Βασικά Θέµατα στην ενότητα «Συνάρτηση οριζόµενη µε ολοκλήρωµα»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Βασικά Θέµατα στην ενότητα «Συνάρτηση οριζόµενη µε ολοκλήρωµα»"

Transcript

1 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Βσικά Θέµτ στην ενότητ «Συνάρτηση οριζόµενη µε ολοκλήρωµ» Α Πεδίο ορισµού κι πράωος συνρτήσεων που ορίζοντι µε ολοκλήρωµ κι έχουν τύπους: f() = g() d ή h() f() = g() d ή h() f() = g() d φ() Μορφή Α «f() = g() d» (πλή συνάρτηση) Μι τέτοι συνάρτηση είνι κλά ορισµένη ότν: η συνάρτηση g είνι συνεχής σε έν διάστηµ (πρόσεξε! όχι ένωση διστηµάτων) κι τυτόχρον ισχύουν οι σχέσεις κι Αν κλέσουµε G() µι ρχική της g, δηλδή ν G() = g(), έχουµε: f() = g()d = G() G() f () = G () g()d = g(), µε κι ι κάθε Πρτήρηση: Το κάτω άκρο ολοκλήρωσης (δηλδή το ) κθορίζει τη στθερά c της ρχικής! Πράδειµ ον Έστω η συνάρτηση f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της κι η πράωός της Λύση Η συνάρτηση g() = έχει πεδίο ορισµού το g = (, + ), οπότε πρέπει ν ισχύουν οι σχέσεις: κι, που ισχύουν, άρ f = (, + ) κι f() = g() = ι κάθε (, + ), οπότε η συνάρτηση f είνι µι ρχική της g Σχόλιο: Στη περίπτωση που µπορούµε ν ολοκληρώσουµε, όπως στη δοσµένη συνάρτηση, ολοκληρώνοντς έχουµε: f() = d = = =, (, + ) Άρ f() = κι επειδή νωρίζουµε ότι κάθε συνάρτηση της µορφής y = + c, είνι µι ρχική της y =, πρτηρούµε ότι το κάτω άκρο ολοκλήρωσης κθορίζει τη στθερά c της ρχικής! Πράδειµ ον πράωός της Έστω η συνάρτηση f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της κι η Θ Ρ

2 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Λύση Η συνάρτηση g() = έχει πεδίο ορισµού το g = (, ) (, + ) (Πρόσεξε! Το πεδίο ορισµού είνι ένωση διστηµάτων) (, ) (, + ) Πρέπει λοιπόν ν ισχύουν οι σχέσεις: (Ι) κι ή (ΙΙ) κι (, ) (, + ) Το σύστηµ (ΙΙ) είνι δύντο, οπότε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είνι το f = (, ) Επίσης ισχύει ότι f () = g() = ι κάθε (, ) Πρόσεξε ότι η συνάρτηση f δεν είνι µι ρχική της συνάρτησης g, ιτί µι ρχική της g είνι η y = ln κι η οποί έχει πεδίο ορισµού το (, ) (, + ) Σχόλιο: Η συνάρτηση f() = d, ερζόµενοι µε όµοιο τρόπο, έχει πεδίο ορισµού το (, + ), οπότε µπορούµε ν πούµε ότι µι ρχική της συνάρτησης g είνι η συνάρτηση: G() = d, < d, >, διότι h(), < G() =, > Μορφή Β «f() = g() d» (σύνθετη συνάρτηση) Μι τέτοι συνάρτηση είνι κλά ορισµένη ότν: η συνάρτηση g είνι συνεχής σε έν διάστηµ κι τυτόχρον ισχύουν οι σχέσεις:, κι h() h Αν κλέσουµε G() µι ρχική της g, δηλδή ν G() = g(), έχουµε: h() f() = g()d = G(h()) G() f () = G (h()) h () h() g()d = g(h()) h (), µε κι ι κάθε h µε h() ln + Πράδειµ ον Έστω η συνάρτηση f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της κι η πράωός της + Λύση Η συνάρτηση g() = έχει πεδίο ορισµού το g = (, ) (, + ) (Πρόσεξε! το πεδίο ορισµού είνι ένωση διστηµάτων) Θ Ρ

3 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Πρέπει ν ισχύουν οι σχέσεις: > (, ) ln (, ) (Ι) ή > (, + ) ln (, + ) (ΙΙ) Το σύστηµ (ΙΙ) είνι δύντο, οπότε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ρίσκετι πό τη σχέση (Ι): > > > (, ) κι κι, άρ f = (, ) ln< ln< ln < ln ln Επίσης ισχύει ότι f() = + (ln) = + ι κάθε (, ) ln (ln ) h() Μορφή Γ «f() = g() d» (διφορά δύο σύνθετων συνρτήσεων) φ() Μι τέτοι συνάρτηση είνι κλά ορισµένη ότν: η συνάρτηση g είνι συνεχής σε έν διάστηµ κι τυτόχρον ισχύουν οι σχέσεις: h, φ, φ() κι h() Αν κλέσουµε G() µι ρχική της g, δηλδή ν G() = g(), έχουµε: h() f() = g()d = G(h()) G(φ()) f () = G (h()) h () G (φ()) φ () h() φ() φ() g()d = g(h()) h () g(φ()) φ () ι κάθε h φ µε φ() κι h() Πράδειµ 4 ον Έστω η συνάρτηση 4+ f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της κι η 5 4 πράωός της Λύση Η συνάρτηση g() = έχει πεδίο ορισµού το g = (, 5) (5, + ) (Πρόσεξε! το 5 πεδίο ορισµού είνι ένωση διστηµάτων) Επειδή οι συνρτήσεις h() = 4 + κι φ() = 4 έχουν πεδίο ορισµού το, ρκεί ν ισχύουν οι σχέσεις: κι < 4+ <5 4 5 (Ι) ή κι > 4+ >5 4 5 < κι < <, ενώ το σύστηµ (ΙΙ) είνι ισοδύνµο µε το < Άρ το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g είνι το g = (, ) (ΙΙ) Το σύστηµ (Ι) είνι ισοδύνµο µε το κι > > που είνι δύντο Θ Ρ

4 Επίσης ισχύει ότι: Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) ( ) ( ) f () = (4+ ) (4 ) f() = Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ - 5 Στις συνρτήσεις που ορίζοντι µε ολοκλήρωµ κι στις οποίες η µετλητή της B συνάρτησης ρίσκετι µέσ στο ολοκλήρωµ, θ πρέπει ν εξχθεί ως στθερά εκτός ολοκληρώµτος κι µετά ν πρωίσουµε Η έξοδος της µετλητής πό το ολοκλήρωµ επιτυχάνετι είτε µε πράξεις είτε µε λλή της µετλητής ολοκλήρωσης Μορφή Α «f() = h() g() d» (Η έξοδος της µετλητής επιτυχάνετι µε πράξεις) Πράδειµ ον ποδείξετε ότι Λύση Έστω η συνάρτηση f () = f() + ln + f() ln d = Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού κι ν + f() = ln d f() = ln d f() = ln d Πρτήρησε ότι η συνάρτηση f είνι ινόµενο δυο συνρτήσεων, της ln d g() = κι της h() = Το πεδίο ορισµού της g είνι το A g = To πεδίο ορισµού της h είνι εκείνο που είνι το A (, + ) ( ) ( ) ( ), + προσδιορίζετι πό τις σχέσεις:, + Ah = (, + ) Εποµένως το πεδίο ορισµού της f, + f = f() f () f() f () f() f() = ln d ln d = ln = ln = ln = f () f() f () = f() + ln Πρόσεξε! στις πρωίσεις υτού του είδους, πρώτ ν ποµονώνεις τη συνάρτηση ολοκλήρωµ κι µετά ν πρωίζεις! Μορφή Β «f() = g(,) d» (Η έξοδος της µετλητής επιτυχάνετι µε ντικτάστση) Πράδειµ ον Έστω η συνάρτηση f() = ηµ( ) d, Ν ρεθεί η πράωός της Θ Ρ 4

5 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) = u d = du Λύση f() = ηµ( ) d Θέτουµε = u, = είνι u= ι ι = είνι u= οπότε έχουµε: ( ) ( ) f() = ηµ( ) d = ( u)ηµu -du = ( u)ηµu du= ηµu uηµu du f() = ηµu du-u ηµu du f() = ηµu du- u ηµu du f() = ηµu du- u ηµu du f() = () ηµu du + ηµu du u ηµu du = ηµu du + ηµ ηµ = ηµu du f() = συνu = συν συν = συν+ [ ] ( ) ( ) Πράδειµ ον Έστω η συνάρτηση f() = ln( ) d, > Ν ρεθεί η πράωός της u = d = du Λύση f() = ln( ) d Θέτουµε = u, οπότε έχουµε: ι = είνι u= ι = είνι u= f() = ln( ) d = ln u du = ln u du f () = ln u du f() = ln ( ) f() = ln Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ 6 - Γ Στις συνρτησικές σχέσεις ισότητς που περιέχουν συνρτήσεις που ορίζοντι µε ολοκλήρωµ κι νζητάµε την εύρεση µις συνάρτησης f, ερζόµστε ως εξής: Πρωίζουµε ως προς κι τ δύο µέλη της ισότητς Μετσχηµτίζουµε την ισότητ που προκύπτει πό την πρώιση ώστε ν έχουµε τη µορφή µις νωστής διφορικής εξίσωσης: f() = g() f() = g() + c, ( ) f() = f() f() = c, ( ) f() = f() f() = c ( ) ( ) Το τέχνσµ του πολλπλσισµού µε το G() G() G() i ( ) G(), όπου G() = g(), G() ρχική της g()): f() + g()f() = f () + G ()f() = f() = G() f() = c, Θ Ρ 5

6 ii Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) g() f()d + f()d = g() f()d + f() = G() g() G() + = f()d f() ( ) G() G() G() ( ) G() = = = c f()d f()d c f()d G() f() f() = f() f() = f () = f () = c δ ( ) ( ) ( ) f() = f() f() + f () = f() + f () f () + f() = f() + f () f() + f () = c ε ( ) Βρίσκουµε τη στθερά c θέτοντς κτάλληλη τιµή στο 4 Ελέχουµε ν η f() επληθεύει την ρχική σχέση Πράδειµ ον Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f στο η οποί ι κάθε ικνοποιεί τη f() σχέση f() + = d, f() Λύση f() + = d f() + = f() d f() f() d + = µε Πρωίζουµε (εξηείστε ιτί έχουµε το δικίωµ) ως προς κι έχουµε: f() + f () + = f() f () = f () = + c ν < Πρόσεξε τώρ το λεπτό σηµείο! f () = ( ),, f() = + c ν > Επειδή η συνάρτηση είνι συνεχής στο, ισχύει Lim f() = Lim f() = f() c = c = f(), άρ τελικά f() = + c() Γι = η δοσµένη σχέση ίνετι: σχέση () ι = ίνετι f() c c c Αν θέσουµε στη σχέση + f() f() + = d f() =, οπότε η = + = + =, άρ τελικά f() = +, f() f() d + =, όπου f() = +, έχουµε: ( + ) + = ( + ) d + = + + = +, άρ επληθεύετι Πράδειµ ον Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f στο µε y ικνοποιεί τη σχέση + + = ( ) Λύση f() = κι η οποί ι κάθε f() d f()d dy Πρωίζουµε ως προς (εξηείστε ιτί έχουµε το δικίωµ) κι έχουµε: ( ( ) ) + + = f() + = f()d Πρωίζουµε ι δεύτερη φορά (εξηείστε ιτί έχουµε το δικίωµ) κι έχουµε: f() d y f()d dy Θ Ρ 6

7 ( ) Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) f() + = f()d f () = f() f () + f() = Πολλπλσιάζουµε κι τ δύο µέλη µε το κι έχουµε: f () + f() = ( f() ) = f() = + c Η τελευτί ι = δίνει f() = + c f() = + c, όµως πό την υπόθεση είνι άρ τελικά c=, οπότε η ζητούµενη συνάρτηση είνι η f() = f() = y Αν θέσουµε στη σχέση ( ) + + f() d f()d dy =, όπου f() =, έχουµε: y y + + d d dy dy = + + = y y + ( ) ( ) dy y + = + + =, + + = (( ) ( ) ) + + = + +, άρ επληθεύετι f() =, Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ - 7 Η ύπρξη των ριζών µις εξίσωσης της µορφής f() = σε διάστηµ εξσφλίζετι συνήθως µε εφρµοή ή του θεωρήµτος του BOLZANO ι την f ή θεωρήµτος ROLLE σε µι ρχική συνάρτηση της f Η µονδικότητ της ρίζς εξσφλίζετι συνήθως µε τη µονοτονί της συνάρτησης στο Μορφή Α Χρήση του Θεωρήµτος Bolzano Πράδειµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ι κάθε [, ] ισχύει f() > 7 Ν δειχθεί ότι στο διάστηµ (, ) υπάρχει µονδική ρίζ της εξίσωσης Λύση συνάρτηση Ανζητάµε ρίζ της εξίσωσης h() = f() d 4 + 5, η οποί είνι συνεχής στο [, ] f() d = 4 5 f() d = 4 5 f() d = Θεωρούµε τη Έχουµε h() = f() d = κι h() = f() d + 5 = f() d 7 Επειδή f() > 7 f()d > 7d f()d > 7[] f()d > 7 f()d 7 > h() > Άρ h() h() <, οπότε ισχύει το θεώρηµ του Bolzano ι τη συνάρτηση h στο [, ], άρ υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε h( ) = Θ Ρ 7

8 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Η συνάρτηση h έχει πράωο h() = f() 4> 7 4>, άρ η συνάρτηση h είνι νήσι ύξουσ, εποµένως η ρίζ είνι µονδική Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ 8 - Μορφή Β Χρήση του Θεωρήµτος Roll Πράδειµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει υπάρχει (, ) ώστε ν ισχύει f( ) = + ln Λύση Ανζητάµε ρίζ της εξίσωσης f() = + ln f() ln = Έστω η συνάρτηση h() f() ln f() d = Ν δειχθεί ότι = η οποί έχει µι ρχική την ( ) H() = f() ln d H() = f() d d ln d = f() d [] [ln ] = f() d ( ) (ln ln+ ) H() = f() d + ln + H() = f() d ln Η συνάρτηση H() είνι συνεχής κι πρωίσιµη στο [, ] H() = κι H() = f() d ln = =, άρ ισχύει ι την H το θεώρηµ του Roll, οπότε υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε ν ισχύει H() = h() = f() = + ln Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ 4 Ε Σε σκήσεις που έχουµε πρωίσιµες συνρτήσεις σε κάποιο διάστηµ = [, ] κι µι νισοϊσότητ της µορφής f() g() ισχύει ι κάθε, εφρµόζουµε το Θεώρηµ του Frma Πράδειµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι κάθε > ισχύει Ν ρεθεί το f() Λύση Έστω η συνάρτηση ισχύει h() Είνι άρ το + f() d + ln + f() d ln min + f() d + ln h() = + f() d ln, η οποί είνι πρωίσµη κι ι κάθε > h() = + f() d ln =, εποµένως ισχύει h() h(), ι κάθε >, h() = y, οπότε ισχύει το ΘFrma κι έχουµε h() = Θ Ρ 8

9 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Πρωίζουµε κι έχουµε h () = + f() d ln h () = + f() h () = + f() = f(), κι επειδή h() = έχουµε τελικά ότι f() = Πράδειµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι κάθε > ισχύει + f() d ln+ Ν ρεθεί το f() Λύση Έστω η συνάρτηση ισχύει h() Είνι άρ το + f() d ln + + f() d ln min h() = + f() d ln, η οποί είνι πρωίσµη κι ι κάθε > h() = + f() d ln =, εποµένως ισχύει h() h(), ι κάθε >, h() = y, οπότε ισχύει το ΘFrma κι έχουµε h() = ln Πρωίζουµε κι έχουµε h () = + f() d ln h () = + f() h () = + f() = f(), κι επειδή h() = έχουµε τελικά ότι f() = Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ 5-8 Στ Συχνά συνντάµε θέµτ στ οποί ζητείτι η εύρεση ενός ορίου µις συνάρτησης στην οποί κάποιος όρος περιέχει ολοκλήρωµ κι η µετλητή του ορίου ρίσκετι στ άκρ ολοκλήρωσης Σε ενικές ρµµές τ θέµτ υτά ντιµετωπίζοντι ως εξής: Μορφή Α Σε όρι της µορφής h() Lim g()d, όπου εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού φ() υπολοίζουµε το όριο ως εξής: Αν κλέσουµε h() f() = g()d, τότε έχουµε ότι f() = g(h()) h () g(φ()) φ (), φ() οπότε φού η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη, είνι κι συνεχής, άρ Πράδειµ ον Λύση h( ) Lim f() = f( ) = g()d φ( ) Ν ρεθεί το όριο ηµ Lim d Θ Ρ 9

10 Αν Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) ηµ g() =, τότε το πεδίο ορισµού της g είνι το A g = (, ) (, + ) Αν θέσουµε ηµ f() = d, τότε το πεδίο ορισµού της f ρίσκετι πό τις σχέσεις: < > κι ή κι, άρ A f = (, + ) Η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη µε < > ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ f () = ( ) () = =, άρ συνεχής οπότε συνεχής κι στη ηµ θέση =, άρ Lim f() = f() = d = Μορφή Β Αν µπορούµε ν ολοκληρώσουµε, υπολοίζουµε το ολοκλήρωµ κι στη συνέχει υπολοίζουµε το όριο Πράδειµ ον Λύση + Ν υπολοισθεί το όριο Lim ln d [ln ] [] ( )ln( ) ln ( ) ln d = () ln d = [ln ] (ln ) d = [ln ] d = = = = ( + )ln( + ) ln, άρ νζητάµε το όριο Lim (( )ln( ) ln ) + Έχουµε: ( ) Lim (+ )ln(+ ) = ln= κι ( ) ( ) ( ) ln + ( ln ) Lim ln = Lim = Lim = Lim = Lim = Lim =, άρ τελικά = ( + + ) = ( ) ( ) + + Lim ln d Lim ( )ln( ) ln + + Μορφή Γ Σε όρι που οδηούν σε οριστί L Hospial Lim ( + )ln( + ) Lim ln = ή ± ± χρησιµοποιούµε τους κνόνες d Πράδειµ ον Λύση Ν ρεθεί το ηµ d Lim Θ Ρ

11 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) ηµ d ηµ ηµ Lim ηµ d Lim Lim Lim = = = = Μορφή Σε όρι της µορφής h() Lim g()d + χρησιµοποιούµε είτε το κριτήριο πρεµολής είτε φ() το θεώρηµ µέσης τιµής ι τ ολοκληρώµτ Μελέτησε το κόλουθο πράδειµ Πράδειµ 4 ον Ν ρεθεί το Lim d + + Λύση ος Τρόπος Συνθετικός (Ειδικός) + (+ ) d d d d d d [] d [] [ + ] d [+ ] d Όµως Lim = Lim =, άρ κι + + Lim d = + ος Τρόπος Με την ιδιότητ m( ) f()d M( ) κι κριτήριο πρεµολής (Γενικός) Αν f() = τότε f() = <, > + ( + ) + Στο διάστηµ [, +] η συνάρτηση f είνι νήσι φθίνουσ κι έχει m = f(+ ) κι M = f(), οπότε εφρµόζοντς το ότι «ν µι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] τότε m ( ) f()d M ( )», έχουµε: + m (+ ) f()d M (+ ) f( + ) d f() + + d Θ Ρ

12 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Όµως Lim = Lim =, άρ κι Lim d = + ος Τρόπος Εφρµόζοντς το ΘΜΤ Αν η συνάρτηση f() = έχει µι ρχική, έστω την F, τότε έχουµε: + + d = F( + ) F() Η συνάρτηση F είνι πρωίσιµη στο [, +], οπότε + εφρµόζοντς το ΘΜΤ στο διάστηµ [, +], πάντ θ ρίσκουµε έν ξ που θ εξρτιέτι πό F( + ) F() το, δηλδή θ υπάρχει ξ() [, +] : F(ξ()) = f(ξ()) = F(+ ) F(), οπότε έχουµε: d = f(ξ())( + ) d = + + ξ () + Είνι ξ() + κι ισχύει ότι Lim = Lim( + ) =+, άρ κι Lim ξ() = +, οπότε + Lim d = Lim = ξ() + ξ () Μορφή E Σε όρι της µορφής h() Lim g()d +, όπου στον τύπο της συνάρτησης που φ() ολοκληρώνουµε υπάρχουν ηµ(, ) κι συν(, ) (συνρτήσεις οι οποίες ότν το ± δεν έχουν όριο) χρησιµοποιούµε τη πρότση f()d f ()d, φού πρώτ την ποδείξουµε Στις περιπτώσεις υτές συνήθως το όριο είνι ίσο µε µηδέν Θέµ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] τότε ι κάθε [, ] ισχύει ότι f()d f ()d Απόδειξη Είνι νωστό ότι ι κάθε ισχύει η σχέση:, οπότε κι ι κάθε [, ] έχουµε ντίστοιχ ότι f() f() f() Αφού f συνεχής, συνεχείς είνι κι οι f, f, οπότε ολοκληρώνοντς στο [, ] έχουµε: f ()d f()d f() d, κι µε άση τη νωστή ιδιότητ των πολύτων τιµών «θ θ θ», συµπερίνουµε ότι f()d f ()d Πράδειµ 5 ον Λύση Ν ποδειχθεί ότι π ηµ() Lim d = + + Θ Ρ

13 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Επειδή +, είνι > κι π (), οπότε κι, άρ κι + > () ηµ() ηµ() ηµ() π d d d d d d d = π π π π π π π π ηµ() π ηµ() π d d + + π, όµως π Πράδειµ 6 ον Ν ποδειχθεί ότι Λύση Επειδή, είνι < κι () ( + ) ( + ) Lim =, οπότε + ( + ηµ) ) Lim d = π ηµ() Lim d = + + ηµ) ηµ) d = d = + ηµ d + d ( ) d d [] ( ) ( ) ( ) ( ηµ) ) + d, όµως Lim =, οπότε ( + ηµ) ) Lim d = + + = + = + = d+ d Γι εξάσκηση ν λυθούν τ θέµτ 9-4 Προτεινόµεν θέµτ Θέµ ον 4 Έστω η συνάρτηση f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της Ν µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ Θέµ ον 4+ ln Έστω η συνάρτηση f() = d 4 Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της Ν µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ Θέµ ον 4 Έστω η συνάρτηση f() = d + Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της Ν µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ Θέµ 4 ον Έστω η συνάρτηση f() = ln( ) d + ln(u + ) du Θέµ 5 ον Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της Ν µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ Έστω η συνάρτηση ηµ f() = ln d συν Θ Ρ

14 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού της Ν µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ Θέµ 6 ον συν Έστω η συνάρτηση f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού κι ν ποδείξετε f() + συν ότι f() =, > Θέµ 7 ον Θέµ 8 ον Έστω η συνάρτηση Έστω η συνάρτηση ηµ() d f() =, Ν ρεθεί η πράωός της f() = d Ν ρεθεί το πεδίο ορισµού κι ν ποδείξετε ότι f() + f() = Θέµ 9 ον ηµ( ) Έστω η συνάρτηση f() = d, Ν ρεθεί η πράωός της + ηµ( ) Θέµ ον Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε f() > ι κάθε Ν µελετηθεί η συνάρτηση Θέµ ον Θέµ ον g() = ( )f()d, µε, ως προς τη µονοτονί κι τη κµπυλότητ Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f στο η οποί ι κάθε ικνοποιεί τη σχέση f() d = ( ) Επίσης ν ρεθεί η τιµή του Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f στο η οποί ι κάθε ικνοποιεί τη σχέση f() = f() d Θέµ ον Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f στο η οποί ι κάθε ικνοποιεί τη σχέση f() ln d = + Επίσης ν ρεθεί η τιµή του Θέµ 4 ον Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f στο η οποί ι κάθε > ικνοποιεί τη σχέση f() f() = d Θέµ 5 ον Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f, ι την οποί ι κάθε ισχύει η σχέση: f() f() = (+ ) + d + Θέµ 6 ον Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο µε την ιδιότητ = + + f() f() ( ) d, ι + κάθε Ν ρεθεί η f Θέµ 7 ον Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε την ιδιότητ f()d = f() ι κάθε Ν ρεθεί η συνάρτηση f Θ Ρ 4

15 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 8 ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ι κάθε [, ] ισχύει f() < Ν δειχθεί ότι στο διάστηµ (, ) υπάρχει µονδική ρίζ της εξίσωσης f() d = Θέµ 9 ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ι κάθε [, ] ισχύει f() < Ν δειχθεί ότι στο διάστηµ (, ) υπάρχει µονδική ρίζ της εξίσωσης Θέµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ι κάθε [, ] δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) ώστε ν ισχύει f()d = f() d = είνι f() Ν ξ f() d = f() d Θέµ ον Οι συνρτήσεις f() κι g() είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει f() > κι g() < ι κάθε [, ] Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει µονδικό [, ] τέτοιο ώστε g()d Θέµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει ότι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) ώστε ν ισχύει Θέµ ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει ότι Θέµ 4 ον υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) ώστε ν ισχύει Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, π] κι ισχύει ότι ξ f(ξ) = + ξ ξ ξ f() d = Ν δειχθεί ότι f() d = f()d = f(ξ) π f() d = π υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, π) ώστε ν ισχύει f(ξ) = ηµξ ξ Θέµ 5 ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι κάθε > ισχύει το f() Θέµ 6 ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι κάθε < ισχύει ρεθεί το f() Θέµ 7 ον Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι κάθε > ισχύει f() d = +, ν ρεθεί το f() f() d ln + Ν δειχθεί ότι Ν δειχθεί ότι Ν ρεθεί + f() d + f() d ln + Ν Αν Θ Ρ 5

16 Θέµ 8 ον Θέµ 9 ον Θέµ ον Θέµ ον Θέµ ον Θέµ ον Θέµ 4 ον Θέµ 5 ον Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο ι την οποί ισχύει Ν ποδειχθεί ότι f() = Ν υπολοισθεί το όριο Lim ln d ηµ d Ν υπολοισθεί το όριο Lim ηµ d + Ν υπολοισθεί το όριο Lim + + Ν υπολοισθεί το όριο Lim d Lim + + Ν υπολοισθεί το όριο d Ν υπολοισθεί το όριο Lim d + + Ν υπολοιστεί το όριο Lim d + Θέµ 6 ο Αν f() = κι f() =, τότε ν υπολοιστεί το όριο (Στις σκήσεις 7-4 χρησιµοποίησε την ιδιότητ Θέµ 7 ο Θέµ 8 ο Θέµ 9 ο Θέµ 4 ο - f()d f() d ) ηµ( + ) συν Ν υπολοιστεί το όριο Lim d Ν υπολοιστεί το όριο Ν υπολοιστεί το όριο Ν υπολοιστεί το όριο 5 ηµ Lim d Lim ( συν ) d + 4 ηµ + συν Lim d Lim ηµ f()d ι κάθε f() d Θέµ 4 ον Θέµ 4 ον Ν υπολοιστεί το όριο Ν υπολοιστεί το όριο 4 Lim συν d ηµ + συν+ Lim d + + Θ Ρ 6

17 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Ερώτηση Ερώτηση Ερώτηση Ερώτηση 4 Ερώτηση 5 Ερώτηση 6 Ερώτηση 7 Ερώτηση 8 Ζ Βσικές Έννοιες Ποιος είνι ο συµολισµός Libniz ι την πράωο; Απάντηση df() dy f () = ή πλούστερ y = d d Σχόλιο: Το σύµολο dy δεν είνι κλάσµ λλά συµπεριφέρετι σν κλάσµ d Πως ρίσκουµε το διφορικό µις συνάρτησης f; Απάντηση Έστω µι συνάρτηση y = f() πρωίσιµη στο Το διφορικό της f στη θέση το συµολίζουµε µε d (f()) ή dy κι είνι d (f()) = f () d Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστηµ [, ] είνι ολοκληρώσιµη σε υτό; Απάντηση Νι, λλά υτό δεν σηµίνει ότι µπορούµε ν ρούµε το ολοκλήρωµ της οποιδήποτε συνεχούς συνάρτησης, όπως ι πράδειµ δεν µπορούµε ν υπολοίσουµε τ d µε < < ή d µε < < ln Ποιες είνι οι ολοκληρώσιµες συνρτήσεις ι µς; Απάντηση Ολοκληρώσιµες συνρτήσεις ι µς είνι οι συνεχείς, µε την έννοι ότι «ν δεν είνι συνεχής, δεν είνι ολοκληρώσιµη!» Το ολοκλήρωµ f ()d σν έννοι τι είνι; Απάντηση Είνι ένς πρµτικός ριθµός είτε θετικός είτε ρνητικός είτε κόµ κι µηδέν Το ορισµένο ολοκλήρωµ f ()d µε τι ισούτι; Απάντηση Αν F µι ρχική συνάρτηση της f, δηλδή ισχύει ότι F () = f(), ι κάθε [,], τότε f()d = F() F() Το ολοκλήρωµ f ()d πό τι εξρτάτι; Απάντηση Εξρτάτι µόνο πό τη συνάρτηση f κι το διάστηµ [, ] Γι το λόο υτό τ ολοκληρώµτ f ()d κι f (u)du πριστάνουν τον ίδιο ριθµό, οπότε έχουµε ότι f ()d = f (u)du Αν < κι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει f() > ή f() ή f() < ή f() ι κάθε [, ] νωρίζουµε το πρόσηµο του f ()d ; Απάντηση Νι, είνι ντίστοιχ σε κάθε περίπτωση f()d < ή f()d f()d > ή f()d ή ΘΡ 7

18 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Πρότση Αν Η Βσικές προτάσεις f, g συνεχείς στο [, ] µε f() g(), ι κάθε [, ] ισχύει η σχέση: f()d g ()d Απόδειξη Αφού f() g() f() g() ( f() g() ) f ()d g()d f()d g() d Πρότση Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] τότε f()d f ()d Απόδειξη Είνι νωστό ότι ισχύει ι κάθε ισχύει η σχέση:, οπότε κι ι κάθε [, ] έχουµε ντίστοιχ ότι f() f() f() Αφού f συνεχής τότε συνεχείς είνι κι οι f, f, οπότε οι συνρτήσεις f, f, f είνι ολοκληρώσιµες Ολοκληρώνοντς στο [, ] κι µε άση το προηούµενο έχουµε: f ()d f()d f() d (), οπότε µε άση τη νωστή ιδιότητ των πολύτων τιµών: «θ θ θ», πό την () συµπερίνουµε ότι f()d f ()d Πρότση Πρότση 4 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], υπάρχουν m,m τέτοι ώστε m ( ) f()d M ( ) Απόδειξη Εφόσον η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] έχει ελάχιστη κι µέιστη τιµή Αν λοιπόν κλέσουµε m = ymin κι M = yma τότε ι κάθε [, ] ισχύει: m f() M Ολοκληρώνοντς τη σχέση υτή έχουµε: md f()d Md m [ ] f()d M[ ] d f()d M d m m ( ) f()d M ( ) Αν ι κάθε [, ] ισχύει η σχέση f ()d > τότε «υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε f( ) >» Απόδειξη Είνι f()d = F( ) F( ), όπου F µι ρχική συνάρτηση της f, οπότε f()d F( ) F( = ) () Επειδή ()d f > F( ) F( ) συµπερίνουµε ότι > () κι > >, πό την () Θ Ρ 8

19 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Η συνάρτηση F είνι πρωίσιµη στο [, ] διότι F () = f() (), άρ κι συνεχής, οπότε ι υτήν ισχύει το ΘΜΤ, άρ υπάρχει (, ) µε F( ) F( ) () F( ) F( ) () F ( ) = f( ) = f( ) > Σχόλιο Τον συλλοισµό µς µπορούσµε ν τον υποστηρίξουµε κι µε εις άτοπο πωή, δηλδή ν ι κάθε [, ] ίσχυε ότι f() θ ήτν f ()d Πρότση 5 Αν ι κάθε [, ] ισχύει η σχέση f ()d < (, ) τέτοιο ώστε f( ) <» Απόδειξη τότε «υπάρχει τουλάχιστον έν Είνι f()d = F( ) F( ), όπου F µι ρχική συνάρτηση της f, οπότε f()d F( ) F( = ) () Επειδή ()d f < κι > >, πό την () F( ) F( ) συµπερίνουµε ότι < () Η συνάρτηση F είνι πρωίσιµη στο [, ] διότι F () = f() (), άρ κι συνεχής, οπότε ι υτήν ισχύει το ΘΜΤ, άρ υπάρχει (, ) µε F( ) F( ) () F( ) F( ) () F ( ) = f( ) = f( ) < Σχόλιο Τον συλλοισµό µς µπορούσµε ν τον υποστηρίξουµε κι µε εις άτοπο πωή, δηλδή ν ι κάθε [, ] ίσχυε ότι f() θ ήτν f ()d Πρότση 6 Αν ι κάθε [, ] ισχύει η σχέση: f ()d = τότε «υπάρχει τουλάχιστον έν [, ] τέτοιο ώστε f( ) =» Απόδειξη Είνι f()d = F( ) F( ), όπου F µι ρχική συνάρτηση της f, οπότε f()d F( ) F( = ) () Επειδή ()d f = κι > >, πό την () F( ) F( ) συµπερίνουµε ότι = () Η συνάρτηση F είνι πρωίσιµη στο [, ] διότι F () = f() (), άρ κι συνεχής, οπότε ι υτήν ισχύει το ΘΜΤ, άρ υπάρχει (, ) µε F( ) F( ) () F( ) F( ) () F ( ) = f( ) = f( ) = ΘΡ 9

20 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Σχόλιο Τον συλλοισµό µς µπορούσµε ν τον υποστηρίξουµε κι µε εις άτοπο πωή, δηλδή ν ι κάθε [, ] ίσχυε ότι f() µις κι η f είνι συνεχής θ διτηρούσε πρόσηµο στο [, ], οπότε θ ήτν: ή f () > ι κάθε [, ], άρ κι f ()d > που είνι άτοπο, ή f () < ι κάθε [, ], άρ κι f ()d < που είνι άτοπο Πρότση 7 Αν ισχύει ότι δ f ()d = f() d µε < < < δ κι = δ τότε υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) κι τουλάχιστον έν (, δ), άρ, τέτοι ώστε ν ισχύει f( ) = f( ) Απόδειξη Είνι f()d = F( ) F( ), όπου F µι ρχική συνάρτηση της f, οπότε f()d F( ) F( = ) () Η συνάρτηση F είνι πρωίσιµη στο [, ] διότι F () = f() (), άρ κι συνεχής, οπότε ι υτήν ισχύει το ΘΜΤ, άρ υπάρχει F( ) F( ) () F( ) F( ) () (, ) µε F ( ) = f( ) = f()d = f( ) f()d = f( )( ) () Είνι f()d = F( δ) F( ), όπου F µι ρχική συνάρτηση της f, οπότε δ δ f()d F( δ) F( ) = (4) Η συνάρτηση F είνι πρωίσιµη κι συνεχής στο δ δ [, δ] κι εφρµόζοντς το ΘΜΤ συµπερίνουµε ότι υπάρχει (, δ) µε F( δ) F( ) () F ( ) = δ f()d = f( )( δ ) (4) δ Όµως δ F( δ) F( ) ( ) = δ f (4) f()d = δ ( ) δ f ()d = f() d κι πό τις () κι (4) έχουµε ότι f( )( ) = f( )( δ ) κι επειδή = δ f( ) = f( ) Σηµείωση: Αν νωρίζουµε ότι η f είνι κι πρωίσιµη τότε µπορούµε ν εφρµόσουµε το Θεώρηµ Roll στο [, ] [, δ], οπότε θ υπάρχει (, ) (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = δ f Πρότση 8 Αν ισχύει η σχέση: f ()d > κι f ()d < κι µε υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε f( ) = < < τότε οπότε Θ Ρ

21 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Απόδειξη Επειδή f ()d >, πό τη πρότση 4 συµπερίνουµε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε f( ) > Επειδή f ()d <, πό τη πρότση 5 συµπερίνουµε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε f( ) < Είνι [, ] [, ] Οπότε ι την f ισχύουν στο διάστηµ [, ] οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος Bolzano, οπότε υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) τέτοιο ώστε f( ) = Πρότση 9 Πρότση Αν < κι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει f() ι κάθε [, ] κι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) τέτοιο ώστε f(ξ) >, τότε f()d > Απόδειξη Αφού η συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι = ξ είνι f(ξ) > θ είνι κι Lim f() >, οπότε ι κοντά στο ξ θ είνι f() >, δηλδή θ υπάρχει δ > ξ τέτοιο ώστε ι κάθε (ξ δ, ξ) (ξ, ξ+δ) ν είνι f() >, οπότε θ είνι κι ξ+ δ f()d > (Ι) Έχουµε λοιπόν τ εξής: ξ δ Γι [, ξ-δ], είνι f(), οπότε Γι [ξ+ δ, ], είνι f(), οπότε Είνι: ξ δ ξ+ δ ξ δ f()d (ΙΙ) ξ+ δ ξ δ ξ+ δ f()d (ΙΙΙ) f()d = f()d + f()d + f()d που λόω των (Ι), (ΙΙ) κι (ΙΙΙ) έχουµε τελικά ότι f()d > Σχόλιο: Το ίδιο κριώς συµπέρσµ ίνει κι ν ξ [, ] Αν < κι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει f() ι κάθε [, ] κι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, ) τέτοιο ώστε f(ξ) <, τότε f()d < Απόδειξη Η πόδειξη της πρότσης είνι όµοι µε την πόδειξη της πρότσης 9 Σχόλιο: Το ίδιο κριώς συµπέρσµ ίνει κι ν ξ [, ] ΘΡ

22 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θ Βσικά Θέµτ Θέµ Μι σηµντική ντικτάστση που διευκολύνει τον υπολοισµό ενός ορισµένου ολοκληρώµτος f ()d είνι η = + y Στη περίπτωση υτή µάλιστ ισχύει ότι Αν f ()d = f( + ) d, διότι: I = f() d () κι θέσουµε = + y τότε y = + dy = d Γι = u = κι ι = u =, οπότε η () πίρνει τη µορφή: I = f() d οπότε = f ( + y)( dy) = f()d = f(+ )d f ( + y) dy, Στη περίπτωση που έχουµε άκρ που είνι ριθµοί ντίθετοι, δηλδή ν έχουµε f ()d τότε προκύπτει η ντικτάστση = y Εφρµοή Ν ποδειχθεί ότι ι τη συνεχή συνάρτηση f ορισµένη στο [, ] µε < ισχύει ότι f ()d = f( ) d Απόδειξη Έχουµε Ι = f()d Θέτουµε = + y = y κι έχουµε: d = dy Γι = είνι y = κι ι = είνι y =, οπότε Ι = f( y)( dy) = f( y)dy = f( y)dy = f( )d Θέµ Πρέπει ν ξέρουµε ν υπολοίζουµε τ ολοκληρώµτ της µορφής A = d κι + = B + d Τ ολοκληρώµτ υτά υπολοίζοντι κάνοντς την ντικτάστση = εφy Αν θέσουµε = εφy d = ( εφy) dy d = ( + εφ y) dy κι ρίσκοντς τ νέ άκρ ολοκλήρωσης, έστω κι δ θ έχουµε: = A + d δ δ δ = + εφ = = = δ ( y)dy εφ + dy [y] y δ εφ y δ Β = d = + ( + εφ y)dy = εφ ydy () Πρόσεξε τώρ! εφ y + Είνι = + εφ, οπότε εφ = κι η () πίρνει τη µορφή: συν συν δ δ Β = dy [εφy y] = = (εφδ δ) (εφ ) συν y Θ Ρ

23 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ Θέµ 4 Αντίστροφη συνάρτηση κι Ολοκλήρωµ Σε ολοκληρώµτ που περιέχετι η ντίστροφη συνάρτηση θέτουµε = f(u) ν θ περάσουµε πό την f στην f ή f (u) = ν θ περάσουµε πό την f στην κι κάνουµε λλή της µετλητής Μελέτησε τ πρδείµτ που κολουθούν Πράδειµ ον Αν η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη κι «-» στο διάστηµ [, ], ν δειχθεί ότι f() f() Απόδειξη f ()d= f()d (f: ) Αν θέσουµε = f(u), έχουµε: d = f (u)du κι ι = f() f(u) = f() u=, ενώ ι f() f() (f: ) = f() f(u) = f() u=, οπότε: f ()d= f (f(u))f(u)du= Πράδειµ ον uf (u)du = f ()d Αν η συνάρτηση f είνι «-» κι έχει ντίστροφη την το I= f()d f () f = + ν ρεθεί Λύση Θέτουµε = f (u) d = ((f (u) ) du d = u + du Γι = f (u) = u + u= u(u + ) = u= Γι = f (u) = u + u= u + u= u + u = (u )(u + u+ ) = u=, οπότε έχουµε: I = f()d = f(f (u)) u + du = u u + du = u + u du 4 4 u u u u 5 I = + 4 = + = + = Ολοκλήρωση Άρτις ή Περιττής συνάρτησης σε διάστηµ [-, ] Μι συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α κι ι κάθε A A κλείτι: Άρτι ότν ι κάθε A ισχύει f( ) = f() Περιττή ότν ι κάθε A ισχύει f( ) = f() ΘΡ

24 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Ισχύει ότι: Απόδειξη f()d = f()d, ν f άρτι f()d =, ν f περιττή Αν θέσουµε Ι = f()d = f()d + f()d Ι = f()d κι Ι = f()d θ δείξουµε ότι Ι = Ι Κάνουµε λλή στη µετλητή του ολοκληρώµτος I θέτοντς = u, οπότε d = du Γι = u = ενώ ι = u=, κι επειδή f άρτι ισχύει f( u) = f(u), οπότε τελικά έχουµε: Ι = f()d = f( u)( du) = f( u)du = f(u)du = f()d = I I= I, άρ f()d = f()d Αν θέσουµε Ι = f()d = f()d + f()d Ι = f()d κι Ι = f()d θ δείξουµε ότι Ι = Ι Κάνουµε λλή στη µετλητή του ολοκληρώµτος I θέτοντς = u, οπότε d = du Γι = u = ενώ ι = u=, κι επειδή f περιττή ισχύει f( u) = f(u), οπότε τελικά έχουµε: I= I + I f()d = Πράδειµ ον Ν ρεθεί το ολοκλήρωµ Απόδειξη Αν θέσουµε f(), άρ Ι = f()d = f( u)( du) = f(u)du = f()d = I συν d = συν d, έχουµε συν d = άρ η συνάρτηση f είνι περιττή, οπότε f( ) = ( ) συν ( ) = συν = f(), Πράδειµ ον Ν ρεθεί το ολοκλήρωµ συν+ + I = d Θ Ρ 4

25 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Απόδειξη συν+ συν I = d= d+ d Η συνάρτηση g() συν = είνι + συν( ) συν περιττή ιτί g( ) = = = g(), ενώ η συνάρτηση h() = συν+ είνι άρτι ιτί h( ) = = = h(), οπότε d= + + κι + d= d= ln(+ ) = ln(+ )( ) = ln(+ ) + +, άρ τελικά συν+ I = d=ln(+ ) + Θέµ 5 Ολοκληρώµτ της µορφής λ d,, κ Σε ολοκληρώµτ της µορφής υτής ερζόµστε ως εξής: λ λ λ λ Ι= d= d d d = = κ κ κ κ Επειδή είνι, µπορούµε ν θέσουµε = ηµω = ηµω, οπότε κάνοντς λλή στη µετλητή υπολοίζουµε το ολοκλήρωµ Πράδειµ Ν υπολοισθεί το I= 4 d Λύση I= 4 d= 4 d= d 4 Θέτουµε = ηµω = ηµω d = (ηµω)dω d = συνωdω Γι = ηµω = ω =, ενώ ι π = ηµω = ω =, οπότε έχουµε: π π π I= d= ηµ ω συνωdω = 4 συν ωσυνωdω = 4 συνω συνωdω π Επειδή ω συνω συνω = συνω, οπότε έχουµε: π π π + συνω ηµω π I= 4 συν ωdω = 4 dω = + συνω dω = ω + = = π ( ) π ΘΡ 5

26 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Ι Έλεχος Γνώσεων Από τις κόλουθες προτάσεις άλλες είνι σωστές κι άλλες λάθος Απντήστε κι εξηήστε την πάντησή σς Σ - Λ Σ - Λ Σ Λ Σ - Λ Σ - Λ Σ - Λ Σ - Λ Αν () f > κι f συνεχής στο τότε ισχύει ότι f()d > Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ln(5 ) ln f() = d είνι το (, ) (, + ) Το πεδίο ορισµού της f () = d είνι το A = (,4] 4 Αν ι τη συνεχή συνάρτηση f, ισχύει ι κάθε ότι f()d = τότε η συνάρτηση f είνι περιττή 5 δ Αν ι τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει η σχέση: f ()d = f() d µε < < < δ κι = δ, τότε υπάρχουν (, ) κι (, δ) τέτοιο ώστε f( ) = f( ) 6 Αν ι τη συνεχή συνάρτηση f ισχύουν: f ()d κι f ()d < µε < <, τότε υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f( ) = 7 Αν µι συνάρτηση f είνι συνεχής κι ι κάθε [, ] ισχύει η σχέση: f ()d =, τότε υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = 8 Αν ι τη πρωίσιµη συνάρτηση f :[,] ισχύει ι κάθε πρµτικό ριθµό [,] ότι f 5 () + 4f() = 5 Εξηήστε τις κόλουθες προτάσεις: Ορίζετι η ντίστροφη της f Είνι f () = κι f () = Είνι f () = δ Η συνάρτηση f είνι νήσι ύξουσ στο [,] ε Ισχύει f ()d = f()d στ Είνι f () >, ι κάθε πρµτικό ριθµό (,) ζ Το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις ρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι f είνι τµ 5 Θ Ρ 6

27 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Ι Ειδικές Ασκήσεις στ Ολοκληρώµτ Σε πολλές σκήσεις χρησιµοποίησε τη σχέση: f()d = f(+ )d Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ισχύει f ( + ) = f() ι κάθε + ν ποδείξετε ότι f ()d = f() d Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή πράωο στο [,] κι ι κάθε [,] ισχύει ότι f() + f() f () = f ( ), ν ποδείξετε ότι f()d = Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] κι ι κάθε, y ισχύει f ( + y) = f() + f(y) + y, ν ποδείξετε ότι f()d = π Αν >, > κι + =, ν ποδείξετε ότι: ln( εφ)d =, ln( σφ)d = π Ν ποδείξετε ότι d = (θέστε = εφy ) + Ν υπολοίσετε το ολοκλήρωµ = I d ( + )( + ) π Ν ποδείξετε ότι d = (θέστε = εφy ) + Ν υπολοίσετε το ολοκλήρωµ = I d ( + )( + ) ίνετι η συνάρτηση f µε την ιδιότητ f () f( ) = +, ι κάθε Ν ρεθεί η συνάρτηση f π Ν δείξετε ότι f()d = + ln Αν οι συνρτήσεις f,g είνι συνεχείς στο [, ] κι f() = f( ), g () + g( ) =, ι κάθε [, ], ν ποδειχθεί ότι f ()g()d = f()d ln( + ) Ν υπολοίσετε το ολοκλήρωµ (θέστε = εφy ) + Ν υπολοίσετε το ολοκλήρωµ = I d + ίνετι η συνάρτηση f µε την ιδιότητ f ( + ) + f( ) =, ι κάθε, όπου, στθεροί πρµτικοί ριθµοί Ν ποδείξετε ότι f ()d = Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή πράωο στο [, ] κι ι κάθε [, ] ισχύει f( ) + f( ) f () = f ( + ), ν ποδείξετε ότι f()d = ΘΡ 7

28 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο µε f(), ι κάθε είξτε ότι f( ) d = f( ) + f( ) Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, δείξτε ότι: Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, δείξτε ότι: [ f() f( )]d = f ()d = [f() + f( )] d Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ = I 4 + d = f ()d [f() + f( )]d Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ π I = 4 ln( + εφ)d Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [,], η f είνι άρτι κι η g είνι f() περιττή, ν ποδειχθεί ότι d = g() + f() d Αν > κι οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [,], η f είνι άρτι κι η g f() είνι περιττή, ν ποδειχθεί ότι d = g() + f() d Ν ρεθούν τ όρι: (µε χρήση της ιδιότητς - ηµ( + ) συν I = Lim d, I = Lim ( συν ) d , Ν υπολοισθούν τ ολοκληρώµτ: I = d, I = 9 4 d f()d f() d ) 5 ηµ I = Lim d, ηµ + συν I = Lim d Ν υπολοισθούν τ ολοκληρώµτ: + + I = ηµ ln d, I = ln d + + Θ Ρ 8

29 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) ΣΤ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Θέµ ο Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ι κάθε [, ] ισχύει ότι < f() <, ν δείξετε ότι η εξίσωση (, ) + f()d = έχει µονδική ρίζ στο Θέµ ο Ν υπολοιστούν τ ολοκληρώµτ: + + ln I = d, I = d +, π ηµ I 4 = d, συν π I π 7 συν 5 = d ηµ συν + ln I = d, (ln) Θέµ ο Αν f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] κι ισχύει ότι ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ): f(ξ)= g(ξ) f()d = g()d, ν ***Θέµ 4 ο Θέµ 5 ο ***Θέµ 6 ο Θέµ 7 ο ***Θέµ 8 ο ίνετι η πρωίσιµη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το κι τιµές στο µε f() = κι f() f () ι κάθε Ν ποδείξετε ότι f() = ι κάθε Έστω ο πρµτικός ριθµός κι δύο συνεχείς συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το I, τιµές επίσης στο µε ισχύει ότι f()d = g()d κι ι τις οποίες ι κάθε f()d g()d Ν ποδειχτεί ότι f() = g() κι f() = g() ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το +, µε τιµές στο κι την οποί ισχύει ότι f() = κι ι κάθε > είνι f() =, Η συνάρτηση f(y)dy = f() Ν δειχτεί ότι f είνι συνεχής στο πίρνει τιµές στο κι ισχύει f()d = f(4)d Ν δείξετε ότι υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f(ξ) = ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το, τιµές στο κι ι την οποί ισχύει ι κάθε ότι κάθε f( y)ηµydy = Ν δείξετε ότι f() =, ι ΘΡ 9

30 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 9 ο Θέµ ο Θέµ ο Θέµ ο Θέµ ο ***Θέµ 4 ο ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το, µε τιµές στο ι την οποί ισχύει ι κάθε ότι Ν δειχτεί ότι f() = f()d ίνοντι οι ριθµοί, µε < < κι η πρωίσιµη συνάρτηση f στο [, ] µε τιµές στο ι την οποί ισχύει ότι ποδειχτεί ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f() = f()d = f() f() Ν Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµ (, + ), τιµές στο µε την ιδιότητ f() f() d = ι κάθε Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το κι µε τιµές στο, µε την ιδιότητ f()d = f() ι κάθε Ν ρεθούν οι πρωίσιµες συνρτήσεις f µε πεδίο ορισµού το κι µε τιµές f() στο * µε την ιδιότητ f() = + d, ι κάθε f() Αν η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το IR κι µε τιµές στο έχει την ιδιότητ > f() f()d = ι κάθε, ν ποδειχτεί ότι f() =, Θέµ 5 ο Αν η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη στο [, 7] κι ισχύει δείξετε ότι υπάρχει (, 7) τέτοιο ώστε f( ) = 7 f()d = f()d, ν 5 Θέµ 6 ο Θέµ 7 ο Θέµ 8 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το µε τιµές στο µε την ιδιότητ f()d συν ι κάθε Ν δείξετε ότι f() = Ν υπολοιστεί το όριο + Lim d + + Έστω η πρωίσιµη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το µε τιµές στο µε f()d = κι f()d = 9 Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f(ξ) = 6ξ ΘΡ

31 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) ***Θέµ 9 ο ***Θέµ ο Θέµ ο ***Θέµ ο Θέµ ο ***Θέµ 4 ο Αν m, M είνι ντίστοιχ η ελάχιστη κι η µέιστη τιµή των συνεχών συνρτήσεων f, g µε πεδίο ορισµού το [, ], οι οποίες πίρνουν τιµές στο κι ισχύει f()d = g()d = (m + M), ν ποδειχτεί ότι f()g()d (m M ) + ίνοντι οι συνεχείς συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το [, ] κι µε τιµές στο Αν f() > ι κάθε [, ], ν δείξετε ότι υπάρχει ξ [, ] τέτοιο ώστε f()g()d = g(ξ) f()d Αν < < < δ, η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι ισχύει δ f()d f()d <, ν δειχτεί ότι υπάρχει ξ (, δ) τέτοιο ώστε f(ξ) = Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] µε f()d Αν η f συνεχής στο [, ] µε f() > κι [, ] τέτοιο ώστε f() = f()d f()d =, ν ποδειχτεί ότι <, ν ποδειχτεί ότι υπάρχει ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [, ], µε f() < κι f()d > 4 Ν δειχτεί ότι υπάρχει (, ) τέτοιο f() = Θέµ 5 ο ίνετι η συνάρτηση > f() =, = ln, Ν υπολοιστεί το I= f()d ***Θέµ 6 ο ***Θέµ 7 ο Έστω f πρωίσιµη κι περιττή συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το * κι µε τιµές στο I µε f() = κι ι κάθε ισχύει ότι f() =, f() = f()d Ν δειχτεί ότι ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το κι τιµές στο Αν ι το στθερό ριθµό ορίζουµε τις συνρτήσεις ν ποδειχτεί ότι h() = ( )f()d g() = f()d κι h() = g()d, ΘΡ

32 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) ***Θέµ 8 ο ***Θέµ 9 ο Θέµ ο ***Θέµ ο Αν f συνεχής συνάρτηση στο [, ] κι µε τιµές στο [, δ] µε + δ κι ( )δ f()d =, ν ποδειχτεί ότι η f είνι στθερή συνάρτηση + δ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, + ), πίρνει τιµές στο κι έχει f()= f() κι f() >, ν ποδειχτεί ότι Lim = d Η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη κι «-» στο [, ] µε f()= κι f()= Ν δειχτεί ότι ισχύει: f ()d = [ f()]d Αν η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη κι νησίως µονότονη, ν δειχτεί ότι f() f()d + f ()d = f() f() f() =f() - f() Θέµ ο Ν ρεθεί ο τύπος της συνάρτησης + + = f () ( )f() f ότν ισχύουν οι σχέσεις: f() = κι Θέµ ο Θέµ 4 ο Ν ρεθεί το Ν ρεθεί το ηµ + συν+ Lim d Lim d Θέµ 5 ο Θέµ 6 ο Θέµ 7 ο Θέµ 8 ο Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], ν ποδειχτεί ότι υπάρχουν,, [, ] τέτοι ώστε f()d = f() + f() + f() Ν ρεθεί το Lim εφ()d + ln(συν()) Ν ρεθεί η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το (, + ) κι µε τιµές στο ν ισχύει f() > κι f() ηµ f() = + d, ι κάθε (, + ) π π Ν ρείτε την συνεχή συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το, κι µε τιµές στο f()ηµ π π ι την οποί ισχύει: f() = + d ι κάθε, συν ΘΡ

33 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 9 ο Θέµ 4 ο ***Θέµ 4 ο ***Θέµ 4 ο Θέµ 4 ο ***Θέµ 44 ο ***Θέµ 45 ο Θέµ 46 ο Αν η f συνεχής συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το [, ] µε f() =, f() = κι f()d =, ν ποδείξετε ότι υπάρχει (, ) µε f() = f() Ν υπολοιστεί το όριο Lim d + + Αν f συνεχής στο [, ] κι τέτοι ώστε ν ισχύουν: f() ι κάθε [, ], δείξτε ότι η f είνι «-» κι ρείτε το f() = d κι f () + f()d Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το κι µε τιµές στο ι την οποί ισχύει 4 f() = + f( )ηµ()d ι κάθε Έστω η πρωίσιµη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [, ] κι τιµές στο µε f() = ι την οποί ισχύει: f() = Υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f()d ι κάθε [, ] Ν ποδείξετε ότι: f()d = Υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f( ) = δ Υπάρχει εφπτοµένη της ρφικής πράστσης της συνάρτησης f που σχηµτίζει µε τους άξονες ορθοώνιο κι ισοσκελές τρίωνο Έστω οι µιδικοί ριθµοί z,z κι η συνάρτηση f ορισµένη στο µε τύπο ι την οποί ισχύει f() f() = z + z d ι κάθε είξτε ότι: z = Η εξίσωση f() = έχει κριώς µι λύση στο (, + ) z Γι κάθε ισχύει: z + d 4 Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [, ] Αν κλέσουµε µε m την ελάχιστη τιµή της, ν ποδειχτεί ότι Αν f συνεχής συνάρτηση στο, f( + )d f()d, ν ποδειχτεί ότι f() = f() ( ) f()d f()d m < κι ι κάθε ισχύει η σχέση ΘΡ

34 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 47 ο Θέµ 48 ο ***Θέµ 49 ο ***Θέµ 5 ο ***Θέµ 5 ο ***Θέµ 5 ο Θέµ 5 ο ίνετι η συνεχής συνάρτηση f στο ι την οποί ισχύει ι κάθε ότι f( ) = f( + ) Ν ποδειχτεί ότι + + f()d = f()d ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το που ικνοποιεί ι κάθε τη σχέση f() = + ( )f()d Ν ποδειχτεί ότι f() = +, ίνοντι οι συνρτήσεις f, g συνεχείς στο [, ] Αν ισχύει ότι g() > ι κάθε [, ] κι η συνάρτηση f, φενός δεν είνι στθερή κι φετέρου τ κρόττά της που είνι ντίστοιχ f min του (, ), ν ποδείξετε ότι: Υπάρχει ξ (, ): Υπάρχει (, ): = m, f ma f()g()d = f(ξ) g()d = M, προυσιάζοντι σε εσωτερικά σηµεί f()g()d = m g()d + M g()d Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Αν η ευθεί y = 6 + εφάπτετι της ρφικής πράστσης της συνάρτησης f στο (, f()) κι ορίσουµε τη συνάρτηση h() = f()d, τότε: Ν ρεθεί ο τύπος κι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης h Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση h είνι συνεχής στο = Ν ρεθεί η h() δ Ν ρεθεί η εξίσωση της εφπτοµένης της ρφικής πράστσης της συνάρτησης h στο σηµείο (, h()) Αν η συνάρτηση f είνι δυο φορές πρωίσιµη στο [, ] µε f() < ι κάθε [, ], f() = κι f() >, ν ποδειχτεί ότι d f() f () f() + Ν ποδειχθεί ότι ι κάθε ισχύει ότι + Αν η συνάρτηση f είνι δυο φορές πρωίσιµη στο µε f() = f () = κι f() ισχύει ι κάθε ότι f () + =, ν ποδειχθεί ότι f() =, Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το µε τιµές στο ι την οποί f() f() ισχύει ι κάθε ότι = + Ν ρείτε τον τύπο της συνάρτησης f Ν ρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f Ν ποδείξετε ότι ι κάθε, µε < ισχύει f() f() < ΘΡ 4

35 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) δ Ν υπολοίσετε το ολοκλήρωµ f() I d = Θέµ 54 ο Θέµ 55 ο Ν υπολοισθούν τ όρι: + Κ = Lim d Μ = Lim d + + ίνοντι οι συνρτήσεις f() = σφ µε (, π) κι g() = εφ µε Ν δείξετε ότι ορίζοντι στο οι συνρτήσεις Ν ποδείξετε ότι f ()d= g ( )d f κι g π π, ***Θέµ 56 ο ***Θέµ 57 ο ***Θέµ 58 ο ίνετι η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το (, + ) κι µε τιµές στο, η οποί είνι δυο φορές πρωίσιµη µε f() =, f () = κι ι την οποί ι κάθε > ισχύουν οι σχέσεις: f () > κι f () = (f ()) Ν ποδείξετε ότι: f() + f (), ι κάθε > ( ) f() f()d, µε > Έστω η συνεχής συνάρτηση f τέτοι ώστε ν ισχύει f() Α Ν ποδείξετε ότι: i f() + ln f() =, ι κάθε ii Η συνάρτηση f ντιστρέφετι κι ν ρεθεί η f Β Αν η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη στο, τότε: i Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι νήσι ύξουσ f() ii Ν ποδείξετε ότι f() = [+ f()] f() iii Ν υπολοίσετε τ ολοκληρώµτ I = d κι I + f() f() = ι κάθε = d + f() f() f() Έστω η συνάρτηση f τέτοι ώστε ν ισχύει + = ι κάθε Ν ρείτε τον τύπο της κθώς κι το σύνολο τιµών της Ν ρείτε το εµδόν του χωρίου που ορίζετι πό την ρφική πράστση της f, την εφπτοµένη της στο σηµείο (, f()) κι την ευθεί = Ν ποδείξετε ότι d = + + δ Ν ρείτε την f κι ν λύσετε την εξίσωση f() f () = ΘΡ 5

36 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 59 Θέµ 6 Θέµ 6 ***Θέµ 6 ***Θέµ Έστω η συνάρτηση f µε f() = Ν ρεθούν οι σύµπτωτες της ρφικής πράστσης της f Ν µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ Ν µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη κµπυλότητ κι τ σηµεί κµπής δ Ν ίνει ρφική πράστση της συνάρτησης ε Ν ρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( λ) + + =, λ στ Ν ρεθεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη ρφική πράστση της f, την πλάι σύµπτωτή της κι την ευθεί = Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [, ] κι µε τιµές στο ι την οποί ισχύει ξ f()d = ξ f()d = Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού κι µε τιµές στο κι Αν ι τη συνάρτηση g µε πεδίο ορισµού το ισχύει ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι στθερή g() g() f() d = +,, ν ίνετι η δυο φορές πρωίσιµη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το, τιµές στο κι µε f() > ι κάθε Έστω η συνάρτηση g µε τύπο + g() = f()d, Ν ποδείξετε ότι: Η συνάρτηση g είνι πρωίσιµη στο κι ι κάθε ισχύει g ( + ) = g ( ) Η εξίσωση 5 f(+ ) + f(5 ) = f()d έχει λύση στο διάστηµ (,) + Η ρφική πράστση της συνάρτησης g έχει έν κι µόνο έν σηµείο κµπής, το οποίο ν ρεθεί ίνετι η δυο φορές πρωίσιµη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [, ] µε f() > ι κάθε [, ] Αν < f() < f() ν ποδείξετε ότι: Υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = f() f() Η f στο [, ] έχει µέιστο το f() Ισχύει f() + f() f()d 5 ΘΡ 6

37 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 64 ***Θέµ 65 ***Θέµ 66 Θέµ 67 Θέµ 68 Θέµ 69 Θέµ 7 Θέµ 7 Θέµ 7 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : µε f() > ι κάθε Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση g() = ( )f()d, µε, είνι κυρτή στο Αν m,m είνι ντίστοιχ η ελάχιστη κι η µέιστη τιµή της συνεχούς συνάρτησης f στο [,] µε >, ν ποδείξετε ότι mln f()d Μ ln Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f :, ι την οποί ι κάθε f() σχέση: f() = (+ ) + d + Έστω η συνεχής συνάρτηση f : µε f() = κι f() Ν ποδειχθεί ότι lim f() = + + Ν ρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης f ισχύει η ι κάθε Ν ρεθούν οι συνεχείς συνρτήσεις f µε πεδίο ορισµού κι σύνολο τιµών το οι οποίες ικνοποιούν ι κάθε τη σχέση f() = + f( )d Οι συνρτήσεις f,g,h είνι συνεχείς στο [, ] µε f()d =, h()d = Ν δειχθεί ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε 6 g()d = κι f() + g() + h() = Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:[, + ), της οποίς µι ρχική είνι η F µε F() = κι ι κάθε ισχύει η σχέση f() = F() Έστω η συνεχής συνάρτηση f:r R µε την ιδιότητ f( ) + f(+ ) = f() ι κάθε Ν ποδειχθούν τ εξής: Η συνάρτηση f είνι άρτι, f()d = f()d, ι κάθε, f()d = f()d 995 ίνοντι οι συνεχείς συνρτήσεις f,g :[,] µε g() ι κάθε [,] f() Αν f() = f() κι d = f() ι κάθε [,], ν δείξετε ότι f() = g() Θέµ 7 Έστω η πρωίσιµη συνάρτηση f: µε την ιδιότητ µε f() = Ν υπολοισθεί το f()d = ι κάθε f() Θέµ 74 * ίνοντι οι συνρτήσεις f,g : κι ο στθερός ριθµός Αν η f είνι πρωίσιµη, η g συνεχής κι άρτι κι η f είνι επίσης άρτι, ν δειχθεί ότι: ΘΡ 7

38 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) f() + f( ) = f() ι κάθε f()g()d = f( )g( )d f()g()d = f() g()d Θέµ 75 Έστω η συνεχής συνάρτηση f: µε Ν ρεθεί η f f() + f() = (+ ) + d, ι κάθε Θέµ 76 Έστω η συνεχής συνάρτηση f: µε την ιδιότητ ποδειχθεί ότι υπάρχει [4, ] τέτοιο ώστε f() = 6 f()d = f(4)d Ν Θέµ 77 Θέµ 78 Έστω η συνεχής συνάρτηση f: µε την ιδιότητ f()d = f()d ι y κάθε,y Ν δειχθεί ότι η συνάρτηση f είνι στθερή ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:(, + ) µε Αν f() = κι f() =, ν ποδειχθεί ότι + y f()d f()d ι κάθε > f()d = 4 Θέµ 79 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : µε ποδειχθεί ότι f() = f() f()d = ι κάθε Ν Θέµ 8 Ν υπολοισθεί το λ I(λ) d, = λ > κι το lim I(λ) λ + Θέµ 8 Ν υπολοισθεί το lim I(λ), όπου λ + λ I(λ) = d Αν < <, ν ποδειχθεί ότι (+ ) d (+ )d Θέµ 8 Αν ι κάθε ισχύει η σχέση πό το σηµείο (, ), τότε: Ν ρεθεί η f() = κι η f f() 5 f() (6 5) C διέρχετι Ν ρεθεί το, ώστε η εφπτοµένη της C f στο σηµείο (, f() ) ν έχει συντελεστή διεύθυνσης Θέµ 8 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε f()d < ( ) f(ξ) = ξ Αν f() > ν ΘΡ 8

39 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ 84 Θέµ 85 Θέµ 86 Θέµ 87 Θέµ 88 Θέµ 89 Θέµ 9 Θέµ 9 Θέµ 9 Θέµ 9 Η συνάρτηση f είνι νήσι ύξουσ κι πρωίσιµη στο [, + ) µε f() κι f() > ι κάθε (, + ) Ν δειχθεί ότι η συνάρτηση g() = f()d, >, είνι νησίως ύξουσ Θεωρούµε τη συνάρτηση f ορισµένη στο διάστηµ [, ] µε f() > ι κάθε [, ] Ν ρεθεί (, ) τέτοιο ώστε το εµδόν του χωρίου µετξύ των ευθειών =, =, του διράµµτος της f κι της ευθείς y = f( ), ν είνι ελάχιστο Η συνάρτηση f είνι πρωίσιµη στο [, 4] κι ισχύει f() >, µε f συνεχή στο [, 4] Ν ποδειχθεί ότι 4 f(4) f()d + f ()d = 4f(4) f() f() Οι συνρτήσεις f() κι g() είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει f() > κι g() < ι κάθε [, ] Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει µονδικό [, ] τέτοιο ώστε f()d = g()d Οι συνρτήσεις f() κι h() είνι συνεχείς στο [, ] κι ισχύει h() > ι κάθε [, ] Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει [, ] τέτοιο ώστε f()h()d = f() h()d ίνετι η συνάρτηση ln ηµ(π )d f() = Ν µελετηθεί ως προς τη µονοτονί στο διάστηµ, * Ν ποδειχθεί ότι η f έχει δυο τουλάχιστον ρίζες στο + Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη πράωο κι ισχύει [f() + f ()]ηµd = Αν f(π) =, ν ρεθεί το f() Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη πράωο στο [κ, λ] Αν ισχύει f(κ) = f(λ) κι f(κ) λ λ =, ν ποδειχθεί ότι f(λ) κ f ()d = κ Έστω οι συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το, µε g() = f() f()d κι g() νήσι φθίνουσ συνάρτηση στο Ν ποδειχθεί ότι f() = ι κάθε Ν υπολοισθούν τ ολοκληρώµτ: d ln I = κι I = d ln[ln(ln)], > ( ) π ΘΡ 9

40 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Στη συνέχει ν ρεθεί το lim I () + Θέµ 94 Θέµ 95 Θέµ 96 Θέµ 97 Αποδείξτε ότι ι κάθε ισχύει ότι + Έστω f:[, ] συνεχής κι νησίως µονότονη συνάρτηση µε f() = Αν υπάρχει (, ) ώστε f() =, ν ποδειχθεί ότι: i f(), ii d Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, 5] µε f() < ι κάθε (, 5) Ν 5 ποδειχθεί ότι f()d < 5 f()d Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι f()d< Αν f() > ν ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε f(ξ) = ξ π Έστω ότι f()d = π, όπου f() συνεχής συνάρτηση στο, Ν ποδειχθεί π ότι υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε f( ) = συν Θέµ 98 Έστω f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] µε f()[g() + ]d = Ν ποδειχθούν τ εξής: f ()d = f () = g() = ι κάθε [,] f()d= g ()d = κι Θέµ 99 Θέµ Θέµ Θέµ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ι την οποί ι κάθε ισχύει ότι f() + ( )f( ) = + Ν υπολοισθεί το ολοκλήρωµ I= f()d Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστηµ κι,,, δ Ν ποδειχθεί δ δ δ ότι f()d f()d + f()d f()d = f()d f()d Έστω η συνεχής συνάρτηση f : µε f() > ι κάθε Ν ποδειχθεί ότι 4 f() + f()d f() + f() + f() f()d Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστηµ = [, ] ι την οποί ισχύει = Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ f()d τέτοιο ώστε f(ξ) = ξ ΘΡ 4

41 Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Θέµ Θέµ 4 Θέµ 5 Θέµ 6 Θέµ 7 Θέµ 8 Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστηµ = [, ] ι την οποί ισχύει f()d = f()d Ν ποδειχθεί ότι υπάρχουν κ, λ [, ] τέτοι ώστε f(κ) + f(λ) = Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστηµ = [, ] ι την οποί ισχύει 6 f()d= Ν ποδειχθεί ότι υπάρχουν ξ [, ] τέτοιο ώστε f(ξ) = ξ + ξ + Έστω f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] µε f()d < g()d Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε f(ξ) = g(ξ) κι f() g() > Έστω f, g πρωίσιµες συνρτήσεις στο, όπου η f είνι νησίως ύξουσ κι η g νησίως φθίνουσ στο Αν f ()d = g()d, δείξτε ότι οι ρφικές πρστάσεις C f κι τέµνοντι σε µονδικό σηµείο του διστήµτος (,) Αν ι κάθε ισχύει ότι f()d + g()d, ποδείξτε ότι f () + f() = g() + g() είξτε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f( ) = g( ) είξτε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε ( ) + g ( ) f = Έστω η πρωίσιµη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµ [, ] κι f () > ι κάθε [, ] Αν ι κάθε (, ) ισχύει ότι f () >, ν ποδειχθεί ότι f () [ f( ) ] [ f( ] f( ) d + = ln f()d ln f( ) ) Έστω µι πρµτική συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πρµτικών ριθµών ΙR, ι την οποί ισχύουν οι σχέσεις: f(), ι κάθε κι f()= - f ()d, ι κάθε Έστω η g η συνάρτηση που ορίζετι πό τον τύπο g() f() = -, ι κάθε C g είξετε ότι ισχύει f() = - f () είξετε ότι η συνάρτηση g είνι στθερή είξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είνι: δ Βρείτε το όριο Li m (f()ηµ) + f() = + ΘΡ 4

ΙΧ. ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ, ΕΠΙΒΑΡΥΝΣΕΙΣ

ΙΧ. ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ, ΕΠΙΒΑΡΥΝΣΕΙΣ ΙΧ ΕΜΠΟΡΙΚΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ, ΕΠΙΒΑΡΥΝΣΕΙΣ Α ΕΠΙΒΑΡΥΝΣΕΙΣ ΤΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΟΥ Τ σφάλιστρ Α ι Ρ που µελετήσµε µέχρι στιγµής είνι µθηµτιά ή "τεχνιά" σφάλιστρ (είνι "σφάλιστρ ινδύνου") γι την άλυψη των σφλιστιών προχών

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν

Διαβάστε περισσότερα

Τ. 4 Τ. 5 Τ. 6 Τ.7 Τ.8. Τόμος Β

Τ. 4 Τ. 5 Τ. 6 Τ.7 Τ.8. Τόμος Β ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ «ΤΟΤΕ» ΘΕΜΑΤΑ /ΤΕΥΧΟΣ (ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΟΡΟΦΟΥ) Τόμος Α Τ. 1 Τ. 2 Τ. 3 - Ενας Ελληνας στη Σμύρνη του 1924 : Λίγο μετά τη Μικρασιατική καταστροφή - Οι πρώτες Ελληνίδες φεμινίστριες: Ο γυναικείος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ

2.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ 1.4 ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Νόµς ηµιτόνων : Σε κάθε τρίων ισχύει ηµα. Νόµς συνηµιτόνων : Σε κάθε τρίων ισχύει συνα συνβ συνγ ΣΧΟΛΙΑ 1. Με τν νόµ των ηµιτόνων Ότν νωρίζυµε µι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΦΟΡΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΗ ΕΝΩΣΗ

Η ΦΟΡΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΗ ΕΝΩΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η ΦΟΡΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΗ ΕΝΩΣΗ ΣΠΟΥ ΑΣΤΕΣ: ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Π.. 186/1992 (ΦΕΚ 84 Α /26.5.1992) Κώδικας Βιβλίων και Στοιχείων (Κ.Β.Σ.)

ΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Π.. 186/1992 (ΦΕΚ 84 Α /26.5.1992) Κώδικας Βιβλίων και Στοιχείων (Κ.Β.Σ.) ΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Π.. 186/1992 (ΦΕΚ 84 Α /26.5.1992) Κώδικας Βιβλίων και Στοιχείων (Κ.Β.Σ.) (κωδικοποιηµένο µέχρι και τον ν. 3229/2004 (ΦΕΚ 38 Α /10.2.2004)) 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ I. ΚΩ ΙΚΑΣ ΒΙΒΛΙΩΝ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Πρωτ. Από τα επίσηµα Πρακτικά της ΡΛΒ, 7 Μαΐου 2009, Συνεδρίασης της Ολοµέλειας της Βουλής, στην οποία ψηφίστηκε το παρακάτω σχέδιο νόµου:

Πρωτ. Από τα επίσηµα Πρακτικά της ΡΛΒ, 7 Μαΐου 2009, Συνεδρίασης της Ολοµέλειας της Βουλής, στην οποία ψηφίστηκε το παρακάτω σχέδιο νόµου: ΒΟΥΛΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Αριθ. Πρωτ. Από τα επίσηµα Πρακτικά της ΡΛΒ, 7 Μαΐου 2009, Συνεδρίασης της Ολοµέλειας της Βουλής, στην οποία ιεκπ. ψηφίστηκε το παρακάτω σχέδιο νόµου: Ενσωµάτωση Οδηγιών 2006/98/ΕΚ,

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. ) x. f(x)dx = lim f(ξ. Παραδείγµατα Επισηµάνσεις Θεωρίας Θέµατα. f(ξκ) Επιµέλεια: Μάριος Ελευθεριάδης 1. + κ=1

Ολοκληρώματα. ) x. f(x)dx = lim f(ξ. Παραδείγµατα Επισηµάνσεις Θεωρίας Θέµατα. f(ξκ) Επιµέλεια: Μάριος Ελευθεριάδης 1. + κ=1 Ολοκληρώμτ Cf f(ξκ) = 3 κ-ξκ κ - = f()d = lim f(ξ κ ) + κ= Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης . Αρχική συάρτηση ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Ορισµός: Αρχική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΟΛΟΜΕΛΕΙΑΣ 19-10-2011 (ΑΠΟΓΕΥΜΑ)

ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΟΛΟΜΕΛΕΙΑΣ 19-10-2011 (ΑΠΟΓΕΥΜΑ) ΣΕΛ.-1- (Σηµείωση: Ο παρακάτω πίνακας περιεχοµένων δεν αποτελεί το τελικό κείµενο, διότι εκκρεµούν ορθογραφικές και συντακτικές διορθώσεις) ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΙΓ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΠΡΟΕΔΡΕΥΟΜΕΝΗΣ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ

Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ (1821-1829) 150 1. Η έκρηξη και η εδραίωση της Επανάστασης (1821-1823) Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Αφού µελετήσετε το απόσπασµα από την επαναστατική προκήρυξη του Αντώνη Οικονόµου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΗΜΟΣ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ /ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ TΜHΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ & ΑΠΟΘΗΚΗΣ 364.530,84 69.260,86 433.791,70

ΜΕΛΕΤΗ ΗΜΟΣ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ /ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ TΜHΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ & ΑΠΟΘΗΚΗΣ 364.530,84 69.260,86 433.791,70 ΗΜΟΣ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ /ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ TΜHΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ & ΑΠΟΘΗΚΗΣ Αρ. Μελέτης. 20 Έτος:2009 ΜΕΛΕΤΗ ΘΕΜΑ : «Προµήθεια υγρών καυσίµων & λιπαντικών ελαίων για τις ανάγκες του ήµου Καλαµάτας για το έτος 2010» ΕΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν.

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήν, 15 Ιουνίου 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟΔΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΑΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ: Β Τχ. Δ/νση : Κ. Σερβίς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΙΣΤ. Πέµπτη 31 Ιανουαρίου 2013

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΙΣΤ. Πέµπτη 31 Ιανουαρίου 2013 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΙΣΤ Πέµπτη 31 Ιανουαρίου 2013 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 7055, 7129 2. Ανακοινώνεται ότι τη συνεδρίαση παρακολουθούν µαθητές από το 1ο Γυµνάσιο

Διαβάστε περισσότερα

Αποκεντρωµένης ιοίκησης Πρόγραµµα Καλλικράτης». διατάξεις, ρυθµίσεις στις εργασιακές σχέσεις.»

Αποκεντρωµένης ιοίκησης Πρόγραµµα Καλλικράτης». διατάξεις, ρυθµίσεις στις εργασιακές σχέσεις.» ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ Α..Α: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α Κ Ρ Η Τ Η Σ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΕΣΩΤ. ΛΕΙΤ/ΓΙΑΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ Ηράκλειο, 6 Νοεµβρίου 2013 Αρ. Πρωτ.: ΟΙΚ. 110167/41099 Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟΥ ΝΕΟΤΗΤΑΣ. ΙΔΡΥΣΗ Ιδρύεται Κέντρο Νεότητας µε την επωνυµία «Κέντρο Νεότητας... µε έδρα...

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟΥ ΝΕΟΤΗΤΑΣ. ΙΔΡΥΣΗ Ιδρύεται Κέντρο Νεότητας µε την επωνυµία «Κέντρο Νεότητας... µε έδρα... ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟΥ ΝΕΟΤΗΤΑΣ ΑΡΘΡΟ 1 ΙΔΡΥΣΗ Ιδρύεται Κέντρο Νεότητας µε την επωνυµία «Κέντρο Νεότητας... µε έδρα... ΑΡΘΡΟ 2 Στο Καταστατικό αυτό «Κέντρο Νεότητας» σηµαίνει: «εθελοντική-κοινοτική οργάνωση

Διαβάστε περισσότερα

http://www.gdimitrakopoulos.gr

http://www.gdimitrakopoulos.gr Να διατηρηθεί µέχρι Βαθµός ασφαλείας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΚΑΙ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠPΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ. Η Εθνική Επιτροπή Τηλεπικοινωνιών και Ταχυδρομείων (ΕΕΤΤ),

ΑΠΟΦΑΣΗ. Η Εθνική Επιτροπή Τηλεπικοινωνιών και Ταχυδρομείων (ΕΕΤΤ), Μαρούσι, 23-6-2009 ΑΡΙΘ. ΑΠ.: 528/075 ΑΠΟΦΑΣΗ Κανονισμός Καθορισμού των Τελών Διέλευσης, των Τελών Χρήσης Δικαιωμάτων Διέλευσης και του Ύψους των Εγγυήσεων Καλής Εκτέλεσης των Εργασιών Διέλευσης για όλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 23 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Συνέχεια του µαθήµατος 22 Ασκήσεις. 3 η ενότητα 17.

ΜΑΘΗΜΑ 23 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Συνέχεια του µαθήµατος 22 Ασκήσεις. 3 η ενότητα 17. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ενότητα 7. ΜΑΘΗΜΑ 3.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνέχεια του µαθήµατος Ασκήσεις ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : α) Είναι συνεχής β) 3 f () + f () = + +, για κάθε R Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: Μέσα μεταφοράς

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: Μέσα μεταφοράς ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: Μέσα μεταφοράς Ενότητα: Μέσα μεταφοράς (4 Φύλλα εργασίας) Επίπεδο: A1, A2 Κοινό: αλλόγλωσσοι ενήλικες Διάρκεια: 8 ώρες (4 δίωρα) Υλικοτεχνική υποδομή: Για τον διδάσκοντα: 1 υπολογιστής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΘΝΙΚΗΣ ΑΜΥΝΑΣ ΚΑΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΝΟΜΟΣΧΕ ΙΟ. «Στρατολογία των Ελλήνων» Άρθρο 1 Υπόχρεοι σε στράτευση

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΘΝΙΚΗΣ ΑΜΥΝΑΣ ΚΑΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΝΟΜΟΣΧΕ ΙΟ. «Στρατολογία των Ελλήνων» Άρθρο 1 Υπόχρεοι σε στράτευση ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΘΝΙΚΗΣ ΑΜΥΝΑΣ ΚΑΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΝΟΜΟΣΧΕ ΙΟ «Στρατολογία των Ελλήνων» Άρθρο 1 Υπόχρεοι σε στράτευση 1. Όλοι οι Έλληνες πολίτες, από την 1η Ιανουαρίου του έτους κατά το οποίο διανύουν το

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α : «ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΗΜΟΥ ΤΡΕΧΟΝΤΟΣ ΕΤΟΥΣ».

Θ Ε Μ Α : «ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΗΜΟΥ ΤΡΕΧΟΝΤΟΣ ΕΤΟΥΣ». ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ ΛΑΜΙΕΩΝ Α Α Α όσ ασµα α ό το ρακτικό της 7 ης συνεδρίασης της Οικονοµικής Ε ιτρο ής. ΑΡΙΘΜ. ΑΠΟΦ. : 88 /2014 Θ Ε Μ Α : «ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΗΜΟΥ ΤΡΕΧΟΝΤΟΣ ΕΤΟΥΣ». Σήµερα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΞΖ. Τρίτη 30 Ιουνίου 2015

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΞΖ. Τρίτη 30 Ιουνίου 2015 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΞΖ Τρίτη 30 Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επί διαδικαστικού θέµατος, σελ. 4017, 4018, 4019, 4020, 4021, 4022, 4023, 4024, 4025, 4026, 4027, 4028, 4029, 4032, 4033,

Διαβάστε περισσότερα

Συµβουλεύοµαι το κρυπτογραφικό αλφάβητο της Φιλικής Εταιρείας και. Ελευθερία ή Θάνατος. γ35343 ωβη3οω3η

Συµβουλεύοµαι το κρυπτογραφικό αλφάβητο της Φιλικής Εταιρείας και. Ελευθερία ή Θάνατος. γ35343 ωβη3οω3η 3 Συµβουλεύοµαι το κρυπτογραφικό αλφάβητο της Φιλικής Εταιρείας και Κρυπτογραφικό αλφάβητο της Φιλικής Εταιρείας α β γ δ ε ζ θ ι κ λ µ ν ξ ο π ρ σ τ φ χ ψ ω η ξ υ ψ ω 1 2 3 4 5 6 7 4α 8 9 ο α β γ δ 9α

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΜ. Πέµπτη 7 Μαρτίου 2013

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΜ. Πέµπτη 7 Μαρτίου 2013 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΜ Πέµπτη 7 Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 8674 2. Άδεια απουσίας των Βουλευτών κ. κ. Γ. Ψαριανού και Γ. Παπανδρέου, σελ. 8647, 8753 3.

Διαβάστε περισσότερα

Πρωτ. Από τα επίσηµα Πρακτικά της ΛΣΤ, 20 εκεµβρίου 2009, Συνεδρίασης της Ολοµέλειας της Βουλής, στην οποία ψηφίστηκε το παρακάτω σχέδιο νόµου:

Πρωτ. Από τα επίσηµα Πρακτικά της ΛΣΤ, 20 εκεµβρίου 2009, Συνεδρίασης της Ολοµέλειας της Βουλής, στην οποία ψηφίστηκε το παρακάτω σχέδιο νόµου: ΒΟΥΛΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Αριθ. Πρωτ. Από τα επίσηµα Πρακτικά της ΛΣΤ, 20 εκεµβρίου 2009, Συνεδρίασης της Ολοµέλειας της Βουλής, ιεκπ. στην οποία ψηφίστηκε το παρακάτω σχέδιο νόµου: Αναµόρφωση συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ηµοσιεύθηκε στο ΦΕΚ 1296/Β /30.6.2015

ηµοσιεύθηκε στο ΦΕΚ 1296/Β /30.6.2015 ηµοσιεύθηκε στο ΦΕΚ 1296/Β /30.6.2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 30 Ιουνίου 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ Αριθ. Πρωτ.: 22138 ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ ΓΕΝ. ΙΕΥ/ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΙΟΙΚ/ΚΗΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ Τους Αποδέκτες του Πίνακα Α

ΠΡΟΣ Τους Αποδέκτες του Πίνακα Α ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 19-2 - 04 ΙΟΙΚΗΣΗ Αριθ.Πρωτ. ΓΕΝΙΚΗ /ΝΣΗ ΑΣΦ/ΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Α42/3 /ΝΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ - ΕΣΟ ΩΝ Ταχ. /νση: Αγ. Κων/νου 8 ΕΞΑΙΡ. ΕΠΕΙΓΟΥΣΑ 102 41 Αθήνα ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΑΡ.16 ΠΡΟΣ Τους Αποδέκτες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Ν. Πέµπτη 28 Ιανουαρίου 2010

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Ν. Πέµπτη 28 Ιανουαρίου 2010 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Ν Πέµπτη 28 Ιανουαρίου 2010 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 2917,2977 2. Αδεια απουσίας του Βουλευτή κ. Κ. Μητσοτάκη, σελ. 2961 3. Ανακοινώνεται ότι

Διαβάστε περισσότερα

α) του Ν. 2362/95 (Φ.Ε.Κ. 247/Α/27-11-95) «Περί ηµόσιου Λογιστικού Ελέγχου των δαπανών του Κράτους & άλλες διατάξεις»

α) του Ν. 2362/95 (Φ.Ε.Κ. 247/Α/27-11-95) «Περί ηµόσιου Λογιστικού Ελέγχου των δαπανών του Κράτους & άλλες διατάξεις» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ ΤΑΜΕΙΟ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΣ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΤΡΑΠΕΖΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΟΙΝΗΣ ΩΦΕΛΕΙΑΣ (ΤΑΥΤΕΚΩ) /ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο του ροτεινόµενου Καταστατικού. 1. Άρθρο 3 στ. α)

Σχέδιο του ροτεινόµενου Καταστατικού. 1. Άρθρο 3 στ. α) Σχέδιο του ροτεινόµενου Καταστατικού. ΙΣΧΥΟΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ 1. Άρθρο 3 στ. α) 1. Σκο ός της Τρά εζας είναι η διενέργεια, για ίδιο λογαριασµό ή για λογαριασµό τρίτων, στην Ελλάδα και στην αλλοδα ή, είτε αυτοτελώς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ε. Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2014

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ε. Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2014 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ε Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2014 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 273 2. Ανακοινώνεται ότι τη συνεδρίαση παρακολουθούν µαθητές από το Γενικό Λύκειο Βαθέος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΒΕΡΟΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ ΣΧΕΔΙΟ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΑΡΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΥ ΒΕΡΟΙΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΒΕΡΟΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ ΣΧΕΔΙΟ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΑΡΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΥ ΒΕΡΟΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΒΕΡΟΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ ΣΧΕΔΙΟ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΑΡΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΥ ΒΕΡΟΙΑΣ ΠΡΟΟΙΜΙΟ 1. Η γεωργία αποτελεί τον κυριότερο τομέα της πρωτογενούς παραγωγής του Δήμου Βέροιας

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΠΡΟΕ ΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Εκδίδοµε τον ακόλουθο νόµο που ψήφισε η Βουλή:

Ο ΠΡΟΕ ΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Εκδίδοµε τον ακόλουθο νόµο που ψήφισε η Βουλή: ΝΟΜΟΣ ΥΠ' ΑΡΙΘ.3084 (ΦΕΚ.318/Α /16-12-2002) Κύρωση της Σύµβασης µεταξύ της Ελληνικής ηµοκρατίας και της ηµοκρατίας της Σλοβενίας για την αποφυγή της διπλής φορολογίας αναφορικά µε τους φόρους εισοδήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Κώδικας. ιαχείρισης του Συστήµατος. και. Συναλλαγών Ηλεκτρικής. Ενέργειας

Κώδικας. ιαχείρισης του Συστήµατος. και. Συναλλαγών Ηλεκτρικής. Ενέργειας Κώδικας ιαχείρισης του Συστήµατος και Συναλλαγών Ηλεκτρικής Ενέργειας Ανεπίσηµη έκδοση Φεβρουαρίου 2008, βάσει της απόφασης του Υπουργού Ανάπτυξης για την έγκρισή του ( 5-ΗΛ/Β/οικ./8311/09-05-2005 - ΦΕΚ

Διαβάστε περισσότερα

Ο Δ Η Γ Ο Σ Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Η Σ Α Σ Κ Η Σ Η Σ

Ο Δ Η Γ Ο Σ Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Η Σ Α Σ Κ Η Σ Η Σ Τ.Ε.Ι. ΗΠΕΙΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Η Σ Α Σ Κ Η Σ Η Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 3 2. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ..3 3. ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΥΡΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΥΡΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ AΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ Π.Υ. ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΠΑΛ.ΑΔΕΙΑΣ ΥΒΕΤ ΕΠΩΝΥΜΙΑ - ΤΙΤΛΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΥΡΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ Που συντάχθηκε σύμφωνα με.... από τον.... Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ 1. Είδος επιχείρησης 2. Κατάταξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ]Β. Πέµπτη 20 Φεβρουαρίου 2014

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ]Β. Πέµπτη 20 Φεβρουαρίου 2014 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ]Β Πέµπτη 20 Φεβρουαρίου 2014 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 7631, 7671 2. Ανακοινώνεται ότι τη συνεδρίαση παρακολουθούν µαθητές από το 3ο Δηµοτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σέρρες 11.5.2015 Αριθ. Πρωτ.: 1387

Σέρρες 11.5.2015 Αριθ. Πρωτ.: 1387 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ TEΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΕΡΜΑ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ - 614 ΣΕΡΡΕΣ ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Σέρρες 11.5.015 Αριθ. Πρωτ.: 1387 ΠΡΟΣΛΗΨΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ, ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ,

Διαβάστε περισσότερα

=========================

========================= ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΝΟΜΟΣ ΣΕΡΡΩΝ ΗΜΟΣ ΣΕΡΡΩΝ /ΝΣΗ /ΚΟΥ-ΟΙΚΟΝ/ΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΥΠΟΣΤ. ΣΥΛΛΟΓΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Ο 2 ο έτους 2015 ========================= Οικονοµικής Επιτροπής ήµου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Γενικά. 2. Πεδία Ορισµού

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Γενικά. 2. Πεδία Ορισµού ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Γενικά Συνάρτηση είνι µι διδικσί µε την οοί φτιάχνουµε διτετγµέν ζεύγη ριθµών της µορφής (x,y) σύµφων µε ένν συγκεκριµένο κνόν ου ονοµάζετι τύος της συνάρτησης y= f (x) Πράδειγµ: ίνετι η

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Η ΔΗΜΑΡΧΟΣ ΣΟΥΛΙΟΥ

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Η ΔΗΜΑΡΧΟΣ ΣΟΥΛΙΟΥ Α.Π.: 2448/28-02-2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΠΡΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΣΟΥΛΙΟΥ Γραφείο Προμηθειών Πληροφορίες: κ. Μαραζόπουλος Αθ. Tαχ. Δ/νση: K. Καραμανλή Τ.Κ. 46200 Παραμυθιά Τηλ.: 2666360132 Φαξ: 2666024155

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό,

Διαβάστε περισσότερα

Πριν α ό την έναρξη της συνεδρίασης ο Πρόεδρος δια ίστωσε ότι α ό τα εννέα (9) µέλη της Οικονοµικής Ε ιτρο ής ήταν:

Πριν α ό την έναρξη της συνεδρίασης ο Πρόεδρος δια ίστωσε ότι α ό τα εννέα (9) µέλη της Οικονοµικής Ε ιτρο ής ήταν: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ ΛΑΜΙΕΩΝ Α Α 7ΝΠΡΩΛΚ-9Ρ3 Α όσ ασµα α ό το ρακτικό της 34 ης συνεδρίασης της Οικονοµικής Ε ιτρο ής. ΑΡΙΘΜ. ΑΠΟΦ. : 462 /2015 Θ Ε Μ Α : «Χαρακτηρισµός θέµατος, µη συµ εριλαµβανοµένου

Διαβάστε περισσότερα

Εκδήλωση στα Γιάννενα για τους οδικούς άξονες χωρίς την παρουσία του Υπουργού

Εκδήλωση στα Γιάννενα για τους οδικούς άξονες χωρίς την παρουσία του Υπουργού Κωδικός 2417 Ε ΡΑ: ΦΙΛΙΠΠΙΑ Α ΕΤΟΣ ΕΚ ΟΣΗΣ 1957 Ι ΡΥΤΗΣ: ΚΩΝ/ΝΟΣ ΜΠΑΡΚΑΣ Ι ΙΟΚΤΗΤΗΣ-ΕΚ ΟΤΗΣ - ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΘΕΟΦΑΝΗΣ Κ. ΜΠΑΡΚΑΣ www.foniagroti.gr ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 εκεµβρίου 2013 Αριθ. Φύλλου 2409 Αρχ. Σπυρίδωνος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ν. Φιλ/φεια: 18/6/2015 ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Αριθμ. Πρωτ: 12403 ΔΗΜΟΣ ΦΙΛΑΔΕΛΦΕΙΑΣ- ΧΑΛΚΗΔΟΝΟΣ Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ν. Φιλ/φεια: 18/6/2015 ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Αριθμ. Πρωτ: 12403 ΔΗΜΟΣ ΦΙΛΑΔΕΛΦΕΙΑΣ- ΧΑΛΚΗΔΟΝΟΣ Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η Ν. Φιλ/φεια: 18/6/2015 ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Αριθμ. Πρωτ: 12403 ΔΗΜΟΣ ΦΙΛΑΔΕΛΦΕΙΑΣ- ΧΑΛΚΗΔΟΝΟΣ Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η Διενέργειας για την εκτέλεση προμήθειας < ΔΑΠΕΔΟΥ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΚΕΣ ΧΑΡΕΣ - ΣΧΟΛΕΙΑ > με τη συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

(ΦΕΚ Α 19 16.2.2010) Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ. Εκδίδομε τον ακόλουθο νόμο που ψήφισε η Βουλή: Αρθρο πρώτο

(ΦΕΚ Α 19 16.2.2010) Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ. Εκδίδομε τον ακόλουθο νόμο που ψήφισε η Βουλή: Αρθρο πρώτο ΝΟΜΟΣ 3820/2010 (Μαρόκο) Κύρωση της Σύμβασης μεταξύ της Ελληνικής Δημοκρατίας και του Βασιλείου του Μαρόκου για την αποφυγή της διπλής φορολογίας και την αποτροπή της φοροδιαφυγής αναφορικά με τους φόρους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Κατεύθυνση) ΛΥΣΙΟΥ ΥΠΕΡ ΜΑΝΤΙΘΕΟΥ Προοίµιο 2

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Κατεύθυνση) ΛΥΣΙΟΥ ΥΠΕΡ ΜΑΝΤΙΘΕΟΥ Προοίµιο 2 Βασικέ Οδηγίε : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Κατεύθυνση) ΛΥΣΙΟΥ ΥΠΕΡ ΜΑΝΤΙΘΕΟΥ Προοίµιο 2 1. Η αφορά στα είδη των προτάσεων γίνεται σε αυτή τη φάση απλώ για προ δεασµό, µέχρι γίνει η διδασκαλία του κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: Β425Ω0Ο-19Λ 1ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΑΔΑ: Β425Ω0Ο-19Λ 1ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ IΚΤYΟ ΑΠΟΦΑΣΗ ΑΡΙΘΜΟΣ 760 (Αριθµός πρακτικού 24) Η Οικονοµική Επιτροπή Ηρακλείου αποτελούµενη από τα παρόντα τακτικά µέλη της κ.κ. Ν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ : Θεωρία. Περίληψη γραπτού Λόγου. Τι είναι η περίληψη;

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ : Θεωρία. Περίληψη γραπτού Λόγου. Τι είναι η περίληψη; ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ : Θεωρία Περίληψη γραπτού Λόγου Τι είναι η περίληψη; Είναι η συνοπτική και περιεκτική απόδοση, σε συνεχή λόγο, ενός κειμένου. Είναι ένα νέο κείμενο, που, χωρίς να προδίδει το αρχικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΙΤΗΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ 33/2004

ΙΑΙΤΗΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ 33/2004 ΙΑΙΤΗΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ 33/2004 Για τη ρύθµιση των όρων αµοιβής και εργασίας των Καθηγητών, που απασχολούνται στα Φροντιστήρια Μέσης Εκπαίδευσης Νοµού Αττικής ( Πράξη κατάθεσης Υπουργείου Απασχόλησης και Κοινωνικής

Διαβάστε περισσότερα

16-5-2013 .:54406/ 12964 : « , (1.740.713,13) 2013»

16-5-2013 .:54406/ 12964     : «         ,            (1.740.713,13)  2013» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Βόλος 16-5-2013 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Αρ. πρωτ.:54406/γπ12964 ΠΕΡΙΦ. ΕΝΟΤ. ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ ΗΜΟΣ ΒΟΛΟΥ /ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Η Μ Ο Σ Ι Ο Υ Α Ν ΟΙ Κ Τ Ο Υ ΙΑ Γ Ω Ν

Διαβάστε περισσότερα

2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών

2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών 2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών Περίληψη Το Υπουργείο Οικονοµικών έχει κατορθώσει να µειώσει τους πραγµατικούς µας µισθούς, συνδυάζοντας την επίδραση των ακολούθων γεγονότων που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: ΒΙΡ3ΩΞ3-ΑΟΘ. Αναρτητέα στο διαδίκτυο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ

ΑΔΑ: ΒΙΡ3ΩΞ3-ΑΟΘ. Αναρτητέα στο διαδίκτυο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ Αναρτητέα στο διαδίκτυο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ A Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από τα πρακτικά της µε αριθµ. 01/2014 τακτικής συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Αριθµ.Απόφασης: 3/2014 Π Ε Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ

ΑΝΑΡΤΗΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΑΝΑΡΤΗΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ AΘΗΝΑ, 10 / 06 /2015 ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Α.Π. : 2679 ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ Α.Δ.Α. : ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 2014-2020

Διαβάστε περισσότερα

Της από 27/7/ 2015 Συνεχιζόµενης Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου του ήµου Ρόδου. Αριθ. Πρακτικού: 13/27-7-2015 Αριθ. Απόφασης: 438/2015

Της από 27/7/ 2015 Συνεχιζόµενης Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου του ήµου Ρόδου. Αριθ. Πρακτικού: 13/27-7-2015 Αριθ. Απόφασης: 438/2015 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Ο Υ Της από 27/7/ 2015 Συνεχιζόµενης Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου του ήµου Ρόδου Αριθ. Πρακτικού: 13/27-7-2015 Αριθ. Απόφασης: 438/2015

Διαβάστε περισσότερα

15PROC003313118 2015-11-16

15PROC003313118 2015-11-16 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΛΕΣΒΟΥ ΗΜΟΣ ΛΗΜΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚ. ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΓΡΑΦΕΙΟ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ Μύρινα, 13 Νοεµβρίου 2015 Αρ. Πρωτ. : 17043 ΙΑΚΗΡΥΞΗ Ο ΗΜΑΡΧΟΣ ΛΗΜΝΟΥ Έχοντας υπ όψη: 1. Τις διατάξεις: α. Των άρθρων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ATTIKHΣ Αχαρνές, 15/10/2015 Φ.Π.Α. 23%: 9.337,54 Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ATTIKHΣ Αχαρνές, 15/10/2015 Φ.Π.Α. 23%: 9.337,54 Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η ΔΗΜΟΣ ΑΧΑΡΝΩΝ Σύστημα Διαχείρισης Ποιότητας ISO 9001 : 2008 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ATTIKHΣ Αχαρνές, 15/10/2015 ΗΜΟΣ ΑΧΑΡΝΩΝ ιεύθυνση Οικονοµικών Υπηρεσιών Αριθµ. πρωτ.: 71817 Τµήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩN ΤΜΗΜΑ ΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2009 ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΣΤ Τρίτη 23 Ιουνίου 2009

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩN ΤΜΗΜΑ ΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2009 ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΣΤ Τρίτη 23 Ιουνίου 2009 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩN ΤΜΗΜΑ ΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2009 ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΣΤ Τρίτη 23 Ιουνίου 2009 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 445 2. Ανακοινώνεται η συνεδρίαση ιαρκούς Επιτροπής,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΠΑΡΤΣΑ ΓΙΟΡΤΑΖΕΙ ΤΗΝ ΑΝΟΔΟ ΚΑΙ ΠΑΕΙ ΔΥΝΑΤΑ ΓΙΑ ΝΤΑ ΣΙΛΒΑ

Η ΜΠΑΡΤΣΑ ΓΙΟΡΤΑΖΕΙ ΤΗΝ ΑΝΟΔΟ ΚΑΙ ΠΑΕΙ ΔΥΝΑΤΑ ΓΙΑ ΝΤΑ ΣΙΛΒΑ εβδομαδιαία αθλητική εφημερίδα Τρίτη 22 Μαΐου 2012 1,30 Αρ. φύλλου:66 www.korinhiaspors.gr Η ΜΠΑΡΤΣΑ ΓΙΟΡΤΑΖΕΙ ΤΗΝ ΑΝΟΔΟ ΚΑΙ ΠΑΕΙ ΔΥΝΑΤΑ ΓΙΑ ΝΤΑ ΣΙΛΒΑ Άρεσε ο βραζιλιάνος στόπερ στο φιλικό με Πανιώνιο.

Διαβάστε περισσότερα

Π ΕΡΙΕΧΟΜ ΕΝΑ. σελ.29 3.10 Η ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΚΕΡΔΩΝ ΑΠΟ ΛΑΧΕΙΑ σελ. 30 3.11 Η ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΑΚΙΝΗΤΗΣ ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΣ σελ. 31

Π ΕΡΙΕΧΟΜ ΕΝΑ. σελ.29 3.10 Η ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΚΕΡΔΩΝ ΑΠΟ ΛΑΧΕΙΑ σελ. 30 3.11 Η ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΑΚΙΝΗΤΗΣ ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΣ σελ. 31 Π ΕΡΙΕΧΟΜ ΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ σελ. 3 2. ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ σελ 4 2.1 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΦΟΡΟΥ σελ. 4 2.2 ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΦΟΡΟΥ σελ. 4 2.3 ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΕΞΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ σελ.4 2.4 ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΛΕΠΤΟΥ ΚΑΙ ΩΡΙΑΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΛΕΠΤΟΥ ΚΑΙ ΩΡΙΑΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΛΕΠΤΟΥ ΚΑΙ ΩΡΙΑΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ Παραδείγµατα ολιγόλεπτου διαγωνίσµατος Το παράδειγµα αυτό αναφέρεται στη διδακτική ενότητα 3. Κύριος στόχος

Διαβάστε περισσότερα

Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής. Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους:

Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής. Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους: Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους: α. περιφραστικά (δηλ. χρησιμοποιώντας δύο λέξεις περιφραστικός ρηματικός τύπος στα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΡΙΣΤ. Παρασκευή 7 Μαΐου 2010

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΡΙΣΤ. Παρασκευή 7 Μαΐου 2010 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΡΙΣΤ Παρασκευή 7 Μαΐου 2010 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 6859, 6893 2. Ανακοινώνεται ότι τη συνεδρίαση παρακολουθούν µαθητές από το 2ο ηµοτικό Σχολείο

Διαβάστε περισσότερα

Το Ψυχολογικό Κλίμα της Σχολικής Τάξης στο Ελληνικό Δημοτικό Σχολείο

Το Ψυχολογικό Κλίμα της Σχολικής Τάξης στο Ελληνικό Δημοτικό Σχολείο Το Ψυχολογικό Κλίμα της Σχολικής Τάξης στο Ελληνικό Δημοτικό Σχολείο Ηλίας Γ. Ματσαγγούρας Καθηγητής Π.Τ.Δ.Ε. Πανεπιστημίου Αθηνών Σταμάτης Ν. Βούλγαρης Διδάκτωρ Επιστημών της Αγωγής Ι. Εισαγωγή Α. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 18487 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1439 17 Ιουλίου 2009 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 33759/Φ.710 Κανονισμός Ειδικών Αδειών Παροχής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών. Η ΕΘΝΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ

Διαβάστε περισσότερα

Υπό Παναγιώτη Δαλκαφούκη, μέλους Ένωσης Ελλήνων Ποινικολόγων

Υπό Παναγιώτη Δαλκαφούκη, μέλους Ένωσης Ελλήνων Ποινικολόγων 2008 Υπό Παναγιώτη Δαλκαφούκη, μέλους Ένωσης Ελλήνων Ποινικολόγων 1. Λόγω διάλυσης της Βουλής δεν αποτελεί: α) Αν έχουν παραιτηθεί ή καταψηφιστεί από αυτή, δύο Κυβερνήσεις και η σύνθεσή της δεν εξασφαλίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΤΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ (Ο.Ε.Υ) ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΔΗΜΩΝ

ΟΔΗΓΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΤΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ (Ο.Ε.Υ) ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΔΗΜΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΤΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ (Ο.Ε.Υ) ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΔΗΜΩΝ Δεκέμβριος 2010 Με τη συγχρηµατοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 2 Η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: ΒΙΕ9ΩΗΑ-5ΒΚ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ

ΑΔΑ: ΒΙΕ9ΩΗΑ-5ΒΚ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Χαλκίδα Αριθμ.Πρωτ. : 12577 ΔΗΜΟΣ ΧΑΛΚΙΔΕΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Αριθ. Αποφ. 91/2014 Από το Πρακτικό της 6ης/2014 Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Χαλκιδέων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθ. Πρωτ. : 14300 Ηµεροµηνία : 22/07/2015. Πληροφορίες : Γ. Καρανίκα Τηλέφωνο : 214-4141339

Αριθ. Πρωτ. : 14300 Ηµεροµηνία : 22/07/2015. Πληροφορίες : Γ. Καρανίκα Τηλέφωνο : 214-4141339 ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (ΣΤΑ.ΣΥ.) A.E. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΜΕΣΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ Ε ΡΑ: ΑΘΗΝΑΣ 67 - ΑΘΗΝΑ 105 52 ΑΦΜ: 099939745.Ο.Υ. :ΦΑΕ ΑΘΗΝΩΝ ΓΡΑΦΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ: ΤΗΛ. 214-4141138-214-4141369 FAX: 210-3223935

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «Καθιέρωση και έγκριση 24ωρης λειτουργίας των Υπηρεσιών της /νσης Παιδείας Πολιτισµού κ Αθλητισµού του ήµου Αγρινίου για το έτος 2012»

ΘΕΜΑ: «Καθιέρωση και έγκριση 24ωρης λειτουργίας των Υπηρεσιών της /νσης Παιδείας Πολιτισµού κ Αθλητισµού του ήµου Αγρινίου για το έτος 2012» ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το πρακτικό της µε αριθ. 16ης/2011 Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου του ήµου Αγρινίου. Αριθ. Απόφασης 466/2011 ΘΕΜΑ: «Καθιέρωση και έγκριση 24ωρης λειτουργίας των Υπηρεσιών της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ Καλλιθέα 22/07/2014 Αριθ. Απόφασης :545 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ : Οικονομική ΤΜΗΜΑ : Προμηθειών & Αποθηκών ΤΑΧ. Δ/ΝΣΗ : ΜΑΤΖΑΓΡΙΩΤΑΚΗ 76, ΑΡΜΟΔΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. ΘΕΜΑ: «Μεταθέσεις εκπαιδευτικών Δευτεροβάθμιας Εκκλησιαστικής Εκπαίδευσης σχ. έτ.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. ΘΕΜΑ: «Μεταθέσεις εκπαιδευτικών Δευτεροβάθμιας Εκκλησιαστικής Εκπαίδευσης σχ. έτ. Δ: 7ΛΩΙ9-9Β ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΙΔΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΜΜΤΕΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΗΣ ΕΚΠΙΔΕΥΣΗΣ & ΤΜΗΜ ΕΚΚΛ/ΚΗΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΗΣ ΓΩΓΗΣ ----- Ταχ. Δ/νση: ν. Παπανδρέου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ: ΜΑΝΤΕΙΟ ΤΡΟΦΩΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΘΗΒΑ»

ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ: ΜΑΝΤΕΙΟ ΤΡΟΦΩΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΘΗΒΑ» ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ:» ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΙΔΡΥΜΑΤΟΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΝΗΜΕΙΩΝ ΒΟΙΩΤΙΑΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

15REQ003211166 2015-10-23

15REQ003211166 2015-10-23 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΑΘΛΗΣΗΣ ΚΑΙ ΝΕΟΛΑΙΑΣ ΗΜΟΥ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ (Ο.Π.Α.Ν.) ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από τα πρακτικά 14ης/8-10-2015 συνεδρίασης του.σ. του Οργανισµού

Διαβάστε περισσότερα

Εκατοστή τριακοστή δεύτερη ηλεκτρονική έκδοση εβδομαδιαίας εφημερίδας του Υπουργείου Διοικητικής Μεταρρύθμισης και Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης

Εκατοστή τριακοστή δεύτερη ηλεκτρονική έκδοση εβδομαδιαίας εφημερίδας του Υπουργείου Διοικητικής Μεταρρύθμισης και Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης Εκατοστή τριακοστή δεύτερη ηλεκτρονική έκδοση εβδομαδιαίας εφημερίδας του Υπουργείου Διοικητικής Μεταρρύθμισης και Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης ΔΗΜΟΣΙΟγραφικά τεύχος 132 ανακοινώσεις Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Αρµόδια Υπηρεσία: /νση Οικονοµικής ιαχείρισης Τµήµα Οικονοµικής ιαχείρισης Ξάνθης Πληροφορίες: Μενεξάς Ελευθέριος Τηλέφωνο: 25410/ 79053 F A X: 25410 / 79050 Π Ρ Ο Κ Η Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02 Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Μ Ν Α Δ Ε Σ Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν Τ Ρ Ο Ε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Σελίδα 1 ΕΣΟΔΑ ΚΑΕ Ονομασία ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΘΕΝΤ ΒΕΒΑΙΩΘΕΝΤΑ ΕΙΣΠΡΑΧΘΕΝΤΑ 0113 ΕΠΙΧΟΡΗΓΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΙΣΘΟΔΟΣΙΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ & ΔΑΠΑΝΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 1.460.000 1.314.000 1.314.000 0133 ΕΠΙΧΟΡΗΓΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΒΛΕΠΕΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΡΑΤΙΚΗ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΜΕΡΙΜΝΑ ΚΑΙ ΓΙΑ ΣΥΝΑΦΗ ΘΕΜΑΤΑ. Η Βουλή των Αντιπροσώπων ψηφίζει ως ακολούθως:

ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΒΛΕΠΕΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΡΑΤΙΚΗ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΜΕΡΙΜΝΑ ΚΑΙ ΓΙΑ ΣΥΝΑΦΗ ΘΕΜΑΤΑ. Η Βουλή των Αντιπροσώπων ψηφίζει ως ακολούθως: ΝΟΜΟΣ ΠΟΥ ΠΡΟΒΛΕΠΕΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΡΑΤΙΚΗ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΜΕΡΙΜΝΑ ΚΑΙ ΓΙΑ ΣΥΝΑΦΗ ΘΕΜΑΤΑ Η Βουλή των Αντιπροσώπων ψηφίζει ως ακολούθως: Συνοπτικός τίτλος. 1. Ο παρών Νόμος θα αναφέρεται ως ο περί Κρατικής Φοιτητικής

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Α Ρ Τ Η Μ Α ΤΟΥ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ 31ης ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2012

Π Ρ Ο Σ Α Ρ Τ Η Μ Α ΤΟΥ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ 31ης ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2012 "ΒΕΛΛΟΥΜ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ" με τον διακριτικό τίτλο "ΒΕΛΛΟΥΜ Α.Ε." ΑΡ.Μ.Α.Ε. 70613/01ΝΤ/Β/11/0015 Αρ. Γ.Ε.ΜΗ 1862901000 Π Ρ Ο Σ Α Ρ Τ Η Μ Α ΤΟΥ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ 31ης ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2012

Διαβάστε περισσότερα

στο σχέδιο νόµου «Ρύθµιση συνταξιοδοτικών θεµάτων του Δηµοσίου και άλλες διατάξεις» Επί του άρθρου 1 ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ

στο σχέδιο νόµου «Ρύθµιση συνταξιοδοτικών θεµάτων του Δηµοσίου και άλλες διατάξεις» Επί του άρθρου 1 ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ στο σχέδιο νόµου «Ρύθµιση συνταξιοδοτικών θεµάτων του Δηµοσίου και άλλες διατάξεις» Προς τη Βουλή των Ελλήνων ΜΕΡΟΣ Α ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΝΤΑΞΙΟΔΟΤΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΗΜΟΣΙΟΥ Με τις προτεινόµενες διατάξεις,

Διαβάστε περισσότερα

16PROC003674322 2016-01-22

16PROC003674322 2016-01-22 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΩΝ-ΜΕΝΕΜΕΝΗΣ «ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ ΚΤΙΡΙΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΩΝ ΜΕΝΕΜΕΝΗΣ» «ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ ΚΤΙΡΙΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΩΝ ΜΕΝΕΜΕΝΗΣ» Ενδεικτικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: 64Υ9ΩΗΜ-ΑΗΙ ΑΔΑΜ: 15PROC003250014

ΑΔΑ: 64Υ9ΩΗΜ-ΑΗΙ ΑΔΑΜ: 15PROC003250014 Γούρνες 3-11-2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αριθμός πρωτ. 23428 ΔΗΜΟΣ ΧΕΡΣΟΝΗΣΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΙΤΛΟΣ: ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΦΩΤΙΣΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ Δ.Ε. ΧΕΡΣΟΝΗΣΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ: ΕΣΟΔΑ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: 73.185,00 Ευρώ (µε

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Από το πρακτικό της µε αριθµ. 23/2015 ΗΜΟΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ τακτικής συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής

ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Από το πρακτικό της µε αριθµ. 23/2015 ΗΜΟΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ τακτικής συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ A Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Από το πρακτικό της µε αριθµ. 23/2015 ΗΜΟΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ τακτικής συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής Αριθµ. Απόφασης: 234/2015 ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαρξ, Κ. (2007). "Κριτική του προγράµµατος της Γκότα", σ. 37.

Μαρξ, Κ. (2007). Κριτική του προγράµµατος της Γκότα, σ. 37. «( ) Ίση λαϊκή εκπαίδευση; Τι να φαντάζονται µ αυτά τα λόγια; Πιστεύουν ότι µπορεί στη σηµερινή κοινωνία (και µονάχα µε δαύτην έχουν να κάνουν) να είναι η εκπαίδευση ίση για όλες τις τάξεις; Ή ζητάνε να

Διαβάστε περισσότερα

Αριθ. Αποφάσεως 600/2009 ΑΝΤΙ ΗΜΑΡΧΟΣ: ΧΑΤΖΗΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΠΡΟΕ ΡΟΣ: ΓΕΩΡΓΙΑ ΗΣ ΠΑΥΛΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΑΣ: ΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

Αριθ. Αποφάσεως 600/2009 ΑΝΤΙ ΗΜΑΡΧΟΣ: ΧΑΤΖΗΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΠΡΟΕ ΡΟΣ: ΓΕΩΡΓΙΑ ΗΣ ΠΑΥΛΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΑΣ: ΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΚΑΒΑΛΑΣ ΗΜΟΣ ΚΑΒΑΛΑΣ ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό της µε αριθ. 27 ης /28 Σεπτεµβρίου 2009 Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Καβάλας Αριθ. Αποφάσεως 600/2009 Θ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣ ΑΛΙΑΡΤΟΥ ΘΕΣΠΙΕΩΝ

ΗΜΟΣ ΑΛΙΑΡΤΟΥ ΘΕΣΠΙΕΩΝ ΗΜΟΣ ΑΛΙΑΡΤΟΥ ΘΕΣΠΙΕΩΝ 1 2 Πίνακας περιεχοµένων ΜΕΡΟΣ Α : «ΕΙΣΑΓΩΓΗ»... 5 Βασικές Αρχές του Κανονισµού Καθαριότητας ήµου Αλιάρτου - Θεσπιέων... 5 Στόχοι του κανονισµού... 5 Νοµικό Πλαίσιο... 7 ΜΕΡΟΣ Β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΡΝΣΤ. Παρασκευή 2 Ιουλίου 2010

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΡΝΣΤ. Παρασκευή 2 Ιουλίου 2010 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΡΝΣΤ Παρασκευή 2 Ιουλίου 2010 ΘΕΜΑΤΑ: Α. ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 9570 2. Ευχές για καλή επιτυχία στην υποψηφιότητα του κ. Π. Ευθυµίου για τη θέση του

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτη Έκθεση της Ελλάδας

Πρώτη Έκθεση της Ελλάδας Φ092.22/739 Προαιρετικό Πρωτόκολλο στη Σύμβαση για τα Δικαιώματα του Παιδιού σχετικά με την εμπλοκή των παιδιών σε ένοπλες συρράξεις ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πρώτη Έκθεση της Ελλάδας 1. Η Ελλάδα υπέγραψε το Προαιρετικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: ΒΛΛ1ΩΗΑ-Ι61 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ

ΑΔΑ: ΒΛΛ1ΩΗΑ-Ι61 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Χαλκίδα Αριθμ.Πρωτ. :78029 ΔΗΜΟΣ ΧΑΛΚΙΔΕΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Αριθ.Αποφ. 458/2013 Από το Πρακτικό της 48ης/2013 Συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Χαλκιδέων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2014 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΛZ Τρίτη 16 Σεπτεµβριου 2014

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2014 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΛZ Τρίτη 16 Σεπτεµβριου 2014 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2014 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΛZ Τρίτη 16 Σεπτεµβριου 2014 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 2923, 2974 2. Επί διαδικαστικού θέµατος,

Διαβάστε περισσότερα

Θα είχε νόημα να διαλέξεις πλευρά...

Θα είχε νόημα να διαλέξεις πλευρά... Θα είχε νόημα να διαλέξεις πλευρά μόνο αν ο κόσμος μας ήταν σαν τη λογική τους! TEYXOΣ #1 WWWSTEKICHANIAGR ΧΩΡΙΣ ΑΝΤΙΤΙΜΟ / / / ΣΕ ΘΕΣΗ ΕDITORIAL Μια αρχέγονη συνήθεια τα ομαδικά ταξίδια, υιοθετημένα σχεδόν

Διαβάστε περισσότερα

Οι στρατηγικές πολιτικές (διπλωµατικές) αρετές του Αγησιλάου (3 διδακτικές ώρες)

Οι στρατηγικές πολιτικές (διπλωµατικές) αρετές του Αγησιλάου (3 διδακτικές ώρες) Κεφάλαιο 1. 17-22 Οι στρατηγικές πολιτικές (διπλωµατικές) αρετές του Αγησιλάου (3 διδακτικές ώρες) Ενδεικτικοί διδακτικοί στόχοι 1. Να επισηµάνουν οι µαθητές τις στρατηγικές και πολιτικές ικανότητες του

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η. Άρθρο 1 ο Ισχύουσες διατάξεις Η διενέργεια του διαγωνισμού και η εκτέλεση της προμήθειας διέπονται από τις διατάξεις:

Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η. Άρθρο 1 ο Ισχύουσες διατάξεις Η διενέργεια του διαγωνισμού και η εκτέλεση της προμήθειας διέπονται από τις διατάξεις: Πετρούπολη: 23/10/2015 Αριθ. Πρωτ: 16419 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Δ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Η Αντιδήμαρχος Πετρούπολης Ζορμπά Ανθή διακηρύσσει ότι εκτίθεται σε Α- νοικτό Ηλεκτρονικό

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργου Σεφέρη: Επί Ασπαλάθων... (Κ.Ν.Λ. Α Λυκείου, σελ. 222-224)

Γιώργου Σεφέρη: Επί Ασπαλάθων... (Κ.Ν.Λ. Α Λυκείου, σελ. 222-224) 1. ΚΕΙΜΕΝΟ Γιώργου Σεφέρη: Επί Ασπαλάθων... (Κ.Ν.Λ. Α Λυκείου, σελ. 222-224) 2. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ 2.1. Παραδείγµατα ερωτήσεων ελεύθερης ανάπτυξης 1. Ως προς τι προϊδεάζει τον αναγνώστη ο τίτλος του

Διαβάστε περισσότερα

Κώδικας Μετανάστευσης Κοινωνικής Ένταξης και λοιπές διατάξεις ΝΟΜΟΣ 4251/2014

Κώδικας Μετανάστευσης Κοινωνικής Ένταξης και λοιπές διατάξεις ΝΟΜΟΣ 4251/2014 Κώδικας Μετανάστευσης Κοινωνικής Ένταξης και λοιπές διατάξεις ΝΟΜΟΣ 4251/2014 ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΡΚΟΥΣ ΚΩΔΙΚΑ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑΣ «ΡΑΠΤΑΡΧΗΣ» ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΜΕΤΑΡΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΡΑ : Τ/ρχη Κωστάκη 1 451 10 Ιωάννινα Αριθµός Μητρώου Α.Ε. 10490/42Β/86/1

Ε ΡΑ : Τ/ρχη Κωστάκη 1 451 10 Ιωάννινα Αριθµός Μητρώου Α.Ε. 10490/42Β/86/1 . Ε ΡΑ : Τ/ρχη Κωστάκη 1 451 10 Ιωάννινα Αριθµός Μητρώου Α.Ε. 10490/42Β/86/1 ΕΤΗΣΙΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΑ ΙΕΘΝΗ ΠΡΟΤΥΠΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΠΟΥ ΕΧΟΥΝ ΥΙΟΘΕΤΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ Ι ΑΚΤΟΡΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ Ι ΑΚΤΟΡΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ Ι ΑΚΤΟΡΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α Ι ΡΥΣΗ - ΕΠΩΝΥΜΙΑ - Ε ΡΑ Άρθρο 1 α) Ιδρύεται σύλλογος µε την επωνυµία Σύλλογος Υποψηφίων

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις που μς ζητού βρούμε κάποιους όρους της κολουθίς ή ποιος όρος της ισούτι με μι τιμή κ. Ότ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αναρτητέα στο διαδίκτυο: Α.Δ.Α.: Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΑΣΤΥΝΟΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΤΥΝ.Δ/ΝΣΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΝΑΥΠΛΙΟ 13 Νοεμβρίου 2013 ΑΣΤΥΝΟΜΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΓΟΛΙΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΜΕΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα