ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ"

Τρίτων Νικολάκος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: /0/05 Ώρα εξέτασης: 0:00 -:0 ΟΔΗΓΙΕΣ:. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες.

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: /0/05 Ώρα εξέτασης: 0:00 -:0 ΟΔΗΓΙΕΣ:. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες.. Να γράφετε με μπλέ ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού.. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΘΕΜΑΤΑ. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα σημεία xy, του επιπέδου που ικανοποιούν την σχέση: 9x 9x y 5x y xy 0y. Δίνεται τρίγωνο με πλευρές a,.να, αποδείξετε ότι:. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και εγγεγραμμένο τραπέζιο ΑΒΓΔ // με ΑΒ<ΓΔ. Αν Ρ σημείο του τόξου ΓΔ στο οποίο δεν ανήκουν τα Α και Β, και P, P, P οι προβολές του Ρ στις ευθείες ΑΔ,ΒΓ,ΒΔ και ΑΓ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι: (α)οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων PP P τέμνονται πάνω στην πλευρά ΓΔ. (β)τα σημεία P, P, P είναι ομοκυκλικά. (γ)αν ΑΒ=α, ΓΔ=β και η απόσταση μεταξύ των παράλληλων χορδών είναι h να προσδιορίσετε όλα τα σημεία του άξονα συμμετρίας του τραπεζίου ΑΒΓΔ που βλέπουν τις μη παράλληλες πλευρές υπό ορθή γωνία και να υπολογίσετε την απόστασή τους από τις ΑΒ και ΓΔ συναρτήσει των α, β και h. Να εξετάσετε αν υπάρχουν πάντα τέτοια σημεία. (Για το (γ) να γίνει ξεχωριστό σχήμα).. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 6 διαιρεί το γινόμενο κάθε τριών διαδοχικών ακεραίων αριθμών και στη συνέχεια να δείξετε ότι ο 0 διαιρεί το γινόμενο όπου είναι οποιοσδήποτε περιττός αριθμός.

2 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: /0/05 Ώρα εξέτασης: 0:00 -:0 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα σημεία xy, του επιπέδου που ικανοποιούν την σχέση: 9x 9x y 5x y xy 0y 9x y x y 5 0 Παραγοντοποιώντας έχουμε: x y x yx y 5 0 Άρα xy 0, xy 0 και x y5 0. Τα σημεία τομής τους είναι κορυφές τριγώνου, και λύνοντας το σύστημα 0,5, 0,0,. βρίσκουμε τα σημεία και Επομένως το εμβαδόν του χωρίου είναι: 0 5 E

3 . Δίνεται τρίγωνο με πλευρές a,.να, αποδείξετε ότι: Έστω x, y και.άρα έχουμε xy x και y, επομένως x y, x y και με xy,, 0 αφού,, πλευρές τριγώνου. Από την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου έχουμε: x y xy y x y y x y xy x x Αντικαθιστώντας έχουμε:

4 . Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και εγγεγραμμένο τραπέζιο ΑΒΓΔ // με ΑΒ<ΓΔ. Αν Ρ σημείο του τόξου ΓΔ στο οποίο δεν ανήκουν τα Α και Β, και P, P, P οι προβολές του Ρ στις ευθείες ΑΔ,ΒΓ,ΒΔ και ΑΓ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι: (α)οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων PP P τέμνονται πάνω στην πλευρά ΓΔ. (β)τα σημεία P, P, P είναι ομοκυκλικά. (γ)αν ΑΒ=α, ΓΔ=β και η απόσταση μεταξύ των παράλληλων χορδών είναι h να προσδιορίσετε όλα τα σημεία του άξονα συμμετρίας του τραπεζίου ΑΒΓΔ που βλέπουν τις μη παράλληλες πλευρές υπό ορθή γωνία και να υπολογίσετε την απόστασή τους από τις ΑΒ και ΓΔ συναρτήσει των α, β και h. Να εξετάσετε αν υπάρχουν πάντα τέτοια σημεία. (Για το (γ) να γίνει ξεχωριστό σχήμα). (α) Έστω,τότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο,άρα τα σημεία,,, είναι ομοκυκλικά. Όμοια τα σημεία,,, είναι ομοκυκλικά. Άρα το σημείο Ν είναι το κοινό σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα PP P. P Δ P Α M N P Β Γ P Ρ (β) Προεκτείνοντας την ΡΝ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Μ. Τα τετράπλευρα και είναι εγγράψιμα σε κύκλο,άρα τέμνονται στο ίδιο σημείο Μ. Τα σημεία,, και,, είναι συνευθειακά γιατί αποτελούν τις ευθείες Simson των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΒΓ. Παίρνοντας δύναμη σημείου ως προς τους περιγεγραμμένους κύκλους έχουμε: και. Άρα τα σημεία P, P, P είναι ομοκυκλικά.

5 P P Δ (γ) Α Έστω M ΕΖ ο Β άξονας συμμετρίας του ΑΒΓΔ και Ρ πάνω στην ΕΖ ώστε 90. Άρα το Ρ βρίσκεται πάνω σε ημικύκλιο διαμέτρου ΒΓ. Η ευθεία ΕΖ τέμνει το ημικύκλιο το πολύ σε δύο σημεία τα οποία είναι τα ζητούμενα. P Από τα όμοια τρίγωνα ΡΕΒ και ΡΖΓ έχουμε: N Γ P Δ Α Ρ Ε Ζ Β Γ Ρ x h x Λύνοντας την τελευταία εξίσωση έχουμε: h h a και h h a x hx a 0 ή αντιστρόφως. Αν Αν ΕΖ. Αν h h h a 0 δεν ορίζεται σημείο Ρ. a 0 τότε θα υπάρχει μόνο ένα σημείο Ρ που θα είναι το μέσον της a 0 τότε θα υπάρχουν δύο τέτοια σημεία Ρ.

6 . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 6 διαιρεί το γινόμενο κάθε τριών διαδοχικών ακεραίων αριθμών και στη συνέχεια να δείξετε ότι ο 0 διαιρεί το γινόμενο όπου είναι οποιοσδήποτε περιττός αριθμός. Έστω τρεις διαδοχικοί ακέραιοι pp, και p.κάθε ακέραιος p μπορεί να γραφεί: p0mod, p mod ή p mod. Έστω P p p p Αν p 0mod τότε ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες του Ρ είναι άρτιος,άρα το Ρ διαιρείται με το 6. Αν p mod τότε έχουμε P άρα το Ρ διαιρείται με το και το και άρα και με το 6. Αν p mod τότε έχουμε P άρα το Ρ διαιρείται με το και το και άρα και με το 6. Q 5v 5v 5v 5 από την προηγούμενη σχέση Ρ, θέτοντας Τώρα αν vk τότε το Q γίνεται: Q 0k 6 0k 8 0k 0 8 5k 5k 5k 5.Όμως,επειδή οι αριθμοί 5k,5k,5k 5 είναι διαδοχικοί ακέραιοι,τότε το 6 διαιρεί το γινόμενο Q 5k 5k 5k 5 Q 5k 5k 5k 5 και επειδή το γινόμενο διαιρείται και με το 5 έχουμε: Q 5k 5k 5k Q 80 0.

Σχετικά έγγραφα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις