ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ 2 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΕΙ Δ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ 2 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΕΙ Δ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Υπολογισμοί θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης ενός σώματος που κινείται σε δύο διαστάσεις με σταθερή επιτάχυνση (ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση). Υπολογισμοί θέσης και ταχύτητας στην ομαλή κυκλική κίνηση. Υπολογισμοί κεντρομόλου επιτάχυνσης. 4

Περιεχόμενα ενότητας Κινηματική σε δύο διαστάσεις. Θέση και μετατόπιση. Μέση ταχύτητα. Στιγμιαία ταχύτητα. Στιγμιαία επιτάχυνση. Εξισώσεις κινηματικής σε 2 διαστάσεις με σταθερή επιτάχυνση. Βεληνεκές και μέγιστο ύψος βλήματος. Παραδείγματα. Ασκήσεις. 5

Κινηματική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουμε τη διανυσματική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης με περισσότερες λεπτομέρειες. Σαν ειδικές περιπτώσεις, θα μελετήσουμε: την κίνηση των βλημάτων και την ομαλή κυκλική κίνηση. 6

Θέση και μετατόπιση (1/2) 7

Θέση και μετατόπιση (2/2) Εικόνα: Θέση και μετατόπιση. Πηγή: Randall (2010). 8

Μετατόπιση (1/2) 9

Μετατόπιση (2/2) Εικόνα: Μετατόπιση. Πηγή: Randall (2010). 10

Μέση ταχύτητα Η μέση ταχύτητα είναι ο λόγος της μετατόπισης προς το χρονικό διάστημα στο οποίο συμβαίνει η μετατόπιση. r v avg Δt Η κατεύθυνση του διανύσματος της μέσης ταχύτητας είναι Δ η κατεύθυνση του διανύσματος της μετατόπισης Δr. 11

Στιγμιαία ταχύτητα Η στιγμιαία ταχύτητα είναι το όριο της μέσης ταχύτητας καθώς το Δt τείνει στο μηδέν. Καθώς το χρονικό διάστημα γίνεται μικρότερο, η κατεύθυνση του διανύσματος της μετατόπισης προσεγγίζει την κατεύθυνση της εφαπτομένης της καμπύλης. Εικόνα: Στιγμιαία ταχύτητα. Πηγή: Randall (2010). 12

Στιγμιαία ταχύτητα: Ανάλυση σε v x και v y (1/2) 13

Στιγμιαία ταχύτητα: Ανάλυση σε v x και v y (2/2) Εικόνα: Στιγμιαία ταχύτητα. Πηγή: Randall (2010). 14

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.1 (1/3) Περιγραφή της κίνησης με γραφήματα. Η κίνηση ενός σωματιδίου περιγράφεται από τις δύο εξισώσεις x = 2t 2 (m) και y = (5t + 5) (m), όπου ο χρόνος t μετριέται σε s. Να σχεδιάσετε ένα γράφημα της τροχιάς του σωματιδίου. Να σχεδιάσετε ένα γράφημα της ταχύτητας του σωματιδίου συναρτήσει του χρόνου. 15

ΛΥΣΗ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.1 (2/3) Η τροχιά είναι μια καμπύλη στο επίπεδο xy. Υπολογίζουμε τις τιμές των συντεταγμένων x και y σε διάφορες χρονικές στιγμές. [π.χ.: για t = 3 s έχουμε x = 2(3) 2 m = 18 m και y = (5 3 + 5) m = 20 m ] και φτιάχνουμε τον πίνακα: Εικόνα: Παράδειγμα 6.1. Πηγή: Randall (2010). 16

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.1 (3/3) Εικόνα: Παράδειγμα 6.1. Πηγή: Randall (2010). 17

Μέση επιτάχυνση Η μέση επιτάχυνση ενός σωματιδίου ορίζεται ως η μεταβολή του διανύσματος της στιγμιαίας ταχύτητας προς το χρονικό διάστημα στο οποίο συμβαίνει η μεταβολή αυτή. Εικόνα: Μέση επιτάχυνση. Πηγή: Randall (2010). 18

Στιγμιαία επιτάχυνση 19

Στιγμιαία επιτάχυνση: Ανάλυση σε και (1/2) 20

Στιγμιαία επιτάχυνση: Ανάλυση σε και (2/2) Εικόνα: Στιγμιαία επιτάχυνση. Πηγή: Randall (2010). 21

Στιγμιαία επιτάχυνση: Ανάλυση σε x και y (1/2) 22

Στιγμιαία επιτάχυνση: Ανάλυση σε x και y (2/2) Εικόνα: Στιγμιαία επιτάχυνση. Πηγή: Randall (2010). 23

