سايت ويژه رياضيات درسنامه ها و جزوه هاي دروس رياضيات دانلود نمونه سوالات امتحانات رياضي نمونه سوالات و پاسخنامه كنكور دانلود نرم افزارهاي رياضيات و... کانال سایت ریاضی سرا در تلگرام: https://telegram.me/riazisara (@riazisara)
ماتریس آرایشی از اعداد در یک جدول مستطیلی که شامل سطرها و ستون هایی باشد یک ماتریس نامیده می شود. a a a 3 a n a a a 3 a n A = [ ] = [a ij ] m n a m a m a m3 a mn 0 [ 0 = A باشد حاصل جمع درایه های A + A + A 3 + A 4 را به دست آورید. 0 سوال: اگر ] 0 0 0 A A 4 = o A 3 = o 3 چون A مثلثی اکید از مرتبهی است پس و در نتیجه بنابراین کافیست را محاسبه نمائیم. 0 0 0 0 A = A A = [ 0 0 ] [ 0 0 ] = [ 0 0 0] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ 0 = A + A + A 3 + A 4 = A + A 0 ] = 4 = + + مجموع درایه ها 0 0 0 نکته: می دانیم اگر در ماتریس مثلثی درایه های قطر اصلی نیز صفر باشند ماتریس مثلثی اکید است و A n n اگر A n n یک ماتریس مثلثی اکید باشد آن گاه A پوچ توان از مرتبهی است )یعنی و توان های باالتر از n حتما o هستند(.
0 m + x A = [ 0 n + ] x m + n سوال: اگر ماتریس پادمتقارن باشد آن گاه 5 n m B = [ 0 7 b ] 3 b x ماتریس چه نوعی است در ماتریس پادمتقارن درایه های روی قطر اصلی صفر هستند و درایه های نظیر باال و پایین قطر اصلی قرینه اند. n = 0 n = n = ± m + = m = 3 n =, m = 3 n + = (m + ) n + = m n = 3 = 5 0 3 ماتریس B متقارن است t B = [ 0 7 b ] = B 3 b x مقدار n باید در دو شرط صدق کند پس = n قابل قبول است. در نتیجه داریم: نکته: الف( اگر ترانهادهی یک ماتریس مربعی با خودش برابر باشد به آن ماتریس متقارن گوئیم. ب( اگر ترانهادهی یک ماتریس مربعی با قرینهی خودش برابر باشد به آن ماتریس پادمتقارن گوئیم.
نکته: در ماتریس پادمتقارن درایه های روی قطر اصلی صفر هستند. 3 4 [ = A 5] ماتریس سوال: 6 پادمتقارن بنویسید. را به صورت مجموع دو ماتریس یکی متقارن و دیگری 3 4 4 5 A + A t = [ 4 5] + [ 6 ] = [ 5 ] 6 3 5 3 4 0 3 5 A A t = [ 4 5] [ 6 ] = [ 3 0 ] 6 3 5 5 0 A = (A + At ) + (A At ) = A = (A + At ) + (A At ) 5 5 [ ] + 0 3 3 [ 5 5 0 0 ] A اگر نکته: A یک ماتریس مربعی باشد ماتریس را می توان به صورت مجموع دو ماتریس یکی A A t پادمتقارن است. متقارن و دیگری پادمتقارن نوشت که A + A t متقارن و A = (A + At ) + (A At ) 3
α α [ β 0 ] + 3I α + β + = [ از تساوی تست( ] 3θ β γ γ + مجموع همهی مجهوالت کدام است 4 )4 3 )3 3 ) ) I = [ 0 0 ] α α [ β 0 ] + 3 [ 0 + β + ] = [α 0 β γ γ + 3θ ] α + 3 = α + β + β = α + 3 α + β + [ ] = [α β 3 β γ γ + 3θ ] { α = α = β = β γ γ = 0 γ + 3θ = 3 3θ = 3 θ = α + β + γ + θ = + + 0 + = 4 سوال: نقطهی A ابتدا نسبت به محور ox قرینه شده تا نقطهی 'A به دست آید سپس 'A نسبت به خط قرینه شده تا نقطهی ''A به دست آید. چه ماتریسی نقطهی A را به ''A تبدیل می کند y = -x A = y = -x A = [ 0 0 ] ox ماتریس تقارن نسبت به محور و نسبت به خط 0 [ می باشد ماتریسی که هر دو تقارن را با هم انجام می دهد A A است پس داریم: 0 ] A A = [ 0 0 ] [ 0 0 ] = [ 0 0 ] x n A n x n,, x 3 A x A نکته: اگر x به با تبدیل با تبدیل به با تبدیل تبدیل به شود ماتریس x A n A n A A را به x n تبدیل کند. 4
