Βασικά Θέµατα στην ενότητα «Συνάρτηση οριζόµενη µε ολοκλήρωµα»

Transcript

1 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Βσικά Θέµτ στην ενότητ «Συνάρτηση οριζόµενη µε ολοκλήρωµ» Α Πεδίο ορισµού κι πράωος συνρτήσεων που ορίζοντι µε ολοκλήρωµ κι έχουν τύπους: f() = g() d ή h() f() = g() d ή h() f() = g() d φ() Μορφή Α «f() = g() d» (πλή συνάρτηση) Μι τέτοι συνάρτηση είνι κλά ορισµένη ότν: η συνάρτηση g είνι συνεχής σε έν διάστηµ (πρόσεξε! όχι ένωση διστηµάτων) κι τυτόχρον ισχύουν οι σχέσεις κι Αν κλέσουµε G() µι ρχική της g, δηλδή ν G() = g(), έχουµε: f() = g()d = G() G() f () = G () g()d = g(), µε κι ι κάθε Πρτήρηση: Το κάτω άκρο ολοκλήρωσης (δηλδή το ) κθορίζει τη στθερά c της ρχικής! Πράδειµ ον Έστω η συνάρτηση f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της κι η πράωός της Λύση Η συνάρτηση g() = έχει πεδίο ορισµού το g = (, + ), οπότε πρέπει ν ισχύουν οι σχέσεις: κι, που ισχύουν, άρ f = (, + ) κι f() = g() = ι κάθε (, + ), οπότε η συνάρτηση f είνι µι ρχική της g Σχόλιο: Στη περίπτωση που µπορούµε ν ολοκληρώσουµε, όπως στη δοσµένη συνάρτηση, ολοκληρώνοντς έχουµε: f() = d = = =, (, + ) Άρ f() = κι επειδή νωρίζουµε ότι κάθε συνάρτηση της µορφής y = + c, είνι µι ρχική της y =, πρτηρούµε ότι το κάτω άκρο ολοκλήρωσης κθορίζει τη στθερά c της ρχικής! Πράδειµ ον πράωός της Έστω η συνάρτηση f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της κι η Θ Ρ

2 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Λύση Η συνάρτηση g() = έχει πεδίο ορισµού το g = (, ) (, + ) (Πρόσεξε! Το πεδίο ορισµού είνι ένωση διστηµάτων) (, ) (, + ) Πρέπει λοιπόν ν ισχύουν οι σχέσεις: (Ι) κι ή (ΙΙ) κι (, ) (, + ) Το σύστηµ (ΙΙ) είνι δύντο, οπότε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είνι το f = (, ) Επίσης ισχύει ότι f () = g() = ι κάθε (, ) Πρόσεξε ότι η συνάρτηση f δεν είνι µι ρχική της συνάρτησης g, ιτί µι ρχική της g είνι η y = ln κι η οποί έχει πεδίο ορισµού το (, ) (, + ) Σχόλιο: Η συνάρτηση f() = d, ερζόµενοι µε όµοιο τρόπο, έχει πεδίο ορισµού το (, + ), οπότε µπορούµε ν πούµε ότι µι ρχική της συνάρτησης g είνι η συνάρτηση: G() = d, < d, >, διότι h(), < G() =, > Μορφή Β «f() = g() d» (σύνθετη συνάρτηση) Μι τέτοι συνάρτηση είνι κλά ορισµένη ότν: η συνάρτηση g είνι συνεχής σε έν διάστηµ κι τυτόχρον ισχύουν οι σχέσεις:, κι h() h Αν κλέσουµε G() µι ρχική της g, δηλδή ν G() = g(), έχουµε: h() f() = g()d = G(h()) G() f () = G (h()) h () h() g()d = g(h()) h (), µε κι ι κάθε h µε h() ln + Πράδειµ ον Έστω η συνάρτηση f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της κι η πράωός της + Λύση Η συνάρτηση g() = έχει πεδίο ορισµού το g = (, ) (, + ) (Πρόσεξε! το πεδίο ορισµού είνι ένωση διστηµάτων) Θ Ρ

3 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Πρέπει ν ισχύουν οι σχέσεις: > (, ) ln (, ) (Ι) ή > (, + ) ln (, + ) (ΙΙ) Το σύστηµ (ΙΙ) είνι δύντο, οπότε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ρίσκετι πό τη σχέση (Ι): > > > (, ) κι κι, άρ f = (, ) ln< ln< ln < ln ln Επίσης ισχύει ότι f() = + (ln) = + ι κάθε (, ) ln (ln ) h() Μορφή Γ «f() = g() d» (διφορά δύο σύνθετων συνρτήσεων) φ() Μι τέτοι συνάρτηση είνι κλά ορισµένη ότν: η συνάρτηση g είνι συνεχής σε έν διάστηµ κι τυτόχρον ισχύουν οι σχέσεις: h, φ, φ() κι h() Αν κλέσουµε G() µι ρχική της g, δηλδή ν G() = g(), έχουµε: h() f() = g()d = G(h()) G(φ()) f () = G (h()) h () G (φ()) φ () h() φ() φ() g()d = g(h()) h () g(φ()) φ () ι κάθε h φ µε φ() κι h() Πράδειµ 4 ον Έστω η συνάρτηση 4+ f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της κι η 5 4 πράωός της Λύση Η συνάρτηση g() = έχει πεδίο ορισµού το g = (, 5) (5, + ) (Πρόσεξε! το 5 πεδίο ορισµού είνι ένωση διστηµάτων) Επειδή οι συνρτήσεις h() = 4 + κι φ() = 4 έχουν πεδίο ορισµού το, ρκεί ν ισχύουν οι σχέσεις: κι < 4+ <5 4 5 (Ι) ή κι > 4+ >5 4 5 < κι < <, ενώ το σύστηµ (ΙΙ) είνι ισοδύνµο µε το < Άρ το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g είνι το g = (, ) (ΙΙ) Το σύστηµ (Ι) είνι ισοδύνµο µε το κι > > που είνι δύντο Θ Ρ

4 Επίσης ισχύει ότι: Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) ( ) ( ) f () = (4+ ) (4 ) f() = Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ - 5 Στις συνρτήσεις που ορίζοντι µε ολοκλήρωµ κι στις οποίες η µετλητή της B συνάρτησης ρίσκετι µέσ στο ολοκλήρωµ, θ πρέπει ν εξχθεί ως στθερά εκτός ολοκληρώµτος κι µετά ν πρωίσουµε Η έξοδος της µετλητής πό το ολοκλήρωµ επιτυχάνετι είτε µε πράξεις είτε µε λλή της µετλητής ολοκλήρωσης Μορφή Α «f() = h() g() d» (Η έξοδος της µετλητής επιτυχάνετι µε πράξεις) Πράδειµ ον ποδείξετε ότι Λύση Έστω η συνάρτηση f () = f() + ln + f() ln d = Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού κι ν + f() = ln d f() = ln d f() = ln d Πρτήρησε ότι η συνάρτηση f είνι ινόµενο δυο συνρτήσεων, της ln d g() = κι της h() = Το πεδίο ορισµού της g είνι το A g = To πεδίο ορισµού της h είνι εκείνο που είνι το A (, + ) ( ) ( ) ( ), + προσδιορίζετι πό τις σχέσεις:, + Ah = (, + ) Εποµένως το πεδίο ορισµού της f, + f = f() f () f() f () f() f() = ln d ln d = ln = ln = ln = f () f() f () = f() + ln Πρόσεξε! στις πρωίσεις υτού του είδους, πρώτ ν ποµονώνεις τη συνάρτηση ολοκλήρωµ κι µετά ν πρωίζεις! Μορφή Β «f() = g(,) d» (Η έξοδος της µετλητής επιτυχάνετι µε ντικτάστση) Πράδειµ ον Έστω η συνάρτηση f() = ηµ( ) d, Ν ρεθεί η πράωός της Θ Ρ 4

5 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) = u d = du Λύση f() = ηµ( ) d Θέτουµε = u, = είνι u= ι ι = είνι u= οπότε έχουµε: ( ) ( ) f() = ηµ( ) d = ( u)ηµu -du = ( u)ηµu du= ηµu uηµu du f() = ηµu du-u ηµu du f() = ηµu du- u ηµu du f() = ηµu du- u ηµu du f() = () ηµu du + ηµu du u ηµu du = ηµu du + ηµ ηµ = ηµu du f() = συνu = συν συν = συν+ [ ] ( ) ( ) Πράδειµ ον Έστω η συνάρτηση f() = ln( ) d, > Ν ρεθεί η πράωός της u = d = du Λύση f() = ln( ) d Θέτουµε = u, οπότε έχουµε: ι = είνι u= ι = είνι u= f() = ln( ) d = ln u du = ln u du f () = ln u du f() = ln ( ) f() = ln Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ 6 - Γ Στις συνρτησικές σχέσεις ισότητς που περιέχουν συνρτήσεις που ορίζοντι µε ολοκλήρωµ κι νζητάµε την εύρεση µις συνάρτησης f, ερζόµστε ως εξής: Πρωίζουµε ως προς κι τ δύο µέλη της ισότητς Μετσχηµτίζουµε την ισότητ που προκύπτει πό την πρώιση ώστε ν έχουµε τη µορφή µις νωστής διφορικής εξίσωσης: f() = g() f() = g() + c, ( ) f() = f() f() = c, ( ) f() = f() f() = c ( ) ( ) Το τέχνσµ του πολλπλσισµού µε το G() G() G() i ( ) G(), όπου G() = g(), G() ρχική της g()): f() + g()f() = f () + G ()f() = f() = G() f() = c, Θ Ρ 5

6 ii Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) g() f()d + f()d = g() f()d + f() = G() g() G() + = f()d f() ( ) G() G() G() ( ) G() = = = c f()d f()d c f()d G() f() f() = f() f() = f () = f () = c δ ( ) ( ) ( ) f() = f() f() + f () = f() + f () f () + f() = f() + f () f() + f () = c ε ( ) Βρίσκουµε τη στθερά c θέτοντς κτάλληλη τιµή στο 4 Ελέχουµε ν η f() επληθεύει την ρχική σχέση Πράδειµ ον Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f στο η οποί ι κάθε ικνοποιεί τη f() σχέση f() + = d, f() Λύση f() + = d f() + = f() d f() f() d + = µε Πρωίζουµε (εξηείστε ιτί έχουµε το δικίωµ) ως προς κι έχουµε: f() + f () + = f() f () = f () = + c ν < Πρόσεξε τώρ το λεπτό σηµείο! f () = ( ),, f() = + c ν > Επειδή η συνάρτηση είνι συνεχής στο, ισχύει Lim f() = Lim f() = f() c = c = f(), άρ τελικά f() = + c() Γι = η δοσµένη σχέση ίνετι: σχέση () ι = ίνετι f() c c c Αν θέσουµε στη σχέση + f() f() + = d f() =, οπότε η = + = + =, άρ τελικά f() = +, f() f() d + =, όπου f() = +, έχουµε: ( + ) + = ( + ) d + = + + = +, άρ επληθεύετι Πράδειµ ον Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f στο µε y ικνοποιεί τη σχέση + + = ( ) Λύση f() = κι η οποί ι κάθε f() d f()d dy Πρωίζουµε ως προς (εξηείστε ιτί έχουµε το δικίωµ) κι έχουµε: ( ( ) ) + + = f() + = f()d Πρωίζουµε ι δεύτερη φορά (εξηείστε ιτί έχουµε το δικίωµ) κι έχουµε: f() d y f()d dy Θ Ρ 6

7 ( ) Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) f() + = f()d f () = f() f () + f() = Πολλπλσιάζουµε κι τ δύο µέλη µε το κι έχουµε: f () + f() = ( f() ) = f() = + c Η τελευτί ι = δίνει f() = + c f() = + c, όµως πό την υπόθεση είνι άρ τελικά c=, οπότε η ζητούµενη συνάρτηση είνι η f() = f() = y Αν θέσουµε στη σχέση ( ) + + f() d f()d dy =, όπου f() =, έχουµε: y y + + d d dy dy = + + = y y + ( ) ( ) dy y + = + + =, + + = (( ) ( ) ) + + = + +, άρ επληθεύετι f() =, Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ - 7 Η ύπρξη των ριζών µις εξίσωσης της µορφής f() = σε διάστηµ εξσφλίζετι συνήθως µε εφρµοή ή του θεωρήµτος του BOLZANO ι την f ή θεωρήµτος ROLLE σε µι ρχική συνάρτηση της f Η µονδικότητ της ρίζς εξσφλίζετι συνήθως µε τη µονοτονί της συνάρτησης στο Μορφή Α Χρήση του Θεωρήµτος Bolzano Πράδειµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ι κάθε [, ] ισχύει f() > 7 Ν δειχθεί ότι στο διάστηµ (, ) υπάρχει µονδική ρίζ της εξίσωσης Λύση συνάρτηση Ανζητάµε ρίζ της εξίσωσης h() = f() d 4 + 5, η οποί είνι συνεχής στο [, ] f() d = 4 5 f() d = 4 5 f() d = Θεωρούµε τη Έχουµε h() = f() d = κι h() = f() d + 5 = f() d 7 Επειδή f() > 7 f()d > 7d f()d > 7[] f()d > 7 f()d 7 > h() > Άρ h() h() <, οπότε ισχύει το θεώρηµ του Bolzano ι τη συνάρτηση h στο [, ], άρ υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε h( ) = Θ Ρ 7

8 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Η συνάρτηση h έχει πράωο h() = f() 4> 7 4>, άρ η συνάρτηση h είνι νήσι ύξουσ, εποµένως η ρίζ είνι µονδική Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ 8 - Μορφή Β Χρήση του Θεωρήµτος Roll Πράδειµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει υπάρχει (, ) ώστε ν ισχύει f( ) = + ln Λύση Ανζητάµε ρίζ της εξίσωσης f() = + ln f() ln = Έστω η συνάρτηση h() f() ln f() d = Ν δειχθεί ότι = η οποί έχει µι ρχική την ( ) H() = f() ln d H() = f() d d ln d = f() d [] [ln ] = f() d ( ) (ln ln+ ) H() = f() d + ln + H() = f() d ln Η συνάρτηση H() είνι συνεχής κι πρωίσιµη στο [, ] H() = κι H() = f() d ln = =, άρ ισχύει ι την H το θεώρηµ του Roll, οπότε υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε ν ισχύει H() = h() = f() = + ln Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ 4 Ε Σε σκήσεις που έχουµε πρωίσιµες συνρτήσεις σε κάποιο διάστηµ = [, ] κι µι νισοϊσότητ της µορφής f() g() ισχύει ι κάθε, εφρµόζουµε το Θεώρηµ του Frma Πράδειµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι κάθε > ισχύει Ν ρεθεί το f() Λύση Έστω η συνάρτηση ισχύει h() Είνι άρ το + f() d + ln + f() d ln min + f() d + ln h() = + f() d ln, η οποί είνι πρωίσµη κι ι κάθε > h() = + f() d ln =, εποµένως ισχύει h() h(), ι κάθε >, h() = y, οπότε ισχύει το ΘFrma κι έχουµε h() = Θ Ρ 8

9 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Πρωίζουµε κι έχουµε h () = + f() d ln h () = + f() h () = + f() = f(), κι επειδή h() = έχουµε τελικά ότι f() = Πράδειµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι κάθε > ισχύει + f() d ln+ Ν ρεθεί το f() Λύση Έστω η συνάρτηση ισχύει h() Είνι άρ το + f() d ln + + f() d ln min h() = + f() d ln, η οποί είνι πρωίσµη κι ι κάθε > h() = + f() d ln =, εποµένως ισχύει h() h(), ι κάθε >, h() = y, οπότε ισχύει το ΘFrma κι έχουµε h() = ln Πρωίζουµε κι έχουµε h () = + f() d ln h () = + f() h () = + f() = f(), κι επειδή h() = έχουµε τελικά ότι f() = Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ 5-8 Στ Συχνά συνντάµε θέµτ στ οποί ζητείτι η εύρεση ενός ορίου µις συνάρτησης στην οποί κάποιος όρος περιέχει ολοκλήρωµ κι η µετλητή του ορίου ρίσκετι στ άκρ ολοκλήρωσης Σε ενικές ρµµές τ θέµτ υτά ντιµετωπίζοντι ως εξής: Μορφή Α Σε όρι της µορφής h() Lim g()d, όπου εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού φ() υπολοίζουµε το όριο ως εξής: Αν κλέσουµε h() f() = g()d, τότε έχουµε ότι f() = g(h()) h () g(φ()) φ (), φ() οπότε φού η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη, είνι κι συνεχής, άρ Πράδειµ ον Λύση h( ) Lim f() = f( ) = g()d φ( ) Ν ρεθεί το όριο ηµ Lim d Θ Ρ 9

10 Αν Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) ηµ g() =, τότε το πεδίο ορισµού της g είνι το A g = (, ) (, + ) Αν θέσουµε ηµ f() = d, τότε το πεδίο ορισµού της f ρίσκετι πό τις σχέσεις: < > κι ή κι, άρ A f = (, + ) Η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη µε < > ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ f () = ( ) () = =, άρ συνεχής οπότε συνεχής κι στη ηµ θέση =, άρ Lim f() = f() = d = Μορφή Β Αν µπορούµε ν ολοκληρώσουµε, υπολοίζουµε το ολοκλήρωµ κι στη συνέχει υπολοίζουµε το όριο Πράδειµ ον Λύση + Ν υπολοισθεί το όριο Lim ln d [ln ] [] ( )ln( ) ln ( ) ln d = () ln d = [ln ] (ln ) d = [ln ] d = = = = ( + )ln( + ) ln, άρ νζητάµε το όριο Lim (( )ln( ) ln ) + Έχουµε: ( ) Lim (+ )ln(+ ) = ln= κι ( ) ( ) ( ) ln + ( ln ) Lim ln = Lim = Lim = Lim = Lim = Lim =, άρ τελικά = ( + + ) = ( ) ( ) + + Lim ln d Lim ( )ln( ) ln + + Μορφή Γ Σε όρι που οδηούν σε οριστί L Hospial Lim ( + )ln( + ) Lim ln = ή ± ± χρησιµοποιούµε τους κνόνες d Πράδειµ ον Λύση Ν ρεθεί το ηµ d Lim Θ Ρ

11 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) ηµ d ηµ ηµ Lim ηµ d Lim Lim Lim = = = = Μορφή Σε όρι της µορφής h() Lim g()d + χρησιµοποιούµε είτε το κριτήριο πρεµολής είτε φ() το θεώρηµ µέσης τιµής ι τ ολοκληρώµτ Μελέτησε το κόλουθο πράδειµ Πράδειµ 4 ον Ν ρεθεί το Lim d + + Λύση ος Τρόπος Συνθετικός (Ειδικός) + (+ ) d d d d d d [] d [] [ + ] d [+ ] d Όµως Lim = Lim =, άρ κι + + Lim d = + ος Τρόπος Με την ιδιότητ m( ) f()d M( ) κι κριτήριο πρεµολής (Γενικός) Αν f() = τότε f() = <, > + ( + ) + Στο διάστηµ [, +] η συνάρτηση f είνι νήσι φθίνουσ κι έχει m = f(+ ) κι M = f(), οπότε εφρµόζοντς το ότι «ν µι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] τότε m ( ) f()d M ( )», έχουµε: + m (+ ) f()d M (+ ) f( + ) d f() + + d Θ Ρ

12 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Όµως Lim = Lim =, άρ κι Lim d = + ος Τρόπος Εφρµόζοντς το ΘΜΤ Αν η συνάρτηση f() = έχει µι ρχική, έστω την F, τότε έχουµε: + + d = F( + ) F() Η συνάρτηση F είνι πρωίσιµη στο [, +], οπότε + εφρµόζοντς το ΘΜΤ στο διάστηµ [, +], πάντ θ ρίσκουµε έν ξ που θ εξρτιέτι πό F( + ) F() το, δηλδή θ υπάρχει ξ() [, +] : F(ξ()) = f(ξ()) = F(+ ) F(), οπότε έχουµε: d = f(ξ())( + ) d = + + ξ () + Είνι ξ() + κι ισχύει ότι Lim = Lim( + ) =+, άρ κι Lim ξ() = +, οπότε + Lim d = Lim = ξ() + ξ () Μορφή E Σε όρι της µορφής h() Lim g()d +, όπου στον τύπο της συνάρτησης που φ() ολοκληρώνουµε υπάρχουν ηµ(, ) κι συν(, ) (συνρτήσεις οι οποίες ότν το ± δεν έχουν όριο) χρησιµοποιούµε τη πρότση f()d f ()d, φού πρώτ την ποδείξουµε Στις περιπτώσεις υτές συνήθως το όριο είνι ίσο µε µηδέν Θέµ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] τότε ι κάθε [, ] ισχύει ότι f()d f ()d Απόδειξη Είνι νωστό ότι ι κάθε ισχύει η σχέση:, οπότε κι ι κάθε [, ] έχουµε ντίστοιχ ότι f() f() f() Αφού f συνεχής, συνεχείς είνι κι οι f, f, οπότε ολοκληρώνοντς στο [, ] έχουµε: f ()d f()d f() d, κι µε άση τη νωστή ιδιότητ των πολύτων τιµών «θ θ θ», συµπερίνουµε ότι f()d f ()d Πράδειµ 5 ον Λύση Ν ποδειχθεί ότι π ηµ() Lim d = + + Θ Ρ

13 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Επειδή +, είνι > κι π (), οπότε κι, άρ κι + > () ηµ() ηµ() ηµ() π d d d d d d d = π π π π π π π π ηµ() π ηµ() π d d + + π, όµως π Πράδειµ 6 ον Ν ποδειχθεί ότι Λύση Επειδή, είνι < κι () ( + ) ( + ) Lim =, οπότε + ( + ηµ) ) Lim d = π ηµ() Lim d = + + ηµ) ηµ) d = d = + ηµ d + d ( ) d d [] ( ) ( ) ( ) ( ηµ) ) + d, όµως Lim =, οπότε ( + ηµ) ) Lim d = + + = + = + = d+ d Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ 9-4 Προτεινόµεν θέµτ Θέµ ον 4 Έστω η συνάρτηση f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της Ν µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ Θέµ ον 4+ ln Έστω η συνάρτηση f() = d 4 Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της Ν µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ Θέµ ον 4 Έστω η συνάρτηση f() = d + Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της Ν µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ Θέµ 4 ον Έστω η συνάρτηση f() = ln( ) d + ln(u + ) du Θέµ 5 ον Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της Ν µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ Έστω η συνάρτηση ηµ f() = ln d συν Θ Ρ

14 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της Ν µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ Θέµ 6 ον συν Έστω η συνάρτηση f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού κι ν ποδείξετε f() + συν ότι f() =, > Θέµ 7 ον Θέµ 8 ον Έστω η συνάρτηση Έστω η συνάρτηση ηµ() d f() =, Ν ρεθεί η πράωός της f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού κι ν ποδείξετε ότι f() + f() = Θέµ 9 ον ηµ( ) Έστω η συνάρτηση f() = d, Ν ρεθεί η πράωός της + ηµ( ) Θέµ ον Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε f() > ι κάθε Ν µελετηθεί η συνάρτηση Θέµ ον Θέµ ον g() = ( )f()d, µε, ως προς τη µονοτονί κι τη κµπυλότητ Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f στο η οποί ι κάθε ικνοποιεί τη σχέση f() d = ( ) Επίσης ν ρεθεί η τιµή του Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f στο η οποί ι κάθε ικνοποιεί τη σχέση f() = f() d Θέµ ον Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f στο η οποί ι κάθε ικνοποιεί τη σχέση f() ln d = + Επίσης ν ρεθεί η τιµή του Θέµ 4 ον Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f στο η οποί ι κάθε > ικνοποιεί τη σχέση f() f() = d Θέµ 5 ον Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f, ι την οποί ι κάθε ισχύει η σχέση: f() f() = (+ ) + d + Θέµ 6 ον Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο µε την ιδιότητ = + + f() f() ( ) d, ι + κάθε Ν ρεθεί η f Θέµ 7 ον Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε την ιδιότητ f()d = f() ι κάθε Ν ρεθεί η συνάρτηση f Θ Ρ 4

15 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 8 ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ι κάθε [, ] ισχύει f() < Ν δειχθεί ότι στο διάστηµ (, ) υπάρχει µονδική ρίζ της εξίσωσης f() d = Θέµ 9 ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ι κάθε [, ] ισχύει f() < Ν δειχθεί ότι στο διάστηµ (, ) υπάρχει µονδική ρίζ της εξίσωσης Θέµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ι κάθε [, ] δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) ώστε ν ισχύει f()d = f() d = είνι f() Ν ξ f() d = f() d Θέµ ον Οι συνρτήσεις f() κι g() είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει f() > κι g() < ι κάθε [, ] Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει µονδικό [, ] τέτοιο ώστε g()d Θέµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει ότι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) ώστε ν ισχύει Θέµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει ότι Θέµ 4 ον υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) ώστε ν ισχύει Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, π] κι ισχύει ότι ξ f(ξ) = + ξ ξ ξ f() d = Ν δειχθεί ότι f() d = f()d = f(ξ) π f() d = π υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, π) ώστε ν ισχύει f(ξ) = ηµξ ξ Θέµ 5 ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι κάθε > ισχύει το f() Θέµ 6 ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι κάθε < ισχύει ρεθεί το f() Θέµ 7 ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι κάθε > ισχύει f() d = +, ν ρεθεί το f() f() d ln + Ν δειχθεί ότι Ν δειχθεί ότι Ν ρεθεί + f() d + f() d ln + Ν Αν Θ Ρ 5

16 Θέµ 8 ον Θέµ 9 ον Θέµ ον Θέµ ον Θέµ ον Θέµ ον Θέµ 4 ον Θέµ 5 ον Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο ι την οποί ισχύει Ν ποδειχθεί ότι f() = Ν υπολοισθεί το όριο Lim ln d ηµ d Ν υπολοισθεί το όριο Lim ηµ d + Ν υπολοισθεί το όριο Lim + + Ν υπολοισθεί το όριο Lim d Lim + + Ν υπολοισθεί το όριο d Ν υπολοισθεί το όριο Lim d + + Ν υπολοιστεί το όριο Lim d + Θέµ 6 ο Αν f() = κι f() =, τότε ν υπολοιστεί το όριο (Στις σκήσεις 7-4 χρησιµοποίησε την ιδιότητ Θέµ 7 ο Θέµ 8 ο Θέµ 9 ο Θέµ 4 ο - f()d f() d ) ηµ( + ) συν Ν υπολοιστεί το όριο Lim d Ν υπολοιστεί το όριο Ν υπολοιστεί το όριο Ν υπολοιστεί το όριο 5 ηµ Lim d Lim ( συν ) d + 4 ηµ + συν Lim d Lim ηµ f()d ι κάθε f() d Θέµ 4 ον Θέµ 4 ον Ν υπολοιστεί το όριο Ν υπολοιστεί το όριο 4 Lim συν d ηµ + συν+ Lim d + + Θ Ρ 6

17 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Ερώτηση Ερώτηση Ερώτηση Ερώτηση 4 Ερώτηση 5 Ερώτηση 6 Ερώτηση 7 Ερώτηση 8 Ζ Βσικές Έννοιες Ποιος είνι ο συµολισµός Libniz ι την πράωο; Απάντηση df() dy f () = ή πλούστερ y = d d Σχόλιο: Το σύµολο dy δεν είνι κλάσµ λλά συµπεριφέρετι σν κλάσµ d Πως ρίσκουµε το διφορικό µις συνάρτησης f; Απάντηση Έστω µι συνάρτηση y = f() πρωίσιµη στο Το διφορικό της f στη θέση το συµολίζουµε µε d (f()) ή dy κι είνι d (f()) = f () d Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστηµ [, ] είνι ολοκληρώσιµη σε υτό; Απάντηση Νι, λλά υτό δεν σηµίνει ότι µπορούµε ν ρούµε το ολοκλήρωµ της οποιδήποτε συνεχούς συνάρτησης, όπως ι πράδειµ δεν µπορούµε ν υπολοίσουµε τ d µε < < ή d µε < < ln Ποιες είνι οι ολοκληρώσιµες συνρτήσεις ι µς; Απάντηση Ολοκληρώσιµες συνρτήσεις ι µς είνι οι συνεχείς, µε την έννοι ότι «ν δεν είνι συνεχής, δεν είνι ολοκληρώσιµη!» Το ολοκλήρωµ f ()d σν έννοι τι είνι; Απάντηση Είνι ένς πρµτικός ριθµός είτε θετικός είτε ρνητικός είτε κόµ κι µηδέν Το ορισµένο ολοκλήρωµ f ()d µε τι ισούτι; Απάντηση Αν F µι ρχική συνάρτηση της f, δηλδή ισχύει ότι F () = f(), ι κάθε [,], τότε f()d = F() F() Το ολοκλήρωµ f ()d πό τι εξρτάτι; Απάντηση Εξρτάτι µόνο πό τη συνάρτηση f κι το διάστηµ [, ] Γι το λόο υτό τ ολοκληρώµτ f ()d κι f (u)du πριστάνουν τον ίδιο ριθµό, οπότε έχουµε ότι f ()d = f (u)du Αν < κι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει f() > ή f() ή f() < ή f() ι κάθε [, ] νωρίζουµε το πρόσηµο του f ()d ; Απάντηση Νι, είνι ντίστοιχ σε κάθε περίπτωση f()d < ή f()d f()d > ή f()d ή ΘΡ 7

18 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Πρότση Αν Η Βσικές προτάσεις f, g συνεχείς στο [, ] µε f() g(), ι κάθε [, ] ισχύει η σχέση: f()d g ()d Απόδειξη Αφού f() g() f() g() ( f() g() ) f ()d g()d f()d g() d Πρότση Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] τότε f()d f ()d Απόδειξη Είνι νωστό ότι ισχύει ι κάθε ισχύει η σχέση:, οπότε κι ι κάθε [, ] έχουµε ντίστοιχ ότι f() f() f() Αφού f συνεχής τότε συνεχείς είνι κι οι f, f, οπότε οι συνρτήσεις f, f, f είνι ολοκληρώσιµες Ολοκληρώνοντς στο [, ] κι µε άση το προηούµενο έχουµε: f ()d f()d f() d (), οπότε µε άση τη νωστή ιδιότητ των πολύτων τιµών: «θ θ θ», πό την () συµπερίνουµε ότι f()d f ()d Πρότση Πρότση 4 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], υπάρχουν m,m τέτοι ώστε m ( ) f()d M ( ) Απόδειξη Εφόσον η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] έχει ελάχιστη κι µέιστη τιµή Αν λοιπόν κλέσουµε m = ymin κι M = yma τότε ι κάθε [, ] ισχύει: m f() M Ολοκληρώνοντς τη σχέση υτή έχουµε: md f()d Md m [ ] f()d M[ ] d f()d M d m m ( ) f()d M ( ) Αν ι κάθε [, ] ισχύει η σχέση f ()d > τότε «υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε f( ) >» Απόδειξη Είνι f()d = F( ) F( ), όπου F µι ρχική συνάρτηση της f, οπότε f()d F( ) F( = ) () Επειδή ()d f > F( ) F( ) συµπερίνουµε ότι > () κι > >, πό την () Θ Ρ 8

19 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Η συνάρτηση F είνι πρωίσιµη στο [, ] διότι F () = f() (), άρ κι συνεχής, οπότε ι υτήν ισχύει το ΘΜΤ, άρ υπάρχει (, ) µε F( ) F( ) () F( ) F( ) () F ( ) = f( ) = f( ) > Σχόλιο Τον συλλοισµό µς µπορούσµε ν τον υποστηρίξουµε κι µε εις άτοπο πωή, δηλδή ν ι κάθε [, ] ίσχυε ότι f() θ ήτν f ()d Πρότση 5 Αν ι κάθε [, ] ισχύει η σχέση f ()d < (, ) τέτοιο ώστε f( ) <» Απόδειξη τότε «υπάρχει τουλάχιστον έν Είνι f()d = F( ) F( ), όπου F µι ρχική συνάρτηση της f, οπότε f()d F( ) F( = ) () Επειδή ()d f < κι > >, πό την () F( ) F( ) συµπερίνουµε ότι < () Η συνάρτηση F είνι πρωίσιµη στο [, ] διότι F () = f() (), άρ κι συνεχής, οπότε ι υτήν ισχύει το ΘΜΤ, άρ υπάρχει (, ) µε F( ) F( ) () F( ) F( ) () F ( ) = f( ) = f( ) < Σχόλιο Τον συλλοισµό µς µπορούσµε ν τον υποστηρίξουµε κι µε εις άτοπο πωή, δηλδή ν ι κάθε [, ] ίσχυε ότι f() θ ήτν f ()d Πρότση 6 Αν ι κάθε [, ] ισχύει η σχέση: f ()d = τότε «υπάρχει τουλάχιστον έν [, ] τέτοιο ώστε f( ) =» Απόδειξη Είνι f()d = F( ) F( ), όπου F µι ρχική συνάρτηση της f, οπότε f()d F( ) F( = ) () Επειδή ()d f = κι > >, πό την () F( ) F( ) συµπερίνουµε ότι = () Η συνάρτηση F είνι πρωίσιµη στο [, ] διότι F () = f() (), άρ κι συνεχής, οπότε ι υτήν ισχύει το ΘΜΤ, άρ υπάρχει (, ) µε F( ) F( ) () F( ) F( ) () F ( ) = f( ) = f( ) = ΘΡ 9

20 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Σχόλιο Τον συλλοισµό µς µπορούσµε ν τον υποστηρίξουµε κι µε εις άτοπο πωή, δηλδή ν ι κάθε [, ] ίσχυε ότι f() µις κι η f είνι συνεχής θ διτηρούσε πρόσηµο στο [, ], οπότε θ ήτν: ή f () > ι κάθε [, ], άρ κι f ()d > που είνι άτοπο, ή f () < ι κάθε [, ], άρ κι f ()d < που είνι άτοπο Πρότση 7 Αν ισχύει ότι δ f ()d = f() d µε < < < δ κι = δ τότε υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) κι τουλάχιστον έν (, δ), άρ, τέτοι ώστε ν ισχύει f( ) = f( ) Απόδειξη Είνι f()d = F( ) F( ), όπου F µι ρχική συνάρτηση της f, οπότε f()d F( ) F( = ) () Η συνάρτηση F είνι πρωίσιµη στο [, ] διότι F () = f() (), άρ κι συνεχής, οπότε ι υτήν ισχύει το ΘΜΤ, άρ υπάρχει F( ) F( ) () F( ) F( ) () (, ) µε F ( ) = f( ) = f()d = f( ) f()d = f( )( ) () Είνι f()d = F( δ) F( ), όπου F µι ρχική συνάρτηση της f, οπότε δ δ f()d F( δ) F( ) = (4) Η συνάρτηση F είνι πρωίσιµη κι συνεχής στο δ δ [, δ] κι εφρµόζοντς το ΘΜΤ συµπερίνουµε ότι υπάρχει (, δ) µε F( δ) F( ) () F ( ) = δ f()d = f( )( δ ) (4) δ Όµως δ F( δ) F( ) ( ) = δ f (4) f()d = δ ( ) δ f ()d = f() d κι πό τις () κι (4) έχουµε ότι f( )( ) = f( )( δ ) κι επειδή = δ f( ) = f( ) Σηµείωση: Αν νωρίζουµε ότι η f είνι κι πρωίσιµη τότε µπορούµε ν εφρµόσουµε το Θεώρηµ Roll στο [, ] [, δ], οπότε θ υπάρχει (, ) (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = δ f Πρότση 8 Αν ισχύει η σχέση: f ()d > κι f ()d < κι µε υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε f( ) = < < τότε οπότε Θ Ρ

21 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Απόδειξη Επειδή f ()d >, πό τη πρότση 4 συµπερίνουµε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε f( ) > Επειδή f ()d <, πό τη πρότση 5 συµπερίνουµε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε f( ) < Είνι [, ] [, ] Οπότε ι την f ισχύουν στο διάστηµ [, ] οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος Bolzano, οπότε υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε f( ) = Πρότση 9 Πρότση Αν < κι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει f() ι κάθε [, ] κι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) τέτοιο ώστε f(ξ) >, τότε f()d > Απόδειξη Αφού η συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι = ξ είνι f(ξ) > θ είνι κι Lim f() >, οπότε ι κοντά στο ξ θ είνι f() >, δηλδή θ υπάρχει δ > ξ τέτοιο ώστε ι κάθε (ξ δ, ξ) (ξ, ξ+δ) ν είνι f() >, οπότε θ είνι κι ξ+ δ f()d > (Ι) Έχουµε λοιπόν τ εξής: ξ δ Γι [, ξ-δ], είνι f(), οπότε Γι [ξ+ δ, ], είνι f(), οπότε Είνι: ξ δ ξ+ δ ξ δ f()d (ΙΙ) ξ+ δ ξ δ ξ+ δ f()d (ΙΙΙ) f()d = f()d + f()d + f()d που λόω των (Ι), (ΙΙ) κι (ΙΙΙ) έχουµε τελικά ότι f()d > Σχόλιο: Το ίδιο κριώς συµπέρσµ ίνει κι ν ξ [, ] Αν < κι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει f() ι κάθε [, ] κι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) τέτοιο ώστε f(ξ) <, τότε f()d < Απόδειξη Η πόδειξη της πρότσης είνι όµοι µε την πόδειξη της πρότσης 9 Σχόλιο: Το ίδιο κριώς συµπέρσµ ίνει κι ν ξ [, ] ΘΡ

22 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θ Βσικά Θέµτ Θέµ Μι σηµντική ντικτάστση που διευκολύνει τον υπολοισµό ενός ορισµένου ολοκληρώµτος f ()d είνι η = + y Στη περίπτωση υτή µάλιστ ισχύει ότι Αν f ()d = f( + ) d, διότι: I = f() d () κι θέσουµε = + y τότε y = + dy = d Γι = u = κι ι = u =, οπότε η () πίρνει τη µορφή: I = f() d οπότε = f ( + y)( dy) = f()d = f(+ )d f ( + y) dy, Στη περίπτωση που έχουµε άκρ που είνι ριθµοί ντίθετοι, δηλδή ν έχουµε f ()d τότε προκύπτει η ντικτάστση = y Εφρµοή Ν ποδειχθεί ότι ι τη συνεχή συνάρτηση f ορισµένη στο [, ] µε < ισχύει ότι f ()d = f( ) d Απόδειξη Έχουµε Ι = f()d Θέτουµε = + y = y κι έχουµε: d = dy Γι = είνι y = κι ι = είνι y =, οπότε Ι = f( y)( dy) = f( y)dy = f( y)dy = f( )d Θέµ Πρέπει ν ξέρουµε ν υπολοίζουµε τ ολοκληρώµτ της µορφής A = d κι + = B + d Τ ολοκληρώµτ υτά υπολοίζοντι κάνοντς την ντικτάστση = εφy Αν θέσουµε = εφy d = ( εφy) dy d = ( + εφ y) dy κι ρίσκοντς τ νέ άκρ ολοκλήρωσης, έστω κι δ θ έχουµε: = A + d δ δ δ = + εφ = = = δ ( y)dy εφ + dy [y] y δ εφ y δ Β = d = + ( + εφ y)dy = εφ ydy () Πρόσεξε τώρ! εφ y + Είνι = + εφ, οπότε εφ = κι η () πίρνει τη µορφή: συν συν δ δ Β = dy [εφy y] = = (εφδ δ) (εφ ) συν y Θ Ρ

23 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ Θέµ 4 Αντίστροφη συνάρτηση κι Ολοκλήρωµ Σε ολοκληρώµτ που περιέχετι η ντίστροφη συνάρτηση θέτουµε = f(u) ν θ περάσουµε πό την f στην f ή f (u) = ν θ περάσουµε πό την f στην κι κάνουµε λλή της µετλητής Μελέτησε τ πρδείµτ που κολουθούν Πράδειµ ον Αν η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη κι «-» στο διάστηµ [, ], ν δειχθεί ότι f() f() Απόδειξη f ()d= f()d (f: ) Αν θέσουµε = f(u), έχουµε: d = f (u)du κι ι = f() f(u) = f() u=, ενώ ι f() f() (f: ) = f() f(u) = f() u=, οπότε: f ()d= f (f(u))f(u)du= Πράδειµ ον uf (u)du = f ()d Αν η συνάρτηση f είνι «-» κι έχει ντίστροφη την το I= f()d f () f = + ν ρεθεί Λύση Θέτουµε = f (u) d = ((f (u) ) du d = u + du Γι = f (u) = u + u= u(u + ) = u= Γι = f (u) = u + u= u + u= u + u = (u )(u + u+ ) = u=, οπότε έχουµε: I = f()d = f(f (u)) u + du = u u + du = u + u du 4 4 u u u u 5 I = + 4 = + = + = Ολοκλήρωση Άρτις ή Περιττής συνάρτησης σε διάστηµ [-, ] Μι συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α κι ι κάθε A A κλείτι: Άρτι ότν ι κάθε A ισχύει f( ) = f() Περιττή ότν ι κάθε A ισχύει f( ) = f() ΘΡ

24 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Ισχύει ότι: Απόδειξη f()d = f()d, ν f άρτι f()d =, ν f περιττή Αν θέσουµε Ι = f()d = f()d + f()d Ι = f()d κι Ι = f()d θ δείξουµε ότι Ι = Ι Κάνουµε λλή στη µετλητή του ολοκληρώµτος I θέτοντς = u, οπότε d = du Γι = u = ενώ ι = u=, κι επειδή f άρτι ισχύει f( u) = f(u), οπότε τελικά έχουµε: Ι = f()d = f( u)( du) = f( u)du = f(u)du = f()d = I I= I, άρ f()d = f()d Αν θέσουµε Ι = f()d = f()d + f()d Ι = f()d κι Ι = f()d θ δείξουµε ότι Ι = Ι Κάνουµε λλή στη µετλητή του ολοκληρώµτος I θέτοντς = u, οπότε d = du Γι = u = ενώ ι = u=, κι επειδή f περιττή ισχύει f( u) = f(u), οπότε τελικά έχουµε: I= I + I f()d = Πράδειµ ον Ν ρεθεί το ολοκλήρωµ Απόδειξη Αν θέσουµε f(), άρ Ι = f()d = f( u)( du) = f(u)du = f()d = I συν d = συν d, έχουµε συν d = άρ η συνάρτηση f είνι περιττή, οπότε f( ) = ( ) συν ( ) = συν = f(), Πράδειµ ον Ν ρεθεί το ολοκλήρωµ συν+ + I = d Θ Ρ 4

25 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Απόδειξη συν+ συν I = d= d+ d Η συνάρτηση g() συν = είνι + συν( ) συν περιττή ιτί g( ) = = = g(), ενώ η συνάρτηση h() = συν+ είνι άρτι ιτί h( ) = = = h(), οπότε d= + + κι + d= d= ln(+ ) = ln(+ )( ) = ln(+ ) + +, άρ τελικά συν+ I = d=ln(+ ) + Θέµ 5 Ολοκληρώµτ της µορφής λ d,, κ Σε ολοκληρώµτ της µορφής υτής ερζόµστε ως εξής: λ λ λ λ Ι= d= d d d = = κ κ κ κ Επειδή είνι, µπορούµε ν θέσουµε = ηµω = ηµω, οπότε κάνοντς λλή στη µετλητή υπολοίζουµε το ολοκλήρωµ Πράδειµ Ν υπολοισθεί το I= 4 d Λύση I= 4 d= 4 d= d 4 Θέτουµε = ηµω = ηµω d = (ηµω)dω d = συνωdω Γι = ηµω = ω =, ενώ ι π = ηµω = ω =, οπότε έχουµε: π π π I= d= ηµ ω συνωdω = 4 συν ωσυνωdω = 4 συνω συνωdω π Επειδή ω συνω συνω = συνω, οπότε έχουµε: π π π + συνω ηµω π I= 4 συν ωdω = 4 dω = + συνω dω = ω + = = π ( ) π ΘΡ 5

26 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Ι Έλεχος Γνώσεων Από τις κόλουθες προτάσεις άλλες είνι σωστές κι άλλες λάθος Απντήστε κι εξηήστε την πάντησή σς Σ - Λ Σ - Λ Σ Λ Σ - Λ Σ - Λ Σ - Λ Σ - Λ Αν () f > κι f συνεχής στο τότε ισχύει ότι f()d > Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ln(5 ) ln f() = d είνι το (, ) (, + ) Το πεδίο ορισµού της f () = d είνι το A = (,4] 4 Αν ι τη συνεχή συνάρτηση f, ισχύει ι κάθε ότι f()d = τότε η συνάρτηση f είνι περιττή 5 δ Αν ι τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει η σχέση: f ()d = f() d µε < < < δ κι = δ, τότε υπάρχουν (, ) κι (, δ) τέτοιο ώστε f( ) = f( ) 6 Αν ι τη συνεχή συνάρτηση f ισχύουν: f ()d κι f ()d < µε < <, τότε υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f( ) = 7 Αν µι συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι κάθε [, ] ισχύει η σχέση: f ()d =, τότε υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = 8 Αν ι τη πρωίσιµη συνάρτηση f :[,] ισχύει ι κάθε πρµτικό ριθµό [,] ότι f 5 () + 4f() = 5 Εξηήστε τις κόλουθες προτάσεις: Ορίζετι η ντίστροφη της f Είνι f () = κι f () = Είνι f () = δ Η συνάρτηση f είνι νήσι ύξουσ στο [,] ε Ισχύει f ()d = f()d στ Είνι f () >, ι κάθε πρµτικό ριθµό (,) ζ Το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις ρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι f είνι τµ 5 Θ Ρ 6

27 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Ι Ειδικές Ασκήσεις στ Ολοκληρώµτ Σε πολλές σκήσεις χρησιµοποίησε τη σχέση: f()d = f(+ )d Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει f ( + ) = f() ι κάθε + ν ποδείξετε ότι f ()d = f() d Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή πράωο στο [,] κι ι κάθε [,] ισχύει ότι f() + f() f () = f ( ), ν ποδείξετε ότι f()d = Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι ι κάθε, y ισχύει f ( + y) = f() + f(y) + y, ν ποδείξετε ότι f()d = π Αν >, > κι + =, ν ποδείξετε ότι: ln( εφ)d =, ln( σφ)d = π Ν ποδείξετε ότι d = (θέστε = εφy ) + Ν υπολοίσετε το ολοκλήρωµ = I d ( + )( + ) π Ν ποδείξετε ότι d = (θέστε = εφy ) + Ν υπολοίσετε το ολοκλήρωµ = I d ( + )( + ) ίνετι η συνάρτηση f µε την ιδιότητ f () f( ) = +, ι κάθε Ν ρεθεί η συνάρτηση f π Ν δείξετε ότι f()d = + ln Αν οι συνρτήσεις f,g είνι συνεχείς στο [, ] κι f() = f( ), g () + g( ) =, ι κάθε [, ], ν ποδειχθεί ότι f ()g()d = f()d ln( + ) Ν υπολοίσετε το ολοκλήρωµ (θέστε = εφy ) + Ν υπολοίσετε το ολοκλήρωµ = I d + ίνετι η συνάρτηση f µε την ιδιότητ f ( + ) + f( ) =, ι κάθε, όπου, στθεροί πρµτικοί ριθµοί Ν ποδείξετε ότι f ()d = Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή πράωο στο [, ] κι ι κάθε [, ] ισχύει f( ) + f( ) f () = f ( + ), ν ποδείξετε ότι f()d = ΘΡ 7

28 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο µε f(), ι κάθε είξτε ότι f( ) d = f( ) + f( ) Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, δείξτε ότι: Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, δείξτε ότι: [ f() f( )]d = f ()d = [f() + f( )] d Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ = I 4 + d = f ()d [f() + f( )]d Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ π I = 4 ln( + εφ)d Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [,], η f είνι άρτι κι η g είνι f() περιττή, ν ποδειχθεί ότι d = g() + f() d Αν > κι οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [,], η f είνι άρτι κι η g f() είνι περιττή, ν ποδειχθεί ότι d = g() + f() d Ν ρεθούν τ όρι: (µε χρήση της ιδιότητς - ηµ( + ) συν I = Lim d, I = Lim ( συν ) d , Ν υπολοισθούν τ ολοκληρώµτ: I = d, I = 9 4 d f()d f() d ) 5 ηµ I = Lim d, ηµ + συν I = Lim d Ν υπολοισθούν τ ολοκληρώµτ: + + I = ηµ ln d, I = ln d + + Θ Ρ 8

29 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) ΣΤ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Θέµ ο Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ι κάθε [, ] ισχύει ότι < f() <, ν δείξετε ότι η εξίσωση (, ) + f()d = έχει µονδική ρίζ στο Θέµ ο Ν υπολοιστούν τ ολοκληρώµτ: + + ln I = d, I = d +, π ηµ I 4 = d, συν π I π 7 συν 5 = d ηµ συν + ln I = d, (ln) Θέµ ο Αν f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] κι ισχύει ότι ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ): f(ξ)= g(ξ) f()d = g()d, ν ***Θέµ 4 ο Θέµ 5 ο ***Θέµ 6 ο Θέµ 7 ο ***Θέµ 8 ο ίνετι η πρωίσιµη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το κι τιµές στο µε f() = κι f() f () ι κάθε Ν ποδείξετε ότι f() = ι κάθε Έστω ο πρµτικός ριθµός κι δύο συνεχείς συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το I, τιµές επίσης στο µε ισχύει ότι f()d = g()d κι ι τις οποίες ι κάθε f()d g()d Ν ποδειχτεί ότι f() = g() κι f() = g() ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το +, µε τιµές στο κι την οποί ισχύει ότι f() = κι ι κάθε > είνι f() =, Η συνάρτηση f(y)dy = f() Ν δειχτεί ότι f είνι συνεχής στο πίρνει τιµές στο κι ισχύει f()d = f(4)d Ν δείξετε ότι υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f(ξ) = ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το, τιµές στο κι ι την οποί ισχύει ι κάθε ότι κάθε f( y)ηµydy = Ν δείξετε ότι f() =, ι ΘΡ 9

30 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 9 ο Θέµ ο Θέµ ο Θέµ ο Θέµ ο ***Θέµ 4 ο ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το, µε τιµές στο ι την οποί ισχύει ι κάθε ότι Ν δειχτεί ότι f() = f()d ίνοντι οι ριθµοί, µε < < κι η πρωίσιµη συνάρτηση f στο [, ] µε τιµές στο ι την οποί ισχύει ότι ποδειχτεί ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f() = f()d = f() f() Ν Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµ (, + ), τιµές στο µε την ιδιότητ f() f() d = ι κάθε Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το κι µε τιµές στο, µε την ιδιότητ f()d = f() ι κάθε Ν ρεθούν οι πρωίσιµες συνρτήσεις f µε πεδίο ορισµού το κι µε τιµές f() στο * µε την ιδιότητ f() = + d, ι κάθε f() Αν η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το IR κι µε τιµές στο έχει την ιδιότητ > f() f()d = ι κάθε, ν ποδειχτεί ότι f() =, Θέµ 5 ο Αν η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη στο [, 7] κι ισχύει δείξετε ότι υπάρχει (, 7) τέτοιο ώστε f( ) = 7 f()d = f()d, ν 5 Θέµ 6 ο Θέµ 7 ο Θέµ 8 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το µε τιµές στο µε την ιδιότητ f()d συν ι κάθε Ν δείξετε ότι f() = Ν υπολοιστεί το όριο + Lim d + + Έστω η πρωίσιµη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το µε τιµές στο µε f()d = κι f()d = 9 Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f(ξ) = 6ξ ΘΡ

31 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) ***Θέµ 9 ο ***Θέµ ο Θέµ ο ***Θέµ ο Θέµ ο ***Θέµ 4 ο Αν m, M είνι ντίστοιχ η ελάχιστη κι η µέιστη τιµή των συνεχών συνρτήσεων f, g µε πεδίο ορισµού το [, ], οι οποίες πίρνουν τιµές στο κι ισχύει f()d = g()d = (m + M), ν ποδειχτεί ότι f()g()d (m M ) + ίνοντι οι συνεχείς συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το [, ] κι µε τιµές στο Αν f() > ι κάθε [, ], ν δείξετε ότι υπάρχει ξ [, ] τέτοιο ώστε f()g()d = g(ξ) f()d Αν < < < δ, η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι ισχύει δ f()d f()d <, ν δειχτεί ότι υπάρχει ξ (, δ) τέτοιο ώστε f(ξ) = Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] µε f()d Αν η f συνεχής στο [, ] µε f() > κι [, ] τέτοιο ώστε f() = f()d f()d =, ν ποδειχτεί ότι <, ν ποδειχτεί ότι υπάρχει ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [, ], µε f() < κι f()d > 4 Ν δειχτεί ότι υπάρχει (, ) τέτοιο f() = Θέµ 5 ο ίνετι η συνάρτηση > f() =, = ln, Ν υπολοιστεί το I= f()d ***Θέµ 6 ο ***Θέµ 7 ο Έστω f πρωίσιµη κι περιττή συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το * κι µε τιµές στο I µε f() = κι ι κάθε ισχύει ότι f() =, f() = f()d Ν δειχτεί ότι ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το κι τιµές στο Αν ι το στθερό ριθµό ορίζουµε τις συνρτήσεις ν ποδειχτεί ότι h() = ( )f()d g() = f()d κι h() = g()d, ΘΡ

32 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) ***Θέµ 8 ο ***Θέµ 9 ο Θέµ ο ***Θέµ ο Αν f συνεχής συνάρτηση στο [, ] κι µε τιµές στο [, δ] µε + δ κι ( )δ f()d =, ν ποδειχτεί ότι η f είνι στθερή συνάρτηση + δ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, + ), πίρνει τιµές στο κι έχει f()= f() κι f() >, ν ποδειχτεί ότι Lim = d Η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη κι «-» στο [, ] µε f()= κι f()= Ν δειχτεί ότι ισχύει: f ()d = [ f()]d Αν η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη κι νησίως µονότονη, ν δειχτεί ότι f() f()d + f ()d = f() f() f() =f() - f() Θέµ ο Ν ρεθεί ο τύπος της συνάρτησης + + = f () ( )f() f ότν ισχύουν οι σχέσεις: f() = κι Θέµ ο Θέµ 4 ο Ν ρεθεί το Ν ρεθεί το ηµ + συν+ Lim d Lim d Θέµ 5 ο Θέµ 6 ο Θέµ 7 ο Θέµ 8 ο Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], ν ποδειχτεί ότι υπάρχουν,, [, ] τέτοι ώστε f()d = f() + f() + f() Ν ρεθεί το Lim εφ()d + ln(συν()) Ν ρεθεί η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το (, + ) κι µε τιµές στο ν ισχύει f() > κι f() ηµ f() = + d, ι κάθε (, + ) π π Ν ρείτε την συνεχή συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το, κι µε τιµές στο f()ηµ π π ι την οποί ισχύει: f() = + d ι κάθε, συν ΘΡ

33 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 9 ο Θέµ 4 ο ***Θέµ 4 ο ***Θέµ 4 ο Θέµ 4 ο ***Θέµ 44 ο ***Θέµ 45 ο Θέµ 46 ο Αν η f συνεχής συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το [, ] µε f() =, f() = κι f()d =, ν ποδείξετε ότι υπάρχει (, ) µε f() = f() Ν υπολοιστεί το όριο Lim d + + Αν f συνεχής στο [, ] κι τέτοι ώστε ν ισχύουν: f() ι κάθε [, ], δείξτε ότι η f είνι «-» κι ρείτε το f() = d κι f () + f()d Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το κι µε τιµές στο ι την οποί ισχύει 4 f() = + f( )ηµ()d ι κάθε Έστω η πρωίσιµη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [, ] κι τιµές στο µε f() = ι την οποί ισχύει: f() = Υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f()d ι κάθε [, ] Ν ποδείξετε ότι: f()d = Υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f( ) = δ Υπάρχει εφπτοµένη της ρφικής πράστσης της συνάρτησης f που σχηµτίζει µε τους άξονες ορθοώνιο κι ισοσκελές τρίωνο Έστω οι µιδικοί ριθµοί z,z κι η συνάρτηση f ορισµένη στο µε τύπο ι την οποί ισχύει f() f() = z + z d ι κάθε είξτε ότι: z = Η εξίσωση f() = έχει κριώς µι λύση στο (, + ) z Γι κάθε ισχύει: z + d 4 Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [, ] Αν κλέσουµε µε m την ελάχιστη τιµή της, ν ποδειχτεί ότι Αν f συνεχής συνάρτηση στο, f( + )d f()d, ν ποδειχτεί ότι f() = f() ( ) f()d f()d m < κι ι κάθε ισχύει η σχέση ΘΡ

34 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 47 ο Θέµ 48 ο ***Θέµ 49 ο ***Θέµ 5 ο ***Θέµ 5 ο ***Θέµ 5 ο Θέµ 5 ο ίνετι η συνεχής συνάρτηση f στο ι την οποί ισχύει ι κάθε ότι f( ) = f( + ) Ν ποδειχτεί ότι + + f()d = f()d ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το που ικνοποιεί ι κάθε τη σχέση f() = + ( )f()d Ν ποδειχτεί ότι f() = +, ίνοντι οι συνρτήσεις f, g συνεχείς στο [, ] Αν ισχύει ότι g() > ι κάθε [, ] κι η συνάρτηση f, φενός δεν είνι στθερή κι φετέρου τ κρόττά της που είνι ντίστοιχ f min του (, ), ν ποδείξετε ότι: Υπάρχει ξ (, ): Υπάρχει (, ): = m, f ma f()g()d = f(ξ) g()d = M, προυσιάζοντι σε εσωτερικά σηµεί f()g()d = m g()d + M g()d Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Αν η ευθεί y = 6 + εφάπτετι της ρφικής πράστσης της συνάρτησης f στο (, f()) κι ορίσουµε τη συνάρτηση h() = f()d, τότε: Ν ρεθεί ο τύπος κι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης h Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση h είνι συνεχής στο = Ν ρεθεί η h() δ Ν ρεθεί η εξίσωση της εφπτοµένης της ρφικής πράστσης της συνάρτησης h στο σηµείο (, h()) Αν η συνάρτηση f είνι δυο φορές πρωίσιµη στο [, ] µε f() < ι κάθε [, ], f() = κι f() >, ν ποδειχτεί ότι d f() f () f() + Ν ποδειχθεί ότι ι κάθε ισχύει ότι + Αν η συνάρτηση f είνι δυο φορές πρωίσιµη στο µε f() = f () = κι f() ισχύει ι κάθε ότι f () + =, ν ποδειχθεί ότι f() =, Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το µε τιµές στο ι την οποί f() f() ισχύει ι κάθε ότι = + Ν ρείτε τον τύπο της συνάρτησης f Ν ρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f Ν ποδείξετε ότι ι κάθε, µε < ισχύει f() f() < ΘΡ 4

35 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) δ Ν υπολοίσετε το ολοκλήρωµ f() I d = Θέµ 54 ο Θέµ 55 ο Ν υπολοισθούν τ όρι: + Κ = Lim d Μ = Lim d + + ίνοντι οι συνρτήσεις f() = σφ µε (, π) κι g() = εφ µε Ν δείξετε ότι ορίζοντι στο οι συνρτήσεις Ν ποδείξετε ότι f ()d= g ( )d f κι g π π, ***Θέµ 56 ο ***Θέµ 57 ο ***Θέµ 58 ο ίνετι η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το (, + ) κι µε τιµές στο, η οποί είνι δυο φορές πρωίσιµη µε f() =, f () = κι ι την οποί ι κάθε > ισχύουν οι σχέσεις: f () > κι f () = (f ()) Ν ποδείξετε ότι: f() + f (), ι κάθε > ( ) f() f()d, µε > Έστω η συνεχής συνάρτηση f τέτοι ώστε ν ισχύει f() Α Ν ποδείξετε ότι: i f() + ln f() =, ι κάθε ii Η συνάρτηση f ντιστρέφετι κι ν ρεθεί η f Β Αν η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη στο, τότε: i Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι νήσι ύξουσ f() ii Ν ποδείξετε ότι f() = [+ f()] f() iii Ν υπολοίσετε τ ολοκληρώµτ I = d κι I + f() f() = ι κάθε = d + f() f() f() Έστω η συνάρτηση f τέτοι ώστε ν ισχύει + = ι κάθε Ν ρείτε τον τύπο της κθώς κι το σύνολο τιµών της Ν ρείτε το εµδόν του χωρίου που ορίζετι πό την ρφική πράστση της f, την εφπτοµένη της στο σηµείο (, f()) κι την ευθεί = Ν ποδείξετε ότι d = + + δ Ν ρείτε την f κι ν λύσετε την εξίσωση f() f () = ΘΡ 5

36 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 59 Θέµ 6 Θέµ 6 ***Θέµ 6 ***Θέµ Έστω η συνάρτηση f µε f() = Ν ρεθούν οι σύµπτωτες της ρφικής πράστσης της f Ν µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ Ν µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη κµπυλότητ κι τ σηµεί κµπής δ Ν ίνει ρφική πράστση της συνάρτησης ε Ν ρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( λ) + + =, λ στ Ν ρεθεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη ρφική πράστση της f, την πλάι σύµπτωτή της κι την ευθεί = Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [, ] κι µε τιµές στο ι την οποί ισχύει ξ f()d = ξ f()d = Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού κι µε τιµές στο κι Αν ι τη συνάρτηση g µε πεδίο ορισµού το ισχύει ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι στθερή g() g() f() d = +,, ν ίνετι η δυο φορές πρωίσιµη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το, τιµές στο κι µε f() > ι κάθε Έστω η συνάρτηση g µε τύπο + g() = f()d, Ν ποδείξετε ότι: Η συνάρτηση g είνι πρωίσιµη στο κι ι κάθε ισχύει g ( + ) = g ( ) Η εξίσωση 5 f(+ ) + f(5 ) = f()d έχει λύση στο διάστηµ (,) + Η ρφική πράστση της συνάρτησης g έχει έν κι µόνο έν σηµείο κµπής, το οποίο ν ρεθεί ίνετι η δυο φορές πρωίσιµη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [, ] µε f() > ι κάθε [, ] Αν < f() < f() ν ποδείξετε ότι: Υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = f() f() Η f στο [, ] έχει µέιστο το f() Ισχύει f() + f() f()d 5 ΘΡ 6

37 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 64 ***Θέµ 65 ***Θέµ 66 Θέµ 67 Θέµ 68 Θέµ 69 Θέµ 7 Θέµ 7 Θέµ 7 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : µε f() > ι κάθε Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση g() = ( )f()d, µε, είνι κυρτή στο Αν m,m είνι ντίστοιχ η ελάχιστη κι η µέιστη τιµή της συνεχούς συνάρτησης f στο [,] µε >, ν ποδείξετε ότι mln f()d Μ ln Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f :, ι την οποί ι κάθε f() σχέση: f() = (+ ) + d + Έστω η συνεχής συνάρτηση f : µε f() = κι f() Ν ποδειχθεί ότι lim f() = + + Ν ρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης f ισχύει η ι κάθε Ν ρεθούν οι συνεχείς συνρτήσεις f µε πεδίο ορισµού κι σύνολο τιµών το οι οποίες ικνοποιούν ι κάθε τη σχέση f() = + f( )d Οι συνρτήσεις f,g,h είνι συνεχείς στο [, ] µε f()d =, h()d = Ν δειχθεί ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε 6 g()d = κι f() + g() + h() = Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:[, + ), της οποίς µι ρχική είνι η F µε F() = κι ι κάθε ισχύει η σχέση f() = F() Έστω η συνεχής συνάρτηση f:r R µε την ιδιότητ f( ) + f(+ ) = f() ι κάθε Ν ποδειχθούν τ εξής: Η συνάρτηση f είνι άρτι, f()d = f()d, ι κάθε, f()d = f()d 995 ίνοντι οι συνεχείς συνρτήσεις f,g :[,] µε g() ι κάθε [,] f() Αν f() = f() κι d = f() ι κάθε [,], ν δείξετε ότι f() = g() Θέµ 7 Έστω η πρωίσιµη συνάρτηση f: µε την ιδιότητ µε f() = Ν υπολοισθεί το f()d = ι κάθε f() Θέµ 74 * ίνοντι οι συνρτήσεις f,g : κι ο στθερός ριθµός Αν η f είνι πρωίσιµη, η g συνεχής κι άρτι κι η f είνι επίσης άρτι, ν δειχθεί ότι: ΘΡ 7

38 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) f() + f( ) = f() ι κάθε f()g()d = f( )g( )d f()g()d = f() g()d Θέµ 75 Έστω η συνεχής συνάρτηση f: µε Ν ρεθεί η f f() + f() = (+ ) + d, ι κάθε Θέµ 76 Έστω η συνεχής συνάρτηση f: µε την ιδιότητ ποδειχθεί ότι υπάρχει [4, ] τέτοιο ώστε f() = 6 f()d = f(4)d Ν Θέµ 77 Θέµ 78 Έστω η συνεχής συνάρτηση f: µε την ιδιότητ f()d = f()d ι y κάθε,y Ν δειχθεί ότι η συνάρτηση f είνι στθερή ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:(, + ) µε Αν f() = κι f() =, ν ποδειχθεί ότι + y f()d f()d ι κάθε > f()d = 4 Θέµ 79 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : µε ποδειχθεί ότι f() = f() f()d = ι κάθε Ν Θέµ 8 Ν υπολοισθεί το λ I(λ) d, = λ > κι το lim I(λ) λ + Θέµ 8 Ν υπολοισθεί το lim I(λ), όπου λ + λ I(λ) = d Αν < <, ν ποδειχθεί ότι (+ ) d (+ )d Θέµ 8 Αν ι κάθε ισχύει η σχέση πό το σηµείο (, ), τότε: Ν ρεθεί η f() = κι η f f() 5 f() (6 5) C διέρχετι Ν ρεθεί το, ώστε η εφπτοµένη της C f στο σηµείο (, f() ) ν έχει συντελεστή διεύθυνσης Θέµ 8 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε f()d < ( ) f(ξ) = ξ Αν f() > ν ΘΡ 8

39 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 84 Θέµ 85 Θέµ 86 Θέµ 87 Θέµ 88 Θέµ 89 Θέµ 9 Θέµ 9 Θέµ 9 Θέµ 9 Η συνάρτηση f είνι νήσι ύξουσ κι πρωίσιµη στο [, + ) µε f() κι f() > ι κάθε (, + ) Ν δειχθεί ότι η συνάρτηση g() = f()d, >, είνι νησίως ύξουσ Θεωρούµε τη συνάρτηση f ορισµένη στο διάστηµ [, ] µε f() > ι κάθε [, ] Ν ρεθεί (, ) τέτοιο ώστε το εµδόν του χωρίου µετξύ των ευθειών =, =, του διράµµτος της f κι της ευθείς y = f( ), ν είνι ελάχιστο Η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη στο [, 4] κι ισχύει f() >, µε f συνεχή στο [, 4] Ν ποδειχθεί ότι 4 f(4) f()d + f ()d = 4f(4) f() f() Οι συνρτήσεις f() κι g() είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει f() > κι g() < ι κάθε [, ] Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει µονδικό [, ] τέτοιο ώστε f()d = g()d Οι συνρτήσεις f() κι h() είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει h() > ι κάθε [, ] Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει [, ] τέτοιο ώστε f()h()d = f() h()d ίνετι η συνάρτηση ln ηµ(π )d f() = Ν µελετηθεί ως προς τη µονοτονί στο διάστηµ, * Ν ποδειχθεί ότι η f έχει δυο τουλάχιστον ρίζες στο + Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη πράωο κι ισχύει [f() + f ()]ηµd = Αν f(π) =, ν ρεθεί το f() Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη πράωο στο [κ, λ] Αν ισχύει f(κ) = f(λ) κι f(κ) λ λ =, ν ποδειχθεί ότι f(λ) κ f ()d = κ Έστω οι συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το, µε g() = f() f()d κι g() νήσι φθίνουσ συνάρτηση στο Ν ποδειχθεί ότι f() = ι κάθε Ν υπολοισθούν τ ολοκληρώµτ: d ln I = κι I = d ln[ln(ln)], > ( ) π ΘΡ 9

40 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Στη συνέχει ν ρεθεί το lim I () + Θέµ 94 Θέµ 95 Θέµ 96 Θέµ 97 Αποδείξτε ότι ι κάθε ισχύει ότι + Έστω f:[, ] συνεχής κι νησίως µονότονη συνάρτηση µε f() = Αν υπάρχει (, ) ώστε f() =, ν ποδειχθεί ότι: i f(), ii d Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, 5] µε f() < ι κάθε (, 5) Ν 5 ποδειχθεί ότι f()d < 5 f()d Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι f()d< Αν f() > ν ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε f(ξ) = ξ π Έστω ότι f()d = π, όπου f() συνεχής συνάρτηση στο, Ν ποδειχθεί π ότι υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε f( ) = συν Θέµ 98 Έστω f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] µε f()[g() + ]d = Ν ποδειχθούν τ εξής: f ()d = f () = g() = ι κάθε [,] f()d= g ()d = κι Θέµ 99 Θέµ Θέµ Θέµ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ι την οποί ι κάθε ισχύει ότι f() + ( )f( ) = + Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ I= f()d Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστηµ κι,,, δ Ν ποδειχθεί δ δ δ ότι f()d f()d + f()d f()d = f()d f()d Έστω η συνεχής συνάρτηση f : µε f() > ι κάθε Ν ποδειχθεί ότι 4 f() + f()d f() + f() + f() f()d Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστηµ = [, ] ι την οποί ισχύει = Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ f()d τέτοιο ώστε f(ξ) = ξ ΘΡ 4

41 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ Θέµ 4 Θέµ 5 Θέµ 6 Θέµ 7 Θέµ 8 Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστηµ = [, ] ι την οποί ισχύει f()d = f()d Ν ποδειχθεί ότι υπάρχουν κ, λ [, ] τέτοι ώστε f(κ) + f(λ) = Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστηµ = [, ] ι την οποί ισχύει 6 f()d= Ν ποδειχθεί ότι υπάρχουν ξ [, ] τέτοιο ώστε f(ξ) = ξ + ξ + Έστω f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] µε f()d < g()d Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε f(ξ) = g(ξ) κι f() g() > Έστω f, g πρωίσιµες συνρτήσεις στο, όπου η f είνι νησίως ύξουσ κι η g νησίως φθίνουσ στο Αν f ()d = g()d, δείξτε ότι οι ρφικές πρστάσεις C f κι τέµνοντι σε µονδικό σηµείο του διστήµτος (,) Αν ι κάθε ισχύει ότι f()d + g()d, ποδείξτε ότι f () + f() = g() + g() είξτε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f( ) = g( ) είξτε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε ( ) + g ( ) f = Έστω η πρωίσιµη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµ [, ] κι f () > ι κάθε [, ] Αν ι κάθε (, ) ισχύει ότι f () >, ν ποδειχθεί ότι f () [ f( ) ] [ f( ] f( ) d + = ln f()d ln f( ) ) Έστω µι πρµτική συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πρµτικών ριθµών ΙR, ι την οποί ισχύουν οι σχέσεις: f(), ι κάθε κι f()= - f ()d, ι κάθε Έστω η g η συνάρτηση που ορίζετι πό τον τύπο g() f() = -, ι κάθε C g είξετε ότι ισχύει f() = - f () είξετε ότι η συνάρτηση g είνι στθερή είξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είνι: δ Βρείτε το όριο Li m (f()ηµ) + f() = + ΘΡ 4