Εξισώσεις κινηματικής σε 2 διαστάσεις με σταθερή επιτάχυνση (1/5) Όταν η επιτάχυνση είναι σταθερή στην κίνηση σε δύο διαστάσεις, μπορούμε να περιγράψουμε την κίνηση με μια σειρά εξισώσεων. Οι εξισώσεις αυτές είναι παρόμοιες με τις εξισώσεις της κινηματικής σε μία διάσταση. Η κίνηση σε δύο διαστάσεις μπορεί να αναλυθεί σε δύο ανεξάρτητες κινήσεις σε καθεμία από τις δύο κάθετες διευθύνσεις που συνδέονται με τους άξονες x και y. Οποιαδήποτε επίδραση στη διεύθυνση του άξονα y δεν επηρεάζει την κίνηση στη διεύθυνση του άξονα x. 24

Εξισώσεις κινηματικής σε 2 διαστάσεις με σταθερή επιτάχυνση (2/5) 25

Εξισώσεις κινηματικής σε 2 διαστάσεις με σταθερή επιτάχυνση (3/5) Εικόνα: Εξισώσεις κινηματικής. Πηγή: Randall (2010). 26

Εξισώσεις κινηματικής σε 2 διαστάσεις με σταθερή επιτάχυνση (4/5) 27

Εξισώσεις κινηματικής σε 2 διαστάσεις με σταθερή επιτάχυνση (5/5) Εικόνα: Εξισώσεις κινηματικής. Πηγή: Randall (2010). 28

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.2 (1/5) Σχεδιασμός της τροχιάς μιας διαστημικής ακάτου. Οι κατακόρυφοι προωθητήρες της διαστημικής ακάτου του διαστημοπλοίου Enterprise, της δίνουν επιτάχυνση 5.0 m/s 2 προς τα πάνω. Οι οριζόντιοι προωθητήρες δίνουν επιτάχυνση 20 m/s 2 προς τα εμπρός. Καθώς ξεκινά την κίνησή του το Enterprise, η άκατος ανάβει μόνο τους κατακόρυφους προωθητήρες. Σε χρόνο t 1 = 3 s μετά την εκτόξευση, η άκατος θέτει σε λειτουργία και τους οριζόντιους προωθητήρες. Να σχεδιάσετε την τροχιά της ακάτου για τα πρώτα 6 s της πτήσης της. 29

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.2 (2/5) Λύση. Εικόνα: Παράδειγμα 6.2. Πηγή: Randall (2010). 30

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.2 (4/5) 32

Κίνηση βλημάτων Το είδος της κίνησης σε δύο διαστάσεις, που θα περιγράψουμε στη συνέχεια, ονομάζεται κίνηση βλημάτων. Υποθέσεις στην κίνηση βλημάτων Η κατακόρυφη επιτάχυνση είναι σταθερή (g = 9.80 m/s 2 ) κατά τη διάρκεια της κίνησης. Κάτι τέτοιο ισοδυναμεί με το να υποθέσουμε ότι η Γη είναι επίπεδη. Η υπόθεση είναι λογική υπό την προϋπόθεση ότι η έκταση της κίνησης είναι μικρή σε σύγκριση με την ακτίνα της Γης. Η επίδραση της αντίστασης του αέρα είναι αμελητέα. Με βάση αυτές τις υποθέσεις, η διαδρομή ενός βλήματος θα είναι παραβολή. Η διαδρομή ονομάζεται τροχιά. 34

Διάγραμμα κίνησης ενός βλήματος Εικόνα: Διάγραμμα κίνησης βλήματος. Πηγή: Randall (2010). 35

Βεληνεκές και μέγιστο ύψος βλήματος (1/2) Όταν αναλύουμε την κίνηση βλημάτων, δύο χαρακτηριστικά παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον: Το βεληνεκές R που είναι η οριζόντια απόσταση την οποία καλύπτει η τροχιά του βλήματος. Το μέγιστο ύψος h στο οποίο φτάνει το βλήμα στο ψηλότερο σημείο, η κατακόρυφη ταχύτητα v y είναι μηδενική). Εικόνα: Βεληνεκές και μέγιστο ύψος. Πηγή: Randall (2010). 36

Βεληνεκές και μέγιστο ύψος βλήματος (2/2) Εικόνα: Βεληνεκές και μέγιστο ύψος. Πηγή: Randall (2010). 37

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.4 (1/2) Μην το δοκιμάσετε αυτό. Ένας κασκαντέρ ρίχνει ένα αυτοκίνητο από ένα γκρεμό ύψους h = 10 m με ταχύτητα v = 20 m/s (72 km/h). Πόσο μακριά από τη βάση του γκρεμού προσγειώνεται το αυτοκίνητο; Εικόνα: Παράδειγμα 6.4. Πηγή: Randall (2010).. 38

