المحتويات المقدمة تمهيد أهداف الوحدة

المحتويات رقم الصفحة 050 050 05 05 05 055 05 05 05 05 05 05 05 070 07 07 0 00 00 الموضوع المقدمة تمهيد أهداف الوحدة. الفرض اإلحصائي. تعريف الفرض اإلحصائي 0. أنواع األخطاء. مستوى المعنوية. منطقة الرفض )المنطقة الحرجة( 5. منطقة القبول. خطوات اختبار الفروض. اختبا ارت تتعلق بالمتوسطات.0 اختبا ارت تتعلق بالمتوسطات..0 اختبا ارت تتعلق متوسط واحد إذا كان التباين معلوما 0..0 اختبار يتعلق بمتوسط واحد إذا كان التباين معلوما 0.0 اختبا ارت تتعلق بمتوسطين,...0 اختبا ارت بين متوسطين تبايناهما 0.0.0 اختباااا ارت باااين متوساااطين لمجتمعاااين تبايناهماااا غير معلومين 3. اختبا ارت تتعلق بالنسبة معلومان,. اختبا ارت تتعلق بنسبة واحدة من توزيع ذي الحدين 05

0 0 0 0. اختبا ارت تتعلق بنسبتين الخالصة لمحة مسبقة عن الوحدة التالية إجابات التدريبات مسرد المصطلحات الم ارجع 05

المقدمة تمهيد عزيزي الدارس مرحبا بك إلى هذه الوحدة "اختبار الفروض". يعتبر موضوع اختبار الفاروض مان الموضاوعات األساساية فاي اإلحصااء التطبيقاي والاذي يتخذ فيه الق ار ارت وذلك التصاله بكثير من التطبيقات في الحياة العملية. وتبحث هذه الوحدة في د ارسة اختبار الفروض وربطها بمواضايع اإلحصااء بونواعاه.ساندرس فاااااي هاااااذه الوحااااادة تعرياااااف الفااااارض اإلحصاااااائي والمصاااااطلحات المتعلقاااااة بهاااااذا التعرياااااف وكاااااذلك استخدامات الفرض اإلحصائي في كثير من الحاالت التي تهم الباحثين. قسمنا مواضيع هذه الوحدة بالشكل التالي: بحثنا في القسم األول تعريف الفارض اإلحصاائي والمفااهيم المتعلقاة بهاا وفاي القسام الثااني بحثنااا االختبااا ارت المتعلقااة بالمتوسااطات الحسااابية وفااي القساام الثالااث بحثنااا االختبااا ارت المتعلقااة بالنسا. وتارد فاي ثناياا الوحادة أمثلاة محلولاة وتادريبات وأسائلة للتقاويم الاذاتي ماع حلاول أنموذجياة تقع في نهاية الوحدة. إضافة إلى أشكال توضايحية وجاداول تلخاث كثيا ار مان األفكاار التاي وردت في هذه الوحدة. فوهال بك مرة أخرى في هذه الوحدة. 050

أهداف الوحدة عزيزي الدارس بعد ف ارغك من د ارسة هذه الوحدة ينبغي أن تكون قاد ار على أن:. تبني الفرض اإلحصائي وتجري االختبار اإلحصائي المناس - تشارك كيفياة إجا ارء الفاروض بمتوسطين حسابيين. اإلحصاائية المتعلقاة بمتوساط حساابي أو -0 تلخث بنقاط كيفية إجا ارء الفاروض اإلحصاائية أو بنسبتين. المتعلقاة بنسابة واحادة - 05

اختبارات الفروض Tests of Hypotheses. اإلحصائي الفرض يعتبار موضااوع اختباار الفااروض اإلحصاائية ماان أهام المواضاايع فاي مجااال اتخااذ القاا ار ارت. وسنذكر هنا بعض المصطلحات الضرورية في هذا المجال. تعريف الفرض Statistical Hypothesis. اإلحصائي هااي عبااارة عاان إدعاااء أو تصااري )قااد يكااون صااائبا أو خطااو( حااول معلاام معااين أو أكثاار لمجتمع أو لمجموعة من المجتمعات و إحصائيا يعب ر عنه بالشكل " ال توجاد فاروق معنوياة باين "... وعااادة تذخااذ عينااة عشااوائية ماان المجتمااع ذات العالقااة بااالمعلم أو المعااالم وتسااتخدم جميااع المعلوماات منهاا للوصاول إلاى قاا ارر معاي ن بقباول أو رفاض الفاارض اإلحصاائي وتقبال الفارض فااي حالة كون بيانات العينة تسانده ويرفض الفرض عنادما تكاون بياناات العيناة علاى النقايض منهاا. هااذا وتجاادر المالحاااة هنااا بااان قبولنااا الفاارض اإلحصااائي هااو ناااتع عاان عاادم وجااود أدلااة كافيااة لرفضها من بيانات العينة ولذلك فإن قبولنا الفارض اإلحصاائي ال يعناي بالضارورة كوناه صاحيحا. أما إ ذا رفضنا الفرض بناء على المعلومات الموجودة في بياناات العيناة فاإن ذلاك يعناي باون العيناة ال تدعم الفرض. 05

مثال: إذا أ ارد الباحااث أن يقااارن نااوعين ماان الاادواء لاانفس الماارض فإنااه يضااع يوجد فرق جوهري بين الدواء ن.ي وهااي بونااه ال فاارض مثال: إذا أ ارد معلاام أن يثباات بااون طريقااة جدياادة ماان طاارق التاادريس أحساان ماان غيرهااا فإنااه يضااع فرض يقول بونه ال يوجد فرق جوهري بين الطريقتين في التدريس. (Null لهاذا فاإن الفارض الاذي يضاعه الباحاث علاى أمال أن يرفضاه تسامى بفارض العادم ويرماز لاه باالرمز Ho ورفضانا لفارض العادم يقودناا إلاى قباول فارض باديل عناه Hypothesis).H.)Alternative Hypothesis( الفرض هذا يدعى الفرض البديل ويرمز له بالرمز 0. أنواع األخطاء إن طريقة اتخاذ الق ار ارت قد تقودنا إلى الوقوع في نوعين من الخطو:.Type I error.type II error الخطو من النوع األول الخطو من النوع الثاني - -0 -الخطو من النوع األول يقع الباحث في الخطو من النوع األول إذا رفض العدم عندما فرض يكون هو الصحي الفرض 0- الخطو من النوع الثاني يقع الباحث في الخطو من النوع الثاني إذا قبل العدم عندما فرض يكون هذا خاطئ. الفرض والجدول التالي يوض هذين الخطوين: 055

Ho صحيحة Ho الق ارر الحالة الحقيقية خاطئة قبول Ho ق ارر صائ الخطو من النوع الثاني رفض Ho الخطو من النوع األول ق ارر صائ. مستوى المعنوية Level of Significant Ho يعرف مستوى المعنوياة بوناه قيماة االحتماال الاذي نارفض باه العادم فارض يكاون عنادما هااذا الفاارض صااحيحا أو بعبااارة أخاارى هااو احتمااال الوقااوع فااي الخطااو ماان النااوع األول ويرمااز لااه )( باالرمز ودرجاة االحتماال يحاددها الباحاث بنفسااه قبال القياام بالبحاث وفاي معاام الد ارسااات % 5 %0.5 نختار مساوية % على األكثر. وكلمة معنوي )Significant( تعني أن الفروق بين القايم النارياة للمجتماع )المعلماة(والقايم الناتجة من العينة كبيرة بحيث ال يمكن أن تعزى إلى الصدفة.)Chance(.)Not Significant( فرض لم نرفض أما إذا العدم د ل ذلك على عدم وجود فرق معنوي هذا وأن درجة احتمال الوقوع في الخطو من النوع الثاني يرمز له بالرمز 05

مالحاة إن قوة االختبار رفض احتمال هو Ho عندما تكاون خاطئاة )wer of the test Po(.( - ) = " " وماان هااذا يتضاا بونااه كلمااا قلاات قيمااة ازدت قااوة االختبااار والعالقااة بااين يمكن حصرها بالنقاط التالية: - نقصان أحدهما ال يزيد األخرى.., حجم العينة إن زيادة n يقلل من احتمال كال الخطوين -0 تحدد على أساس قيمة فرض العدم بينما تحس على أساس قيمة الفرض البديل. - إحصاءة تعريف االختبار) Statistic )Test عبارة عن متغير عشوائي له توزيع احتمالي معلاوم. ويصاف إحصااءة فاي العالقاة االختباار باااين القااايم النارياااة للمجتماااع والقااايم المساااحوبة مااان العيناااة. وعاااادة تقاااارن قيماااة إحصااااءة االختباااار المحساوبة مان العيناة ماع قيمتاه المساتخرجة مان توزيعاه االحتماالي حسا قيماة ومنهاا المختاارة تتخذ الق ار ارت برفض أو قبول فرض العدم. 057

. منطقة الرفض )المنطقة الحرجة( Rejection Region (Critical Region) منطقااة الاارفض هااي تلااك المنطقااة التااي إذا وقعاات قيمااة Statistic( )Test إحصاااءة االختبااار.Ho العدم فرض رفض تقودنا إلى داخلها وتحدد منطقة الرفض بعد تعيين مستوى المعنوية أما المنطقة األخرى غيار منطقاة الارفض تسمى منطقة القبول Region(.)Acceptance وتعرف بالشكل التالي. منطقة القبول أو منطقة الرفض منطقة القبول w w o 05

5. منطقة القبول منطقة القبول هي المنطقة التي إذا وقعت قيماة اإلحصااءة داخلهاا تساب فاي قباول فارض العدم.Ho. خطوات اختبار الفروض - تحديد نوع توزيع المجتمع - إن الباحااث - كخطااوة أولااى يجاا أن يعماال افتاا ارض حااول طبيعااة توزيااع المجتمااع تحاات الد ارساة. هال المتغيار العشاوائي الاذي يدرساه يوخاذ شاكل التوزياع الطبيعاي أم توزياع ذي الحادين أم غيره من التوزيعات إن أهميااة معرفااة نااوع توزيااع المتغياار العشااوائي تحاات الد ارسااة يرجااع إلااى أن اتخاااذ القاا ار ارت حااول فرض العدم يعتمد على احتماالت الحصول على العيناة التاي تحصالنا عليهاا إذا كاان فارض العادم مقبوال. وهناك نوعان من الطرق اإلحصائية التي تستخدم في اختبار الفروض:.(Parametric Method) الطريقة المعلمية أ- هذه الطريقة تتطل معرفة نوع التوزيع االحتمالي للمجتمع وهذا هو موضوع هذه الوحدة. - الطريقة غير المعلمية Method( )Nonparametric وهي الطريقة التي ال تتطل معرفة نوع التوزيع االحتمالي للمجتمع الم ارد د ارسته. 05

0- صياغة العدم والبديل فروض تصاغ الفروض بلغة المعلمات اإلحصائي للمجتمع. مثال: عناد اختباار أن متوسااط المجتماع يساااوي قيماة معينااة o ضاد الفاارض الباديل بااون ال H يساوي o فإن Ho العدم فرض البديل والفرض تصاغ بالشكل التالي: Ho: = o, H : o مثال: 05 عند اختبار مقد ارت مصنع معين التاي تازن البنادورة( )حا علا عناد تعبئاة جام فإنناا العدم فرض نضع Ho بون متوساط زناه العلباة يسااوي 05 جام أماا الفارض الباديل فاي هاذه الحالاة فهاااو أن متوساااط وزن العلباااة للمصااانع يقااال 05 عااان جااام فيصااااغ فااارض العااادم والفااارض الباااديل بالشكل التالي: Ho: = 50, H: > 50 فاإذا رفضانا فارض العادم وقبلناا الفارض الباديل فاإن ذلاك يعناي باون متوساط وزن العلباة يقال 05 جم عن. - اختيار مستوى المعنوية كماا قلنااا ساابقا لقااد جارت العااادة باون نختااار مساتوى المعنويااة علاى أن تكااون إمااا % أو %0.5 أو %5 ويمكن بعد ذلك تحديد منطقة الرفض ومنطقة القبول. 0

مثال: وتباين افرض أن X يتوزع توزيعا طبيعيا بمتوسط وكان اهتمامنا باختبار العدم: فرض Ho: = o ضد الفرض البديل H : o وأننا قد اخترنا = 0.05 كمستوى معنوية فإن منطقة الرفض فاي هاذه الحالاة علاى يماين H: o ويساار القيماة o )أي ذات الطارفين( ألن الفارض الباديل نعناي بوناه فاي حالاة العدم فإن فرض رفض قد تكون أقل أو أكثر من o ومنطقة الرفض هي: x = μ>μ ˆ + Z σ o α - x ˆμ<μ o- Zα σ x إما أو α Zα حياث أن هاو المتغيار الطبيعاي المعيااري الاذي يقطاع المسااحة تحات المنحناى باا فاي = 0.05 فإن: كل من الطرفين من التوزيع الطبيعي وبما أن ( من الجدول الطبيعي ) = Z0.5 =.96 Z 0

منطقة القبول منطقة الرفض ) - ( = 0.05 منطقة الرفض = 0.05 o-.96 o X o+.96 X لاااذلك فاااإن احتماااال أن الوساااط الحساااابي للعيناااة X يقاااع علاااى بعاااد. أو أكثااار σ x عان يماين متوساط المجتماع يسااوي %.5 وكاذلك فاإن احتماال أن الوساط الحساابي للعيناة X.%.5. σ x بعد يقع على أو أقل من عن يسار متوسط المجتمع يساوي أيضا إن هاذا الناوع مان االختباار يسامى اختباار ذو الطارفين Test( )Two Tailed ألن منطقاة الرفض مذلفة من طرفي المنحنى أما إذا كانت الفرض البديلة هي: HI = > o فإن منطقة الرفض في هذه الحالة هي: X o + Z- x حيااث Z فااي هااذه الحالااة هااو المتغياار الطبيعااي المعياااري الااذي يقطااع المنحنااى بااا فااي = 0.05 الطرف اليمين من التوزيع الطبيعي. وعلى فرض أن فإن: 00

منطقة الرفض منطقة القبول o o+.645 X من هذا ينتع بون منطقة الرفض هي: %5 وواقعة على يمين متوسط المجتمع. واذا كان الفرض البديل Hi: < o فإن منطقة الرفض هي %5 وستكون واقعة على يسار متوسط المجتمع كما في الشكل التالي: = 5% منطقة القبول منطقة الرفض o -.645 x o 0

وفااي كلتااا الحااالتين فااإن هااذا النااوع ماان االختبااار يساامى اختبااار ذو طاارف واحااد ألن منطقااة علاى طارف الارفض واحاد. مان هناا نجاد أن تحدياد منطقاة الارفض يعتماد علاى ناوع الفارض الباديل. واحتمال الخطو من النوع األول إحصاءة Statistic( )Test - االختبار إحصاءة تعتبر هي االختبار القاعدة األساسية الختبار الفروض اإلحصاائية ويعتماد اختباار اإلحصاءة نوع على نوع العالقة باين القايم النارياة للمجتماع وباين قيمتهاا المحساوبة مان العيناة. و إحصاءة االختبار كما ذكرنا سابقا هي متغير عشوائي له توزيع احتمالي معلوم. فيج تحديد هذا ( يأ التوزيااع االحتمااالي إلحصاااءة االختبااار حتااى يمكاان مقارنااة قيمتااه المحسااوبة بااالتوزيع الناااري القيمة الجدولية( بعد له وذلك تحديد منطقة الرفض. جمع البيانات من العينة وحسا إحصاءة االختبار -5 - اتخاذ الق ار ارت )Conclusion( إذا وقعاات قيمااة اإلحصاااءة فااي منطقااة الاارفض فناارفض عندئااذ فاارض العاادم ونقباال بالتااالي البديلاااة. الفاارض وباااذلك تكاااون الفاااروق معنوياااة بااين القااايم النارياااة للمجتماااع والقااايم المحساااوبة مااان العينااة. أمااا إذا وقعاات قيمااة اإلحصاااءة فااي منطقااة القبااول فااال فاارض ناارفض العاادم وبااذلك تكااون الفروق بين القيم النارية للمجتمع والقيم المحسوبة من العينة غير معنوية وتعزى للصدفة. 0

