر بگيريد :

هتل ( كد هتل نام هتل آدرس شماره تلفن( رزرو اتاق)كد رزرو كد هتل نام آدرس شماره تلفن تاريخ تولد تاريخ ورود مدت اقامت تاريخ رزرو( اتاق )كد هتل شماره اتاق امكانات ) وضعيت اتاق ( كد هتل شماره اتاق كد رزرو تاريخ ورود تاريخ خروج( جدول هتل داراي 35 رديف رزرو اتاق 25888 اتاق 1588 اتاق R رديف مي باشند. اطالعات مشتريان در جدول رزرو اتاق ذخيره مي شود. و وضعيت اگر كارديناليتي را معادل تعداد تاپل هاي حاصله تعريف كنيم آنگاه هتل. كد : كارديناليتي پيوند اتاق و هتل با شرط )اتاق. كد هتل هتل ) برابر كدام مقدار است )4 20588 )3 25888 )2 1588R )1 تاپل 52588 يعني 1588*35 دو ه شامل: 51888 حاصلضرب دکارتي )چون حاصل همان همان 1588 دو ه شامل: حاصل پيوند طبيعي است( شود که شامل کليد خارجي ه اتاق مي رکوردهاي صحيح )پيوند است پيوند هاي ممکن )ضرب دکارتي( کافي از کل پيوند هاي اشتباه بدست حاصل از پيوند هاي طبيعي( را کم کنيم تا تعداد تاپلهاي آيد )51888( با توجه به مسأله قبلي كارديناليتي پيوند دو جدول وضعيت اتاق و هتل هتل. كد هتل ) برابر است با = با شرط )وضعيت اتاق. كد هتل 52588R )4 25888 )3 35R )2 R )1 از ه هتل است حاصل پيوند R چون ه وضعيت اتاق شامل کليد خارجي آنها همان ه وضعيت اتاق است. طبيعي

تمرينهای چهارگزينه اي اگر A ه اي )relation( با صفات خاصه )Attributs( x و y همچنين B ه اي ديگر با صفت خاصه Y باشند كداميك از عبارات زير معادل عبارت جبري A DIVIDE BY B است ( x و y مي توانند مركب باشند( )كارشناسي ارشد _دولتي 82( A[X] MINUS ( A MINUS B[Y]) A[X] TIMES (( A [X] MINUS B[Y]) TIMES A) [X] A[X] MINUS (( A [X] TIMES B[Y] MINUS A) [X] A[X] TIMES (( A [Y] MINUS B[Y] ) TIMES A) [X] )1 )2 )3 )4 b اگر در ستون fk كليد خارجي در جدول مي دهد كدام گزينه معادل a b است )كارشناسي ارشد a باشد كه به جدول _دولتي 23( ارجاع a.* ( ^a. fk b. fk) a.* ( a b) )3 ( a b) )2 ( a b) )1 b.* ( ( a b)) )4 ه حرارت ( كد ناحيه نام تاريخ حرارت باال حرارت پايين( براي ثبت درجه حرارت هاي بيشينه و كمينه در نواحي مختلف در زمان هاي

و 2 متفاوت به كار مي رود.كليد اين ه كد ناحيه تاريخؤ مي باشد. اگر روابط جبر ه اي زير را در نظر بگيريد: R1 )كد تاريخ H( = ( حرارت ) حرارت باال تاريخ كد ناحيه R2 )كد تاريخ )L = ( حرارت ) حرارت پايين تاريخ كد ناحيه )R1 كد )حرارت( R3 )كد ناحيه( = )حرارت( )R2 كد R4 )كد ناحيه( = حرارت پايين H < حرارت باال< L آنگاه كدام گزينه نام نواحي با درجه حرارت بيشينه و كمينه را به ما مي دهد )كارشناسي ارشد _دولتي 23( )R3 حرارت ) نام R4(( ) 1 حرارت ) نام )R3 U R4 (( ) 2 ( حرارت ) كد R3 ( U ) حرارت ( كد ناحيه ( R4 ((( )3 ناحيه (( حرارت( نام حرارت ) كد ( R3 ( - ) حرارت ( كد ناحيه ( R4((( )4 ناحيه (( حرارت( نام در مدل ه اي پايگاه داده ها تعريف كليد خارجي KEY( )FOREING چيست )كارشناسي ارشد _آزاد 82( 1( معادل كليد كانديد KEY( )CANDIDATE مي باشد. 2( در يك ه كليد اصلي و در ه ديگر يك قلم اطالعاتي ساده مي باشد. ه THETA JOIN 3( يك فيلد مشترك بين دو يا چند ه است كه در ها به كار گرفته مي شود. 3 )4 )82 دو ه زير را در نظر بگيريد : )كارشناسي ارشد _آزاد STUDEN ( STU ID S881 S882 S883 NAME) AHMADI TAVAN DIBADJ CSC000 CSC000 CSC000 CSC000 S000 S000 S000 S000 PASCAL PROG. PASCAL PROG. COMPILER WRITING. DATA STRUCTURE.

و 4 و 4 و 5 و 4 COURSE ( COURSE-ID STU-ID TITLE) ه اي كه حاصل NATURAL JOIN و چند TUPLE خواهد بود دو ه باال باشد داراي چند ستون 0 )3 4 )2 3 5 )1 )4 ه اي كه حاصل OUTER JOIN TUPLE خواهد بود )كارشناسي ارشد _آزاد 82( دو ه سوال قبل باشد داراي چند 3 )3 5 )2 4 )1 4( هيچكدام كداميك از گزينه هاي زير غلط است )مهندسي كامپيوتر 85( )توجه :, union ):join : intersection, U : _دولتي R S R ( R S) )2 R f S f ( R S) )1 R f s s f R )4 R f S S f R )3 فرض كنيد R1 و R2 دو ه باشند و R3=R1 UNION R2 كداميك از گزاره هاي زير صحيح است )مهندسي كامپيوتر _دولتي 22( 1( كليد اصلي R3 اجتماع كليد هاي اصلي R1 و R2 است. 2( كليد اصلي R3 اجتماع تمام خصيصه هاي R1 وR2 است. 3( كليد اصلي R3 كليد اصلي R1 يا كليد اصلي R2 است. 4( كليد اصلي R3 تقاطع تمام خصيصه هاي ( ستونهاي ) R1 و R2 است. A اگر A يك ه داراي n نيستند برابر است با خصيصه ( ستون ) باشد تعداد تصاوير كه تهي

)مهندسي كامپيوتر 22( _دولتي )3 n!-1 )2 n 2 1 )4 2n-1 )1 n 2 1 22( _دولتي )مهندسي كامپيوتر عبارت زير در چه صورت صحيح است ( ( R)) ( ( )) P a1, a2,... an a1, a2,... an p R :انتخاب : تصوير برقرار باشد. R حداقل براي يك سطر ه P 1( شرط رادربر بگيرد. a1,a2,,an فقط ستونهاي P 2( شرط رادربر بگيرد. a1,a2,,an همه ستونهاي p 3( شرط 4( هيچكدام S با هم يكسان باشد S و R اگر مجموعه عنوان )Heading( در ه آنگاه پيوند طبيعي R اين دو ه معادل با كدام عمل روي ه هاي )natural Join( خواهد بود 23( _دولتي IT )مهندسي و 2( اجتماع 3( اشتراك 4( تفاضل 1( ضرب **************************************************************** در بانك اطالعاتي توليد كنندگان و قطعات دستور جبر ه ي خروجي زير را خواهد داشت. )مهندسي كامپيوتر_دولتي 25( ( ( S SP)) S# CITY ' PARIS ' 1( شماره تمام توليد كنندگان پاريس. 2( شماره اولين توليد كننده پاريس. 3( شماره يكي از توليد كنندگان پاريس. 4( شماره توليد كنندگان پاريس كه قطعه اي را توليد مي كنند.

اگر ه R(a,b) داراي تعداد r تاپل بوده و ه S(a,c) داراي تعداد s تاپل آنگاه تعداد كمينه و بيشينه تاپل ها R U S برابر است با )مهندسي IT _دولتي 25( r + s و Min(r, s) Max(r, s) و r - s r + s و Max(r, s) Max(r, s) و Min(r, s) )1 )2 )3 )4 )25 كدام يك از گزينه هاي زير درست است )مهندسي IT _دولتي )2 ( R) ( ( R)) c d c d )1 ( R) ( R) ( R) c d c d )4 ( R) ( R) ( R) c d c d )3 ( R1 R2) R1 R2 c c از ديدگاه كاد تئوريسين مدل ه اي كدام يك از عملگرهاي ذيل براي سيستم هاي شبه ه اي الزم مي باشد )مهندسي IT _آزاد 24( 4( هر سه مورد Join )3 Select )2 Project )1 كدام يك از عملگر هاي جبري ه اي به عنوان عملگر اوليه نيست و مي توان آن را بر اساس ديگر عملگر هاي اوليه به دست آورد )مهندسي IT _آزاد 25( Intersect )4 Minus )3 Times )2 Union )1 دو ه S و SL مفروض هستند : )مهندسي IT _آزاد 25( S(s# و( sname, SL((S#,L#,term#,grade) كه در آن S جدول دانشجو با خصيصه هاي #S )شماره دانشجويي( و sname )نام خانوادگي دانشجو( و جدول SL جدول نمره با خصيصه هاي شماره دانشجويي شماره درس ترم تحصيلي و نمره است. حاصل پرس و جوي زير كدام است SL[S#] MINUS ( S where grade <> 28)[S#] 1( شماره دانشجوياني كه حداقل يك نمره 28 دارند.

2( شماره دانشجوياني كه تمام نمره هاي آنها 28 است. 3( شماره دانشجوياني كه نمره 28 ندارند. 4( شماره دانشجوياني كه حداكثر يك نمره 28 دارند. دو ه با عنوان يكسان باشند عبارت زير معادل با كدام A و B اگر )28 A MINUS ( A MINUS B) UNION ( B MINUS ( B MINUS A)) IT _آزاد است )مهندسي A MINUS )4 A JOIN B )3 A DIVIDEBY B )2 A INTERSECT B )1 B به صورت زير است : G و L و S پايگاه داده اي داراي سه جدول S(S#, Sname), L(L#, Lname), G(S#, L#, grade) جدول دانشجو با خصيصه هاي شماره دانشجوي و نام S كه در آن جدول G جدول درس با خصيصه هاي شماره و نام درس و جدول L دانشجو. جدول جدول نمره با خصيصه هاي شماره دانشجويي شماره درس و نمره درس است با توجه به اين پايگاه داده به سؤال زير پاسخ دهيد.جفت شماره دانشجويي / شماره درس هايي را مشخص كنيد كه برا ي دانشجوي مورد نظر 28( IT _آزاد )مهندسي نمره اي بابت درس مورد اشاره منظور نشده است. (S JOIN G) [S#] TIMES ( L JOIN G) [L#] (S TIMES L) [S#, L#] MINUS G[S#, L#] (((S[S#] MINUS ( S JOIN G) [S#]) JOIN G) ] JOIN L ) [S#,L#] ((S TIMES L) JOIN G) [S#, L#] )1 )2 )3 )4 نمودار ER روبرو را در نظر بگيريد. با فرض آنكه در موجوديت كارمند 288 ركورد و در موجوديت پروژه نيز 5 ركورد موجود باشد حداقل و حداكثر تعداد ركوردها در پيوند طبيعي اين دو موجوديت چيست )مهندسي IT _دولتي 25( پروژه كارمن د 1888 288 1888 و 1888 )1 8 و )2 5 و )3 5 و 288 )4