Ολοκληρώματα. ) x. f(x)dx = lim f(ξ. Παραδείγµατα Επισηµάνσεις Θεωρίας Θέµατα. f(ξκ) Επιµέλεια: Μάριος Ελευθεριάδης 1. + κ=1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ολοκληρώματα. ) x. f(x)dx = lim f(ξ. Παραδείγµατα Επισηµάνσεις Θεωρίας Θέµατα. f(ξκ) Επιµέλεια: Μάριος Ελευθεριάδης 1. + κ=1"

Transcript

1 Ολοκληρώμτ Cf f(ξκ) = 3 κ-ξκ κ - = f()d = lim f(ξ κ ) + κ= Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης

2 . Αρχική συάρτηση ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Πρδείγµτ Επισηµάσεις Θεωρίς Θέµτ Ορισµός: Αρχική (ή πράγουσ) της f που ορίζετι στο διάστηµ λέγετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F () = f(), γι κάθε. Θεώρηµ: Έστω η F είι µί πράγουσ της f στο διάστηµ. Τότε: H συάρτηση G()=F()+c, µε c R στθερά, είι πράγουσ της f στο Κάθε πράγουσ G της f στο, έχει µορφή G()=F()+c, µε c R στθερά O y=f() +c3 y=f() +c y=f() y=f() +c Πρτηρήσεις -Πράγουσ συάρτηση Το θεώρηµ της σελ.34 µπορεί διτυπωθεί κι ως εξής: «Έστω F() µι ρχική της f() σ έ διάστηµ. Μι συάρτηση G ορισµέη στο είι ρχική της f κι µόο υπάρχειc R τέτοιος ώστε: G()=F()+c R». Κάθε συεχής συάρτηση σε διάστηµ, έχει πράγουσ στο διάστηµ υτό Στο ορισµό της ρχικής συάρτησης F πρέπει επισηµάουµε ότι ορίζουµε ρχική ή πράγουσ F µις συάρτησης f σε έ διάστηµ ( οποισδήποτε µορφής συεχές διάστηµ, συέπει ΘΜΤ), =διάστηµ(συεχές), F πργωγίσιµη στο. Η πράγουσ µις συάρτησης f ( υπάρχει), δε είι µοδική Το θεώρηµ της σελ.34 ισχύει µόο γι συάρτηση ορισµέη σε διάστηµ συεχές. Γιτί προέρχετι πό τη πρότση συέπει του Θ.Μ.Τ.-στις πργώγους f ( ) = g ( ) f ( ) = g( ) + c, ( = συεχές διάστηµ) Ατιπράδειγµ. Η συάρτηση: f ( ) =, (, ) (, + ) = Α, έχει ρχική τη F ( ) = +, Α, φού F ( ) = f ( ), Α. Οµοίως η συάρτηση +, > είι ρχική της f στο Α G ( ) = + +, < Όµως, > G ( ) F ( ) = δε είι στθερή., < Α F, G ρχικές συρτήσεις τω συρτήσεω f, g σ έ διάστηµ τίστοιχ, τότε ποδεικύετι ότι: ) η συάρτηση F είι ρχική της f στο διάστηµ, R ) η συάρτηση F+G είι ρχική της f+g στο διάστηµ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης

3 Υπάρχου συρτήσεις που έχου ρχική λλά υτή δε µπορεί εκφρστεί µε στοιχειώδεις συρτήσεις. e ηµ συ πχ,,,, e, εφ,,... ln Με το Θεµελιώδες Θεώρηµ του Ο.Λ. προκύπτει ότι κάθε συεχής συάρτηση σε διάστηµ έχει µί ρχική. Από το θεµελιώδες θεώρηµ προκύπτει ότι µι συάρτηση f δε έχει ρχική τότε δε είι συεχής. Μπορεί όµως µι συάρτηση f που δε είι συεχής σε έ διάστηµ έχει F ρχική συάρτηση( που θ είι πργωγίσιµη στο ), F ( ) = f ( ) κι η f δε είι συεχής, σ έ τουλάχιστο σηµείο του. Το όριστο ολοκλήρωµ πρλείπετι (σελ. 35) κι ισχύει ο πρκάτω πίκς τω πργουσώ µερικώ σικώ συρτήσεω. Α/Α Συάρτηση Πράγουσες f ( ) = G( ) = c, c R, f ( ) = G( ) = + c, c R 3 f ( ) 4 f ( ) = 5 f ( ) = G( ) = ln + c, c R + G( ) = + c, c R + = συ G( ) = ηµ+ c, c R 6 f ( ) 7 8 = ηµ G( ) = συ+ c, c R f ( ) = G( ) = εφ+ c, c R συ f ( ) = G( ) = σφ+ c, c R ηµ 9 f ( ) = e G( ) = e + c, c R f ( ) = G( ) = + c, c R ln Οι εφρµογές τω σελίδω 36 κι 37 γίου µε τη χρήση τω ρχικώ συρτήσεω. Ν λυθού οι σκήσεις, 4, 5 κι 7 της Α Οµάδς. Ατιπράδειγµ ηµ, ηµ συ, F ( ) = κι f ( ) = χ, =, = η f δε είι συεχής στο, όµως F ( ) = f ( ) R Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 3

4 . Ορισµέο ολοκλήρωµ Το ορισµέο ολοκλήρωµ Γι ορίσουµε το ορισµέο ολοκλήρωµ πρέπει : ) Ν έχουµε µι συεχή συάρτηση f σε κλειστό διάστηµ [,]. ) Ν κάουµε µι διµέριση του [,] σε µικρότερ ισοµήκη υποδιστήµτ πλάτους = -, µε µί πρεµολή - ριθµώ άµεσ στ κι κι επιλέξουµε γι κάθε [ k-, k ], έ τυχίο ξ κ [ k-, k ] κι σχηµτίσουµε το άθροισµ : f(ξ ) + f(ξ ) + f(ξ 3 ) + + f(ξ κ ) +..+ f(ξ ) = κ = f(ξ ) ξ ξ ξ3 ξκ ξ = 3 κ = γ) Ν ρούµε το όριο lim ( + κ = f(ξ ) κ κ- κ+ ) που είι πργµτικός ριθµός. - - κ Το όριο οοµάζετι ορισµέο ολοκλήρωµ της f πό έως κι συµολ. f()d f ( )d lim = + ( f (ξ κ ) ) κ = Γεωµετρική ερµηεί του ορισµέου ολοκληρώµτος Cf f(ξκ) = 3 κ-ξκ κ - = Ότ γι τη συάρτηση f ισχύει f() κι f συεχής γι κάθε [,] τότε: Το άθροισµ f (ξ κ ) πριστάει το άθροισµ τω εµδώ τω ορθογωίω που έχου κ = άση τ υποδιστήµτ της διµέρισης κι ύψος τη τίστοιχη τιµή f(ξ κ ). Το άθροισµ όµως υτό είι µί προσέγγιση του εµδού του χωρίου που ορίζετι πό τη C f, το άξο κι τις ευθείες = κι =. Όσο υξάει ο ριθµός τω διστηµάτω ( + )έχουµε κι κλύτερη προσέγγιση του εµδού. Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4

5 Έτσι λοιπό: Α f(), κι f συεχής στο [,] τότε: Το ολοκλήρωµ f ()d ισούτι µε το εµδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη C f, το άξο κι τις ευθείες = κι =. C f Ω Πρτήρηση: Το f()d είι εξάρτητο πό τη εκλογή τω σηµείω ξ κ Έτσι γι τη εφρµογή του ορισµού επιλέγουµε (συήθως) τ δεξιά άκρ τω διστηµάτω της διµέρισης τ οποί είι ξ = + -, ξ = + -,..., ξ κ = + κ -,..., ξ = + - = Το σύµολο Σ. = κ κ= Ιδιότητες του συµόλου Σ ( + )= +, κ κ κ κ κ= κ= κ= λ =λ, λ στθερός (ο στθερός όρος τίθετι εκτός Σ) κ κ= κ= κ Βσικά θροίσµτ Με το συµολισµό Σ µπορούµε δηλώσουµε συοπτικά κάποι γωστά θροίσµτ (+) = κ = (+)(+) = κ = κ= κ= 6 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 5

6 Iδιότητες του ορισµέου ολοκληρώµτος f ( )d. Α f() τότε f()d. Α f() στο [,] κι η f δε µηδείζετι πτού στο [,] τότε f()d > 3. f()d= 4. f()d = - f()d 5. λf()d=λ f()d 6. [f()+g()]d= f()d+ g()d κι γεικά [λf()+µg()]d=λ f()d+µ g()d γ f()d= f()d+ f()d, γ Cf (Γεωµετρικά Ω = Ω + Ω ) ισχύει γι τυχί,,γ Ω Ω γ Πρτηρήσεις Το ολοκλήρωµ f ( ) d εξρτάτι πό τη συάρτηση f κι τ άκρ κι κι όχι πό τη «οοµσί» της µετλητής ολοκλήρωσης : f ( ) d= f ( t) dt Το σύµολο d στο ολοκλήρωµ δηλώει ότι η µετλητή ολοκλήρωσης είι. Οτιδήποτε άλλο θεωρείτι στθερά. g( t) f ( ) d= g( t) f ( ) d Πράδειγµ. t( ) d= t ( ) d, Το ολοκλήρωµ f ( ) d είι εξάρτητο πό τη επιλογή της πράγουσς Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 6

7 Πράδειγµ. d= [ ] = = 3κι Υπολογισµός του ορισµέου ολοκληρώµτος Χωρίζουµε το διάστηµ [,] σε ίσ µέρη µε πλάτος = - Θεωρούµε τ δεξιά άκρ τω διστηµάτω ξ κ = + κ - d = [ + 3] = + 3 ( + 3) = 3 f()d µε το ορισµό Τότε το ολοκλήρωµ υπολογίζετι πό το τύπο f ( )d = lim ( + κ = f (ξ ) κ Βσικό ολοκλήρωµ c d = c(-), γι κάθε c R ( Εφρµογή σχολ.σελ.33 ) Πράδειγµ. Ν υπολογισθεί µε το ορισµό ότι d = 3. Μέθοδος άµεσης ολοκλήρωσης Άµεση ολοκλήρωση έχουµε ότ το ολοκλήρωµ µπορεί υπολογισθεί άµεσ µε τις ιδιότητες τω ολοκληρωµάτω κι τις ρχικές συρτήσεις (πλώ ή σύθετω). Α δε µπορούµε υπολογίσουµε το ολοκλήρωµ άµεσ τότε εφρµόζουµε µε τη σειρά :. µέθοδο τικτάστσης κι. µέθοδο πργοτικής ολοκλήρωσης. Θεµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λογισµού Έστω f µι συεχής συάρτηση σ έ διάστηµ [, ]. Α G είι µι πράγουσ της f στο [, ], τότε f ( t) dt= G( ) G( ) Βσικά ολοκληρώµτ πλώ κι σύθετω (f () + g ())d = [f () + g()] (f ()g() + f ()g ())d = [f ().g()] f ()g() f ()g () f () d = [ ] g () g() f (g())g ()d = [f (g()).] Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 7

8 d = [] f ()d = [f ()] λd = [ λ ] d = [ ] λf ()d = [ λ f ()] f ()f ()d = [ f ()] d + =[ ] + f ()f ()d + + =[ f ()] d = [ ] f () f () d = [ f ()] ηµd = [-συ] ηµf () f ()d=[-συf()] συd =[ηµ] συf() f ()d=[ηµf()] συ d= e ηµ d= d = [e ] (+εφ )d=[εφ] (+σφ )d=[-σφ] συ f() f ()d = ηµ f() f ()d = e f () ( ) f () f ()d = [e ] +εφ f() f () d = [εφf()] ( ) +σφ f() f () d = [-σφf()] d = [ln ] -+ d = [ ] -+ f () f () f () d = [ln f () ] f ()d=[ f ()] µ d= µ µ + d = [ ] µ + f µ () f ()d= µ f () µ + f () f ()d=[ ] µ + d = [ ] ln f() f() f ()d=[ ] ln Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 8

9 4. Μέθοδος ολοκλήρωσης µε τικτάστση(λλγή) µετλητής Η µέθοδος υτή εφρµόζετι ότ το ολοκλήρωµ περιέχει σύθετη f(g()) συάρτηση, η g είι πργωγίσιµη στο διάστηµ =[, ], η g είι συεχής στο κι η f είι συεχής g( ). ) Α θέλουµε υπολογίσουµε το f(g())g ()d ) Θέτουµε u=g(), οπότε du=g ()d κι u =g(), u =g() γ) Tότε f(g())g ()d = u u f(u) du (Εφρµογές λ. σελ κι ) 5. Μέθοδος πργοτικής ολοκλήρωσης Η µέθοδος υτή εφρµόζετι( το ολοκλήρωµ είι «ευκολότερο») ότ έχουµε γιόµεο δύο συρτήσεω κι εκφράζετι µε το τύπο της πργοτικής ολοκλήρωσης: f()g ()d= [f()g()] - f ()g()d Εφρµόζουµε τη Πργοτική ολοκλήρωση ότ έχουµε γιόµεο δύο πό τις συρτήσεις:. e λ +κ Σειρά προτεριότητς. ηµ(λ+κ) ή συ(λ+κ ) γι επιλογή ρχικής 3. P() πολυώυµο ή a = a 4. ln(f() Α f(),g() δύο εκ τω πρπάω, τότε όποι είι πιο «ψηλά» στη σειρά προτεριότητς, έστω η g(), τη κάω g() = G () οπότε έχω: f()g ()d = [f()g()] - f '()g()d Α χρειστεί εφρµοστεί κι δεύτερη φορά, τότε θ χρησιµοποιήσουµε το ίδιο πράγοτ γι τη επιλογή της ρχικής. (Εφρµογές λ. σελ.3-3) Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 9

10 Πράδειγµ. Ολοκλήρωµ Λύση 9 e d () e d= ( ) e d= [ e ] ( e ) d= [ e ] e d= 9e e 5e + e= 4e 9 (*) e d= Θ έτουµε u= οπότε u = γι = u= = u=,,, 9 3 (*) u u u 3 u 3 u 3 u 3 u = u e du= u ( e ) du= [ u e ] ue du= 9e e u( e ) du= 9e e [ ue ] + e du= = 9e e [ ue ] [ e ] 9e e 6e + e+ ( e e) = 5e e 3 u 3 u = () 3 6. Μορφές µε ολοκλήρωση κτά πράγοτες ΜΟΡΦΗ Ρ()ηµ(κ+λ)d Ρ()συ(κ+λ)d Ρ()eκ+λ d eκ+λ ηµ(g())d, eκ+λ συ(g())d Ρ() ln d όπου Ρ() πολυωυµική θµ.ρ() = κ, λ πργµτικοί όπου Ρ() πολυωυµική θµ.ρ() = κ, λ πργµτικοί g() συεχής κ, λ πργµτικοί όπου Ρ() πολυωυµική θµ.ρ() = ΤΡΟΠΟΣ Eφρµόζουµε πργοτική ολοκλήρωση φορές (=θµ.ρ()) φού γράψουµε τη τριγωοµετρική συάρτηση ως πράγωγο. Άσκηση : ηµd (σχολ.iv σελ.36) Eφρµόζουµε πργοτική ολοκλήρωση φορές (=θµ.ρ()) φού γράψουµε τη εκθετική συάρτηση ως πράγωγο. Άσκηση : e - d (σχολ.i σελ.36) Γράφουµε κτά προτίµηση τη εκθετική σ πράγωγο κι εφρµόζουµε πργοτική ολοκλήρωση. Συήθως εφρµόζετι φορές κι δηµιουργείτι εξίσωση µε άγωστο το ρχικό ολοκλήρωµ Ι, το οποίο υπολογίζουµε πό τη λύση της εξίσωσης. Άσκηση : e ηµd (σχολ.i σελ.36) Εφρµόζουµε πργοτική ολοκλήρωση φού γράψουµε τη πολυωυµική συάρτηση ως πράγωγο. Άσκηση : 3 lnd (σχολ.iii σελ.36) Α η εφρµογή της πργοτικής ολοκλήρωσης δε υπολογίζει το ολοκλήρωµ: ) Το χωρίζουµε σε ολοκληρώµτ που προσδιορίζοτι ) Εφρµόζουµε τις µεθόδους ολοκλήρωσης Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης

11 7. Ολοκληρώµτ Ρητώ συρτήσεω Ρ() Ολοκλήρωµ ρητής συάρτησης d, εξετάζουµε ο ριθµητής προέρχετι πό Q() τη πργώγιση του προοµστή. Α γίετι Πράδειγµ. f () d [ln f() ] =, f () ( + ) 5 d= d = [ln( + )] = ln 5 ln = ln + + Α δε γίετι f (), τότε εξετάζουµε ισχύει: f () Α) θµός ριθµητή < θµό προοµστή Αλύουµε το κλάσµ σε άθροισµ πλώ κλσµάτω κι µετά ολοκληρώουµε (Εφρµογές σελ34-35) Πράδειγµ. Ν υπολογιστεί το Θέτουµε d, (πργοτοποίηση προοµστή) + (-)(-3) = A - + B, γι κάθε R-{,3} +=A(-3)+B(-)(), γι R-3 {,3} () (A+B-)=3A+B+, άρ A+B-= κι 3A+B+=, οπότε Α= -5 κι Β= d = ( + )d= 5[ln ] + 7[ln 3 ] (-)(-3) - -3 Β) θµός ριθµητή Ρ() θµό προοµστή Q() Εκτελούµε τη διίρεση Ρ() : Q(), Π()=πηλίκο κι υ()=υπόλοιπο, τότε Ρ() = Q().Π()+υ() µε θµ.υ()<θµ.q(), άρ Ρ() d = Q() υ() Π ()d + d. Q() Το πρώτο ολοκλήρωµ υπολογίζετι εύκολ κι το δεύτερο είι η περίπτωση Α. 3 - Πράδειγµ. Ν υπολογιστεί το d (άσκηση 7iii, σελ. 37 σχολ. Βιλ.) + 3+ Κάουµε τη διίρεση, οπότε d = ( 3 + )d = ( 3)d+ d = [ 3] + d A B = = +, R-{-,-} έχουµε Α+Β=5 κι Α+Β=6, + 3+ (+ )(+ ) + + άρ Α= κι Β=4, οπότε d = ( + )d = [ln + ] + 4[ln + ] Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης

12 8. Τριγωοµετρικές συρτήσεις Χρήσιµοι τριγωοµετρικοί τύποι: *!!! µόο δοθού οι τύποι * ) ) εφ ηµ =, +εφ -συ ηµ =, -εφ συ =, +εφ +συ συ =, εφ εϕ =, τύποι έκφρσης τριγ. ριθµώ µε -εφ -συ εϕ = τύποι «ποτετργωισµού». +συ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ηµ Με τικτάστση, εφd = d =... συ ηµ ηµ -συ u=συ, du= - ηµd ηµ ηµ Με τικτάστση, d= d= d= u=συ, du= - ηµd συ = du = [ln u ] u συ συ συ συ = du=ρητ ή µορϕή u συ εφ συ συ d= d= d= συ συ -ηµ Με τικτάστση, u=ηµ, du= συd ηµ = du =ρητ ή µορϕή u ηµ συ3 d= συ συd= = (-ηµ )συd= Με τικτάστση, u=ηµ, du= συd εφρµόζετι ότ υπάρχει περιττή δύµη ηµ ή συ µορφές ηµ+ συ κ d ηµ = ή (- u )du= ηµ συ+ ηµ κ d * -συ ηµ d= d= Τύποι «ποτετργωισµού» κι διάσπση -συ = d= [] [ηµ] 4 4 +συ * συ d= ( * R (ηµ, συ) d ) d= R=ρητή πράστση ηµ,συ Τύποι «ποτετργωισµού» κι διάσπση. Η µέθοδος εφρµόζετι γεικά σε γιόµεο µόο µε άρτιες δυάµεις ηµ ή συ Θέτουµε u=εφ, τότε du = ( ) d συ du = ( +εφ )d du άρ d= + u. = ( +συ +συ )d=... 4 δηλδή στη µορφή ηµ συ κ d Χρήσιµοι τύποι εφ εφ ηµ=,συ= +εφ + εφ εφ εφ= εφ, +εφ = συ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης

13 9. Εκθετικά κι Άρρητ ολοκληρώµτ Α. Εκθετικά R(eκ, e λ,..., e µ ) d (R= ρητή πράστση εκθετικώ δυάµεω) Με µέθοδο τικτάστσης: Θέτουµε u=e κι πίρουµε ολοκλήρωµ ρητής συάρτησης Πράδειγµ. e + e e + e + d =(θέτουµε u= e du= e d ) e u+ e (u + u+ ) e du= du = [ln(u + u+ )] e u + u+ u + u+ e e Β. Άρρητ ολοκληρώµτ - µε µέθοδο τικτάστσης µ f (, κ+λ, κ+λ,...)d κ+λd, Με τικτάστση θέτουµε u= ε κ+λ θέτουµε u=κ+λ ή u= κ+λ d κ+λ κ+λ κ+λ f (,, µ,...)d θέτουµε u= κ+λ ε γ+δ γ+δ γ+δ όπου ε = Ε.Κ.Π. (,µ, ) όπου ε = Ε.Κ.Π. (, µ,...) k f (, - )d θέτουµε = ηµu k k f (, - )d θέτουµε = k ηµu k k f (, + )d θέτουµε = εφ u Πράδειγµ. π π 4 4 θέτουµε =εφu εϕ u+ = 3 d du συ συ +d=( ) du= du = u u συ u. Αγωγικοί τύποι Η µέθοδος εφρµόζετι ότ στη συάρτηση υπάρχει δύµη µε εκθέτη φυσικό ριθµό κι το ολοκλήρωµ υπολογίζετι πό τ προηγούµε ολοκληρώµτ (Ι -, Ι -, ) Η εφρµογή του γίετι ως εξής: Ζητάµε υπολογίσουµε το ολοκλήρωµ Ι = f ()d Mε πργοτική ολοκλήρωση (συήθως) ρίσκουµε µί σχέση που συδέει τ ολοκληρώµτ Ι, Ι -, Ι -, (δροµικός τύπος). Αγόµστε έτσι στο υπολογισµό κάποιω ρχικώ ολοκληρωµάτω Ι, Ι, Ι κ.τ.λ. Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 3

14 Α δίετι το ολοκλήρωµ Ι = f ()d µε δροµικό τύπο, ο ριθµός δε είι συγκεκριµέος, τότε ποδεικύουµε το τύπο µε µθηµτική επγωγή. Πράδειγµ. Ν ρεθεί γωγικός τύπος γι τ ολοκληρώµτ ) Ι = (ln) d= () (ln) d=[(ln) ] - ((ln) ) d==[(ln) ] - (ln)- d= ) Ι =εφ d= εφ.εφ d= εφ.(+εφ -)d= εφ.(+εφ )d-εφ d= - =...(u=εφ, du=(+εφ )d)...= u du -Ι- γ) Ι = e d µε > κι, ποδείξετε ότι Ι = e - + Ι - (-) Ολοκλήρωµ συρτήσεω πολλπλού τύπου ή µε πολύτες f( ), < γ Α. Γι υπολογίσουµε το f ( ) d, όπου f ( ) = f ( ), γ δείχουµε ότι η συάρτηση είι συεχής κι δισπάµε το ολοκλήρωµ γ γ γ γ κι γ (, ), f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d στ σηµεί που λλάζει ο τύπος της συάρτησης ( υτά ήκου στο διάστηµ τω άκρω του ολοκληρώµτος). Β. Γράφουµε τη συάρτηση χωρίς πόλυτ, µε τις ιδιότητες, οπότε γίετι πολλπλού τύπου κι εργζόµστε όπως στη περίπτωση Α. Άσκηση : π π f()d, π < γ f ( ) = ηµ, π (σχολ.8ii σελ.339) Άσκηση : ( )d (σχολ.8i σελ.339) Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4

15 . Επισηµάσεις στο ορισµέο ολοκλήρωµ Α F ( ) = f ( ) [, ], τότε f ( ) d= [ F( )] f ( ) d= [ f ( )] Το ολοκλήρωµ f ( ) d ή f ( ) d= F ( ) d= [ F( )] εξρτάτι πό τη συάρτηση f κι τ άκρ κι κι όχι πό τη µετλητή ολοκλήρωσης. f ( ) d= f ( t) dt= f ( u) du f ( ) d= στθερός ριθµός, οπότε ( f ( ) d) = Α η f συεχής στο [,] τότε ορίζετι το ολοκλήρωµ f ( ) d ( ) ( ) Α f = g [, ] πάτ. Α f ( ) d= g( ) d. Το τίστροφο δε ισχύει, f, g συεχείς, τότε f ( ) d= g( ) d τότε δε προκύπτει πάτ f ( ) = g( ) Α f ( ) [, ] κι f συεχής, τότε f ( ) d. Το τίστροφο του δε ισχύει πάτ. Α f ( ) d τότε δε συµίει πάτ f ( ), [, ] f ( ) κι δε είι πτού µηδέ, τότε f ( ) d> [, ] f ( ) g ( ) Α f, g συεχείς, τότε f ( ) d g( ) d [, ] Απόδειξη : θεωρούµε συάρτηση h( ) = f ( ) g( ), ισχύει h( ) [, ]. Α f είι συεχής στο [,], τότε δε συµίει Το τίστροφο του δε ισχύει πάτ. Α f ( ) d g( ) d πάτ f ( ) g( ), [, ] f ( ) d f ( ) d., Απόδειξη: ισχύει f ( ) f ( ) f ( ), [, ], οπότε µε τ πρπάω προκύπτει: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Α η f συεχής στο [,], τότε f ( [,])=[m,m] ή m f ( ) M, [, ] άρ m( ) f ( ) M ( ) Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 5

16 3. Η Συάρτηση F( )= f ( t) dt A f συεχής στο διάστηµ κι έ σηµείο του τότε ορίζετι στο η συάρτηση F() = f ( t) dt,, είι µι πράγουσ της f στο, ισχύει F ( ) = ( f ( t) dt) = f ( ), = µετλητή πργώγισης (πάτ άω άκρο), = κάτω άκρο ολοκληρώµτος, t = µετλητή(ουή) ολοκλήρωσης. ( ) Στο ορισµό της ρχικής συάρτησης F πρέπει επισηµάουµε ότι ορίζουµε ρχική ή πράγουσ F µις συάρτησης f σε έ συεχές διάστηµ κι όχι άλλης µορφής σύολο, µε F ( ) = f ( ) =διάστηµ(συεχές), F πργωγίσιµη κι F συεχής στο. Πρτηρήσεις. Γι το ολοκλήρωµ κάθε άλλο γράµµ, εκτός του t = µετλητή(ουή) ολοκλήρωσης, θεωρείτι στθερά. g( ) f ( t) dt= g( ) f ( t) dt a. Το διάστηµ µπορεί είι οιχτό ή κλειστό µε άπειρ ή πεπερσµέ άκρ. ηλδή (,), [,), (,], [,], [,+ ), ( + ), (-,], (-,), (-,+ ). a 3. Αγκί προϋπόθεση γι τη ύπρξη της F είι η συέχει της f σε διάστηµ. Η F ορίζετι σε διάστηµ κι όχι σε έωση διστηµάτω. 4. Από το ορισµό της F κάθε τιµή της F( ) = f(t)dtείι ορισµέο ολοκλήρωµ. Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 6

17 5. Γι το ορισµό της F µπορούµε επιλέξουµε οποιδήποτε - κάτω άκρο ολοκληρώµτοςρκεί είι στθερό στοιχείο του. ιφορετική επιλογή του µς δίει διφορετική ρχική συάρτηση F της f. Όµως όλες οι συρτήσεις φού είι ρχικές της f, διφέρου κτά µι στθερά c η οποί µπορεί υπολογιστεί: Έστω κι,, κι οι συρτήσεις: F ()= f (t)dt, F ()= f (t)dt Τότε ισχύει: F ( ) - F () = f (t)dt - f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt = f (t)dt = c, 6. d d f ( t ) dt f ( ), ώ f ( t ) dt d = ε = dt a a 7. Ισχύει: g ( ) f t dt = f g g ( ( ) ) ( ( )) ( ) µε τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι. 8. Α Q = Q( t) η ρχική τιµή εός µεγέθους Q( t) κι Q ( t) συεχής(ο ρυθµός µετολής), τότε Q( t) Q Q ( y) dy t = + 9. Η F είι πργωγίσιµη κι συεχής στο, επίσης η F είι συεχής στο.. Η F είι συεχής στο, άρ γι o. Υπολογισµός, lim F ( ) = F ( o) ή lim ( ) o f t dt= f ( t ) dt o o f (t)dt d = F()d µε πργοτική ( όπου F() = f (t)dt & F()= ) F()d = () F()d = [F()] F ()d =F( ) F( ) f ()d =F( ) f ()d. Α F() = f (t)dt, F()= άρ η C F διέρχετι πό το σηµείο (,) ( τέµει το χ χ) Το πεδίο ορισµού της F, F()= f ( t) dt, είι το «ευρύτερο» διάστηµ, υποσύολο του Α f, Α f, µέσ στο οποίο ήκει το, το, η f είι συεχής κι ισχύει F () = f(),. Πρέπει τ, ήκου πάτ στο ίδιο διάστηµ (συεχές). Γεικά γι τη συάρτηση g ( ) = f t dt (f, g, h δοσµέες συρτήσεις) h( ) F( ) ( ) «Ές ριθµός ήκει στο σύολο ορισµού της F κι µόο Α Α κι g( ), h( ) κι f συεχής στο». περιπτώσεις: F( ) f ( t) dt g h =, = g ( ) F( ) f ( t) dt Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 7

18 t t Πράδειγµ. Α F()= dt, τότε η είι συεχής στο (,) (, + ) t t κι το στοιχείο του (,), άρ το πεδίο ορισµού είι το (,) Πράδειγµ. Α F()= t dt, τότε η t είι συεχής στο =[-,] κι στοιχείο του, άρ το πεδίο ορισµού της F είι το [-,]. Πράδειγµ. Α F()= 3 t dt, τότε η t είι συεχής στο =(-,-] [,+ ) κι επειδή 3 [, + ) πρέπει κι [, + ), άρ το πεδίο ορισµού της F είι το [, + ) Πράδειγµ. Α F()= ln 3 t dt, τότε η t είι συεχής στο = (-,-] [,+ ) κι επειδή 3 [, + ) πρέπει ln [, + ) κι >. > > Προκύπτει το σύστηµ: οπότε ln ln ln e e άρ το πεδίο ορισµού της F είι το [ e, + ) Πράδειγµ. Α F()= ln 5 =(-,-] [,+ ) κι ( ορισµού λύουµε: Οπότε η F ορίζετι στο [9, + ) t 4dt, τότε η > κι 5 > 5 5 > > e 9 ln 9 5 Πράδειγµ. Α f είι συεχής µε f :[, + ) e t 4 είι συεχής στο > g(), h() πργωγίσιµες) οπότε γι το σύολο ή 6 > 5 > ln 5 R κι g()= f (3 t ) dt, δύτο H συάρτηση f(3-t) είι συεχής ως σύθεση συεχώ κι ορίζετι γι t R, 3 t Οπότε t 3 t (,3 ] Η g ορίζετι κι µόο η f(3-t) είι συεχής στο [, 6], πρέπει [,6] (,3 ], άρ 3 6 Άρ το πεδίο ορισµού της g είι το [, + ) Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 8

19 H Πράγωγος της συάρτησης F F()= f ( t) dt,, Α η f είι συεχής στο, τότε η F είι πργωγίσιµη κι συεχής στο κι η F ()=f() συεχής,. η περίπτωση: Α η f είι ορισµέη κι συεχής στο διάστηµ κι η συάρτηση g είι ορισµέη κι πργωγίσιµη σ έ σύολο Ι κι ισχύει : g( ) γι κάθε Ι,τότε η F()= g( ) f ( t) dt είι πργωγίσιµη στο Ι. Θεωρούµε φ()= f ( t) dt οπότε φ ()= f ( ), F()=φ(g())= g( ) f ( t) dt, ορίζετι ως σύθεση άρ F ()=(φ(g())) = φ (g())g ()=f(g()) g (). η περίπτωση: F() = g( ) h( ) f ( t) dt, η f είι ορισµέη κι συεχής στο διάστηµ κι οι συρτήσεις g κι h είι ορισµέες κι πργωγίσιµες σ έ σύολο Ι κι ισχύου: g( ) κι h( ), γι κάθε Ι. Σχηµτικά: g, h : I R (πργωγίσιµες) Ι R (συεχής) g() h() ξ f : Τότε, η συάρτηση F είι πργωγίσιµη στο Ι. Γι ρούµε τη πράγωγο της F εργζόµστε ως εξής: Α τρόπος. Θεωρούµε ξ κι έχουµε γι κάθε Ι : F()= ξ h( ) g ( ) g ( ) h( ) f ( t) dt+ f ( t) dt= f ( t) dt f ( t) dt g ( ) h( ) ξ ξ ξ F ()= ( f ( t) dt f ( t) dt) = f ( g( )) g ( ) f ( h( )) h ( ) ξ ξ Β τρόπος. Α G είι µί πράγουσ της f στο τότε G ( ) = f ( ), Έχουµε F() = g( ) h( ) f ( t) dt = G(g())-G(h()), οπότε η πράγωγος της F είι F () = G (g())g () - G (h())h () = f(g()) g ()- f(h()) h () Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 9

20 Εύρεση ρχικής συάρτησης µις συεχούς συάρτησης f Α f είι συεχής στο διάστηµ, τότε γι ρούµε µί ρχική της (πράγουσ) F Υπολογίζουµε F() = f (t)dt, Πράδειγµ(σκ.iii, σελ 33 σχολικό) Ν ρεθεί η f(), ισχύει f () + f () =, Λύση f () f () e f () e f () e e f () e ( ) + = + = = () Πρέπει ρούµε µί ρχική(πράγουσ) της µί ρχική είι: e, φού η t t t t t t ( ) ή F() = te dt= t e dt = [te ] e dt = [te ] [e ] = e e + Οπότε : () ( e f ()) = ( e e ) ( e f ()) = ( e ( ) ) Άρ, = +, οπότε e f () e ( ) c f () = ( ) + ce. e είι συεχής στο R, Πράδειγµ Ν ρεθεί ρχική της f()=ln, > Λύση f είι συεχής, οπότε ρχική της f είι F() = ln tdt = (t) ln tdt = [t ln t] t. dt= ln [t] = ln + t F () = e e ή G() = ln, Πράδειγµ. Ν ρεθεί η ρχική της f ( ) = ln, > lim f ( ) = η f είι συεχής στο (,) (, + ) κι στο, γιτί lim f ( ) = lim (ln ) = + + άρ η f είι συεχής στο R. Η συάρτηση + c, F ( ) = γι είι ρχική της f πρέπει ln + c, > είι συεχής στο, άρ πρέπει lim F ( ) = lim F ( ) = F () + c = + c + Α c =, τότε c = ½ Πράδειγµ. ίετι η πργωγίσιµη συάρτηση f : R R µε f()= κι ισχύει η σχέση f ()-f()=3. N ρεθεί η συάρτηση f. Λύση ( ) ( ) ( ) f f 3 f 3 f ( ) f( ) = 3 = = 3 + c, < Άρ f ( ) = c, = 3 +, > c f συεχής στο, άρ lim f ( ) = f () 3+ c = c = 5 c = 5 c= 3 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης

21 4. Μελέτη συρτήσεω που ορίζοτι πό ολοκλήρωµ Α. Μελέτη συάρτησης F που ορίζετι µε ολοκλήρωµ: F()= f ( t) dt µπορεί µελετηθεί µε το πρόσηµο της πρώτης κι της δευτέρς πργώγου. Πράδειγµ. ίετι η συάρτηση f ( ) = t dt.ν ρείτε το σύολο ορισµού της κι µελετήσετε µοοτοί, κρόττ κι σηµ. κµπής ( D f = [, + ),... Πράδειγµ. ίετι η συάρτηση f ( ) =, f γ. ύξουσ, ελάχιστο το f() ) t f ( ) = e dt, R. Ν µελετηθεί η συέχει της f κι ρείτε τη f () θέτουµε u=t, οπότε du=dt κι γι t=, t= έχουµε u= κι u = u u u, f ( ) = e du f ( ) = e du f ( ) = e du προκύπτει µε πργώγιση e + f ( ) = e f ( ) = e e,., Πράδειγµ. Α η συάρτηση f είι συεχής κι γ. ύξουσ στο R, µε 3 f ( t ) dt = κι Ν ρείτε το σύολο τιµώ της 5 f ( t ) dt = g( ) = f ( t) dt στο διάστηµ [,3] ( g ( ) = f ( + ) f ( ) >, g γ. ύξουσ, g([,3])=[, 3] Πράδειγµ. Α η συάρτηση f είι συεχής στο R κι, R. Ν ρείτε τη πράγωγο της F( ) = f ( t) dt. Θέτουµε u=-t οπότε du= -dt κι F( ) = f ( u) du. Α G πράγουσ της f, G (u)=f(u), u R, οπότε F()=G(-)-G(-) κι F () = f(-)-f(-) Β. Εύρεση συάρτησης. Θ δίετι µι ισότητ που περιέχει ολοκλήρωµ της µορφής f ( t) dt κι θ ζητείτι ρεθεί η συάρτηση f, πργωγίζουµε κτά µέλη κι πίρουµε µί ισότητ που περιέχει τη f ή τη f Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης

22 * Πράδειγµ. Α f είι συεχής f : R R t κι f ( ) = + dt f ( t) ) Ν δείξετε ότι: f()>, ) Ν ρείτε το τύπο της f. )f συεχής κι f(), οπότε διτηρεί στθερό πρόσηµο στο R, f()=> άρ f()> ) f ( ) = ( f ( )) = ( ) f ( ) = + c + f ( ) =. f ( ) Πράδειγµ. Ν ρεθεί συάρτηση f : (, + ) Rσυεχής τέτοι ώστε ισχύει f ( ) = + f ( t) dt, > () f ( ) = + f ( t) dt f ( ) + f ( ) = + f ( ) f ( ) = f ( ) = f ( ) = ln + c Από () f()=, οπότε c= κι f ( ) = ln + Πρτήρηση. : Α πργωγίζουµε ως προς τη κ f ( ) = λ + f ( t) dt g ( ) Τότε πολ/ζουµε µε g(), ώστε έχουµε g ( ) f ( ) = λ g ( ) + κ f ( t ) dt που «πργωγίζετι» ευκολότερ. a a a Πρτήρηση. : Στο ολοκλήρωµ g( ) f ( t) dt η µετλητή ολοκλήρωσης είι η t, οπότε η g() στο ολοκλήρωµ είι ές ριθµός κι έχουµε : a g( ) f ( t) dt= g( ) f ( t) dt, πργωγίζουµε µόο µετά τη «εξγωγή». a a Πρτήρηση 3. : Στο ολοκλήρωµ f ( t, ) dt η µετλητή ολοκλήρωσης είι η t, οπότε κάθε άλλη ποσότητ στο ολοκλήρωµ θεωρείτι στθερή. Χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες γι έχουµε µόο τη µετλητή ολοκλήρωσης στο ολοκλήρωµ ή κάουµε λλγή µετλητής (φού ρούµε πρώτ το πεδίο ορισµού, χρειάζετι). Πράδειγµ. Ν ρεθεί συάρτηση f : t f ( ) = e f ( t ) d t, R () Λύση θέτουµε u=-t... R Rσυεχής τέτοι ώστε ισχύει Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης

23 Γ. Ισότητες µε ολοκληρώµτ Εφρµόζουµε τις µεθόδους ολοκλήρωσης Πράδειγµ. Α f()+f(+-)=c () ποδειχθεί ότι: Ι= + - f() d = (-)f( )= (f()+f()) f() d = (c-f(+-) d= (θέτουµε u=+-, du= -d)=c(-)+ f(u)du = c(-)- f(u)du Ι= c(-) c Ι= ( ), πό () γι = + + έχουµε f( ) = c. Αισότητ κι ολοκλήρωµ ) Α ζητείτι.δ.ο. f ( ) d, τότε ρκεί.δ.ο. f ( ), [, ] ) Α ζητείτι.δ.ο. f ( ) d g( ) d, τότε ρκεί f ( ) g( ), [, ] Θεωρούµε τη συάρτηση F( ) = f ( ) g( ), [, ] κι ρκεί.δ.ο F( ) η ισότητ µπορεί προκύψει πό τη µοοτοί ή τ κρόττ. γ) Α f συεχής στο [,], τότε f ([, ]) = [ m, M ].οπότε προκύπτει m( ) f ( ) d M ( ) δ) f ( ) d f ( ) d Πράδειγµ. Ν δείξετε ότι : 9 9 ln( + ) d ( ) d Λύση. Θεωρούµε τη συάρτηση F ( ) = ln( + ) +, [, 9 ] Είι πργωγίσιµη κι F ( ) = + =, [, 9 ] + + Οπότε η F είι γ. ύξουσ στο [,9], άρ F() F()= Ε. Ύπρξη σηµείου. Θεωρούµε οηθητική συάρτηση τη οποί εκλέγουµε πό τη µορφή της ζητούµεης σχέσης. Εφρµόζουµε (άλογ µε τη περίπτωση) τ θεωρήµτ Bolzano, Rolle, ΘΜΤ, Θ.Fermat... Πράδειγµ. Έστω, R µε << κι η συεχής συάρτηση f : (,+ ) R µε f (t)dt =. Θεωρούµε τη συάρτηση g()= + f (t)dt. Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 3

24 i) N δειχθεί ότι υπάρχει (,) στο οποίο η εφπτοµέη στη Cgείι πράλληλη στο άξο χ χ. ii) N δειχθεί g( )=+f( ) Λύση i) g()= g()= g συεχής κι πργωγίσιµη στο (,+ ) άρ κι στο [,] ως γιόµεο πργωγισίµω σύµφω µε το Θ. Rolle υπάρχει. (,) : g ( )=, άρ η εφπτοµέη της C g στο (, g( )) είι πράλληλη στο άξο χ χ. ii) g() = + f (t)dt g() = + f (t)dt. Οπότε (g()) = (+ f (t)dt) g() + g () = + f () Γι = o, g( ) + g ( ) = + f ( ) g( ) = + f ( ) o o o o o o (i) Πράδειγµ. Α f είι συεχής στο R κι F( ) = f ( t) dt, R i) Ν δείξετε ότι υπάρχει ξ (,) : F ( ξ ) =, ii) ξ f ( t) dt= ξ f ( ξ ) Πράδειγµ. A f : R Rσυεχής συάρτηση τέτοι ώστε: + h f ( t) dt h,, h R. Ν δείξετε ότι ( ), f = R Λύση. Έστω F() ρχική της f, οπότε f ( t) dt= F( + h) F( ) + h h F ( + h) F ( ) F ( + h) F ( ) F ( + h) F ( ) h h h h h h Από κριτήριο πρεµολής : F ( + h ) F ( ) F ( ) = lim = κι F ( ) = f ( ) = h h ΣΤ. Όριο κι ολοκλήρωµ. ) Α η f είι συεχής στο, η F()= f (t)dt είι πργωγίσιµη κι συεχής στο, οπότε lim F() o = F( o), o κι το limf() = F( ) = ή lim f (t)dt = f (t)dt = Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4

25 Πράδειγµ. Ν ρείτε τ όρι i) lim( t dt), ii) lim t d ω i) Α F()= t dt η F() είι πργωγίσιµη κι συεχής στο [, + ) 3 3 άρ limf() = F() = t 8 7, ii) lim t dt lim[ ] lim( ) = = = ) Υπολογίζουµε το ολοκλήρωµ( είι δυτό) κι µετά ρίσκουµε το όριο Πράδειγµ. Ν ρείτε τo όριo + + lim( ln tdt) + ln tdt = t ( t) ln tdt= [ t ln t] t dt= [ t ln t] [ t] = ( + )ln( + ) ln lim( ln tdt) = lim(( + )ln( + ) ln ) = ln = + + * η ( + )ln( + ) είι συεχής κι *.( ) ln DLH (ln ) lim( ln ) = lim = lim = lim = ( ) Μπορούµε εφρµόζουµε το κό D L Hospital γι τις µορφές / κι / + Πράδειγµ. Ν ρείτε: lim( + ) t dt φ()= + t dt συεχής οπότε κι η F()=φ(+) συεχής, άρ lim F() = F() =ϕ () = + ( t dt) + + lim( t dt) lim lim[( ( ).( ) ] 5 + = = = ( ) γ) Γι το g() lim f(t)dt + δουλεύουµε : h() Με το κριτήριο πρεµολής ή m(-) f ( ) d Μ(-) ή Με το θεώρηµ µέσης τιµής Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 5

26 Πράδειγµ. Ν ρεθεί το όριο Α. Τρόπος + lim + 3+ t dt > t + t ( + ) + 3 t t Άρ dt dt dt + 3 t Προκύπτει ότι : [ t] [ ] dt t t + + lim [ t] = lim [ ] = + t + Β. Τρόπος Άρ lim + dt= 3+ t ( + 3) f ( ) =, f ( ) = =, + 3 ( + 3) ( + 3) + 3 γι χ> είι f ( ) <, η f είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο [, +] άρ f([, +])=[f(+), f()], οπότε m=f(+) κι M=f() εποµέως ισχύει m f ( ) M m dt f ( t) dt M dt m( + ) f ( t) dt M( + ) + + f ( + ) f ( t) dt f ( ) dt 3 + ( + ) 3 + t 3 + Με το κριτήριο πρεµολής προκύπτει ότι : Γ. Τρόπος + lim dt + = + t Α F είι ρχική της f ( ) = + 3 συεχής, τότε F(+) - F() = + dt t + 3 Εφρµόζουµε το ΘΜΤ γι τη F στο διάστηµ [χ, χ+], άρ υπάρχει έ τουλάχιστο ξ() εξρτώµεο του κι +, τότε ξ( ) + (γιτί χ < ξ(χ) < χ+) τέτοιο ώστε F ( + ) F ( ) f ( ξ ) = F ( + ) F ( ) = f ( ξ ) dt = + t + 3 ξ ( ) + 3 lim lim + dt = = ξ ( ) + 3+ t 3 + ξ ( ) + Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 6

27 Z. Ολοκλήρωµ τίστροφης Γι το ολοκλήρωµ f ( )d λ κ - θέτουµε = f ( u) f ( ) = u, d= f ( u) du - µε τ έ όρι ολοκλήρωσης κ = f ( ) f ( κ ) = κι λ = f ( ) f ( λ ) =. λ Οπότε f ()d = uf (u)du = f ()d κ Στο διάστηµ [,] η f πρέπει είι πργωγίσιµη κι «-». Η. «ιπλά» Ολοκληρώµτ Περίπτωση. Α τρόπος ( f (t)dt)d γ Θεωρούµε τη συάρτηση Οπότε µε πργοτική ολοκλήρωση F() = f (t)dt, F(γ)=. = = = γ ( f (t)dt)d F()d () F()d [F()] f ()d Β τρόπος Βρίσκουµε τη συάρτηση το ολοκλήρωµ Περίπτωση. οπότε F ( )d γ ( f (t)dt)du. Το ολοκλήρωµ f ( t)dt γ γ γ ( f (t)dt)du = f (t)dt du = ( ) f (t)dt γ F( ) = f (t)dt κι στη συέχει υπολογίζουµε γ γ είι ριθµός, Περίπτωση 3. u ( f (t)dt)du Θεωρούµε τη συάρτηση Οπότε µε πργοτική ολοκλήρωση, u F(u ) = f (t)dt, οπότε F()= u = = = = ( f (t)dt)du F(u)du (u) F(u)du [uf(u)] uf (u)du F() uf (u)du δ δ δ Περίπτωση 4. ( f (t)dt)d = f (t)dt d = ( ) f (t)dt γ γ γ άσκηση 5 σχολικού ιλίου σελ. 35. Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 7

28 Πράδειγµ. ίετι η συάρτηση f()= 3 +- ) Ν δειχθεί ότι η f τιστρέφετι κι ρεθεί το πεδίο ορισµού της f - ) Ν υπολογισθεί το ολοκλήρωµ Ι = f ()d Λύση. ) f ( ) = 3 + >, R, η f πργ. είι γ. ύξουσ άρ «-» Το πεδίο ορισµού της f - είι το σύολο τιµώ της f που είι το R κι f - γ. ύξουσ ) γι το υπολογισµό του Ι= f ()d, θέτουµε f ( u) f ( ) u = =, κι d= f ( u) du γι = - κι = f ([-,]) = [ f (-), f ()] = f u = u + u u u + = u = 3 ( ) ( ) 3 = f ( u ) = u + u u = άρ 4 3u u 3 5 I = uf (u )du = u (3u + )du = [ + ] = + = Εµδά χωρίω Σε κάθε µί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση µις τουλάχιστο συάρτησης f κι πό κάποιες ευθείες, έ επίπεδο χωρίο Ω, γι το οποίο θέλουµε υπολογίσουµε το εµδό του Ε(Ω). Βσική προϋπόθεση σε όλες τις περιπτώσεις είι η συέχει τω συρτήσεω.. Χωρίο που ορίζετι πό τη C f, το άξο χ χ, κι τις ευθείες = κι = Γεικός τύπος υπολογισµού του εµδού: Ε(Ω) = f ( ) d Βρίσκουµε τις ρίζες κι το πρόσηµο της f στο διάστηµ [, ] κι έχουµε :. Α f(), γι κάθε [ ], τότε = Cf = Ε(Ω) = f ( )d Ω Ο. Α f() γι κάθε [ ], τότε Ο Ε(Ω) = - f ( )d = - f ( )d = Ω Cf = Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 8

29 γ. Α η f δε διτηρεί στθερό πρόσηµο στο [, ] τότε το εµδό είι το άθροισµ τω εµδώ τω χωρίω στ διστήµτ που η f είι θετική ή = = ρητική. Cf Ε(Ω)=Ε(Ω )+Ε(Ω )+Ε(Ω 3 )= γ δ f()d+ -f()d+ f()d γ δ Ω γ Ω δ Ω3 όπου γ,δ οι ρίζες της f στο διάστηµ [,] Άσκηση Ν ρεθεί το εµδό του χωρίου που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, κι τις ευθείες που δίοτι σε κάθε περίπτωση: π 3π ) f()=,, =, =4 ) f()=συ,, =, = γ) f()=ln,, = e, =e. Χωρίο που ορίζετι πό τις C f κι C g κι τις ευθείες = κι =. Γεικός τύπος υπολογισµού του εµδού: Ε(Ω) = f ( ) g ( ) d Cg Ω γ Ω δ Ω3 Cf = = Βρίσκουµε τις ρίζες κι το πρόσηµο της διφοράς f()-g() στο διάστηµ [,]. Τότε: γ Ε(Ω) = Ε(Ω )+Ε(Ω )+Ε(Ω 3 ) = [ ] + [ ] + [ ] δ f() g() d g() f() d f() g() d γ δ όπου γ,δ οι ρίζες της διφοράς f()-g() στο διάστηµ [,] Άσκηση Ν ρεθεί το εµδό του χωρίου που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω f, g κι τις ευθείες που δίοτι: f()=ηµ, g()=συ, =, =π Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 9

30 3. Χωρίο που ορίζετι πό τη τοµή τω γρφικώ πρστάσεω τω f κι g Cf Cg γ δ = = Λύουµε τη εξίσωση f() = g() κι ρίσκουµε τις τετµηµέες τω σηµείω τοµής. Α = η µικρότερη κι = η µεγλύτερη πό τις τετµηµέες το εµδό είι Ε(Ω) = f ( )-g ( ) d Σχόλιο: Με τη ίδι µέθοδο ρίσκουµε το εµδό του χωρίου που ορίζετι πό τη τοµή της γρφικής πράστσης της f κι το άξο (f()=) Άσκηση 3 Ν ρεθεί το εµδό του χωρίου που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω f, g ότ: f() = 3, g() = - 4. Χωρίο που ορίζετι πό γρφικές πρστάσεις περισσοτέρω τω δύο συρτήσεω (οι οριζότιες ευθείες, ο άξος χ χ, οι εφπτόµεες, θεωρούτι γρφικές πρστάσεις συρτήσεω) Cg Ch Cf Ω Ω Ω3 Cφ Ο γ δ Κάουµε έ πρόχειρο σχήµ κι ρίσκουµε τις κορυφές του Από κάθε κορυφή φέρουµε κτκόρυφες ευθείες κι χωρίζουµε το χωρίο σε µικρότερ χωρί γ Το εµδό είι: Ε(Ω)= δ [f ( )-g ( )] d + [f ( )-h ( ) ]d + [φ ( )-h ( ) ]d γ δ Άσκηση 4 Αφού πρώτ κάετε πρόχειρο σχήµ, ρεθεί το εµδό του χωρίου που ορίζετι ) Από τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω f()=3, g()= κι τις ευθείες y=3 κι = ) Από τη C f, f()=, τη εφπτοµέη στο σηµείο Α(,) κι το άξο χ χ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 3

31 5. Χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της τίστροφης συάρτησης f -, το άξο χ χ, κι τις ευθείες = κι = Ε(Ω) = f ( ) dµε «λλγή µετλητής» Α f () = =, d= f ( u) du - θέτουµε f ( u) f ( ) u = f ( ) f ( ) = κι κ κ = f ( ) f ( ) =. λ λ f() = f - () Cf y= C f - Ω Οπότε λ f ()d = uf (u)du = f ()d Περίπτωση κ Το εµδό του χωρίου Ω µετξύ C f, χ χ κι = είι ίσο µε το εµδό µετξύ τω C f, y y κι y= (λόγω συµµετρίς τω C f, C f ως προς τη y=) Εποµέως θ είι: Ε(Ω)= f ()d = [-f( )]d, (όπου f()=) Άσκηση 5. ίετι η συάρτηση f()= e +- ) Ν µελετηθεί ως προς τη µοοτοί. ) Ν δειχθεί ότι η f τιστρέφετι κι ρεθεί το πεδίο ορισµού της τίστροφής της f - γ) Ν υπολογισθεί το εµδό του χωρίου µετξύ της C - f, του άξο χ χ κι της ευθείς =e. Α > κι f συεχής στο [-,]. Τότε ισχύου: ) Α f άρτι, τότε Ασκήσεις στ ολοκληρώµτ f ()d= f ()d, ) Α f περιττή, τότε f ()d=. Έστω η συάρτηση f()=+ 4, >. ) Ν δείξετε ότι το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συάρτησης f, το άξο χ χ κι τις ευθείες =λ, =λ+, όπου λ>, είι Ε(λ)=λ++4ln(+ λ ) ) Ν προσδιορίσετε τη τιµή του λ γι τη οποί το εµδό Ε(λ) γίετι ελάχιστο 3. i) Α f συεχής στο [, ]. Ν ποδείξετε ότι: f ()d= f ( + )d ii) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ d, > Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 3

32 4. ) Α h, g συεχείς στο [,] µε h()>g(), γι κάθε [,], δειχθεί h()d> g()d ) ίετι η πργωγίσιµη στο R συάρτηση f γι τη οποί f()-e -f() = -, R κι f() = i) N εκφρσθεί η f ως συάρτηση της f ii) Ν δείξετε ότι <f()<f (), γι κάθε > iii) Ν δείξετε ότι < E< f (), όπου Ε το εµδό του χωρίου που ορίζετι πό τη C f, το κι τις 4 =, = 5. Έστω η συάρτηση f()= ) Ν µελετήσετε τη f ως προς τη µοοτοί, τ κοίλ κι δείξετε ότι η f έχει τίστροφη ) Ν δείξετε ότι f(e ) f(+), γι κάθε R γ) Ν δείξετε ότι η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της f στο σηµείο (,) είι άξος συµµετρίς τω γρφικώ πρστάσεω της f κι της f - δ) Ν υπολογισθεί το εµδό του χωρίου µετξύ της γρ. πράστσης της f -, του άξο χ χ κι της ευθείς =3 + γι τη οποί ισχύου 6. Ν ρεθεί η συάρτηση f µε πεδίο ορισµού το (, ) η C f διέρχετι πό το σηµείο Α(,) κι f ( ) =, > 7. Α f συάρτηση µε f: (, + ) R f ( ) + f ( ) =, >. Ν ρείτε τη f. γι τη οποί ισχύου, f()= κι 8. Α f συάρτηση f είι συεχής στο [, 5] κι f ( ) > γι κάθε [,5] υπάρχει γ, γ (,5) τέτοιο ώστε : 9. Α f: R R συεχής κι 3 4 f ()d+ 3 f ()d= γ f (t)dt 9,. Ν ρείτε τη συάρτηση f, µε f: R R, ισχύου: οριζότι σύµπτωτη στο + τη ευθεί y=. 3 γ R, ρείτε το f(3). Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 3. Ν ποδείξετε ότι f ( ) =, R κι η f e C έχει. ίετι η συεχής συάρτηση f γι τη οποί ισχύει f()=e t + e f (t)dt, γι κάθε R ) Ν ρεθεί ο τύπος της f ) Ν λυθεί η εξίσωση e = - e γ) Ν ρεθεί η εφπτοµέη της C f, η οποί διέρχετι πό τη ρχή τω ξόω. Α f είι συεχής κι γησίως ύξουσ στο (, + ) µε f (t)dt= κι 4 f (t)dt= 3. Θεωρούµε τη συάρτηση F() = f (t)dt, >. ) Ν µελετήσετε τη µοοτοί της F. + ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει γ (, 5) ώστε: f(ξ+) - f(ξ+) = - 4 5

33 ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ 4 ο () Έστω µι πργµτική συάρτηση f, συεχής στο σύολο τω πργµτικώ ριθµώ ΙR, γι τη οποί ισχύoυ οι σχέσεις: i) f(), γι κάθε ΙR ii) f() = - t f (t) dt, γι κάθε ΙR. Έστω κόµη g η συάρτηση που ορίζετι πό το τύπο g() = -, γι κάθε ΙR. f(). Ν δείξετε ότι ισχύει f () = - f () Μοάδες. Ν δείξετε ότι η συάρτηση g είι στθερή. Μοάδες 4 γ. Ν δείξετε ότι ο τύπος της συάρτησης f είι: f() = +. Μοάδες 4 δ. Ν ρείτε το όριο lim ( f() ηµ). Μοάδες 7 + ΘΕΜΑ 4 ο (επ) Έστω µι πργµτική συάρτηση f, συεχής στο (,+ ) γι τη οποί ισχύει:. Ν δείξετε ότι η f είι πργωγίσιµη στο (,+ ). Μοάδες 3 t f(t) f () = + dt µε >. Ν δείξετε ότι ο τύπος της συάρτησης f είι: f ( ) = + ln, > Μοάδες 7 γ. Ν ρείτε το σύολο τιµώ της f. Μοάδες 6 δ. Ν ρείτε τις σύµπτωτες της γρφικής πράστσης της f. Μοάδες 4 ε. Ν υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συάρτησης f, το άξο κι τις ευθείες =, =e. Μοάδες 5 ΘΕΜΑ ο (επ) ίετι η συάρτηση e f ( ) =, IR. e +. Ν δείξετε ότι η f τιστρέφετι κι ρείτε τη τίστροφη συάρτηση f. Μοάδες. Ν δείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει µοδική ρίζ το µηδέ. Μοάδες 5 γ. Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωµ Μοάδες f () d Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 33

34 ΘΕΜΑ 4 ο (επ) Έστω η συάρτηση f, ορισµέη στο ΙR. µε δεύτερη συεχή πράγωγο, που ικοποιεί τις σχέσεις: f ()f() + (f ( )) = f()f (), ΙR. κι f() = f () =.. Ν προσδιορίσετε τη συάρτηση f. Μοάδες. Α g είι συεχής συάρτηση µε πεδίο ορισµού κι σύολο τιµώ το διάστηµ [,], δείξετε ότι η εξίσωση g(t) dt = + f (t) έχει µί µοδική λύση στο διάστηµ [,]. Μοάδες 3 ΘΕΜΑ 3 ο (3) Έστω η συάρτηση f() = Ν µελετήσετε τη f ως προς τη µοοτοί κι τ κοίλ κι ποδείξετε ότι η f έχει τίστροφη συάρτηση. Μοάδες 6. Ν ποδείξετε ότι f(e ) f(+) γι κάθε IR. Μοάδες 6 γ. Ν ποδείξετε ότι η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της f στο σηµείο (,) είι ο άξος συµµετρίς τω γρφικώ πρστάσεω της f κι της f Μοάδες 6 δ. Ν υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, το άξο τω κι τη ευθεί µε εξίσωση =3 Μοάδες 8 ΘΕΜΑ 3 ο (3επ) ίετι η συάρτηση f() = +.. Ν ποδείξετε ότι lim f() =. Μοάδες 5 +. Ν ρείτε τη πλάγι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της f, ότ το τείει στο. Μοάδες 6 γ. Ν ποδείξετε ότι f () + + f() =. Μοάδες 6 δ. Ν ποδείξετε ότι d ln ( ) Μοάδες 8 = + + ΘΕΜΑ 4 ο (4) Έστω η συεχής συάρτηση f: IR IR τέτοι ώστε f()=. Α γι κάθε R, ισχύει 3 ( ) = z f ( t) dt 3 z+ ( ) z g όπου z=+i C, µε, IR*, τότε:. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση g είι πργωγίσιµη στο IR κι ρείτε τη g. Μοάδες 5. N ποδείξετε ότι z z+ z = Μοάδες 8 γ. Με δεδοµέη τη σχέση του ερωτήµτος ποδείξετε ότι Re(z ) = Μοάδες 6 δ. A επιπλέο f()=>, f(3)= κι >, ποδείξετε ότι υπάρχει (,3) τέτοιο ώστε f( )=. Μοάδες 6 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 34

35 ΘΕΜΑ 4 ο (4 επ) Έστω συάρτηση f συεχής στο [, + ) R τέτοι, ώστε f() = + f(t)dt.. Ν ποδείξετε ότι η f είι πργωγίσιµη στο (, + ). Μοάδες 7. Ν ποδείξετε ότι f() = e ( + ). Μοάδες 7 γ. Ν ποδείξετε ότι η f() έχει µοδική ρίζ στο [, + ). Μοάδες 5 δ. Ν ρείτε τ όρι lim f() κι lim f(). Μοάδες 6 ΘΕΜΑ 4 ο (5) + Έστω µι συάρτηση f πργωγίσιµη στο R τέτοι, ώστε ισχύει η σχέση f () = e f( ) γι κάθε R κι f() =. + e. Ν δειχθεί ότι: f() = ln. Ν ρεθεί το: lim f( ηµχ t). Μοάδες 6 dt. Μοάδες 6 γ. ίδοτι οι συρτήσεις: h() = t 5 7 f(t)dt κι g() = 7. είξτε ότι h() = g() γι κάθε R. Μοάδες 7 δ. είξτε ότι η εξίσωση t 5 f(t) dt = 8 έχει κριώς µί λύση στο (, ). Μοάδες 6 ΘΕΜΑ 4 ο (5επ.) f() ίετι η συεχής συάρτηση f: IR IR,γι τη οποί ισχύει lim = 5. Ν δείξετε ότι:.. Ν ρείτε το λ R έτσι, ώστε: i. f()= Μοάδες 4 ii. f ()=. Μοάδες 4 ( ) ( f() ) + λ f() lim = 3. Μοάδες 7 + γ. Α επιπλέο η f είι πργ/µη µε συεχή πράγωγο στο R κι f ()>f() γι κάθε R, δείξετε i. f()> γι κάθε. Μοάδες 6 ii. f()d < f(). Μοάδες 4 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 35

36 ΘΕΜΑ ο (6) Θεωρούµε τη συάρτηση f() =+(-) µε.. Ν ποδείξετε ότι η f είι -. Μοάδες 6. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η τίστροφη συάρτηση f - της f κι ρείτε το τύπο της. Μοάδες 8 γ. i. Ν ρείτε τ κοιά σηµεί τω γρφικώ πρστάσεω τω συρτήσεω f κι f - µε τη ευθεί y =. Μοάδες 4 ii. Ν υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω f κι f -. Μοάδες 7 ΘΕΜΑ ο (6επ.) ίετι η συάρτηση + e f() =, R. + e +. Ν µελετήσετε τη συάρτηση f ως προς τη µοοτοί της στο R. Μοάδες 9. Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ d. Μοάδες 9 f() γ. Γι κάθε < ποδείξετε ότι: f(5 )+f(7 )<f(6 )+f(8 ). Μοάδες 7 ΘΕΜΑ 3 ο (6επ.) Έστω οι µιγδικοί ριθµοί z, που ικοποιού τη ισότητ (4 z) = z κι µί συάρτηση f µε τύπο f() = ++, R.. Ν ποδείξετε ότι οι εικόες τω µιγδικώ z ήκου στη ευθεί =. Μοάδες 7. Α η εφπτοµέη (ε) της γρφικής πράστσης της συάρτησης f στο σηµείο τοµής της µε τη ευθεί = τέµει το άξο y y στο y = 3, τότε i. ρείτε το κι τη εξίσωση της εφπτοµέης (ε). Μοάδες 9 ii. υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι µετξύ της γρφικής πράστσης της f, της εφπτοµέης (ε), του άξο κι της ευθείς 3 =. Μοάδες 9 5 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 36

37 ΘΕΜΑ 4 ο (7) Έστω f µι συεχής κι γησίως ύξουσ συάρτηση στο διάστηµ [, ] γι τη οποί ισχύει f() >. ίετι επίσης συάρτηση g συεχής στο διάστηµ [, ] γι τη οποί ισχύει g() > γι κάθε ε [, ]. Ορίζουµε τις συρτήσεις: F() = f(t)g(t)dt, ε [, ], G() = g(t)dt, ε [, ].. Ν δειχθεί ότι F() > γι κάθε στο διάστηµ (, ].. Ν ποδειχθεί ότι: f() G() > F() γι κάθε στο διάστηµ (, ]. F ( ) F ( ) γ. Ν ποδειχθεί ότι ισχύει: γι κάθε στο διάστηµ (, ]. G ( ) G ( ) δ. Ν ρεθεί το όριο: lim ( f(t)g (t)d t ) ( g (t)d t ) + 5 ηµt d t. ΘΕΜΑ 3 ο (7 επ.) ίετι η συάρτηση ( ) f = e eln, > Α) Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση f( ) είι γήσι ύξουσ στο διάστηµ (,+ ) Μ. Β) Ν ποδείξετε ότι ισχύει f( ) e γι κάθε > Μ f t dt f t dt f t dt έχει κριώς µι ρίζ στο Γ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = ( ) + ( ) διάστηµ ( ),+ Μ.8 ΘΕΜΑ 4 ο (8) Έστω f µι συάρτηση συεχής στο γι τη οποί ισχύει 3 f ( ) = ( + 3 ) f ( t ) dt 45. Ν ποδείξετε ότι : f()= Μ.8. ίετι επίσης µι συάρτηση g δύο φορές πργωγίσιµη στο IR. Ν ποδείξετε ότι g ( ) = g ( ) g ( h ) lim h h Μ.4 γ. Α γι τη συάρτηση f του ερωτήµτος () κι τη συάρτηση g του ερωτήµτος () ισχύει ότι g( + h ) g( ) + g( h ) lim = f ( ) + 45 κι g()=g ()=, τότε h h i. ποδείξετε ότι g()= Μ. ii. ποδείξετε ότι η συάρτηση g είι Μ.3 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 37

38 ΘΕΜΑ 4ο (8 επ.) Έστω f µι συεχής συάρτηση στο διάστηµ [, + ) γι τη οποί ισχύει f() > γι κάθε. Ορίζουµε τις συρτήσεις: F ( ) f(t)dt, [, + ), F ( ) h ( ) = tf ( t ) dt, (, + ). = t. Ν ποδείξετε ότι e [f (t ) + F (t )] dt = F ( ) Μοάδες 6. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση h είι γησίως φθίουσ στο διάστηµ (, + ). Μοάδες 8 γ. Α h()=, τότε: i. Ν ποδείξετε ότι f ( t ) dt < t f ( t ) dt Μοάδες 6 ii. Ν ποδείξετε ότι F ( t ) dt = F ( ) Μοάδες 5 ΘΕΜΑ 4 ο (9) Έστω f µί συεχής συάρτηση στο διάστηµ [, ] γι τη οποί ισχύει ( t - ) f(t)dt = Ορίζουµε τις συρτήσεις H() = tf(t)dt, [, ], H() f(t)dt + 3, (,] G() = t 6 lim, = t t. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση G είι συεχής στο διάστηµ [, ].. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση G είι πργωγίσιµη στο διάστηµ H() (, ) κι ότι ισχύει : G () =, < < Μοάδες 6 γ. Ν δείξετε ότι υπάρχει ές ριθµός (, ) τέτοιος ώστε ισχύει Η()=. δ. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ές ριθµός ξ (, ) τέτοιος ώστε ισχύει ξ t f ( t ) d t = ξ f ( t ) d t ΘΕΜΑ 4 ο (9επ) ίετι µι συάρτηση f: [,] R η οποί είι δύο φορές πργωγίσιµη κι ικοποιεί τις συθήκες f () -4f () +4f() =k e, 4 f () =f(), f () =f() + e, f() = e όπου k ές πργµτικός ριθµός. f () -f(). Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση g() =3 -, e ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµτος του Rolle στο διάστηµ [,]. Μοάδες 4. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε ισχύει ξ f (ξ) +4f(ξ) =6ξ e +4 f (ξ) Μοάδες 5 γ. Ν ποδείξετε ότι k = 6 κι ότι ισχύει g() = γι κάθε [,]. Μοάδες 6 δ. Ν ποδείξετε ότι 3 f() = e, Μοάδες 5 ε. Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ f() d Μοάδες 4 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 38

39 ΘΕΜΑ 4ο. Έστω δύο συρτήσεις h, g συεχείς στο [, ]. Ν ποδείξετε ότι h() > g() γι κάθε [, ], τότε κι h ( ) d > g ( ) d. Μοάδες. ίετι η πργωγίσιµη στο ΙR συάρτηση f, που ικοποιεί τις σχέσεις: f () f () e =, ΙR κι f() =. ι) Ν εκφρστεί η f ως συάρτηση της f. Μοάδες 5 ιι) Ν δείξετε ότι < f() < f (), γι κάθε >. Μοάδες ιιι) ΘΕΜΑ Γ() Α Ε είι το εµδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες =, = κι το άξο, δείξετε ότι < E < f (). Μοάδες 6 4 ίετι η συάρτηση f()=+ln( +), R Γ. Ν µελετήσετε ως προς τη µοοτοί τη συάρτηση f. Μοάδες 5 Γ. Ν λύσετε τη εξίσωση: ( 3 + ) = ln ( ) Μοάδες 7 Γ3. Ν ποδείξετε ότι η f έχει δύο σηµεί κµπής κι ότι οι εφπτόµεες της γρφικής πράστσης της f στ σηµεί κµπής της τέµοτι σε σηµείο του άξο ψ ψ. Μ. 6 Γ4. Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ f ( ) d Μοάδες 7 ΘΕΜΑ () ίετι η συεχής συάρτηση f : f ( ), R R η οποί γι κάθε R ικοποιεί τις σχέσεις: t f ( ) = 3 + d t f ( t ) t. Ν ποδείξετε ότι η f είι πργωγίσιµη στο R µε πράγωγο f ( ) f ( ) =, R Μοάδες 5 f ( ). Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση = ( ), R, είι στθερή. Μοάδες 7 g ( ) f ( ) f ( ) 3. Ν ποδείξετε ότι 4. Ν ποδείξετε ότι + + f ( ) 9, = + + R Μοάδες 6 f ( t ) d t < f ( t ) d t, R Μοάδες 7 + Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 39

40 ΘΕΜΑ () ίοτι οι συεχείς συρτήσεις f,g : R R, οι οποίες γι κάθε R ικοποιού τις σχέσεις: i) f()> κι g()> ii) iii) f ( ) = e g( ) = e t e dt g(+ t ) t e d t f ( + t ) Ν ποδείξετε ότι οι συρτήσεις f κι g είι πργωγίσιµες στο R κι ότι f()=g() γι κάθε R. Μοάδες 9. Ν ποδείξετε ότι: f() = e, R. Μοάδες 4 3. Ν υπολογίσετε το όριο: l n f ( ) l i m Μοάδες 5 f 4. Ν υπολογίσετε το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συάρτησης F() = f ( t ) dt τους άξοες κι y y κι τη ευθεί µε εξίσωση = Μοάδες 7 ΘΕΜΑ ( Ε ) ίοτι η συάρτηση f : R R, η οποί είι 3 φορές πργωγίσιµη κι τέτοι, ώστε: iv) f() li m = + f() v) f () < f() - f() κι vi) f () γι κάθε R. Ν ρείτε τη εξίσωση της εφπτοµέης της γρφικής πράστσης της συάρτησης f στο σηµείο της µε τετµηµέη =. Μοάδες 3. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση f είι κυρτή στο R. Μοάδες 5 Α επιπλέο g( )= f( ) -, R τότε: ηµ 3. Ν ποδείξετε ότι η g προυσιάζει ολικό ελάχιστο κι ρείτε το : lim Μοάδες 6 g() 4. Ν ποδείξετε ότι f ( ) d > Μοάδες 5 5. Α το εµδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συάρτησης g, το άξο κι τις ευθείες µε εξισώσεις = κι = είι Ε(Ω)= e - 5 τότε υπολογίσετε το ολοκλήρωµ f ( ) d κι στη συέχει ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f ( t) dt = Μοάδες 6 ξ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4

41 ΘΕΜΑ () Έστω η συεχής συάρτηση f:(,+ ) R, η οποί γι κάθε > ικοποιεί τις σχέσεις: f() -+ f(t)dt e l nt t ln = dt+ e f(t) f(t). Ν ποδείξετε ότι η f είι πργωγίσιµη κι ρείτε το τύπο της. Μοάδες Α είι f()=e (ln ), >, τότε:. Ν υπολογίσετε το όριο: li m ( ) + f() ηµ f() Μοάδες 5 f() 3. Με τη οήθει της ισότητς ln -, που ισχύει γι κάθε >, ποδείξετε ότι η συάρτηση F() = f(t)dt, > όπου >, είι κυρτή (µοάδες ). Στη συέχει ποδείξετε ότι: F() + F(3) > F(), γι κάθε > (µοάδες 4). Μοάδες 6 4. ίετι ο στθερός πργµτικός ριθµός >. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει µοδικό ξ (,) τέτοιο ώστε: F() + F(3) = F(ξ) Μοάδες 4 ΘΕΜΑ ( Ε ) Έστω η πργωγίσιµη συάρτηση f:a R µε A=(,+ ) γι τη οποί ισχύου σχέσεις: f(α) = (-,] η πράγωγος της f είι συεχής στο (,+ ), κι f() f(t) f() e = e f (t) t dt t Θεωρούµε επίσης τη συάρτηση F() = f(t)dt, >. Ν ποδείξετε ότι f() = ln, > Μοάδες 8 +. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της F έχει µοδικό σηµείο κµπής Σ(,F( )), >, το οποίο κι ρείτε. Στη συέχει ποδείξετε ότι υπάρχει µοδικό ξ (,) µε >, τέτοιο ώστε η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της F στο σηµείο M(ξ,F(ξ)) είι πράλληλη προς τη ευθεί ε: F() ( )y+( )= Μοάδες 6 3. Α >, ποδείξετε ότι η εξίσωση 5 3 F() +( )f() ( ) ( + ) + = 3 έχει µί τουλάχιστο ρίζ, ως προς, στο διάστηµ (,3) Μοάδες 5 4. Ν ποδείξετε ότι t f dt ( ) tf t dt, γι κάθε > Μοάδες 6 Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4

42 Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η συάρτηση F () = ln - είι µι πράγουσ της συάρτησης f () = ln. Σ Λ. Κάθε συεχής συάρτηση σε έ διάστηµ, έχει µόο µι πράγουσ στο. Σ Λ 3. Α F, F είι δυο πράγουσες µις συάρτησης f, τότε υτές διφέρου κτά µι στθερά c. Σ Λ 4. H συάρτηση f () = ln + δε έχει πράγουσ στο διάστηµ [, + ) Α f, g πργωγίσιµες συρτήσεις, θ ισχύει ο τύπος f () g () d = [f () g ()] - f () g () d 6. Α η f είι συεχής ισχύει: f () d = [f ()]. Σ Λ 7. Οι γρφικές πρστάσεις τω πργουσώ F, F, F 3 µις συάρτησης f, που φίοτι στο διπλό σχήµ, έχου πράλληλες εφπτοµέες σε κάθε σηµείο τους µε τετµηµέη. y y CF CF Σ Σ Σ Λ Λ Λ 8. Οι γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω F () = e + c, έχου εφπτόµεες πράλληλες σε κάθε σηµείο τους µε τετµηµέη. 9. Ισχύει: f () d g () d = (f () g ()) d. Α f (t) = t Σ Λ Ισχύει ότι d 3 + d, τότε t - d = f (t). Σ Λ = ( - 4) d. Σ Λ 3 ( + ) d. Ισχύει: f () d = f () - f () d. Σ Λ 3. Ισχύει: f () d + f () d=. Σ Λ 4. Ισχύει: f () d =. Σ Λ 5. Ισχύει: f (t) dt = f (). Σ Σ Λ Λ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4

43 6. Ισχύει: 7. Ισχύει: 8. Ισχύει: g () h () f (t) dt = f (g ()) g (). f (t) dt = - f (). g () f (t) dt = f (h ()) h () + f (g ()) g (). Σ Λ Σ Σ Λ Λ y 9. Στο σχήµ φίετι η γρφική πράστση της συάρτησης που πριστάει το dt. t y=ln Σ Λ y 4. Ισχύει cd = 8 cd, c στθερά. 6 Σ Λ y. Το εµδό του σκισµέου τµήµτος είι ίσο µε f () d + c, c. y. Α f συεχής στο R κι f () =, τότε ισχύει: = f () + f () d. Σ Λ 3. Ισχύει: ηµd = - συ. Σ Λ 4. Α θεωρήσουµε ότι e,7, τότε ισχύει e d =,7. Σ Λ C f Σ Λ 5. Α Α = f () d ) f (ω) dω = Α, τότε: Σ Λ ) f (t) dt = - Α Σ Λ γ) (3 f (z) - 4) dz= 3A - 8 ln Σ Λ 6. Α f () >, τότε ισχύει f () d >. Σ Λ 7. Α f () d τότε f () γι κάθε [, ]. Σ Λ 8. Α f () g () γι κάθε [, ], τότε θ ισχύει ότι f () d g () d. Σ Λ 9. Α <, τότε ισχύει ότι f () d f () d. Σ Λ Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 43

44 3. Α η f είι συεχής στο [, 3], τότε ισχύει ότι 3 () d < f () d + 3 f f () d. Σ Λ 3. Γι τη συάρτηση του σχήµτος ισχύει ότι: () d < 3 f f () d. π 3. Ισχύει: ηµd =. 33. Γι τη συάρτηση του σχήµτος, ισχύει y 3 ότι f () d =, γι κάθε > Α η f είι συεχής στο [, ], τότε το f () d είι το εµδό που y C f Σ Λ περικλείετι µετξύ της C f, του άξο κι τω ευθειώ =, =. Σ Λ y y y= 3 Σ Σ Λ Λ π 35. Ισχύει: (- 4συ ) d >. Σ Λ π Ισχύει: dt = ln, >. Σ Λ t 37. Α f () d = g () d 38. Η ιδιότητ του ορισµέου ολοκληρώµτος f () d = f () d Ισχύει ο τύπος ln γ, τότε f () = g () γι κάθε [, ]. γ f (t) dt = - f () d, ισχύει µόο εφόσο < γ < f (t) dt. 4. Ισχύει: e d = -,, >. Σ Λ ln 4. Το εµδό του σκισµέου χωρίου του σχήµτος δίετι πό τη σχέση: y Σ Σ Σ Λ Λ Λ 3 Ε = ( - ) d. (Οι γρφικές πρστάσεις στο σχήµ είι οι f () = κι g () = 3 ). Σ Λ y Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 44

45 4. Γι το εµδό του σκισµέου χωρίου που φίετι στο σχήµ, ισχύει: Ε = - - f () d. y Α η συάρτηση f είι συεχής στο [, ] κι f () = f (), τότε y Σ Λ f () d =. Σ Λ 44. Α 5 είι 3. f () d =, το ελάχιστο της f στο διάστηµ [, 5] δε µπορεί y Σ Λ 45. Το εµδό του σκισµέου χωρίου είι ίσο µε C f Ε = f () d. Σ Λ y 46. Το σκισµέο εµδό του σχήµτος είι µεγλύτερο πό το σκισµέο εµδό του σχήµτος. Σ Λ y y y= y=+ηµ y=ηµ - π - π - - y y Σχήµ Σχήµ ιλιογρφί. Α. Μπάρλς «Μθηµτικά κτευθ. Γ Λυκείου». Γ. Μυρίδης «Μθηµτικά κτευθ. Γ Λυκείου» 3.. Μπουάκης «ιδ. Υλικό Ολοκληρωτικός λογισµός» 4. Κυρικόπουλος Ατώης «Συρτήσεις που ορίζοτι πό Ολοκληρώµτ» 5. Ρϊκόφτσλης Θωµάς 6. Μύρος Ιωάης 7. Χτζόπουλος Μάκης 8. Έκδοση ΚΕΕ, Αξιολόγηση Γ λυκείου 9. Θέµτ Πελληίω -. Σχολικό ιλίο οεδ «Μθηµτικά κτευθ. Γ Λυκείου» Επιµέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 45

Βασικά Θέµατα στην ενότητα «Συνάρτηση οριζόµενη µε ολοκλήρωµα»

Βασικά Θέµατα στην ενότητα «Συνάρτηση οριζόµενη µε ολοκλήρωµα» Κεφάλιο: Ολοκληρώµτ (Ενότητ: Συνάρτηση οριζόµενη µε Ολοκλήρωµ) Βσικά Θέµτ στην ενότητ «Συνάρτηση οριζόµενη µε ολοκλήρωµ» Α Πεδίο ορισµού κι πράωος συνρτήσεων που ορίζοντι µε ολοκλήρωµ κι έχουν τύπους:

Διαβάστε περισσότερα

Συµβουλεύοµαι το κρυπτογραφικό αλφάβητο της Φιλικής Εταιρείας και. Ελευθερία ή Θάνατος. γ35343 ωβη3οω3η

Συµβουλεύοµαι το κρυπτογραφικό αλφάβητο της Φιλικής Εταιρείας και. Ελευθερία ή Θάνατος. γ35343 ωβη3οω3η 3 Συµβουλεύοµαι το κρυπτογραφικό αλφάβητο της Φιλικής Εταιρείας και Κρυπτογραφικό αλφάβητο της Φιλικής Εταιρείας α β γ δ ε ζ θ ι κ λ µ ν ξ ο π ρ σ τ φ χ ψ ω η ξ υ ψ ω 1 2 3 4 5 6 7 4α 8 9 ο α β γ δ 9α

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΥΨΩΤΙΚΑ ΜΗΧΑΝΗΜΑΤΑ

ΑΝΥΨΩΤΙΚΑ ΜΗΧΑΝΗΜΑΤΑ Υ Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΑΝΥΨΩΤΙΚΑ ΜΗΧΑΝΗΜΑΤΑ Ο Δ Η Γ Ο Σ Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Η Σ Τ Η Σ Ν Ο Μ Ο Θ Ε Σ Ι Α Σ 1 η ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

15PROC003586744 2015-12-29

15PROC003586744 2015-12-29 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΝΕΑ ΙΩΝΙΑ Αρ. πρωτ. : 37515/17-12-2015 ΥΠΟΕΡΓΟ: ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: Παροχή Εξειδικευμένων Συμβουλευτικών Υπηρεσιών για την Υλοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο Θέµα Α. α) Έστω η συνάρτηση στο κάθε f δ) R τις τιµές του γ) Αν η συνάρτηση παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις

Διαβάστε περισσότερα

γ ρ α π τ ή ε ξ έ τ α σ η σ τ o μ ά θ η μ α Ν Ε Ο Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές:

γ ρ α π τ ή ε ξ έ τ α σ η σ τ o μ ά θ η μ α Ν Ε Ο Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: γ ρ α π τ ή ε ξ έ τ α σ η σ τ o μ ά θ η μ α Ν Ε Ο Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Γ Λ Ω Σ Σ Α Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: Κείμενο Η απόδοση της διαφήμισης Εκτιμάται ότι στη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : Κώδικας Ορθής Γεωργικής Πρακτικής για την Προστασία των Νερών από τη Νιτρορύπανση Γεωργικής Προέλευσης.

ΘΕΜΑ : Κώδικας Ορθής Γεωργικής Πρακτικής για την Προστασία των Νερών από τη Νιτρορύπανση Γεωργικής Προέλευσης. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΓΕΝ. Δ/ΝΣΗ ΒΙΩΣΙΜΗΣ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Δ/ΝΣΗ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ & ΚΛΙΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ Τμήμα Προστασίας Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΕΜΦΥΛΙΕΣ ΔΙΑΜΑΧΕΣ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΟΙ ΕΜΦΥΛΙΕΣ ΔΙΑΜΑΧΕΣ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΙΣ Οι Μανιάτες στην Επανάσταση του 1821 343 ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ ΟΙ ΕΜΦΥΛΙΕΣ ΔΙΑΜΑΧΕΣ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΙΣ Η Β Εθνοσυνέλευση του Άστρους Οι εκλογές των πληρεξουσίων 1239 για τη συμμετοχή τους στη Β Εθνοσυνέλευση προκηρύχθηκαν

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02 Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Μ Ν Α Δ Ε Σ Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν Τ Ρ Ο Ε

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Α Ρ ΤΕΥΧΟΣ 4 ΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Υ ΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΗΜΟΥ ΡΟ ΟΥ. 198.396,00 (χωρίς το Φ.Π.Α.) ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΝ ΕΣΕΩΝ ΙΚΤΥΟΥ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΡΓΟΥ:

Ε Υ Α Ρ ΤΕΥΧΟΣ 4 ΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Υ ΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΗΜΟΥ ΡΟ ΟΥ. 198.396,00 (χωρίς το Φ.Π.Α.) ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΝ ΕΣΕΩΝ ΙΚΤΥΟΥ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΡΓΟΥ: Ε Υ Α Ρ ΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Υ ΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΗΜΟΥ ΡΟ ΟΥ Ι Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Ι Κ Τ Υ Ω Ν ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΡΓΟΥ: ΠΡΟΥΠ/ΣΜΟΣ: ΧΡΗΜΑΤΟ ΟΤΗΣΗ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΝ ΕΣΕΩΝ ΙΚΤΥΟΥ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ 198.396,00 (χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής. Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους:

Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής. Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους: Σχηματισμός Υποτακτικής Παρακειμένου Ενεργητικής Φωνής Ο Παρακείμενος σχηματίζει την Υποτακτική έγκλιση με δύο τρόπους: α. περιφραστικά (δηλ. χρησιμοποιώντας δύο λέξεις περιφραστικός ρηματικός τύπος στα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ: ΜΑΝΤΕΙΟ ΤΡΟΦΩΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΘΗΒΑ»

ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ: ΜΑΝΤΕΙΟ ΤΡΟΦΩΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΘΗΒΑ» ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ:» ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΙΔΡΥΜΑΤΟΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΝΗΜΕΙΩΝ ΒΟΙΩΤΙΑΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΗΜ. ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΟ ΤΑ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΤΗΣ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗΣ ΤΟΥ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ Π Ρ Α Ξ Η µε αριθ. 302 του ηµοτικού Συµβουλίου της µε αριθµό 29

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α «Έγκριση Αγροτικού και Αρδευτικού Κανονισµού ήµου Καβάλας» Αριθ. Αποφάσεως 891/2011

Θ Ε Μ Α «Έγκριση Αγροτικού και Αρδευτικού Κανονισµού ήµου Καβάλας» Αριθ. Αποφάσεως 891/2011 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ ΚΑΒΑΛΑΣ ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ Α Α: 456ΖΩΕ6-ΧΙ1 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό της υπ αριθ. 34ης /9 εκεµβρίου 2011 Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Καβάλας Αριθ. Αποφάσεως 891/2011 Θ Ε

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 3ο Δεκέμβριος 2012. Περιοδική έκδοση των μαθητών του 6ου Δημοτικού Σχολείου Π. Φαλήρου

Τεύχος 3ο Δεκέμβριος 2012. Περιοδική έκδοση των μαθητών του 6ου Δημοτικού Σχολείου Π. Φαλήρου Τεύχος 3ο Δεκέμβριος 2012 Περιοδική έκδοση των μαθητών του 6ου Δημοτικού Σχολείου Π. Φαλήρου Σελίδα 2 Σελίδα 2: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Υ Ν Τ Α Κ Τ Ι Κ Η ΟΜΑΔΑ ΣΧΟΛΙΟ ΣΥΝΤΑΞΗΣ Σελίδα 3 ΚΑΙΝΟΤΟΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Ν Α Κ Α Σ Α Μ Ο Ι Β Ω Ν Ε Π Ι Δ Ο Σ Ε Ω Ν

Π Ι Ν Α Κ Α Σ Α Μ Ο Ι Β Ω Ν Ε Π Ι Δ Ο Σ Ε Ω Ν Π Ι Ν Α Κ Α Σ Α Μ Ο Ι Β Ω Ν Ε Π Ι Δ Ο Σ Ε Ω Ν ΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΜΕΛΗΤΩΝ ΕΦΕΤΕΙΩΝ ΑΘΗΝΩΝ & ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΔΙΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΑ ΑΘΗΝΩΝ & ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΜΕ ΕΔΡΑ ΤΗΝ ΑΘΗΝΑ Η χιλιομετρική απόσταση υπολογίσθηκε με σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Εκλογικών

ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Εκλογικών ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Εκλογικών Χρήσιμο Β Ο Η Θ Η Μ Α Ο Δ Η Γ Ο Σ του Αντιπροσώπου της Δικαστικής Αρχής (Περιέχονται σχέδια και έντυπα για διευκόλυνση του έργου των Αντιπροσώπων της Δικαστικής Αρχής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Ν. Πέµπτη 28 Ιανουαρίου 2010

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Ν. Πέµπτη 28 Ιανουαρίου 2010 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Ν Πέµπτη 28 Ιανουαρίου 2010 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 2917,2977 2. Αδεια απουσίας του Βουλευτή κ. Κ. Μητσοτάκη, σελ. 2961 3. Ανακοινώνεται ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΡΜΠΟΥΤΙ ΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΕΡΓΟ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΣΤΑΤΕΥΤΙΚΟΥ ΤΟΙΧΙΟΥ ΝΕΚΡΟΤΑΦΕΙΩΝ ΤΚ ΚΟΡΜΙΣΤΑΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: 4 0.

ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΡΜΠΟΥΤΙ ΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΕΡΓΟ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΣΤΑΤΕΥΤΙΚΟΥ ΤΟΙΧΙΟΥ ΝΕΚΡΟΤΑΦΕΙΩΝ ΤΚ ΚΟΡΜΙΣΤΑΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: 4 0. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΣΕΡΡΩΝ ΗΜΟΣ ΑΜΦΙΠΟΛΗΣ ΤΜΗΜΑ Τ.Υ. ΜΕΛΕΤΗ ΕΡΓΟ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΣΤΑΤΕΥΤΙΚΟΥ ΤΟΙΧΙΟΥ ΝΕΚΡΟΤΑΦΕΙΩΝ ΤΚ ΚΟΡΜΙΣΤΑΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ: 4 0. 0 0 0, 0 0 ΣΑΤΑ 2011, 2013 & ΕΚΤΑΚΤΑ ΑΝΕΙ ΙΚΕΥΤΑ-ΛΟΙΠΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αναρτητέα στο διαδίκτυο: Α.Δ.Α.: Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΑΣΤΥΝΟΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΤΥΝ.Δ/ΝΣΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΝΑΥΠΛΙΟ 13 Νοεμβρίου 2013 ΑΣΤΥΝΟΜΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΓΟΛΙΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΜΕΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΟΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Ασκήσεις που μς ζητού βρούμε κάποιους όρους της κολουθίς ή ποιος όρος της ισούτι με μι τιμή κ. Ότ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Ν Α Κ Α Σ Κ Α Τ Α Τ Α Ξ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Μ Ε Ρ Ι Κ Η Σ Α Π Α Σ Χ Ο Λ Η Σ Η Σ (Α.Π. ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗΣ 21809/20-11-2009)

Π Ι Ν Α Κ Α Σ Κ Α Τ Α Τ Α Ξ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Μ Ε Ρ Ι Κ Η Σ Α Π Α Σ Χ Ο Λ Η Σ Η Σ (Α.Π. ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗΣ 21809/20-11-2009) Π Ι Ν Α Κ Α Σ Κ Α Τ Α Τ Α Ξ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Μ Ε Ρ Ι Κ Η Σ Α Π Α Σ Χ Ο Λ Η Σ Η Σ (Α.Π. ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗΣ 21809/20-11-2009) Α/Α ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΚΩ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΜΑ Α ΕΜΠΕΙΡΙΑ 1 ΠΕ

Διαβάστε περισσότερα

οικισµών του ήµου Φαιστού

οικισµών του ήµου Φαιστού ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΗΜΟΣ ΦΑΙΣΤΟΥ /ΝΣΗ ΠΟΛΕΟ ΟΜΙΑΣ & ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΗΜΟΣ: Φαιστού ΤΙΤΛΟΣ: Αποκοµιδή απορριµµάτων σε 34 οικισµούς του ήµου και καθαρισµός των κοινόχρηστων χώρων στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΑΠΕΙΡΩΝ ΟΡΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΥ. Πρόταση: Το άθροισµα των απείρων όρων µιας γεωµετρικής προόδου που έχει πρώτο όρο α

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΑΠΕΙΡΩΝ ΟΡΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΥ. Πρόταση: Το άθροισµα των απείρων όρων µιας γεωµετρικής προόδου που έχει πρώτο όρο α ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΑΠΕΙΡΩΝ ΟΡΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΥ Πρότση: Το άθροισµ τω πείρω όρω µις γεωµετρικής προόδου που έχει πρώτο όρο κι λόγο λ, λ < είι Το άθροισµ S = + +... S = λ Εφρµογή : Ν υπολογίσετε το άθροισµ :

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΤΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ

ΠΤΤΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΤΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΤΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ Δ Ι Α Κ Ι Ν Η Σ Η Τ Ω Ν Α Γ Α Θ Ω Ν Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α ΠΟΥ Π Ρ Ο Β Λ Ε Π Ο Ν Τ Α Ι Α Π Ο Τ

Διαβάστε περισσότερα

Αποκεντρωµένης ιοίκησης Πρόγραµµα Καλλικράτης». διατάξεις, ρυθµίσεις στις εργασιακές σχέσεις.»

Αποκεντρωµένης ιοίκησης Πρόγραµµα Καλλικράτης». διατάξεις, ρυθµίσεις στις εργασιακές σχέσεις.» ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ Α..Α: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α Κ Ρ Η Τ Η Σ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΕΣΩΤ. ΛΕΙΤ/ΓΙΑΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ Ηράκλειο, 6 Νοεµβρίου 2013 Αρ. Πρωτ.: ΟΙΚ. 110167/41099 Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

15PROC003570450 2015-12-24

15PROC003570450 2015-12-24 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΕΣΠΑ ΑΥΤΟΤΕΛΕΣ ΤΜΗΜΑ ΕΟΧ ΕΘΝΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΑΦΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΤΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ(PROGRAM OPERATOR) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΕΦΗΒΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΗΛΙΚΟΥΣ Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ

ΓΙΑ ΕΦΗΒΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΗΛΙΚΟΥΣ Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ ΓΙΑ ΕΦΗΒΟΥΣ ΚΑΙ ΕΝΗΛΙΚΟΥΣ Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Μ Ν Α Δ Ε Σ Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε

Διαβάστε περισσότερα

Π Ε Ρ Ι Ο Δ Ι Κ Ο Ε Ν Η Μ Ε Ρ Ω Τ Ι Κ Ο Δ Ε Λ Τ Ι Ο

Π Ε Ρ Ι Ο Δ Ι Κ Ο Ε Ν Η Μ Ε Ρ Ω Τ Ι Κ Ο Δ Ε Λ Τ Ι Ο Τ ε ύ χ ο ς 1 8 ο Λ Α Ϊ Κ Η Σ Υ Σ Π Ε Ι Ρ Ω Σ Η Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α Σ Β. Α Ι Γ Α Ι Ο Υ & Δ Η Μ Ο Υ Π Ε Ρ Ι Ο Δ Ι Κ Ο Ε Ν Η Μ Ε Ρ Ω Τ Ι Κ Ο Δ Ε Λ Τ Ι Ο Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Τ Ε Υ Χ Ο Υ Σ : * Η ΛΑ.Σ. Δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ν. Φιλ/φεια: 18/6/2015 ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Αριθμ. Πρωτ: 12403 ΔΗΜΟΣ ΦΙΛΑΔΕΛΦΕΙΑΣ- ΧΑΛΚΗΔΟΝΟΣ Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ν. Φιλ/φεια: 18/6/2015 ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Αριθμ. Πρωτ: 12403 ΔΗΜΟΣ ΦΙΛΑΔΕΛΦΕΙΑΣ- ΧΑΛΚΗΔΟΝΟΣ Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η Ν. Φιλ/φεια: 18/6/2015 ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Αριθμ. Πρωτ: 12403 ΔΗΜΟΣ ΦΙΛΑΔΕΛΦΕΙΑΣ- ΧΑΛΚΗΔΟΝΟΣ Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η Διενέργειας για την εκτέλεση προμήθειας < ΔΑΠΕΔΟΥ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΚΕΣ ΧΑΡΕΣ - ΣΧΟΛΕΙΑ > με τη συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α 3 o ΔΑΓΩΝΣΜΑ ΜΑΡΤOΣ 03: ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ ΦΥΣΚΗ ΘΕΤΚΗΣ ΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΑΓΩΝΣΜΑ (ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ) ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ ΘΕΜΑ Α β δ 3 δ 4 β 5 Λ βσ γλ δσ ελ ΘΕΜΑ Β Σωστή είνι η πάντηση γ Ο ρυθμός

Διαβάστε περισσότερα

Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5

Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ε Λ Ε Γ Κ Τ Ι Κ Ο Σ Υ Ν Ε Δ Ρ Ι Ο ΣΕ Ο Λ Ο Μ Ε Λ Ε Ι Α

Ε Λ Ε Γ Κ Τ Ι Κ Ο Σ Υ Ν Ε Δ Ρ Ι Ο ΣΕ Ο Λ Ο Μ Ε Λ Ε Ι Α Επί του Απολογισμού των εσόδων και εξόδων του Κράτους έτους 2006 και του Γενικού Ισολογισμού της 31 ης Δεκεμβρίου 2006, σύμφωνα με το άρθρο 98 παρ. 1 περ. ε σε συνδυασμό με το άρθρο 79 παρ. 7 του Συντάγματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 66 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συµβουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι µη ρτάτε κέ άλλο Προιµί. 67

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΣΤΙΚΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ Τ Ε Υ Χ Ο Σ Τ Ε Χ Ν Ι Κ Ω Ν Π Ρ Ο Ι Α Γ Ρ Α Φ Ω Ν

ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΣΤΙΚΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ Τ Ε Υ Χ Ο Σ Τ Ε Χ Ν Ι Κ Ω Ν Π Ρ Ο Ι Α Γ Ρ Α Φ Ω Ν ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ & ΙΘΑΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΟΝΙΑΣ & ΙΘΑΚΗΣ ΑΕ ΟΤΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΣΤΙΚΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ ΤΕΥΧΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ο. Τετάρτη 8 Ιουλίου 2015

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ο. Τετάρτη 8 Ιουλίου 2015 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ο Τετάρτη 8 Ιουλίου 2015 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Ανακοινώνεται ότι τη συνεδρίαση παρακολουθούν µαθητές από το 5ο και το 15ο Γυµνάσιο Περιστερίου, σελ. 4174 2. Η Ειδική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΜΟΝΑΔΩΝ Α ΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΜΟΝΑΔΩΝ Α ΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΕΡΓΑΣΙΑ: Αναγόμωση συντήρηση Αναγόμωση συντήρηση Μονάδες Α Βάθμιας εκπ/σης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Τεχνική περιγραφή 2. Ενδεικτικός Προϋπολογισμός 3. Συγγραφή υποχρεώσεων 1 ΕΡΓΑΣΙΑ: Αναγόμωση συντήρηση Τεχνική

Διαβάστε περισσότερα

Αργατία. ίµηνη εφηµερίδα Τεύχος 5 Χορτοθέρτς Αύγουστον 2010. ηµοτικές και Νοµαρχιακές Εκλογές 2010

Αργατία. ίµηνη εφηµερίδα Τεύχος 5 Χορτοθέρτς Αύγουστον 2010. ηµοτικές και Νοµαρχιακές Εκλογές 2010 ίµηνη εφηµερίδα Τεύχος 5 Χορτοθέρτς Αύγουστον 2010 Εσέβαµεν σον Αύγουστον και σου σιονί την άκραν Σηµείωµα έκδοσης Τι αξίζει άραγε περισσότερο; Η διάνοιξη ενός δρόµου ή η ανακούφιση ενός ανή- µπορου; Περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΕΡΙ Α Περιφερειακή Ανάπτυξη-Αποκέντρωση-Αυτοδιοίκηση και η Αριστερά Λαµία Φθιώτιδας, Ξενοδοχείο Σαµαράς, Κυριακή ώρα 9. 30 π.µ. 2-11-2008 Νοµαρχιακές Επιτροπές ΣΥΝΑΣΠΙΣΜΟΥ Περιφέρειας Στ. Ελλάδας Τµήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΡΙΣΤ. Παρασκευή 7 Μαΐου 2010

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΡΙΣΤ. Παρασκευή 7 Μαΐου 2010 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΡΙΣΤ Παρασκευή 7 Μαΐου 2010 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 6859, 6893 2. Ανακοινώνεται ότι τη συνεδρίαση παρακολουθούν µαθητές από το 2ο ηµοτικό Σχολείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑΣ (Τύπος Β) Για έργα που δεν εµπίπτουν στο πεδίο εφαρµογής των Οδηγιών 2004/18/ΕΚ και 2004/17/ΕΚ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΤΥΠΟΣ Β ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜOΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΙΤΩΛ/ΝΙΑΣ ΗΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑΣ. (Τύπος Β) Για έργα που δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18 και 2004/17

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑΣ. (Τύπος Β) Για έργα που δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18 και 2004/17 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΔΕΛΤΑ ΕΡΓΟ: ΚΡΑΣΠΕΔΩΣΗ -ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΦΩΤΙΣΜΟΣ ΟΔΟΥ ΝΙΚΗΣ ΣΤΗ Ν. ΜΑΓΝΗΣΙΑ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ & ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ: ΣΑΤΑ ΑΡ.ΜΕΛΕΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: ΒΛΠΠΩΚΥ-ΕΤΗ ANΑΡΤΗΤΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΗΜ. ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ

ΑΔΑ: ΒΛΠΠΩΚΥ-ΕΤΗ ANΑΡΤΗΤΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΗΜ. ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΗΜ. ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ANΑΡΤΗΤΕΑ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΟ ΤΑ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΤΗΣ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗΣ ΤΟΥ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ Π Ρ Α Ξ Η µε αριθ. 181 του ηµοτικού Συµβουλίου της µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΟΣ 0769/2014 2015 ΣΥΜΒΑΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗΣ Ι.ΝΕ.ΔΙ.ΒΙ.Μ. - ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΣΧΟΛΕΙΩΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΥ ΠΑΤΡΕΩΝ

ΑΡΙΘΜΟΣ 0769/2014 2015 ΣΥΜΒΑΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗΣ Ι.ΝΕ.ΔΙ.ΒΙ.Μ. - ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΣΧΟΛΕΙΩΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΥ ΠΑΤΡΕΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ 0769/2014 2015 ΣΥΜΒΑΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗΣ Ι.ΝΕ.ΔΙ.ΒΙ.Μ. - ΣΧΟΛΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΣΧΟΛΕΙΩΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΗΜΟΥ ΠΑΤΡΕΩΝ (Συμπληρωματική της Υπ. Αριθ.555/2014-2015 Σύμβασης) Στην Αθήνα, σήμερα, 13/5/2015,

Διαβάστε περισσότερα

Λ ο υ κ ά ς Α π ο σ τ ο λ ί δ η ς & Σ υ ν ε ρ γ ά τ ε ς ΔΙΚΗΓΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Λ ο υ κ ά ς Α π ο σ τ ο λ ί δ η ς & Σ υ ν ε ρ γ ά τ ε ς ΔΙΚΗΓΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Λ ο υ κ ά ς Α π ο σ τ ο λ ί δ η ς & Σ υ ν ε ρ γ ά τ ε ς ΔΙΚΗΓΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Τηλ.: 2103619650, 2103610116, Fax: 2103619760, Email: lapostol@otenet.gr h t t p: / / w w w. l o u k a s a p o s t o l i d i

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Ε Γ Κ Υ Κ Λ Ι Ο Σ Ε Π Ο Χ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Δ Ο Μ Α Τ Ω Ν Ε Τ Ο Υ Σ 2013 ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ 2014 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΣΧΟΛΙΚΟ ΈΤΟΣ: 2013-2014)

ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ 2014 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΣΧΟΛΙΚΟ ΈΤΟΣ: 2013-2014) ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ 2014 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΣΧΟΛΙΚΟ ΈΤΟΣ: 2013-2014) Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Η Α' τάξη Ημερησίου Γενικού Λυκείου αποτελεί τάξη γενικής παιδείας 35 συνολικά ωρών εβδομαδιαίως

Διαβάστε περισσότερα

Για έργα που δεν εµπίπτουν στο πεδίο εφαρµογής των Οδηγιών 2004/18/ΕΚ και 2004/17/ΕΚ 2

Για έργα που δεν εµπίπτουν στο πεδίο εφαρµογής των Οδηγιών 2004/18/ΕΚ και 2004/17/ΕΚ 2 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΥΝ ΕΣΜΟΣ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΠΟΡΡΙΜΜΑΤΩΝ ΠΕ ΙΝΗΣ ΚΑΙ ΗΜΙΟΡΕΙΝΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΝΟΜΟΥ ΑΡΤΑΣ ΕΡΓΟ: ΧΡΗΜΑΤΟ ΟΤΗΣΗ 1 : Επέκταση των εγκαταστάσεων ολοκληρωµένης ιαχείρισης Απορριµµάτων Βλαχέρνας Άρτας

Διαβάστε περισσότερα

Της από 27/7/ 2015 Συνεχιζόµενης Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου του ήµου Ρόδου. Αριθ. Πρακτικού: 13/27-7-2015 Αριθ. Απόφασης: 438/2015

Της από 27/7/ 2015 Συνεχιζόµενης Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου του ήµου Ρόδου. Αριθ. Πρακτικού: 13/27-7-2015 Αριθ. Απόφασης: 438/2015 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Ο Υ Της από 27/7/ 2015 Συνεχιζόµενης Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου του ήµου Ρόδου Αριθ. Πρακτικού: 13/27-7-2015 Αριθ. Απόφασης: 438/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 6-2014

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 6-2014 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 6-2014 Α1. Αναμφισβήτητα, ένα από τα καίρια χαρακτηριστικά της διηγηματογραφίας του Γεωργίου Βιζυηνού είναι το θεατρικό στοιχείο, γι αυτό άλλωστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΟΖ. Δευτέρα 20 Ιουλίου 2015

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΟΖ. Δευτέρα 20 Ιουλίου 2015 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΟΖ Δευτέρα 20 Ιουλίου 2015 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Άδεια απουσίας των Βουλευτών κ.κ. Γ. Κουµουτσάκου και Ο. Αντωνοπούλου, σελ. 4441 2. Επί διαδικαστικού θέµατος, σελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΛΟΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΗΜΑΤΑ ΨΗΦΟΦΟΡΙΑΣ ΒΟΥΛΕΥΤΙΚΩΝ ΕΚΛΟΓΩΝ ΤΗΣ 6 ης ΜΑΪΟΥ 2012

ΕΚΛΟΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΗΜΑΤΑ ΨΗΦΟΦΟΡΙΑΣ ΒΟΥΛΕΥΤΙΚΩΝ ΕΚΛΟΓΩΝ ΤΗΣ 6 ης ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΗΜΟΣ ΕΚΛΟΓΙΚΑ ΤΑ ΚΑΙ ΤΑ ΒΟΥΛΕΥΤΙΚΩΝ ΕΚΛΟΓΩΝ ΤΗΣ 6 ης ΜΑΪΟΥ 2012 ΔΗΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΗΜΟΣ ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΡΩΤΗΡΙΟΥ 178ο Αρωνίου 1 ο

Διαβάστε περισσότερα

Α Σ Κ Η Σ Η - Η Μ Η Τ Ε ΡΑ Τ Ο Υ Α Γ Ι Α Σ Μ Ο Υ

Α Σ Κ Η Σ Η - Η Μ Η Τ Ε ΡΑ Τ Ο Υ Α Γ Ι Α Σ Μ Ο Υ Α Σ Κ Η Σ Η - Η Μ Η Τ Ε ΡΑ Τ Ο Υ Α Γ Ι Α Σ Μ Ο Υ Γέροντος Ιωσήφ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 00 Πρόλογος.2 01 - Το απαραίτητο της άσκησης. 3 02 - Μορφές της "εν Θεώ" άσκησης...7 03 - Η εξουσία της θείας υιοθεσίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΙΖΕΙ: Υποψηφιότητα για τη θέση του Προέδρου μπορούν να υποβάλουν Καθηγητές Πρώτης Βαθμίδας ή Αναπληρωτές Καθηγητές.

ΑΠΟΦΑΣΙΖΕΙ: Υποψηφιότητα για τη θέση του Προέδρου μπορούν να υποβάλουν Καθηγητές Πρώτης Βαθμίδας ή Αναπληρωτές Καθηγητές. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΤΜΗΜΑ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ Γραμματεία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Πληροφορίες: Κ. Συμεωνίδου Θεσσαλονίκη, 13-10-2015 Τηλ.: 2310997613

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση των Επιδράσεων του Σχεδίου Τοποθέτησης Άνεργων Νέων Αποφοίτων Γυμνασίων, Λυκείων, Τεχνικών Σχολών και Μεταλυκειακής Εκπαίδευσης μέχρι και

Αξιολόγηση των Επιδράσεων του Σχεδίου Τοποθέτησης Άνεργων Νέων Αποφοίτων Γυμνασίων, Λυκείων, Τεχνικών Σχολών και Μεταλυκειακής Εκπαίδευσης μέχρι και Αξιολόγηση των Επιδράσεων του Σχεδίου Τοποθέτησης Άνεργων Νέων Αποφοίτων Γυμνασίων, Λυκείων, Τεχνικών Σχολών και Μεταλυκειακής Εκπαίδευσης μέχρι και ιετούς ιάρκειας για Απόκτηση Εργασιακής Πείρας σε Επιχειρήσεις/Οργανισμούς

Διαβάστε περισσότερα

33 η Τακτική Συνεδρίαση Οικονοµική Επιτροπής

33 η Τακτική Συνεδρίαση Οικονοµική Επιτροπής Αρ. Πρωτ. ήµου Ιλίου: 43227/04-09-2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ 33 η Τακτική Συνεδρίαση Οικονοµική Επιτροπής ΗΜΟΣ Ι Λ Ι Ο Υ την 04-09-2012 Η Οικονοµική Επιτροπή Ιλίου συνήλθε στο ηµαρχιακό Μέγαρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ. (Τύπος Β) Για έργα που δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18/ΕΚ και 2004/17/ΕΚ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ. (Τύπος Β) Για έργα που δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18/ΕΚ και 2004/17/ΕΚ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ (Τύπος Β) Για έργα που δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής των Οδηγιών 2004/18/ΕΚ και 2004/17/ΕΚ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ρ. Τετάρτη 7 Μαρτίου 2012

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ρ. Τετάρτη 7 Μαρτίου 2012 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ρ Τετάρτη 7 Μαρτίου 2012 ΘΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 6733 2. Ανακοινώνεται ότι τη συνεδρίαση παρακολουθούν µαθητές από το 1ο Γυµνάσιο Πειραιά,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ τον Πρόεδρο της Οικονοµικής Επιτροπής. ΘΕΜΑ : Έγκριση πρακτικών πρόχειρου διαγωνισµού για την προµήθεια ηλεκτρολογικού υλικού.

ΠΡΟΣ τον Πρόεδρο της Οικονοµικής Επιτροπής. ΘΕΜΑ : Έγκριση πρακτικών πρόχειρου διαγωνισµού για την προµήθεια ηλεκτρολογικού υλικού. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Άγιος Στέφανος, 2/10/2015 ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Αριθ Πρωτ 27823 ΗΜΟΣ ΙΟΝΥΣΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ /ΝΣΗ Λ Μαραθώνος 29 ΤΚ 145 65, Άγιος Στέφανος ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Μυλωνάς Χαράλαµπος

Διαβάστε περισσότερα

16-5-2013 .:54406/ 12964 : « , (1.740.713,13) 2013»

16-5-2013 .:54406/ 12964     : «         ,            (1.740.713,13)  2013» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Βόλος 16-5-2013 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Αρ. πρωτ.:54406/γπ12964 ΠΕΡΙΦ. ΕΝΟΤ. ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ ΗΜΟΣ ΒΟΛΟΥ /ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Η Μ Ο Σ Ι Ο Υ Α Ν ΟΙ Κ Τ Ο Υ ΙΑ Γ Ω Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2013 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ι Τρίτη 27 Αυγούστου 2013

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2013 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ι Τρίτη 27 Αυγούστου 2013 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2013 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ι Τρίτη 27 Αυγούστου 2013 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 813 2. Άδεια απουσίας του Βουλευτή κ. Σ. Αναστασιάδη,

Διαβάστε περισσότερα

Εγκύκλιος Ε.Φ.Ο.Τ. 2009/1

Εγκύκλιος Ε.Φ.Ο.Τ. 2009/1 Εγκύκλιος Ε.Φ.Ο.Τ. 2009/1 Βαθμολογούμενοι Αγώνες, Τρόπος Βαθμολόγησης Οι βαθμολογούμενοι αγώνες για το έτος 2009 είναι οι κάτωθι: Πανελλήνιο Πρωτάθλημα 2x70μ με Ο.Γ. Κύπελλο Ελλάδος 2x70μ με Ο.Γ. Κύπελλο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΗ ΣΥΝΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ 42, 105 63 ΑΘΗΝΑ

ΕΘΝΙΚΗ ΣΥΝΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ 42, 105 63 ΑΘΗΝΑ ΕΘΝΙΚΗ ΣΥΝΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ 42, 105 63 ΑΘΗΝΑ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΜΠΟΡΙΟΥ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΠΕΤΡΑΚΗ 16 Τ.Κ. 105 63 ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ: 210. 32.59.197 FAX 32.59.229 8 Σεπτεμβρίου 2011 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΝΕΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΜ. Πέµπτη 7 Μαρτίου 2013

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΜ. Πέµπτη 7 Μαρτίου 2013 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΜ Πέµπτη 7 Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 8674 2. Άδεια απουσίας των Βουλευτών κ. κ. Γ. Ψαριανού και Γ. Παπανδρέου, σελ. 8647, 8753 3.

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Σ Υ Ν Τ Η Ρ Η Σ Η Α Ν Ε Λ Κ Υ Σ Τ Η Ρ Ω Ν

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Σ Υ Ν Τ Η Ρ Η Σ Η Α Ν Ε Λ Κ Υ Σ Τ Η Ρ Ω Ν Οδός 25 η & Πλ. Αγ. Τριάδας, 16777, Ελληνικό Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Σ Υ Ν Τ Η Ρ Η Σ Η Α Ν Ε Λ Κ Υ Σ Τ Η Ρ Ω Ν ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ : 4.320,00 Φ.Π.Α. 23% : 993,60 ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΔΑΠΑΝΗ: 5.313,60 ΕΥΡΩ 1 ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ Η παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Πειραιάς, 03 Νοεμβρίου 2015 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ & ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΑΠΟΘΗΚΩΝ Τμήμα Υλοποίησης Προμηθειών Τακτικών Διαγωνισμών

Πειραιάς, 03 Νοεμβρίου 2015 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ & ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΑΠΟΘΗΚΩΝ Τμήμα Υλοποίησης Προμηθειών Τακτικών Διαγωνισμών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΝΗΣΙΩΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Πειραιάς, 03 Νοεμβρίου 2015 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ & ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΑΠΟΘΗΚΩΝ Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΚΣΤ. Τετάρτη 4 Μαΐου 2011

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΚΣΤ. Τετάρτη 4 Μαΐου 2011 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΡΚΣΤ Τετάρτη 4 Μαΐου 2011 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 9434 2. Ανακοινώνεται ότι τη συνεδρίαση παρακολουθούν μαθητές από το 9ο Δημοτικό Σχολείο Αλίμου,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡ.ΜΕΛ. 80/2013 Κ.Α. 30.7331.06

ΑΡ.ΜΕΛ. 80/2013 Κ.Α. 30.7331.06 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΑΓ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΡΓΟ : : ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΕΠΙΣΚΕΥΗ ΣΧΟΛΕΙΩΝ 2013 ΑΡ.ΜΕΛ. 80/2013 Κ.Α. 30.7331.06 Ε Ι Δ Ι Κ Η Σ Υ Γ Γ Ρ Α Φ Η Υ Π Ο Χ Ρ Ε Ω Σ Ε Ω Ν ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το 20 ο Πρακτικό της συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής του ήµου ράµας Την 26-8-2013

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το 20 ο Πρακτικό της συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής του ήµου ράµας Την 26-8-2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ ΡΑΜΑΣ Αριθ.Αποφ 244/2013 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το 20 ο Πρακτικό της συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής του ήµου ράµας Την 26-8-2013 ΘΕΜΑ 5 ο : Έγκριση εκτάκτων δαπανών που πληρώνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: 6Ψ8Μ9-ΩΙΕ. ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Βαθμός Ασφαλείας : Να διατηρηθεί μέχρι : Μαρούσι, 24-06-2014 Αρ. Πρωτ. 97654/Δ2

ΑΔΑ: 6Ψ8Μ9-ΩΙΕ. ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Βαθμός Ασφαλείας : Να διατηρηθεί μέχρι : Μαρούσι, 24-06-2014 Αρ. Πρωτ. 97654/Δ2 ΑΔΑ: 6Ψ8Μ9-ΩΙΕ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ --- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ & ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Cretavoice Ε Π Ε Τ Ε Ι Α Κ Ο Τ Ε Υ Χ Ο Σ Η Φ Ω Ν Η Τ Η Σ Κ Ρ Η Τ Η Σ. Τ Ε Υ Χ Ο Σ Ν ο 1 2 - Σ Ε Π Τ Ε Μ Β Ρ Ι Ο Σ 2 0 1 3. σ ε λ.

Cretavoice Ε Π Ε Τ Ε Ι Α Κ Ο Τ Ε Υ Χ Ο Σ Η Φ Ω Ν Η Τ Η Σ Κ Ρ Η Τ Η Σ. Τ Ε Υ Χ Ο Σ Ν ο 1 2 - Σ Ε Π Τ Ε Μ Β Ρ Ι Ο Σ 2 0 1 3. σ ε λ. Cretavoice Η Φ Ω Ν Η Τ Η Σ Κ Ρ Η Τ Η Σ Τ Ε Υ Χ Ο Σ Ν ο 1 2 - Σ Ε Π Τ Ε Μ Β Ρ Ι Ο Σ 2 0 1 3 σ ε λ. 1 3-2 0 Ε Π Ε Τ Ε Ι Α Κ Ο Τ Ε Υ Χ Ο Σ 2 4 ω ρ η o n - l i n e ε ν η µ έ ρ ω σ η Ν ο µ ο ύ Χ α ν ί ω ν Σεπτέµβριος

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι υπερβολή µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( Ε Ε ) = 2γ, πρέπει

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι υπερβολή µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( Ε Ε ) = 2γ, πρέπει 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε υπερολή µε εστίες τ σηµεί Ε κι Ε το εωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιµή της διφοράς των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Παπαδημητρίου

Κωνσταντίνος Παπαδημητρίου Κωνσταντίνος Παπαδημητρίου Αντιπρόεδρος Ενωσης αποφοίτων ΕΣΔΔ ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΤΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ (1975-2012) Ν.51/1975 «Δια προεδρικών διαταγμάτων εξ άπαξ εκδιδομένων εντός έτους θα συνταχθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθ. Πρωτ. 319 Κοµοτηνή 05/08/2015

Αριθ. Πρωτ. 319 Κοµοτηνή 05/08/2015 ΕΝΩΣΗ ΚΑΛΑΘΟΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΕΙΩΝ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ (Ε.ΚΑ.Σ.Α.ΜΑ.Θ.) ΒΕΝΙΖΕΛΟΥ 44 69100 ΚΟΜΟΤΗΝΗ ΤΗΛ. 2531035766 FAX 2531027466 Site: http://www.ekasamath.gr http://www.εκασαµαθ.gr e-mail: info@ekasamath.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ε. Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2014

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ε. Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2014 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ε Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2014 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 273 2. Ανακοινώνεται ότι τη συνεδρίαση παρακολουθούν µαθητές από το Γενικό Λύκειο Βαθέος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ Π Ρ Ο Κ Η Ρ Υ Ξ Η (Αριθμός 5Κ/2015) Πλήρωσης με σειρά προτεραιότητας Εξακοσίων Ενενήντα (690) θέσεων τακτικού προσωπικού Τεχνολογικής και Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

Μέλι, ένας θησαυρός υγείας και δύναμης

Μέλι, ένας θησαυρός υγείας και δύναμης W Μέλι, ένας θησαυρός υγείας και δύναμης 2012-2013 Ε Ρ Ε Υ Ν Η Τ Ι Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Α Τ Α Ξ Η Σ 1 Ο Υ Γ Ε Ν Ι Κ Ο Υ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Π Α Τ Ρ Α Σ Ο Μ Α Δ Α Β Ε Π Ι Β Λ Ε Π Ο Υ Σ Α Κ Α Θ Η Γ Η Τ Ρ Ι Α : Μ

Διαβάστε περισσότερα

15PROC002704906 2015-04-14

15PROC002704906 2015-04-14 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Έδεσσα 14.04.2015 3 η ΥΓΕΙΟΝΟΜΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ Α.Π.: 3317 ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ ΠΕΛΛΑΣ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΑΚΗ ΜΟΝΑ Α Ε ΕΣΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ: ΚΟΥΠΕΛΟΓΛΟΥ Κ. Τηλ. 23813 50335,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ ΓΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΗΜΗ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ ΓΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΗΜΗ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΤΑΞΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΟΛΙΤΗ ΑΡΧΗΓΕΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΣΤΥΝΟΜΙΑΣ ΚΛΑΔΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΤΕΧΝΙΚΩΝ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ 2 ο ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ Π. Κανελλοπούλου

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α «Έγκριση σύναψης τροποποιηµένης προγραµµατικής σύµβασης (Γεωτεχνική έρευνα Ευστάθειας Βραχωδών Πρανών στο.. Καβάλας) µε το Ι.Γ.Μ.Ε.

Θ Ε Μ Α «Έγκριση σύναψης τροποποιηµένης προγραµµατικής σύµβασης (Γεωτεχνική έρευνα Ευστάθειας Βραχωδών Πρανών στο.. Καβάλας) µε το Ι.Γ.Μ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΚΑΒΑΛΑΣ ΗΜΟΣ ΚΑΒΑΛΑΣ ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό της µε αριθ. 31 ης /30 Οκτωβρίου 2008 Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Καβάλας Αριθ. Αποφάσεως 628/2008 Θ Ε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Υγιεινή & Ασφάλεια στην Εργασία - φ Α^ρισ/

Θέμα Υγιεινή & Ασφάλεια στην Εργασία - φ Α^ρισ/ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Καβαλας Σ χ ο λ ή Τ ε χ ν ο λ ο γ ι κ ώ ν Ε φ α ρ μ ο γ ώ ν Τ μ ή μ α Τ ε χ ν ο λ ο γ ία ς & Χ η μ ε ί α ς Π ε τ ρ ε λ α ί ο υ & Φ / ς ικ ο υ Α έ ρ ιο υ Π τ υ χ ι α κ ή

Διαβάστε περισσότερα

Προς κάθε ενδιαφερόµενο

Προς κάθε ενδιαφερόµενο ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΟΤΑ (Α.Α.Η. Α.Ε. ΟΤΑ) ------------------------------------------------------- Οδός Σ. Μουστακλή, Παγκρήτιο Στάδιο Τηλ: 2180 264560/2810215080 Ηράκλειο, 14-01-2014

Διαβάστε περισσότερα

Ι Ο Υ Ν Ι Ο Σ 2 0 1 3

Ι Ο Υ Ν Ι Ο Σ 2 0 1 3 Π Ε Ρ Ι Λ Η Ψ Η Π Ρ Ο Κ Η Ρ Υ Ξ Η Σ Π Ρ Ο Χ Ε Ι Ρ Ο Υ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Ο Υ Γ Ι Α Τ Η Ν Ε Κ Μ Ι Σ Θ Ω Σ Η Τ Ο Υ Δ Η Μ Ο Σ Ι Ο Υ Α Κ Ι Ν Η Τ Ο Υ Μ Ε Α Β Κ 6 0 9 Κ Ο Ι Ν Ο Τ Η Τ Α Σ Κ Ο Υ Τ Σ Ο Π Ο Δ Ι Ο

Διαβάστε περισσότερα

Ε Φ Υ Μ Ν Ι O N. Παρατίθενται γνώµες και απόψεις. σχετικές µε το έργο του Πρωτοψάλτη, οράρχη και κδότη βιβλίων. κκλησιαστικής ουσικής

Ε Φ Υ Μ Ν Ι O N. Παρατίθενται γνώµες και απόψεις. σχετικές µε το έργο του Πρωτοψάλτη, οράρχη και κδότη βιβλίων. κκλησιαστικής ουσικής 1 Ε Φ Υ Μ Ν Ι O N Παρατίθενται γνώµες και απόψεις σχετικές µε το έργο του Πρωτοψάλτη, οράρχη και κδότη βιβλίων κκλησιαστικής ουσικής Φ ώ τ η Θ ε ο δ ω ρ α κ ό π ο υ λ ο υ Εκδοτικός Οίκος «Μυρίπνοον» 2

Διαβάστε περισσότερα

=========================

========================= ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΝΟΜΟΣ ΣΕΡΡΩΝ ΗΜΟΣ ΣΕΡΡΩΝ /ΝΣΗ /ΚΟΥ-ΟΙΚΟΝ/ΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΥΠΟΣΤ. ΣΥΛΛΟΓΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Ο 2 ο έτους 2015 ========================= Οικονοµικής Επιτροπής ήµου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ Ο ΥΦΥΠΟΥΡΓΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ

ΑΠΟΦΑΣΗ Ο ΥΦΥΠΟΥΡΓΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ Γ Ε Ν Ι Κ Η Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ε Ι Α Ε Π Ε Ν Δ Υ Σ Ε Ω Ν & Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ ΓΕΝΙΚΗ Δ/ΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΗ ΑΡΧΗ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. ΗΜΟΣ ΙΟΝΥΣΟΥ Οικονοµική Επιτροπή Ταχ. /νση: Λ. Μαραθώνος 29 & Αθ. ιάκου 01 Άγιος Στέφανος..Αριθ. Απόφασης:..240/2015..

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. ΗΜΟΣ ΙΟΝΥΣΟΥ Οικονοµική Επιτροπή Ταχ. /νση: Λ. Μαραθώνος 29 & Αθ. ιάκου 01 Άγιος Στέφανος..Αριθ. Απόφασης:..240/2015.. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ:..13η/2015.. ΗΜΟΣ ΙΟΝΥΣΟΥ της 31ης-7-2015 Οικονοµική Επιτροπή Ταχ. /νση: Λ. Μαραθώνος 29 & Αθ. ιάκου 01 Άγιος Στέφανος..Αριθ. Απόφασης:..240/2015.. ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗ αριθ. 78/2013 ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΥΓΡΩΝ ΚΑΥΣΙΜΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΥ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΕΤΟΥΣ 2013

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗ αριθ. 78/2013 ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΥΓΡΩΝ ΚΑΥΣΙΜΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΥ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΕΤΟΥΣ 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΡΟ ΟΠΗΣ ΗΜΟΣ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ:ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ, ΥΛΙΚΩΝ ΕΞΟΠΛΙΣΜΩΝ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Ταχ. /νση: Πλ. Γ.Βιζυηνού 1, Κοµοτηνή Πληροφορίες: Σεραφείµ Μαρία Τηλ.:2531352448

Διαβάστε περισσότερα

16PROC003604511 2016-01-05

16PROC003604511 2016-01-05 16PROC003604511 2016-01-05 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΑΘΗΝΑΙΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΘΗΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΩΝ Κ. ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ 9, 1 ος ΌΡΟΦΟΣ Τ.Κ. 104 35, ΑΘΗΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Ε Γ Γ Ρ Α Φ Ε Σ Π Ρ Ο Σ Φ Ο Ρ Ε Σ Κ Α Ι Δ Υ Ν Α Τ Ο Τ Η Τ Α Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Β Ε Λ Τ Ι Ω Σ Η Σ Μ Α Ϊ Ο Σ 2 0 1 5

Μ Ε Ε Γ Γ Ρ Α Φ Ε Σ Π Ρ Ο Σ Φ Ο Ρ Ε Σ Κ Α Ι Δ Υ Ν Α Τ Ο Τ Η Τ Α Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Β Ε Λ Τ Ι Ω Σ Η Σ Μ Α Ϊ Ο Σ 2 0 1 5 Π Ρ Ο Κ Η Ρ Υ Ξ Η Α Ν Ο Ι Κ Τ Ο Υ Π Λ Ε Ι Ο Δ Ο Τ Ι Κ Ο Υ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Ο Υ Γ Ι Α Τ Η Ν Ε Κ Μ Ι Σ Θ Ω Σ Η Ο Ι Κ Ο Π Ε Δ Ο Υ Σ Τ Η Ν Δ Ρ Α Μ Α ( Τ Ω Ν Μ Ε α / α 1 4 2 4 0 κ α ι 1 4 2 4 1 Α Ν Τ Α Λ Λ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ Σελίδα 1 από 100 Σελίδα 2 από 100 Υπεύθυνη Δήλωση Δηλώνω υπεύθυνα και εν γνώσει των συνεπειών του νόμου ότι το παραδοτέο με τίτλο «Μελέτη Διάγνωσης των Αναγκών της Αγοράς Εργασίας στην Πελοπόννησο» αποτελεί

Διαβάστε περισσότερα

Πριν α ό την έναρξη της συνεδρίασης ο Πρόεδρος δια ίστωσε ότι α ό τα εννέα (9) µέλη της Οικονοµικής Ε ιτρο ής ήταν:

Πριν α ό την έναρξη της συνεδρίασης ο Πρόεδρος δια ίστωσε ότι α ό τα εννέα (9) µέλη της Οικονοµικής Ε ιτρο ής ήταν: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ ΛΑΜΙΕΩΝ Α Α 7ΝΠΡΩΛΚ-9Ρ3 Α όσ ασµα α ό το ρακτικό της 34 ης συνεδρίασης της Οικονοµικής Ε ιτρο ής. ΑΡΙΘΜ. ΑΠΟΦ. : 462 /2015 Θ Ε Μ Α : «Χαρακτηρισµός θέµατος, µη συµ εριλαµβανοµένου

Διαβάστε περισσότερα

ιακήρυξη Ανοικτού διεθνούς διαγωνισµού για την ανάθεση υλοποίησης του έργου:

ιακήρυξη Ανοικτού διεθνούς διαγωνισµού για την ανάθεση υλοποίησης του έργου: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΟΣ ΓΕΝΙΚΗ /ΝΣΗ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ - ΚΤΗΝΙΑΤΡΙΚΗΣ /ΝΣΗ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ - ΚΤΗΝΙΑΤΡΙΚΗΣ Περιφερειακής Ενότητας Αιτωλοακαρνανίας. ΤΜΗΜΑ Ταχ. /νση Πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

25η Μαρτίου. ιπλoγιορτή για την Ελλάδα. Πηνελόπη Μωραΐτου Μαρία Μωραΐτου. Με αυτοκόλλητα. Πέγκυ Φούρκα. Εικονογράφηση:

25η Μαρτίου. ιπλoγιορτή για την Ελλάδα. Πηνελόπη Μωραΐτου Μαρία Μωραΐτου. Με αυτοκόλλητα. Πέγκυ Φούρκα. Εικονογράφηση: Πηνελόπη Μωραΐτου Μαρία Μωραΐτου 25η Μαρτίου ιπλoγιορτή για την Ελλάδα Με αυτοκόλλητα Εικονογράφηση: Πέγκυ Φούρκα Πηνελόπη Μωραΐτου - Μαρία Μωραΐτου 25η ΜΑΡΤΙΟΥ- ΙΠΛΟΓΙΟΡΤΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΛΛΑ Α Εικονογράφηση:

Διαβάστε περισσότερα

ΚέντροΠεριβαλλοντικήςΕκπαίδευσης Σουφλίου. Πρόγραμμα: Διαχείρισηαπορριμμάτων-Ανακύκλωση

ΚέντροΠεριβαλλοντικήςΕκπαίδευσης Σουφλίου. Πρόγραμμα: Διαχείρισηαπορριμμάτων-Ανακύκλωση ΚέντροΠεριβαλλοντικήςΕκπαίδευσης Σουφλίου Πρόγραμμα: Διαχείρισηαπορριμμάτων-Ανακύκλωση ΕΚΔΟΣΗ Κ.Π.Ε. ΣΟΥΦΛΙΟΥ ΜΑΡΤΙΟΣ 2009 ΚΕΝΤΡΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΟΥΦΛΙΟΥ Πρόγραμμα: «Διαχείριση Απορριμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩN ΤΜΗΜΑ ΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2009 ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΣΤ Τρίτη 23 Ιουνίου 2009

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩN ΤΜΗΜΑ ΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2009 ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΣΤ Τρίτη 23 Ιουνίου 2009 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩN ΤΜΗΜΑ ΙΑΚΟΠΗΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΘΕΡΟΥΣ 2009 ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΣΤ Τρίτη 23 Ιουνίου 2009 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 445 2. Ανακοινώνεται η συνεδρίαση ιαρκούς Επιτροπής,

Διαβάστε περισσότερα