Μαθηματικά και τοιχεία τατιστικής Γ Λυκείου

Transcript

1 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός Μαθηματικά και τοιχεία τατιστικής Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίας Αποδείξεις

2 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός Ερωτήσεις Θεωρίας Διαφορικός Λογισμός Σι οομάζουμε συάρτηση; υάρτηση είαι μια διαδικασία με τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β Σι οομάζεται πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; Οομάζεται μια συάρτηση της οποίας το σύολο Α είαι υποσύολο του συόλου R τω πραγματικώ αριθμώ, εώ το Β συμπίπτει με το R 3 Σι λέγεται τιμή μιας συάρτησης στο ; Ο αριθμός y στο οποίο ατιστοιχίζεται ο A 4 Έστω μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α Σι οομάζεται εξαρτημέη και τι αεξάρτητη μεταβλητή της ; Σο γράμμα, που συμβολίζει οποιοδήποτε στοιχείο του Α, οομάζεται αεξάρτητη μεταβλητή, εώ το y, που παριστάει τη τιμή της συάρτησης στο και εξαρτάται από τη τιμή του, λέγεται εξαρτημέη μεταβλητή 5 Α δύο συαρτήσεις, g ορίζοται και οι δύο σε έα σύολο Α, τότε πως ορίζοται οι συαρτήσεις άθροισμα, διαφορά γιόμεο και πηλίκο; Α δύο συαρτήσεις, g ορίζοται και οι δύο σε έα σύολο Α, τότε ορίζοται και οι συαρτήσεις: Σο άθροισμα Η διαφορά Σο γιόμεο Σο πηλίκο S g, με S g, A D g, με D g, A P g, με P g, A R, με g και R, όπου A g και 6 Σι οομάζουμε γραφική παράσταση ή καμπύλη μιας συάρτησης ; g

3 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός Γραφική παράσταση ή καμπύλη της σε έα καρτεσιαό σύστημα συτεταγμέω Oy λέγεται το σύολο τω σημείω M, για όλα τα A 7 Πότε έα σημείο M, y του επιπέδου τω αξόω αήκει στη καμπύλη της ; Έα σημείο M, y του επιπέδου τω αξόω αήκει στη καμπύλη της, μόο ότα 8 Σι λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της συάρτησης ; y Η εξίσωση y επαληθεύεται μόο από τα ζεύγη, y που είαι συτεταγμέες σημείω της γραφικής παράστασης της 9 Πότε μια συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; και πότε γησίως φθίουσα; Μια συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, ότα για οποιαδήποτε σημεία για οποιαδήποτε σημεία με ισχύει, και γησίως φθίουσα στο Δ, ότα, με ισχύει, Πότε μια συάρτηση οομάζεται γησίως μοότοη; Μια συάρτηση που είαι γησίως αύξουσα ή γησίως φθίουσα λέγεται γησίως μοότοη Σι οομάζεται περιοχή του ; Κάθε αοιχτό διάστημα που περιέχει το Πότε μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο σε έα σημείο A και πότε τοπικό ελάχιστο σε έα σημείο A Μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει: Σοπικό μέγιστο στο τοπικό ελάχιστο στο A, ότα για κάθε σε μια περιοχή του, και A, ότα για κάθε σε μια περιοχή του 3 Μπορεί έα τοπικό μέγιστο α είαι μεγαλύτερο από έα τοπικό ελάχιστο; Έα τοπικό ελάχιστο μπορεί α είαι μεγαλύτερο από έα τοπικό μέγιστο 4 Σι οομάζουμε ακρότατα συάρτησης; Σα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συάρτησης, τοπικά ή ολικά 5 Να γράψετε τις ιδιότητες ορίω και πότε ισχύου αυτές; Α οι συαρτήσεις και g έχου στο όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή α lm και lm g όπου και πραγματικοί αριθμοί, τότε:

4 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ lm g lm k k lm g ttp://matkanavsblogspotcom 6 Πότε μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συεχής; Μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συεχής, α για κάθε 7 Ποιες συεχείς συαρτήσεις γωρίζετε; Καάβης Χρήστος Μαθηματικός lm lm g lm A ισχύει lm Οι πολυωυμικές, τριγωομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές, αλλά και όσες προκύπτου από πράξεις μεταξύ αυτώ είαι συεχείς συαρτήσεις Έτσι ισχύει για παράδειγμα lm και lm ότα lm, 8 Πότε μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα σημείο του πεδίου ορισμού της; Α το όριο lm παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της Σο όριο 9 Σι οομάζουμε παράγωγο της στο ; lm lm υπάρχει και είαι πραγματικός αριθμός, τότε λέμε ότι η είαι οομάζεται παράγωγος της στο Είαι λοιπό: Σι οομάζεται ρυθμός μεταβολής του y = ως προς το, ότα Η παράγωγος της στο Σι εκφράζει η παράγωγος της στο Δώστε μερικά παραδείγματα ; Η παράγωγος της στο εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y ως προς το, ότα Παραδείγματα: Ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της καμπύλης που είαι η γραφική παράσταση μιας συάρτησης στο σημείο, θα είαι, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της ως προς ότα Η ταχύτητα εός κιητού που κιείται ευθύγραμμα και η θέση του στο άξοα κίησής του εκφράζεται από τη συάρτηση t θα είαι τη χροική στιγμή ρυθμός μεταβολής της t ως προς t ότα t t t, υ t t Τπάρχου συαρτήσεις οι οποίες δε έχου παράγωγο σε έα σημείο; Δώστε παράδειγμα, δηλαδή ο

5 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός Τπάρχου και συαρτήσεις οι οποίες δε έχου παράγωγο σε έα σημείο Όπως είαι, για παράδειγμα, η συάρτηση στο Διότι ότα, έχουμε εώ ότα, έχουμε lm lm lm lm lm, που σημαίει ότι δε υπάρχει το 3 Σι οομάζουμε πρώτη παράγωγο μιας συάρτησης με πεδίο ορισμού το Α; Έστω μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, και Β το σύολο τω παραγωγίσιμη Σότε ορίζεται μια έα συάρτηση, με τη οποία κάθε lm συμβολίζεται με A στα οποία η είαι B ατιστοιχίζεται στο Η συάρτηση αυτή λέγεται πρώτη παράγωγος της και 4 Σι οομάζουμε δεύτερη παράγωγο της συάρτησης ; Η παράγωγος της συάρτησης λέγεται δεύτερη παράγωγος της και συμβολίζεται με 5 Σι γωρίζετε για τη ταχύτητα και τη επιτάχυση εός κιητού που κιείται ευθυγράμμως είαι t τη χροική στιγμή t; A η τετμημέη εός κιητού που κιείται ευθυγράμμως είαι t τη χροική στιγμή t, τότε η ταχύτητά του θα είαι vt t Α η συάρτηση v είαι παραγωγίσιμη, τότε η επιτάχυση του κιητού τη χροική στιγμή t θα είαι η παράγωγος της ταχύτητας, δηλαδή θα ισχύει α t υ t ή ισοδύαμα α t t 6 Γράψτε τις παραγώγους τω βασικώ συαρτήσεω και τους καόες παραγώγισης, c, φυσικός ρ ρ ρ, ρ ρητός ημ σσ σσ ημ e e c c g g g g g g g g g g g g n,

6 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ Καάβης Χρήστος Μαθηματικός ttp://matkanavsblogspotcom 7 Α μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ και ισχύει για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε τι συμπεραίουμε για τη μοοτοία της συάρτησης H συάρτηση είαι γησίως αύξουσα στο Δ 8 Α μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ και ισχύει για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε τι συμπεραίουμε για τη μοοτοία της συάρτησης H συάρτηση είαι γησίως φθίουσα στο Δ 9 Α για μια συάρτηση ισχύου για α,, β στο α, και στο, β, τότε τι συμπεραίουμε για τα ακρότατα της στο, β H συάρτηση παρουσιάζει στο διάστημα α, β για μέγιστο 3 Α για μια συάρτηση ισχύου για α,, β α ; στο α, και στο, β, τότε τι συμπεραίουμε για τα ακρότατα της στο, β H συάρτηση παρουσιάζει στο διάστημα α, β για ελάχιστο α ;

7 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός Ερωτήσεις Θεωρίας τατιστική 3 Σι οομάζουμε πληθυσμό; Έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους λέγεται πληθυσμός 3 Σι οομάζουμε μοάδες ή άτομα πληθυσμού; Σα στοιχεία του πληθυσμού συχά ααφέροται και ως μοάδες ή άτομα του πληθυσμού 33 Σι οομάζουμε μεταβλητές στη στατιστική; Σα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έα πληθυσμό λέγοται μεταβλητές και τις συμβολίζουμε συήθως με τα κεφαλαία γράμματα X, Y, Z, B, 34 Σι οομάζουμε τιμές μεταβλητής; Οι δυατές τιμές που μπορεί α πάρει μια μεταβλητή λέγοται τιμές της μεταβλητής 35 Σι οομάζουμε παρατηρήσεις ή στατιστικά δεδομέα; Οι παρατηρήσεις είαι διαφορετικές μεταξύ τους; Από τη διαδοχική εξέταση τω ατόμω του πληθυσμού ως προς έα χαρακτηριστικό τους προκύπτει μια σειρά από δεδομέα, που λέγοται στατιστικά δεδομέα ή παρατηρήσεις Σα στατιστικά δεδομέα δε είαι κατ αάγκη διαφορετικά 36 ε ποιες κατηγορίες διακρίοται οι μεταβλητές; Να δώσετε μερικά παραδείγματα σε κάθε κατηγορία Σις μεταβλητές τις διακρίουμε: ε ποιοτικές ή κατηγορικές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές τους δε είαι αριθμοί Σέτοιες είαι, για παράδειγμα, η ομάδα αίματος με τιμές Α, Β, ΑΒ, Ο, το φύλο με τιμές αγόρι, κορίτσι, οι συέπειες του καπίσματος με τιμές καρδιακά οσήματα, καρκίος κτλ, όπως επίσης και η