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.5 (1/6) Το διάστημα που διανύει μια μπαλιά. Μια μπάλα του ποδοσφαίρου ρίχνεται υπό γωνία θ, κάνει την παραβολική τροχιά της και πέφτει στο έδαφος. Αν η μπάλα ρίχνεται υπό γωνία θ = 30, με ποιά ταχύτητα πρέπει να φύγει από το πόδι του ποδοσφαιριστή για να φτάσει σε απόσταση x 1 = 100 m; Με ποιά γωνία (θ max ) πρέπει να ριχτεί η μπάλα ώστε να φτάσει στη μέγιστη απόσταση (x max ); Εικόνα: Παράδειγμα 6.5. Πηγή: Randall (2010). 40

Ομαλή κυκλική κίνηση (1/2) 46

Ομαλή κυκλική κίνηση (2/2) Εικόνα: Ομαλή κυκλική κίνηση. Πηγή: Randall (2010). 47

Κεντρομόλος επιτάχυνση Το μέτρο του διανύσματος της κεντρομόλου επιτάχυνσης δίνεται από τη σχέση. r v r 2 48

Περίοδος Η περίοδος T είναι το χρονικό διάστημα που απαιτείται για μία πλήρη περιστροφή. Η περίοδος μετριέται σε s. Το μέτρο της ταχύτητας του σωματιδίου που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση είναι ίσο με το πηλίκο της περιφέρειας της κυκλικής τροχιάς (είναι 2πr, βλ., Παράρτημα Α, σελ. 617) προς την περίοδο, v = (2πr)/T. Επομένως, T 2π r v 49

Συχνότητα Η συχνότητα f είναι o αριθμός των περιστροφών ανά δευτερόλεπτο. Η συχνότητα είναι το αντίστροφο της περιόδου. 1 f T Η συχνότητα μετριέται σε μετριέται σε Hertz: 1 Hz = 1/s = s -1. 50

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.1 (1/2) Μια περιστρεφόμενη άτρακτος. Μια άτρακτος διαμέτρου 4.0 m εκτελεί 2400 στροφές το λεπτό (revolutions per minute ή rpm). Ποιά είναι η ταχύτητα ενός σημείου στην επιφάνειά της; 51

Ενότητα 7.2 Ασκηση 3 (1/2) Η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς της γης γύρω από τον ήλιο είναι 1.5 10 11 km. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας με την οποία η γη περιστρέφεται γύρω από τον ήλιο και το μέτρο της κεντομόλου επιτάχυνσής της. 53

Ενότητα 7.2 Ασκηση 3 (2/2) 54

Ενότητα 7.2 Ασκηση 5 (1/2) Για να αντέξουν τις «δυνάμεις g», δηλαδή σε επιταχύνσεις μέχρι και 10g, που οφείλονται στην έξοδο του αεροπλάνου από μια απότομη βουτιά, οι πιλότοι των μαχητικών αεροσκαφών εκπαιδεύονται σε έναν «ανθρώπινο φυγοκεντρητή». Τα 10g είναι επιτάχυνση 10 (9.80 m/s 2 ) = 98 m/s 2. Αν το μήκος του βραχίοντα του φυγοκεντριτή είναι 12 m, με τι ταχύτητα κινείται ο επιβάτης του όταν υφίσταται τα 10g; 55

Ενότητα 7.2 Ασκηση 5 (2/2) 56

Βιβλιογραφία Knight Randall D. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Τόμος ΙΑ Μηχανική, Θερμοδυναμική» Έκδοση: 2η έκδ./2010, Εκδ. Σ.ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΕ, ISBN: 978-960-319-297-8, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 12967. Raymond A. Serway, John W. Jewett (2012) Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Τόμος Ι Μηχανική, ταλαντώσεις και μηχανικά κύματα, Θερμοδυναμική, Σχετικότητα, Εκδ. ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ, ISBN: 978-960-461-508-7, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 22750100. Hugh D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική: Τόμος Α Μηχανική, θερμοδυναμική, Εκδ. ΠΑΠΑΖΗΣΗ, ISBN: ISBN: 978-960-02-1067-5, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 30328. 57

Τέλος Ενότητας

Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Πουλάκης Νικόλαος. «ΦΥΣΙΚΗ». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 60

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 61

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες: Knight Randall D. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς:τόμος ΙΑ Μηχανική, Θερμοδυναμική» Έκδοση: 2η έκδ./2010, Εκδ. Σ.ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΕ, ISBN: 978-960-319-297-8, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 12967. Raymond A. Serway, John W. Jewett (2012) Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Τόμος Ι Μηχανική, ταλαντώσεις και μηχανικά κύματα, Θερμοδυναμική, Σχετικότητα, Εκδ. ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ, ISBN: 978-960-461-508-7, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 22750100. Hugh D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική: Τόμος Α Μηχανική, θερμοδυναμική, Εκδ. ΠΑΠΑΖΗΣΗ, ISBN: ISBN: 978-960-02-1067-5, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 30328. 62