ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Τάξης ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΤΕΡΕΩΝ. ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. Φυσικός

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Τάξης ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ.

1. Ομαλή περιστροφική ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Δθ., ω=, θ=ω.t και υ γρ. R α κ. R ύ και : S τόξο =υ γρt Δt R. Επιταχυνόμενη ομαλά περιστροφική κίνηση Α) Γωνιακή επιτάχυνση : a a, a, a t t t R o 1 o Β) Γωνιακή ταχύτητα : ω=ωο ±αγ.t, και ω= αγ. t, αν ωο=0 Γ) Γραμμική ταχύτητα : υγ=ω.r Δ) Επιτρόχιος επιτάχυνση : αεπιτρ= αγων.r Ε) Κεντρομόλος επιτάχυνση : a R R 1 Στ) Γωνιακή μετατόπιση :. t a. t ή από διάγραμμα ω-t. Ισχύει Δs=R.θ Ζ) Κεντρομόλος δύναμη : Αριθμός περιστροφών m. F F m R m R... ) 1 περιστροφή π γωνία θ Ν περιστροφές θ γωνία άρα Ν= π ) 1 περιστροφή σε 1 Τ περίοδο t Ν περιστροφές σε χρόνο t Άρα : Ν= (Ισχύει μόνο στην ομαλή στροφική) T )1 περιστροφή σε τόξο πr Δs N περιστροφές σε τόξο Δs Άρα : Ν= πr 1

3. Σύνθετη περιστροφική κίνηση Α. Μεταφορική κίνηση α) Επιτάχυνση a cm t cm, που μπορεί να είναι θετική ή αρνητική ανάλογα με την κίνηση (επιταχυνόμενη α > 0 ή επιβραδυνόμενη α < 0) β) Ταχύτητα a. cm cm ocm cm γ) Μετατόπιση x. t a. t cm Β. Περιστροφική κίνηση Α) Γωνιακή επιτάχυνση : 1 t cm cm a a, a, a t t t R o 1 o Β) Γωνιακή ταχύτητα : ω=ωο ±αγ.t, και ω= αγ. t, αν ωο=0 Γ) Γραμμική ταχύτητα : υγ=ω.r Δ) Επιτρόχιος επιτάχυνση : αεπιτρ= αγων.r Ε) Κεντρομόλος επιτάχυνση : a R R 1 Στ) Γωνιακή μετατόπιση :. t a. t ή από διάγραμμα ω-t. Ισχύει χ=δs=r.θ Ζ) Τόξο διαγραφής : α) Δs=R.θ=χ, β) Δs=1/.αε.t ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ (Αποτελούν και την συνθήκη ώστε ο τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει) : 1.. R,. α a. R και 3. χ=θ.r cm cm για σημεία περιφέρειας του τροχού.

Fl. Ροπή δύναμης F ως προς άξονα ή σημείο Ροπή ζεύγους δυνάμεων Fd. Ισορροπία στερεού ΣF=0 ή ΣFΧ=0 και ΣFΨ=0 Και Σ τ=0 Μέγιστη στατική τριβή Τστ(max)=μσ Ν Ροπή αδράνειας υλικού σημείου m. r Ροπή αδράνειας στερεού I m. r m. r... m. r I 1 1 1... Θεώρημα του Steiner Ip = Icm + M.d Θεμελιώδης Ν. Στροφικής κίνησης Στ=Ι.αγ, αν Ι=στ. L t Στροφορμή υλικού σημείου L = p. r, L = mυ.r, L=m ω r Στροφορμή στερεού L = Ιω Αρχή διατήρησης στροφορμής Κινητική ενέργεια λόγω στροφικής κίνησης Κινητική ενέργεια λόγω σύνθετης κίνησης Έργο Ισχύς Θ.Μ.ΚΕ L L I. I. 1 1 1 1.. K I 1 1 Κ= m. I. W. το θ σε rad Ρ=τ.ω cm 1 1 W K και W Μηχανική ενέργεια E U 3

ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 1. Ένα σώμα Σ αποτελείται από δύο ομογενείς και ομόκεντρους δίσκους ακτίνων R 1= 15cm και R = 5 cm. Στον εσωτερικό δίσκο είναι τυλιγμένο ένα λεπτό μη εκτατό νήμα και το όλο σύστημα ηρεμεί. Με τη βοήθεια του νήματος που ξετυλίγεται οριζόντια το σώμα Σ αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται με σταθερό ρυθμό. Κάποια στιγμή t 1 το σώμα Σ έχει διαγράψει Ν = 80/π στροφές και έχει αποκτήσει συχνότητα περιστροφής f=40/π Ηz. Α) Να βρείτε: Α.1 τη γωνιακή επιτάχυνση α γ και την επιτάχυνση α cm του κέντρου μάζας του σώματος Σ. Α. τη χρονική στιγμή t 1 Α.3 την επιτάχυνση α νημ με την οποία μετακινείται ένα σημείο του νήματος. Β) Όταν ο άξονας περιστροφής του σώματος Σ έχει μετατοπισθεί κατά Δχ cm= 96 m, να βρείτε: Β.1 πόσο έχει μετατοπιστεί ένα σημείο του νήματος. Β. το μήκος του νήματος που έχει ξετυλιχτεί.. Τρακτέρ του οποίου οι εμπρόσθιοι τροχοί έχουν ακτίνα r = 1/π m και οι οπίσθιοι R = /π m κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερή ταχύτητα υ cm= 36 km/h. Τη χρονική στιγμή t o = 0 το τρακτέρ φρενάρει και μέχρι να σταματήσει διανύει διάστημα 5 m. Καθ' όλη τη διάρκεια του φρεναρίσματος οι τροχοί του τρακτέρ κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. 1. Να παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση με το χρόνο στο ίδιο σύστημα αξόνων: α. Τη γωνιακή επιτάχυνση των εμπρόσθιων και οπίσθιων τροχών. β. Τη γωνιακή ταχύτητα των εμπρόσθιων και οπίσθιων τροχών.. Κάποια χρονική στιγμή μετά την έναρξη του φρεναρίσματος ένα κομμάτι, λάσπης που ήταν κολλημένο σε έναν από τους εμπρόσθιους τροχούς ξεκολλάει ενώ η αντίστοιχη ακτίνα είναι παράλληλη με το έδαφος και εκτινάσσεται με ταχύτητα μέτρου 6 m/s. Να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή. 3. Να προσδιορίσετε, μετά πόσο χρόνο από την έναρξη του φρεναρίσματος ο ένας από τους εμπρόσθιους τροχούς θα έχει κάνει 4,5 στροφές. 3. Η σκάλα του διπλανού σχήματος είναι ομοιόμορφη, έχει μάζα m = 40 kg, μήκος L = 4 m και η μία άκρη της ακουμπά σε λείο κατακόρυφο τοίχο. Η σκάλα μόλις που ισορροπεί χωρίς να γλιστρά στο οριζόντιο δάπεδο, σχηματίζοντας με αυτό γωνία φ = 45 ο. α) Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί ο κατακόρυφος τοίχος στη σκάλα καθώς και τη δύναμη που ασκεί το οριζόντιο δάπεδο στη σκάλα. β) Να υπολογίσετε το συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ σκάλας και οριζόντιου δαπέδου. γ)'ένας άνθρωπος επανατοποθετεί τη σκάλα ώστε να σχηματίζει με το οριζόντιο δάπεδο γωνία φ = 37 (ημ37 = 0,6, συν37 = 0,8). Να βρείτε μέχρι ποιο σημείο μπορεί ν' ανέβει στη σκάλα ένα μικρό παιδί μάζας Μ= 40 kg, ώστε η σκάλα να μη γλιστρήσει. Δίνεται g=10 m/s. (00N, 005 N,0.5, 1m) 4

4. Η ράβδος ΑΒ μήκους L=4 m και βάρους W=100 N μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και ισορροπεί όπως στο σχήμα, δεμένη με νήμα στο άκρο της Β, το οποίο είναι κάθετο σε αυτήν. Πάνω στη ράβδο ένα σώμα μάζας m 1=5kg ισορροπεί. Αν η κλίση της σανίδας είναι θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ = 0,8, να βρεθούν η τάση του νήματος και οι συνιστώσες της δύναμης που δέχεται η σανίδα από τον άξονα F x, και F y όπου η μια έχει την διεύθυνση της σανίδας και η άλλη κάθετη σε αυτήν. Το σώμα βρίσκεται στη θέση O, η οποία απέχει 1m από το άκρο Β. Δίνεται g= 10m/s. 5. Ομογενής δοκός ΑΒ μήκους L= 4m και βάρους w 1=600 N στηριζόμενη στο άκρο Α και σε ένα σημείο Γ, το οποίο απέχει απόσταση d =, 5 m από το άκρο Α, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα παιδί βάρους w = 300 Ν στέκεται πάνω στη δοκό, στο σημείο Γ, και αρχίζει να προχωράει προς το άκρο Β. α. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη δοκό, όταν το παιδί βρίσκεται σε απόσταση χ από το σημείο Γ. β. Να εκφράσετε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούν στη δοκό τα στηρίγματα σε συνάρτηση με την απόσταση χ. Να παραστήσετε γραφικά τις δύο αυτές δυνάμεις, στο ίδιο διάγραμμα. γ. Μέχρι ποια απόσταση μπορεί να προχωρήσει το παιδί, χωρίς να ανατραπεί η δοκός δ. Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που ασκεί στη δοκό το υποστήριγμα στο σημείο Γ στην περίπτωση του ερωτήματος (γ) ε) Σε πόση απόσταση από το άκρο της σανίδας πρέπει να τοποθετηθεί το υποστήριγμα Γ, ώστε το παιδί να μπορεί να φτάσει στο άκρο Β χωρίς να ανατρέπεται η σανίδα; (780+10χ, 10-10χ, 1m, 900 N) 6. Η ομογενής ράβδος ΑΒ του διπλανού σχήματος έχει μήκος L = 5 m, βάρος w= 40Ν και ισορροπεί σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια αβαρούς και μη εκτατού νήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται με τη βοήθεια άρθρωσης γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σε αυτή. Στη ράβδο έχουμε τοποθετήσει σώμα μάζας m 1 = 1,5 kg αμελητέων διαστάσεων, το οποίo απέχει από το άκρο Α απόσταση d = 16 m. Το όριο θραύσης του νήματος ισούται με Τ θρ= 40 Ν. α. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος. β. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση. γ. Το σώμα αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στη ράβδο κινούμενο προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ = 4m/s. Να υπολογίσετε μετά από πόσο χρόνο από την εκκίνηση του σώματος θα σπάσει το νήμα. Δίνεται: η επιτάχυνση της βαρύτητας, g=10 m/s. (00 N, 185 N, 1 s ) 7. Η ράβδος ΓΔ είναι αβαρής ενώ η ράβδος ΑΕ είναι ομογενής και ισοπαχής, με βάρος w 1= 00 Ν και μήκος (ΑΕ) = 4 m. Το σώμα έχει μάζα m = 4 kg και το ελατήριο σταθεράς Κ = 400 Ν/m έχει επιμηκυνθεί, όταν το σύστημα ισορροπεί, κατά 0, m. Να βρεθούν: α) Η τάση του νήματος ΖΗ και οι αντιδράσεις στις αρθρώσεις Α, Γ. β) Κόβουμε το νήμα τη χρονική στιγμή t = 0. Να γραφεί η εξίσωση της κίνησης του σώματος και να βρεθούν οι δυνάμεις στη ράβδο τη χρονική στιγμή t = Τ/, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης του σώματος. Δίνεται (ΑΓ)=1m, g=10 m/s. (40N, 70N, 440N, 0,1ημ(10t+3π/),F ελ=0, 400N, 00N) 5

8. Ομογενής ράβδος ΒΓ μήκους L = 3 m και μάζας Μ = kg, ισορροπεί οριζόντια με τη βοήθεια αβαρούς μη εκτατού νήματος το οποίο είναι στερεωμένο στο μέσο Κ της ράβδου και σε κατακόρυφο τοίχο. Το νήμα σχηματίζει με τη ράβδο γωνία φ=30 ο. Το άκρο Β της ράβδου συνδέεται με τον τοίχο μέσω άρθρωσης. Στο άκρο Γ της ράβδου είναι στερεωμένο κατακόρυφο αβαρές ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=100 N/m, στο άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί και ισορροπεί σημειακή μάζα m=1 kg. Τη στιγμή t=0 προσδίνουμε στη μάζα m ταχύτητα μέτρου υ= m/s με φορά θετική προς τα κάτω., οπότε το σύστημα ελατήριο- μάζα αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Αν το όριο θραύσης του νήματος είναι Τ θρ=10ν, να υπολογίσετε : Α. το μέτρο της τάσης του νήματος κατά τη διάρκεια της ισορροπίας του συστήματος ελατήριο μάζας. Β. την περίοδο Τ ο και το πλάτος Α της ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο μάζας και να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας θετική φορά προς τα κάτω. Γ. τη χρονική στιγμή που θα κοπεί το νήμα. Δ. την ταχύτητα της μάζας m τη στιγμή που κόβεται το νήμα. Δίνεται: g=10 m/s (80 Ν, π/5 sec, 0, m, 0.ημ10t, π/60 sec, 3 m/s ) 9. Μια λεία ομογενής σανίδα ΑΓ μήκους l=m και μάζας m 1= kg είναι αρθρωμένη σε κατακόρυφο τοίχο με το κάτω άκρο της Α. Το άλλο άκρος της είναι δεμένο με κατακόρυφο νήμα με όριο θραύσης Τ θρ=5 Ν. Πάνω στη σανίδα ισορροπεί σώμα Σ μάζας m =5kg που είναι δεμένο σε ελατήριο σταθεράς Κ=15 Ν/m και φυσικού μήκους l o=1 m. Α) Να βρείτε την τάση του νήματος όταν το σύστημα ισορροπεί. Την στιγμή t =0 θέτουμε το σώμα Σ σε ταλάντωση, δίνοντας σε αυτό θετική ταχύτητα υ=1,5m/s παράλληλη με την σανίδα και με φορά προς τα πάνω. Β) Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του Σ. Γ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δύναμης που ασκεί το νήμα στη σανίδα. Δ) Ποια η τιμή της δύναμης που ασκεί το νήμα στη σανίδα τη χρονική στιγμή t = Τ/1 (Τ η περίοδος της ταλάντωσης); Ε) Ποια η μέγιστη ταχύτητα υ που μπορούμε να δώσουμε στο σώμα Σ χωρίς να κοπεί το νήμα; Δίνονται: ημφ=0,8, συνφ=0,6, και g =10 m/s. 10. Από ένα ομογενή και ισοπαχή δίσκο ακτίνας R αφαιρούμε ένα κυκλικό τμήμα ακτίνας R/ όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρείτε τη ροπή αδράνειας του στερεού που απομένει ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο Ο του δίσκου και είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου. Δίνεται η ροπή αδράνειας του ομογενούς δίσκου μάζας M και ακτίνας R ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι Ι cm=(1/)m R. R Ο AA A 6

11. Μια δοκός μήκους m, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή βρίσκεται στη θέση του διπλανού σχήματος (κάτοψη). Στη θέση αυτή οι ταχύτητες των δύο άκρων Α και Β της δοκού, είναι κάθετες στη δοκό με μέτρα υ Α=0,8m/s, υ Β=1,8m/s. i) Η κίνηση της δοκού είναι: α) Μεταφορική, β) στροφική, γ) σύνθετη. ii) Αν η δοκός είναι ομογενής, τότε η γωνιακή ταχύτητα της δοκού έχει μέτρο: α) ω=0,3rad/s, β) ω=0,5rad/s, γ) ω=0,7rad/s. iii) Αν το κέντρο μάζας της δοκού είναι το σημείο Κ, όπου (ΚΜ)=0,m, τότε αποδεχόμενοι ότι η δοκός περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το Κ, η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της έχει μέτρο: α) ω=0,3rad/s, β) ω=0,5rad/s, γ) ω=0,7rad/s. 1. Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=m πέφτει κατακόρυφα με την επίδραση μόνο του βάρους. Σε μια στιγμή, η ράβδος είναι οριζόντια και το μέσον της Ο έχει κατακόρυφη ταχύτητα υ 1=4m/s, ενώ το άκρο της Α, επίσης κατακόρυφη ταχύτητα υ =8m/s, όπως στο διπλανό σχήμα. i) Η κίνηση της ράβδου είναι: α) μεταφορική, β) στροφική, γ) σύνθετη. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ii) Να βρεθεί η ταχύτητα του άκρου Β στην θέση αυτή. iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του άκρου Α, λαμβάνοντας υπόψη σας, ότι η δοκός δεν έχει γωνιακή επιτάχυνση. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s. 13. Μια ομογενής σανίδα μήκους m και μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ασκούμε στο ένα της άκρο Α μια κατακόρυφη δύναμη F=Ν και βλέπουμε ότι η σανίδα ισορροπεί. i) Να υπολογίσετε την δύναμη που ασκεί το επίπεδο στη σανίδα και τη ροπή της ως προς το μέσον Ο της σανίδας. ii) Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F=4Ν και η ράβδος συνεχίζει να ισορροπεί. Πόσο απέχει ο φορέας της αντίδρασης του επιπέδου από το μέσον Ο της ράβδου; iii) Ποια είναι η μέγιστη τιμή της ασκούμενης δύναμης, χωρίς να αρχίσει να σηκώνεται η σανίδα; iv) Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F=6Ν. Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του μέσου Ο της και του άκρου Α της ράβδου. 7

14. Ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους 1= m και μάζας Μ=3 kg βρίσκεται ακίνητη σε οριζόντιο επίπεδο και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσο της Ο. Δύο σώματα με μάζες m 1=m =4,5 kg βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ της ράβδου, που απέ χουν από το μέσο O αποστάσεις ΟΚ=ΟΛ=L/3 αντίστοιχα. Τη χρονική στιγμή t=0 στα άκρα Α και Β της ράβδου ασκείται ζεύγος δυνάμεων μέτρου F=10 Ν, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογιστούν: α) η ροπή αδράνειας του συστήματος β) η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος γ) το τόξο που διαγράφει το σώμα μάζας m 1 μέχρι τη χρονική στιγμή t=5 s. δ) το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας και της επιτρόχιας επιτάχυνσης του άκρου Α της ράβδου τη χρονική στιγμή t=5 s. Δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σ' αυτή: Ι ρ = 1/1 ML (5 kg.m, 4 r/s, 100/3 m, 0 m/s, 4 m/s ) 15. Η λεπτή ομογενής ράβδος του διπλανού σχήματος έχει μήκος 1 = m, μάζα Μ= kg και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος σ' αυτή. Η ράβδος ισορροπεί αρχικά σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια αβαρούς, μη εκτατού νήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σημείο Ζ της ράβδου στο οποίο είναι δεμένο το νήμα απέχει από το άκρο Ο απόσταση 1 1 = 1,5 m. α) Να υπολογίσετε την τάση του νήματος καθώς και τη δύναμη που δέχεται η ράβδος στο σημείο Ο. β) Κόβουμε το νήμα. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης που αποκτά η ράβδος: i) τη χρονική στιγμή που κόψαμε το νήμα, ii) τη χρονική στιγμή που η ράβδος σχηματίζει με την κατακόρυφο που διέρχεται από το άκρο Ο γωνία 60. iii) τη χρονική στιγμή που η ράβδος διέρχεται από την κατακόρυφη θέση της. Αυτή τη χρονική στιγμή να βρείτε τη δύναμη που δέχεται το σημείο Ο από τον άξονα περιστροφής, αν η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου είναι τότε 10 r/s. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου Ι cm = 1/1 Μ1 και g = 10 m/s. (16 N, 4 N, 7,5 r/s, 0 N) 16. Οι δύο ράβδοι του σχήματος έχουν μήκος L=0,6 m, μάζα m=1 kg κάθε μία και είναι συγκολλημένες σταθερά στο Λ ώστε να σχηματίζουν την ορθή γωνία ΚΛΜ. Το σύστημα των δύο ράβδων ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος ΛΜ είναι κατακόρυφος ενώ η ΚΛ είναι οριζόντια συγκρατούμενη στο μέσο της Ρ από σχοινί το οποίο σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία φ=60. Κόβουμε το σχοινί οπότε το σύστημα αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από το K χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε: α. την τάση του νήματος πριν κοπεί. β. τη ροπή αδράνειας του συστήματος των δύο ράβδων ως προς το Κ. γ. τη γωνιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σύστημα τη στιγμή που θα κοπεί το νήμα δ. το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος τη στιγμή που η ράβδος ΚΛ γίνεται κατακόρυφη. Δίνεται Ι cm(ράβδου)=1/1 m L, g=10 m/s. A F m1 m F Λ O K B (60N, 0,6Kgm, 15 r/s, 5 r /s ) 8

17. Τέσσερις ίδιες, λεπτές, ισοπαχείς ράβδοι ΟΑ, ΑΒ, ΒΓ και ΓΟ, που έχουν μάζα Μ= kg μήκος L = 1,5 m η καθεμία, συγκολλούνται στα άκρα τους Ο, Α, Β και Γ, ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο ΟΑΒΓ. Το σύστημα των τεσσάρων ράβδων μπορεί να περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο του τετραγώνου, που διέρχεται από την κορυφή του Ο. Το σύστημα αρχικά συγκρατείται στη θέση όπου η ράβδος ΟΑ είναι οριζόντια, με τη βοήθεια οριζόντιας δύναμης F, όπως φαίνεται στο σχήμα. Α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Ο. Β. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F Γ. Κάποια στιγμή η δύναμη καταργείται και από την αρχική του θέση το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να περιστραφεί σε κατακόρυφο επίπεδο περί τον άξονα περιστροφής στο σημείο Ο, χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του συστήματος, κατά τη στιγμή της εκκίνησης. Δ. Τη χρονική στιγμή της εκκίνησης να βρείτε τις επιτρόχιες επιταχύνσεις (μέτρα και διανύσματα) των σημείων Α, Β, Γ και του μέσου Μ της ράβδου ΑΒ. Η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο είναι Ι cm = 1/1ΜL και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10 m/s. (15 Kg.m, 40 N, 4 r/s ) 18. Ένα σύστημα διπλής τροχαλίας αποτελείται από δύο ομογενείς λεπτούς δίσκους Α και Β με ακτίνες R 1=0. m και R =0.1 m αντίστοιχα. Το σύστημα μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα, που περνά από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ο άξονας αυτός, αποτελεί μέρος άρθρωσης, με την οποία το σύστημα είναι στερεωμένο ακλόνητα στην οροφή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Γύρω από τους δίσκους είναι τυλιγμένα αβαρή νήματα, τα οποία δεν ολισθαίνουν πάνω στους δίσκους. Στις ελεύθερες άκρες των νημάτων των τροχαλιών Α και Β έχουν δεθεί σώματα Σ 1,Σ, με μάζες m 1= kg και m =1 kg αντίστοιχα. Το σώμα Σ βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t=0 το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. α) Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη διπλή τροχαλία και στα σώματα Σ 1,Σ. β) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης α γ της διπλής τροχαλίας και να δείξετε την κατεύθυνσή της στο σχήμα. γ) Τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ 1 κατεβαίνει κατά 64 m, να βρείτε την ταχύτητα των δύο σωμάτων Σ 1 και Σ, καθώς και τη γωνιακή ταχύτητα της διπλής τροχαλίας. δ) Πόσες στροφές έκανε η διπλή τροχαλία το παραπάνω χρονικό διάστημα ; Η ροπή αδράνειας της διπλής τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I cm=0.01 kg.m. Δίνεται: g=10 m/s. 9

19. Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ=4kg και ηρεμεί όπως στο σχήμα, όπου ένα αβαρές νήμα έχει περαστεί στο αυλάκι της. Το ένα του άκρο του νήματος έχει δεθεί σε ταβάνι, ενώ το άλλο του άκρο Α συγκρατείται σε τέτοια θέση, ώστε να απέχει κατά h=0.36 m από τo νταβάνι. Ασκούμε κατάλληλη σταθερή κατακόρυφη δύναμη F στο άκρο A του νήματος, ώστε τo άκρο αυτό να φτάσει στο ταβάνι σε χρόνο t 1=0.6 s. α) Να αποδειχθεί ότι η τροχαλία κινείται προς τα πάνω με σταθερή επιτάχυνση κέντρου μάζας. β) Να δειχτεί ότι το άκρο Α έχει διπλάσια επιτάχυνση από το κέντρο Ο της τροχαλίας. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του άκρου Α. γ) Να βρεθεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F. Δίνεται η ροπή αδράνειας ης τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της I=1/ (M R ) και g= 10m/s ( m/s, 3 N) 0. Σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ (ημφ = 0,6, συνφ = 0,8) βρίσκονται ένας ομογενής κύλινδρος μάζας m 1 = kg και ακτίνας R = 0,1 m και ένας κύβος ίδιας μάζας που είναι δεμένοι με ένα νήμα, όπως στο σχήμα. Το σύστημα κατέρχεται, ξεκινώντας από την ηρεμία και με τον κύλινδρο να κυλίεται χωρίς ολίσθηση, τον δε κύβο να παρουσιάζει με το κεκλιμένο επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,3. Α) Να δείξτε ότι ο κύλινδρος αν κινιόταν μόνος του θα είχε μεγαλύτερη επιτάχυνση από τον κύβο, οπότε το σύστημα κατέρχεται με το νήμα τεντωμένο. Β) Να βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή στατικής τριβής του κυλίνδρου ώστε να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Γ) Να βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. Δ) Να βρείτε το μέτρο της δύναμης F που ασκεί το νήμα σε κάθε σώμα και τις δυνάμεις τριβής που δέχονται ξεχωριστά ο κύλινδρος και ο κύβος. Ε) Όταν ο κύλινδρος κατέβει κατακόρυφη απόσταση Η=8,8 cm, να βρείτε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κύβου και την γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου. Δίνονται: η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του, Ι cm=1/.mr,και η επιτάχυνση της βαρύτητας 10 m/s ( 4 m/s, 3.6 m/s, 0,5, 3,8 m/s, 3,84 N, 4,8 N, 0,48 N, 1.9 m/s) 1. Συμπαγής και ομογενής κύλινδρος μάζας Μ= 10 kg και ακτίνας R = 0,45 m βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στην επιφάνεια του κυλίνδρου έχουμε τυλίξει λεπτό αβαρές νήμα, το οποίο περιβάλλει την περιφέρεια ακίνητης τροχαλίας, αμελητέας μάζας. Σώμα Σ άγνωστης μάζας m κρέμεται στο ελεύθερο άκρο του νήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο. Αφήνουμε το σύστημα κυλίνδρου τροχαλίας-σώματος Σ ελεύθερο να κινηθεί, οπότε το σώμα Σ κινείται προς τα κάτω και ο κύλινδρος κυλίεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει. Τη χρονική στιγμή t 1 που το σώμα Σ έχει μετατοπιστεί προς τα κάτω κατά h = 1,8 m, το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι υ= m/s. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του σώματος Σ τη χρονική στιγμή t 1. β. τη μάζα m του σώματος Σ. γ. το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. δ. το μέτρο της στατικής τριβής που ασκείται στον κύλινδρο Δίνονται: η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του, Ι cm=1/.mr,και η επιτάχυνση της βαρύτητας 10 m/s. (4 m/s, 3 kg, 0/9 m/s ) 10

. Η ομογενής σφαίρα του σχήματος έχει μάζα m = 5 kg ακτίνα R = 0,4 m και βρίσκεται συνέχεια σε επαφή με τα δύο επίπεδα της ορθής γωνίας. Η αρχική γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας έχει μέτρο ω o = 60 r/s και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ της σφαίρας και των επιπέδων είναι μ = 0,5. Να βρείτε: α) Τα μέτρα των τριβών που δέχεται η σφαίρα από τα επίπεδα. β) Τη γωνιακή επιβράδυνση της σφαίρας. γ) Το χρόνο που χρειάζεται για να σταματήσει η περιστροφή της σφαίρας. δ) Τη συνολική γωνία στροφής της σφαίρας από τη στιγμή που αφήνεται μέχρι που σταμάτησε. ε) Τον αριθμό των στροφών μέχρι να σταματήσει. Δίνεται ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας I cm=(/5).m.r και g=10m/s. (0 Ν, 10 Ν, 15 r/s, 4 s, 10 rad, 60/π ) 3. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο μη λείες σφαίρες ίσης μάζας Μ=1 kg και ίδιας ακτίνας R=0.1 m. Η μία σφαίρα είναι συνδεδεμένη με οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ=70Ν/m που δεν εμποδίζει την περιστροφή της σφαίρας και η δύναμη του ελατηρίου ασκείται στο κέντρο της σφαίρας. Συσπειρώνουμε το ελατήριο σε σχέση με το φυσικό του μήκος κατά χ=0,m και φέρνουμε σε επαφή τις δύο σφαίρες. Την χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα. Οι σφαίρες συνεχώς κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν και δεν αναπηδάνε. Α) Ποια χρονική στιγμή θα χαθεί η επαφή των δύο σφαιρών; Β) Να βρεθεί το τελικό πλάτος ταλάντωσης του κέντρου μάζας της σφαίρας που είναι δεμένη στο ελατήριο. Ι cm=0,4.m.r. ( π/10 s, 0.1 m ) 4. Η ομογενής δοκός ΑΔ μήκους 4m και μάζας Μ=13kg, ισορροπεί σε οριζόντια θέση, δεμένη στο άκρο κατακόρυφου νήματος στο άκρο της Α, ενώ στηρίζεται σε τρίποδο στο σημείο Γ, όπου (ΓΔ)=1m, ενώ πάνω της ηρεμεί ένας κύλινδρος ακτίνας R=0,5m και μάζας m=10kg. Σε μια στιγμή t 0=0 ασκούμε στο κέντρο του κυλίνδρου οριζόντια σταθερή δύναμη F, με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να κυλίσει και να εγκαταλείψει τη δοκό από το άκρο της Δ τη χρονική στιγμή t 1=s, οπότε και παύει να ασκείται η δύναμη F. Στη διάρκεια της παραπάνω κίνησης η δοκός παραμένει ακίνητη. i) Να υπολογιστεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F. ii) Να βρεθεί ο συνολικός αριθμός των περιστροφών του κυλίνδρου μέχρι τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος, αν το ύψος που βρίσκεται η δοκός είναι h=m. iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο. iv) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής τριβής μεταξύ τριπόδου και δοκού για την ισορροπία της δοκού 11

5. Το σύστημα του διπλανού σχήματος ισορροπεί, ώστε το κατακόρυφο ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος l o. Το σώμα, το οποίο είναι εξαρτημένο στο ελατήριο, έχει μάζα m = 1 kg και ο δακτύλιος στο κεκλιμένο επίπεδο έχει μάζα Μ και ακτίνα R = (π/10)m. Το κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης φ με ημφ = 0,8, η τροχαλία Τ είναι αβαρής και το νήμα που τυλίγεται στο δακτύλιο είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο. 1. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της τάσης του νήματος και της στατικής τριβής στο δακτύλιο και τη μάζα Μ του δακτυλίου.. Τη χρονική στιγμή t=0 κόβουμε το νήμα, οπότε το σώμα μάζας m εκτελεί κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση και ο δακτύλιος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει μέχρι τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Όταν το σώμα μάζας m έχει εκτελέσει μια πλήρη απλή αρμονική ταλάντωση, το κέντρο μάζας του δακτυλίου έχει μετατοπιστεί κατά χ= π m. α. Να υπολογίσετε τον αριθμό των περιστροφών του δακτυλίου, όταν το κέντρο μάζας του έχει μετατοπιστεί κατά χ και τη σταθερά Κ του ελατηρίου. β. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης της απλής αρμονικής ταλάντωσης του σώματος μάζας m, θεωρώντας θετική φορά προς τα πάνω. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s και η ροπή αδράνειας του δακτυλίου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι cm= ΜR. (10 Ν, 10 Ν,.5 kg, 10, 4 Ν/m,.5 ημ(τ+π/) ] 6. Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα m=0 kg και ακτίνα R=0.5 m και παρουσιάζει με τον τοίχο συντελεστές τριβής μ=μ σ=0,. Γύρω του έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα στο άκρο του οποίου ασκούμε μια μεταβλητή δύναμη. Παρατηρούμε ότι για να αρχίσει να στρέφεται ο κύλινδρος απαιτείται να του ασκήσουμε δύναμη τουλάχιστον F=50Ν όπως στο σχήμα όπου ημθ=0,6 α) Να βρεθεί η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκείται στον κύλινδρο από τον άξονα περιστροφής του. β) Αν αυξήσουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F=60Ν, παρατηρούμε ότι ο κύλινδρος αποκτά γωνιακή ταχύτητα ω=0 r/s σε χρονικό διάστημα Δt=5s. Υπολογίστε στην περίπτωση αυτή την οριζόντια και την κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκείται στον κύλινδρο από τον άξονα περιστροφής του. φ Δίνεται για τον κύλινδρο ως προς τον άξονα περιστροφής F του I= ½. ΜR και g= 10m/s. (80 N, 90N, 36N. 88N) 7. Τα δύο γρανάζια του διπλανού σχήματος μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από σταθερούς άξονες που διέρχονται από τα κέντρα τους. Το δεξί γρανάζι έχει μάζα m και ακτίνα R και το αριστερό έχει μάζα m και ακτίνα 3R. Το δεξί γρανάζι έχει μικρό αυλάκι ακτίνας R γύρω από το οποίο είναι τυλιγμένο νήμα που στο άλλο του άκρο είναι δεμένο βαρίδι μάζας m το οποίο κρέμεται κατακόρυφα. Αφήνουμε το βαρίδι ελεύθερο. Να βρεθεί: α. Η επιτάχυνση του βαριδίου. β Η γωνιακή επιτάχυνση του μεγάλου γραναζιού σε συνάρτηση με την ακτίνα R (Τα γρανάζια θεωρούνται ομογενείς δίσκοι με : Ι cm = 1/ MR ) (g /4, g /6R ) 1

8. Μία ομογενής ράβδος ΟA μάζας Μ =3 kg και μήκους l = 1 m φέρει στο άκρο της Α σφαιρίδιο μάζας m =1 kg. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο. Αρχικά, ενώ η ράβδος ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση, ασκούμε στο άκρο Α δύναμη σταθερού μέτρου F = 1Ν της οποίας η διεύθυνση είναι συνεχώς κάθετη στη ράβδο. Στην στροφική κίνηση της ράβδου υπάρχουν τριβές με ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής μέτρου τ Τ= 1 Ν.m. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο σ αυτή που διέρχεται από το μέσον της είναι I cm=1/1.m.l. Α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος Σ ράβδοςσφαιρίδιο ως προς τον άξονα περιστροφής. Β) Ποια η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος Σ, όταν η ράβδος σχηματίζει με την αρχική της θέση γωνία φ (ημφ=0,6) Γ) Καθώς το σύστημα ανέρχεται, να βρείτε την τιμή της γωνίας μεταξύ ράβδου και κατακόρυφης όπου μεγιστοποιείται η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος. Δίνεται: g=10 m/s 9. Τροχός ενός ποδηλάτου ακτίνας R = 0,4 m είναι δυνατόν να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του χωρίς τριβές. Ο τροχός είναι ακίνητος και στο ανώτερο σημείο του βρίσκεται ακίνητο ένα πουλί μάζας m= 0,1 Κg. Κάποια στιγμή το πουλί αναπηδά με ταχύτητα υ= 5 m/s που σχηματίζει γωνία φ =45 o με την οριζόντια διεύθυνση, και αμέσως μετά ο τροχός περιστρέφεται με συχνότητα f=/π Hz. Α. Να βρείτε: Α1. Τη ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον οριζόντιο άξονα. Α. Τη ροπή που ασκήθηκε από τα πόδια του πουλιού στον τροχό αν θεωρηθεί σταθερή και αν η χρονική διάρκεια της αναπήδησης του πουλιού είναι Δt= 0,1 s. Β. Μετά την αναπήδηση του πουλιού ασκείται στον άξονα του τροχού κατάλληλη εξωτερική ροπή ώστε ο άξονας να περιστραφεί κατά Δφ = 90, χωρίς να μεταβληθεί η γωνιακή του ταχύτητα ω. Να βρείτε την κατεύθυνση και το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του τροχού ως προς τον άξονα. (0.05 kg.m, Ν.m, 0. kg.m /s, 45 ο ) 30. Η ράβδος του σχήματος έχει μάζα Μ=6 Kg, μήκος m και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος σε αυτή. Η ράβδος ισορροπεί ακίνητη σε κατακόρυφη θέση. Ένα βλήμα μάζας m=10 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ=800 m/s, συγκρούεται με τη ράβδο σε απόσταση d 1= 1,5 m από τον άξονα περιστροφής της και εξέρχεται απ' αυτή με ταχύτητα μέτρου υ 1 = υ/3. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της στροφορμής του βλήματος ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου ελάχιστα πριν συγκρουστεί με τη ράβδο, β) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας που αποκτά η ράβδος αμέσως μετά την κρούση, γ) τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής αμέσως μετά την κρούση, δ) το μέτρο της μέσης τιμής της ροπής που δέχθηκε το βλήμα κατά τη διάρκεια της σύγκρουσής του με τη ράβδο, αν δίνεται ότι η χρονική διάρκεια της κρούσης ισούται με Δt = 0,01 s. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής του υπολογίζεται από τον τύπο: Ι = 1/3 ΜL. (1 Kg.m /s, 1 r/s, 66Ν, 800 N.m) 13

31. Ομογενής δακτύλιος μάζας Μ= 0,9 kg ακτίνας R =0,4 m μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο, περί οριζόντιο άξονα που εφάπτεται στο δακτύλιο στο σημείο Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει. Αρχικά ο δακτύλιος ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα. Βλήμα μάζας m= 0,1 kg το οποίο κινείται οριζόντια στο κατακόρυφο επίπεδο του δακτυλίου με ταχύτητα υ ο σφηνώνεται ακαριαία στο κατώτερο σημείο Α του δακτυλίου. Μετά την κρούση, ο δακτύλιος περιστρέφεται περί τον άξονα στο σημείο Ο και σταματάει στιγμιαία, όταν η διάμετρός του ΟΑ γίνεται οριζόντια. α. Να βρείτε τη ροπή αδράνειας ομογενούς δακτυλίου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει. β Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας που αποκτά το σύστημα δακτυλίου -βλήματος, αμέσως μετά την κρούση. γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ ο του βλήματος. δ. Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος δακτυλίου βλήματος, από τη στιγμή της κρούσης και μέχρι να σταματήσει στιγμιαία. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g =10 m/s. Να θεωρήσετε το πάχος του δακτυλίου αμελητέο σε σχέση με την ακτίνα του. (5 r/s, m/s, 4.4 kg.m /s ) 3. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΒ, μήκους L = m και μάζας Μ =3 kg μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο περί οριζόντιο άξονα χ χ που διέρχεται από το μέσον της Ο. Στα άκρα Α και Β της ράβδου στερεώνονται αντίστοιχα τα σφαιρίδια Σ 1 μάζας m 1 = 0,4 kg και Σ μάζας m = 0,1kg. Η ράβδος φέρεται σε οριζόντια θέση και αφήνεται ελεύθερη να περιστραφεί. α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα χ χ. β. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου τη στιγμή που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη. γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου Σ 1 τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη. δ. Τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη ένα τρίτο σφαιρίδιο Σ 3 μάζας m 3= 0,1 kg το οποίο κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ ο στο κατακόρυφο επίπεδο περιστροφής της ράβδου, ενσωματώνεται με το σφαιρίδιο Σ 1. Αν αμέσως μετά την κρούση, η ράβδος παραμένει ακίνητη, να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ ο του σφαιριδίου Σ 3.Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα χ χ είναι Ι cm = 1/1 Μ L και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g =10 m/s Οι διαστάσεις των σφαιριδίων θεωρούνται αμελητέες. (1.5 kg.m, r/s, m/s, 30 m/s ) 33. Ομογενής ράβδος ΑΓ, μήκους L = 3 m και μάζας Μ=3kg, ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο Γ της ράβδου συνδέεται με τον τοίχο με οριζόντιο σχοινί. Α. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το σχοινί στη ράβδο και το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση. Β. Κάποια στιγμή κόβουμε στο σχοινί και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της. Να υπολογίσετε: α. το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου τη στιγμή που κόβουμε το νήμα. β. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου τη στιγμή που γίνεται κατακόρυφη. γ. Τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, ένα βλήμα μάζας m=6 Kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ ο σφηνώνεται ακαριαία στο κατώτερο άκρο Γ, της ράβδου. Αν η ράβδος αμέσως μετά την κρούση παραμένει ακίνητη, να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ ο.. Η ροπή αδράνειας της ράβδο ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ι =1/3 ΜL, g=10m/s και συνθ=0,6, ημθ=0,8 και τριβές αμελητέες ( 0 N, 10 13 N, 36 N.m, 4 r/s, 4 m/s) 14

34. Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΟΑ, μήκους 1= 1, m κα μάζας Μ = 3 kg, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος σ' αυτή. Αρχικά η ράβδος ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. 'Ένα βλήμα μάζας m = 10 g, το οποίο κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ = 70 m/s, συγκρούεται σε σημείο Κ της ράβδου, που απέχει από το σημείο Ο απόσταση χ = 0,8 m. Το βλήμα μόλις που εξέρχεται (υ=0) από τη ράβδο. α) Να υπολογίσετε την απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση. β) Να εξετάσετε αν η ράβδος εκτελεί ανακύκλωση. γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας που πρέπει να έχει το βλήμα, ώστε η ράβδος μετά την κρούση μόλις που να φτάσει σε οριζόντια θέση. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου Ι cm= 1 / 1 ML, g=10 m/s. (580,48 J, den, 900 m/s ) 35. Τέσσερις ίδιες, λεπτές, ισοπαχείς και ομογενείς ράβδοι, που έχουν μάζα Μ= kg και μήκος L =1,5 m η καθεμία, συγκολλούνται στα άκρα τους, ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο ΑΒΓΔ. Το σύστημα μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές περί οριζόντιο άξονα χ χ που ταυτίζεται με την πλευρά ΑΔ του τετραγώνου. Το σύστημα αρχικά συγκρατείται στη θέση όπου το τετράγωνο βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής Β. Από την αρχική του θέση το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να περιστραφεί περί τον άξονα περιστροφής χ χ. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος, τη στιγμή της εκκίνησης. Γ. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία το τετράγωνο βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο, να υπολογίσετε: α. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος. β. το μέτρο της στροφορμής της κατώτερης οριζόντιας ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής χ χ. Η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς άξονα κάθετο στο μέσον της είναι: Ι=1/1 ΜL και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 /s. (1.5 kg.m, 4.5 kg.m, 0, 60 kg.m /s, 4 r/s, 18 kg.m /s) 36. Ο ομογενής δίσκος του σχήματος μάζας Μ= 1 kg και ακτίνας R = 0, m μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο του χωρίς τριβές. Τη χρονική στιγμή t = 0, που ο δίσκος είναι ακίνητος, ασκείται εφαπτομενικά στο δίσκο σταθερή δύναμη F=Ν. Α. Τη χρονική στιγμή t = 5 sec να βρείτε την ισχύ της ροπής της δύναμης και το έργο της ροπής της δύναμης μέχρι τότε. Β. Τη χρονική στιγμή t = 5 s αφήνουμε να πέσει από ύψος h = 1,5 m ένα μικρό κομμάτι πλαστελίνης μάζας m = 0, kg και τη στιγμή ακριβώς που πέφτει στο δίσκο σε απόσταση d= 0,1 m από το κέντρο του καταργείται η δύναμη F Να βρείτε: 1. Τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου μετά την προσκόλληση του κομματιού της πλαστελίνης. Τη μέση ροπή που ασκήθηκε από το κομμάτι της πλαστελίνης στο δίσκο αν η χρονική διάρκεια της προσκόλλησης είναι Δt= 0,01 sec. Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον κατακόρυφο άξονα: I cm=1/ M R. (40 W, 100 J ) 15

37. Η ομογενής ράβδος ΑΒ έχει μήκος L = 4 m, μάζα Μ = 3 kg και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το σημείο O, το οποίο απέχει από το μέσο Κ της ράβδου απόσταση ΟΚ = 1 m. Στο άκρο Β της ράβδου είναι κολλημένο μικρό σώμα μάζας m = 8 kg και το άκρο Α είναι δεμένο σε οριζόντιο νήμα, έτσι ώστε η ράβδος να ισορροπεί σχηματίζοντας γωνία φ (ημφ =0,6 και συνφ = 0,8) με την οριζόντια διεύθυνση. Το άλλο άκρο του νήματος είναι συνδεδεμένο με σώμα μάζας m 1= 0, kg το οποίο είναι στερεωμένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ. παραμένοντας ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. 1. α. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος. β. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδος σώμα m ως προς τον άξονα που διέρχεται από το Ο.. Κόβεται το νήμα, οπότε το σύστημα ράβδος σώμα αρχίζει να στρέφεται και το σώμα μάζας m 1, να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους 0,1 m. α. Να υπολογίσετε τη γραμμική ταχύτητα του άκρου Α της ράβδου, όταν διέρχεται από την οριζόντια διεύθυνση. β. Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης του σώματος μάζας m 1. γ. Τη χρονική στιγμή που η ράβδος γίνεται οριζόντια, το σώμα στο σημείο Β διασπάται σε δύο κομμάτια. Το ένα κομμάτι παραμένει κολλημένο στο άκρο της ράβδου και το άλλο φεύγει κατακόρυφα προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υ 3. Η ράβδος μετά τη διάσπαση ισορροπεί οριζόντια. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ 3 και την ενέργεια που εκλύεται από τη διάσπαση Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10 m/s και η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της, κάθετος σε αυτήν : Ι cm=1/1 M.L. 38. Ομογενής ράβδος μήκους L =4 m μάζας Μ= 9 kg μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο, ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο O και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Σε απόσταση χ 1 από το άκρο Ο της ράβδου έχουμε κολλήσει σε αυτή σημειακή μάζα m 1 = kg. Αρχικά η ράβδος διατηρείται ακίνητη σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια κατακόρυφου αβαρούς και μη εκτατού νήματος, που ασκεί στη ράβδο τάση μέτρου Τ= 50 Ν, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα σώμα μάζας m = 0,5 kg είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ = 150 Ν/m και ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο με το ελατήριο στο φυσικό του μήκος. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα που συγκρατεί τη ράβδο, οπότε αυτή αρχίζει να περιστρέφεται. Μόλις η ράβδος φτάσει σε κατακόρυφη θέση, το άκρο της συγκρούεται με το ακίνητο σώμα μάζας m Αμέσως μετά την κρούση το σύστημα ράβδος - σημειακή μάζα συνεχίζει να έχει την ίδια φορά περιστροφής και η κινητική του ενέργεια ισούται με 50 J. α) Να υπολογίσετε την απόσταση x 1 β) Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού με τον οποίο μεταβάλλεται η στροφορμή του συστήματος ράβδος - σημειακή μάζα ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου τη στιγμή που κόψαμε το νήμα. γ) Να βρείτε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας της μάζας m 1 ελάχιστα πριν συγκρουστεί η ράβδος με το ακίνητο σώμα μάζας m δ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου, θεωρώντας ως θετική τη φορά προς τα δεξιά (αμελήστε την ύπαρξη της ράβδου μετά την κρούση). Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s. Θεωρήστε γνωστό ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της υπολογίζεται από τον τύπο: Ι = 1/1.Μ L. Η μάζα m θεωρείται σημειακή και η κρούση διαρκεί αμελητέο χρόνο. (1 m, 00 kg.m /s, m/s, 31.5 ημ (50t+π) (S.I) 16

39. Οριζόντια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους L = 1 m, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το μέσο της Ο. Η ράβδος αρχικά είναι ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Δύο μάζες m 1=1/3 kg και m = 1/6 kg μικρών διαστάσεων, που κινούνται στο ίδιο δάπεδο με ταχύτητες υ 1 = 1 m/s και υ = 6 m/s αντίστοιχα, προσκρούουν ταυτόχρονα στα άκρα Α και Β της ράβδου (βλέπε σχήμα). Η μάζα m 1 προσκολλάται στο άκρο Α, ενώ η μάζα m μετά την κρούση κινείται με ταχύτητα που έχει την ίδια διεύθυνση με την αρχική, αντίθετη φορά και μέτρο υ = 4 m/s. Α. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα που θα αποκτήσει η ράβδος. Β. 1. Στο άκρο Α της ράβδου εφαρμόζουμε εφαπτομενικά δύναμη σταθερού μέτρου F = 1/3 Ν. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να ακινητοποιηθεί η ράβδος.. Πόσες περιστροφές θα εκτελέσει η ράβδος μέχρι ν ακινητοποιηθεί; Γ. Να υπολογίσετε: 1. το έργο που καταναλώνει η δύναμη F από την εφαρμογή της έως τη χρονική στιγμή t 1= 3 s.. τη στροφορμή και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου-μάζας m 1 τη χρονική στιγμή t 1 Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της: Ι ο=0.15 kg.m και π=3,14 (5.6 r/s, 7 s, 3.1,. J, /3 kg.m /s, 1/6 kg.m /s ) 40. Δύο ίδιες λεπτές ισοπαχείς και ομογενείς ράβδοι ΚΑ και ΚΒ, που έχουν μάζα Μ=1 kg και μήκος L=0,8m η κάθε μία, συγκολλούνται στο ένα άκρο τους Κ ώστε να σχηματίζουν ορθή γωνία. Το σύστημα των ράβδων μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Κ. Η ράβδος ΚΒ φέρει στο άκρο της Β κολλημένη μικρή σφαίρα αμελητέων διαστάσεων μάζας m 1=1/3 kg. Το σύστημα, με τη βοήθεια αβαρούς νήματος, αρχικά διατηρείται σε ισορροπία, με την ράβδο ΚΑ στην οριζόντια θέση. Το ένα άκρο του νήματος είναι δεμένο στο άκρο Α της ράβδου και το άλλο είναι στερεωμένο σε σώμα Σ, μάζας m =0,5kg, το οποίο βρίσκεται στερεωμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=100 N/m, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 κόβουμε το νήμα. Να υπολογίσετε: α. την τάση του νήματος πριν κοπεί. β. την εξίσωση που περιγράφει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο με θετική φορά προς τα πάνω. γ. τη γραμμική ταχύτητα του σώματος Σ 1, όταν διέρχεται από την οριζόντια θέση δ. το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος των ράβδων, όταν η ράβδος ΚΒ διέρχεται από την οριζόντια θέση. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το ένα άκρο της είναι Ι=1/3. Μ.L, g=10 m/s. 17

41. Σώμα μάζας m= 1 Kg αφήνεται από την κορυφή Α λείου τεταρτοκυκλίου ακτίνας R=5m και ολισθαίνει προς τα κάτω όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο σημείο Γ συγκρούεται με το άκρο ομογενούς κατακόρυφης ράβδου μάζας Μ= 3Kg, η οποία μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά κάθετα από το άλλο άκρο της Ο. Με τη σύγκρουση το σώμα προσκολλάται στο άκρο Δ της ράβδου. Αν το μήκος της ράβδου είναι L= m και η ροπή αδράνειας της ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της είναι I=1/1 ML να βρεθούν: α. Η ταχύτητα του σώματος μάζας m στο σημείο Γ. β. Η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος ράβδου - σώματος αμέσως μετά την κρούση. γ. Η γωνία θ κατά την οποία περιστρέφεται το σύστημα μέχρι να σταματήσει. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος την χρονική στιγμή που. σταματάει; δ. Ποιο το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του συστήματος που χάθηκε κατά την κρούση; (10m/s,,5 r/s, 60 0, 5 3 Ν.m, 50%, r/s ) 4. Ένα εκκρεμές (σχήμα 1) αποτελείται από δύο παρόμοιες ομογενείς λεπτές ράβδους α και β, με ίδιο μήκος L=0.6 m και ίδια μάζα m=/3 kg συγκολλημένες κάθετα μεταξύ τους έτσι ώστε το ένα άκρο της α να συμπίπτει με το μέσον της β. Με τον τρόπο αυτό σχηματίζουν ένα Τ το οποίο μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άλλο άκρο Ο της α και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τις ράβδους. Έτσι, το «Τ» συμπεριφέρεται ως εκκρεμές που μπορεί να ταλαντώνεται πάνω στο κατακόρυφο επίπεδο που ορίζεται από αυτό. Α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του «Τ» γύρω από τον άξονα περιστροφής του. Β. Στο σχήμα, το «Τ» ισορροπεί μαζί με ένα στερεό, το οποίο αποτελείται από δύο ομόκεντρες, κολλημένες μεταξύ τους, ομογενείς τροχαλίες. Η κοινή ισορροπία επιτυγχάνεται με τη βοήθεια δύο κατακόρυφων λεπτών σχοινιών που είναι τυλιγμένα στα αυλάκια των τροχαλιών του στερεού. H ακτίνα R της μεγάλης τροχαλίας είναι 0, m, ενώ της μικρής είναι 0,1 m. Να υπολογίσετε τη μάζα m του στερεού. Γ. Κάποια στιγμή κόβουμε το σχοινί με το οποίο συνδέονται τα δύο σώματα και έτσι το «Τ» αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από το Ο, ενώ το στερεό αρχίζει να κατεβαίνει προς τα κάτω και το σχοινί που είναι τυλιγμένο στη μικρή τροχαλία να ξετυλίγεται χωρίς να γλιστράει. Να βρείτε τη μέγιστη κινητική ενέργεια του «Τ». Δ. Αν ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του στερεού είναι 5 kgr m / sec, να υπολογίσετε 1. Tο μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του στερεού, και. Τη ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον ελεύθερο άξονα περιστροφής του. Δίνονται: g = 10 m/s, Ι cm(ραβδ) = 1/ 1. m.l και ότι τα σχοινιά είναι αμελητέου βάρους και μη εκτατά. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες. (0,34 kgr.m, 1 kg, 6 Joule, 0, 5 N.m,,0,01 kgr.m ) 18

43. Η τροχαλία του σχήματος μάζας Μ = 0. kg αποτελείται από δύο ομόκεντρους δίσκους με ακτίνες R = 0, m και r = 0,1 m που είναι κολλημένοι μεταξύ τους. Οι δίσκοι φέρουν στην περιφέρεια τους ένα αυλάκι μέσα στο οποίο είναι τυλιγμένο αβαρές μη εκτατό νήμα Το ένα άκρο του νήματος του μικρού δίσκου είναι δεμένο σε οροφή, ενώ στο ελεύθερο άκρο του νήματος του μεγάλου δίσκου είναι δεμένο ένα σώμα μάζας m =Μ/ που είναι στερεωμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ = 100 Ν/m Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι καρφωμένο στο δάπεδο. Το σύστημα ισορροπεί. Α. Κάποια στιγμή κόβουμε το σχοινί του μεγάλου δίσκου (το οποίο το θεωρούμε πολύ μεγάλου μήκους). Να υπολογίσετε: Ι. Την ενέργεια ης ταλάντωσης που θα κάνει το σώμα μάζας m.. Την απόσταση των θέσεων όπου το μέτρο της επιτάχυνσης του m είναι ίσο με το μισό της μέγιστης τιμής του. Β. Αν η επιτάχυνση που θα αποκτήσει το κέντρο μάζας της τροχαλίας είναι ίση με g/3 να υπολογίσετε: 1. Το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της.. Τη στροφική κινητική της ενέργεια τη στιγμή που μεταβάλλεται με ρυθμό 4 J/sec. Δίνεται ότι κατά την κίνηση ης τροχαλίας το σχοινί δεν ολισθαίνει στο αυλάκι του μικρού δίσκου και ότι g=10 m/s. 44. Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα Μ = kg και ακτίνα R = 0. m. Ένα νήμα είναι τυλιγμένο σε λεπτό αυλάκι ακτίνας r =R/. Η άκρη του νήματος συνδέεται με σώμα Σ μάζας m = 1 kg το οποίο αρχικά είναι ακίνητο στο λείο και υπερυψωμένο οριζόντιο επίπεδο του σχήματος. Στο σώμα αρχίζει ν ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F = 14 N με συνέπεια ο δίσκος να εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Ι = 1/ΜR α. Να βρείτε την τιμή του λόγου α κ/α cm όπου ακ, α cm επιταχύνσεις του κέντρου μάζας του κυλίνδρου και του σώματος Σ αντίστοιχα. β. Με τη βοήθεια του θεμελιώδη νόμου για τη μεταφορά και την περιστροφή του κυλίνδρου, να δείξετε ότι η δύναμη στατικής τριβής, την οποία δέχεται ο κύλινδρος στο σημείο επαφής με το έδαφος, είναι μηδενική. γ. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος. δ. Να υπολογίσετε κατά τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα του σώματος Σ είναι 6 m/s: Ι. το ρυθμό με τον οποίο προσφέρει ενέργεια η δύναμη F. ΙΙ. το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται η κινητική ενέργεια του σώματος Σ. ΙΙΙ. το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται η κινητική ενέργεια μεταφοράς του κυλίνδρου. ΙV. το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται η κινητική ενέργεια περιστροφής του κυλίνδρου. ( /3, 8Ν, 84 J/s, 36 j/s, 3 j/s, 16 j/s) 19

45. Ομογενής λεπτή ράβδος ΑΒ μήκους L=3 m και μάζας Μ= 1 kg μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος σ αυτή και διέρχεται από το σημείο Ο, το οποίο απέχει απόσταση ΑΟ= 1m από το άκρο της Ο. Στο άκρο Β της ράβδου υπάρχει στερεωμένη σημειακή μάζα m = kg.στο άκρο της Α η ράβδος συνδέεται μέσω τεντωμένου αβαρούς νήματος ΑΔ με σώμα μάζας m 1=1 kg. Το σώμα μάζας m 1 είναι δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=400 N/m το άλλο άκρο του οποίου προσδένεται σταθερά στο έδαφος, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Όλο το παραπάνω σύστημα ισορροπεί έτσι ώστε η ράβδος να είναι οριζόντια, το σώμα μάζας m 1 ακίνητο και το ελατήριο με το νήμα κατακόρυφο. Να υπολογίσετε : 1. Τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδος- μάζας m ως προς τον άξονα περιστροφής που περνά από το σημείο Ο της ράβδου.. Το μέτρο της τάσης του νήματος που συγκρατεί τη ράβδο και το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα κατά τη διάρκεια της ισορροπίας. Τη στιγμή t = 0 κόβουμε το νήμα που συγκρατεί τη ράβδο οπότε το σώμα μάζας m 1 ξεκινά να ταλαντώνεται. ενώ το σύστημα ράβδος- μάζα m αρχίζει να περιστρέφεται. Να υπολογίσετε : 3. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδος-μάζας m ως προς τον άξονα που περνά από το σημείο Ο, τη στιγμή που κόβεται το νήμα 4. Τη γωνιακή ταχύτητα που αποκτά το σύστημα ράβδος-μάζα m τη στιγμή που διέρχεται για πρώτη φορά από την κατακόρυφη θέση. 5. Την περίοδο και το πλάτος ταλάντωσης της μάζας m 1 δ. Το λόγο της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης της μάζας m 1 τη χρονική στιγμή t 1=π/60 s. Δίνεται: η ροπή αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο της που διέρχεται από το κέντρο μάζας της Ι cm= 1/1.m.L και η επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10 m/s. Θεωρήστε ότι το σώμα μάζας m 1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με θετική φορά προς τα πάνω. ( 0 kg.m, 100 N, 40 N, 100 kg.m /s, 10 r/s, 0,1π s, 3 ) 46. Διαθέτουμε ένα στερεό Σ (ένα καρούλι), αποτελούμενο από δυο δίσκους οι οποίοι συνδέονται με κύλινδρο, γύρω από τον οποίο έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Η μάζα του Σ είναι Μ=0kg και η εξωτερική του ακτίνα R=0,4m. Τοποθετούμε το στερεό Σ λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή ασκούμε στο κέντρο μάζας του Ο μια σταθερή οριζόντια δύναμη F 1=0Ν, ενώ ταυτόχρονα τραβάμε το άκρο Α του νήματος ασκώντας διαρκώς μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη F =16Ν, όπως στο σχήμα. Μετά από λίγο ο άξονας του στερεού (που διέρχεται από το κέντρο Ο) έχει μετατοπισθεί κατά x=m, ενώ έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0,5m. Για την θέση αυτή ζητούνται: i) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του στερεού Σ. ii) Η γωνιακή του ταχύτητα. iii) Η ταχύτητα ενός σημείου Β, επαφής του στερεού με το έδαφος. Δίνεται η ροπή αδράνειας του στερεού γύρω από τον άξονα περιστροφής του Ι= 0,4ΜR. 0

47. Μια ομογενής δοκός (ΑΒ) μήκους 6m και μάζας m 1 =10kg, ισορροπεί σε οριζόντια θέση, αρθρωμένη στο ένα της άκρο Α σε κατακόρυφο τοίχο και στηριζόμενη σε τροχαλία σε σημείο Γ, το οποίο απέχει 1m από το άλλο της άκρο Β, όπως στο σχήμα. Στο σημείο Δ, όπου (ΑΔ)=1m ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας m =1kg, ενώ η τροχαλία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά απ ό το κέντρο της. Στο αυλάκι της τροχαλίας έχουμε περάσει ένα αβαρές νήμα στο άκρο του οποίου κρέμεται ένα σώμα Σ 1, μάζας m=4kg, το οποίο συγκρατούμε με τεντωμένο το νήμα. Η τροχαλία έχει μάζα Μ=1kg, ακτίνα R=0,m και παρουσιάζει με τη δοκό συντελεστές τριβής μ s=0,65 και μ=0,5. Τη στιγμή t 0=0, το σώμα Σ δέχεται ένα κτύπημα, οπότε αρχίζει να κινείται κατά μήκος της δοκού με σταθερή ταχύτητα υ=1m/s, ενώ ταυτόχρονα αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ 1. Δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας Ι= ½ ΜR και g=10m/s. i) Να υπολογίσετε την οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που δέχεται η δοκός από την άρθρωση, σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι της χρονική στιγμή t 1=6s και να κάνετε τις γραφικές τους παραστάσεις. ii) Να υπολογίστε την κινητική ενέργεια της τροχαλίας τη στιγμή t 1 καθώς και την θερμική ενέργεια που παρήχθη στο μεταξύ, στην επαφή δοκού-τροχαλίας. iii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος τροχαλία-σ 1, ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας, τη στιγμή t 1; 48. Ένας κύλινδρος μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, που περνά από τα κέντρα των δύο βάσεών του, ο οποίος απέχει 6m από το έδαφος. Γύρω από τον κύλινδρο έχουμε τυλίξει δύο ανεξάρτητα αβαρή νήματα ικανού μήκους, στα άκρα των οποίων δένονται τα σώματα Α, Β και Γ, όπως στο σχήμα. Το σύστημα ισορροπεί, ενώ είναι γνωστές οι μάζες των σωμάτων Α και Β, m 1=kg και m =1kg αντίστοιχα, τα οποία βρίσκονται σε ύψος h=m, από το έδαφος. Δίνεται η ακτίνα του κυλίνδρου R=0,m, η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονά του Ι= ½ MR και g=10m/s. i) Να αποδείξτε ότι η μάζα του σώματος Γ είναι 1kg. ii) Σε μια στιγμή t=0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τα σώματα Β και Γ και παρατηρούμε ότι το σώμα Α φτάνει στο έδαφος τη στιγμή t 1=s, όπου και ακινητοποιείται. Να αποδείξτε ότι η κίνησή του ήταν ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη και να υπολογίσετε την μάζα του κυλίνδρου. iii) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της, τη χρονική στιγμή t =1s. iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της στροφορμής του κυλίνδρου σε συνάρτηση με το χρόνο από 0-4s. 49. 1) Η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς άξονα, ο οποίος διέρχεται από τα κέντρα των βάσεών του, δίνεται από την εξίσωση Ι= ½ ΜR. Από ένα ομογενή κύλινδρο, έχει αφαιρεθεί ένας ομοαξονικός κύλινδρος, με αποτέλεσμα να πάρουμε ένα κυλινδρικό κέλυφος. Η ροπή αδράνειας του κελύφους δίνεται από την εξίσωση: i) Ι = 1/3 mr ii) Ι = ½ mr iii) Ι = /3 mr iv) Ι = mr ) Σε δύο κεκλιμένα επίπεδα αφήνονται να κινηθούν από το ίδιο ύψος, ένας κύλινδρος Α και ένα κυλινδρικό κέλυφος της ίδιας μάζας και της ίδιας ακτίνας Β. Τα δύο σώματα κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος: i) Μεγαλύτερη ροπή αδράνειας παρουσιάζει το κέλυφος Β. ii) Μεγαλύτερη επιτάχυνση αποκτά ο κύλινδρος Α. iii) Ο κύλινδρος Α θα φτάσει στη βάση του επιπέδου με μεγαλύτερη ταχύτητα από το Β. iv) Ο κύλινδρος Α θα φτάσει στη βάση του επιπέδου με μεγαλύτερη κινητική ενέργεια από το σώμα Β. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 1

50. Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός. Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω της μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, κάθετη στη δοκό και στο σχήμα φαίνονται τρεις διαφορετικές εκδοχές για το σημείο εφαρμογής της δύναμης. i) Να χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις: α) Η ράβδος θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση και στις τρεις περιπτώσεις. β) Το μέσον Μ της δοκού θα αποκτήσει την ίδια επιτάχυνση και στις τρεις περιπτώσεις. γ) Η επιτάχυνση του σημείου Α (στο (α) σχήμα), θα είναι μεγαλύτερη από την επιτάχυνση του σημείου Β (στο (β) σχήμα). ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, ασκώντας τώρα μια ίσου μέτρου (F 1=F ) αντιπαράλληλη δύναμη στο μέσον Β της ΜΑ, όπως στο σχήμα. α) Η δοκός θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση β) Το μέσον Μ θα παραμείνει ακίνητο. γ) Το άκρο Α θα αποκτήσει επιτάχυνση, με φορά ίδια με τη δύναμη που δέχεται. iii) Προκειμένου να ισορροπήσει η παραπάνω ράβδος προτείνεται σε ένα σημείο της δοκού Γ, να ασκηθεί μια ακόμη οριζόντια δύναμη F 3. Να εξετάσετε αν υπάρχει αυτή η δυνατότητα, και αν ναι, να βρεθεί η θέση του σημείου Γ. iv) Στο διπλανό σχήμα, στη δοκό ασκούνται οι δυνάμεις F 1, F και F 3, όπου F 1=F =10Ν και F 3= ½ F 1. Να εξετάσετε αν, ασκώντας μια ακόμη δύναμη F 4 πάνω της, η δοκός μπορεί να ισορροπήσει, και αν ναι, να βρεθούν τα χαρακτηριστικά της (μέτρο, κατεύθυνση και σημείο εφαρμογής της). 51. Η κατακόρυφη ράβδος ΑΓ μήκους L=0,4m και μάζας Μ=6Kg του σχήματος μπορεί να περιστραφεί χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από σημείο Ο, ο οποίος απέχει από το άκρο της Γ απόσταση L/4. Βλήμα μάζας m=/3kg πέφτει με ταχύτητα υ ο=10m/s πάνω στην αρχικά ακίνητη ράβδο και σφηνώνεται στο άκρο της Α, όπως φαίνεται στο σχήμα. Α) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδος-βλήμα. Β) Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα που θα αποκτήσει το σύστημα ράβδος-βλήμα αμέσως μετά την κρούση. Γ) Η κινητική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση. Κατά την κίνηση του το σύστημα ράβδος-βλήμα πέφτει πάνω σε κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k που απέχει από το σημείο Ο απόσταση 3L/4. Το σύστημα ράβδοςβλήμα σταματάει στιγμιαία όταν βρίσκεται σε οριζόντια θέση, έχοντας προκαλέσει στο ελατήριο συσπείρωση Δx=0,1m. Δ) Να βρεθεί η σταθερά k του ελατηρίου. Ε) Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος ράβδου-βλήματος όταν ακινητοποιείται στιγμιαία. Δίνεται για τη ράβδο Ι cm=ml /1και g=10m/s. υο L/4 A Γ Ο Δx θ.φ.μ