8 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ Καάβης Χρήστος Μαθηματικός ttp://matkanavsblogspotcom οικοομική κατάσταση και η υγεία τω αθρώπω που μπορεί α χαρακτηριστεί ως κακή, μέτρια, καλή ή πολύ καλή, καθώς και το εδιαφέρο τω μαθητώ για τη τατιστική, που μπορεί α χαρακτηριστεί ως υψηλό, μέτριο, χαμηλό ή μηδαμιό ε ποσοτικές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές είαι αριθμοί και διακρίοται: ε διακριτές μεταβλητές, που παίρου μόο μεμοωμέες τιμές Σέτοιες μεταβλητές είαι, για παράδειγμα, ο αριθμός τω υπαλλήλω μιας επιχείρησης με τιμές,,, το αποτέλεσμα της ρίψης εός ζαριού με τιμές,,,6 κτλ ε συεχείς μεταβλητές, που μπορού α πάρου αποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματικώ αριθμώ α, β Σέτοιες μεταβλητές είαι το ύψος και το βάρος τω μαθητώ της Γ Λυκείου, ο χρόος που χρειάζοται οι μαθητές α απατήσου στα θέματα μιας εξέτασης, η διάρκεια μιας τηλεφωικής συδιάλεξης κτλ 37 Σι οομάζεται απογραφή; Έας τρόπος για α πάρουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για κάποιο πληθυσμό είαι α εξετάσουμε όλα τα άτομα στοιχεία του πληθυσμού ως προς το χαρακτηριστικό που μας εδιαφέρει Η μέθοδος αυτή συλλογής τω δεδομέω καλείται απογραφή 38 Σι οομάζουμε δείγμα; Μια μικρή ομάδα ή υποσύολο του πληθυσμού, καλείται δείγμα 39 Όσο πιο μεγάλο είαι έα δείγμα τόσο πιο ατιπροσωπευτικό είαι; Όχι Μία προσεκτική επιλογή μικρότερου δείγματος είαι δυατό α δώσει καλύτερα αποτελέσματα από έα μεγαλύτερο δείγμα που δε έχει εκλεγεί κατάλληλα 4 ε ποιες κατηγορίες διακρίοται οι στατιστικοί πίακες; Και τι γωρίζετε για αυτές; Οι πίακες διακρίοται στους: α γεικούς πίακες, οι οποίοι περιέχου όλες τις πληροφορίες που προκύπτου από μία στατιστική έρευα συήθως με αρκετά λεπτομερειακά στοιχεία και αποτελού πηγές στατιστικώ πληροφοριώ στη διάθεση τω επιστημόω-ερευητώ για παραπέρα αάλυση και εξαγωγή συμπερασμάτω, β ειδικούς πίακες, οι οποίοι είαι συοπτικοί και σαφείς Σα στοιχεία τους συήθως έχου ληφθεί από τους γεικούς πίακες

9 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ ttp://matkanavsblogspotcom 4 Σι πρέπει α περιέχει έας πίακας που έχει κατασκευαστεί σωστά; Κάθε πίακας που έχει κατασκευαστεί σωστά πρέπει α περιέχει: Καάβης Χρήστος Μαθηματικός α το τίτλο, που γράφεται στο επάω μέρος του πίακα και δηλώει με σαφήεια και συοπτικά το περιεχόμεο του πίακα, β τις επικεφαλίδες τω γραμμώ και στηλώ, που δείχου συοπτικά τη φύση και τις μοάδες μέτρησης τω δεδομέω, γ το κύριο σώμα κορμό, που περιέχει διαχωρισμέα μέσα στις γραμμές και στις στήλες τα στατιστικά δεδομέα, δ τη πηγή, που γράφεται στο κάτω μέρος του πίακα και δείχει τη προέλευση τω στατιστικώ στοιχείω, έτσι ώστε ο ααγώστης α αατρέχει σ αυτή, ότα επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείω ή για λήψη περισσότερω πληροφοριώ 4 Ας υποθέσουμε ότι,,, κ είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους v, άθροισμα όλω τω συχοτήτω; Ας υποθέσουμε ότι μεγέθους v,,, κ Σι οομάζεται συχότητα της τιμής Με τι ισούται το, κ είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος κ τη τιμή που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή ατιστοιχίζεται η απόλυτη συχότητα, δηλαδή ο φυσικός αριθμός της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω Είαι φαερό ότι το άθροισμα όλω τω συχοτήτω είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή: 43 Σι οομάζετε σχετική συχότητα της τιμής Α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχότητα τιμής, δηλαδή, κ ;,,,, κ 44 Ποιες ιδιότητες γωρίζετε για τη σχετική συχότητα; Για τη σχετική συχότητα ισχύου οι ιδιότητες: για,,, κ κ v της

10 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός 45 Σι εκφράζου οι αθροιστικές συχότητες N και τι οι σχετικές αθροιστικές συχότητες τιμής ; τη περίπτωση τω ποσοτικώ μεταβλητώ εκτός από τις συχότητες συήθως και οι λεγόμεες αθροιστικές συχότητες και F της χρησιμοποιούται N και οι αθροιστικές σχετικές συχότητες F, οι οποίες εκφράζου το πλήθος και το ποσοστό ατίστοιχα τω παρατηρήσεω που είαι μικρότερες ή ίσες της τιμής 46 Α οι τιμές,,, κ μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είαι σε αύξουσα διάταξη με τι ισούται Α οι τιμές αθροιστική συχότητα της τιμής,, συχότητα της τιμής F και με τι η αθροιστική σχετική συχότητα;, κ μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική είαι, για,,, κ N Όμοια, η αθροιστική σχετική συχότητα είαι 47 Ποιες σχέσεις συδέου τις αθροιστικές συχότητες N με τις συχότητες αθροιστικές σχετικές συχότητες Ισχύου οι σχέσεις: N, N N,, κ N κ Nκ F με τις σχετικές συχότητες και, 48 Πότε χρησιμοποιείται το ραβδόγραμμα; F ; και ποιες τις F F,, κ Fκ Fκ Σο ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτικής μεταβλητής 49 Πότε χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχοτήτω; τη περίπτωση που έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή ατί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχοτήτω 5 Σι οομάζουμε πολύγωο συχοτήτω ή πολύγωο σχετικώ συχοτήτω και τι μας δίου αυτά; Εώοτας τα σημεία ή, έχουμε το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω ή πολύγωο σχετικώ συχοτήτω, ατίστοιχα, που μας δίου μια γεική ιδέα για τη μεταβολή της συχότητας ή της σχετικής συχότητας όσο μεγαλώει η τιμή της μεταβλητής που εξετάζουμε 5 Πότε χρησιμοποιούμε κυκλικό διάγραμμα; Σο κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο τω ποιοτικώ όσο και τω ποσοτικώ δεδομέω, ότα οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είαι σχετικά λίγες

11 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ 5 Σι είαι κυκλικό διάγραμμα; ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός Σο κυκλικό διάγραμμα είαι έας κυκλικός δίσκος χωρισμέος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή,ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες συχότητες τω τιμώ της μεταβλητής 53 Πως υπολογίζουμε το ατίστοιχο τόξο α εός κυκλικού τμήματος Α συμβολίσουμε με τότε α o ή τις σχετικές α το ατίστοιχο τόξο εός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω, o για,,, κ 54 Σι είαι το χροόγραμμα ή χροολογικό διάγραμμα; Είαι το διάγραμμα μίας μεταβλητής που οι τιμές που παίρει είαι χροικές στιγμές 55 Πότε κάουμε ομαδοποίηση τω δεδομέω; Αυτό μπορεί α συμβεί είτε στη περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής είτε, πολύ περισσότερο, στη περίπτωση μιας συεχούς μεταβλητής, όπου αυτή μπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα ορισμού της 56 Σι οομάζουμε κλάσεις; Οι κλάσεις είαι διαστήματα της μορφής [α,β στα οποία ταξιομούται ομαδοποιούται τα δεδομέα 57 Σι οομάζουμε όρια κλάσεω; Σα άκρα τω κλάσεω καλούται όρια τω κλάσεω Δηλαδή τα άκρα α, β τω διαστημάτω [α,β 58 Σι οομάζεται πλάτος κλάσης; Πλάτος μιας κλάσης οομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το αώτερο όριο της κλάσης Δηλαδή ο αριθμός β-α 59 Σι οομάζουμε κετρική τιμή κλάσης; Είαι το κέτρο της κλάσης δηλαδή το 6 Σι είαι το ιστόγραμμα συχοτήτω; Πως κατασκευάζεται; Ιστόγραμμα συχοτήτω είαι η γραφική παράσταση εός πίακα συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα Κατασκευάζεται ως εξής: το οριζότιο άξοα εός συστήματος ορθογωίω αξόω σημειώουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια τω κλάσεω τη συέχεια, σχηματίζουμε διαδοχικά

12 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ Καάβης Χρήστος Μαθηματικός ttp://matkanavsblogspotcom ορθογώια ιστούς, από καθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α ισούται με τη συχότητα της κλάσης αυτής 6 Πως κατασκευάζετε το πολύγωο συχοτήτω και πως το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω; Με τι ισούται το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω και το οριζότιο άξοα και με τι το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω και το οριζότιο άξοα ; Α στα ιστογράμματα συχοτήτω θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στη αρχή και στο τέλος, με συχότητα μηδέ και στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, σχηματίζεται το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω Σο εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω και το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω συχοτήτω, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος Όμοια το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω με εμβαδό ίσο με 6 Ποιες χαρακτηριστικές καταομές συχοτήτω γωρίζετε; Ότα οι παρατηρήσεις καταέμοται ομοιόμορφα σε έα διάστημα [α, β], όπως στη καταομή α, η καταομή λέγεται ομοιόμορφη Ότα οι παρατηρήσεις δε είαι συμμετρικά καταεμημέες, η καταομή λέγεται ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία όπως στη καταομή γ ή αρητική ασυμμετρία όπως στη καταομή δ Η καταομή β λέγεται καοική καταομή και έχει κωοειδή μορφή α β γ δ 63 Σι οομάζουμε μέτρα θέσης και τι μέτρα διασποράς; Για α ορίσουμε δηλαδή κάποια μέτρα αριθμητικά μεγέθη, που α μας δίου α τη θέση του κέτρου τω παρατηρήσεω στο οριζότιο άξοα και β τη διασπορά τω παρατηρήσεω, δηλαδή πόσο αυτές εκτείοται γύρω από το κέτρο τους Σα πρώτα τα καλούμε μέτρα θέσης της καταομής, εώ τα δεύτερα μέτρα διασποράς ή μέτρα μεταβλητότητας 64 Σι οομάζουμε μέτρα ασυμμετρίας; Ο προσδιορισμός κάποιω άλλω μέτρω, που καθορίζου τη μορφή της καταομής κατά πόσο δηλαδή η ατίστοιχη καμπύλη συχοτήτω είαι συμμετρική ή όχι ως προς τη ευθεία, για δεδομέο σημείο

13 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ του άξοα ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός Σα μέτρα αυτά, που συήθως εκφράζοται σε συάρτηση με τα μέτρα θέσης και διασποράς, καλούται μέτρα ασυμμετρίας 65 Ποια είαι τα πιο συηθισμέα μέτρα θέσης; Ο αριθμητικός μέσος ή μέση τιμή, η διάμεσος και η κορυφή ή επικρατούσα τιμή 66 Πως ορίζεται η μέση τιμή εός συόλου παρατηρήσεω; Η μέση τιμή εός συόλου παρατηρήσεω ορίζεται ως το άθροισμα τω παρατηρήσεω διά του πλήθους τω παρατηρήσεω Δηλαδή t t t t 67 Να γράψετε τους τύπους υπολογισμού της μέσης τιμής Ότα σε έα δείγμα μεγέθους οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είαι συμβολίζεται με και δίεται από τη σχέση: συχοτήτω, α,, t t t t t,, t t, t tv, τότε η μέση τιμή, κ είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχότητες v, v,, vκ κ μέση τιμή ορίζεται ισοδύαμα από τη σχέση: Η παραπάω σχέση ισοδύαμα γράφεται: ε μια καταομή ατίστοιχα, η κ κ κ κ κ κ κ όπου 68 Πως υπολογίζουμε το σταθμισμέο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο Εά σε κάθε τιμή,, συτελεστές στάθμισης βαρύτητας οι σχετικές συχότητες, δώσουμε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται με τους λεγόμεους w,,, w w, τότε ο σταθμικός μέσος βρίσκεται από το τύπο: w w w w w w 69 Σι οομάζεται διάμεσος δ εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; Διάμεσος δ εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος ημιάθροισμα τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός w 7 Ποιο μέτρο θέσης επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις η μέση τιμή ή η διάμεσος w

14 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός Η μέση τιμή επηρεάζεται εώ η διάμεσος δε επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις ηματική παρατήρηση Η διάμεσος είαι η τιμή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα μέρη ότα οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθού με σειρά τάξης μεγέθους Ακριβέστερα, η διάμεσος είαι η τιμή για τη οποία το πολύ 5% τω παρατηρήσεω είαι μικρότερες από αυτή και το πολύ 5% τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή 7 Σο οομάζοται μέτρα διασποράς; Ποια είαι τα σπουδαιότερα; Παράλληλα λοιπό με τα μέτρα θέσης κρίεται απαραίτητη και η εξέταση κάποιω μέτρω διασποράς ή μεταβλητότητας, δηλαδή μέτρω που εκφράζου τις αποκλίσεις τω τιμώ μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα κετρικής τάσης Σέτοια μέτρα λέγοται μέτρα διασποράς Σα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς είαι το εύρος, η εδοτεταρτημοριακή απόκλιση, η διακύμαση και η τυπική απόκλιση 7 Σι οομάζετε εύρος ή κύμαση; Σο απλούστερο από τα μέτρα διασποράς είαι το εύρος ή κύμαση R, που ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή: Εύρος 73 Σο εύρος είαι αξιόπιστο μέτρο διασποράς; R Μεγαλύτερη παρατήρηση-μικρότερη παρατήρηση Σο εύρος είαι έα αρκετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύκολα δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις 74 Πως ορίζεται η διακύμαση ή διασπορά τω παρατηρήσεω t, t,, tv μιας μεταβλητής Χ Ορίζεται ως ο μέσος όρος τω τετραγώω τω αποκλίσεω τω t από τη μέση τιμή τους Σο μέτρο διασποράς αυτό καλείται διακύμαση ή διασπορά και ορίζεται από τη σχέση s 75 Πως ορίζεται η διακύμαση σε πίακα συχοτήτω ή ομαδοποιημέα δεδομέα t Ότα έχουμε πίακα συχοτήτω ή ομαδοποιημέα δεδομέα, η διακύμαση ορίζεται από τη σχέση: s κ ατίστοιχες συχότητες όπου,,,,, κ 76 Σι οομάζεται τυπική απόκλιση;, κ οι τιμές της μεταβλητής ή τα κέτρα τω κλάσεω με

