Συναισθηματικός τομέας και χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων στην πρόσθεση κλασμάτων: Η περίπτωση Ελλήνων μαθητών Μέσης Εκπαίδευσης

Συναισθηματικός τομέας και χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων στην πρόσθεση κλασμάτων: Η περίπτωση Ελλήνων μαθητών Μέσης Εκπαίδευσης Αμπράζης Στυλιανός Πανεπιστήμιο Αθήνας Δεληγιάννη Ελένη Πανεπιστήμιο Αθήνας Ηλία Ιλιάδα Πανεπιστήμιο Κύπρου Σπύρου Παναγιώτης Πανεπιστήμιο Κύπρου Περίληψη Η παρούσα έρευνα επιδιώκει τη διερεύνηση των πεποιθήσεων, των πεποιθήσεων επάρκειας και των προτιμήσεων Ελλαδιτών μαθητών Α και Β Γυμνασίου όσον αφορά στην ευελιξία που επιδεικνύεται στη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων στα κλάσματα. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στη σύγκριση των δύο ηλικιακών ομάδων ως προς τις διαστάσεις που μετρά η έρευνα. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της έρευνας δεν παρουσιάζονται διακριτές ομαδοποιήσεις των δηλώσεων των πεποιθήσεων, των πεποιθήσεων επάρκειας και των προτιμήσεων στους μαθητές των δύο ηλικιακών ομάδων. Παρόλο που διαμορφώνονται ομάδες δηλώσεων στις οποίες αναγνωρίζεται ο υποβοηθητικός χαρακτήρας των διαγραμματικών αναπαραστάσεων και η επάρκεια ή η προτίμηση χρήσης τους, οι μαθητές φαίνεται να θεωρούν τη χρήση συμβολικών αναπαραστάσεων ως τον πιο «αποδεκτό» τρόπο παρουσίασης των απαντήσεων τους, κάτι το οποίο πιθανόν να υποβάλλεται από τον τρόπο διδασκαλίας του θέματος στη μέση εκπαίδευση. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει επίσης το γεγονός ότι οι ομαδοποιήσεις των δηλώσεων παρουσιάζουν σχετική συνέπεια στις δύο ηλικιακές ομάδες. Εισαγωγή Θεωρητικό Πλαίσιο Τα τελευταία πενήντα χρόνια η παιδαγωγική έρευνα δίνει όλο και περισσότερη έμφαση στην κατανόηση του συναισθηματικού τομέα και στη σχέση του με τη μαθησιακή διαδικασία (Φιλίππου & Χρίστου, 2001). Ως εκ τούτου, οι ερευνητικές προσπάθειες οι οποίες σχετίζονται με τη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών έχουν μετακινηθεί από την εξέταση μόνο γνωστικών μεταβλητών. Οι προτάσεις εξάλλου για εκσυγχρονισμό των σχολικών μαθηματικών δίνουν ιδιαίτερη έμφαση στη ανάπτυξη στόχων που συνδέονται με το συναισθηματικό τομέα (Φιλίππου & Χρίστου, 2001). Στην παρούσα έρευνα το ενδιαφέρον όσον αφορά στους συναισθηματικούς παράγοντες εστιάζεται στις πεποιθήσεις (beliefs) και πεποιθήσεις επάρκειας (self efficacy beliefs) των μαθητών στα μαθηματικά. Πεποιθήσεις των μαθητών όσον αφορά στα μαθηματικά Μέσα από την ανασκόπηση της βιβλιογραφίας φαίνεται ότι δεν υπάρχει ένας κοινά αποδεκτός ορισμός για τις πεποιθήσεις ενός ατόμου στα μαθηματικά. Αξίζει μάλιστα να σημειωθεί ότι κάποιοι ερευνητές θεωρούν ότι οι πεποιθήσεις αποτελούν μέρος της γνωστικής επεξεργασίας ενός ατόμου, ενώ οι περισσότεροι ερευνητές αναγνωρίζουν ότι οι πεποιθήσεις περιέχουν συναισθηματικά στοιχεία, αφού δημιουργούνται μέσα στο κοινωνικό περιβάλλον που ζούμε (McLeod, 1992). Πιο αναλυτικά, μερικοί ερευνητές θεωρούν τις πεποιθήσεις σαν μέρος της γνώσης (π.χ. Pajares, 1992), κάποιοι άλλοι ερευνητές πιστεύουν ότι οι πεποιθήσεις αποτελούν μέρος των αντιλήψεων (π.χ. Thompson, 1992), ενώ ορισμένοι αντιλαμβάνονται τις πεποιθήσεις 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 163

ως στάσεις (π.χ. Underhill, 1988). Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι αρκετοί ερευνητές υιοθετούν ένα προσανατολισμό για τις πεποιθήσεις που εμπερικλείει τόσο συναισθηματικά όσο και γνωστικά στοιχεία. Ενδεικτικά, παρατίθενται κάποιοι από τους ορισμούς που δόθηκαν από διάφορους ερευνητές όσον αφορά στις πεποιθήσεις: Οι πεποιθήσεις αποτελούν τις επεξηγήσεις και τα συναισθήματα που διαμορφώνουν τον τρόπο σύμφωνα με τον οποίο το άτομο αντιλαμβάνεται και εμπλέκεται σε μια συμπεριφορά στα μαθηματικά (Schoenfeld, 1992, p. 358). Οι πεποιθήσεις αποτελούν πολλαπλά κωδικοποιημένους γνωστικούς και συναισθηματικούς σχηματισμούς στους οποίους το άτομο αποδίδει ένα είδος αλήθειας (Goldin, 2002, p. 64). Οι αντιλήψεις ενός εκπαιδευτικού όσον αφορά στη φύση των μαθηματικών αποτελούν τις συνειδητές ή υποσυνείδητες πεποιθήσεις του, τις έννοιες, τα νοήματα, τους κανόνες, τις νοητικές εικόνες και τις προτιμήσεις όσον αφορά στην επιστήμη των μαθηματικών (Thompson, 1992, p. 132). Οι πεποιθήσεις ενός ατόμου μπορούν να οριστούν ως οι υποκειμενικές και υπονοούμενες του γνώσεις και συναισθήματα (Pehkonen & Pietila, 2003) και βασίζονται τις εμπειρίες του ατόμου στο συγκεκριμένο θέμα (Diaz- Obamdo, Plasencia- Cruz, & Solano- Alvarado, 2003). Οι Furinghetti και Pehkonen (2002) στην προσπάθειά τους να διευκρινίσουν την έννοια του όρου εισηγούνται ότι όταν κανείς ασχολείται με πεποιθήσεις ή σχετικούς όρους συνίσταται να: α) διακρίνει δύο τύπους γνώσης (αντικειμενική και υποκειμενική γνώση), β) θεωρεί ότι οι πεποιθήσεις αποτελούν υποκειμενική γνώση, γ) περιλαμβάνει συναισθηματικούς παράγοντες στο σύστημα πεποιθήσεων, και να διακρίνει συναισθηματικές και γνωστικές πεποιθήσεις, αν χρειαστεί, δ) λαμβάνει υπόψη ότι πιθανόν να υπάρχει διαβάθμιση σταθερότητας και να θεωρεί ότι οι πεποιθήσεις υπόκεινται σε αλλαγές, ε) δίνει έμφαση στο περιεχόμενο (π.