ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10"

Ἠώς Ζαχαρίου
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09 Θεώρηµα I. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα µέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο µε την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 04 Θεώρηµα I. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή άθος. ) Στο ορθογώνιο παραλληλόγραµµο όλες οι γωνίες είναι ίσες. Σ ) Σε κάθε παραλληλόγραµµο οι διαγώνιοι είναι ίσες. 3) Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο αν δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες. 4) Η διάµεσος τραπεζίου ισούται µε το ηµιάθροισµα των βάσεών του. Σ 5) Κάθε κυρτό τετράπλευρο µε κάθετες διαγώνιους είναι ρόµβος. 6) Αν σε ένα τετράπλευρο µια εξωτερική του γωνία ισούται µε την απέναντι εσωτερική,τότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο σε κύκλο. Σ 7) Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράµµου διχοτοµούν τις γωνίες του. 8) Κάθε τετράγωνο είναι ρόµβος. Σ 9) ύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Σ 0) Κάθε εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει σε ηµικύκλιο είναι ορθή. Σ ) ύο παράλληλες ευθείες που τέµνονται από τρίτη σχηµατίζουν τις εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες ίσες. ) Κάθε σηµείο της διαµέσου ΑΜ ενός τριγώνου Α

Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 04 Θεώρηµα I. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή άθος. ) Στο ορθογώνιο παραλληλόγραµµο όλες οι γωνίες είναι ίσες.

2 ισαπέχει από τις πλευρές του Α,Α. 3) Η εγγεγραµµένη γωνία είναι διπλάσια από την επίκεντρη που βαίνει στο ίδιο τόξο. 4) Ένας ρόµβος µε µία ορθή γωνία είναι τετράγωνο Σ 5) Το τετράπλευρο Α είναι παραλληλόγραµµο όταν Α// και Α= ΘΜΑ ο Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.97 Ιδιότητες παραλληλογράµµων. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω να κενά µε τις κατάλληλες λέξεις ώστε οι προτάσεις που θα προκύψουν να είναι αληθείς. ) Το σηµείο τοµής των µεσοκαθέτων ενός τριγώνου λέγεται περίκεντρο και αυτό είναι και το κέντρο του περιγεγραµµένου κύκλου. ) Το παραλληλόγραµµο που έχει µια γωνία ορθή λέγεται ορθογώνιο.. 3) Το σύνολο των σηµείων εκείνων τα οποία ισαπέχουν από τις πλευρές µιας γωνίας αποτελούν τη διχοτόµο της γωνίας. 4) Ρόµβος λέγεται το παραλληλόγραµµο που έχει δυο διαδοχικές πλευρές ίσες. 5) Το σηµείο τοµής των διχοτόµων ενός τριγώνου λέγεται έγκεντρο και αυτό είναι το κέντρο του εγγεγραµµένου κύκλου. 6) Ένα σηµείο Μ βρίσκεται στη µεσοκάθετο ενός τµήµατος Α όταν ισαπέχει από τα άκρα του δηλαδή ΜΑ = Μ. 7) Αν σε ένα παραλληλόγραµµο οι διαγώνιές του είναι ίσες τότε το παραλληλόγραµµο αυτό είναι ορθογώνιο.. ) Αν στο παρακάτω σχήµα οι ευθείες Α και είναι παράλληλες, A B= 0 και = 0, να υπολογίσετε τη γωνία. ( Χρήση βοηθητικής παράλληλης : να φέρετε από το σηµείο την ευθεία παράλληλη προς τη )

Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.97 Ιδιότητες παραλληλογράµµων. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω να κενά µε τις κατάλληλες λέξεις ώστε οι προτάσεις που θα προκύψουν να είναι αληθείς.

3 Α 0 0 α ) Στο παρακάτω σχήµα Α = Α = και A = 08. Να δείξετε ότι ω= φ. ( δηλαδή ότι η Α είναι διχοτόµος της Α) 3) Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε το και το. A B B α + 0 = 80 (εντός και επι τα α υτά παραπληρω µα τικές ) α = 80 0 = 70 ΘΜΑ 3 ο Α. Στο παρακάτω σχήµα το Α είναι ορθογώνιο τρίγωνο µε A = 90, τα και είναι τα µέσα των Α και Α αντίστοιχα και το ΖΗ είναι ορθογώνιο. ίνονται φ 30 O A B= 60, 0 = + α ( εντός εναλλάξ ίσες ) 0 = + 70 = 50 Α 08 φ ω = και Α = 3 µε το µήκος του που βρίσκεται στη στήλη. Αιτιολογήστε. A 60 08= φ+ (εξωτερική γωνία του τριγώνου Α) = φ ( εξωτερική γωνία του τριγώνου Α) ποµένως 08= 3φ και φ= 36 Όµως φ+ ω= 80 08= 7 Άρα ω= 7 36= Να αντιστοιχήσετε κάθε τµήµα της στήλης Α ο σχήµα: Ο Α 60 ( επίκεντρη ) Ο ισοσκελές ( Ο= Ο= ρ) Άρα = = 0 = 60 (το Ο ισόπλευρο) ο σχήµα : = 50 (γωνία χορδής και εφαπτοµένης ) = = = 80 ( ) = 70 = = 70 (γωνία χορδής και εφαπτοµένης )

Στο παρακάτω σχήµα το Α είναι ορθογώνιο τρίγωνο µε A = 90, τα και είναι τα µέσα των Α και Α αντίστοιχα και το ΖΗ είναι ορθογώνιο.