15 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός H θετική τετραγωική ρίζα της διακύμασης, λέγεται τυπική απόκλιση, συμβολίζεται με s και δίεται από τη σχέση: s s 77 Με τι εκφράζετε η τυπική απόκλιση; Εκφράζεται με τη ίδια μοάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού 78 Σι γωρίζετε για τη καοική καταομή; A η καμπύλη συχοτήτω για το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε είαι καοική ή περίπου καοική, τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες: το 68% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστημα s, s το 95% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστημα s, s το 99,7% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστημα 3s, 3s v το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R 6s 79 Πως ορίζεται ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας Ορίζεται από το λόγο: Α η μέση τιμή τότε τσπική απόκλιση CV % μέση τιμή s CV 8 Πότε έα δείγμα είαι ομοιογεές s % Γεικά δεχόμαστε ότι έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής θα είαι ομοιογεές, εά ο συτελεστής μεταβολής δε ξεπερά το % Δηλαδή CV % 8 Πως συγκρίεται η ομοιογέεια δύο δειγμάτω Α, Β; υγκρίουμε τους συτελεστές μεταβολής τω Α, Β Μεγαλύτερη ομοιογέεια έχει εκείο το δείγμα με μικρότερο συτελεστή μεταβολή s 3s s s s s 3s 68% 95% 99,7% s

16 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός Ερωτήσεις Θεωρίας Πιθαότητες 8 Ποιο πείραμα οομάζουμε αιτιοκρατικό; Κάθε πείραμα κατά το οποίο η γώση τω συθηκώ κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα 83 Σι οομάζουμε πείραμα τύχης; Δώστε μερικά παραδείγματα Οομάζουμε τα πειράματα τω οποίω δε μπορούμε εκ τω προτέρω α προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολοότι επααλαμβάοται φαιομεικά τουλάχιστο κάτω από τις ίδιες συθήκες Μερικά πειράματα τύχης είαι τα εξής: Ρίχεται έα όμισμα και καταγράφεται η άω όψη του Ρίχεται έα ζάρι και καταγράφεται η έδειξη της άω έδρας του 3 Διαλέγεται αυθαίρετα μια οικογέεια με δύο παιδιά και εξετάζεται ως προς το φύλο τω παιδιώ και τη σειρά γέησής τους 4 Ρίχεται έα όμισμα ώσπου α φέρουμε γράμματα αλλά όχι περισσότερο από τρεις φορές 5 Επιλέγεται τυχαία μια τηλεφωική συδιάλεξη και καταγράφεται η διάρκειά της 6 Γίεται η κλήρωση του ΛΟΣΣΟ και καταγράφεται το αποτέλεσμα 7 Ση παραμοή του Πάσχα, στις 5 μμ, μετράται το μήκος της ουράς τω αυτοκιήτω στα πρώτα διόδια της Εθικής οδού Αθηώ-Λαμίας 8 Επιλέγεται τυχαία μια μέρα της εβδομάδος και μετράται ο αριθμός τω τηλεθεατώ που παρακολούθησα το απογευματιό δελτίο ειδήσεω στη ΕΣ 9 Επιλέγεται τυχαία μια ραδιεεργός πηγή και καταγράφεται ο αριθμός τω εκπεμπόμεω σωματιδίω σε συγκεκριμέο χροικό διάστημα

17 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ Καάβης Χρήστος Μαθηματικός ttp://matkanavsblogspotcom 84 Σι οομάζεται δειγματικός χώρος και πως συμβολίζεται; Όλα τα αποτελέσματα που μπορού α εμφαιστού σε έα πείραμα τύχης λέγοται δυατά αποτελέσματα ή δυατές περιπτώσεις του πειράματος Σο σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται συήθως με το γράμμα Ω Α δηλαδή ω,,, ω ωκ είαι τα δυατά αποτελέσματα εός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είαι το σύολο: ω, ω,, ω } Ω { κ 85 Σι οομάζεται εδεχόμεο ή γεγοός; Σο σύολο που έχει ως στοιχεία έα ή περισσότερα αποτελέσματα εός πειράματος τύχης λέγεται εδεχόμεο ή γεγοός 86 Σι οομάζεται απλό και τι σύθετο εδεχόμεο; Έα εδεχόμεο λέγεται απλό ότα έχει έα μόο στοιχείο και σύθετο α έχει περισσότερα στοιχεία 87 Πότε λέμε ότι έα εδεχόμεο πραγματοποιείται ή συμβαίει; Σι οομάζουμε ευοϊκές περιπτώσεις για τη πραγματοποίηση εός εδεχομέου; Ότα το αποτέλεσμα εός πειράματος, σε μια συγκεκριμέη εκτέλεσή του είαι στοιχείο εός εδεχομέου, τότε λέμε ότι το εδεχόμεο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίει Γι αυτό τα στοιχεία εός εδεχομέου λέγοται και ευοϊκές περιπτώσεις για τη πραγματοποίησή του 88 Σι οομάζουμε βέβαιο και τι αδύατο εδεχόμεο; Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος θεωρείται ότι είαι εδεχόμεο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάτοτε, αφού όποιο και α είαι το αποτέλεσμα του πειράματος θα αήκει στο Ω Γι αυτό το Ω λέγεται βέβαιο εδεχόμεο Δεχόμαστε ακόμα ως εδεχόμεο και το κεό σύολο που δε πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης Γι αυτό λέμε ότι το είαι το αδύατο εδεχόμεο 89 Α Α έα εδεχόμεο τι συμβολίζουμε με ΝΑ Με τι ισούται το πλήθος τω στοιχείω του αδύατου εδεχομέου; υμβολίζουμε το πλήθος τω στοιχείω του εδεχομέου Α Είαι } N 9 Πότε πραγματοποιείται το εδεχόμεο ; Να παραστήσετε το σε έα διάγραμμα του Venn

18 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ Σο εδεχόμεο ttp://matkanavsblogspotcom A B, που διαβάζεται Α τομή Β ή Α και Β και πραγματοποιείται, ότα πραγματοποιούται συγχρόως τα Α και Β Καάβης Χρήστος Μαθηματικός 9 Πότε πραγματοποιείται το εδεχόμεο ; Να παραστήσετε το σε έα διάγραμμα του Venn Σο εδεχόμεο A B, που διαβάζεται Α έωση Β ή Α ή Β και πραγματοποιείται, ότα πραγματοποιείται έα τουλάχιστο από τα Α, Β 9 Πότε πραγματοποιείται το ατίθετο εδεχόμεο A του A ; Να παραστήσετε το A σε έα διάγραμμα του Venn; Σο εδεχόμεο A, που διαβάζεται όχι Α ή συμπληρωματικό του Α και πραγματοποιείται, ότα δε πραγματοποιείται το Α Σο A λέγεται και ατίθετο του Α 93 Πότε πραγματοποιείται η διαφορά A Bτου B από το A ; Να παραστήσετε το A B σε έα διάγραμμα του Venn Σο εδεχόμεο A B, που διαβάζεται διαφορά του Β από το Α και πραγματοποιείται, ότα πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β Είαι εύκολο α δούμε ότι ηματική παρατήρηση A B A B Σο εδεχόμεο Α πραγματοποιείται Σο εδεχόμεο Α δε πραγματοποιείται Έα τουλάχιστο από τα Α και Β πραγματοποιείται ω A ω A ή A ω A B ω

19 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ ttp://matkanavsblogspotcom Πραγματοποιούται αμφότερα τα Α και Β Δε πραγματοποιείται καέα από τα Α και Β Πραγματοποιείται μόο το Α Η πραγματοποίηση του Α συεπάγεται τη πραγματοποίηση του Β Καάβης Χρήστος Μαθηματικός ω A B ω A B ω A B ή ω A B A B 94 Πότε δύο εδεχόμεα λέγοται ασυμβίβαστα ή ξέα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμεα Δύο εδεχόμεα Α και Β λέγοται ασυμβίβαστα, ότα A B 95 Δίοται δύο εδεχόμεα Α και Β εός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω Να παρασταθού με διαγράμματα Venn και α εκφραστού με τη βοήθεια συόλω τα εδεχόμεα που ορίζοται με τις εκφράσεις: Πραγματοποιείται μόο έα από τα Α και Β Δε πραγματοποιείται καέα από τα Α και Β Σο ζητούμεο εδεχόμεο είαι το A B B A ισοδύαμα το A B A B ή Σο ζητούμεο σύολο είαι συμπληρωματικό του δηλαδή το B A A B, 96 Να δώσετε το κλασικό ορισμό της πιθαότητας ε έα πείραμα σε ισοπίθαα εδεχόμεα ορίσουμε ως πιθαότητα του εδεχομέου Α το αριθμό: P A Πλήθος Εσοϊκώ Περιπτώσεω Πλήθος Δσατώ Περιπτώσεω 97 Να γράψετε τις συέπειες του κλασικού ορισμού της πιθαότητας Από το προηγούμεο ορισμό προκύπτει άμεσα ότι: N P N P N N A N Ω

20 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός 3 Για κάθε εδεχόμεο Α ισχύει P A, αφού το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχομέου είαι ίσο ή μικρότερο από το πλήθος τω στοιχείω του δειγματικού χώρου 4 Ισχύει πάτα ο κλασικός ορισμός της πιθαότητας; Για α μπορεί όμως α χρησιμοποιηθεί ο κλασικός ορισμός της πιθαότητας σε έα δειγματικό χώρο με πεπερασμέο πλήθος στοιχείω, είαι απαραίτητο τα απλά εδεχόμεα α είαι ισοπίθαα 98 Να δώσετε το αξιωματικό ορισμό της πιθαότητας Έστω ω, ω,, ω } έας δειγματικός χώρος με πεπερασμέο πλήθος στοιχείω ε κάθε απλό { εδεχόμεο { ω } ατιστοιχίζουμε έα πραγματικό αριθμό, που το συμβολίζουμε με P ω, έτσι ώστε α ισχύου: P ω P ω P ω P ω Σο αριθμό P ω οομάζουμε πιθαότητα του εδεχομέου ω } Ως πιθαότητα P A εός εδεχομέου A α, α,, α } ορίζουμε το άθροισμα P α P α P α { κ πιθαότητα του αδύατου εδεχομέου ορίζουμε το αριθμό Α { κ P 99 Πως προκύπτει ο κλασικός ορισμός από το αξιωματικό ορισμό; P ω,,,, v v ηματική παρατήρηση, τότε έχουμε το κλασικό ορισμό της πιθαότητας εός εδεχομέου, εώ ως Ότα έχουμε έα δειγματικό χώρο ω, ω,, ω } και χρησιμοποιούμε τη φράση παίρουμε { τυχαία έα στοιχείο του Ω, εοούμε ότι όλα τα δυατά αποτελέσματα είαι ισοπίθαα με πιθαότητα P ω,,,, v v Επομέως χρησιμοποιούμε το κλασικό ορισμό της πιθαότητας Να γράψετε τους καόες λογισμού τω πιθαοτήτω Απλός προσθετικός όμος Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους εδεχόμεα Α και Β ισχύει: P A B P A P B Προσθετικός όμος Για δύο εδεχόμεα Α και Β εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:

21 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ Καάβης Χρήστος Μαθηματικός ttp://matkanavsblogspotcom P A B P A P B P A B ηματική παρατήρηση A τα εδεχόμεα Α, Β και Γ είαι αά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε P A B Γ P A P B P Γ Για δύο συμπληρωματικά εδεχόμεα Α και A ισχύει: P A P A Για δύο εδεχόμεα Α και Β εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Α A B, τότε P A P B Για δύο εδεχόμεα Α και Β εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P A B P A P A B P B A P B P A B

22 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ Καάβης Χρήστος Μαθηματικός ttp://matkanavsblogspotcom Αποδείξεις Απόδειξη ελ 8 χολικό Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συάρτησης c ισούται με μηδέ δηλαδή c Έχουμε c c και για,, οπότε lm Άρα c Απόδειξη ελ 8 χολικό Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συάρτησης ισούται με μοάδα δηλαδή Έχουμε, και για, Επομέως lm lm Άρα Απόδειξη 3 ελ 8-9 χολικό Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης ισούται δηλαδή Έστω η συάρτηση Έχουμε, και για, Επομέως, lm lm Άρα Απόδειξη 4 ελ 9 χολικό Να αποδείξετε ότι:, 3 3

23 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ Καάβης Χρήστος Μαθηματικός ttp://matkanavsblogspotcom Απόδειξη 5 ελ 3 χολικό Να αποδείξετε ότι, c c c R Έστω η συάρτηση c F Έχουμε, c c c F F, και για c c F F Επομέως, lm lm c c F F Άρα c c Απόδειξη 6 ελ 3 χολικό Να αποδείξετε ότι g g Έστω η συάρτηση g F Έχουμε, g g F F g g, και για, g g F F Επομέως, lm lm lm g g g F F Άρα g g Απόδειξη 7 ελ 65 χολικό Να αποδείξετε ότι για τη σχετική ιδιότητα ισχύου οι ιδιότητες, για κ,,, αφού κ Αφού θα είαι άρα για κ,,, Είαι κ κ κ

24 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ Απόδειξη 8 ελ 93 χολικό Έστω t t,,, ttp://matkanavsblogspotcom Καάβης Χρήστος Μαθηματικός t οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής X εός δείγματος μεγέθους, που έχου μέση τιμή χηματίζουμε τις διαφορές t, t,, t Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος τω διαφορώ αυτώ είαι ίσος με μηδέ Είαι, Ο αριθμός όμως αυτός είαι ίσος με μηδέ, αφού, t t tv t t v Απόδειξη 9 ελ 5 χολικό t t t t v v v t v v v v v Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους εδεχόμεα Α και Β ισχύει P A B P A P B Α N A κ και N B λ, τότε το A B έχει κ λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήτα ασυμβίβαστα Δηλαδή, έχουμε N A B κ λ N A N B Επομέως: N A B P A B N N A N B N N A N B N N P A P B Η ιδιότητα αυτή είαι γωστή ως απλός προσθετικός όμος Απόδειξη ελ 5-5 χολικό Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά εδεχόμεα Α και A ισχύει P A P A Επειδή A A, δηλαδή τα Α και A είαι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχικά, σύμφωα με το απλό προσθετικό όμο: P A A P A P A

25 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ Καάβης Χρήστος Μαθηματικός P P A P A P A P A Οπότε, P A P A Απόδειξη ελ 5 χολικό ttp://matkanavsblogspotcom Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε εδεχόμεα Α και Β εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει P A B P A P B P A B Για δυο εδεχόμεα Α και Β έχουμε N A B N A N B N A B, αφού στο άθροισμα N A N B το πλήθος τω στοιχείω του A B υπολογίζεται δυο φορές Α διαιρέσουμε τα μέλη της με N έχουμε: N A B N N A N B N A B N N N και επομέως, P A B P A P B P A B Η ιδιότητα αυτή είαι γωστή ως προσθετικός όμος addtve law Απόδειξη ελ 3 χολικό Να αποδείξετε α A B, τότε P A P B Επειδή A B έχουμε διαδοχικά: P A P B Απόδειξη 3 ελ 5 χολικό N A N B N A N B N N Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε εδεχόμεα Α και Β εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει P A B P A P A B

26 Παλαιοπωλείο Μαθηματικώ Επειδή τα εδεχόμεα A B A B A, έχουμε: ttp://matkanavsblogspotcom A B και A B είαι ασυμβίβαστα και P A P A B P A B Άρα P A B P A P A B Καάβης Χρήστος Μαθηματικός Επιμέλεια για εκπαιδευτικούς σκοπούς Πηγή: χολικό Βιβλίο ΟΕΔΒ Μαθηματικώ Κατεύθυσης Γ λυκείου