f ( x, y) 1 5y axy x xy ye dxdy לדוגמה: axy + + = a ay e 3 2 a e a y ( ) במישור. xy ואז dxdy למישור.xy שבסיסם dxdy וגבהם y) f( x, איור 25.

Σχετικά έγγραφα
לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

3-9 - a < x < a, a < x < a

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

גודל. איור 29.1 ב- = 2 = 4. F x שני דרכים לחבר: גאומטרית ואלגברית. איור d = 3

שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

תרגול פעולות מומצאות 3

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 ס"מ = CD.

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

(ספר לימוד שאלון )

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

gcd 24,15 = 3 3 =

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית:

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

תקצרי הרצאות של פרופ. רועי משולם

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

gra לא שימושי -rad רדיינים. רדיין = רק ברדיינים. נניח שיש לנו משולש ישר זוית. היחס בין שתי הצלעות שמול הזוית הישרה, נקבע ע"י הזוית.

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

{ : Halts on every input}

גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי

מתמטיקה שאלון ו' נקודות. חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, טריגונומטריה שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות עלול לגרום לפסילת הבחינה.

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/

PDF created with pdffactory trial version

אנליזה וקטורית

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-

s ק"מ קמ"ש מ - A A מ - מ - 5 p vp v=

33 = 16 2 נקודות. נקודות. נקודות. נקודות נקודות.

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

בסל A רמת התועלת היא: ) - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות. P x P y. U y P y A: 10>6 B: 9>7 A: 5>3 B: 4>3 C: 3=3 C: 8=8 תנאי שני : מגבלת התקציב

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8

גליון 1 גליון 2 = = ( x) ( x)

רשימת משפטים והגדרות

תרגול #10 מרכז מסה, מומנט התמד ומומנט כח

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

פרק 11 אינטגרל קווי ומשטחי אינטגרל קווי מסוג ראשון אורך מסילה

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים (

תרגול 6 חיכוך ותנועה מעגלית

הרצאה 7 טרנזיסטור ביפולרי BJT

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים:

פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple  Ó

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11

תרגול #5 כוחות (נורמל, חיכוך ומתיחות)

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

מתמטיקה טריגונומטריה

מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע"א, מיום 23/5/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

T 1. T 3 x T 3 בזווית, N ( ) ( ) ( ) התלוי. N mg שמאלה (כיוון

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #13 יחסות פרטית

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מצולעים מצולעהוא צורה דו ממדית,עשויה קו"שבור"סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. לדוגמה:בסרטוט שלפappleיכם EC אלכסוןבמצולע.

Transcript:

( + 5 ) 5. אנטגרלים כפולים., f ( המוגדרת במלבן הבא במישור (,) (ראה באיור ). נתונה פונקציה ( β α f(, ) נגדיר את הסמל הבא dd e dd 5 + e ( ) β β איור α 5. α 5 + + = e d d = 5 ( ) e + = e e β α β α f (, ) d d β α במובן הבא: כלומר תחילה נבצע אנטגרל על הפונקציה ) f(, לפי משתנה כאשר, α α ו- בין הגבולות נלקח כקבוע. אנטגרל זה היא פונקציה תוצאה של ועליה מבצעים אנטגרל לפי משתנה של. β β ו- בין הגבולות גודל זה נקרא בשם אנטגרל כפול. לדוגמה: נבצע תחילה אנטגרל על 5. המשמעות הגאומטרית של האנטגרל הכפול. אם נתבונן במרחב התלת ממדי נוכל להבין את ( )f, כמשטח במרחב לכל נקודה ( (, מתאימה נקודה ( )f, במרחב. את הגודל dd ניתן להבין כאלמנט שטח אינפיניטזימלי ( f (, הוא למעשה אלמנט נפח (ראה איור). במישור. ואז dd כפי שכבר ראינו משמעות אנטגרל הוא סכום. הרי האנטגרל הכפול יהיה סכום כל אלמנטי הנפח הללו. כלומר האנטגרל z יהיה הנפח הכלוא בין המשטח ( )f, למישור. בדוגמה הקודמת הסכום יעשה על כל התיבות f(,) שבסיסם dd וגבהם ) f(, הנמצאות בתוך המלבן = β, = β, = α, = α d d איור 5.. 96

אם נ נ יח שבמיש ור, א נו מעונ ינים בתחום שהואשונה ממ לבן אז בא ו פן כל לי נ כ תוב : f (, ) dd איור 5. אנטגרל זה יתן לנו את הנפח הכלוא בין התחום לבין חלק המשטח ש- הוא הטלו. הערה : אנטגרל זה מחשב את הנפח מכיוון ששטח הבסיס של כל תיבה הוא dd שואף לאפס. לכן ניתן לכתוב הנפח כסכום של נפחים של תיבות! נשאלת השאלה איך לתאר את הגבולות כגבולות האנטגרציה במקרה כללי כאשר אינו מלבן. β α β α f (, ) dd f ( ) f( ) α α איור 5. α f ( ) α f( ) כאשר מלבן, כתבנו: אנטגרל זה מסכם קודם על תיבות לאורך ציר ואחר כך על פרוסות לאורך ציר. או: α β α β f (, ) dd אנטגרל זה מסכם קודם על תיבות לאורך ציר ואחר כך על פרוסות לאורך ציר. שני אנטגרלים אלה זהים כיון ששניהם נותנים אותו נפח. כיצד נטפל במקרה הכללי?. f ( ) f ( ) f ( ) נקח תח ילה את המקרה בו נבצע תחילה אי נטגרל על. f (, ) d f( ) f (, ) d d משתנה מ עד האנטגרל הראשון נותן פונקציה של בלבד ואז בודקים כיצד משתנה של. α. α עד רואים מהאיור ש- משתנה מ- 97

β β f( ) f ( ) נוכל גם לבצע תחילה את אנטגרל על. β f ( ) β f( ) f (, ) d d ואז משתנה מ- ) f( ל- ) f (. β β ל- ואילו משתנה מ- איור 5.5 שני דרכים אלו מביאות לאותה תוצאה: לנפח הכלוא בין התחום לבין חלק המשטח ( )f, ש- הוא הטלו. באנטגרל הראשון מסכמים קודם על עמודות לאורך ציר ואחר כך פרוסות לאורך ציר. באנטגרל השני מסכמים קודם על עמודות לאורך ציר ואחר כך על פרוסות לאורך ציר. הערה : נבחר את סדר האנטגרציה כך שיהיה יותר נוח. אם ניתן לכתוב את התחום כשתי פונקציות חד ערכיות באחד הצירים ( או ) נבחר ציר זה להיות אנטגרל הראשון. אם למשל יהיה באופן הבא (ראה איור) כדאי לבחור קודם את האנטגרל f ( ) על שכן רק לאורך ציר נוכל לכתוב את התחום בין שתי פונקציות חד ערכיות. דוגמאות: ) חשב את האנטגרל: f( ) dd איור 5.6 ותן לו משמעות גאומטרית. dd = d d = ( ) d = = = 6 משמעות: נתאר במישור. האנטגרל נותן את השטח בין שני הקוים. או נפח השוה לשטח הנ''ל כפול יחידה, כי ניתן לומר = ) f (, = לכל ו -. הערה: שטח כזה מצאנו גם בשיטה אחרת: איור 5.7 = d d = ( ) d 98

פרופ' שלמה הבלין מתמטיקה לפיזיקאים = = הוא השטח באיור. איור 5.8 ( חשב dd כאשר dd = ( ) ( ) ( ) d = = 6 d d = d = ) חשב: cosθ cosθ ρ cos θ sinθdρdθ = sinθdθ = sinθ d θ = - cos θ = + = 6 6 6 על ידי + = ) מצא את הנפח הנחתך מהגליל המישורים. z =, z = ולכן ס''כ הנפח יהיה: dd לאלמנט שטח dd שייך נפח z dd = d = = U du = d נציב 5 איור 5.9 = du U = U U = אפשר גם כמובן לבצע את האנטגרל קודם על ואח'יכ על ואז יראה האנטגרל: איור 5. 99 dd = = + = 6 6 הוא כאשר d = = 6 ( = ) dd 5) חשב השטח ברבוע הראשון החסום ע''י הקווים = והישר. =. =, = ; =, הישר והעקומה נחתכים בנקודות : = נפתור בשני דרכים.

דרך א': אנטגרציה נבצע תחילה לאורך רצועה אופקית (קודם על ( מ- = עד. עד = = ואח''כ נסכם על כל הרצועות לפי מ- = = = dd = ( ) d = = איור 5. 5 = 5 = = 5 = דרך ב': = עד = - נבצע אנטגרל על פני רצועה אנכית תחילה (קודם על ואח ''כ על מ- עד. = = איור 5. מ) ( ) = dd = d = 5 5 = = 5 דוגמאות פיזיקליות: מרכז המסה: מרכז כובד של גוף מישורי בעל מסה אחידה נקבע על פי נוסחה: = C איור 5. dm dm הסבר: = = ואם נציב dm = ρ dm dm ונניח ρ קבוע נקבל הנוסחה הנ"ל. מרכז הכובד הוא אותה נקודה שאפשר לראות בה את כל המסה מרוכזת ונותנת אותו מומנט כמו רצף המסה (ראה איור). בעזרת האנטגרל הכפול נוכל למצוא עתה מרכזי מסה של גופים שאינם סימטריים. )מצא את מרכז המסה של השטח המישורי המוגבל ע''י. וציר ה- = הפרבולה: ברור שמבחינה סימטרית ש- יהיה.

נחשב: dd = = = dd ( ) d ( ) d איור 5. = ( ) d = dd = = = ( ) 6 = = d = 5 + = 6 + = 8 = = 5 I = Δm i i i 5 ( ρ ) I = dm= ρ dm =. (, ) = (, 5) נחשב את : מרכז הכובד בציר הוא : נקודת מרכז הכובד היא איפה: מומנט התמדה: נראה עתה כיצד מחשבים מומנט התמדה של שטחים מישוריים. Δm i מומנט התמדה ביחס לציר מוגדר ע"י סכום של מכפלת כל אלמנט מסה : i ברבוע המרחק מציר, במסה רציפה נקבל בכתיבת אנטגרלית :

cos d = איור 5.6 ( + cos) אם נניח ρ קבוע = נקבל : I לציר ביחס = באותו אופן מומנט התמדה ביחס לציר יהיה : ביחס לציר I = דוגמה: מצא מומנט ההתמדה איור 5.5 של דיסקית שרדיוסה ביחס לציר וביחס לציר העובר בראשית ונצב לדיסקית. משואת המעגל: + = I = = dd = + = ( ) d נציב: = sinθ d = cosθ dθ I = ונקבל: d cos θcosθ θ [ cos cos ] d = d + d + d = sin sin sin + + ( + cos d ) = + + 8 + I = + sin + sin = 8 cos d נחשב תוצאה שודאי נפגשתם כבר בפיסיקה. דרך זו היא מסובכת למדי בהמשך נראה דרך קלה ביותר להגיע לאותה תוצאה. נחשב עתה את מומנט ההתמדה ביחס לציר העובר דרך הראשית: I = ( + ) = ( + ) dd = I + I I I = I = I = = אבל מסימטריה ולכן