أسئلة تقويم ذاتي )( - عرف المصطلحات التالية: أ( الفرض اإلحصائي ) ج( د( فرض العدم الخطو من النوع الثاني. االختبار اإلحصائي ها( توزيع ت وعدد صفاته..0 اختبارات تتعلق بالمتوسطات Tests About Means.0 اختبارات تتعلق بمتوسط واحد Tests About One Mean اختبار يتعلق بمتوسط واحد إذا كان التباين معلوما...0 إن هذا االختبار يتعلق بالفرض التالي: إن الوسط الحسابي للمجتمع يساوي قيمة معينة أي العدم فرض H0 : = o o حياث هاو الوساط الحساابي لمجتماع طبيعاي هاو قيماة معيناة معلوماة والتبااين. X اإلحصاءة إن معلوم. المناسبة التي سيعتمد عليها اتخاذ الق ار ارت هو المتغير العشوائي X E ( ) = X كما مر علينا سابقا فإن يتوزع توزيعا طبيعيا بوسط حسابي قدره. X Var ( (= وتباين n 05

حيااث أن متوسااط وتباااين المجتمااع الااذي سااحبت منااه العينااة ذات الحجاام n. فااإذا, استخدمنا مستوى المعنوية فإن الفرض البديل سيكون واحدا من الفروض التالية: HI H: o أو H: > o أو H: < o فعند سح عينة عشوائية حجمها من المجتمع وحس وسطها الحسابي X فإن القيمة n Z = X 0 n هااي قيمااة ماان قاايم المتغياار العشااوائي الطبيعااي المعياااري عناادما تكااون Ho صااحيحة فااإن منطقاة الارفض ساتحدد تبعاا لناوع الفارض الباديل والجادول التاالي يباين منااطق الارفض عناد اختباار. H إحدى Ho: = o ضد ثالث حاالت من الفرض عنااادما يكاااون توزياااع المجتماااع غيااار الطبيعاااي وحجااام العيناااة كبيااا ار معلاااوم و ) > ( σ n القيمة فإن المتوسط X للعينة يتوزع حس الطبيعي تقريبا بمتوسط وتباين 0

اتخاذ الق ار ارت االختبار حاالت = = 0.05 = 0.0 ناااارفض Ho إذا كاناااات Ho ناااااااارفض إذا كاناااااااات ناااااارفض إذا كاناااااات Ho قيمة قيمة قيمة Ho: = o H: o Ho: = o Z Z Z Z - أو Z Z أي إذا Z.960 أو -.960 Z أي إذا.960 Z Z.580 أو -.580 Z أي إذا.580 Z Z Z Z.645 Z.330 H : > o Ho: = o Z Z Z -.645 Z -.330 H: < o مالحاة إن طريقاة االختباار التاي سابق شارحها تفتارض أن يكاون تبااين المجتماع.ولكان معلوماا S أحيانا يكون من الصع معرفة تباين المجتمع وبهذه الحالة يمكن استخدام تبااين العيناة مكانه على أن يكون حجم العينة المسحوبة كبي ار )30 n(. 07

مثال: ينااتع مصاانع للتعلياا عبااوات فاكهااة معلبااة الوسااط الحسااابي لوزنهااا 5 وبااانح ارف رطااال. معياري قدره رطل. وللتوكد من أن المعمل ال ازل ينتع عند المستوى المطلو أخذت عينة.5. مكونااة ماان 5 علبااة فوجااد أن متوسااط وزنهااا رطااال وعلااى فاارض أن وزن العلبااة متغياار عشااوائي يتااوزع توزيعااا طبيعيااا فهاال تاادل العينااة علااى أن إنتاااج المصاانع 5 عنااد مسااتوى رطااال المعنوية 0.05( =.) الحل: ستكون خطوات الحل بالشكل التالي:.Ho: ) العدم: فرض = 5 )0 البديل: الفرض.H: 5 ) مستوى المعنوية: = 0.05. Z < -.96 منطقة الرفض: <Z.96 أو ) = Z0.05 =.96 α حيث Z االختبار اإلحصائي )اإلحصاءة( )5 Z = X 4.805 0.5 n 50 = -.830. 0

% Z )-.96( بماا أن قيماة القا ارر:.83- = Z هاي أقال مان أي أن قيماة المحساوبة تقاع فاي ) منطقاة الارفض لهاذا نارفض الفارض = 5 Ho: الباديل 5 H: ونقبال الفارض أن أي..5 5 العينة ال تذيد أن المصنع ال ينتع علبا أو ازنها رطال عند مستوى داللة مثال: إذا كان مع دل إنتاج أحد األصناف المحلية مان الحنطاة فاي السانين الخماس الساابقة يسااوي كجام/هكتاار. وقاد ادعاى أحاد مرباي النباات بوناه قاد اساتنبط سااللة مان هاذا الصانف تعطاي إنتاجااا أكباار. والختبااار صااحة إدعاااء الباحااث أخااذت عينااة عشااوائية مذلفااة ماان ا هكتااار ماان 5 630 السااااللة الجديااادة ووجاااد أن متوساااط إنتاجهاااا = كجااام/هكتاااار باااانح ارف معيااااري يسااااوي كجم/هكتار.هل نتائع العينة تذيد إدعاء الباحث تحت مستوى معنوي يساوي الحل: خطوات حل السذال بالشكل التالي: ) العدم فرض = 600.Ho: )0 البديل الفرض > 600.H: ) مستوى المعنوية = 0.0. ) منطقة الرفض.Z.33 = Z 0

5( االختبار اإلحصائي X = 630, n = 8 =, = S = 5.S بما أن حجم العينة كبير إذن يمكن استبدال بقيمة X 630600 S 5 Z = n 8 = 8 بماااا أن قيماااة المحساااوبة تسااااوي ) (هاااي أكبااار مااان قيماااة ) Z (الجدولياااة )0.( فإنناااا Z فرض نرفض العدم ونقبل الفرض البديل H أي أن إدعاء مربي النبات كان صحيحا. منطقة الرفض Z =.33 مثال: ادعات إحادى شاركات إنتااج باذور تحتاوي علاى الساكر بونهاا أنتجات صانفا مان هاذه البااذور نساابة السااكر فيااه ال تقاال عاان % بااانح ارف معياااري قاادره %0.5 الختبااار هااذا االدعاااء أخااذت عيناة عشاوائية مذلفاة مان أرساا مان هاذه الباذور حياث حسابت مناه نسابة الساكر فكاان وساطها 07

%5 الحسابي %. فهل إدعاء الشركة مقبول عند مستوى احتمال الحل: ) العدم فرض = 8.Ho: )0 البديل الفرض < 8.H: ) مستوى المعنوية = 0.05. ) منطقة الرفض.Z < -.65 = Z إحصاءة 5( االختبار Z = X = 7., n = 36 S =.5 X-μo 8.8-8 σ.5 n 36 = +.9 منطقة الرفض.645.9 Z Ho بماا أن قيمااة القا ارر:.9+ = Z واقعااة فاي منطقااة الارفض لاذا فناارفض العاادم فارض ) 07

.%5 ونقبل الفرض البديل أي أن إدعاء الشركة تحت مستوى مقبول معنوية مثال: أعد حل السذال السابق مستخدما 0% =. الحل: =.90 المحسوبةZ Z = Z0.0 = -.58, Ho نالحا أن قيمة Z المسحوبة أقل من قيمة Z في هذه الحالة العدم فرض ال نرفض.. أي أن ادعاء الشركة ال تذيده العينة عند مستوى داللة 0..0 اختبار يتعلق بمتوسط واحد إذا كان التباين غير معلوم كما في الحالة األولى عندما كان التباين معلوما تتضمن الفرض هنا أيضاا مقارناة متوساط o المجتمع مع قيمة معيناة عنادما يكاون المجتماع تبااين غيار معلاوم وحجام العيناة صاغير : هو العدم فرض أي أن H o )n 30( H o : = o حيث هو الوسط الحسابي للمجتمع o القيمة المعلومة. أما الفرض H البديل فيكون واحدا من الفروض H : o أو H : > o أو H : < o X إذا اخترنااا عينااة عشااوائية حجمهااا )30 n( ماان المجتمااع وحساا الوسااط الحسااابي واالنح ارف المعياري S فإن القيمة 070

t = X-μo S n v = n- هاي قيماة مان قايم المتغيار العشاوائي الاذي لاه توزياع بادرجات حرياة ت عنادما تكااون H o صااحيحة فااإن منطقااة الاارفض سااتحدد تبعااا لنااوع الفاارض البااديل والجاادول التااالي يبااين H مناطق الرفض عند اختبار H o : = o ضاد ثاالث حااالت مان الفارض عنادما يكاون حجام العينااة 30( )n و غياار معلااوم لعينااة عشااوائية مسااحوبة ماان مجتمااع يوخااذ شااكل التوزيااع الطبيعي. اتخاذ الق ار ارت: Ho نرفض إذا كانت قيمة حاالت االختبار H0: = o H: o t t (,v) t < -t ( أو,v) v = n- t t ( أي,v) Ho: = o H: > o Ho: - = o H: < o t t (-,v) v = n- t -t (-,v) v = n- حيث أن: 07

t X-μ o S n مثال: إذا كاااان الوساااط الحساااابي للزياااادة فاااي وزن فااااورة بعاااد تغاااذيتها لمااادة معيناااة. جاااام 0 بااانح ارف معياااري للوسااط الحسااابي جاام. 0.0 هاال يمكاان القااول بااون الوسااط الحسااابي للزيااادة فااي.%5 الوزن ال يقل عن 5. بمستوى معنوية جم الحل: ) العدم فرض = 50.Ho: )0 البديل الفرض < 50 H : ) مستوى المعنوية = 0.05. t -.796 منطقة الرفض ) (0.95, t t - أي أن ) = 0.05 t (0.05, ) = -.796 القيمة الجدولية 07

إحصاءة 5( االختبار: t = X-μ 4.5-5.0 = S 0.3 n t = -.74 بمااا أن قيمااة المحسااوبة أقاال ماان القيمااة الجدوليااة لااذا فناارفض العاادم فاارض )-.74( t )..5 أي أن الزيادة في الوزن تقل عن 5. جم عند مستوى داللة Ho: =5.0 مثال: أشااار سااجل مستشاافى الااوالدة فااي مدينااة الخرطااوم بااان معااد ل وزن المواليااد للساانين العشاار الماضاية يسااوي 5.5 كجام. أخاذت عيناة عشاوائية فاي الرباع األول مان هاذه السانة مذلفاة مان طفاال وكاان معاد ل وزنهام عناد الاوالدة فاي ذلاك المستشافى يسااوي 5. كجام باانح ارف معيااري قادره كجاام. هاال هناااك تغياار معنااوي فااي وزن األطفااال فااي هااذه الساانة عاان مااا هااو فااي الساانين. الماضية افرض أن مستوى المعنوية 0% =. الحل: ) العدم فرض = 5.5.Ho: )0 البديل الفرض H: 5.5 ) مستوى المعنوية = 0.05. 075

% ) منطقة الرفض =.756 9) (0.05, t t إحصاءة 5( االختبار: t = X-μo 5. - 5.5 = S 0.9 n 30 t = -.393 t )0.( t القااااااا ارر: بماااااااا أن القيماااااااة المطلقاااااااة لاااااااا المحساااااااوبة أقااااااال مااااااان الجدولياااااااة ) العادم فارض ال نارفض Ho أي ال يوجاد فارق معناوي باين لاذا t (0.05;9) =.756. أو ازن األطفال عند الوالدة لهذه السنة عنه في السنين الماضية عند مستوى داللة مثال: ادعت إحدى شركات إنتاج السجائر بون نسبة النيكوتين في إنتاجها من السجاير ال يتجاوز ملجاا ارم. أخااذت عينااة عشااوائية مذلفااة ماان سااجار ات وقيساات نساابة النيكااوتين فيهااا فكاناات 7.5 كاآلتي: 8, 6, 0, 9, 8, 9, 8, 8, 7 فهل ادعاء الشركة صحي تحت مستوى معنوية 5 الحل: ) العدم فرض = 7.5.Ho: الفرض )0 البديلة > 7.5 H: 07

) مستوى المعنوية = 0.05. ) منطقة الرفض =.860 8) (0.05, t t (, n-) = نحس الوسط الحسابي واالنح ارف المعياري للعينة التي حجمها (9 = n). n i ( X i X ) X (88.) S = n 9 n X i 86... 7 9 (6 8.) 8.... (7 8.) =.36 S =. 36 =.7 t = 8.-7.5.7 9 =.538 إحصاءة 5( االختبار: بما أن المحسوبة أقل من الجدولية العادم فارض ال نارفض لهاذا Ho أي أن. t.5 t ) إدعاء الشركة مقبول عند مستوى داللة.5. 077

تدري )( - سااااحبت عينااااة عشاااااوائية حجمهااااا مااااان مجتمااااع طبيعاااااي فكااااان الوساااااط و الحسااااااااابي (X X) 0.74 5.=X 8. i i اختبااااااااار الفاااااااارض أن الوسط الحسابي للتوزيع يساوي. تحت مستوى معنوي % =. 0- ساحبت عيناة عشاوائية حجمهاا مان مجتماع طبيعاي فوجاد أن الوساط الحسابي = 5.6 X واالنح ارف المعياري = 4.5 S اختبر الفارض أن الوسط الحسابي للتوزيع أكبر من 5 عند مستوى معنوية: = % )0 = 5% ) أسئلة تقويم ذاتي )0( عناد - سحبت عينة عشوائية حجمها = 7 n من مجتمع طبيعي بتبااين 00= إذا كاان وساطها 5.7 اختبار الفارض = 50 Ho: مستوى معنوية 5% =.H o نرفض Z =.96 Z =.3 الجوا : 0- إذا كان X ا متغير عشوائيا يتاوزع توزيعاا طبيعياا بوساط حساابي P(x < 9) ) 05 أوجد االحتماالت التالية: أ( 305) > (x P وتبااين.5 )0.57 ) الجوا : 07

0.0 اختبارات تتعلق بمتوسطين Tests Concerning Two means في كثير من األمور قد تكون رغبة الباحث في مقارناة متوساطي مجتمعاين فماثال قاد يكاون اهتماام الباحاث فاي مقارناة ناوعين مان التغذياة علاى األطفاال حاديثي الاوالدة أو فاي مقارناة ناوعين. أو مان الادواء مقارناة ناوعين مان أناواع إطاا ارت السايا ارت الا ففاي هاذه الحالاة ساوف يتضامن الفرض مقارنة الفرق بين المتوسطين. وبصاااورة عاماااة سااانعتبر أن هنااااك مجتمعاااان وسااااطاهما الحساااابيان, وتبايناهمااااا σ وسوف نختبر الفرض إن الفرق بين المتوسطين يساوي قيمة معينة أي أن:, σ H o : - = d o H حياث d o هاي القيمااة المعيناة المعلوماة أمااا الفارض الباديل فيكااون واحادا مان الفااروض البديلة التالية: H : - d o H : - > d o H : - < d o H o هاذا وعنادما تكاون = 0 o d ماثال فاإن هاذا يعناي أن العادم ف ضار يعناي أن المتوساطين متساااااويان. إن اختباااااار الفاااارق باااااين متوسااااطين يعتماااااد علااااى توزياااااع المعاينااااة للمتغيااااار العشاااااوائي 07

وعلاى حجام العينتاين المساتقلتين n, n علاى الترتيا واذا ماا كاان تبااين المجتمعاين X -X σ الطبيعيين, σ ال. أم معلومي ن إذا كااان X X- هااو الفاارن بااين متوسااط العينتااين المسااتقلتين, n, n.0.0 ذات فإن الحجماين وإذاكاان تبايناا المجتمعاين معلاومين Z = x - x -d o σ n σ + n H o صاااحيحة قيماااة مااان قااايم التوزياااع الطبيعاااي المعيااااري Z عنااادما تكاااون فاااإذا اساااتخدمنا مساااتوى. معنوية فنستطيع أن نحدد منطقتي الرفض والقبول اعتمادا على نوع الفرض البديل والجادول التاالي يباين منااطق الارفض عناد اختباار H o : - = d o ضاد ثالثاة حااالت n,n الفااااروض H عناااادما يكااااون حجاااام العينتااااين المسااااتقلتين و σ, σ معلومتااااان لعينتااااين عشوائيتين من مجتمعين يتوزعان توزيعا طبيعيا. 0

اتخاذ الق ار ارت حاالت االختبار إذا كانت نرفض H o = 0.05 إذا كانت نرفض H o = 0.0 إذا كانت نرفض H o قيمة قيمة قيمة H o : - = d o H : - d o Z Z Z Z - أو Z Z أي Z >.96 أو -.96 < Z أي Z.96 Z.58 أو -.580 < Z أي Z.580 H o : - = d o H : - > d o Z > Z Z >.645 Z.330 H o : - = d o H : - < d o Z - Z Z -.645 Z -.33 مالحاة, إن إحاادى فاااروض هاااذه الحالاااة هاااي أن يكااون تبايناااا المجتمعاااين معلاااومبن ولكااان يمكااان s, s استخدام تبايني العينتين مكانهما إذا كان كل من العينتين كبي ار ( 30( 0

مثال: أعطي امتحان في الكيمياء إلى مجموعتين من الطلبة 5 75 طالبة و طالبا فكان متوساط 0 درجااااات الطالبااااات هااااو 7 بااااانح ارف معياااااري قاااادره بينمااااا متوسااااط درجااااات الطااااال كااااان وبااانح ارف معياااري قاادره. هاال يوجااد فاارق معنااوي بااين مسااتوى الطلبااة فااي المجمااوعتين بمسااتوى معنوية %5. الحل:.H : - 0 العدم فرض = 0.H o : - الفرض البديلة البديل الفرض ).H : - 0 ( مستوى المعنوية = 0.05. منطقة الرفض Z.96 Z = اإلحصاءة =76 X = 8, X σ = 8, σ = 6, σ = 64, σ = 36 X -X - d o (8-76)-0 σ n σ + n = 64 36 + 75 50 = 4.78 H o )4.78( بماا أن قيماة Z المحساوبة واقعاة فاي منطقاة الارفض لهاذا نارفض العادم فارض ونقبل الفرض البديل.H 00

مثال: أخاااذت عيناااة عشاااوائية مذلفاااة مااان مصاااباحا مااان إنتااااج شاااركة A فكاااان متوساااط عمااار المصباك 05 ساعة بانح ارف معياري قدره ساعة ثم أخذت عينة عشوائية أخرى مذلفاة مان 0 مصباحا من شركة B فكاان متوساط عمار المصاباك سااعة باانح ارف معيااري قادره سااعة وبساب ارتفااع ساعر المصاباك المناتع مان شاركة A تقارر شا ارء مصاابي مان شاركة B إال إذا كااان عماار المصااباك ماان شااركة A يزيااد علااى عماار المصااباك ماان شااركة B بمقاادار أكثاار ماان سااعة. فعنادها سيشاترى مان شاركة A. فمان أي الشاركتين ت س ى يشاترى المصاباك عناد مساتوى 0 معنوية = 0.0. الحل:. = نفرض أن متوسط عمر المصباك من شركة A. = نفرض أن متوسط عمر المصباك من شركة B H o : ) العدم فرض = 00 - )0 البديلة فرض > 00.H : - ) مستوى المعنوية = 0.0. 0

) منطقة الرفض =.33.Z> Z X 58, X 09 5( اإلحصاءة S = 94, S = 68 n = 80, n = 60 إذن Z هي: Z = (X-X )-d o (58-09)-00 = σ σ (94) (68) + + n n 80 60 =. Ho بما أن الق ارر: Z المحساوبة ) 0.0 (واقعاة فاي منطقاة القباول إذن العادم فارض ال نارفض ) وعليه فنشتري المصابي من الشركة B. اختباااااارات باااااين متوساااااطين لمجتمعاااااين تبايناهماااااا غيااااار σ, σ 0.0.0 معلومين σ فاااي كثيااار مااان الحااااالت يكاااون تبااااين المجتمعاااين, σ غيااار معلاااوم وأن حجااام العينتاااين صغير 30( )n 30, n ومن مجتمعين طبيعيين أو قاريبين مناه تتضامن العادم فاي فارض هذه الحالة أن الفرق بين متوسطي المجتمعين تساوي قيمة معينة أي أن: H o : - = d o وسنناقش هنا بهذا الصدد حالتين: الحالااااة األولااااى: عناااادما يكاااااون تباينااااا المجتمعااااين غيااااار معلااااومين ولكنهمااااا متسااااااوين أي 0

. وهناا ساوف نلخاث طريقاة االختباار وباختباار عينتاين عشاوائيتين مساتقلتين واحادة مان كال X,X,S,S مجتمااع ذات حجاام n,n الجدول التالي: التباين الوسط الحسابي علااى الترتياا ثاام المقااد ارت درجة الحرية حجم العينة ثاام ناانام التتااابع كمااا فااي العينة n n - X S 0 n n - X S حيث أن: ˆσ P ثم نجد التباين المجمع ليكون كتقدير لا ˆ ( n ) ˆ ( n ) ˆ P nn فإن: t = (X -X )-d o ˆσ P + n n H o هي قيمة من قيم المتغير العشوائي ت - n = n + بدرجات حرية عنادما تكاون صحيحة فإن منطقة الرفض ستحدد تبعا لنوع الفرض البديل والجدول التالي يباين منااطق الارفض عناد اختباار H o : - =d o ضاد ثاالث حااالت مان الفارض H عنادما يكاون حجام العينتاين صغي ار غير معلومتين لعينتين عشوائيتين مسحوبتين من σ = σ = σ )n+ n - 30( مجتمع طبيعي أو قريبا منه: 05

اتخاذ الق ار ارت: H o نرفض إذا كانت قيمة حاالت االختبار H o : - = d o H : - d o t > t ( α,), = n + n = أو ) t < -t ( α, أي ) t t ( α, H o : - = d o H : - > d o t t (,) = n + n = H o : - = d o H : - < d o t -t (,) = n + n - مثال: 0 فاي تجرباة لمقارناة نسابة الباروتين فاي صانفين مان الطحاين,B A تام اختياار نباتاا مان كل صنف وقىد رت نسبة البروتين فيهما فكانت النتائع التالية:.0 7. 0.7..0. 7..7 7.0... صنف الطحين A.7....5..7...7. 0.. صنف الطحين B هل يختلف الصنفان تبعا لنسبة البروتين في مستوى المعنوية %5. 0

الحل: من البيانات أعاله نضع البيانات التالية في جدول خاث. التباين الوسط الحسابي حجم العينة الصنف A B n = n = X = 0.47 X = 9.05 S = 7.05 S = 5.0 واآلن نتبع الخطوات التالية: - العدم فرض = 0 H o : - )ال يوجد فرق بين صنفي الطحين,B A بالنسبة للبروتين(. -0 البديلة الفرض H : - 0 )أي يوجد فرق حقيقي بين الصنفين(. - مستوى المعنوية = 0.05. - منقطة الرفض: t α t,υ = t (0.05,) =.074 = n + n - = + - = / /00 / /00-0.7 0.7 07

5- اإلحصاءة: t = (X -X )-(μ -μ ) S p + n n (n -)S + (n -)S P n + n- S = =.47 Sp = S P =.40 =.499 إذن: t = (0.47-9.05)-0.4 = 0.6.499 + =.30 t )0.0( بمااا أن قيمااة القاا ارر: t المحسااوبة أكباار ماان الجدوليااة )0.7( لااذا ناارفض -..5 العدم فرض H o : = عند مستوى داللة مثال: عينتان عشوائيتان مستقلتان من مجتمعين طبيعيين وقد أعطت هذه النتائع. n العينة X S n = 5 = X = 4 S 0 n = 9 = 5 X S = 756 عنااد 5 هاال يمكاان الحكاام أن الفاارق بااين متوسااطيها ) ( - هااو أقاال ماان مسااتوى معنوية =%0.5. 0

الحل: - العدم فرض = 5 H o : - -0 البديل الفرض < 5 H : - - مستوى المعنوية = 0.05. - منقطة الرفض: t - t (, n + n - ) = -t (0.05, ) = -.074 إحصاءة : - االختبار S P (n )S (n )S n n t = = (4)4+(8)(756) 5+9- (X -X )-(μ -μ ) S p + n n = 053.88 t = بالتعويض نجد أن: ( - 5)-5 3.463 + 5 9 = -0.584 الق ارر: بما أن قيمة المحسوبة أقل من القيمة الجدولية لذا العدم فرض ال نرفض t. = 5 H o : - عند مستوى داللة.5 0

. σ ¹ σ الحالة الثانية: عندما يكون تباينا المجتمعين غير معلومين وغير متساويين في هذه الحالة سوف نعتمد االختبار اإلحصائي t = (X -X ) - d o S n S + n Ho والتي هي قيمة من قيم المغيار العشاوائي )t( عنادما تكاون لكان بادرجات نجادها مان المعادلة S n S + n = S /n S /n + n - n - والذي يقر ألقر عدد صحي. مثال: أ ارد قسم االستي ارد في مذسسة الكهرباء أن يقرر هل متوسط عمر المصباك المنتع من قبال ال يختلف عن عمر المصباك المنتع من قبل الشركة B فوخذ عينة عشوائية من الشركة A مصباحا من الشركة A و مصابي من الشركة B أن فوجد متوسط عمر المصباك من شاركة هاو سااعة باانح ارف معياااري قاد ره و سااعة 5 متوساط عماار المصاباك فاي شااركة B 05 A هاو سااعة باانح ارف معيااري قادره بينماا علاام باون تبايناا المجتمعاين اللاذين ساحبت منهمااا. هاتين العينتين غير متساوييين هل هناك اختالف في عمر المصابي المنتجة من قبل الشركتين 0

الحل: نفرض أن:. = ( متوسط أعمار المصابي المنتجة من قبل الشركة A. = 0( متوسط أعمار المصابي المنتجة من قبل الشركة B ) العدم فرض = 0.H o : - ) البديلة الفرض H : - 0 )5 مستوى المعنوية = 0.05. ( منطقة الرفض نحتاج إلى حسا درجات الحرية حس المعادلة: = S n S + n S S n n + n - n - = 4 0.05 t,4 =.048 t االختبار اإلحصائي: بما أن التباينان للمجتمعاين غيار متسااويين فاال يمكان حساا قيماة بال )7 نحس قيمة تقريبية t كاآلتي: = (X - X )-(μ-μ ) (95-90)-0 5 = S 5 64 4.54 S + + n n 6 0 = 3.3 0

)0.( t ).0( بماا أن القا ارر: t المحساوبة أكبار مان قيماة الجدولياة العادم فارض نارفض )..5 ونقبل الفرض البديلة عند مستوى داللة تدري )0( - سااحبت عينااة عشاااوائية حجمهااا ماان مجتماااع طبيعااي بوسااط حساااابي σ = 38.3 X وتبااااين = 40 مجتمااع طبيعااي بوسااط حسااابي و عيناااة أخااارى حجمهاااا ساااحبت مااان σ.اختباار = 40. X وتباااين = 30 عنااد مستوى معنوية %0 أنه ال يوجد فرق معنوي باين وساطي المجتمعاين (,.) 0- تقدمت مجموعتان مان الطاال المتحاان معاين فاإذا كاان حجام المجموعاة األولااى )00= n( والوسااط الحسااابي لعالماااتهم يسااااوي 07.5= X وعينااااااة أخاااااارى حجمهااااااا متوسااااااطها X = 5.8 افاااااارض أن التباااااااين المشااااترك بااااين المجمااااوعتين يساااااوي (3.48) اختباااار الفاااارض أن الوسااااط الحسااابي لعالمااات المجموعااة األولااى أكباار ماان الوسااط الحسااابي لعالمااات المجموعة الثانية. - إذا كانت أطوال 6 طال من طلبة جامعة السودان مقرباة ألقار سام هاي.79, 67, 80, 79, 8, 83 وكانات مجموعاة أطاوال طالباة من نفس الجامعة I= Yi =99 و = 45 (Yi-Y) اختبر الفارض i= أنه ال يوجد فرق بين أطاوال الطاال وأطاوال الطالباات عناد مساتوى معنوياة.%5 00

أسئلة تقويم ذاتي )( - سااحبت عينتااان عشااوائيتان ماان مدرسااتين )A( )B( لعالمااات الطااال فااي امتحان الرياضيات فكانت البيانات التالية: المدرسة )A( المدرسة )B(: n =0, X = 43, (X -X) =96 n = 7, y=36 (Yi-Y) =388 i مشترك. أفاااااااارض أن توزيعااااااااات العالمااااااااات توزيعااااااااا طبيعيااااااااا بااااااااانح ارف معياااااااااري عند مستوى %0 هل يوجد فروق بين تحصيل الطال في المدرستين t =.43 الجوا t (, 35) =.44 : )ال يوجد فروق بين تحصيل المدرستين,B( A. اختبارات تتعلق بالنسب Tests About proportions. اختبارات تتعلق بنسبة واحدة من توزيع ذي حدين Test About one Proportion P o P تتضاااامن الفاااارض هنااااا مقارنااااة النساااابة ماااان توزيااااع ذي حاااادين بقيمااااة معينااااة أي أن P o حيث أن P هي معلم توزيع ذي الحدين و هي قيمة معينة معلومة. H o : P = P o 0

هااذا وبااالرغم ماان أن هناااك اختبااار مضاابوط ودقيااق يعتمااد علااى توزيااع ذي الحاادين والااذي يحتاااج إلااى حسااابات مطو لااة باسااتخدام قااانون ذي حاادين وجااداول خاصااة بااه إال أننااا ساانذكر هنااا االختبار التقريبي لعينة حجمها كبير )00 n( معتمدا علاى أناه إذا كاان حجام العيناة كبيا ار وأن P o ال تكون قريبة جدا من الصفر أو الواحد فإن توزياع ذي الحادين يقتار مان التوزياع الطبيعاي وبذلك يكون هو: اإلحصاءة ˆP-P X-nP o o Z = = P o(-p o) n P o (-P o) n H o : صاحي حياث H o هو مقر من التوزيع الطبيعي المعياري عندما العادم فارض يكاون فإن منطقة الرفض ستحدد تبعا لنوع الفرض البديل P = P o والجادول التاالي يباين منااطق الارفض عناد اختباار H o : P = P o ضاد ثاالث حااالت مان الفرض.H 0

اتخاذ الق ار ارت = حاالت االختبار = 0.05 = 0.0 نرفض H o عندما H o : P= P o H : P P o Z Z α أو Z - Zα Z Z α أي Z.96 أو -.96 Z أي Z.96 Z.58 أ و -.58 Z أي Z.58 H o : P = P o Z Z Z.65 Z.33 H : P > P o H : P = P o Z - Z Z -.65 Z -.33 H : P < P o مثال: الع كرة سلة كانت نسبة إصابته للهدف في السانة الساابقة تسااوي % وفاي هاذه السانة رماي.%5 رمية سجل منها هدفا فهل تعتبر أن لعبه قد تحسن بمستوى معنوية 7 الحل: ) العدم فرض = 0.6 P.Ho:. )0 البديلة الفرض > 0.6 P H : 05

%. ) مستوى المعنوية = 0.05. ) منطقة الرفض Z>.65 = Z )5 اإلحصاءة Z Z= o Pˆ X n 70 00 0.70 P o = 0.60 ˆP-P 0.70-0.60 = =.04 P o (-P o) (0.6)(0.4) 00 00.H H o بماا أن قيماة الق ارر: Z المحساوبة واقعاة فاي منطقاة الارفض لاذا نارفض ونقبال أي أن ) نسبة إصابة الهدف من قبل هذا الالع قد تحسنت هذه السنة. تدري )( ألقي حجر نرد منتام مرة اهر منها العدد ثمانون مرة اختبر صااااااحة الفاااااارض أن حجاااااار الناااااارد غياااااار متحيااااااز.عنااااااد مسااااااتوى معنااااااوي. = 0.05 - أسئلة تقويم ذاتي )( -العاا كاارة ساالة معاادل التهااديف عنااده يساااوي % فااي إحاادى المباريااات رمااي رميااة فسااجل 7 هاادفا فهاال تعتباار أن مسااتوى هااذا الالعاا قااد تحسن اختر مستوى معنوي 5 Z =.65, Z=.04 الجوا : مستوى الالع قد تحسن Z > Z 0

0. اختبارات تتعلق بنسبتين Tests Concering two proportions فاارض تتضاامن العاادم فااي هااذه الحالااة أن الفاارق بااين نساابتين )معلمتااين لتااوزيعي مااان ذوي حدين( تساوي قيمة معينة أي أن: H o : P - P = d o حياث أن P, P هماا نسابتان لمجتمعاين تحات الد ارساة. اإلحصاائي إن المناسابة فاي هاذه P ˆ -Pˆ الحالة تعتمد على المتغير العشوائي وتاتلخث طريقاة االختباار باختباار عينتاين عشاوائيتين ذات حجام,n n كبيارين مان تاوزيعين مان ذي حادين وتحسا نسابة النجااك فاي كاال التاوزيعين,Pˆ P ˆ للعينتين فإن: Z = Pˆ -Pˆ -d o o P (-P ) P (-P ) + n n هااااااااااي قيمااااااااااة ماااااااااان قاااااااااايم المتغياااااااااار الطبيعااااااااااي Z المعياااااااااااري العاااااااااادم فاااااااااارض يكااااااااااون عناااااااااادما H o : P P = d o صحيحا. ˆ X ˆ X P =,P = n n وحياااث X, X عااادد مااا ارت النجااااك فاااي تاااوزيعي ذي الحااادين علاااى الترتي وسنناقش عزيزي الدارس في هذه الوحدة حالتين: 07

الحالة األولى:عندما = 0 o d H o : P - P = 0 يصب العدم فرض أي أن P -P P -P Z = = P (-P ) P (-P ) + P(-P) + n n n n ولحسا االختبار اإلحصائي Z نحتاج إلى تقدير P حيث تقدر حس العالقة: Pˆ X n n X وبذلك تكون قمة Z هي. Pˆ -Pˆ Z = ˆ ˆ P(-P) + n n وتحدد منطقة الرفض تبعا لنوع الفرض البديل. الحالة الثانية:.d o 0 عندما تكون P, أي أن P H o : P - P = d o العادم هاي فارض أي أن مختلفتاان.هناا أيضاا ساتكون Pˆ إذن: -Pˆ اإلحصائي المناسبة معتمدة على المتغير العشوائي Z= Pˆ -Pˆ -d o P ˆ (-P ˆ ˆ ˆ ) P (-P ) + n n هي قيمة من قيم المتغير الطبيعي المعياري عندما تكون H o صحيحة وتحديد منطقاة Z 0

H o : P - الرفض تبعا للفارض الباديل والجادول التاالي يباين منااطق الارفض عناد اختباار الفارض n, n ضاد ثاالث حااالت مان الفارض H P = 0 لعينتاين عشاوائيتين ذات حجام كبيارين مان توزيعين ذي الحدين. اتخاذ الق ار ارت = حاالت االختبار = 0.05 = 0.0 H نرفض عندما تكون نرفض عندما تكون H نرفض H عندما تكون H o : P = P Z > Z α Z.65 Z.58 H : P P أو Z > - Zα و أ -.58 Z أو -.96 Z Z Z α أي إذا أو Z.58 أي Z.96 H o : P = P Z > Z Z.65 Z.33 H : P > P H : P = P Z < - Z Z < -.65 Z < -.33 H : P < P مالحاة H o : P - P = d o تستخدم الجدول أعاله مستخدمين : Z = Pˆ -Pˆ -d o P ˆ (-P ˆ ˆ ˆ ) P (-P ) + n n عند اختبار الفرض 0

مثال: لمعرفة إذا كان هناك فارق فاي نسابة أصاوات النااخبين لمادينتين B,A حاول ترشاي شاخث 0 للرئاسة. فقد أخذت عينة عشوائية من مدينة A مذلفة مان شاخث فكاان 0 شخصاا ما X 5 ماانهم يذيااد ترشااي شااخث X للرئاسااة بينمااا أخااذت عينااة عشااوائية مذلفااة ماان شااخث ماان فكان 0 منهم يذيدون ترشايحه. فهال تعتقاد أن نسابة األصاوات التاي سيحصال عليهاا المدينة B. = 0.05 في مدينة A أعلى من نسبة األصوات في مدينة B تحت مستوى معنوية السيد X الحل: ) العدم فرض.H o : P = P )0 البديلة الفرض.H : P > P ) مستوى المعنوية = 0.05. ) منطقة الرفض =.96.Z Z 5 (اإلحصاءة: Pˆ Pˆ X n X n 0 00 X n 0.60 360 700 0.48

Pˆ Z X n X n (0.5)(0.49) 40 0.5 500 0.600.48 00 500 Pˆ 0.49.869 ناارفض القاا ارر: الن قيمااة Z المحسااوبة واقعااة فااي منطقااة الاارفض أي أن نساابة األصااوات H o ) التي سيحصل عليها الشخث X في مدينة A أكبر مما هي عليه في مدينة B. مثال: بالرجوع إلى المثال السابق اختبر الفرض: نسبة أصوات مدينة A تزياد عان نسابة أصاوات. = 0.05 بوكثر من %5 تحت مستوى معنوية مدينة B الحل:. H o : P - P ) العدم فرض = 0.05. )0 البديلة الفرض > 0.05 H : P - P. ) مستوى المعنوية = 0.05. ) منطقة الرفض =.96 Z 5 (اإلحصاءة: ˆP=0.60 - ˆP=0.40 ˆP =0.48 - ˆP = 0.5

Z = (0.60-0.48)-0.05 (0.60) (0.40) (0.48)(0.5) + 00 500 =.70 بما أن الق ارر: Z غير واقعة في منطقة الرفض لاذا العادم فارض ال نارفض عناد مساتوى داللاة )..5 تدري )( - يرماي صايادان ني ارنهماا نحاو هادف ثابات مارة لكال صاياد فكانات عدد م ارت إصابة الهدف من الصاياد األول يسااوي 5 و مان قبال الصاياد الثااني.اختبار الفارض أن نسابة اإلصاابة باين الصايادين متسااوية تحات = 0.05 أسئلة تقويم ذاتي )5( فاي إحادى الشاركات تام اختباار أري الماواطنين حاول اساتخدام سالعة غذائياة معينة. من بين 5 وجاد أن 05 يساتخدم السالعة A وباين وجاد أن 0 يساتخدم السالعة B اختيار علاى مساتوى معنوياة = %5 هال يوجد اختالف بين نس االستخدام للسلعتين A و B - الجوا : Z نقبال بماا أن المحساوبة أكبار مان Z Z = -.96, Z = -0.577 [ فرض العدم[ ال يوجد فرق بين النسبتين للسلعتين,B. A 0

الخالصة ما الذي ناقشناه في الوحدة الخامسة لقد ناقشانا اختباار الفاروض فاي متوساط متوساطين نسابة نسابتين والتعريفاات واالختباا ارت اإلحصااائي المتعلقااة بكاال فاارض ولكاان بعااد د ارسااتك هااذه الوحاادة. هاال حققاات األهااداف التعليميااة المذكورة في بداية الوحدة ارجع تلك األهداف قبل اإلجابة عن هذا السذال. حااول أن تساتكمل وتعياد د ارساة األجا ازء التاي تارى أنهاا ماا ازلات غيار واضاحة لاديك وبعاد االنتهاااء تمامااا ماان فهاام أجاا ازء الوحاادة كافااة. أدعااوك لد ارسااة الملخااث التااالي الااذي يمثاال األفكااار والمفاهيم الرئيسة التي ذكرناها فيها: الفاارض اإلحصااائي فاارض بهااا ماان والمفاااهيم العاادم الفاارض البديلااة الخطااو ماان النااوع األول - والثاني مستوى المعنوية واالختبار اإلحصائي ثم الق ارر. الحاالت التي يختبر فيها المتوسط الحسابي. الحاالت التي يختبر فيها متوسطين. الحاالت التي يختبر فيها نسبة واحدة. الحاالت التي يختبر فيها نسبتين. -0 - - -5 أن آمل تكون قد استوعبت كافة البنود في الوحدة.

لمحة مسبقة عن الوحدة الدراسية التالية الوحادة التالياة هاي الوحادة األخيارة وهاي حاول: تحليال التبااين وساتجد أنهاا أقصار الوحدات من حيث عدد الصافحات وتعاالع الوحادة تحليال التبااين فاي اتجااه واحاد وفاي اتجاهين مع العديد من األمثلة العملية. أمل أن تكون وحدة مفيدة لك.

التدريبات إجابات التدري )( نجد االنح ارف المعياري للعينة العشوائية: S = 8 i ( Xi X ) n 0.74 = 0.095 8 S = 0.304, X = 4.65 العدم فرض = 4.3.H o : البديلة الفرض H : 4.3 باستخدام t-test ألن حجم العينة صغير والتباين غير معلوم % % -0. 0. t = X-μ 4.65-4.3 = S/ n- 0.304 / 8- =3.05 5

من جداول t نجد n-) t ( α, t (0.05, 7) =.998 القاا ارر بمااا أن قيمااة t المحسااوبة تقااع فااي منطقااة الاارفض إذن ناارفض العاادم ونقباال فاارض.). البديل الفرض )أي أن الوسط الحسابي للتوزيع ال يساوي التدري )0( العدم فرض أ( = 50. H o : ) البديل الفرض > 50.H p : جا( = 0.05. X-μ 5.6-50 = σ/ n 4.5/ 00 Z= = اإلحصاءة د(.7.5 Z.793 = بما أن الق ارر: ها( Z المحسوبة أكبر من من الجدول والتي تساوي.)5 فرض نرفض العدم ونقبل الفرض البديل )أي أن الوسط الحسابي أكبر من 0( بنفس األسلو السابق Z = X-μ =.793 σ/ n Z = Z0. = 3.36

)5 Z إذن أقااال مااان بماااا أن Z ال نااارفض العااادم فااارض )أي أن الوساااط الحساااابي يسااااوي تحت % =. 0.05 0.05 -.. التدري )0( σ = 40,X =38.3,n =00 )( من العينة األولى σ = 30,X =40.,n =80 من العينة الثانية.H : العدم فرض H o : = البديلية الفرض اإلحصاءة Z = X -X -(μ -μ ) σ n σ + n Z = 38.3-40.-0 = -.04 40 30 + 00 80 Z =.04 Z α = Z0.05 =.96 7

=.96 Z إذن نارفض بماا أن قماة Z المحساوبة أكبار مان قيماة العادم ونقبال فارض البديلة الفرض )يوجد فروق بين وسطي التوزيعين(. X =7.53,n )0( المجموعة األولى 00= X =6.8,n المجموعة الثانية 44= االنح ارف المعياري المشترك = 3.48 S. العدم فرض H o : = الفرضي البديلة H : > (X Z X ) ( S n n ) اإلحصائي: = 5%.5 بالتعويض في القيم نجد أن: Z 7.53 6.8 0 3.48 00 44.589.Z =.645 لكن Z من جداول التوزيع الطبيعي

( يأ Z =.645 إذن Z المحسوبة والتي تساوي ).5 (أقل من العادم فارض إذن نقبال أن الوسط الحسابي للمجموعتين متساوي(. ) (نفرض أن,Y X هما المتغيرين ألطوال الطال والطالبات على الترتي نجد: ) للطال : X S 6 i n X 6 i i ( Xi X ) n 838... 79 6 6.806 78.67 0( للطالبات Y S i n Yi i 99 8 (Yi Y) n 54 4.909 ( نجد التباين المشترك للطال والطالبات: ˆ ns n S n n ˆ.39 6(4.556) (4.909) 5.4 6

العدم ف ضر.H o : = البديلة الفرض H : t = اإلحصائي X -Y-(μ -μ ) (79.67-8)-0 = ˆσ +.39 + n n 6 t =.3 t ( α, n + n - ) = t (0.05, 5) =.6 =.3.%5 ( (0.05, )t نقبل الفرض. = المحسوبة إذن t أقل العدم تحت مستوى معنوية التدري )3( العدم: فرض H o : P = 6 البديلة الفرض H : P 6 اإلحصائي: Z = x -P n P(-p)/n حيث بالتعويض نجد أن : n = 400 X = 80 6 P =

Z= 80-400 6 4 = =.79 5 5 /400 6 6 ).7( Z ).7( Z Z α =.96 لكاان إذن قيمااة المحسااوبة أقاال ماان قيمااة ماان الجاادول العدم فرض ال نرفض إذن )حجر النرد غير متحيز(. تدري )( X ˆp = n نفرض أن نسبة إصابة الصياد األول 54 ˆP = = 0.54 00 وأن نسبة إصابة الصياد الثاني y 49 ˆP = = = 0.49 n 00 العدم ف ضر.H o : P = P البديلة الفرض.H : P P اإلحصائي Pˆ -Pˆ -(P -P ) Z = ˆ ˆ P(-P)+ + n n

54 49 0 00 00 03 97. 00 00 00 00 0.05 0.707 0.07 نجد من الجدول إذن ال Z المحسوبة أقل من قيمة Z إذن قيمة Z α = Z 0.05 =.3..5 العدم فرض يرفض H o عند مستوى داللة 0

مسرد المصطلحات Test Statistic Tests of hypotheses Tests About means. Tests About Proportions. Type I error Type II error parametric methods Non parametric methods Statistical hypothesis Alternative hypothesis Null hypothesis Power of the test Level of Significance Significance Rejection region Acceptance region إحصاءة االختبار اختبار الفروض اختبا ارت تتعلق بالمتوسطات اختبا ارت تتعلق بالنس الخطو من النوع االول الخطو من النوع الثاني الطرق المعلمية الطرق غير المعلمية الفرض اإلحصائي الفرض البديل فرض العدم قوة االختب را مستوى المعنوية معنوية منطقة الرفض منطقة القبول

المراجع - Azzalini, A. Statistical Inference: Based on the likelihood. Chapman and Hall, 996. - Cassella, G. and Roges L. Berger, Statistical Inference. nd edition, Dux bury, 00. 3- Drapr, N. R and wmith, H, Applied Regulation Analysis. New York: John Wiley, 980. 4- Hogg, R. V. and Allen T. Craige, Introduction to mathematical statistics. Fourth edition, New York: Mocmillan Publishing Co. Inc. 978. 5- Shao, Jun, Mathematical Statistics. New York: Springer, verlay 999. 6- Walpole, R. E. and Ray mond H. Myers, Probability and statistics for Engineers and scientists. nd edition. Macmillan Publishing Co. Inc. 978. 7- Wassrman, N. J. and kateo, M. H. Applied linear Regression Methods. London: Richard D. Trwin Inc. 983.