χ. πληθυσμός, υποκείμενα) και στο σκοπό της έρευνας η οποία εμπλέκει τις πεποιθήσεις. Οι εκπαιδευτικοί φαίνεται να ασκούν σημαντική επίδραση στην οικοδόμηση των πεποιθήσεων των μαθητών τους μέσω του τρόπου που παρουσιάζουν τα διάφορα θέματα, το είδος των έργων που χρησιμοποιούν, τις μεθόδους αξιολόγησης που εφαρμόζουν και τις διαδικασίες και τα κριτήρια που ακολουθούν (Torner, αναφορά στον Mason, 2003; Pehkonen, 2001). Ο Papanastasiou (2000) επισημαίνει εξάλλου ότι τα αποτελέσματα της έρευνας της Γ Παγκόσμιας Έρευνας στα Μαθηματικά και την Επιστήμη (TIMSS) στην Κύπρο, την Ιαπωνία και τις Ηνωμένες Πολιτείες υποδεικνύουν ότι η διδασκαλία στα μαθηματικά διαμορφώνεται σε σχέση με τις πεποιθήσεις των μαθητών. Επιπλέον, τα μαθησιακά αποτελέσματα, όπως για παράδειγμα η επίλυση προβλήματος, φαίνεται να συνδέονται με τις πεποιθήσεις και τις στάσεις των μαθητών όσον αφορά στα μαθηματικά (Schoenfeld, 1992; Mason, 2003; Furinghetti & Pehkonen, 2000). Ο Kloosterman (2002) διακρίνει επίσης άμεση σύνδεση μεταξύ πεποιθήσεων και προσπάθειας που καταβάλλει ο μαθητής για μάθηση, όπως επίσης και των προσωπικών του στόχων. Από την άλλη, ορισμένοι ερευνητές (π.χ. Papanastasiou, 2000) βρήκαν ότι οι στάσεις και οι πεποιθήσεις δεν αποτελούν μεταβλητές οι οποίες μπορούν να προβλέψουν την επίδοση των μαθητών στα μαθηματικά. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 164

Αυτοαναφορικές πεποιθήσεις των μαθητών στα μαθηματικά Ο Bandura (1997) ορίζει ως πεποιθήσεις επάρκειας τις πεποιθήσεις κάποιου ατόμου για την ικανότητά του να οργανώνει και να εφαρμόζει σχέδια τα οποία απαιτούνται για την επίτευξη ορισμένων αποτελεσμάτων. Οι πεποιθήσεις επάρκειας εστιάζουν στην ικανότητα επιτυχίας σε κάτι συγκεκριμένο και όχι στις ατομικές ικανότητες (Φιλίππου & Χρίστου, 2001). Σε ένα πλήθος ερευνών τονίζεται η σημασία της επάρκειας λαμβάνοντας υπόψη ότι η παράμετρος αυτή είναι ο πιο αξιόπιστος δείκτης πρόβλεψης της συμπεριφοράς του ατόμου στο στάδιο ανάληψης και εκτέλεσης ενός έργου (π.χ. Bandura, 1997; Pajares, 1996a; Chen, 2003; Tschannen- Moran, Woolfolk Hoy, & Hoy, 1998). Σε ένα μοντέλο δομικής ανάλυσης με ελεγχόμενες μεταβλητές την επιρροή του άγχους, τη γνωστική ικανότητα, την επάρκεια για αυτορύθμιση στη μάθηση και το φύλο, επισημαίνεται ότι τα συναισθήματα επάρκειας προέβλεπαν την επίδοση των μαθητών στην επίλυση προβλήματος (Pajares, 1996b). Σε μια άλλη σχετική έρευνα με μαθητές κατά τη μετάβασή τους στη μέση εκπαίδευση, οι Pajares και Graham (1999) βρήκαν ότι οι πεποιθήσεις επάρκειας των μαθητών για συγκεκριμένα έργα ήταν η μόνη μεταβλητή κινήτρων η οποία μπορούσε να προβλέψει την επίδοση των μαθητών τόσο στην αρχή όσο και στο τέλος της σχολικής χρονιάς. Πεποιθήσεις, αυτοαναφορικές πεποιθήσεις και πολλαπλές αναπαραστάσεις στα μαθηματικά Ο Goldin (1998) περιλαμβάνει τα συναισθήματα σαν ένα από τα πέντε αναπαραστατικά συστήματα τα οποία αποτελούν συστατικά στοιχεία ενός ενοποιημένου ψυχολογικού μοντέλου για τη μαθησιακή διαδικασία και την επίλυση προβλήματος στα μαθηματικά. Μάλιστα, αξιολογώντας τα διάφορα συστήματα αναπαράστασης ο Goldin (1998) επισημαίνει ότι το συναισθηματικό σύστημα αναπαράστασης είναι το πιο απαραίτητο για κατανόηση της δομής της ικανότητας στα μαθηματικά μαθητών και ενηλίκων. Παρά τη σημασία όμως που αποδίδεται ερευνητικά τόσο στις πεποιθήσεις όσο και στις πεποιθήσεις επάρκειας στη διδασκαλία και στη μάθηση των μαθηματικών, ελάχιστες και σε μικρή κλίμακα είναι οι έρευνες που έχουν επιχειρήσει διερεύνηση του θέματος σε σχέση με τις αναπαραστάσεις. Οι έρευνες αυτές (Patterson & Norwood, 2004; Ozgun- Koca, 1998) έγιναν στην τριτοβάθμια εκπαίδευση και αφορούσαν περιορισμένο αριθμό φοιτητών ή μελέτες περιπτώσεων. Συγκεκριμένα, οι Patterson και Norwood (2004) εξέτασαν το ρόλο που διαδραματίζουν οι πεποιθήσεις ενός έμπειρου και ενός αρχάριου εκπαιδευτικού όσον αφορά στη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων και ενσωμάτωσης της τεχνολογίας, στην εφαρμογή ενός νέου αναλυτικού προγράμματος που περιλαμβάνει τη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων. Επιπλέον, διερεύνησαν την κατανόηση χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων (αλγεβρικής, γραφικής, πίνακα) για την επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού από οκτώ φοιτητές και την ικανότητά τους να συνδυάζουν διάφορες αναπαραστάσεις ως αποτέλεσμα της διδασκαλίας από τους συγκεκριμένους εκπαιδευτικούς. Σύμφωνα με τους Patterson και Norwood (2004) οι πεποιθήσεις των δύο εκπαιδευτικών φάνηκαν να αντικατοπτρίζονται στη διδασκαλία τους και να επηρεάζουν την επιλογή συγκεκριμένων αναπαραστάσεων για επίλυση έργων από τους φοιτητές των τάξεών τους. Από την άλλη, η έρευνα του Ozgun- Koca (1998) έγινε με δεκαέξι φοιτητές μαθηματικών σε μάθημα θεραπευτικής επανορθωτικής διδασκαλίας από διδακτορικό φοιτητή μαθηματικής 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 165

παιδείας. Ο Ozgun- Koca (1998) εξέτασε τις στάσεις των φοιτητών απέναντι στα μαθηματικά και στις πολλαπλές αναπαραστάσεις, όπως επίσης και τους λόγους επιλογής συγκεκριμένης μορφής αναπαράστασης για την επίλυση προβλήματος και το πώς ένα λογισμικό επηρεάζει την επιλογή αναπαραστάσεων. Τα αποτελέσματα της συγκεκριμένης έρευνας έδειξαν ότι τόσο οι προηγούμενες γνώσεις και εμπειρίες των φοιτητών όσο και οι προσωπικές τους προτιμήσεις ήταν αυτές που κυρίως επηρεάζουν την επιλογή συγκεκριμένων αναπαραστάσεων στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Σκοπός της παρούσας έρευνας είναι η διερεύνηση των πεποιθήσεων, των πεποιθήσεων επάρκειας και των προτιμήσεων Ελλαδιτών μαθητών Α και Β Γυμνασίου με άξονα την ευελιξία χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων στα κλάσματα. Παράλληλα, θα εντοπιστεί και θα συγκριθεί ο τρόπος αντιμετώπισης των συγκεκριμένων συναισθηματικών καταστάσεων των μαθητών στις δύο ηλικιακές ομάδες. Μεθοδολογία της Έρευνας Δείγμα Δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν 97 Ελλαδίτες μαθητές Α γυμνασίου και 84 Ελλαδίτες μαθητές Β γυμνασίου. Τα δεδομένα έχουν συλλεγεί στα πλαίσια της διπλωματικής εργασίας για απόκτηση μεταπτυχιακού τίτλου σπουδών του Στέλιου Αμπράζη στο Πανεπιστήμιο Αθήνας. Διαδικασία εκτέλεσης της έρευνας Το ερωτηματολόγιο χορηγήθηκε στους μαθητές από τους εκπαιδευτικούς που διδάσκουν μαθηματικά στις συγκεκριμένες τάξεις και είχε διάρκεια 40 λεπτά. Μέσα συλλογής δεδομένων Για τη συλλογή των δεδομένων της έρευνας χρησιμοποιήθηκε μέρος ερωτηματολογίου το οποίο κατασκευάστηκε στα πλαίσια του ερευνητικού προγράμματος μεσαίου μεγέθους του Πανεπιστημίου Κύπρου MED19 (Δεληγιάννη, Ηλία, & Παναούρα, 2007). Στο ερωτηματολόγιο περιλαμβάνονταν: Α. Δηλώσεις οι οποίες εξέταζαν τις πεποιθήσεις των μαθητών για τη χρήση αναπαραστάσεων στα μαθηματικά: Ο καλός μαθητής στα μαθηματικά μπορεί να παρουσιάσει τη λύση ενός προβλήματος και να την εξηγήσει με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. (Bm6q) Για τη σωστή λύση ενός μαθηματικού προβλήματος είναι απαραίτητη η χρήση εξίσωσης. (Bm7q) Η χρήση υλικών (π.χ. κύκλοι κλασμάτων, λωρίδες κλασμάτων, κύβοι dienes) στα μαθηματικά είναι χρήσιμη κυρίως για τους μαθητές στο δημοτικό σχολείο. (Bm9q) 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 166

Τα διαγράμματα (π.χ. επιφάνεια κύκλου, επιφάνεια ορθογωνίου, αριθμητική γραμμή) διευκολύνουν την εκτέλεση πράξεων στα μαθηματικά. (Bm15q) Η κατασκευή σχεδίου ή διαγράμματος βοηθά την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. (Bm30q) Η χρήση της αριθμητικής γραμμής με διευκολύνει στη λύση ασκήσεων πρόσθεσης κλασμάτων. (Bf2q) Β. Δηλώσεις που εξέταζαν τις πεποιθήσεις επάρκειας των μαθητών στα κλάσματα Μου είναι εύκολο να λύνω ασκήσεις με κλάσματα. (Ef13q) Είμαι πολύ καλός στην επίλυση προβλημάτων με κλάσματα. (Ef12q) Γ. Δηλώσεις που εξέταζαν τις πεποιθήσεις επάρκειας ως προς τη χρήση αναπαραστάσεων σε έργα αναγνώρισης, χειρισμού, μετάφρασης και επίλυσης προβλήματος στα κλάσματα. Μπορώ εύκολα να βρω τα διαγράμματα (π.χ. επιφάνεια κύκλου, επιφάνεια ορθογωνίου) που αντιστοιχούν σε μια εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων. (Efr22q) Μπορώ εύκολα να λύσω εξισώσεις πρόσθεσης κλασμάτων. (Eft14q) Μπορώ εύκολα να λύσω ασκήσεις που παρουσιάζουν το σκιασμένο μέρος της επιφάνειας ενός διαγράμματος (π.χ. επιφάνεια ορθογωνίου) και μου ζητούν να γράψω την εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων που αντιστοιχεί σε αυτό. (Efc36q) Μπορώ εύκολα να βρω την εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων, η οποία παρουσιάζεται με βέλη στην αριθμητική γραμμή. (Efc37q) Βρίσκω εύκολες τις ασκήσεις που μου ζητούν να δείξω στην αριθμητική γραμμή μια εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων. (Efc38q) Μου είναι εύκολο να δείξω μια εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων στην επιφάνεια ενός διαγράμματος (π.χ. επιφάνεια ορθογωνίου). (Efc39q) Η αριθμητική γραμμή με βοηθά στην επίλυση προβλημάτων στα κλάσματα. (Efp21q) Μου είναι εύκολο να εξηγήσω τον τρόπο που έλυσα ένα πρόβλημα κλασμάτων χρησιμοποιώντας εξίσωση. (Efp40q) Βρίσκω εύκολα τα προβλήματα κλασμάτων που χρειάζονται κατασκευή ή συμπλήρωση διαγράμματος. (Efp17q) Η χρήση υλικών (π.χ. κύκλοι κλασμάτων, λωρίδες κλασμάτων) με βοηθά στη λύση προβλημάτων με κλάσματα. (Efp34q) Δ. Δηλώσεις που εξετάζουν τις προτιμήσεις των μαθητών όσον αφορά στη χρήση αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλήματος στα κλάσματα. Αν μου ζητήσει ένας συμμαθητής μου να του εξηγήσω τον τρόπο που έλυσα ένα πρόβλημα κλασμάτων θα προτιμήσω να το κάνω χρησιμοποιώντας κάποιο διάγραμμα. (Pf1q) 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 167

Όταν λύσω ένα πρόβλημα κλασμάτων χρησιμοποιώντας κάποιο διάγραμμα μετά προσπαθώ να το λύσω και με εξίσωση. (Pf4q) Προτιμώ τα προβλήματα κλασμάτων που παρουσιάζουν τα δεδομένα και με διάγραμμα και με λόγια. (Pf23q) Όταν λύνω ένα πρόβλημα κλασμάτων χρησιμοποιώ την αριθμητική γραμμή για την εκτέλεση πράξεων γιατί με βοηθά. (Pf2q) Ανάλυση δεδομένων Για την ανάλυση των δεδομένων εφαρμόστηκε η ανάλυση ομοιότητας (Lerman, 1981) με τη χρήση του στατιστικού προγράμματος CHIC (Gras, Peter, Briand & Philippe, 1997). Με την ανάλυση ομοιότητας σχηματίζονται ομάδες δηλώσεων στις οποίες οι μαθητές κατά τη συμπλήρωσή τους παρουσιάσαν παρόμοια συμπεριφορά. Αποτελέσματα Α Γυμνασίου Στο Διάγραμμα 1 παρουσιάζονται οι σχέσεις ομοιότητας μεταξύ των απαντήσεων των Ελλαδιτών μαθητών της Α Γυμνασίου στο ερωτηματολόγιο. Διάγραμμα 1. Σχέσεις ομοιότητας των δηλώσεων, τις οποίες έδωσαν Ελλαδίτες μαθητές της Α Γυμνασίου, σύμφωνα με τις απαντήσεις τους στο ερωτηματολόγιο 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 168

Στο διάγραμμα σχηματίζονται πέντε κλάσεις ομοιότητας. Στην κλάση 1 περιλαμβάνονται δύο υποομάδες. Στην πρώτη υποομάδα περιλαμβάνονται οι δηλώσεις: «Αν μου ζητήσει ένας συμμαθητής μου να του εξηγήσω τον τρόπο που έλυσα ένα πρόβλημα κλασμάτων θα προτιμήσω να το κάνω χρησιμοποιώντας κάποιο διάγραμμα» και «Βρίσκω εύκολα τα προβλήματα κλασμάτων που χρειάζονται κατασκευή ή συμπλήρωση διαγράμματος». Στην δεύτερη υποομάδα περιλαμβάνονται οι εξής δηλώσεις: «Όταν λύνω ένα πρόβλημα κλασμάτων χρησιμοποιώ την αριθμητική γραμμή για την εκτέλεση πράξεων γιατί με βοηθά» και «Ο καλός μαθητής στα μαθηματικά μπορεί να παρουσιάσει τη λύση ενός προβλήματος και να την εξηγήσει με πολλούς διαφορετικούς τρόπους». Στην κλάση 2 περιλαμβάνονται δύο υποομάδες. Στην πρώτη υποομάδα εμφανίζονται οι εξής δηλώσεις: «Τα διαγράμματα (π.χ. επιφάνεια κύκλου, επιφάνεια ορθογωνίου, αριθμητική γραμμή) διευκολύνουν την εκτέλεση πράξεων στα μαθηματικά», «Βρίσκω εύκολες τις ασκήσεις που μου ζητούν να δείξω στην αριθμητική γραμμή μια εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων» και «Όταν λύσω ένα πρόβλημα κλασμάτων χρησιμοποιώντας κάποιο διάγραμμα μετά προσπαθώ να το λύσω και με εξίσωση». Στην δεύτερη υποομάδα της συγκεκριμένης κλάσης συμπεριλαμβάνονται οι εξής δηλώσεις: «Η αριθμητική γραμμή με βοηθά στην επίλυση προβλημάτων στα κλάσματα» και «Η χρήση της αριθμητικής γραμμής με διευκολύνει στη λύση ασκήσεων πρόσθεσης κλασμάτων». Στην κλάση 3 περιλαμβάνονται δύο υποομάδες. Στην πρώτη υποομάδα συγκεντρώνονται οι εξής δηλώσεις: «Για τη σωστή λύση ενός μαθηματικού προβλήματος είναι απαραίτητη η χρήση εξίσωσης», «Μπορώ εύκολα να λύσω εξισώσεις πρόσθεσης κλασμάτων» και «Μπορώ εύκολα να λύσω ασκήσεις που παρουσιάζουν το σκιασμένο μέρος της επιφάνειας ενός διαγράμματος (π.χ. επιφάνεια ορθογωνίου) και μου ζητούν να γράψω την εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων που αντιστοιχεί σε αυτό». Στη δεύτερη υποομάδα περιλαμβάνονται: «Μπορώ εύκολα να βρω την εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων, η οποία παρουσιάζεται με βέλη στην αριθμητική γραμμή» και «Μου είναι εύκολο να εξηγήσω τον τρόπο που έλυσα ένα πρόβλημα κλασμάτων χρησιμοποιώντας εξίσωση». Η κλάση 4 χωρίζεται σε δύο υποομάδες. Η πρώτη υποομάδα περιλαμβάνει τις εξής δηλώσεις: «Η χρήση υλικών (π.χ. κύκλοι κλασμάτων, λωρίδες κλασμάτων, κύβοι dienes) στα μαθηματικά είναι χρήσιμη κυρίως για τους μαθητές στο δημοτικό σχολείο» και «Προτιμώ τα προβλήματα κλασμάτων που παρουσιάζουν τα δεδομένα και με διάγραμμα και με λόγια». Στη δεύτερη υποομάδα περιλαμβάνονται: «Η κατασκευή σχεδίου ή διαγράμματος βοηθά την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων» και «Η χρήση υλικών (π.χ. κύκλοι κλασμάτων, λωρίδες κλασμάτων) με βοηθά στη λύση προβλημάτων με κλάσματα». Η κλάση 5 περιλαμβάνει επίσης δύο υποομάδες. Στην 1 η υποομάδα περιλαμβάνονται οι δηλώσεις: «Είμαι πολύ καλός στην επίλυση προβλημάτων με κλάσματα» και «Μου είναι εύκολο να λύνω ασκήσεις με κλάσματα». Στη δεύτερη υποομάδα περιλαμβάνονται: «Μπορώ εύκολα να βρω τα διαγράμματα (π.χ. επιφάνεια κύκλου, επιφάνεια ορθογωνίου) που αντιστοιχούν σε μια εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων» και «Μου είναι εύκολο να δείξω μια εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων στην επιφάνεια ενός διαγράμματος (π.χ. επιφάνεια ορθογωνίου)». Στο πιο πάνω διάγραμμα, που αφορά τους μαθητές της Α Γυμνασίου, εντοπίζεται ένας διαχωρισμός των δηλώσεων ανάλογα με την αναπαράσταση που εμπλέκεται σε αυτές. Αυτό παρατηρείται έντονα ιδιαίτερα στις κλάσεις 2 και 3. Συγκεκριμένα, στην κλάση 3 περιλαμβάνονται δηλώσεις πεποιθήσεων προς τα μαθηματικά και πεποιθήσεων επάρκειας που 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 169

σχετίζονται με την χρήση και επίλυση εξισώσεων, με την επεξήγηση προβλημάτων με τη χρήση εξίσωσης, αλλά και με την μετάφραση από τις διαγραμματικές αναπαραστάσεις στη συμβολική αναπαράσταση (εξίσωση). Φαίνεται, ότι οι μαθητές που θεωρούν ότι για τη σωστή επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος είναι απαραίτητη η χρήση εξίσωσης, έχουν την πεποίθηση ότι μπορούν να χρησιμοποιούν με ευελιξία την συμβολική αναπαράσταση (εξίσωση) κατά την επεξήγηση της λύσης τους σε ένα πρόβλημα, ότι είναι σε θέση να λύνουν εύκολα εξισώσεις και ότι μπορούν να μεταβαίνουν σχετικά εύκολα από μια διαγραμματική αναπαράσταση (αριθμητική γραμμή η ορθογώνια επιφάνεια) στην συμβολική μορφή (εξίσωση) ή το αντίστροφο. Αυτό υποδεικνύει ότι νιώθουν αυτοπεποίθηση ως προς τη χρήση της εξίσωσης και το επιβεβαιώνουν απαντώντας με συνέπεια στις δηλώσεις που αναφέρονται στην συμβολική αυτή μορφή αναπαράστασης. Επιπλέον, στην κλάση 2 συγκεντρώνονται δηλώσεις πεποιθήσεων επάρκειας, πεποιθήσεων προς τις αναπαραστάσεις και προτιμήσεων που εμπλέκουν το γεωμετρικό μοντέλο της αριθμητικής γραμμής. Επομένως, μέσω αυτών των δηλώσεων επισημαίνεται ότι οι μαθητές που θεωρούν ότι η αριθμητική γραμμή τους βοηθά στην εκτέλεση πράξεων στα μαθηματικά μπορούν να μεταβαίνουν από την συμβολική αναπαράσταση στην αριθμητική γραμμή με άνεση. Επιπλέον εκτός από τις θετικές πεποιθήσεις που παρουσιάζουν προς την αριθμητική γραμμή, φαίνεται να υποστηρίζουν ότι όλες οι διαγραμματικές αναπαραστάσεις (αριθμητική γραμμή, κυκλική και ορθογώνια επιφάνεια) είναι βοηθητικές κατά την εκτέλεση πράξεων. Από την άλλη όμως, το γεγονός ότι με τις συγκεκριμένες δηλώσεις ομαδοποιείται και η δήλωση ότι «Όταν λύσω ένα πρόβλημα κλασμάτων με κάποιο διάγραμμα μετά προσπαθώ να το λύσω και εξίσωση, υποδηλώνει ότι οι μαθητές του Γυμνασίου, παρά τις θετικές πεποιθήσεις που έχουν απέναντι στις διάφορες διαγραμματικές αναπαραστάσεις, πιστεύουν ότι η χρήση συμβολικών αναπαραστάσεων είναι ο πιο ασφαλής τρόπος επίλυσης μαθηματικού προβλήματος. Αυτό ίσως να οφείλεται στο ότι στο Γυμνάσιο αρχίζει και δημιουργείται στους μαθητές η αντίληψη ότι πρέπει να εργάζονται με πιο αυστηρά μαθηματικό τρόπο (εύρεση εξίσωσης για την επίλυση μαθηματικού προβλήματος). Στην κλάση 1 συγκεντρώνονται δηλώσεις πεποιθήσεων επάρκειας, πεποιθήσεων προς τα μαθηματικά και προτιμήσεων προς τις διάφορες διαγραμματικές αναπαραστάσεις. Επομένως, οι μαθητές που φαίνεται να δείχνουν προτίμηση προς τις διάφορες διαγραμματικές αναπαραστάσεις, παρατηρούμε ότι νιώθουν ότι μπορούν να χρησιμοποιούν τις διάφορες διαγραμματικές αναπαραστάσεις για να επεξηγήσουν ένα μαθηματικό πρόβλημα. Από την άλλη όμως, οι ίδιοι μαθητές πιστεύουν ότι ένας καλός μαθητής είναι σε θέση να παρουσιάσει τη λύση του εξηγώντας την με διάφορους τρόπους, δηλ. τόσο με διαγραμματική αναπαράσταση και με λεκτική αναπαράσταση, όσο και με συμβολική (εξίσωση). Αυτό ενισχύει την παρατήρηση, η οποία διαφαίνεται στον σχολιασμό της κλάσης 2, ότι δηλαδή οι μαθητές μπορεί να έχουν θετικές πεποιθήσεις απέναντι στις διάφορες διαγραμματικές αναπαραστάσεις, αλλά θεωρούν απαραίτητες και άλλες μορφές αναπαράστασης. Το γεγονός ότι στην κλάση 4 ομαδοποιείται η δήλωση που αφορά το βοηθητικό χαρακτήρα των υλικών στην επίλυση προβλημάτων, αλλά από την άλλη και η δήλωση ότι τα υλικά είναι κυρίως βοηθητικά στο δημοτικό υποδεικνύει ότι οι μαθητές της Α Γυμνασίου ενώ έχουν ακόμη ανάγκη την βοήθεια των υλικών, τείνουν να δηλώνουν ότι αυτά είναι χρήσιμα κυρίως στο δημοτικό επηρεαζόμενοι ίσως από το νέο περιβάλλον στο οποίο έχουν μεταβεί. Επιπλέον, η δήλωση προτίμησης για τη διαγραμματική και λεκτική παρουσίαση των δεδομένων ενός προβλήματος, η οποία πιθανό να υποδεικνύει απαρέσκεια προς τη συμβολική αναπαράσταση, ομαδοποιείται με 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 170

τη δήλωση για το βοηθητικό χαρακτήρα των υλικών, συμπεριφορά που ίσως να χαρακτηρίζει αδύνατους μαθητές οι οποίοι χρειάζονται βοήθεια και αποφεύγουν οτιδήποτε θυμίζει έντονα μαθηματικά όπως είναι τα σύμβολα (π.χ. εξισώσεις). Τέλος, στην κλάση 5 συγκεντρώνονται πεποιθήσεις επάρκειας ως προς την επίλυση ασκήσεων και προβλημάτων, ως προς τα έργα μετάφρασης από τη συμβολική μορφή (εξίσωση) στη διαγραμματική και αναγνώρισης ποικιλίας διαγραμματικών αναπαραστάσεων πρόσθεσης κλασμάτων. Φαίνεται επομένως, ότι οι μαθητές με υψηλά επίπεδα πεποιθήσεων επάρκειας επίλυσης ασκήσεων και προβλημάτων με κλάσματα μπορούν να αναγνωρίσουν την έννοια της πρόσθεσης κλασμάτων σε διάφορες διαγραμματικές αναπαραστάσεις και επιπλέον νιώθουν ότι είναι σε θέση με σχετική ευελιξία να μεταβαίνουν από μία διαγραμματική αναπαράσταση σε συμβολική (εξίσωση) και το αντίστροφο. Ως εκ τούτου, φαίνεται ότι οι συγκεκριμένοι μαθητές νοιώθουν ικανοί να εκτελέσουν έργα μετάφρασης, τα οποία θεωρούνται αρκετά δύσκολα έργα, αλλά και ικανοί να επιλύουν ασκήσεις και προβλήματα πρόσθεσης κλασμάτων. Β Γυμνασίου Το Διάγραμμα 2 παρουσιάζει τις σχέσεις ομοιότητας των δηλώσεων, τις οποίες έδωσαν Ελλαδίτες μαθητές της Β Γυμνασίου, σύμφωνα με τις απαντήσεις τους στο ερωτηματολόγιο. Διάγραμμα 2. Σχέσεις ομοιότητας των δηλώσεων, τις οποίες έδωσαν Ελλαδίτες μαθητές της Β Γυμνασίου, σύμφωνα με τις απαντήσεις τους στο ερωτηματολόγιο. Παρατηρώντας το Διάγραμμα 2 βλέπουμε ότι σχηματίζονται πέντε κλάσεις ομοιότητας. Η πρώτη κλάση αποτελείται από δύο υποομάδες. Στην πρώτη υποομάδα περιλαμβάνονται οι εξής δηλώσεις: «Μπορώ εύκολα να βρω την εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων, η οποία παρουσιάζεται με βέλη στην αριθμητική γραμμή» και «Αν μου ζητήσει ένας συμμαθητής μου να του εξηγήσω τον τρόπο που έλυσα ένα πρόβλημα κλασμάτων θα προτιμήσω να το κάνω χρησιμοποιώντας κάποιο διάγραμμα». Στην δεύτερη υποομάδα οι δηλώσεις που ομαδοποιούνται είναι: «Μου είναι εύκολο να εξηγήσω τον τρόπο που έλυσα ένα πρόβλημα κλασμάτων χρησιμοποιώντας εξίσωση» και «Βρίσκω εύκολες τις ασκήσεις που μου ζητούν να δείξω στην αριθμητική γραμμή μια εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων». 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 171

Στην δεύτερη κλάση συμπεριλαμβάνονται δύο υποομάδες. Ιδιαίτερα έντονη ομοιότητα εμφανίζονται να έχουν οι δηλώσεις της δεύτερης υποομάδας. Οι δηλώσεις που έχουν έντονη ομοιότητα μεταξύ τους είναι: «Είμαι πολύ καλός στην επίλυση προβλημάτων με κλάσματα» και «Μου είναι εύκολο να λύνω ασκήσεις με κλάσματα» και «Μπορώ εύκολα να λύσω ασκήσεις που παρουσιάζουν το σκιασμένο μέρος της επιφάνειας ενός διαγράμματος (π.χ. επιφάνεια ορθογωνίου) και μου ζητούν να γράψω την εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων που αντιστοιχεί σε αυτό» και «Μπορώ εύκολα να λύσω εξισώσεις πρόσθεσης κλασμάτων». Στην πρώτη υποομάδα περιλαμβάνονται οι εξής δηλώσεις: «Όταν λύνω ένα πρόβλημα κλασμάτων χρησιμοποιώ την αριθμητική γραμμή για την εκτέλεση πράξεων γιατί με βοηθά» και «Η αριθμητική γραμμή με βοηθά στην επίλυση προβλημάτων στα κλάσματα». Η τρίτη κλάση συμπεριλαμβάνει δύο υποομάδες. Στην πρώτη υποομάδα, όπου εμφανίζεται να έχουν έντονη σχέση μεταξύ τους, περιλαμβάνονται οι εξής δηλώσεις: «Η χρήση υλικών (π.χ. κύκλοι κλασμάτων, λωρίδες κλασμάτων, κύβοι dienes) στα μαθηματικά είναι χρήσιμη κυρίως για τους μαθητές στο δημοτικό σχολείο» και «Όταν λύσω ένα πρόβλημα κλασμάτων χρησιμοποιώντας κάποιο διάγραμμα μετά προσπαθώ να το λύσω και με εξίσωση». Στην δεύτερη υποομάδα περιλαμβάνονται οι εξής δηλώσεις: «Τα διαγράμματα (π.χ. επιφάνεια κύκλου, επιφάνεια ορθογωνίου, αριθμητική γραμμή) διευκολύνουν την εκτέλεση πράξεων στα μαθηματικά» και «Η χρήση της αριθμητικής γραμμής με διευκολύνει στη λύση ασκήσεων πρόσθεσης κλασμάτων». Η τέταρτη κλάση περιλαμβάνει τέσσερις δηλώσεις οι οποίες χωρίζονται σε δύο υποοάμαδες. Η πρώτη υποομάδα αποτελείται από τις εξής δηλώσεις: «Ο καλός μαθητής στα μαθηματικά μπορεί να παρουσιάσει τη λύση ενός προβλήματος και να την εξηγήσει με πολλούς διαφορετικούς τρόπους» και «Για τη σωστή λύση ενός μαθηματικού προβλήματος είναι απαραίτητη η χρήση εξίσωσης». Στη δεύτερη υποομάδα συναντούμε τις εξής δηλώσεις: «Βρίσκω εύκολα τα προβλήματα κλασμάτων που χρειάζονται κατασκευή ή συμπλήρωση διαγράμματος» και «Μου είναι εύκολο να δείξω μια εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων στην επιφάνεια ενός διαγράμματος (π.χ. επιφάνεια ορθογωνίου)». Στην πέμπτη και τελευταία κλάση ομαδοποιούνται τέσσερις δηλώσεις, οι οποίες χωρίζονται σε δύο υποομάδες. Στην πρώτη υποομάδα οι δηλώσεις που ομαδοποιούνται είναι: «Η χρήση υλικών (π.χ. κύκλοι κλασμάτων, λωρίδες κλασμάτων) με βοηθά στη λύση προβλημάτων με κλάσματα» και «Μπορώ εύκολα να βρω τα διαγράμματα (π.χ. επιφάνεια κύκλου, επιφάνεια ορθογωνίου) που αντιστοιχούν σε μια εξίσωση πρόσθεσης κλασμάτων». Στη δεύτερη υποομάδα συμπεριλαμβάνονται οι εξής δηλώσεις: «Προτιμώ τα προβλήματα κλασμάτων που παρουσιάζουν τα δεδομένα και με διάγραμμα και με λόγια» και «Η κατασκευή σχεδίου ή διαγράμματος βοηθά την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων». Παρατηρώντας την πρώτη κλάση βλέπουμε ότι ομαδοποιούνται διάφορες δηλώσεις των μαθητών που σχετίζονται με τις πεποιθήσεις επάρκειας τους ως προς την επίλυση έργων μετάφρασης από συμβολική αναπαράσταση στην αριθμητική γραμμή και το αντίστροφο. Οι πεποιθήσεις αυτές συνδέονται με τη προτίμηση των μαθητών να χρησιμοποιούν διαγράμματα κατά την επεξήγηση ενός προβλήματος αλλά και με την επάρκεία τους να εξηγήσουν ένα πρόβλημα συμβολικά. Κατά συνέπεια, η ικανότητα ευέλικτης μετάφρασης από την αριθμητική γραμμή σε συμβολική αναπαράσταση ενισχύει την ικανότητα των μαθητών στη χρήση διαγραμματικών ή συμβολικών αναπαραστάσεων για επίλυση προβλημάτων. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 172

Στη δεύτερη υποομάδα παρατηρούμε ότι οι μαθητές, που πιστεύουν ότι μπορούν να βρουν εύκολα την εξίσωση και να επιλύσουν προβλήματα πρόσθεσης κλασμάτων, έχουν την πεποίθηση ότι η αριθμητική γραμμή τους βοηθάει να επιλύουν ασκήσεις και προβλήματα πρόσθεσης κλασμάτων. Στην τρίτη κλάση περιλαμβάνονται δηλώσεις θετικών πεποιθήσεων όσον αφορά στις διάφορες διαγραμματικές αναπαραστάσεις. Από την άλλη όμως, βλέπουμε ότι οι μαθητές του Γυμνασίου, παρά τη θετική στάση που έχουν απέναντι στις διάφορες αναπαραστάσεις και στα διάφορα υλικά, πιστεύουν ότι αυτά πρέπει να χρησιμοποιούνται μόνο στο Δημοτικό κι όχι τόσο στο Γυμνάσιο. Αυτό δικαιολογείται διότι στο Γυμνάσιο αρχίζει και δημιουργείται στους μαθητές η αντίληψη ότι πρέπει να εργάζονται με πιο αυστηρά μαθηματικό τρόπο (π.χ. εύρεση εξίσωσης για την επίλυση μαθηματικού προβλήματος). Η τέταρτη κλάση πιθανόν να αναφέρεται σε μαθητές που νιώθουν επάρκεια σε έργα μετάφρασης ή επίλυσης προβλήματος με διαγραμματικές αναπαραστάσεις και πιστεύουν ότι ο καλός ο μαθητής στα μαθηματικά θα πρέπει να είναι σε θέση να παρουσιάσει τη λύση ενός προβλήματος στα μαθηματικά με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Εντούτοις οι συγκεκριμένοι μαθητές πιθανόν λόγω της καθημερινής τακτικής στην καθημερινή τάξη θεωρούν απαραίτητη τη χρήση εξίσωσης για την επίλυση ενός προβλήματος. Τέλος, στην πέμπτη κλάση συμπεριλαμβάνονται πεποιθήσεις των μαθητών σχετικά με τη χρήση διαγραμματικών αναπαραστάσεων κατά την επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Οι μαθητές, μέσω των απαντήσεων τους, δηλώνουν ότι τα διαγράμματα, τα σχέδια επίλυσης προβλήματος και τα διάφορα υλικά τους έχουν βοηθητικό ρόλο στην επίλυση προβλημάτων πρόσθεσης κλασμάτων. Συμπεράσματα Σκοπός της παρούσας έρευνας ήταν η διερεύνηση των πεποιθήσεων, των πεποιθήσεων επάρκειας και των προτιμήσεων Ελλαδιτών μαθητών όσον αφορά στη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων στα μαθηματικά στην Α και Β γυμνασίου. Συγκεκριμένα, εντοπίστηκαν ομάδες δηλώσεων στις οποίες οι μαθητές συμπεριφέρονται με παρόμοιο τρόπο κατά τη συμπλήρωσή τους. Γενικά, δεν παρουσιάζονται διακριτές ομαδοποιήσεις δηλώσεων πεποιθήσεων, πεποιθήσεων επάρκειας και προτιμήσεων στους μαθητές των δύο ηλικιακών ομάδων. Αυτό υποδηλώνει ότι οι πεποιθήσεις τους ως προς τη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων στα μαθηματικά επηρεάζει αλλά και επηρεάζεται από την επάρκεια χρήσης τους και κατ επέκταση επηρεάζει την προτίμησή τους για χρήση συγκεκριμένων αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλήματος. Με άλλα λόγια επισημαίνεται η αλληλεπίδραση των τριών μορφών συναισθηματικών καταστάσεων που εξετάζονται στην παρούσα εργασία. Τόσο στην Α όσο και στη Β γυμνασίου σχηματίζονται ομάδες δηλώσεων οι οποίες επισημαίνουν τα θετικά συναισθήματα των μαθητών ως προς τη χρήση διαγραμματικών αναπαραστάσεων για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών. Από την άλλη, οι μαθητές παρά το ότι δηλώνουν ότι αναγνωρίζουν την ευεργετική λειτουργία των διαγραμματικών αναπαραστάσεων και των διαφόρων υλικών κατά την επίλυση ασκήσεων και προβλημάτων πρόσθεσης κλασμάτων, φαίνεται με βάση τις δηλώσεις τους ότι νιώθουν την ανάγκη να λύνουν ασκήσεις και προβλήματα χρησιμοποιώντας εξίσωση, δηλαδή ένα πιο αυστηρά μαθηματικό τρόπο συμβολικής αναπαράστασης. Αυτό ίσως να οφείλεται στο διδακτικό συμβόλαιο που υφίσταται σε μια τάξη γυμνάσου και το οποίο υποβάλλει ότι οι μαθητές θα πρέπει να αρχίζουν να εργάζονται με πιο αυστηρά μαθηματικό τρόπο σε ένα πιο αφαιρετικό επίπεδο, χωρίς τη 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 173

χρήση συγκεκριμένων υλικών, διαγραμμάτων ή σχεδίων. Επιπλέον, φαίνεται ότι και στις δύο τάξεις παρόλο που οι μαθητές αναγνωρίζουν τον βοηθητικό χαρακτήρα των υλικών, δηλώνουν ότι τα υλικά είναι χρήσιμα κυρίως στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Αυτό μπορεί να ερμηνευτεί και πάλι λαμβάνοντας υπόψη ότι με τη μετάβαση των μαθητών στο Γυμνάσιο δημιουργείται η εντύπωση ότι πρέπει να εργάζονται σε ένα πιο αφαιρετικό επίπεδο περιορίζοντας τη χρήση χειριστικών αντικειμένων, εποπτικού υλικού ή διαγραμματικών αναπαραστάσεων παρά το γεγονός ότι συμβάλλουν θετικά στη μαθησιακή διαδικασία. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι και στις δύο τάξεις οι δηλώσεις που υποδεικνύουν υψηλά επίπεδα επάρκειας ως προς την επίλυση ασκήσεων και προβλημάτων πρόσθεσης κλασμάτων ομαδοποιούνται με δηλώσεις που σχετίζονται με την πεποίθηση επάρκειας ως προς έργα μετάφρασης από διαγραμματική αναπαράσταση σε συμβολική (εξίσωση) ή και το αντίστροφο. Αυτό που παρατηρείται όμως σε κάποιες περιπτώσεις στην Α Γυμνασίου και όχι στη Β Γυμνασίου, είναι ο διαχωρισμός των δηλώσεων του ερωτηματολόγιου σε ομάδες ανάλογα με το πεδίο αναπαράστασης που περιλάμβαναν (αριθμητική γραμμή, εξίσωση). Η συγκεκριμένη έρευνα έριξε φως σε συναισθηματικούς παράγοντες που σχετίζονται με τις πολλαπλές αναπαραστάσεις στα μαθηματικά εμπλουτίζοντας τη περιορισμένη έρευνα στο συγκεκριμένο τομέα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον θα είχε στο μέλλον η διεξαγωγή έρευνας για εξέταση της σχέσης μεταξύ των απαντήσεων των μαθητών στις δηλώσεις πεποιθήσεων, πεποιθήσεων επάρκειας και προτιμήσεων με την επίδοσή τους σε έργα πολλαπλών αναπαραστάσεων. Αναφορές Ξενόγλωσσες Bandura, A. (1997). Self- efficacy: The exercise of control. New York: Freeman. Chen, P.P. (2003). Exploring the accuracy and predictability of the self- efficacy beliefs of seventh- grade mathematics students. Learning and Individual Differences, 74 92. Diaz-Obando, E., Plasencia-Cruz, I., & Solano-Alvarado, A. (2003). The impact of beliefs in students learning: an investigation with students of two different contexts. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 34 (2), 161 173. Furinghetti, F. & Pehkonen, E. (2002). Rethinking characterization of beliefs. In G.C. Leder, E. Pehkonen, & G. Torner (Eds), Beliefs: A hidden variable in mathematics education? (pp. 39-57). Netherlands: Kluwer Academic Publisher. Goldin, G.A. (1998). Representational systems, learning, and problem solving in mathematics. Journal of Mathematical Behavior, 17(2), 137-165. Goldin, G. A. (2002). Affect, meta-affect, and mathematical belief structures. In G.C. Leder, E. Pehkonen & G. Torner (Eds), Beliefs: A hidden variable in mathematics education? (pp. 59-72). Netherlands: Kluwer Academic Publisher. Gras, R., Peter, P., Briand, H. & Philippe, J. (1997). Implicative statistical analysis. In C. Hayashi, N. Ohsumi, N. Yajima, Y. Tanaka, H. Bock, & Y. Baba (Eds.), Proceedings of the 5 th Conference of the International Federation of Classification Societies (Vol. 2, pp. 412-419). Tokyo, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. Kloosterman, P. (2002). Beliefs about mathematics and mathematics learning in the secondary school: Measurement and implication for motivation. In G. C. Leder, E. Pehkonen, & G. Torner (Eds), Beliefs: A hidden variable in mathematics education? (pp. 95-114). Dordrecht: Kluwer Academic Publisher. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 174

Lerman, I.C. (1981). Classification et analyse ordinale des données. Paris: Dunod. Mason, L. (2003). High school students beliefs about maths, mathematical problem solving and their achievement in maths: A cross sectional study. Educational Psychology, 23 (1), 73-85. McLeod, D.B. (1992). Research on affect in mathematics education : A reconceptualization. In D.A. Grows (Ed.), Handbook of research in mathematics teaching and learning, (pp. 575-596). New York: Macmillan. Ozgun- Koca, S.A. (1998). Students Use of Representations in Mathematics Education. Poster Presentation at the Annual Meeting of the North America Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Raleigh, NC. Retrieved August 18, 2006, from ERIC. Pajares, F. (1992). Teachers beliefs and educational research: Cleaning up a messy construct. Review of Educational Research, 62, 307 332. Pajares, F. (1996a). Self- efficacy beliefs in academic settings. Review of Educational Research, 66 (4), 543-578. Pajares, F. (1996b). Self- efficacy beliefs and mathematical problem solving of gifted students. Contemporary Educational Psychology, 21, 325 344. Pajares, F. & Graham, L. (1999). Self- efficacy, motivation constructs, and mathematics performance of entering middle school students. Contemporary Educational Psychology, 24, 124 139. Papanastasiou, C. (2000). Effects of attitudes and beliefs on mathematics achievement. Studies in Educational Evaluation, 26, 27-42. Patterson, N. & Norwood, K. (2004). A case study of teacher beliefs on students beliefs about multiple representations. International Journal of Science and Mathematics education, 2(1), 5-23. Pehkonen, E. & Pietila, A. (2003). On Relationships between belief and knowledge in mathematics education. In M. A. Mariotti (Ed.), Proceedings of the Third Conference of the European Society for Research in Mathematics Education. Retrieved October 14, 2006, http://www.dm.unipi.it/~didattica/cerme3/proceedings/groups/tg2/tg2_pehkonen_cer me3.pdf Pehkonen, E. (2001). A hidden regulating factor in mathematics classrooms: Mathematicsrelated beliefs. In M. Ahtee, O. Bjockqvist, E. Pehkonen, & V. Vatanen (Eds.), Research on mathematics and science education (pp. 11-35). Institute for Educational Research. University of Jyvaskyla. Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. In A.D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334-370). New York: Macmillan Publishing Company. Thompson, A. (1992). Teachers beliefs and conceptions: A synthesis of the research. In A.D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 127-146). New York: Macmillan Publishing Company. Tschannen- Moran, M., Hoy, A. W., & Hoy W. K. (1998). Teacher efficacy: Its meaning and measure. Review of Educational Research, 68, 202-248. Underhill, R. G. (1988). Mathematics learners beliefs: A review. Focus on Learning Problems in Mathematics, 10 (1), 55 69. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 175

Ελληνόγλωσσες Δεληγιάννη, Ε., Ηλία, Ι. & Παναούρα, Α. (2007). Ικανότητα χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων στα κλάσματα: Η μετάβαση από την πρωτοβάθμια στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Στου Α. Γαγάτση (Επιμ.), Προβλήματα Μάθησης των Μαθηματικών κατά τη Μετάβαση από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο- Εκπαιδευτική Μεταρρύθμιση. Λευκωσία: Πανεπιστήμιο Κύπρου. Φιλίππου, Γ. & Χρίστου, Κ. (2001). Συναισθηματικοί παράγοντες και μάθηση των Μαθηματικών. Αθήνα: Ατραπός. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 176