ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές λύσεις

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές λύσεις"

Παραμονιμος Στεφανόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : info@hms.

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ Τηλ Fax: info@hms.gr, GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR Athens - HELLAS Tel Fax: info@hms.gr, ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 5 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" Μαρτίου 08 Θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές λύσεις Πρόβλημα (α) Να εξετάσετε, αν υπάρχει πραγματικός αριθμός x, τέτοιος ώστε οι αριθμοί x και x να είναι και οι δύο ρητοί. (β) Να εξετάσετε, αν υπάρχει πραγματικός αριθμός y τέτοιος ώστε οι αριθμοί y και y να είναι και οι δύο ρητοί. (α) Έστω x q, x p με pq,. Τότε x q x q q οπότε αν αντικαταστήσουμε στη δεύτερη παίρνουμε: q q p q pq Τότε πρέπει q0q. Σε αυτή την περίπτωση p q q 4 4 και x. (β) Έστω y q, y p με pq,. Τότε y q y q q 9q οπότε αν αντικαταστήσουμε στη δεύτερη παίρνουμε: q q 9q p q pq 9q που είναι άτοπο. q 9q p q Πρόβλημα Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 8 cm το οποίο υποδιαιρούμε με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές σε 64 μικρά τετράγωνα πλευράς cm. Χρωματίζουμε 7 μικρά τετράγωνα μαύρα, ενώ όλα τα υπόλοιπα 57 μικρά τετράγωνα είναι λευκά. Υποθέμε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος k τέτοιος ώστε ανεξάρτητα από τη θέση των 7 μαύρων μικρών τετραγώνων, υπάρχει ορθογώνιο εμβαδού k cm με πλευρές παράλληλες στις πλευρές ΑΒΓΔ και με όλα τα μικρά τετράγωνα από τα οποία

αποτελείται να είναι λευκά, που μπορεί να αποκοπεί

Να Μπορούμε να χωρίσουμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ σε 8

Έτσι μπορούμε να χρωματίσουμε στα επτά 4 ορθογώνια από

Περιστερώνα θα μείνει με λευκά μικράά τετράγωνα

Σχήμα Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι υπάρχει

υπάρχει ορθογώνιοο με λευκά τετράγωνα εμβαδού

Στο τετράγωνο παρακάτω σχήματος αφήνουμε όλα τα

2 αποτελείται να είναι λευκά, που μπορεί να αποκοπεί απόό το τετράγωνο ΑΒΓΔ. βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή k. Να Μπορούμε να χωρίσουμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ σε 8 ορθογώνια 4. Έτσι μπορούμε να χρωματίσουμε στα επτά 4 ορθογώνια από ένα μαύρο μικρό τετράγωνο, οπότε από την αρχή Περιστερώνα θα μείνει με λευκά μικράά τετράγωνα λάχιστον ένα 4 ορθογώνιο εμβαδού 8cm. Σχήμα Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι υπάρχει χρωματισμός των 7 μικρών τετραγώνωνν έτσι ώστε να μην υπάρχει ορθογώνιοο με λευκά τετράγωνα εμβαδού μεγαλύτερου των 8cm. Στο τετράγωνο παρακάτω σχήματος αφήνουμε όλα τα συνοριακά μικρά τετράγωνα λευκά και στο 6 6 εσωτερικό τετράγωνο χρωματίζουμε 7 μικρά τετράγωνα μαύρα, έτσι ώστε να μην υπάρχει ορθογώνιο με μ λευκά τετράγωνα εμβαδού μεγαλύτερου των 8cmm. Σχήμα

3 Σημείωση: Για το πρώτο κομμάτι της άσκησης μπορούμε να θεωρήσουμε τις 8 γραμμές ή τις 8 στήλες πίνακα και να κάνουμε το επιχείρημα όπως στην παραπάνω λύση με την αρχή Περιστερώνα. Πρόβλημα Θεωρούμε ς θετικούς ακεραίους, τέτοιους ώστε ο αριθμός ( ) 4a να είναι ακέραιος. Να αποδείξετε ότι αν ο b είναι περιττός, τότε ο a είναι τέλειο τετράγωνο. ( ) 4a Έστω. Η τελευταία γράφεται ως ( ) 4 a () Θα δείξουμε ότι ο a είναι περιττός. () Πράγματι, αν a, τότε θα πρέπει ( a b), τότε θα πρέπει και ο b να είναι άρτιος, άτοπο. Θεωρούμε τώρα την () σαν δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς b, στη μορφή: b b( ) aa 4a 0 Για να έχει αυτή ακέραιες λύσεις, η διακρίνουσά της θα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο. Έχουμε ότι a ( ) 4( a 4 a) a( a( ) 4a 6). Επομένως το γινόμενο των a, a( ) 4a 6 είναι τέλειο τετράγωνο. Επειδή όμως ο a είναι περιττός είναι πρώτοι μεταξύ ς, οπότε ο καθένας ς θα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, άρα ο a είναι τέλειο τετράγωνο. ος τρόπος: Έστω d ( a, b) και γράφουμε a dx, b dy, με ( xy, ). Παρατηρούμε ότι επειδή d b και ο b είναι περιττός, θα πρέπει d περιττός. Τότε ο αριθμός ( ) 4 a d ( x y) 4 dx d( x y) 4x d xy dxy είναι ακέραιος. Άρα x d( x y) 4 x x dy και επειδή ( xy, ), πρέπει x d. Επίσης, d d( x y) 4 x d 4x και αφού d περιττός, d x. Από τις δύο αυτές σχέσεις έχουμε d x, άρα a d. Πρόβλημα 4 Δίνεται τρίγωνο με εγγεγραμμένο σε κύκλο c με κέντρο O και ακτίνα R. Ονομάζουμε το αντιδιαμετρικό της κορυφής. Δίνεται επίσης ο κύκλος c οποίου το κέντρο βρίσκεται επάνω στο τμήμα και περνάει από τα σημεία και. Αν ο κύκλος c τέμνει την στο σημείο, να αποδείξετε

ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος περιγεγραμμένου κύκλου c.

η γωνία ) είναι ορθή διότι βαίνει β στη διάμετρο περιγεγραμμένου

κύκλου c Εφόσον 90, η είναι διάμετρος κύκλου c και κατά συνέπεια η

4 ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος περιγεγραμμένου κύκλου c. τριγώνου, έστω c, εφάπτεται ( ος Τρόπος) Έστω η τομή γωνία (άρα και η γωνία ) είναι ορθή διότι βαίνει β στη διάμετρο περιγεγραμμένου κύκλου cor,. κύκλου c Εφόσον 90, η είναι διάμετρος κύκλου c και κατά συνέπεια η θα είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής των κύκλων c και c. Η εφάπτεται στον κύκλο c, άρα. Από το ορθογώνιοο τρίγωνο έχουμε: () με την και η τομή της με την. Η Οι γωνίες, Σχήμα είναιι εγγεγραμμένες στον κύκλο c και βαίνουν στοο ίδιο τόξο, άρα. Από το ορθογώνιο τρίγωνο, έχουμε: Από τις ισότητες γωνιών και συμπεραίνου με ότι:, οπότε τα ευθύγραμμα τμήματαα και είναι παράλληλα και κατά συνέπεια το

Εναλλακτικά, το τελικό συμπέρασμα (που διατυπώνεται στην τελευταία παράγραφο) θα μπορούσε να προκύψει και με τη βοήθεια μετασχηματισμού της ομοιοθεσίας: Από τις ισότητες γωνιών και συμπεραίνου με

5 τετράπλευρο είναι τραπέζιο. Εφόσον το είναι το μέσο της, συμπεραίνουμε ότι η θα διέρχεται από το μέσο της που είναι το κέντρο κύκλου c. Άρα τα κέντρα των κύκλων c, c και το σημείο θα είναι συνευθειακά. Εναλλακτικά, το τελικό συμπέρασμα (που διατυπώνεται στην τελευταία παράγραφο) θα μπορούσε να προκύψει και με τη βοήθεια μετασχηματισμού της ομοιοθεσίας: Από τις ισότητες γωνιών και συμπεραίνου με ότι:, οπότε τα ευθύγραμμα τμήματα και είναι παράλληλα και κ κατά συνέπεια ομοιόθετα στην ομοιοθεσία με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο. Εφόσον τα τμήματα και ( δηλαδή, οι διάμετροι των κύκλωνν c και c ) είναι ομοιόθετα με κέντρο ομοιοθεσίας το και οι κύκλοι c και κ c θα είναι ομοιόθετοι με το ίδιο κέντρο ομοιοθεσίας. Δηλαδή τα κέντρα των κύκλων c, c και ι το σημείο θα είναι συνευθειακά. ος τρόπος Θα αποδείξουμε ότι ο c εφάπτεται κύκλου cor (, ) στο σ σημείο. Για το σκοπό ο αυτό θα δείξουμε ότιι οι δύο αυτοί κύκλοι έχουν κοινή εφαπτομένηη στο σημείο. Έστω η εφαπτομένη c( O, R) στο σημείο και ονομάζουμεε. Για να δείξουμε ότι η είναι εφαπτομένη c στο, αρκεί να αποδείξουμε ότι. () Επειδή η η εφαπτομένη υ cor (, ), έχουμε ότι. Ε Επιπλέον η είναι διάμετρος, οπότεε 90, οπότε 90. Όμως (90 ) 80, () από τη σχέση επίκεντρης εγγεγραμμένης στον c. Όμως το τρίγωνο είναι ισοσκελές επομένως λόγω της () θα είναι, οπότε ε η () ισχύει και έχουμε το ζητούμενο.

Σχετικά έγγραφα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές λύσεις

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 35 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2018 Θέματα μικρών τάξεων Ενδεικτικές λύσεις ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-ail : ifo@hs.gr, www.hs.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepistiiou (Εleftheriou Veizelou)