3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 28 Άρθρο 295 Σεισμική Συμπεριφορά Τοίχων Ωπλισμένης Γής: Αριθμητική Ανάλυση Πειράματος Φυγοκέντρισης Seismic Behaviour of Reinforced Soil Retaining Wall: Numerical Simulation of a Centrifuge Test Μαργαρίτα ΚΑΡΑΚΙΤΣΟΥ 1, Νίκος ΓΕΡΟΛΥΜΟΣ 2, Γιώργος ΓΚΑΖΕΤΑΣ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Οι τοίχοι αντιστηρίξεως ωπλισμένης γής κερδίζουν συνεχώς έδαφος έναντι των συμβατικών τοίχων βαρύτητας. Οι λόγοι είναι αρκετοί: Εναρμόνιση με το φυσικό περιβάλλον, χαμηλό κόστος, πιό πλάστιμη συμπεριφορά, ενδείξεις από ιστορικά περιστατικά για μειωμένη σεισμική τρωτότητα. Το άρθρο μελετά την σεισμική συμπεριφορά τοίχων ωπλισμένης γης με αριθμητική ανάλυση ενός καλώς τεκμηριωμένου πειράματος φυγοκεντρικής δοκιμής που εκτελέσθηκε στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, Davis: Δύο τοίχοι ύψους Η=7.3m (σε διαστάσεις πρωτοτύπου) με μεταλλικό πλέγμα μήκους ίσου με το 6% και 7% του ύψους, στον έναν και στον άλλο τοίχο αντιστοίχως, τοποθετημένο ανά.6 m. Διερευνάται παραμετρικά ο ρόλος (α) των παραμέτρων αντοχής και παραμορφωσιμότητας του εδάφους, (β) των συνθηκών διεπιφάνειας οπλισμού εδάφους, και (γ) της σεισμικής διέγερσης. Οι αναλύσεις αναπαράγουν ικανοποιητικά την μετρηθείσα συμπεριφορά. Καταδεικνύεται η ικανότητα των τοίχων ωπλισμένης γής για ανάληψη μεγάλης μετακίνησης χωρίς να καταργείται η λειτουργικότητά τους. ABSTRACT: Reinforced soil retaining walls gain continuously ground against conventional gravity walls in engineering practice. Among the main reasons: technical superiority, cost effectiveness, increased tolerance of differential displacements, high resistance to earthquake loading. In this paper, the seismic response of reinforced soil retaining wall through is investigated through analysis of a well documented centrifuge experiment, conducted at the University of Davis. Two walls of H = 7.3 m height (in prototype dimensions) reinforced by metal grids of L = 6% H and 7% H length, respectively, spaced at intervals of.6 m. The role of key parameters such as: (a) soil strength and compliance, (b) interface conditions for soil reinforcement, and (d) seismic excitation. The computed response compare well with the measurements. It is shown that reinforced soil walls are capable of undergoing large deformations without loosing their service function. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ιδέα της ωπλισμένης γης δεν είναι νέα. Συναντάται στην κατασκευή των ziggurats που βρέθηκαν στην Μεσοποταμία και υπολογίζεται ότι έχουν κατασκευαστεί πριν 3 περίπου 1 Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ 2 Λέκτορας, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, email: gerolymos@gmail.com 3 Καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, email: gazetas@ath.forthnet.gr
χρόνια. Πρόκειται για βαθμωτούς πύργους σε σχήμα πυραμίδας, που για την σταθεροποίηση των πλευρών τους χρησιμοποιήθηκαν αντηρίδες από πηλό. Επιπλέον, όπλιση με καλάμια χρησιμοποιήθηκε και σε αναχώματα που κατασκεύασαν οι Ρωμαίοι κατά μήκος του Τίβερη ποταμού. (Bonaparte et al, 1987). O Γάλλος πολιτικός μηχανικός Henry Vidal το 1966 (Vidal,1966) ανέπτυξε μεθοδολογία για το σχεδιασμό ωπλισμένης γης με μεταλλικές ράβδους. Ο πρώτος τέτοιου είδους τοίχος κατασκευάστηκε στις Ηνωμένες πολιτείες Αμερικής το 1972 (Mitchell and Cristopher,199). Στην Ελλάδα, τοίχοι αντιστήριξης ωπλισμένης γης κατασκευάστηκαν σε μεγάλον αριθμό στην Εγνατία οδό (Σχήμα 1). Στην ωπλισμένη γή το έδαφος ενισχύεται από στοιχεία ικανά να παραλάβουν εφελκυσμό (Σχήμα 2). Η όπλιση είναι είτε από μεταλλικά υλικά, όπως μεταλλικές λωρίδες, ράβδοι και πλέγματα, είτε από γεωσυνθετικά υλικά. Η δεύτερη κατηγορία διαιρείται σε άλλες δύο: την μικρο-όπλιση και την μακρο-όπλιση. Η πρώτη κατηγορία συνίσταται στην ανάμειξη με το έδαφος πολυμερών μικροστοιχείων, σε τυχαίες διευθύνσεις, όπως ίνες, υφάσματα, νήματα και μικροπλέγματα (non-woven geotextiles). Αντίθετα, όταν τα συνθετικά αυτά μικροστοιχεία ενώνονται είτε με θερμοκόλληση είτε με ύφανση, ανήκουν στην δεύτερη κατηγορία (woven geotextiles). Για μικρές επιβαλλόμενες τάσεις η μικρο-όπλιση παρουσιάζει καλύτερη συμπεριφορά από την μακρο-όπλιση, ενώ για μεγάλες τάσεις η εικόνα αυτή αντιστρέφεται (Ashmawy et al,1999). Η χρήση τοίχων αντιστήριξης ωπλισμένης γης κερδίζει συνεχώς έδαφος έναντι των συμβατικών τοίχων. Αυτό οφείλεται σε ορισμένα πλεονεκτήματα που παρουσιάζουν. Πράγματι, η κατασκευή τους είναι σχετικά γρήγορη κι εύκολη. Δεν απαιτείται πλούσιος εξοπλισμός, ωστόσο απαιτείται ειδικευμένο προσωπικό για την κατασκευή τους. Χαρακτηρίζονται δε από ιδιαίτερα χαμηλό κόστος σε σύγκριση με τους συμβατικούς τοίχους, το οποίο μειώνεται ακόμα περισσότερο αν συνυπολογιστεί ότι λόγω της πλάστιμης συμπεριφοράς τους δεν απαιτείται άκαμπτη θεμελίωση (Koerner et al,1998). Σχήμα 1. Τοίχος αντιστήριξης από ωπλισμένη γη στα στόμια της σήραγγας Αγίου Νικολάου στην Εγνατία Οδό. 2
Σχήμα 2. Κατασκευή τοίχου αντιστήριξης από ωπλισμένη γη Η συνήθης πρακτική στην διαστασιολόγηση των τοίχων αντιστήριξης από ωπλισμένη γη, συνίσταται σε έλεγχο της εξωτερικής καί της εσωτερικής τους ευστάθειας. Για τον έλεγχο της εξωτερικής ευστάθειας η ωπλισμένη ζώνη θεωρείται ως ένα συμπαγές ομοιογενές υλικό. Η ευστάθεια ελέγχεται με μεθόδους οριακής ισορροπίας, αντίστοιχες με αυτές που εφαρμόζονται στους τοίχους βαρύτητας. Μοναδική διαφορά, ο έλεγχος σε εξόλκευση των οπλισμών. Η δυναμική ανάλυση των τοίχων αντιστήριξης ωπλισμένης γης συνεχίζει να αποτελεί αντικείμενο έρευνας μέχρι σήμερα. Σύμφωνα με την συνήθη πρακτική, αυτού του είδους οι τοίχοι ελέγχονται δυναμικά με ψευδοστατικές μεθόδους, όπως η μέθοδος Mononobe-Okabe (1929), ως να ήταν τοίχοι βαρύτητας. Γίνεται εύκολα αντιληπτό, ότι οι προαναφερθείσες μέθοδοι μόνο χονδροειδώς μπορούν να προσεγγίσουν την τρωτότητα των τοίχων ωπλισμένης γης σε σεισμική φόρτιση. Για την διερεύνηση της σεισμικής συμπεριφοράς των τοίχων αντιστήριξης ωπλισμένης γης, αναλύεται με πεπερασμένα στοιχεία ένα καλώς τεκμηριωμένο πείραμα φυγοκεντρικής δοκιμής που εκτελέσθηκε στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, Davis (Siddharthan et al, 24). Στο πείραμα δύο τοίχοι οπλισμένοι με μεταλλικό πλέγμα εδάφους, ύψους Η=7,3m, τοποθετημένοι πλάτη με πλάτη, υπεβλήθησαν σε ημιτονοειδή διέγερση 25 κύκλων φόρτισης και μέγιστης επιτάχυνσης,52g, στην βάση του προσομοιώματος. Οι οπλισμοί και στους δύο τοίχους είχαν σταθερό μήκος L με το ύψος, ίσο με,6h καί,7h, στον αριστερά και δεξιά τοίχο αντιστοίχως. Το αντιστηριζόμενο υλικό ήταν άμμος Nevada sand με σχετική πυκνότητα 65 %. Το άρθρο μελετά την σεισμική συμπεριφορά τοίχων ωπλισμένης γης με αριθμητική ανάλυση ενός καλώς τεκμηριωμένου πειράματος φυγοκεντρικής δοκιμής. Διερευνάται δε παραμετρικά 3
ο ρόλος (α) των παραμέτρων αντοχής και παραμορφωσιμότητας του εδάφους, (β) των συνθηκών διεπιφάνειας οπλισμού εδάφους, και (γ) της σεισμικής διέγερσης. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΠΕΡΙΣΤΑΤΙΚΑ Οι γνώσεις μας για την σεισμική συμπεριφορά τοίχων αντιστήριξης ωπλισμένης γης, οφείλονται κατά ένα μεγάλο ποσοστό σε επαρκώς τεκμηριωμένα ιστορικά περιστατικά. Στις αρχές της δεκαετίας του 198 κατασκευάστηκαν 14 τοίχοι αντιστήριξης ωπλισμένης γης κατά μήκος μεγάλου λεωφορειόδρομου στο ανατολικό Τενεσί. (Lee et al., 21) Ένας τοίχος κατέρρευσε κατά την διάρκεια της κατασκευής κι ένας άλλος 8 μήνες μετά την ολοκλήρωση του. Και στους δύο τοίχους που κατέρρευσαν η αστοχία εκδηλώθηκε αρχικά περίπου στο 1/4 με 1/3 του ύψους από την βάση του τοίχου. Αποδόθηκε δε στην παράλειψη εξέτασης της πιθανότητας ολικής αστοχίας του τοίχου. Οι υπόλοιποι παρουσίασαν αρκετά μεγάλες παραμορφώσεις, μολονότι δεν αστόχησαν. Aντιστήριζαν δε μεγάλα επιχώματα ύψους της τάξεως των 15 m εώς 2 m. Στον σεισμό Hyogoken-Nambu (Kobe) το 1995 (Μ s = 7.2), σχεδόν όλων των ειδών οι τοίχοι δοκιμάστηκαν. Τοίχος αντιστήριξης από ωπλισμένη γη, ύψους 6m, συμπεριφέρθηκε ικανοποιητικά, όντας υποβαλλόμενος σε επιταχύνσεις μεγαλύτερες από,8g (Tatsuoka et al, 1996). Οι καταγραφείσες μετακινήσεις ήταν σχετικά μικρές για τόσο ισχυρή σεισμική φόρτιση: 26cm στην κορυφή του τοίχου και 5cm σχετική μετακίνηση ως προς το αντιστηριζόμενο έδαφος στην βάση του τοίχου. Στον σεισμό του 1999 στο Chi-Chi (Taiwan), μεγέθους 7,6, οι τοίχοι ωπλισμένης γης συμπεριφέρθηκαν εξίσου καλά (Lee et al, 21). Σε αντίθεση με τα περιστατικά στο Kobe, στην Taiwan οι τοίχοι είχαν εύκαμπτη επένδυση. Στις περιπτώσεις όπου η κατακόρυφη απόσταση των οπλισμών ήταν ανεπαρκής, δημιουργήθηκε αστοχία σε φέρουσα ικανότητα στην βάση του τοίχου. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η αντιστήριξη πρανούς στο Chung New Village, ύψους 35m, αποτελούμενο από 6 τοίχους ωπλισμένης γης. Ενώ κατά μήκος του οδοστρώματος κ οι παραμορφώσεις του πρανούς ήταν μεγάλες, η επαρκής απόσταση των οπλισμών κατά την κατακόρυφη διεύθυνση (5cm) είχε καθοριστική συμβολή στην συγκράτηση της εδαφικής μάζας. Στον σεισμό του 1999 στο Kocaeli (Taiwan), μεγέθους 7.5, οι δύο δίδυμοι τοίχοι ωπλισμένης γης, ύψους 1m, δεν επέδειξαν ιδιαίτερες παραμορφώσεις παρόλο που βρίσκονταν κοντά στο ρήγμα της Ανατόλιας, δίπλα στην λίμνη Sapanca. Στον σεισμό του 1994 στο Northridge (Μ s = 6.8), παρά τις μεγάλες επιταχύνσεις που δέχθηκαν οι τοίχοι, επέδειξαν ικανοποιητική συμπεριφορά. Στον τοίχο Valencia μετρήθηκαν επιταχύνσεις της τάξης των,6g,αλλά πέρα από ρωγμές μεσαίου μεγέθους δεν αναπτύχθηκαν σημαντικές παραμορφώσεις. Λεπτομερής απογραφή της συμπεριφοράς όλων των ειδών τοίχου αντιστήριξης, μετά τον σεισμό της Niigata Ken Chuetsu (24) στην Ιαπωνία, αποκάλυψε ότι οι τοίχοι από 4
ωπλισμένη γή ήταν η μοναδική κατηγορία τοίχων αντιστήριξης για την οποία δεν παρατηρήθηκε καμία αστοχία (Koseki et al, 26). Περιγραφή του Πειράματος ΠΕΙΡΑΜΑ ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΙΣΗΣ Στο Πανεπιστήμιο του Davis (Καλιφόρνια) μια σειρά από τρία προσομοιώματα δοκιμάστηκαν στον φυγοκεντριστή Ν = 24g (Siddharthan et al, 24). Καθένα από αυτά περιλαμβάνουν δύο τοίχους τοποθετημένους πλάτη με πλάτη. Επιλέχθηκε για ανάλυση το προσομοίωμα MSE-2 για το οποίο παρέχονται οι περισσότερες μετρήσεις. Σκαριφηματική απεικόνιση της διάταξης του εν-λόγω πειράματος δίνεται στα Σχήματα 3 και 4. Tο ύψος κάθε τοίχου είναι Η = 7.3 m (σε κλίμακα πρωτοτύπου), ενώ η μεταξύ τους απόσταση 26.8 m. Οι τοίχοι οπλίστηκαν με χαλύβδινο πλέγμα. Η κατακόρυφη απόσταση των οπλισμών διαμέτρου 9.5 mm, είναι ίση με S =,61m. Στο επίπεδο του πλέγματος, κατά την διαμήκη διεύθυνση, οι ράβδοι απέχουν,61 m. Στην δε εγκάρσια διεύθυνση η απόστασή τους είναι 152 mm (Howard et al, 1997,1998). Σχήμα 3. Η διάταξη του πειράματος Σχήμα 4. Σκαριφηματική απεικόνιση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της διάταξης του πειράματος 5
.6 α (g).4.2 event I -.2 -.4 -.6 t (s) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 3 2.5 2 PSA (g) 1.5 1.5 T (s).5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Σχήμα 5. Η χρονοιστορία της επιτάχυνσης που χρησιμοποιήθηκε ως σεισμική διέγερση στην βάση του προσομοιώματος, και το ελαστικό φάσμα απόκρισής της Ο τοίχος επικάλυψης είναι από αλουμίνιο διαμέτρου 4,76 mm. Οι οπλισμοί και στους δύο τοίχους έχουν ομοιόμορφο μήκος καθ ύψος, και ίσο με L =,6 H καί L =,7 H στον αριστερό και δεξιό τοίχο αντιστοίχως (Wall 3 & 4). Επισημαίνεται, ότι τόσο στην βιβλιογραφία όσο καί από πειραματικά αποτελέσματα, συνάγεται ότι το βέλτιστο μήκος οπλισμού για τοίχους αντιστήριξης ωπλισμένης γης είναι L =,7H. Άρα ο αριστερός τοίχος θεωρείται ως ανεπαρκώς ωπλισμένος σε αντίθεση με τον δεξιό. Το αντιστηριζόμενο έδαφος είναι ξηρό και κοκκώδες. Πρόκειται για άμμο τύπου Nevada sand. Οι ιδιότητες της έχουν μελετηθεί και τυποποιηθεί (Arulmoli et al, 1992). Στο συγκεκριμένο πείραμα επιδιώχθηκε σχετική πυκνότητα άμμου ίση με 65 %. Το προσομοίωμα υποβλήθηκε σε μια σειρά ισχυρών εξαιτήσεων. Το άρθρο εστιάζει στην μελέτη της απόκρισης των 2 τοίχων για μία διέγερση συνημιτονοειδούς μορφής, μέγιστης επιτάχυνσης,51g και 25 κύκλων φόρτισης (Σχήμα 5). 6
Σχήμα 6. Μετρηθείσες χρονοιστορίες μετακινήσεων σε χαρακτηριστικά σημεία των μετώπων των δύο τοίχων Αποτελέσματα του Πειράματος Παρά τις ισχυρές διεγέρσεις στις οποίες υπεβλήθησαν, κανένας από τους δύο τοίχους αντιστήριξης δεν αστόχησε. Σε κάθε περίπτωση, οι τοίχοι εμφάνιζαν μετατοπίσεις αυξανόμενες με τους κύκλους φόρτισης. Καθ ύψος του τοίχου, οι μετατοπίσεις δεν ήταν σταθερές κι εμφάνιζαν μέγιστο στη μέση του τοίχου. Ειδικότερα, για το προσομοίωμα (MSE-2) που επιλέχθηκε να μελετηθεί στην παρούσα εργασία, τα αποτελέσματα του πειράματος παρουσιάζονται στα Σχήματα 6-7. Το Σχήμα 6 δείχνει ότι σε κάθε χρονική στιγμή η οριζόντια μετακίνηση των δύο τοίχων συνθέτεται από μία παραμένουσα και μία ανακυκλική συνιστώσα. Παρατηρείστε ότι οι ανακυκλικές συνιστώσες της μετακίνησης των δύο τοίχων, έχουν αντίθετο πρόσημο. Η παραμένουσα μετακίνηση (μετά το τέλος της φόρτισης), μετρήθηκε σε 12.5 cm και σε 6.5 cm για τον αριστερό (ανεπαρκώς ωπλισμένο) και τον δεξιό (επαρκώς ωπλισμένο) τοίχο, αντίστοιχα. Η διαφορά αυτή στις μετακινήσεις αντανακλά την σημαντική επιρροή του μήκους αγκύρωσης των οπλισμών στην σεισμική απόκριση του τοίχου αντιστήριξης. 7
Στο Σχήμα 7 απεικονίζονται οι χρονοιστορίες: α) της επιτάχυνσης εντός της ωπλισμένης ζώνης, λίγο πιό πάνω από την μέση του τοίχου 3 (ACC 15), β) ης επιτάχυνσης εντός της ωπλισμένης ζώνης, λίγο πιό κάτω από την μέση του τοίχου 3 (ACC 7), γ) της επιτάχυνσης στην μέση του προσομοιώματος και πλησίον της επιφάνειας (ACC 21), καί δ) της επιτάχυνσης στην βάση. Παρατηρείται ότι μέσα στην ωπλισμένη ζώνη, στο πάνω μέρος του τοίχου υπάρχει ένα ψαλίδισμα των επιταχύνσεων. Το ψαλίδισμα αυτό αυτή είναι χαρακτηριστικό της ολίσθησης στην διεπιφάνεια οπλισμών-εδάφους. Oι επιταχυνσιογράφοι ACC 21 και ACC 7, δεν κατέγραψαν τέτοια συμπεριφορά. Επισημαίνεται ότι κατά τον πρώτο κύκλο της ισχυρής φόρτισης, παρατηρήθηκε σχετική μετακίνηση των επιταχυνσιογράφων ως προς το έδαφος (Siddharthan et al, 24). Σχήμα 7. Μετρηθείσες χρονοιστορίες επιταχύνσεων σε χαρακτηριστικά σημεία του προσομοιώματος 8
Σχήμα 8. Το προσομοίωμα με πεπερασμένα στοιχεία Το προσομοίωμα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Αναπτύχθηκε προσομοίωμα πεπερασμένων στοιχείων με τον κώδικα ABAQUS (Σχήμα 8). Η συμπεριφορά του εδάφους περιγράφεται από το κριτήριο διαρροής Mohr Coulomb με ισοτροπικό νόμο κράτυνσης και μή συσχετισμένο νόμο πλαστικής ροής. Η δε κατανομή του μέτρου διατμήσεως με το βάθος υπολογίστηκε από την εμπειρική σχέση (Arulanandan και Scott, 1993) : n ( a e) 2 G = G p = A p 1+ e όπου e ο δείκτης πόρων, p η μέση ενεργός τάση σε kpa, και G το μέτρο διάτμησης σε kpa. Οι σταθερές n και a της παραπάνω σχέσης είναι ίσες με n =,5 και a = 1,935. Για τον υπολογισμό του μέγιστου μέτρου διατμήσεως, στις πολύ μικρές παραμορφώσεις (της τάξεως του 1-6 ), η σταθερά A λαμβάνεται ίση προς 88. Επειδή ο ισοτροπικός νόμος κράτυνσης δεν αποδίδει ικανοποιητικά την υστερητική απόσβεση αλλά ούτε και το εφαπτομενικό μέτρο διατμήσεως κατά την αποφόρτιση. Για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος ακολουθήθηκε η εξής μεθοδολογία. Η κατανομή του αρχικού μέτρου διατμήσεως από την σχέση (1) χρησιμοποιήθηκε σε ισοδύναμες γραμμικές αναλύσεις με των κώδικα SHAKE. Τα συμβιβαστά με την παραμόρφωση τέμνων μέτρο διατμήσεως και λόγος υστερητικής απόσβεσης από την τελευταία επανάληψη της ανάλυσεως (1) n 9
με το SHAKE, χρησιμοποιήθηκαν στην ανάλυση με πεπερασμένα στοιχεία. Ο λόγος υστερητικής απόσβεσης προσεγγίσθηκε από ισοδύναμη απόσβεση τύπου Rayleigh. Η διεπιφάνειας οπλισμού εδάφους προσομοιώθηκε με μία στρώση στοιχείων πολύ μικρού πάχους εκατέρωθεν του οπλισμού (Σχήμα 8), με μέτρο ελαστικότητας μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερο από αυτό του περιβάλλοντος εδάφους. Η συμπεριφορά των εν-λόγω στοιχείων περιγράφεται από κριτήριο αστοχίας τύπου Von Mises με κινηματικό νόμο κράτυνσης και συσχετισμένο νόμο πλαστικής ροής. Το εν-λόγω προσομοίωμα ανήκει στην ευρύτερη κατηγορία των Bounding surface models. Οι παράμετροι του προσομοιώματος βαθμονομήθηκαν κατάλληλα ώστε ο συντελεστής τριβής μ στην διεπιφάνεια οπλισμούεδάφους να είναι ο επιθυμητός (Gerolymos et al, 25). Επισημαίνεται ότι ο συντελεστής τριβής στην διεπιφάνεια χάλυβα-οπλισμού αντιστοιχεί όχι μόνον στην συνάφεια του οπλισμού, αλλά και στην παθητική αντίσταση του εδάφους στα εγκάρσια στοιχεία του μεταλλικού πλέγματος. Πρόκειται λοιπόν για έναν ισοδύναμο ανηγμένο ανά μέτρο πλάτους του προσομοιώματος συντελεστή τριβής..6.4.2 -.2 -.4 -.6.6.4.2 -.2 -.4 -.6 a (g) ACC 21 1 2 3 4 t (s) 5 a (g) ACC 15 1 2 3 4 t (s) 5.6.4 a (g) ACC 7.2 -.2 -.4 -.6 1 2 3 4 t (s) 5 Σχήμα 9. Σύγκριση μετρηθεισών και υπολογισθεισών χρονοιστοριών της επιτάχυνσης 1
Disp 34 Disp 37 Disp34+Disp37 d (mm) -2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 t (s) Σχήμα 1. Σύγκριση μετρηθεισών και υπολογισθεισών χρονοιστοριών της μετακίνησης στους δύο τοίχους ωπλισμένης γης, για το Σενάριο Α: Σχετική ολίσθηση στις διεπιφάνειες οπλισμών εδάφους Αποτελέσματα Αναλύσεων Πραγματοποιήθηκαν αναλύσεις για διάφορες τιμές των παραμέτρων του προσομοιώματος. Οι τιμές για τις οποίες είχαμε την βέλτιστη σύγκριση της υπολογισθείσας με την μετρηθείσα συμπεριφορά, είναι οι εξής: γωνία εσωτερικής τριβής φ = 34 ο, γωνία διασταλτικότητας ψ = 2 ο, συνοχή c = 5 kpa, συντελεστή ουδέτερης ώθησης Κ =.5, και ισοδύναμο συντελεστή τριβής στις διεπιφάνειες οπλισμού εδάφους μ =.8. Το βαθμονομημένο με βάση το πείραμα προσομοίωμα χρησιμοποιήθηκε στην παραμετρική διερεύνηση της σεισμικής απόκρισης των δύο τοίχων ωπλισμένης γής. Μελετήθηκαν τα εξής σενάρια ως προς τις συνθήκες διεπιφάνειας οπλισμού εδάφους: Σενάριο Α: δυνατότητα σχετικής μετακίνησης, και Σενάριο Β: συνθήκες πλήρους συνάφειας. Στα Σχήματα 9-11 απεικονίζονται τα αριθμητικά αποτέλεσματα συγκρινόμενα με τις μετρήσεις, για το Σενάριο Α. Η σύγκριση είναι ικανοποιητική. Η υπολογισθείσα χρονοιστορία των επιταχύνσεων στο ελεύθερο πεδίο (ACC 21), ελάχιστα αποκλίνει από την αντίστοιχη μετρηθείσα. Μοναδική εξαίρεση ο πρώτος κύκλος φόρτισης, στον οποίο, όπως προαναφέρθηκε, παρατηρήθηκε ολίσθηση στην βάση του επιταχυνσιογράφου (Siddharthan et al, 24). 11
Σχήμα 11. Ισουψείς των πλαστικών παραμορφώσεων στον παραμορφωμένο κάνναβο των πεπερασμένων στοιχείων μετά το πέρας της σεισμικής φόρτισης, για το Σενάριο Α: Σχετική ολίσθηση στις διεπιφάνειες οπλισμών εδάφους Αξιοσημείωτο είναι ότι το ψαλίδισμα των μετρηθεισών επιταχύνσεων στον επιταχυνσιογράφο ACC 15 αναπαράγεται ικανοποιητικά από τους υπολογισμούς, αντικατοπτρίζοντας την ρεαλιστική προσομοίωση της διεπιφάνειας οπλισμού εδάφους. Οι υπολογισθείσες παραμένουσες μετακινήσεις είναι 12 mm και 76 mm για τον αριστερό και δεξιό τοίχο, αντιστοίχως, έναντι των πειραματικών τιμών 125 mm και 65 mm. Στο Σχήμα 12 συγκρίνονται οι μετρηθείσες με τις υπολογισθείσες χρονοιστορίες των μετακινήσεων στους δύο τοίχους, για το Σενάριο Β (συνθήκες πλήρους συνάφειας στην διεπιφάνεια οπλισμού εδάφους). Η σύγκλιση των αποτελεσμάτων για τον επαρκώς οπλισμένον τοίχο έχει βελτιωθεί αισθητά σε σχέση με το σενάριο Α. Ωστόσο, η 12
υπολογισθείσα απόκριση του ανεπαρκώς ωπλισμένου τοίχου υποεκτιμάται σημαντικά. Προκύπτει λοιπόν το εξής συμπέρασμα: H παραδοχή των συνθηκών πλήρους συνάφειας στην διεπιφάνεια οπλισμού εδάφους είναι ρεαλιστική μόνον όταν το μήκος αγκύρωσης της όπλισης είναι επαρκές ( 7% Η). Disp 34 Disp 37 Disp34+Disp37 d (mm) -2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 t (s) Σχήμα 12. Σύγκριση μετρηθεισών και υπολογισθεισών χρονοιστοριών της μετακίνησης στους δύο τοίχους ωπλισμένης γης για το Σενάριο Β: συνθήκες πλήρους συνάφειας στις διεπιφάνειες οπλισμών εδάφους Για την μελέτη της επιρροής των χαρακτηριστικών της διέγερσης, όπως το συχνοτικό περιεχόμενο, ο αριθμός των κύκλων ή η διαδοχή τους, στην σεισμική απόκριση των τοίχων ωπλισμένης γης, χρησιμοποιήθηκαν δύο διεγέρσεις με εντελώς διαφορετικά χαρακτηριστικά. Από τον σεισμό της Λευκάδας 23, και του Αιγίου (1995). Συγκεκριμένα: Επιταχυνσιογράφημα Λευκάδας 23 Στο Σχήμα 13 απεικονίζονται η χρονοϊστορία επιτάχυνσης και το αντίστοιχο φάσμα απόκρισης. Πρόκειται για μία διέγερση με εντυπωσιακά μεγάλο αριθμό σημαντικών κύκλων : περίπου 8 κορυφές με μέγιστη τιμή,3g! Επιπλέον, η δόνηση είναι αρκετά ισχυρή με μέγιστη τιμή επιτάχυνσης περί τα,42g. Φασματικά η διέγερση εμφανίζει δεσπόζουσα περίοδο Τ=,55 sec, ενώ και το εύρος των σημαντικών περιόδων είναι αρκετά μεγάλο και κυμαίνεται από,3-,7 sec. Επιταχυνσιογράφημα Αιγίου 1995 Επίσης στο Σχήμα 13 παρουσιάζονται η χρονοϊστορία επιτάχυνσης και το αντίστοιχο φάσμα απόκρισης. Το επιταχυνσιογράφημα υπολογίσθηκε από την επιφανειακή καταγραφή με αφαίρεση της εδαφικής ενίσχυσης. Πρόκειται για μία διέγερση με έναν μακροπερίοδο παλμό, μεγάλης επιτάχυνσης (,53 g), μεγάλης ταχύτητας (,54 m/s) και μεγάλου βήματος 13
ταχύτητας (,75 m/s). Συνοψίζοντας, εξετάσθηκαν τα εξής σενάρια ως προς την σεισμική διέγερση στην βάση του προσομοιώματος: Σενάριο Γ: καταγραφή από τον σεισμό του Λευκάδας (23), Σενάριο Δ: καταγραφή από τον σεισμό της Αιγίου (1995)..5.3 Λευκάδα 23 α (g).1 -.1 -.3 -.5.4.2 t (s) 5 1 15 2 25 Αίγιο α (g) -.2 -.4 t (s) 2 4 6 8 1 2 PSA (g) 1.5 1 Λευκάδα 23 Αίγιο.5.5 1 1.5 T (s) 2 Σχήμα 13. Χρονοιστορίες και Φάσματα απόκρισης των επιταχυνσιογραφημάτων της Λευκάδας (23) και του Αιγίου, που χρησιμοποιήθηκαν ως σεισμικές διεγέρσης στην βάση του προσομοιώματος με πεπερασμένα στοιχεία 14
Τα αποτελέσματα των αναλύσεων για το επιταχυνσιογράφημα της Λευκάδας και του Αιγίου αντιστοίχως, παρουσιάζονται στα Σχήματα 14 και 15. Αντανακλούν δε την σαφώς πιο καταστρεπτική φύση του πρώτου επιταχυνσιογραφήματος. Η υπολογισθείσα παραμένουσα οριζόντια μετακίνηση είναι για το μεν επιταχυνσιογράφημα από τον σεισμό της Λευκάδας: 8 cm για τον αριστερό και 55 cm για τον δεξιό τοίχο, αντιστοίχως, για το δε επιταχυνσιογράφημα του Αιγίου: 35 cm για τον αριστερό και 2 cm για τον δεξιό τοίχο, αντιστοίχως. Τα αποτελέσματα καταδεικνύουν την υπεροχή του επαρκώς ωπλισμένου τοίχου έναντι του υπο-ωπλισμένου. Τονίζεται ωστόσο ότι δεν παρατηρήθηκε αστοχία σε κανέναν από τους δύο τοίχους, και για τα δύο σενάρια φόρτισης. Disp 34 Disp 37 d (mm) -4-2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 5 1 15 2 25 t (s) Σχήμα 14. Υπολογισθείσες χρονοιστορίες σχετικών μετακινήσεων ως προς την βάση του προσομοιώματος στην μέση των μετώπων των δύο τοίχων για την διέγερση της Λευκάδας 23 (Σενάριο Γ). Disp 34 Disp 37 d (mm) -2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 2 4 6 8 1 t (s) Σχήμα 15. Υπολογισθείσες χρονοιστορίες σχετικών μετακινήσεων ως προς την βάση του προσομοιώματος στην μέση των μετώπων των δύο τοίχων για την διέγερση του Αιγίου 1995 (σενάριο Δ). 15
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μελετήθηκε η σεισμική συμπεριφορά τοίχων αντιστήριξης από ωπλισμένη γη, με αριθμητική ανάλυση ενός καλώς τεκμηριωμένου πειράματος φυγοκέντρισης. Εν συνεχεία διερευνήθηκε παραμετρικά ο ρόλος: (α) των συνθηκών διεπιφάνειας οπλισμού εδάφους, και (β) της σεισμικής διέγερσης στην απόκριση (i) ενός επαρκώς οπλισμένου και (ii) ενός υποωπλισμένου τοίχου αντιστήριξης. Προέκυψαν τα εξής συμπεράσματα: H παραδοχή των συνθηκών πλήρους συνάφειας στην διεπιφάνεια οπλισμού εδάφους είναι ρεαλιστική μόνον όταν το μήκος αγκύρωσης της όπλισης είναι επαρκές ( 7% Η). Χάρη στην ικανότητα για πλάστιμη συμπεριφορά, οι τοίχοι ωπλισμένης γης μπορούν να υποβληθούν σε μεγάλες μετακινήσεις (οφειλομένων σε ισχυρή σεισμική φόρτιση), χωρίς να καταργηθεί η λειτουργικότητά τους. Καταδεικνύεται επίσης ο ευεργετικός ρόλος του επαρκούς μήκους αγκύρωσης της όπλισης (L 7% H) στην σεισμική απόκριση του τοίχου. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Γεωργαράκος Τ., Δρόσος Β., Αναστασόπουλος Ι, Γκαζέτας Γ. (28) Πειραματικός Έλεγχος Σεισμικής Συμπεριφοράς Τοίχων Ωπλισμένης Γης στην Νέα Δονητική Τράπεζα του Εργαστηρίου Εδαφομηχανικής, ΕΜΠ, 3 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας, Άρθρο 1996. Γκαζέτας Γ., Αναστασόπουλος Ι., Δρόσος Β., Γεωργαράκος Τ., Κουρκουλής Ρ. (27), Σεισμική Συμπεριφορά Τοίχων Ωπλισμένης Γης στην Νέα Δονητική Τράπεζα του Ε.Μ.Π., Πρακτικά, Ημερίδα: Γεωτεχνικές Εφαρμογές Γεωσυνθετικών Υλικών, Αθήνα, 11 Ιανουαρίου 27. Arulandan K. AND Scott R. (1993) Verifications of Numerical Procedures for the Analysis of Soil Liquefaction Problems, Proceedings of the International Conference on the Verification of Numerical Procedures for the Analysis of Soil Liquefaction Problems, Davis, California, USA, 17-2 October 1993 Andrawes K.Z, McGown A., Wilson-Fahmy R.F. and Mashhour M.M. (1982) The finite element method of analysis applied to soil- geotextile systems, Second International Conference on Geotextiles, Las Vegas, Vol.3, 695-7 Ashmawy A.,Bourdeau P., Drnevich V.P. and Dysli M. (1999), Cyclic response of geotextilereinforced soil, Soils and Foundations, Vol.39, 43-52 Aubry D., Modaressi A. and Modaressi H. (199) A Constitutive Model for Cyclic Behaviour of Interfaces with Variable Dilatancy, Computers and Geotechnics, Vol. 9, 47-58 Baker R., Kleiny. (24) An integrated limiting equilibrium approach for design of reinforced soil retaining structures: Part I formulation, Geotextiles and Geomembranes, Vol 22, 151-177 Baker R., Kleiny. (24) An integrated limiting equilibrium approach for design of reinforced soil retaining structures: Part II design examples, Geotextiles and Geomembranes, Vol 22, 119-15 16
Bathurst R., Walters D., Vlachopoulos N., Burgess P. and Allen T. (2) Full scale testing of geosynthetic reinforced walls, Proceedings of GeoDenver Belal A.M. and George K.P. (2) Finite element analysis of reinforced soil retaining walls subjected to seismic loading, Proceedings of 12th World Conference Earthquake Engineering Bonaparte R., Holtz R. and Giroud J.P. (1987), Soil Reinforcement Design Using Geotextiles and Geogrids, American Society for Testing and Materials, 69-116 Cai Z. and Bathurst R. (1995) Seismic Response Analysis of Geosynthetic Reinforced Soil Segmental Retaining Walls by Finite Element Method, Computers and Geotechnics, Vol. 17, 523-546 Cai Z. and Bathurst R.J. (1996), Seismic-induced permanent displacement of geosyntheticreinforced segmental retaining walls, Canadian Geotechnical Journal, Vol.33, 937-955 Chan, S.K. and Tuba, I.S. (1971) A finite element method for contact problems of solid bodies (theory and validation), International Journal of Mechanical Sciences, Vol 13, 615-625 Coutinhoa A.L.G.A., Martinsa M.A.D., Sydenstrickera R.M., Alvesb J.L.D. and Landaub L. (23) Simple zero thickness kinematically consistent interface elements, Computers and Geotechnics, Vol. 3, 347-374 Davis R.O. and Selvadurai A.P.S. (22) Plasticity and Geomechanics, Cambridge University Press Day R.A. and Potts D.M. (1994) Zero thickness interface elements-numerical stability and application, International Journal for Numerical and Analytical methods in Geomechanics, Vol. 18, 689-78 Desai, C.S. and Ma Y. (1992) Modelling of joints and interfaces using the disturbed-state concept, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,Vol. 16, No 1, 623-653 Desai, C.S., Zaman M. M., Lightner J.G. and Siriwardane H.J. (1984) Thin-Layer Element For Interfaces and Joints, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Vol. 8, 19-43 Elms D.G. (2), Refinements to the Newmark sliding block model, Proceedings of 12th World Conference Earthquake Engineering, 2132 Esterhuizen J., Filz G. and Duncan M. (21) Constitutive Behaviour Of Geosynthetic Interfaces, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol. 127, No. 1, 834-84 Federal Highway Administration (21) Mechanically Stabilized Earth Walls and Reinforced Soil Slopes Design & Construction Guidelines, National Highway Institute, Office of Bridge Technology Francavilla A. and Zienkiewicz O.C. (1975) A note on numerical computation of elastic contact problems, International journal for numerical Methods in Engineering, Vol. 9, 913-924 Gazetas G., Psarropoulos P.N., Anastasopoulos I., Gerolymos N. (24), Seismic behaviour of flexible retaining systems subjected to short-duration moderately strong excitation,soil Dynamics and Earthquake engineering, Vol. 24, 537-55 Gens A., Carol I. and Alonso E.E. (1988) An interface element formulation for the analysis of soil-reinforcement interaction, Computers and Geotechnics, Vol. 7, No 1-2, 133-151 17
Gerolymos N., Gazetas G. and Tazoh T. (25) Static and Dynamic Response of Yielding Pile in Nonlinear Soil, Proceedings of the 1 st Greece-Japan Workshop: Seismic Design, Observation and Retrofit of Foundations, Athens 25 Goodmann R.E., Taylor R.L. and Brekke T.L. (1968) A model for the mechanis of jointed rock, Journal of the soil Mechanics and Foundations Division, Vol. 94, 637-659 Griffiths D.V. (1985) Numerical modelling of interfaces using conventional finite elements, Fifth International Conference on Numerical Methods in Geomechanics, Nagoya 2, 837-844 Hatami K. and Bathurst R. (2) Effect of structural design on fundamental frequency of reinforced-soil retaining walls, Soil Dynamics and Earthquake engineering, Vol. 19, 135-157 Helwany S.M.B., Budhu M. and Callen MC D., (21) Seismic analysis of segmental retaining walls I: Model verification, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol. 127, 741-749 Ho S.K. and Rowe K. R. (1996) Effect of Wall Geometry on the Behavior of Reinforced Walls, Geotextiles and Geomembranes, Vol. 14, 521-541 Kaliakin V.N., LI J. (1995) Insight into Deficiencies Associated with Commonly Used Zero- Thickness Interface Elements, Computers and Geotechnics, Vol. 17, 225-252 Karpurapu R. and Bathurst R. (1995) Behaviour of Geosynthetic Reinforced Soil Retaining Walls using the Finite Element Method, Computers and Geotechnics, Vol. 17, 279-299 Katona M.G. (1983) A simple contact-friction interface element with applications to buried culverts, International Journal for Numerical and Analytical methods in Geomechanics, Vol. 7, 371-384 Koerner R. and Soong T.-Y. (21) Geosynthetic reinforced segmental retaining walls, Geotextiles and Geomembranes, Vol.19, 359-386 Koseki J., Munaf Y., Tateyama M., Kojima K. and Sato T. Shaking table and tilt table tests of geosynthetic-reinforced soil and conventional retaining wall, Geosynthetic Int., Vol 5, 73-96 Kotake N., Tatsuoka F., Tadatsugu T., Siddique M.S.A. and Yamauchi H. (1999) An insight into the failure of reinforced sand in plane strain compression by FEM simulation, Soils and Foundations, Vol. 39, No 5, 13-13 Kramer S. and Paulsen S.(22), A Numerical Model for Estimating Seismic Displacements of Reinforced Steep Slopes, Master thesis, University of Washington Krishnawamy N. and Isaak N., Liquefaction analysis of saturated reinforced granular soils, Journal of Geotechnical Engineering, Vol 121, 645-651 Lai T., Borja R., Duvernay B. and Mechan R. (23) Capturing strain localisation behind a geosynthetic-reinforced soil wall, International Journal for Numerical and Analytical methods in Geomechanics, Vol 27, 425-451 Lee K., Jones J., Sullivan W. and Trolinger W. (1994) Failure and deformation of four reinforced soil walls in eastern Tennessee, Géotechnique, Vol. 44, 397-426 Ling H. (21) Recent applications of sliding block theory to geotechnical design, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol.21, 189-197 Ling H. and Leshchinsky D. (1997), Effects of vertical acceleration on seismic design of geosynthetic-reinforced soil structures, Géotechnique, Vol 48, 347-373 18
Ling H., Leshchinsky D. and Chou N. (21), Post-earthquake investigation on several geosynthetic- reinforced soil retaining walls and slopes during the Ji-Ji earthquake in Taiwan, Soil Dynamics and Earthquake engineering, Vol. 21, 297-313 Ling H., Liu H. and Mohri Y. (25) Parametric Studies on the Behaviour of Reinforced Soil Retaining Walls under Earthquake Loading, Journal of Engineering Mechanics, Vol. 131, No. 1, 156-165 Michalowski R. (1997) Stability of uniformly reinforced slopes, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol. 123, 546-556 Michalowski R. and You L. (2) Displacements of reinforced slopes subjected to seismic loads, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol. 126, No 8 Michalowski R. and Zhao A. (1996) Failure of fiber-reinforced granular soils Journal of Geotechnical Engineering, Vol. 122, 226-234 Ohte S. (1973) Finite element analysis of elastic contact problems, Bulletin of the journal of the Japan Society of Mechanical Engineers, Vol. 16, No 95, 797-84 Pande G.N. and Sharma K.G. (1979) On joint/interface elements and associated problems of numerical ill-conditioning, International Journal for numerical and analytical methods in Geomechanics, Vol.3, No 3, 293-3 Peng F., Kotake N., Tatsuoka F., Hirakawa D. and Tanaka T. (2) Plane strain compression of geogrid reinforced-sand and its numerical analysis, Soils and Foundations, Vol. 4, No 3, 55-74 Porbaha A. and Goodings D.J. (1996), Centrifuge modelling of geotextile-reinforced cohesive soil retaining walls, Journal of Geotechnical Engineering, Vol. 122, 84-848 Richards and Elms (1992), Seismic passive resistance of tied-back walls, Journal of Geotechnical Engineering, Vol17, 849-867 Sachdeva T.D. and Ramakrishnan C.V. 1981) A finite element solution for the twodimensional elastic contact problems with friction, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 17, 1257-1271 Sandri D. (1998), A performance summary of reinforced soil structures in the grater Los Angeles area after Northridge Earthquake, Geotextiles and Geomembranes, Vol.15, 235-253 Sawicki A. (2) Mechanics of Reinforced Soil, A.A. Balkema. Brookfield Sewbridge S. and Sitar N. (1997), Formation of shear zones in reinforced sand, Journal of Geotechnical Engineering, Vol.122, 873-885 Siddharthan R., Ganeshwara V., Kutter B., El-Desouky M. and Whitman R. (24), Seismic Deformation of Bar Mat Mechanically Earth Walls I: Centrifuge Tests, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol. 13, No. 1, 14-25 Siddharthan R., Ganeshwara V., Kutter B., El-Desouky M. and Whitman R. (24) Seismic Deformation of Bar Mat Mechanically Earth Walls II: A Multiblock Model, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol. 13, No. 1, 26-35 Tatsuoka F., Tateyama M. and Koseki J. (1996) Performance of soil retaining walls for railway embankments Soils and Foundations, Special Issue on Geotechnical Aspects of he January 1995 Tejchman J. and Wu W. (1995) Experimental and Numerical Study of Sand-Steel Interfaces, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,Vol. 19, No 1, 513-536 19
Varadarajan A., Sharma K. G. and Soni K. M. (1999) Constitutive Modelling of a Reinforced Soil Using Hierarchical Model, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Vol. 23, 217-241 Villard P. (1996) Modelling of Interface Problems by the Finite Element Method with Considerable Displacements, Computers and Geotechnics, Vol. 19, No 1, 23-45 Wang Z. and Richwien W. (21) A study of Soil-Reinforcement Interface Friction, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol. 128, 92-94 Yang G.L. and Wang Y.H. (21) Displacement behaviour of wrapped-reinforced wall subjected to the cyclical loading, Journal of Geotechnical Engineering, Vol 32, 33-36 Yegian M.K., Harb J.N. and Kadakal U. (1998) Dynamic response analysis for landfills with geosynthetic liners, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol 124, 127-133 Yogendrakumar M., Bathurst R. and Liam Finn W.D. (1992) Dynamic response analysis of reinforced-soil retaining wall, Journal of Geotechnical Engineering, Vol 118, 1158-1167 Zornberg J. and Arriaga F. (23) Strain distribution with geosynthetic-reinforced slopes, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol 129, 32-45 Zornberg J., Sitar N. and Mitchell J. (1998) Performance of geosynthetic Reinforced Slopes at failure, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol 124, 67-683 Zornberg J., Sitar N. and Mitchell J.(1998) Limit equilibrium as basis of design of geosynthetic reinforced slopes, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol 124, 684-698 2