[ کدام است 4 تست( با توجه به ماتریس دوران در صفحه حاصل ] [ 0 0 ] )4 [ 0 0 ] )3 [ 0 0 ] ) [ 0 0 ] ) Rπ 4 = [ ] = [ 0 0 ] [ 4 ] = Rπ 4 = R π 4 ( 4 4 ) = R cosπ sinπ π = [ sinπ cosπ ] نکته: ماتریس دوران به اندازهی θ در جهت مثلثاتی حول مبدأ مختصات به صورت زیر است: R θ = [ cosθ sinθ sinθ cosθ ] نکته: بار دوران به اندازهی همان دوران به اندازهی nα است ای بیان به زبان ریاضی به صورت α n cosα sinα cosnα sinnα [ sinα cosα ]n = [ sinnα cosnα ] R n α = R nα قابل نمایش است. که شکل ماتریسی آن به صورت زیر است: 5
[ 3 70 تست( حاصل ] 3 کدام است 360 I )4 70 I )3 70 I) 360 I ) [ 3 3 ] = 3 [ 3 = Rπ 3 ] [ 3 70 3 ] 70 [ 0 0 ] = 70 I = (Rπ) 70 = 70 R π 70 3 3 = 70 cos40π sin40π [ sin40π cos40π ] = دترمینان دترمینان یک تابع است که فقط روی ماتریس های مربعی اثر می کند و حاصل اثر آن روی ماتریس های مربعی یک عدد حقیقی است دترمینان ماتریس مربعی A را با نماد A نمایش می دهیم. مقدار دترمینان A A = [ A تست( اگر ] 4 کدام است - )4 )3 - ) ) = A A = ( A )( ) 4 A = A + 4 A = 6
در ماتریس نکته: دترمینان ماتریس با مولف: عباس اسدی امیرآبادی a b نمایش داده می شود و به c d A = [ a b c d ] صورت ad - bc تعریف می شود. 3 4(a + b) کدام است a + تست( اگر, b a, سه عدد متمایز باشند حاصل دترمینان ) + (b a b + b (a + ) )سراسری خارج 89( (a-)(b-) )4 (a-)(b-) )3 4ab ) 0 ) ابتدا قرینهی ستون اول را به ستون دوم اضافه می کنیم: 4(a + b) a a (b + ) b b (a + ) در سطر اول از در سطر دوم از a و در سطر سوم از b فاکتور می گیریم ab a b (a + b) a(b + ) b(a + ) ab را در ستون اول ضرب می کنیم ستون اول+ستون ab a + b سوم در ستون سوم می نویسیم ab a + b + ab ab b ab + a b a + b + ab = (a + b + ab) b a ba + b a a + b + ab a = 0 نکته: دترمینان ماتریسی که دو سطر یا ستون مساوی داشته باشد صفر است. 7
تست( اگر مولف: عباس اسدی امیرآبادی 4 x AA t = [ y و A ماتریس 3 3 باشد آن گاه A کدام می تواند باشد ] z )4 8 )3 ) 4 ) ماتریس AA t همواره یک ماتریس متقارن است پس درایه های باال و پایین قطر اصلی نظیر به نظیر برابرند در نتیجه داریم: 4 x =, y =, z = AA t = [ ] 4 AA t = = A A t = A A = 4( ) ( ) + ( ) A = 4 = A = ± فقط در گزینه ها است. AA t متقارن است زیرا: نکته: اگر A یک ماتریس دلخواه باشد آن گاه (AA t ) t = (A t ) t A t = AA t 0 a 4 a را به دست آورید. 0 تست( حاصل دترمینان y x 4 x y 0 دترمینان فوق دترمینان یک ماتریس پادمتقارن از مرتبهی 3 است پس حاصل آن صفر است. نکته: دترمینان ماتریس پادمتقارن از مرتبهی 3 3 صفر است. 8
نکته: در حالت کلی می توان گفت دترمینان هر ماتریس پادمتقارن از مرتبهی فرد برابر صفر است زیرا: n=k+ A = A t = A A t = A = ( ) n A پادمتقارن ( ) k+ A A t = A A t = A A = A A = 0 5 6 7 کدام عدد افزوده شود تا مقدار دترمینان 8 واحد 3 تست( به هر درایهی سطر سوم دترمینان 4 9 بیشتر گردد )سراسری 9( 40 )4 30 )3 8 ) - ) 5 6 7 5 6 7 3 4 3 4 = 8 9 + k + k + k 9 قرینه ی ستون اول را 5 6 7 به دو ستون دیگر اضافه می کنیم 5 6 7 3 4 = 8 3 4 k k k k 0 0 = 8 بسط نسبت به سطر سوم k( ) 3+ = 8 k(6 0) = 8 5 6 4k = 8 k = 9
تست( به ازای چند مقدار m دترمینان ماتریس مولف: عباس اسدی امیرآبادی m 3 A = [ m و دترمینان معکوس آن برابر 0 0] است 4 )4 )3 ) 0 ) باید داشته باشیم: A A = A = A A = A A = A = m(m) + 3m = m(m 3) A = ( m(m 3) A = m (m 3) = m(m 3) = ± { m(m 3) = m 3m = 0 = 9 4() > 0 m(m 3) = m 3m + = 0 = 9 4()() = 5 > 0 دو ریشه دارد دو ریشه دارد بنابراین در کل 4 ریشه دارد. A = A نکته: همواره داریم: تست( ماتریس مربعی A مفروض است اگر = 8 t A A باشد آن گاه A برابر کدام است - )4 )3 4 ) 3 ) A عدد از دترمینان خارج می شود و به توان مرتبهی ماتریس مربعی می رسد چون عدد است داریم: A A t = 8 A A t = 8 (4 A ) A t = 8 از طرفی داریم: t A = A پس می توان نوشت: 0
(4 A ) A t = 8 6 A A = 8 A 3 = 8 6 = 8 A = نکته: ) اگر A یک ماتریس n n باشد و k یک عدد حقیقی خواهیم داشت: A ka = k n ( ترانهاده کردن ماتریس حاصل دترمینان را عوض نمی کند یعنی: A A t = 3 4 0 0 سوال: اگر ] 0 [ 0 3 = A B = [ 4 0], آن گاه حاصل 3 A B را به دست آورید. 5 0 0 0 0 A B 3 = 3 A B 3 = 3 A B 3 = 8 A B 3 A = (3)( ) = 6 B = ( 0) = 0 A B 3 = 8 A B 3 = 8 6 0 3 = 8 36 ( 000) = 88000 نکته: ) اگر B n n, A n n باشند آن گاه داریم: A B AB = ( اگر k یک عدد طبیعی باشد آن گاه داریم: A k = A k 3( دترمینان ماتریس های قطری باال مثلثی و پایین مثلثی برابر ضرب درایه های روی قطر اصلی است. 0 x 0 x 0 x سوال: مجموع دو دترمینان 0 y 0 0 + 0 y را به دست آورید. 0 t z z 0 t
با جابهجایی ستون های ماتریس اول دو دترمینانی را به صورتی به دست می آوریم که بتوان از قاعدهی تفکیک مجموع آنها را به صورت یک دترمینان بنویسیم: 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x y 0 0 + 0 y 0 = y 0 0 + 0 y 0 0 t z z 0 t 0 t z z 0 t تفکیک 0 0 x x 0 x = 0 y 0 + 0 y 0 قاعده ی x 0 x 0 y 0 = xy z 0 t z 0 t 0 0 t نکته: )قاعدهی تفکیک( هر دو دترمینان را می توان به صورت مجموع یا تفاضل دو دترمینان دیگر نوشت به طوری -n سطر یا -n ستون آنها برابر باشند و مجموع یا تفاضل سطر یا ستون بافی مانده برابر با سطر یا ستون دترمینان اول باشد. x x x چند ریشه دارد x سوال: معادلهی = 0 x x x x x A = 0 x x x x x x x 0 A = (x 3 + + x ) (x + x + x ) = x 3 + x 3 + 3x = 0 x 3 3x + = 0 جمع ضرایب صفر است پس یکی از ریشه ها یک است. x 3 3x + = 0 (x )(x x x) = 0 0-3 - - 0 - - 0
ریشه مضاعف = x (x )(x )(x + ) = 0 { ساده = x نکته: )روش ساروس برای محاسبهی دترمینان( فقط برای محاسبهی دترمینان ماتریس های 3 3 می توان از روش ساروس استفاده کرد در این روش یکبار درایه های ستون اول و دوم ماتریس را جلوی آن نوشته و سپس مجموع حاصل ضرب درایه های روی قطر اصلی را منهای مجموع حاصل ضرب درایه های روی قطرهای فرعی می کنیم. 0 سوال: اگر تبدیل یافتهی یک لوزی با زاویهی تحت ماتریس M = [ 4 0 7 ] یک متوازی االضالع به مساحت 3 4 باشد اندازهی یک ضلع لوزی را بیابید. اگر a ضلع لوزی باشد آن گاه مساحت آن برابر sin0 a است در ضمن بین مساحت این دوشکل رابطهی روبرو برقرار است: S = M S 4 3 = 4 0 7 a sin0 4 3 = 4a sin0 4 3 = 4a 3 a = a = 3 نکته: اگر S مساحت یک شکل 'S مساحت تبدیل یافتهی آن تحت ماتریس M باشد آن گاه داریم: S = M S موفق و پیروز باشید عباس اسدی امیرآبادی Abas.asadi@yahoo.com 3