את זמני הליכת הולכי הרגל עד הפגישות שלהם עם רוכב האופניים (שעות). בגרות ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 מהירות - v קמ"ש t, א. () נסמן ב- p נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה: רוכב אופניים עד הפגישה זמן - t שעות דרך-מרחק - s ק"מ vt ( ) t vp ( ) 5 p v v 5 t t p p A A מ - הולך רגל ראשון מ - רוכב אופניים עד הפגישה A עד הפגישה A מ - מ - הולך רגל שני עד הפגישה המרחקים שעברו רוכב האופניים והולך הרגל הראשון עד הפגישה שווים. : 08:00 כלומר המשוואה המתאימה: vt ( ) t נביע באמצעות v את הזמן שעבר מהשעה vt ( ) t vt v t vt t v tv ( ) v v t v v v את התחום בו נמצא פתרון הבעיה נפתור בסעיף ב (לסעיף זה בלבד > v (. תשובה: הזמן שעבר מהשעה : 08:00 ועד פגישת הרוכב עם הולך הרגל הראשון הוא () המרחקים שעברו רוכב האופניים והולך הרגל השני עד הפגישה שווים. כלומר המשוואה המתאימה: vp ( ) 5t נביע באמצעות v את הזמן שעבר מהשעה 09:00 ולאחר מכן נוסיף לו לקבלת התשובה..( 0< v <.5 vp ( ) 5p vp v 5p vp 5p v pv ( 5) v v p v 5 v v+ v 5 v 5 p+ + v 5 v 5 v 5 v 5 p+ v 5 את התחום בו נמצא פתרון הבעיה נפתור בסעיף ב (לסעיף זה בלבד > 5 v או
v 5 תשובה: הזמן שעבר מהשעה : 08:00 ועד פגישת הרוכב עם הולך הרגל השני הוא. v 5 ב. רוכב האופניים כלומר, הזמן בין הפגישות גדול מ - הדביק תחילה את הולך הרגל השני, וכעבור יותר מ- 0 דקות הדביק את הולך הרגל הראשון שעה. 0 60 6 v v 5 > v v 5 6 v v 5 v v 5 6 vv ( 5) 6( v )(v 5) ( v )( v 5) 6( v 5)( v ) v v v v v v v v 6( v 5)( v ) 60 6( 5 8 + 0) ( 5 + 0) v v v v v v 6( v 5)( v ) 60 + 78 0 + 9 0 v 7v 0 6( v 5)( v ) + v 6( v 5)( v ) + 7v 0 + v 7v 0 0 7± v, v 7, v 0 ציור סימני מונה אי השוויון ציור סימני מכנה אי השוויון פתרון אי השוויון, בעזרת טבלת סימנים: 7< v < 0. < v < 5 כלומר < 0 v 7< מכיוון ו - או > 5 v, תהייה התשובה הסופית תשובה: < 0 v 7<
א. נתונה סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה: בגרות ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 0 + +. + + + נוכיח כי לכל טבעי מתקיים. נבדוק את נכונות הטענה עבור. נתון: 0 על פי הטענה 0 + לכן הטענה נכונה עבור טבעי כלשהו (הנחת האינדוקציה),. נניח את נכונות הטענה עבור k k k כלומר: k + k+, לכן צ"ל. נוכיח שהטענה נכונה עבור k + k+ k + k k k k k + k + נשתמש בכלל הנסיגה k + k + k + k+ k k + + iductio k+ ( k+ )( k+ ) ( k )( k+ ) + k + ( k+ )( k+ ) + + ( k+ )( k+ ) kk ( + ) k + ( k+ )( k+ ) k טבעי. k+ מתקבל שהוכחנו את נכונות הטענה עבור. בדקנו את נכונות הטענה עבור, הראינו שאם הטענה נכונה עבור k טבעי k+ אז היא נכונה עבור לכן, על-פי אקסיומת האינדוקציה, הטענה נכונה לכל
. בדקנו את נכונות הטענה עבור, הראינו שאם הטענה נכונה עבור k טבעי זוגי אז היא נכונה עבור + k לכן, על-פי אקסיומת האינדוקציה, הטענה נכונה לכל טבעי זוגי. +, שהיא מכפלה של שני מספרים עוקבים, ואחד מהם בהכרח זוגי + + + + ב. () על פי כלל הנסיגה ( + )( + ) + כלומר: תשובה: הביטוי הוא מספר זוגי לכל טבעי. הוא מכפלה של מספר זוגי ומספר אי -זוגי, + () על פי סעיף () הביטוי ויתחלק ב- תשובה: הביטוי ללא שארית רק עבור אינו מתחלק ב - שאינו מתחלק ב - בלי שארית לכל ללא שארית (כי אז טבעי גדול מ -. יהיה שלם) + 0. 0 99 ג. נתון כי ההפרש בין איבר מסוים בסדרה לבין האיבר שלפניו הוא על פי הסעיף הקודם: + ( + )( + ) 98 99 99 98 97 98+ 99 97 0 + 0 99 99 0.98 0 0 ( + )( + ) 99 0 0 ( + )( + ) 99 0 9900 ( + )( + ) 98 קל לראות כי: 00 99 9900 ולכן על פי טענת האינדוקציה, עבור 98 (זוגי). 99 תשובה: 0.98
נתונה הפונקציה ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 f (0) 0 0 + (0, ). x 0, f( x) x x+ y א. בנקודת החיתוך עם ציר ה - מתקיים ובהתאם: תשובה: ) (0,
