w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

Transcript

1 Πως εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας στα στερεά σώματα Πριν δούμε την μεθοδολογία, ας θυμηθούμε ότι : Για να εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.) για ένα σώμα, πρέπει στο σώμα αυτό να ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις. Συντηρητικές δυνάμεις ονομάζουμε τις δυνάμεις αυτές που το έργο τους κατά μήκος μιας κλειστής διαδρομής είναι μηδέν. Συντηρητικές δυνάμεις είναι το βάρος, οι ηλεκτρικές δυνάμεις, οι μαγνητικές δυνάμεις και η δύναμη του ελατηρίου. Αν σε ένα σώμα ασκούνται και μη συντηρητικές δυνάμεις, τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μόνο αν οι δυνάμεις αυτές έχουν μηδενικό έργο σε ολόκληρη την μετακίνηση του σώματος. Για να επιλύσουμε ασκήσεις στις οποίες μπορούμε να εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.), ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία : Μεθοδολογία Α) Σχεδιάζουμε το στερεό σώμα στην αρχική του θέση και στην τελική του θέση. Στην αρχική και την τελική θέση : i) Σχεδιάζουμε την ταχύτητα του σώματος (ή τις ταχύτητες υ, ω αν το σώμα εκτελεί κύλιση). ii) Φέρνουμε οριζόντια διακεκομμένη ευθεία η οποία διέρχεται από το κέντρο μάζας (cm) του σώματος. Σημειώνουμε πάνω στο σχήμα την απόσταση ανάμεσα στις δυο διακεκομμένες παράλληλες ευθείες, και την συμβολίζουμε με h (εφόσον το h δεν ορίζει κάποια άλλη απόσταση ή ύψος στην άσκηση). Η απόσταση αυτή μας δείχνει την κατακόρυφη μετατόπιση (προς τα πάνω ή προς τα κάτω) του κέντρου μάζας του σώματος. ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Τέλος ορίζουμε πάνω στο σχήμα την αρχική θέση ως θέση ( I ), και την τελική θέση ως θέση ( II ).

2 Β) Ορίζουμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας την κατώτερη θέση του κέντρου μάζας του σώματος. Αν στην άσκηση μας ζητούν το ύψος του κέντρου μάζας (ή του σώματος) από το έδαφος, τότε ορίζουμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το έδαφος. Γ) Σχεδιάζουμε το σώμα σε μια τυχαία ενδιάμεση θέση. Στην ενδιάμεση θέση σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ενεργούν στο σώμα. Αν υπάρχουν πλάγιες δυνάμεις δεν είναι απαραίτητο να τις αναλύσουμε σε συνιστώσες. Δ) Αν υπάρχουν μη συντηρητικές δυνάμεις πρέπει να δικαιολογήσουμε γιατί το έργο τους είναι μηδέν. Ε) Εξετάζουμε αν το στερεό σώμα στρέφεται γύρω από άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Αν όχι, τότε εφαρμόζουμε το θεώρημα του Steiner για να για βρούμε την ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής του στερεού σώματος. Στ) Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.). Ε = Ε Κ + U = Κ + U μηχ (αρχ) μηχ (τελ) αρχ αρχ τελ τελ ΑΣΚΗΣΗ Ομογενής και ισοπαχής ράβδος AΓ μάζας m και μήκους =0,3 m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται από το άκρο Α. Φέρνουμε τη ράβδο σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα και την αφήνουμε ελεύθερη. Να βρείτε την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν φτάσει στην κατώτερη θέση της. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας μιας ράβδου, μήκους και μάζας m ως προς άξονα που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από το κέντρο μάζας είναι θέση). Στην αρχική και την τελική θέση : I cm = m και g=0 m/s. Λύση Α) Σχεδιάζουμε την ράβδο ΑΓ σε οριζόντια θέση (αρχική θέση) και κατακόρυφη θέση (τελική

3 i) Σχεδιάζουμε την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. Αρχικά η ράβδος δεν στρέφεται (ω 0 =0) ενώ στην κατακόρυφη θέση έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω. ii) Φέρνουμε οριζόντια διακεκομμένη ευθεία η οποία διέρχεται από το κέντρο μάζας (cm) της ράβδου. Σημειώνουμε πάνω στο σχήμα την απόσταση ανάμεσα στις δυο διακεκομμένες παράλληλες ευθείες, και την συμβολίζουμε με h. Παρατηρούμε ότι : h=. Τέλος ορίζουμε πάνω στο σχήμα την αρχική θέση ως θέση ( I ), και την τελική θέση ως θέση ( II ). Β) Ορίζουμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας την κατώτερη θέση του κέντρου μάζας της ράβδου. Όπως φαίνεται στο σχήμα, το κέντρο μάζας βρίσκεται στην κατώτερη θέση όταν η ράβδος είναι κατακόρυφη (Θέση (ΙΙ) ). Άρα : U = 0. II Γ) Σχεδιάζουμε την ράβδο σε μια τυχαία ενδιάμεση θέση. Στην ενδιάμεση θέση σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ενεργούν στη ράβδο. Στην ράβδο ασκούνται το βάρος της w, που είναι συντηρητική δύναμη, και η δύναμη F A που δέχεται η ράβδος από τον σταθερό οριζόντιο άξονα. Σημείωση : Δεν είναι απαραίτητος ο σχεδιασμός και ο υπολογισμός της F A γιατί η κατεύθυνση και το μέτρο της αλλάζουν συνεχώς κατά την στροφική κίνηση της ράβδου. Εξάλλου όπως θα διαπιστώσουμε αμέσως παρακάτω (Βήμα Δ) η δύναμη αυτή δεν παίζει κανένα ρόλο στην επίλυση της άσκησης. 3

4 Δ) Η δύναμη F A είναι μη συντηρητική δύναμη. Όμως : Το σημείο εφαρμογής της δύναμης F A δεν μετατοπίζεται γιατί η δύναμη αυτή ασκείται στην ράβδο από σταθερό (δηλαδή ακίνητο) άξονα. Άρα : W = 0. Τα κείμενα με τα μπλε γράμματα πρέπει να τα γράφετε στην άσκηση. Ε) Εξετάζουμε αν η ράβδος στρέφεται γύρω από άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας της. Παρατηρούμε ότι η ράβδος στρέφεται γύρω οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο Α. Άρα : Σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner έχουμε : m 4 IA = Icm + m = m + = m + = m I 4 4 F A A = m () Στ) Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας για την ράβδο από την θέση (Ι) στην θέση (ΙΙ) UII = 0 KI = 0 () μηχ (I) μηχ (II) I I II II A Ε = Ε Κ + U = Κ + U 0 + mgh= I ω + 0 mgh= m ω g = ω 3 3 3g 3g ,3 g= ω 3g= ω ω = ω = = rad/s = 00 rad/s 3 ω = 0 rad/s. 4

5 ΑΣΚΗΣΗ Ομογενής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R, κατεβαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ. Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Κάποια χρονική στιγμή t η ταχύτητα του κέντρου μάζας του είναι υ 0 = m/s. Να βρείτε την ταχύτητα υ cm του κέντρου μάζας του κυλίνδρου όταν η κατακόρυφη μετατόπιση του θα είναι h=0,9 m. Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας του I cm = mr και g=0 m/s. Λύση Ορίζουμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας την κατώτερη θέση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου ( Θέση (II) ). Στο κύλινδρο ασκούνται το βάρος του w (συντηρητική δύναμη), η κάθετη δύναμη Ν που δέχεται από το έδαφος (μη συντηρητική δύναμη) και η στατική τριβή T στ (μη συντηρητική δύναμη). 5

6 Η δύναμη Ν είναι συνεχώς κάθετη στην μετατόπιση του κυλίνδρου. Άρα : wn = 0. Η στατική τριβή T στ δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της γιατί κάθε στιγμή ασκείται σε διαφορετικό σημείο του κυλίνδρου που έρχεται σε επαφή με το έδαφος στο οποίο κυλάει. Άρα : w = 0. Tστ Προσοχή : Μην ξεχνάτε ότι κατά την κύλιση ενός σώματος, η κινητική του ενέργεια είναι : μετ. στροφ. K=K +Κ K= mυcm + Icmω. Εφαρμόζουμε λοιπόν την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας για τον κύλινδρο από την θέση (Ι) στην θέση (ΙΙ) UII = 0 Εμηχ (I) = Εμηχ (II) ΚI + UI = ΚII + UII mυ0 + Icmω 0 +mgh= mυcm + Icmω + 0 mυ0 + Icmω 0+mgh=mυcm + Icmω mυ0 + mr ω 0+mgh=mυcm + mr ω υ0= ω0r υcm = ωr 0 0 ( 0 ) cm ( ) 0 0 cm cm 0 cm cm 3υ +4gh υ + Rω +gh=υ + Rω υ υ +gh=υ υ 3υ +4gh=3υ υ + + = 3 3υ 0 +4gh , υcm = υ cm = m/s = m/s = 6 m/s υ cm = 4 m/s