4 Α Ζ = = =, Α= = = Α = =, Ζ= = Η= ΖΗ Ζ= Ζ= + = = Η ΣΤΗΗ Α ( τµήµα ) ΣΤΗΗ ( µήκος ) α) ) β) ) γ) Ζ 3) δ) Η 4) Η Α 3 = = = = 4 Ζ ε) Ζ 5) 3. Στο παρακάτω παραλληλόγραµµο Α να υπολογίσετε το και το = + 3 (εξωτερική του τριγώνου Α) = 39 A 3 B 70 B = 44 (εντός εναλλάξ) = 80 ( ) = 05. Στο παρακάτω. Στο παρακάτω σχήµα είναι A = 90, = 30. Αν το µέσο της, Α και =Α, τότε: Α. Το τετράπλευρο Α είναι ρόµβος Α= =, ποµένως το Α είναι παραλληλόγραµµο και έχει δυο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα είναι ρόµβος. 3. = Α. Α // Α και Α Α, άρα //Α και =Α εποµένως Α παραλληλόγραµµο και Α// οπότε Α// µεσοκάθετος της Α εποµένως = Α= Α

Στο παρακάτω. Στο παρακάτω σχήµα είναι A = 90, = 30. Αν το µέσο της, Α και =Α, τότε: Α.

5 ΘΜΑ 4 ο Α. Στο παρακάτω σχήµα το τετράπλευρο Α είναι ισοσκελές τραπέζιο (Α//) και Ζ είναι η διάµεσός του. ίνεται επίσης ότι Α = α, = 4α, = 60, ΑΗ και Θ. Α Κ Μ Ζ Η Θ α. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΗΑ και Θ. Η Α )ορθογώνια = Θ ) = = 60 ( ισοσκ.τραπέζιο) 3)Α = ( ισοσκ.τραπέζιο) β. Να αποδείξετε ότι Η=Θ=6α Αφού ΗΑ = Θ άρα και Η = Θ. Το ΑΘΗ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ( 4 ορθές ), άρα Α = ΘΗ = α.ποµένως Η Θ 4α α α Η = Θ = = = = 6α γ. Να βρείτε την περίµετρο του τραπεζίου Α σε συνάρτηση µε το α. Α = 30 εποµένως Η = Α οπότε Α = Η = α. Π Α =Α+++Α= α+ α+ 4α+ α= 60α δ. Αν α=, τότε να υπολογίσετε τα τµήµατα Ζ, Μ,Κ και. Α+ 36 Ζ δι άµεσος ά ρα Ζ // // Α και Ζ= = = 8

Να αποδείξετε ότι Η=Θ=6α Αφού ΗΑ = Θ άρα και Η = Θ. Το ΑΘΗ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ( 4 ορθές ), άρα Α = ΘΗ = α.ποµένως Η Θ 4α α α Η = Θ = = = = 6α γ.

6 Στο Α έ χουµε : µ έσο Α µ έ σοστη // Α Στο Α µ έσο στην Α Μ µ έ σο της Α Μ // Α Άρα Μ= = = 6 Στο τρίγωνο ΑΗ : Το είναι µέσο στην Α και Κ//Η,άρα το Κ είναι µέσο της Η 6 ΑΗ και Κ= = = 3 Στο Α έ χουµε : µ έσο Α Α = = = 6 µ έσο. Στο παρακάτω σχήµα το τετράπλευρο Α είναι παραλληλόγραµµο µε A = 0.Η είναι διχοτόµος της και τέµνει την Α στο µέσο της.έχουµε φέρει την ΑΖ Α η οποία τέµνει την στο Η. Να αποδείξετε ότι Α Ζ Η i Μ α) Α = 6 0 Αφού A = 0 και το Α είναι παραλληλόγραµµο, θα πρέπει A+ = 80 (είναι παραπληρωµατικές,άρα Α = 60 β) = = Α = 3 0 = Α ( εντός εναλλάξ των Α// ) = = 60 =30 ( διχοτόµος )

Η είναι διχοτόµος της και τέµνει την Α στο µέσο της.έχουµε φέρει την ΑΖ Α η οποία τέµνει την στο Η.

7 γ) Αν η ΑΜ είναι διάµεσος του τριγώνου Α,τότε το τετράπλευρο ΑΜ είναι ρόµβος, το τρίγωνο ΜΑ είναι ισόπλευρο και το Α είναι ορθογώνιο τρίγωνο. ( ) Α / /Μ αφού Α / / Α εποµένως ΑΜ παραλληλόγραµµο. Α = Μ = Ό µως (διαγώνιος του ΑΜ ) είναι και διχοτόµος άρα το ΑΜ είναι ρόµβος. Αφού το ΑΜ είναι ρόµβος Α = Μ.Όµως Α = 60 εποµένως Α Μ= Μ Α= = 60. ηλαδή το ΜΑ είναι ισόπλευρο. Αφού το ΜΑ είναι ισόπλευρο τρίγωνο θα έχουµε ΑΜ= Μ δηλαδή ΑΜ=,συνεπώς το Α είναι ορθογώνιο τρίγωνο ( αφού η διάµεσος είναι ίση µε το µισό της πλευράς που αντιστοιχεί.)

Α = Μ = Ό µως (διαγώνιος του ΑΜ ) είναι και διχοτόµος άρα το ΑΜ είναι ρόµβος. Αφού το ΑΜ είναι ρόµβος Α = Μ.

Σχετικά έγγραφα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό