2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης"

Καϊάφας Ηλιόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε <, αν είναι σηµείο στην διχοτόµο της γωνίας και Ν είναι σηµείο στην εξωτερική διχοτόµο της γωνίας, να δείξετε ότι < i Ν + Ν > + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό Πάνω στη πλευρά θεωρούµε σηµείο έτσι ώστε = τότε = = = = A άρα θα είναι και = οπότε = πό την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο έχουµε < < < i Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό Στην προέκταση της παίρνουµε τµήµα = τότε = Ν = Ν Ν = Ν = A Άρα θα είναι και Ν = Ν. πό την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο Ν έχουµε ότι < Ν + Ν + < Ν + Ν + < Ν + Ν Ν Σ

2 . Σε τετράγωνο στην προέκταση της διαγωνίου παίρνουµε τµήµα =. ν είναι το µέσο της και Η το σηµείο στο οποίο η προέκταση της τέµνει την τότε να αποδείξετε ότι Η = i Τα τρίγωνα Η και είναι ίσα ii Το τετράπλευρο Η είναι ισοσκελές τραπέζιο ν είναι το µέσο της τότε τα σηµεία Η,, είναι συνευθειακά µέσο του Η µέσο του και Η = Η // i = = Η = = Η = ο Η = = 90 ii Η = = Η Η µέσο του Η // Η // άρα το Η είναι τραπέζιο µέσο του πίσης Η = Η και από το (i Η =, εύκολα βρίσκουµε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα άρα = οπότε Η = εποµένως το τραπέζιο Η είναι ισοσκελές Στο τρίγωνο το Η είναι µέσο του και η Η // άρα η Η προεκτεινόµενη θα περάσει από το µέσο του οπότε τα σηµεία Η,, είναι συνευθειακά. Η

3 3. ύο κύκλοι (, ρ) και (, R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηµείο Κ. Προς το ίδιο µέρος της διακέντρου φέρουµε δύο ακτίνες και παράλληλες µεταξύ τους. Έστω το µέσο του και το σηµείο τοµής της µε την ευθεία. είξτε ότι = i Η είναι διχοτόµος της γωνίας ii = Κ =, ˆ = ˆ κατακορυφήν και ˆφ = ˆ () εντός εναλλάξ των παραλλήλων // µε τέµνουσα την άρα = () ρ φ ω ρ Κ R R i AB =Κ + Κ = R + ρ (3) Λόγω της () = = ρ άρα = + = R + ρ (4) (3), (4) = ˆω= ɵ (5) (), (5) ˆφ = ˆω διχοτόµος της γωνίας ii () AM = ME συνεπώς στο ισοσκελές τρίγωνο η είναι διάµεσος στην βάση άρα θα είναι ύψος και διχοτόµος οπότε Φέρω το Κ τότε Κ = διότι Κ = = R, MB = MB, = επειδή διχοτόµος της άρα Κ =

4 4. πό ένα σηµείο Ρ εκτός κύκλου (Ο, R) φέρουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα Ρ και Ρ. Στις προεκτάσεις των Ρ και Ρ προς το µέρος των και παίρνουµε σηµεία και αντίστοιχα έτσι ώστε =. Έστω Κ το σηµείο τοµής των ευθυγράµµων τµηµάτων και. Να αποδείξετε ότι Ρ = Ρ i Κ = Κ ii Η διχοτόµος Ρ του τριγώνου Ρ είναι µεσοκάθετος του τµήµατος Η Ρ διέρχεται από τα σηµεία Ο και Κ ν) // Τα τρίγωνα Ρ και Ρ είναι ίσα διότι έχουν Ρ = Ρ σαν εφαπτόµενα τµήµατα από το Ρ Ρ προς τον κύκλο, Ρ = Ρ σαν αθροίσµατα των ίσων τµηµάτων Ρ = Ρ και = και την ɵ Ρ κοινή άρα Ρ = Ρ i Τα τρίγωνα Κ και Κ είναι ίσα διότι έχουν =, ɵ = από την ισότητα των τριγώνων Ρ και Ρ και ˆω= ˆφσαν παραπληρωµατικές των ίσων γωνιών Ρ και Ρ άρα θα είναι και Κ = Κ ii πειδή το τρίγωνο Ρ είναι ισοσκελές η διχοτόµος της γωνίας ɵ Ρ είναι µεσοκάθετος στην βάση αυτού Η διακεντρική ευθεία του Ρ είναι διχοτόµος της γωνίας ɵ Ρ οπότε η διχοτόµος Ρ διέρχεται από το Ο και επειδή όπως εύκολα διαπιστώνουµε τα τρίγωνα ΡΚ και ΡΚ είναι ίσα άρα Ρ ɵ = Ρ ɵ συνεπώς η ΡΚ είναι διχοτόµος της Ρ ɵ. Τελικά λοιπόν η διχοτόµος Ρ διέρχεται από τα Ο και Κ ν) πειδή το τρίγωνο Ρ είναι ισοσκελές η διχοτόµος Ρ είναι µεσοκάθετος στην βάση του. φού λοιπόν τα και είναι κάθετα στην διχοτόµο Ρ θα είναι // ω Κ Ο φ

5 5. ίνεται οξυγώνιο και ισοσκελές τρίγωνο, µε βάση και το ύψος του. Προεκτείνουµε το κατά τµήµα Ν = και τη κατά τµήµα =. Να αποδείξετε ότι Ν// i Να αποδείξετε ότι = Ν ii ν η προέκταση της τέµνει τη Ν στο, να αποδείξετε ότι = ν το µέσο της, να αποδείξετε ότι: α) = β) Το είναι παραλληλόγραµµο. = Ν και = Άρα το Ν παραληλλόγραµµο διότι οι διαγώνιες του διχοτοµούνται οπότε Ν // i η είναι µεσοκάθετος του Ν άρα = Ν ii Το είναι µέσο του και // Ν Ν Άρα µέσο του Ν και = Ν = οπότε = α) µέσο του και µέσο του = (i = Ν = β), µέσα των Ν και Ν = // = // παραλληλόγραµµο όµως και = // άρα

6 6. ίνεται τρίγωνο µε < 90 ο και,,, τα µέσα των πλευρών του,, αντίστοιχα στο εξωτερικό του τριγώνου κατασκευάζουµε τα τετράγωνα ΚΛ και ΡΣ µε κέντρα Ο και Τ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι Z E = B i = Ο ii Ο = ɵ Τ Το τρίγωνο ΟΤ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές πειδή, µέσα των και θα είναι =// = // άρα το είναι παραλληλόγραµµο οπότε Z E = B i Στο τρίγωνο Λ τα Ο και είναι µέσα των Λ Λ και άρα Ο = // και επειδή Κ Λ Ο ω Λ Λ θα είναι και Ο και επίσης Ο = = = πειδή λοιπόν Ο = και από το ( = θα είναι και Ο = ii Σ Τ Ρ φού // θα είναι = οπότε Ο= + Ο = + 90 ο και οµοίως Τ ɵ = ɵ + Τ ɵ = + 90 ο Άρα Ο= ɵ Τ πό το (i έχουµε = Ο και οµοίως = Τ και Ο = ɵ Τ άρα τα τρίγωνα Ο και Τ είναι ίσα οπότε Ο = Τ και = Ο Στο τρίγωνο Ο είναι Ο + Ο + =80 ο ο + =80 ο + ω + =90 ο άρα ΟΤ= 90 ο και επειδή Ο = Τ το τρίγωνο ΟΤ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

7 7. ίνεται ορθογώνιο και το µέσο της. ν Ο είναι το κέντρο του ορθογωνίου και Θ το σηµείο τοµής της µε την τότε : Να δείξτε ότι το Θ είναι κέντρο βάρους του τριγώνου i = 6 ΘΟ ii ν είναι το µέσο της Θ τότε Ο // Θ ν Κ είναι το µέσο της Θ να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΚΘ είναι παραλληλόγραµµο ν) Τα τρίγωνα Ο και ΟΚ είναι ίσα πειδή οι διαγώνιες του ορθογωνίου διχοτοµούνται το Ο είναι µέσο της οπότε στο τρίγωνο οι και Ο είναι διάµεσοι συνεπώς το Θ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου i πειδή το Θ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου έχουµε ΘΟ = 3 Ο = 3 = άρα = 6ΘΟ 6 και επειδή στο ορθογώνιο οι διαγώνιες είναι ίσες θα είναι και = 6ΘΟ ii Τα και Ο είναι µέσα των Θ και αντίστοιχα άρα Ο // Θ Τα Ο και Κ είναι µέσα των και Θ αντίστοιχα άρα ΟΚ // Θ και επειδή στο (ii είδαµε ότι και ZO // Θ το ΟΚΘ θα είναι παραλληλόγραµµο ν) πό το παραλληλόγραµµο ΟΚΘ έχουµε ότι Ο = ΘΚ = Κ και ΟΚ = Θ = ακόµα είναι Ο = Ο οπότε τα τρίγωνα Ο και ΟΚ είναι ίσα αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες µία προς µία. Θ Ο Κ

8 8. ίνεται τρίγωνο µε = 60 ο. ν οι διχοτόµοι και των γωνιών και ɵ τέµνονται στο Ι να από δείξετε ότι BΙ ɵ = 0 ο i = ɵ ii Το τετράπλευρο Ι είναι εγγράψιµο σε κύκλο πό το τρίγωνο Ι έχουµε ότι ɵ = BΙ ɵ = 80 ο ɵ =80 ο = 80 ο + ɵ = 80 ο o 0 o ɵ ο 60 ++= 80 ɵ ο += 0 i =0 ο ω 60 ο Ι φ Η γωνία είναι εξωτερική στο τρίγωνο άρα = 60 ο + = 60 ο + () Η γωνία ɵ είναι εξωτερική στο τρίγωνο άρα ɵ = + ɵ = + ɵ ɵ = o = 90 = + 90 ο = = + 90 ο 30 ο = 60 ο + () πό τις () και () έχουµε ότι = ɵ ii πειδή + Ι ɵ = 60 ο + 0 ο = 80 ο το τετράπλευρο Ι είναι εγγράψιµο σε κύκλο.

9 9. Ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, R).ν και Ν είναι τα µέσα των τόξων και η δε Ν τέµνει τις και στα Κ και Λ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι Κ = KΛ = ΛΝ i Το τετράπλευρο ΚΛ είναι εγγράψιµο σε κύκλο = + πειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο θα είναι = = =0 ο και αφού τα και Ν είναι µέσα των τόξων καιέχουµε = Ν = = Ν = 60 ο 30 ο 30 ο 30 ο 60 ο 30ο Κ Ο Λ 30 ο 60 ο 30 ο οπότε όλες οι εγγεγραµµένες στα παραπάνω τόξα γωνίες θα είναι ίσες µε 30 ο η κάθε µία. Προφανώς τα τρίγωνα Κ και ΛΝ είναι ίσα ισοσκελή και το ΚΛ είναι ισόπλευρο άρα Κ = Κ = ΚΛ = ΛΝ i πειδή στο τετράπλευρο ΚΛ µία γωνία του η Κ είναι ίση µε την απέναντι εξωτερική της την ΚΛ δεδοµένου ότι είναι 60 ο η κάθε µία, το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο σε κύκλο ii Στο τρίγωνο προφανώς = 30 ο + 60 ο = 90 ο και ɵ = 30 ο άρα η Ν είναι διάµετρος του κύκλου και = είναι = + = και επειδή =

10 0. Έστω κύκλος ( Ο, R) και µία διάµετρος αυτού. ν η χορδή σχηµατίζει µε την γωνία = 30 ο και η κάθετος της ακτίνας Ο στο µέσο αυτής τέµνει τον κύκλο στα και και την στο Η να δείξτε ότι = i Η ɵ = Η Φέρω το απόστηµα ΟΘ της χορδής τότε αφού στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΘ είναι =30 ο θα είναι ΟΘ = Ο = Ο οπότε τα αποστήµατα Θ Ο Η 30 ο ΟΘ και Ο των χορδών και αντίστοιχα είναι ίσα άρα = i πειδή η είναι διάµετρος θα είναι ɵ = 90 ο οπότε στο τετράπλευρο Η έχουµε ɵ + Η = 90 ο + 90 ο = 80 ο συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιµο σε κύκλο εποµένως ɵ Η = Η

Σχετικά έγγραφα

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι