ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Γενικά. 2. Πεδία Ορισµού

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Γενικά Συνάρτηση είνι µι διδικσί µε την οοί φτιάχνουµε διτετγµέν ζεύγη ριθµών της µορφής (x,y) σύµφων µε ένν συγκεκριµένο κνόν ου ονοµάζετι τύος της συνάρτησης y= f (x) Πράδειγµ: ίνετι η συνάρτηση µε τύο f (x) = x + 1 Τότε, ν το x άρει διδοχικά τις τιµές, 1, 3, το y θ άρει τις τιµές y = f ( ) = ( ) + 1 = = 5 y= f (1) = y= f (3) = Έτσι έχουµε φτιάξει τ ζεύγη (-,5), (1,), (3,10) Το ερώτηµ ου ροκύτει είνι ό ού ντλούµε τις τιµές του x, δηλδή τι τιµές µορεί ν άρει το x Η άντηση είνι ότι το x ίρνει τιµές µέσ ό έν σύνολο ριθµών ου ονοµάζετι Πεδίο Ορισµού της συνάρτησης f Το Πεδίο Ορισµού µορεί ν µς δίνετι µζί µε τον τύο της συνάρτησης Στην ράξη όµως υτό δεν συµβίνει οτέ Εκείνο ου γίνετι είνι ότι µς δίνετι µόνο ο τύος της συνάρτησης κι εµείς ρέει ν βρούµε το ευρύτερο δυντό υοσύνολο του στο οοίο ορίζετι η f χωρίς ρόβληµ Αυτή η διδικσί ονοµάζετι εύρεση του εδίου ορισµού Πεδί Ορισµού Ότν µς δίδετι µι άσκηση ου εριλµβάνει συνρτήσεις, ρώτ όλ υολογίζουµε το εδίο ορισµού τους, κόµ κι ν δεν το ζητάει η άσκηση Γι ν ροσδιορίσουµε το εδίο ορισµού µις συνάρτησης ίρνουµε τους εξής εριορισµούς: ) Προνοµστές 0 χ x f (x) =, x 3 0 x 3 x 3 Οότε Α= { 3} R β) Υόριζη οσότητ 0 χ f (x) = x 1, x 1 0 x 1 Οότε Α=[1, + ) γ) Όρισµ λογρίθµου > 0 χ f (x) = ln(x + ), x + > 0 x > Οότε Α=(-, + ) δ) Αν υάρχει εφx, τότε x κ +, κ Ζ ρ Σ Τσντίλς (MSc, PhD), Μθηµτικός Αστροφυσικός, wwwtsantilas-grblogspotgr 1

2 Αν υάρχει σφx, τότε x κ, κ Ζ χ f (x) = εφx + 4, x κ +, κ Ζ Οότε Α= { x R / x κ +, κ Ζ} Ασκήσεις 1 Ν βρεθούν τ εδί ορισµού των ρκάτω συνρτήσεων: x x 1 ) f (x) = β) f (x) = + x + 1 x x + 1 x 1 x γ) f (x) = δ) f (x) = (x + )(x 3) x 3x + Ν βρεθούν τ εδί ορισµού των ρκάτω συνρτήσεων: x 1 x 4 ) g(x) = β) h(x) = x 9 x 1 1 γ) k(x) = ln(x + 4) δ) p(x) = εφx + ln(x 1) x Πρτηρήσεις: Α Τ υοερωτήµτ (γ) κι (δ) της άσκησης 1 νδεικνύουν την νάγκη ν µορούµε ν λύνουµε εξισώσεις ου βθµού Β Το υοερώτηµτ (β), (γ) κι (δ) της άσκησης νδεικνύουν την νάγκη ν µορούµε ν λύνουµε νισώσεις ου βθµού Γι το λόγο υτό ρθέτουµε τ ρκάτω εξιρετικά χρήσιµ ροιτούµεν γι τον ροσδιορισµό του Πεδίου Ορισµού µις συνάρτησης Προιτούµενο 1: ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ίνετι η εξίσωση δευτέρου βθµού Υολογίζουµε την δικρίνουσ = β 4 γ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο ργµτικές ρίζες: x 1, = β ± Αν =0, τότε η εξίσωση έχει µι ρίζ διλή: x = β Αν <0, τότε η εξίσωση δεν έχει ργµτικές ρίζες Ισχύουν είσης οι εξής τύοι (τύοι του Vieta): β γ x1 + x =, x1 x = Εφόσον έχουµε βρει τις λύσεις (ή τη λύση) της εξίσωσης x + γ = 0, τότε µορούµε ν ργοντοοιήσουµε το τριώνυµο x + γ ως εξής: ) Αν υάρχουν λύσεις x, x 1 τότε έχουµε x + β x + γ = (x x )(x x 1 ) ρ Σ Τσντίλς (MSc, PhD), Μθηµτικός Αστροφυσικός, wwwtsantilas-grblogspotgr

3 β) Αν υάρχει µόνο µί λύση x 0 τότε έχουµε x + γ = (x x Προιτούµενο : ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Εστω το τριώνυµο x + γ, 0 Αν >0, τότε το τριώνυµο είνι ) οµόσηµο του εκτός των ριζών β) ετερόσηµο του νάµεσ στις ρίζες Αν =0, τότε το τριώνυµο είνι οµόσηµο του (εκτός ό τ σηµεί ου µηδενίζετι) Αν <0, τότε το τριώνυµο είνι ντού οµόσηµο του ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1 Ν βρεθεί το ρόσηµο του f (x) = x + x 3 Μορούµε εύκολ ν βρούµε (µε δικρίνουσ) ότι οι ρίζες του είνι x = 1 κι x = 3 Οότε εκτός των ριζών είνι οµόσηµο του a = 1 κι νάµεσ ετερόσηµο: 0 ) Ν βρεθεί το ρόσηµο του f (x) = x + 4x + 4 Έχουµε: f (x) = x + 4x+ 4= (x+ ) Οότε το f (x) έχει µί διλή ρίζ x = Άρ: 3 Ν βρεθεί το ρόσηµο του f (x) = x 1 Έχουµε: 1 x 1 = 0 x =, δύντη Άρ το f (x) δεν έχει ργµτικές ρίζες Οότε είνι ντού οµόσηµο του = : ρ Σ Τσντίλς (MSc, PhD), Μθηµτικός Αστροφυσικός, wwwtsantilas-grblogspotgr 3

4 Τι γίνετι όµως ότν η εξίσωση, ή η νίσωση ου ρέει ν λύσουµε είνι 3 ου βθµού ή κι µεγλύτερου; Σε κάθε ερίτωση, οι εξισώσεις κι οι νισώσεις µορούν ν λυθούν ν κτφέρουµε ν ργοντοοιήσουµε λήρως την ράστση ου µελετάµε Έν σηµντικό εργλείο ου χρησιµοοιούµε σε τέτοιες εριτώσεις είνι το Σχήµ Horner Σχήµ Horner Έστω ότι θέλουµε ν λύσουµε την ολυωνυµική εξίσωση x 3 3x + = 0 η οοί είνι ροφνώς 3 ου βθµού ) Πρώτ βρίσκουµε τους διιρέτες του στθερού όρου, οι οοίοι είνι οι 1,, -1, β) Χρησιµοοιώντς τους συντελεστές του ολυωνύµου κτσκευάζουµε την εξής διάτξη Πρτηρούµε ότι εειδή δεν υάρχει x υψωµένο στο τετράγωνο, στον ντίστοιχο ίνκ έχει µει το 0 Στη συνέχει δοκιµάζουµε ένν - ένν τους διιρέτες του στθερού όρου ου βρήκµε ράνω Τον ρώτο ριθµό του ίνκ, δηλδή το 1, το κτεβάζουµε κάτω ό την γρµµή του ίνκ ιγωνίως ολ/σιάζουµε µε τον ριθµό ου είνι άνω δεξιά, βάζουµε τον ριθµό στην εόµενη στήλη άνω ό την γρµµή κι ροσθέτουµε κτκορύφως Συνεχίζουµε τη διδικσί µέχρι τον τελευτίο ριθµό Αν το οτέλεσµ ου βρίσκετι στην τελευτί θέση µέσ στο τετράγωνο είνι 0, τότε κτφέρµε ν ργοντοοιήσουµε την ράστση Οι ριθµοί ου βρίσκοντι κάτω ό την γρµµή (εκτός ό υτόν ου είνι µέσ στο τετράγωνο) είνι οι συντελεστές του ενός ράγοντ, ενώ ο άλλος είνι το (x-ρ) όου ρ είνι ο κτάλληλος διιρέτης του στθερού όρου Άρ έχουµε: (x 1)(x + x ) = 0 Οότε x 1 = 0 x = 1 κι x + x = 0, = ( ) = 1+ 8 = 9, κι τελικά ίρνουµε x= 1 ή x = Πρτηρούµε ότι έχουµε δύο λύσεις, το 1 κι το, λλά το 1 εµφνίζετι δύο φορές Εφόσον έχουµε κτφέρει ν βρούµε όλες τις ρίζες µις ολυωνυµικής εξίσωσης, τότε έχουµε λύσει λήρως την εξίσωση Αν όµως θέλουµε ν λύσουµε την ντίστοιχη ολυωνυµική νίσωση, έχουµε κόµ (δυστυχώς) ρκετή δουλειά ν κάνουµε ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ν λυθεί η νίσωση (x 1)(x + 1)(x + 3x 5) 0 Μέθοδος Α: Ευθεί των ργµτικών ριθµών Βρίσκουµε τις ρίζες (λύσεις της ντίστοιχης εξίσωσης) κάθε µις ό τις ειµέρους ρενθέσεις: ρ Σ Τσντίλς (MSc, PhD), Μθηµτικός Αστροφυσικός, wwwtsantilas-grblogspotgr 4

5 x 1 = 0 x = 1 x + 1 = 0 x = 1, δύντη x + 3x 5 = 0 x = 1ή x = Προσοχή: Η ρίζ x=1 εµφνίζετι δύο φορές Κτσκευάζουµε την ρκάτω ευθεί των ργµτικών ριθµών 5 + Στην ευθεί υτή τοοθετούµε όλες τις ρίζες ό µί φορά Το ρόσηµο το βρίσκουµε ως εξής: 1 Στο διάστηµ ου βρίσκετι στο άκρο δεξιά, τοοθετούµε το ρόσηµο ου έχει ο συντελεστής του «ολικού» µεγιστοβάθµιου όρου ου ροκύτει ό τον ολλλσισµό των µεγιστοβάθµιων όρων των ειµέρους ρενθέσεων Στη συγκεκριµένη ερίτωση ( + 1)( + 1)( + ) = + Κινούµενοι ό δεξιά ρος τ ριστερά, ότν «ερνάµε» άνω ό ρίζ ου εµφνίζετι εριττό λήθος φορών, λλάζουµε ρόσηµο Ενώ, ότν «ερνάµε» άνω ό ρίζ ου εµφνίζετι άρτιο λήθος φορών διτηρούµε το ίδιο ρόσηµο Έτσι, στο ράδειγµά µς ξεκινάµε µε + ό δεξιά, διτηρούµε το + στο διάστηµ (-5/, 1) φού η ρίζ x=1 εµφνίζετι δύο φορές, κι βάζουµε στο ριστερό διάστηµ φού η ρίζ x=-5/ εµφνίζετι µί φορά 5 Η λύση είνι το x, + Πρτηρήσεις: 1 Η µέθοδος υτή εφρµόζετι µόνο σε ολυωνυµικές ρστάσεις κ Ότν στην νίσωση υάρχει όρος της µορφής ( f (x)), τότε θεωρούµε ότι οι ρίζες της f (x) εµφνίζοντι κ φορές Έτσι, τώρ είµστε νέτοιµοι γι ν ντιµετωίσουµε τις ερισσότερες εριτώσεις υολογισµού του Πεδίου Ορισµού µι συνάρτησης! Οότε: Ασκήσεις Ν υολογιστούν τ εδί ορισµού των ρκάτω συνρτήσεων 1 f (x) = x 4 f (x) = x + x 3 f (x) = x 5x f (x) = x + x 3 5 f (x) = x 3x + x 1 x 3x + 6 f (x) = + x 5x + 6 x 1 ρ Σ Τσντίλς (MSc, PhD), Μθηµτικός Αστροφυσικός, wwwtsantilas-grblogspotgr 5