f( x) x x+ f '( x) x 0 x x x 0.5 ב. () נמצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, ואת סוגן. x 0.5 f(0) (0.5 ) 0.5 + + (0.5, ) x 0.5 f(0) ( 0.5 ) ( 0.5 ) + + ( 0.5, + ) נגזרת הפונקציה היא עם גרף של פרבולה בעלת מינימום, כאשר הפונקציה עולה כאשר הנגזרת חיובית ויורדת כאשר הנגזרת שלילית. x הפונקציה עוברת מירידה לעלייה ולכן מינימום. עבור 0.5 עבור הפונקציה עוברת מעלייה לירידה ולכן מקסימום. ( 0.5, + ) תשובה: ), (0.5 מינימום, מקסימום., >0. f( x ) 0, כלומר סכום של שני ביטויים חיוביים עבור + () ערך הפונקציה בנקודת המקסימום הוא ( 0.5) כאשר שיעור ה- x תשובה: ברביע השני. ג. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה בשלושה מצבים, בהתאם למספר הפתרונות של המשוואה () פתרון אחד () שני פתרונות () שלושה פתרונות
, y ד. נמצא כיצד משפיע ערכו של על סימן שיעור ה- ובהתאם על מספר הפתרונות של המשוואה של נקודת המינימום שהוא. f( x ) 0. 0< <, כאשר נקבע על ידי סימן הביטוי y - כלומר סימן שיעור ה, ולכן, תשובה:. y Mi 0 כלומר כאשר <, y Mi ( ) () שני פתרונות יתקבלו, כאשר () שני פתרונות יתקבלו, כאשר () שלושה פתרונות יתקבלו, כאשר ומכיוון ש - אז: תשובה:. > ולכן: תשובה:, y Mi < 0 ה. כיוון שנקודת המקסימום של הפונקציה ברביע השני, עבור אין השפעה לערכו המדויק של על אופן חישוב השטח, שכולו ברביע השני. 0 S ( + 0) 0.5 x x 0 S ( + x) 0.5 ( 0.5 ) ( 0.5 ) S (0) ( + ( 0.5 )) x x dx S (0) ( ) 8 8 5 S + 8 + 80 ובהתאם לנתון כי גודל השטח הוא. f( x ) 0 5 80 + + 8 5 80 8 56 מכיוון ו - <, הרי שעל פי הסעיף הקודם יתקבלו שלושה פתרונות למשוואה תשובה: שלושה פתרונות.
א. נתונה הפונקציה: בתחום ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006. 0 x. f( x) 0 0 x. 0 x f ( x) cos( x) + si ( x) בתחום הנתון, כי 0 cosα בתחום הנתון, כי בתחום 0 siα בתחום cosx 0 si x 0 לכן x) f( תשובה: הוּכ ח. היא סכום של שני מחוברים אי-שליליים, כלומר. 0 x cost+, )A,t כאשר שיעורי הנקודה חיוביים בתום si ) t A ב. נסמן את שיעורי הנקודה הפונקציה שיש להביא למינימום היא סכום המרחקים של הנקודה ומכיוון שהנקודה ברביע הראשון, הפונקציה היא למעשה סכום שיעורי הנקודה. מהצירים, f() t t+ cost+ si t נמצא את ערכי הפונקציה בקצות התחום הסגור: f (0) 0+ cos( 0) + si ( 0).5 (0,.5) f ( ) + cos( ) + si ( ) 0 (, ) (, ) ולכן נקודות הקצה הן: (0,.5),
f '( t) sit+ cost 0 sit+ cost 0 si si cos si t+ t x x si si 0 t+ t ± 5 (si) t, sit 0.5 si 6 six six 5 x + k x + k 6 6 5 x + k x + k k 0 x f( ) + cos( ) + si ( ) 7 7 + + + (, + ) (,.778) 8 8 (,.778) ושיעורי הנקודה החשודה כקיצון הם נבנה טבלת עלייה ירידה, תוך שימוש בערכי הפונקציה ונזהה את הקיצון המוחלט. 0.5 Mi.778 Mx Mi x f( x) f '( x) מסקנה על פי הטבלה, וגם על פי הסרטוט בסעיף ג, הערך המקסימלי של הפונקציה הוא..778 תשובה: הערך המקסימלי של סכום המרחקים של הנקודה A מהצירים הוא.778.. 0.785 ב. על פי הטבלה, וגם על פי הסרטוט בסעיף ג, הערך המינימלי של הפונקציה הוא תשובה: הערך המקסימלי של סכום המרחקים של הנקודה A מהצירים הוא 0.785.
ג. הסרטוט המתאים
חוצה זווית הראש (בניית עזר) במשולש שווה שוקיים. ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 ADF. AF DG AF לכן ההמשך שלו יהיה גובה לבסיס, ועקב שצלעות המלבן מקבילות זו לזו, הרי ש-. DFGF DF x si0.5α AD AD si0.5α BDE בהתאם ADG שווה שוקיים, ולכן. SBDE SDAF 0.5α : ולכן DEP גם AF. DG DE, x DF x נסמן DE x ולכן (זווית היקפית שווה לחצי הקשת עליה היא נשענת) SBAC 60 DE x cos0.5α BD BD cos0.5α x x AB + si0.5 α cos0.5 α xcos0.5α + xsi0.5α AB si0.5αcos0.5α x(cos0.5α + si0.5 α) AB 0.5siα x(cos0.5α + si0.5 α) S ABC ( ) siα 0.5siα x (cos 0.5α + cos0.5αsi0.5α + si 0.5 α) S ABC si α 0.5si α x (+ si α) S ABC 0.5siα תשובה: 5. ABC 8 DEFG נמצא עבור אילו ערכי α שטח המלבן הוא משטח המשולש x (+ si α) x /: x 0 8 0.5siα 8siα + siα 5siα siα 0.6 α 6.87, α. תשובה:. α α 6.87,