محیا بهلولی پاییز 93 1
Introduction در فصل های قبلی نقشه های زمین را به طور ضمنی بدون برجستگی در نظر گرفتیم. واقعیت این گونه نیست. 2
Introduction :Terrain یک سطح دوبعدی در فضای سه بعدی با یک ویژگی خاص اگر خط عمودی با آن برخورد داشته باشد این برخورد تنها در یک نقطه است. گرافی از یک تابع به شکل زیر است: f: R 2 R f p مقدار ارتفاع در نقطه یp در دامنه ی A را مشخص می کند. 3
Introduction ارتفاع همه نقاط دامنه terrain را نمیدانیم فقط در مجموعه نقاطP در واقع مقدار تابع f در یک مجموعهی متناهیP را میدانیم. مشخص است. هدف: تخمین terrain یک راه ساده: به هر pϵa ارتفاع نزدیکترین نقطه نمونه را نسبت میدهیم. 4
Introduction یک مثلثبندی ازP تعیین میکنیم. یک subdivision مسطح با وجههای مثلثی که رئوس آنها نقاط P هستند. فرض میکنیم نقاط نمونه طوری هستند که میتوانیم با مثلثها دامنه terrain نقاط نمونه را تا ارتفاع آنها باال میبریم. هر مثلث در مثلثبندی را به یک مثلث در فضای سه بعدی نگاشت میکنیم. را پوشش دهیم. یک terrain چند وجهی 5
Introduction نقاط نمونه را چگونه مثلث بندی کنیم کدام مثلث بندی تخمین بهتری از terrain می دهد. به غیر از ارتفاع برخی از نقاط اطالعات دیگری نداریم همه ی مثلث بندی به نظر خوب می رسند. 6
Introduction برخی از مثلث بندی ها به واقعیت نزدیک ترند. باید یک معیار برای تشخیص این که کدام مثلث بندی بهتر است داشته باشیم. به نظر می رسد یک مثلث بندی با زاویه های کوچک مناسب نباشد. 7
Trianguations of Panar Point Sets مثلثبندیها را بر اساس کوچکترین زاویهشان رتبهبندی میکنیم. اگر کوچکترین زاویه دو مثلثبندی یکسان باشد آنگاه دومین کوچکترین زاویه را در نظر میگیریم و به همین ترتیب... تعداد محدودی مثلث بندی مختلف از نقاطP وجود دارد از این رو یک مثلث بندی بهینه وجود دارد. هدف : پیدا کردن مثلثبندی با این ویژگی که کوچکترین زاویهاش از کوچکترین زاویهی بزرگتر باشد. همه ی مثلث بندی ها 8
Trianguations of Panar Point Sets فرض کنید زیر تقسیم مسطح از بین ببرد. P = p 1,p 2,,p n :maxima هر پاره خط که دو نقطهی متوالی روی مرز غشای محدب T است. P مجموعهای از نقاط در صفحه باشند. زیر تقسیم S طوریکه اضافه کردن هر یال به S خاصیت مسطح بودن آنرا را به هم وصل می کند یک یال از مثلث بندی 9
Trianguations of Panar Point Sets تعداد مثلثها و یالها در همهی مثلثبندیهایP مقدار ثابتی است. قضیه 9.1: فرض کنید P مجموعه ای از نقاط در صفحه باشد که در یک خط قرار نگرفتهاند. k تعداد نقاطی باشد که روی مرز convex hu این مجموعه نقاط قرار دارند. برای هر مثلثبندی 2n-2-k مثلث و -3-3n k یال خواهد داشت. اثبات: فرض کنید T یک مثلثبندی از P و m تعداد مثلثهای T باشد. تعداد وجههای مثلثبندی 1+m هر مثلث 3 یال دارد وجه نامحدود k تا یال دارد. هر یال دقیقا با دو وجه در ارتباط است. بنابراین تعداد کل یالهای T فرمول اویلر: = 2 f m = 2n 2 k n n e +n n e : = 3m + k /2 : و n e = 3n 3 k 10
Boundary conditions for vector probems P از مجموعهی T مثلث مثلثبندی m توالی زاویههای α 1,α 2,,α 3m به طوری که: α i α j برای.i < j کوچکترین زاویه T است. A T α 1,α 2,,α 3m را بردار زاویه T مینامیم. T A را بردار زاویه T مینامیم. است. α 1,α 2,,α 3m α 1 A T بردار زاویه T از بردار زاویه T بزرگتر است اگر و تنها اگر باشد. اگر یک اندیس i i 3m 1 وجود داشته باشد به طوری که: به ترتیب لغت نامه ای از بزرگ تر A T α j = α j for a j < i and α i > α i 11
Trianguations of Panar Point Sets آن گاه مثلث بندی T A T A T اگر برای همهی مثلثبندیهای T از P نامیده میشود. باشیم داشته بهینه زاویه ای بهترین مثلث بندی مثلث بندی است که بزرگ ترین بردار زاویه را داشته باشد یعنی بهینه زاویه ای باشد. 12
Trianguations of Panar Point Sets دو مثلث مجاور در T را در نظر بگیرید: اگر دو مثلث یک چندضلعی محدب را تشکیل دهند میتوانیم با یک edge fip آنها یک مثلثبندی دیگر داشته باشیم. روی یال مشترک 13
Trianguations of Panar Point Sets یک یال غیر مجاز است اگر: min α i < min α i 1 i 6 به عبارت دیگر یک یال غیر مجاز است اگر با fip کردن آن یال اندازهی کوچکترین زاویه افزایش یابد. 14
Boundary conditions for vector probems مثلث بندی به دست آمده از T fip بعد از مشاهده 9.3: فرض کنید T مثلثبندی با یال غیرمجاز e باشد و T کردن یال e باشد. آنگاه T A T < A 15
Trianguations of Panar Point Sets قضیه تالس: s و r q p فرض کنید C یک دایره باشد خطی که با دایره درنقاط,a b در یک سمت خط واقع شدهاند در این صورت: برخورد می کند و نقاطی هستند که 16
Trianguations of Panar Point Sets p j لم :9.4 فرض کنید یال p i p j همجوار با مثلثهای p i p j p k و p i p j p و دایرهی C محاط بر p i و p k باشد.یال p i p j غیرمجاز است اگر و فقط اگر p داخل C قرار بگیرد. عالوه بر این اگر نقاط p p j p i و p k تشکیل یک چهارگوش convex دهند و روی یک دایرهی مشترک قرار نگیرند آنگاه دقیقا یکی از یالهای p i p j یا یک یال غیرمجاز است. p k p 17
Trianguations of Panar Point Sets مثلث بندی مجاز: مثلث بندی که هیچ یال غیر مجازی نداشته باشد. از مشاهده 9.3 نتیجه می شود هر مثلث بندی بهینه زاویه ای یک مثلث بندی مجاز است. fip محاسبهی یک مثلثبندی مجاز: یک مثلثبندی اولیه به دست میآوریم تمام یالهای غیر مجاز آنرا شوند. می کنیم تا همه ی یال ها مجاز 18
Trianguations of Panar Point Sets با توجه به مشاهده بردار زاویه T در هر تکرار حلقه افزایش می یابد. 9.3 چون تعداد محدودی مثلث بندی از P وجود دارد الگوریتم اتمام خواهد یافت. نتیجه ی الگوریتم یک مثلث بندی مجاز است. Agorithm LegaTrianguation(T) Input. A trianguation T of a point set P. Output. A ega trianguation of P. 1. whie T contains an iega edge pipj 2. do ( Fip pipj ) 3. Let pipjpk and pipjp be the two trianges adjacent to pipj. 4. Remove pipj from T, and add pkp instead. 5. return T 19
The Deaunay Trianguation فرض کنید P مجموعه ای از n نقطه در صفحه است. ورونوی دیاگرام Vor P زیر تقسیمی از صفحه به سلول های ورونوی V P همه ی pεp برای فرض کنید Gگراف دوگان Vor P گراف دلونی( DG(P یک گراف مسطح است. 20
The Deaunay Trianguation فرض کنید P مجموعه ای از n نقطه در صفحه است. ورونوی دیاگرام Vor P زیر تقسیمی از صفحه به سلول های ورونوی V P همه ی pεp برای فرض کنید Gگراف دوگان Vor P گراف دلونی( DG(P یک گراف مسطح است. 21
The Deaunay Trianguation فرض کنید P مجموعه ای از n نقطه در صفحه است. ورونوی دیاگرام Vor P زیر تقسیمی از صفحه به سلول های ورونوی V P همه ی pεp برای فرض کنید Gگراف دوگان Vor P گراف دلونی( DG(P یک گراف مسطح است. 22
The Deaunay Trianguation فرض کنید P مجموعه ای از n نقطه در صفحه است. ورونوی دیاگرام Vor P زیر تقسیمی از صفحه به سلول های ورونوی V P همه ی pεp برای فرض کنید Gگراف دوگان Vor P گراف دلونی( DG(P یک گراف مسطح است. 23
The Deaunay Trianguation : قضیه 9.5 گراف دلونی یک مجموعه نقاط در صفحه یک گراف مسطح است. با استفاده از ویژگی دایره خالی ورونوی دیاگرام اثبات می کنیم. 24
The Deaunay Trianguation : قضیه 9.5 گراف دلونی یک مجموعه نقاط در صفحه یک گراف مسطح است. با استفاده از ویژگی دایره خالی ورونوی دیاگرام اثبات می کنیم. 25
The Deaunay Trianguation گراف دلونی برای هر رأس Vor P یک وجه دارد. اگر یک رأس v از Vor P یک رأس از سلولهای ورونوی برای سایتهای p 1,p 2,,p k رأسهای وجه متناظر f در DG(P) خواهند بود. از قضیه 7.4: i در این شرایط p 1 p, 2, p, k روی یک دایره به مرکز v قرار میگیرند. کی f k gon و محدب است. p 1,p 2,,p k باشد آن گاه 26
The Deaunay Trianguation اگر هیچ 4 :Genera Position نقطه ای روی یک دایره قرار نگیرند. اگر مجموعه نقاط P Genera Position باشند آنگاه همهی رئوس ورونوی دیاگرام از درجهی 3 هستند. در نتیجه همهی وجههای( DG(P مثلث هستند. 27
The Deaunay Trianguation The Deaunay Trianguation قضیه 9.6: فرض کنید P مجموعهای از نقاط در صفحه باشد I. سه نقطهی εp p i, p j p, k رئوسی از یک وجه یکسان از گراف دلونی P هستند اگر و فقط اگر دایرهی گذرنده از این سه نقطه هیچ نقطهای از P در داخلش نباشد..II دو نقطه εp p i p, j از یالی از گراف دلونی P هستند اگر و فقط اگر دایره خالی وجود داشته باشد که از هر دو نقطه بگذرد. p k p i p j 28
The Deaunay Trianguation The Deaunay Trianguation قضیه 9.6: فرض کنید P مجموعهای از نقاط در صفحه باشد I. سه نقطهی εp p i, p j p, k رئوسی از یک وجه یکسان از گراف دلونی P هستند اگر و فقط اگر دایرهی گذرنده از این سه نقطه هیچ نقطهای از P در داخلش نباشد..II دو نقطه εp p i p, j از یالی از گراف دلونی P هستند اگر و فقط اگر دایره خالی وجود داشته باشد که از هر دو نقطه بگذرد. p k p i p j 29
The Deaunay Trianguation The Deaunay Trianguation قضیه 9.6: فرض کنید P مجموعهای از نقاط در صفحه باشد I. سه نقطهی εp p i, p j p, k رئوسی از یک وجه یکسان از گراف دلونی P هستند اگر و فقط اگر دایرهی گذرنده از این سه نقطه هیچ نقطهای از P در داخلش نباشد..II دو نقطه εp p i p, j از یالی از گراف دلونی P هستند اگر و فقط اگر دایره خالی وجود داشته باشد که از هر دو نقطه بگذرد. p k p i p j 30
The Deaunay Trianguation The Deaunay Trianguation قضیه 9.6: فرض کنید P مجموعهای از نقاط در صفحه باشد I. سه نقطهی εp p i, p j p, k رئوسی از یک وجه یکسان از گراف دلونی P هستند اگر و فقط اگر دایرهی گذرنده از این سه نقطه هیچ نقطهای از P در داخلش نباشد..II دو نقطه εp p i p, j از یالی از گراف دلونی P هستند اگر و فقط اگر دایره خالی وجود داشته باشد که از هر دو نقطه بگذرد. p k p i p j 31
The Deaunay Trianguation The Deaunay Trianguation : فرض کنید P مجموعهای از نقاط در صفحه و T یک مثلثبندی از P باشد. T یک مثلثبندی است اگر و تنها اگر داخل دایرهی محیطی هر مثلث نقطهای از P وجود نداشته باشد. قضیه 9.7 دلونی از P p k p i p j 32
The Deaunay Trianguation The Deaunay Trianguation قضیه : 9.8 فرض کنید P مجموعهای از نقاط در صفحه و T مجاز است اگر و تنها اگر یک مثلثبندی دلونی از P باشد. یک مثلث بندی از P باشد. T یک مثلث بندی 33
The Deaunay Trianguation قضیه 9.8 بر این داللت میکند که هر مثلثبندی بهینهزاویهای یک مثلثبندی دلونی است. دلیل که هر مثلثبندی بهینهزاویهای مجاز است. به این زمانیکه P در Position Genera است فقط یک مثلثبندی مجاز وجود دارد که بهینهزاویهای است یعنی مثلثبندی دلونی منحصربفرد است. 34
The Deaunay Trianguation قضیه 9.9: فرض کنید مجموعهای از نقاط در صفحه باشد هر مثلثبندی بهینهزاویهای از یک مثلثبندی دلونی از است. عالوه بر این هر مثلثبندی دلونی از بزرگترین کوچکترین زاویه را بین همهی مثلثبندیها دارد. چون مثلث بندی دلونی مجاز است و هر مثلث بندی مجاز بهینه زاویه ای است پس مثلث بندی دلونی بهینه زاویه ای است. هر مثلث بندی که بهینه زاویه ای است مجاز است. طبق قضیه قبل این مثلث بندی دلونی است. 35