ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Περιληψη. Παρακάτω ακολουθεί αναφορά και επίλυση επιλεγμένων ασκήσεων κυρίως από τα συγγράμματα[4],[2],[1] προς βοήθεια φοιτητών τμήματος Μαθηματικών Σάμου με κατεύθυνση Στατιστικής και Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών για το μάθημα του Γ εξαμήνου ΧΡΗΜΑ- ΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι καθώς και για το μάθημα του Α εξαμήνου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Για γραφική απεικόνιση αποτελεσμάτων χρησιμοποιούμε το περιβάλλον Maple 11. Περιεχομενα Κατάλογος Σχημάτων 2 Κατάλογος Πινάκων 3 1. Επιτόκιο 3 2. Τιμολόγηση συμβολαίων βάσει θεωρίας μη κερδοσκοπίας ΔιωνυμικόΜοντέλο ΘεωρίαΩφελιμότητας ΘεωρίαΧαρτοφυλακίου 42 Αναφορές 43 Καταλογος Σχηματων 1 Θέσεις του Επενδυτή 11 2 Θέση του Σ Ησυνάρτηση (S T K) + ωςπρος Kμεσταθερό S T = Ησυνάρτηση (S T K 1 ) + C(K 2,T)+C(K 1,T) (S T K 2 ) + για C(K 1,T) = 40,C(K 2,T) = Ησυνάρτηση (S T K 1 ) + C(K 2,T)+C(K 1,T) (S T K 2 ) + για C(K 1,T) = 30,C(K 2,T) = Ησυνάρτηση (S T K 1 ) + C(K 2,T)+C(K 1,T) (S T K 2 ) + για C(K 1,T) = 20,C(K 2,T) = Μία κυρτή συνάρτηση f Μία κοίλη συνάρτηση f Εφικτές επιλογές καταναλωτή Άσκησης Εφικτές επιλογές καταναλωτή Άσκησης Συνάρτησηωφελιμότητας u(c 1,C 2 ) = min{c 1,C 2 }τηςάσκησης Συνάρτηση προτίμησης της Άσκησης Συνάρτηση u(w) = lnw Συνάρτηση u(w) = w γ,γιαδιάφορα γ Συνάρτηση u(w) = e rw,γιαδιάφορα r. 39 Ημερομηνία 7 Δεκεμβρίου

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3 Καταλογος Πινακων 1 Οι τρεις Επενδύσεις της Άσκησης Οι δύο Επενδύσεις της Άσκησης Οι δύο Επενδύσεις της Άσκησης Συμβολισμοί Επιτοκιο Άσκηση 1.1.[4, Ασκ. 4.1] Ποιο το ετήσιο επιτόκιο όταν το ονομαστικό επιτόκιο είναι 10% και ο ανατοκισμός γίνεται (α) Ανά εξάμηνο; (β) Ανά τρίμηνο; (γ) Συνεχώς; ΛύσηΆσκησης1.1.Ησχέσηπουσυνδέειτοπραγματικόεπιτόκιο r eff μετοονομαστικόεπιτόκιο r στην περίπτωση ανατοκισμού k φορές το έτος είναι η παρακάτω ( (1.1) r eff = 1+ k) r k 1. (α) Οτανοανατοκισμόςείναιεξαμηνιαίος,τότεεφαρμόζονταςτη(1.1)γιαk = 2καιr = 0.1 παίρνουμε r eff = (β) Οτανοανατοκισμόςείναιτριμηνιαίος,τότεεφαρμόζονταςτη(1.1)για k = 4και r = 0.1 παίρνουμε r eff = (γ) Στην περίπτωση του συνεχούς ανατοκισμού η(1.1) παίρνει τη μορφή (1.2) r eff = e r 1, συνεπώςμετάαπόέναέτοςέχουμε r eff = e 0,1 1 = Άσκηση 1.2.[4, Ασκ. 4.2] Εστω ότι καταθέτετε κεφάλαιο P σε τράπεζα που πληρώνει ονομαστικό επιτόκιο 10%. Πότε θα διπλασιαστεί το κεφάλαιο στην περίπτωση συνεχούς ανατοκισμού; Λύση Άσκησης 1.2. Το κεφάλαιο P μετά από n έτη, στην περίπτωση συνεχούς ανατοκισμού, γίνεται Pe rn,επομένωςηστιγμή nγιατηνοποίατοκεφάλαιοδιπλασιάζεταιπροσδιορίζεταιαπό την εξίσωση, Pe rn = 2P n = ln2 r = Ποιος ο χρόνος διπλασιασμού, στην περίπτωση ετήσιου ανατοκισμού, ανατοκισμού ανά εξάμηνο, ανά τρίμηνο; Άσκηση 1.3. Εκφράστε τον αριθμό των ετών που χρειάζονται για να k πλασιαστεί το αρχικό κεφάλαιο σας, αν τοκίζεται με επιτόκιο r και ετήσιο ανατοκισμό; 1 Είναιλογικήηαπάντησητουερωτήματος(β)μετηναντίστοιχητου(α);

4 4 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Λύση Άσκησης 1.3. Το αρχικό κεφάλαιο P μετά από n έτη, στην περίπτωση ετήσιου ανατοκισμού,γίνεται P(1 + r) n,επομένωςηστιγμή nγιατηνοποίατοκεφάλαιο k πλασιάζεται προσδιορίζεται από την εξίσωση, P(1+r) n = kp lnk n = ln(1+r). Άσκηση1.4.[4,Ασκ.4.5]Τιποσόπρέπειναεπενδύετεστηναρχήκάθεμήναώστεναέχετε A = 10,000 μετάαπό 5έτη,αντοετήσιοονομαστικόεπιτόκιοείναισταθερόκαιίσομε 6% και ο ανατοκισμός μηνιαίος; ΛύσηΆσκησης1.4. Εστωότιεπενδύουμεκάθεφορά P.Τοποσό P στηναρχήτουπρώτου μήναθααξίζει P(1 + r 12 )60,στοτέλοςτων 60μηνών. Τοποσό P στηναρχήτουδεύτερου μήναθααξίζει P(1 + r 12 )59,μετάαπό 59μήνες. Προχωρώνταςμεαυτόντοντρόπο,τοποσό Pστηναρχήτου 59 ουμήναθααξίζει P(1+ r 12 )2,στοτέλοςτηςπενταετίαςκαιτοποσό P στηναρχήτου 60 ουμήναθααξίζει P(1+ r )στοτέλοςτηςπενταετίας.επομένωςέχουμε 12 P(1+ r 12 )60 +P(1+ r 12 ) P(1+ r 12 ) = A απόόπουυπολογίζουμετο P. 2 P 60 k=1 (1+ r 12 )k = A P(1+ r r 12 )(1+ 1+ r 1 = A 12 P 12 r (1+ r ( 12 ) (1+ r ) 12 )60 1 = A 12 )60 1 P = A r 12 (1+ r 12 ) 1 ( (1+ r 12 )60 1 Άσκηση 1.5.[4, Ασκ. 4.6] Οι ετήσιες ταμειακές ροές μίας επένδυσης είναι a 1 = 1000,a 2 = 1200,a 3 = 800,a 4 = 900,a 5 = 800. ) 1, Αν κάποιος μπορεί να δανεισθεί ή να αποταμιεύσει χρήματα με ετήσιο επιτόκιο 6% αξίζει να κάνει την επένδυση; ΛύσηΆσκησης1.5.Ηταμειακήροή a = (a 1,a 2,...,a n )μπορείναεξομοιωθείμε (1.3) PV = n (1+r) i a i, i=1 στην περίπτωση n ταμειακών ροών, όπου r το ετήσιο επιτόκιο. Κάνοντας τους υπολογισμούς καταλήγουμεότι PV = < 0επομένωςδεναξίζειηεπένδυση. 2 Συγκρίνετετοαποτέλεσμα,κάνονταςτώρατηνπροσέγγιση (1+ r 12 )60 = 1+5r.Τιπαρατηρείτε;

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 5 Άσκηση 1.6.[4, Παρ. 4.2β, Ασκ. 4.10,4.11] Εταιρεία χρειάζεται μηχανή συγκεκριμένου τύπουγιαταεπόμενα 5έτη. Προςτοπαρόνδιαθέτειμίατέτοιαμηχανήπουαξίζει $6,000 αλλάχάνει $2,000απότηναξίατηςσεκάθεένααπόταεπόμενα 3έτη,μετάταοποίαείναι μηδενικής αξίας και άχρηστη. Η αρχική αξία του λειτουργικού της κόστους είναι $9, 000, ποσό που αναμένεται να αυξάνεται κατά $2, 000 σε κάθε επόμενο έτος που θα χρησιμοποιείται. Μία νέαμηχανήμπορείνααγοραστείστηναρχήκάθεέτουςστοσταθερόκόστοςτων $22,000με διάρκειαζωής 6έτηκαιμεαξίαηοποίαμειώνεταικατά $3,000σεκαθένααπόταδύοπρώτα έτηχρήσηςτηςκαικατά $4,000σεκαθένααπόταεπόμεναέτη. Τολειτουργικόκόστοςτης νέαςμηχανήςείναι $6,000τοπρώτοέτοςκαιαυξάνεταικατά $1,000σεκάθεεπόμενοέτος.Αν τοεπιτόκιοείναι 10%πότεθαπρέπειηεταιρείανααγοράσειτηνέαμηχανή; Πωςαλλάζειη απάντησησαςστηνπερίπτωσηόπουτοεπιτόκιοείναι 20%;Τιθασυμβείαντοκόστοςαγοράς νέαςμηχανήςδενείναισταθερόκαιίσομε $22,000αλλάεξαρτάταιαπότηστιγμήαγοράςκαι συγκεκριμέναστηναρχήτου i έτουςείναι $22,000+(i 1) 1000,i = 1,2,3,4; Το ομόλογο είναι ένα μέσο δανεισμού το οποίο αντιπροσωπεύει μία νομική υποχρέωση του εκδότη του να πληρώσει στον κάτοχο του μία σειρά μελλοντικών πληρωμών που καθορίζεται από το ποσοστό τοκομεριδίου c και την ονομαστική αξία F η οποία καταβάλλεται την ημερομηνία λήξης του ομολόγου. Στο τέλος κάθε μελλοντικής περιόδου ο εκδότης- δανειζόμενος πληρώνει cf στον κάτοχο-δανειστή. Το ομόλογο μετά από N περιόδους λήγει με μία τελευταία πληρωμή τοκομεριδίου και μία ταυτόχρονη πληρωμή εξόφλησης C. Συνήθως C = F. Οι επενδυτές(κάτοχοι ομολόγου) απαιτούν μία πραγματική απόδοση i ανά περίοδο. Αν P V η παρούσα αξίατωνμελλοντικώνταμειακώνροώνπουπληρώνεταιστονκάτοχοτουομολόγουτότε 3, (1.4) PV = cf 1 (1+r eff) N r eff +C(1+r eff ) N. Άσκηση 1.7.[4, Ασκ. 4.8] Ενα ομόλογο διάρκειας 5 ετών, ονομαστικής αξίας 10, 000, με ποσοστότοκομεριδίου 10%, 4 κοστίζει 10,000 καιπληρώνειστονκάτοχοτου 500,κάθεέξι μήνες, για 5 έτη, με μία επιπρόσθετη τελική πληρωμή 10, 000, στο τέλος της πενταετίας. Ποιαηπαρούσααξίατουομολόγουαντοεπιτόκιοείναι (α) 6% (β) 10% (γ) 12% καιοανατοκισμόςμηνιαίος; 5 ΛύσηΆσκησης1.7.Εφαρμόζουμετην(1.4),για c = 10%/2 = 5%,F = C = 10,000,N = 5. Τονίζουμε, ότι το ισοδύναμο επιτόκιο στην περίπτωση μηνιαίου ανατοκισμού προσδιορίζεται απότησχέση (1+r eff ) = (1+ r 12 )12. Ετσιόταν r = 0.06παίρνουμε PV = 33,276.50,για r = 0.1παίρνουμε PV = 29, καιγια r = 0.12παίρνουμε PV = 27, Άσκηση 1.8. [4, Ασκ. 4.25] Ενα ομόλογο μηδενικού τοκομεριδίου, ονομαστικής αξίας 1,000 πληρώνειστονκάτοχοτουτοποσόαυτόμετάαπό 10έτη. Ποιαηπαρούσααξίατου ομολόγου αν το επιτόκιο είναι 8% και έχουμε συνεχή ανατοκισμό; Πως μεταβάλλεται η παρούσα αξία του ομολόγου στην περίπτωση όπου ο ανατοκισμός γίνεται κάθε 4 μήνες και το(ετήσιο) επιτόκιο παραμένει 8%; 3 Χρησιμοποιήσαμεότιτοάθροισματων nπρώτωνόρωνγεωμετρικήςπροόδουείναι N i=1 bi = b bn 1 4 Τοποσοστό(επιτόκιο)τοκομεριδίουαναφέρεταιστοέτος. 5 Είναιλογικήηαπάντησητουερωτήματος(β)και(γ)μετηναντίστοιχητου(α); b 1.

6 6 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΛύσηΆσκησης1.8.Εφαρμόζουμετην(1.4),για c = 0,F = C = 1000,N = 10και 1+r eff = e 0.08 στηνπρώτηπερίπτωση, (1+r eff ) = (1+ r 3 )3 στηνδεύτερη.υπολογίζουμετιςπαρούσες αξίεςσεκάθεπερίπτωσηκαικαταλήγουμε PV 1 = ,PV 2 = Είναιλογικότο συμπέρασμα; Άσκηση 1.9.[4, Ασκ. 4.13] Εχετε τη δυνατότητα να εξοφλήσετε δάνειο είτε πληρώνοντας 16,000 τώραείτε 10,000 τώρακαιάλλα 10,000 μετάαπόδέκαέτη. Ποιοςτρόπος αποπληρωμής είναι προτιμότερος αν το ονομαστικό συνεχώς ανατοκιζόμενο επιτόκιο είναι (α) 2%; (β) 5%; (γ) 10%; ΛύσηΆσκησης1.9.Οπρώτοςτρόποςπληρωμήςέχειπαρούσααξία PV 1 = 16,000 ενώο δεύτεροςτρόπος PV 2 = 10,000+10,000e 10r με rδιαφορετικόανάπερίπτωση.συγκρίνουμε παρούσες αξίες και προτιμούμε τη μικρότερη. Άσκηση 1.10.[4, Ασκ. 4.14] Ενα κρατικό ομόλογο ΗΠΑ(πωλείται(τιμάται) με αξία στο άρτιο $1000)τοοποίοωριμάζειστοτέλος 5ετών,έχειποσοστότοκομεριδίου 6%μετησειρά μελλοντικών πληρωμών να γίνεται ανά εξάμηνο και τελευταία πληρωμή εξόφλησης $1000. Βρείτε την παρούσα αξία του ομολόγου υποθέτοντας συνεχή ανατοκισμό και επιτόκιο 5%. ΛύσηΆσκησης1.10.Εφαρμόζουμετην(1.4),για c = 6%/2 = 3%,F = C = 1,000,N = 5 και 1+r eff = e Άσκηση1.11.[4,Ασκ.4.15]Εξηγείστεγιατίη( n )n είναιαύξουσασυνάρτησητου n για n = 1,2,... ΛύσηΆσκησης1.11.Η a n = ( n )n,n = 1,2,...περιγράφειτοκεφάλαιοπουπροκύπτει μετά από ανατοκισμό n φορές το χρόνο, με ονομαστικό επιτόκιο 5%, όταν η αρχική κατάθεση είναι μία μονάδα. Με σταθερό επιτόκιο, όσες περισσότερες φορές τοκίζεται το κεφάλαιο μέσα στοχρόνο,τόσομεγαλύτεροείναιτοτελικόκεφάλαιο,επομένωςη(a n )αύξουσαακολουθία του n. Εναςτρόπος 6 ναδείξουμετημονοτονίατης (a n )είναιχρησιμοποιώνταςτηνανισότητα Bernoulli.Συγκεκριμέναθαδείξουμεότιολόγος a n+1 a n είναιμεγαλύτεροςτηςμονάδας,επομένως 6 Εναςάλλοςτρόποςνααποδείξουμετημονοτονίατης (a n )είναιχρησιμοποιώνταςτηνανισότητα Cauchyγια τουςπαρακάτω n+1τοπλήθοςθετικούςαριθμούς 1,1+ 1 n,1+ 1 n,...,1+ 1 n.

7 η (a n )αύξουσαακολουθία. Εχουμεότι, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 7 a n+1 a n = = = = 0.05 (1+ n+1 )n+1 ( n )n ( n n ) n+1 ( n ) ( ) n 2 n n ( n+0.05 ) n n+0.05 n ( ) n ( n+0.05 ) (n+1)(n+0.05) n ( ) (n+1) (n+1)(n+0.05) ( n+0.05 ) = 1, n όπου στο τελευταίο βήμα εφαρμόσαμε τη ανισότητα Bernoulli, η οποία δηλώνει ότι για οποιοδήποτε x > 1έχουμεότι (1+x) n 1+nxγιαοποιοδήποτεφυσικό n. Άσκηση 1.12.[4, Ασκ. 4.16] Μία τράπεζα πληρώνει ονομαστικό επιτόκιο 6% με συνεχή ανατοκισμό. Καταθέτουμε 100. Πόσος τόκος έχει συσσωρευθεί μετά από (α) 30 ημέρες; (β) 60 ημέρες; (γ) 120 ημέρες; ΛύσηΆσκησης1.12.Οτόκοςοοποίοςέχεισυσσωρευθείμετάαπό Nέτη,ανηαρχικήκατάθεσηείναι P είναι Pe rn.εφαρμόζουμετηνπαραπάνωγια P = 100,r = 0.06και N = 1/12, 1/6, 1/3 αντίστοιχα. Άσκηση 1.13.[4, Ασκ. 4.17] Στην περίπτωση συνεχώς ανατοκιζόμενου επιτοκίου r, αν δανειστούμε 1,000 σήμερα 2,000 σεέναχρόνοκαι 3,000 σεδύοχρόνιααπόσήμερακαι αποπληρώσουμεόλααυτάταδάνειασετρίαχρόνιααπόσήμερα,ποιοθαείναιτοποσό; ΛύσηΆσκησης1.13.Τοποσόπουθαδώσουμεμετάαπό Nχρόνιαανδανειστούμεποσά a i στην αρχή του i έτους στην περίπτωση συνεχώς ανατοκιζόμενου επιτοκίου r, δίνεται από τη σχέση N V N,r = e (N i)r a i. i=1 Άσκηση 1.14.[4, Ασκ. 4.18] Με ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο 5% ποιο ποσό πρέπει να πληρώσουμεσήμεραώστεναλάβουμετησειράπληρωμών 7 3, 5, 6, 5 όπου η i πληρωμή θα ληφθεί i έτη από σήμερα; Λύση Άσκησης Χρησιμοποιείστε κατάλληλα τη σχέση(1.3). 7 Ηπληρωμή a 3 = 6έχειτηνέννοιαότιθαπληρώσουμε6σε3έτηαπότώρα.

8 8 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Άσκηση 1.15.[4, Ασκ. 4.19] Για ποιες τιμές του συνεχώς ανατοκιζόμενου επιτοκίου θα προτιμήσουμε τη χρηματοροή (20, 10) από την (0, 34); ΛύσηΆσκησης1.15.Γιαναεπιλέξουμετηχρηματοροή A = (20,10)θαπρέπειηπαρούσααξία των μελλοντικών πληρωμών της να είναι μεγαλύτερη από αυτή της χρηματοροής B = (0, 34). Επομένωςτοεπιτόκιο rτέτοιοώστε PV(A) > PV(B).Καταλήγουμεότι r > 18.2%. Άσκηση 1.16.[4, Ασκ. 4.20] Ποια η τιμή του συνεχώς ανατοκιζόμενου ονομαστικού επιτοκίου rανηπαρούσααξία 104μονάδωνμετάαπό 1έτοςείναιίδιαμετηνπαρούσααξία 110 μονάδωνμετάαπό 2έτη; Λύση Άσκησης Δημιουργούμε κατάλληλη εξίσωση για το r και καταλήγουμε ότι r = 5.6%. Άσκηση 1.17.[4, Ασκ. 4.21] Ποια η παρούσα αξία μιας ακολουθίας χρηματοροών η οποία πληρώνειποσό Aτιςστιγμές s,s+t,s+2t,...,αν rτοσυνεχώςανατοκιζόμενοεπιτόκιο; Λύση Άσκησης Εχουμε ότι PV = Ae rs +Ae r(s+t) +Ae r(s+2t) +... = Ae rs (1+e rt +e 2rt +...) = Ae rs e rtk k=0 = A e rs 1 e tk. Άσκηση1.18.[4,Ασκ.4.22] Εστω D(t)τοποσόπουέχουμεστολογαριασμόμαςτηστιγμή t αν καταθέσουμε αρχικά D(0) = D, όπου r το συνεχώς ανατοκιζόμενο επιτόκιο. (α)για hμικρόδείξτεότι D(t+h) D(t)+rhD(t). (β) Με χρήση του ερωτήματος(α) δείξτε ότι η D(t) ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση D (t) = rd(t). (γ)μεχρήσητουερωτήματος(β)συμπεράνετεότι D(t) = De rt. ΛύσηΆσκησης1.18.Γιατο(α)παρατηρούμεότι D(t+h) = e rh D(t) (1+rh)D(t),για h μικρό. Σύμφωναμεαυτήτησχέσηέχουμε D(t+h) D(t) = rd(t)καιγια h 0παίρνουμετο h (β). Τέλος επιλύουμε τη διαφορική εξίσωση που προέκυψε για το D(t) και καταλήγουμε στο (γ). Άσκηση 1.19.[4, Ασκ. 4.23] Θεωρείστε τις ακόλουθες χρηματοροές, όπου η i πληρωμή πραγματοποιείται μετά από i έτη, 100, 140, , 160, 120. Ποια η προτιμότερη, αν δε γνωρίζουμε το επιτόκιο; ΛύσηΆσκησης1.19.Γιατιςχρηματικέςροές A = (a 1,a 2,...a n )και B = (b 1,b 2,...b n )μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για το ποια είναι προτιμότερη με τους εξής τρόπους (α)αν a i b i γιακάθε i = 1,...,nτότεπροτιμούμετην A. (β)ανγιαταμερικάαθροίσματα A i = i j=1 a jκαι B i = i j=1 a jέχουμεότι A i B i για κάθε i = 1,...,nτότεπροτιμούμετην A.

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 9 (γ)ανγιαταμερικάαθροίσματατωνμερικώναθροισμάτωνa i,b i ισχύειησχέση k i=1 A i k i=1 B iγιακάθε k = 1,...,nκαι A n > B n τότεπροτιμούμετην A. Άσκηση 1.20.[4, Ασκ. 4.26] Βρείτε το ρυθμό απόδοσης επένδυσης με αρχική πληρωμή 100 ηοποίαδίνει 40 στοτέλοςτουπρώτουέτουςκαι 70 στοτέλοςτουδεύτερουέτους. Ποια η απόδοση αν αντιστραφεί η σειρά πληρωμών που λαμβάνουμε; ΛύσηΆσκησης1.20.Ορυθμόςαπόδοσης r μίαςεπένδυσηςδίνεταιαπότηνεξίσωση n (1.5) PV(r ) := a 0 + a i (1+r ) i = 0, i=1 για r > 1,όπου a 0 ηαρχικήπληρωμήκαι a i τοαποτέλεσματηςεπένδυσηςμετάαπό i έτη. Ενγένει,ηλύσητης(1.5)αλλάζειγιαδιαφορετικά a i. Άσκηση 1.21.[4,Ασκ. 4.27]Γιαμίααρχικήεπένδυση x 0 = 1ησειράμηαρνητικών πληρωμώνείναι x 1,x 2,...,x n,με x n > 0,όπου x i είναιτοποσόστοτέλοςτης i περιόδου. (α) Για να αποφασίσουμε αν ο ρυθμός απόδοσης είναι μεγαλύτερος του 10% ανά περίοδο, είναιαπαραίτητοναλύσουμετηνεξίσωση 1 = n i=1 x i(1+r) i ; (β)γιααρχικήεπένδυση 100οεπενδυτήςθαλάβει 8,16,110αντίστοιχαμετάαπόκάθε περίοδο. Είναι ο ρυθμός απόδοσης μεγαλύτερος του 11%; ΛύσηΆσκησης1.21.Ησυνάρτηση PV(r)όπωςδίνεταιαπότησχέση(1.5)στηνπερίπτωση πουεξετάζουμε,δηλαδήόταν x 0,x n > 0και x i 0, i = 1,...,n,είναιγνησίωςφθίνουσα συνάρτησηωςπρος r.παραπέρα PV(0) = x 0 + n i=1 x i. Οταν PV(0) > 0καιαπότη μονοτονίατης PV(r)συμπεραίνουμεότι r > 0,ενώστηνπερίπτωση PV(0) < 0καιαπότη μονοτονίατης PV(r)συμπεραίνουμεότι r < 0.Παραπέρα,αν PV(r) < 0συμπεραίνουμεότι r < rενώαν PV(r) > 0συμπεραίνουμεότι r > r. Ηποσότητα r(t) = 1 t t 0 r(s)ds, η οποία εκφράζει το μέσο όρο των στιγμιαίων επιτοκίων, ονομάζεται καμπύλη απόδοσης. Άσκηση 1.22.[4, Ασκ. 4.32] Δείξτε ότι αν η συνάρτηση r(t) είναι μη φθίνουσα συνάρτηση του tτότετοίδιοισχύεικαιγιατηνκαμπύληαπόδοσης r(t). Άσκηση 1.23.[4, Ασκ. 4.34] Δείξτε τις παρακάτω σχέσεις (α) r(t) = P (t) P(t), (β) r(t) = lnp(t) t. όπουηπαρούσααξία P(t) = e t 0 r(s)ds = e tr(t). Άσκηση1.24.[4,Ασκ. 4.33]Δείξτεότιηκαμπύληαπόδοσης r(t)είναιμηφθίνουσασυνάρτησητου tανκαιμόνοαν P(λt) (P(t)) λ,γιακάθε 0 λ 1, t 0.

10 10 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ 2. Τιμολογηση συμβολαιων βασει θεωριας μη κερδοσκοπιας Σεόσαακολουθούνσεαυτότοκεφάλαιοθαυποθέσουμεότιτοδικαίωμααγοράςήπώλησης ενός αγαθού(μίας μετοχής) είναι προς διαπραγμάτευση στην αγορά, χρησιμοποιώντας τη θεωρία μη κερδοσκοπίας και συγκεκριμένα θα βασιστούμε στη σχέση ισοτιμίας δικαιωμάτων πώλησης αγοράς C t +Ke r(t t) = S t +P t, όπου C t,p t ηαξία(πουδίνειηαγορά)τηστιγμή tενόςδικαιώματοςαγοράςκαιπώλησηςαντίστοιχαεπίμίαςμετοχήςηοποίααξίζει S t τηστιγμή t,kητιμήεξάσκησης, rτοεπιτόκιο κατάθεσης(δανεισμού) σε τράπεζα και T ο χρόνος εξάσκησης. Η αξία όμως των δικαιωμάτων αγοράςκαιπώλησης,ηοποίαείναιτέτοιαώστενακαλύπτειτονκάτοχοτουςμέχριτηστιγμή T σεκάθεπερίπτωση,είναιενγένειδιαφορετικήαπότιςπροηγούμενεςτιμές,έστω Ĉt, ˆP t. Βέβαιααποδεικνύεταιότιτα Ĉt, ˆP t συνδέονταικαιπάλιμετησχέσηισοτιμίαςδικαιωμάτων πώλησης αγοράς αλλά αυτή τη φορά δε χρησιμοποιούνται επιχειρήματα θεωρίας μη κερδοσκοπίας. Για περισσότερες πληροφορίες παραπέμπουμε τον ενδιαφερόμενο στις ηλεκτρονικές σημειώσεις[3]. Άσκηση 2.1.[2, Ερώτ ] Σε τι διαφέρει η θέση ενός αγοραστή προθεσμιακού συμβολαίου με προθεσμιακή τιμή 100 και η η θέση ενός αγοραστή δικαιώματος προαίρεσης αγοράς επί του ίδιου υποκείμενου στοιχείου, με τιμή εξάσκησης 100; ΛύσηΆσκησης2.1.Ηθέση Θ 1 τουαγοραστή(long)προθεσμιακούσυμβολαίου(forward)επί ενός υποκείμενου στοιχείου S, με προθεσμιακή τιμή K, τη στιγμή λήξης T, δίνεται από τη σχέση Θ 1 = S T K. Ηθέση Θ 2 τουαγοραστή(long)δικαιώματοςπροαίρεσηςαγοράς(call option)επίτουίδιου υποκείμενου στοιχείου S, με τιμή εξάσκησης K, τη στιγμή λήξης T, δίνεται από τη σχέση ΠαρατηρούμεαπότοΣχήμα1ότι Θ 2 Θ 1. Θ 2 = (S T K) + = max{s T K,0}. Άσκηση 2.2.[2, Ασκ ] Ο επενδυτής Σ αγοράζει ένα δικαίωμα προαίρεσης αγοράς επί μίας μετοχής, με τιμή εξάσκησης K και πουλάει την ίδια στιγμή ένα δικαίωμα προαίρεσης πώλησηςεπίτηςίδιαςμετοχής,μετηνίδιατιμήεξάσκησης.ποιαείναιηθέσητουεπενδυτή; ΛύσηΆσκησης2.2.Ηθέση Θ 1 τουσωςαγοραστήεπίτηςμετοχής S,μετιμήεξάσκησης K, τηστιγμήλήξης T,δίνεταιαπότησχέση Θ 1 = (S T K) + ενώηθέση Θ 2 τουσωςπωλητή (short)δικαιώματος προαίρεσης πώλησης(put) επί της ίδιας μετοχής S, με τιμή εξάσκησης K, τηστιγμήλήξης T,δίνεταιαπότησχέση Θ 2 = (K S T ) + = (S T K) = min{s T K,0}. ΕχουμεσύμφωνακαιμετοΣχήμα2ότι, Θ = Θ 1 +Θ 2 = (S T K) + +(S T K) = S T K. Επομένως η θέση Θ του επενδυτή Σ είναι όμοια με μία θέση αγοραστή προθεσμιακού συμβολαίου επίτηςμετοχής S,μεπροθεσμιακήτιμή K.

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ AXIA QESH S K20 Q S T K40 K60 Q 1 K80 Σχημα 1. Θέσεις του Επενδυτή Q 1 C Q 2 AXIA QESHS K20 Q 1 K S T K40 K60 Q 2 K80 Σχημα2.ΘέσητουΣ. Άσκηση2.3.[4,Ασκ.5.1]Αν C = C(K,T)ητιμήδικαιώματοςπροαίρεσηςαγοράςκάποιου τίτλου,με C = 10,K = 100,T = 2,βρείτετηνπαρούσααξίααυτήςτηςεπένδυσηςανητιμή τουτίτλουτηστιγμή 2είναι (α) 110 (β) 98 και έχουμε συνεχή ανατοκισμό με επιτόκιο 6%.

12 12 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Λύση Άσκησης 2.3. Η παρούσα αξία της επένδυσης δίνεται από τη σχέση όπου S 2 ητιμήτουτίτλουτηστιγμή 2. PV = C +(S 2 K) + e 2r, Άσκηση 2.4.[4,Ασκ. 5.2]Αν P = P(K,T)ητιμήδικαιώματοςπροαίρεσηςπώλησης κάποιουτίτλου,με P = 5,K = 100,T = 1/2,βρείτετηνπαρούσααξίααυτήςτηςεπένδυσηςαν ητιμήτουτίτλουτηστιγμή 1/2είναι (α) 102 (β) 98 και έχουμε μηνιαίο ανατοκισμό με ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο 6%. Λύση Άσκησης 2.4. Η παρούσα αξία της επένδυσης δίνεται από τη σχέση PV = P +(K S 1/2 ) + (1+ r 2, όπου S 1/2 ητιμήτουτίτλουτηστιγμή 1/2. ) Άσκηση2.5.[4,Ασκ.5.3] Εστωητιμήενόςτίτλου Sμετάαπόμίαπερίοδομπορείναπάρει μίααπότιςπαρακάτω mτιμές S 1,1,S 1,2,...,S 1,m.Πόσοκοστίζειέναδικαίωμααγοράςαυτού τουτίτλου,μελήξητηστιγμή 1καιτιμήάσκησης Kόταν K < min 1 j m S 1,j ; ΛύσηΆσκησης2.5.Γιακάθε jέχουμεότι (S 1,j K) + e r = (S 1,j K)e r = S 0 Ke r, η οποία δίνει την τιμή του δικαιώματος στην περίπτωση συνεχούς ανατοκισμού. Άσκηση2.6.[4,Ασκ.5.4]Αν C = C(K,T)ητιμήδικαιώματοςπροαίρεσηςαγοράςκάποιου τίτλουμετρέχουσατιμή S = S 0,δείξτεότι (2.1) C S. ΛύσηΆσκησης2.6. Εστωότιδενισχύειτοσυμπέρασμα,δηλαδή C > S.Τότετηστιγμή 0 πουλάμε ένα δικαίωμα προαίρεσης αγοράς του τίτλου, και εισπράττουμε C, με τα οποία αγοράζουμετοντίτλο,οοποίοςκοστίζει Sκαιμαςπερισσεύουνκαι C S > 0,ταοποίατακάνουμε ότιθέλουμε,καιέστωότιταβάζουμεστηντράπεζα. Τηστιγμήλήξηςτουσυμβολαίου T, υπάρχουνδύοενδεχόμενα. Αν S T K < 0,τότεοκάτοχοςτουδικαιώματος,δενασκείτο δικαίωματου(δεντονσυμφέρεινααγοράζειτοντίτλοσετιμήμεγαλύτερηαπό S T )επομένως μένουμετηστιγμή T μετοανατοκισμένοκεφάλαιομαςκαιτοντίτλο,δηλαδήσεαυτήντην περίπτωσηέχουμε 8 (C S)e rt +S T > 0. Αν S T K 0,τότεοκάτοχοςτουδικαιώματος,ασκείτοδικαίωματου(αγοράζειτοντίτλο στην τιμή K) επομένως τη στιγμή T πουλάμε τον τίτλο και λαμβάνουμε K έχοντας επιπλέον το ανατοκισμένο κεφάλαιο μας τη στιγμή T, δηλαδή έχουμε (C S)e rt +K > 0. Επομένως σε κάθε περίπτωση έχουμε θετικό κέρδος, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με τη θεωρία μη κερδοσκοπίας(no arbitrage), δηλαδή ισχύει C S. 8 Υποθέσαμεσυνεχήανατοκισμού,μεονομαστικόετήσιοεπιτόκιο r.

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 13 Άσκηση 2.7.[4,Ασκ. 5.5] Εστω C = C(K,T)ητιμήδικαιώματοςπροαίρεσηςαγοράς κάποιουτίτλουτηστιγμήtστηντιμήkκαιs = S 0,ητρέχουσατιμήτουτίτλου.Σεπερίπτωση συνεχούς ανατοκισμού, με ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο r δείξτε μία σχέση ανισότητας μεταξύ τωνόρων C,S,Ke rt. ΛύσηΆσκησης2.7.Τηστιγμή0πουλάμε(short) 9 έναντίτλοκαιεισπράττουμεs,απόταοποία καταθέτουμεστηντράπεζατα Ke rt γιαδιάστημα T.Μεότιπερισσέψειαγοράζουμεδικαίωμα προαίρεσης αγοράς του τίτλου δίνοντας C.Υποθέτουμε ότι S Ke rt C > 0, επομένωςτοπαραπάνωποσότοοποίομαςέχειμείνειτηστιγμή 0τοκάνουμεότιθέλουμε. Τη στιγμή λήξης του συμβολαίου T, συμβαίνουν τα παρακάτω. Αρχικά, εισπράττουμε από την τράπεζα Ke rte rt = Kμεταοποίαμπορούμενακλείσουμετηθέσηπουείχαμεστοντίτλο και αυτό συμβαίνει με τον παρακάτω τρόπο. Αν S T K < 0,τότεαγοράζουμεαπότηναγοράτοντίτλοδίνοντας S T καιδενασκούμε προφανώςτοδικαίωμααγοράς,άραέχουμε K S T > 0καιτουπόλοιπο S Ke rt C > 0.(αν υποθέσουμε ότι δεν κάναμε καμία κίνηση για αυτό το ποσό. Θα μπορούσαμε να το καταθέταμε καιαυτόστηντράπεζακαιναεισπράτταμε (S Ke rt C)e rt > 0.) Αν S T K 0,τότεασκούμετοδικαίωμαμαςκαιαγοράζουμετοντίτλοστηντιμή K,άρα έχουμε K K = 0καιτουπόλοιπο S Ke rt C > 0.Επομένωςσεκάθεπερίπτωσηέχουμε θετικό κέρδος, το οποίο μαθηματικά περιγράφεται από τη σχέση } S Ke {{ rt C } +K S T I {ST <K} KI {ST >K} > 0 } {{ } θετικό μη-αρνητικό και το οποίο έρχεται σε αντίθεση με τη θεωρία μη κερδοσκοπίας(no arbitrage) δηλαδή ισχύει C S Ke rt καιχρησιμοποιώνταςτογεγονόςότιηπερίπτωση Cμηθετικόδενέχεινόημα καταλήγουμε στη (2.2) C > (S Ke rt ) +. Άσκηση 2.8.[4,Ασκ. 5.6]Ανητρέχουσατιμήενόςτίτλουείναι 30,βρείτεένακάτω φράγμα για την τιμή δικαιώματος προαίρεσης αγοράς αυτού του τίτλου με τιμή εξάσκησης 28 και λήξη 4 μήνες, στην περίπτωση συνεχούς ανατοκισμού με ονομαστικό επιτόκιο 5%. ΛύσηΆσκησης2.8.ΗΆσκηση2.7καισυγκεκριμέναησχέση(2.2)μαςδίνειτοεξήςκάτω φράγμαγιατηντιμήδικαιώματος C,αν S = S 0 = 30,K = 28,T = 1/3,r = 5%, (S Ke rt ) + = (30 28e 0.05/3 ) + = Άσκηση2.9.[4,Ασκ. 5.7] Εστω P = P(K,T)ητιμήδικαιώματοςπροαίρεσηςπώλησης κάποιουτίτλουτηστιγμή T στηντιμή Kκαι S = S 0,ητρέχουσατιμήτουτίτλου. Ποιααπό τις παρακάτω δύο είναι αληθής και γιατί (α) P S. (β) P K. 9 Μεαυτήντηνπράξησυμφωνούμετηστιγμή Tναδώσουμετοντίτλο.

14 14 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Λύση Άσκησης 2.9. Από τη σχέση ισοτιμίας δικαιωμάτων πώλησης αγοράς(put-call parity) έχουμε ότι S +P C = Ke rt P = Ke rt (S C) Ke rt K, όπου στο τρίτο βήμα χρησιμοποιήσαμε τη(2.1). Άρα το(β) είναι αληθές. Άσκηση 2.10.[4,Ασκ. 5.8]Αν P = P(K,T)ητιμήδικαιώματοςπροαίρεσηςπώλησης κάποιουτίτλουτηστιγμή Tστηντιμή Kκαι S = S 0,ητρέχουσατιμήτουτίτλουδείξτεότι (2.3) P > (Ke rt S) +, όπου r το ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο. Λύση Άσκησης Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αντίστοιχα βήματα με αυτά της Άσκησης Υποθέτουμεότιδενισχύειη(2.3),δηλαδή Ke rt S P > 0. Τηστιγμή 0δανειζόμαστεαπότηντράπεζα Ke rt μεονομαστικόεπιτόκιο rγιαδιάστημα Tμε την υποχρέωση να τα εξοφλήσουμε τη στιγμή T, με τα οποία αγοράζουμε έναν τίτλο δίνοντας Sκαιέναδικαίωμαπώλησηςεπίτουτίτλουδίνοντας P.Τουπόλοιποποσό Ke rt S P το κάνουμε ότι θέλουμε. Τη στιγμή T, συμβαίνουν τα παρακάτω. Πρέπει να δώσουμε στην τράπεζατοποσό Ke rte rt = K,τοοποίοτοεξασφαλίζουμεμετονπαρακάτωτρόπο. Αν S T K,τότεασκούμετοδικαίωμαπώλησης,πουλάμετοντίτλοκαιλαμβάνουμε Kμετα οποίακλείνουμετηθέσημαςμετηντράπεζα,έχονταςβέβαιαστηδιάθεσημαςκαιτουπόλοιπο Ke rt S Pαπότηχρονικήστιγμή 0.(υποθέσαμεότιδενκάναμεκαμίακίνησηγιααυτό το ποσό. Θα μπορούσαμε να το είχαμε καταθέσει και αυτό στην τράπεζα και να εισπράτταμε (Ke rt S P)e rt > 0.) Αν S T > K,τότετοδικαίωμαπώλησηςείναιάχρηστο,πουλάμεόμωςτοντίτλοστηντιμή S T,καικλείνουμετηθέσημαςμετηντράπεζα.Σεκάθεπερίπτωσηέχουμεθετικόκέρδος,το οποίο μαθηματικά περιγράφεται από τη σχέση } Ke rt {{ S P } + K +KI {S T K} +S T I {ST >K} } {{ } > 0 θετικό μη-αρνητικό και το οποίο έρχεται σε αντίθεση με τη θεωρία μη κερδοσκοπίας. Καταλήγουμε επομένως στη (2.3) χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η περίπτωση P μη θετικό δεν έχει νόημα. Άσκηση2.11.[4,Ασκ. 5.9] Εστωότιπουλάμεμίαμετοχήπρος S,πουλάμεέναδικαίωμα προαίρεσης πώλησης επί της μετοχής και αγοράζουμε δικαίωμα προαίρεσης αγοράς επί αυτής, μετιμήεξάσκησης Kκαιλήξη T.Αν (2.4) S +P C > Ke rt, τότε η παραπάνω στρατηγική δίνει πάντοτε βέβαιο κέρδος. 10 Εναλλακτικά, η (2.3) αποδεικνύεται αλγεβρικά σύμφωνα με τη σχέση ισοτιμίας δικαιωμάτων αγοράσπώλησηςσεσυνδυασμόμετη C > 0,αφού P = C +Ke rt S > Ke rt S.

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 15 ΛύσηΆσκησης2.11.Τηστιγμή 0έχουμελάβει Sαπότηνπώλησητηςμετοχής, Rαπότην πώληση του δικαιώματος πώλησης και έχουμε δώσει C για την αγορά δικαιώματος αγοράς επί της μετοχής. Οτι περισσέψει το βάζουμε στην τράπεζα για χρονικό διάστημα T με ονομαστικό επιτόκιο r. Τηστιγμή T,συμβαίνουνταπαρακάτω.Στηδιάθεσημαςέχουμεαπότηντράπεζα (S+P C)e rt μεταοποίαπρέπεινααγοράσουμεμίαμετοχή. Αν S T K,τότετοδικαίωμααγοράςείναιάχρηστοκαιαγοράζουμετημετοχήαπότην αγοράπρος S T. Αν S T > K,τότεασκούμετοδικαίωμααγοράςκαιαγοράζουμεμετοχήπρος K.Σεκάθε περίπτωση έχουμε τη χρονική στιγμή T ότι (S +P C)e rt ( S T I {ST K} +KI {ST >K}) (S +P C)e rt K δηλαδή είμαστε πάντα κερδισμένοι. > 0, Άσκηση 2.12.[4,Ασκ. 5.11]Ητρέχουσατιμήενόςτίτλουείναι S,μεπιθανέςτιμέςτη στιγμή Tναείναι S 1 και S 2 αντίστοιχα.ανθεωρήσουμεέναδικαίωμαπώλησης P = P(K,T) επίαυτούτουτίτλουκαι K > S 1 > S 2,τότε (α)ποιαηαξίατηςθέσηςμαςτηστιγμή T,αναγοράσουμετοντίτλοκαθώςκαιτοδικαίωμα πώλησης επί αυτού, τη στιγμή 0; (β) Ποια η τιμή του δικαιώματος ώστε να μην έχουμε φαινόμενο βέβαιου κέρδους; Λύση Άσκησης Για το(α) παρατηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση θα ασκήσουμε το δικαίωμα πώλησης, και επομένως η αξία της θέσης μας στο δικαίωμα πώλησης την ημερομηνία λήξης T είναι (K S T ) + = K S T, όπουητυχαίαμεταβλητή S T παίρνειτιςτιμές S 1 και S 2 αντίστοιχα. Η τιμή του δικαιώματος ώστε να μην υπάρχει φαινόμενο κερδοσκοπίας είναι εκείνη η οποία δίνει μηδενικό κέρδος του δικαιώματος τη στιγμή 0 δηλαδή } S {{ P } + } Ke{{ rt } κόστος μετοχής και δικαιώματος παρούσα αξία μελλοντικής πληρωμής = 0 P = Ke rt S. Άσκηση 2.13.[4, Ασκ. 5.13] Ενα δικαίωμα προαίρεσης αγοράς και ένα δικαίωμα προαίρεσηςπώλησηςεπίμίαςμετοχήςαξίζουν 3 καιέχουντηνίδιατιμήεξάσκησης 20 καιίδια στιγμήλήξηςμετάαπό 3μήνες.Ανητρέχουσατιμήτηςμετοχήςείναι 25καιέχουμεσυνεχή ανατοκισμό με ονομαστικό επιτόκιο 10%, πως μπορούμε να έχουμε βέβαιο κέρδος; Λύση Άσκησης Παρατηρούμε ότι Ke rt = 20 e 0.1/4 = 20.5 < 25 = S = S +P(K,T) C(K,T), επομένως ισχύει η ανισότητα(2.4) δηλαδή μπορούμε σύμφωνα με αποτέλεσμα Άσκησης 2.11 να οδηγηθούμε σε βέβαιο κέρδος πουλώντας τη μετοχή προς S, πουλώντας το δικαίωμα προαίρεσης πώλησης επί της μετοχής και αγοράζοντας το δικαίωμα προαίρεσης αγοράς επί αυτής. Άσκηση 2.14.[4, Ασκ. 5.21] Δείξτε ότι η τιμή δικαιώματος προαίρεσης αγοράς είναι μηαύξουσα συνάρτηση ως προς την τιμή εξάσκησης.

16 16 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Λύση Άσκησης Θεωρώ τις εξής δύο επενδυτικές επιλογές. (1)Αγοράζωδικαίωμαπροαίρεσηςαγοράς C(K 1,T)μετιμήεξάσκησης K 1 καιστιγμή λήξης T. (2)Αγοράζωδικαίωμαπροαίρεσηςαγοράς C(K 2,T)μετιμήεξάσκησης K 2,με K 2 > K 1 και στιγμή λήξης T. Ηαξίατηςθέσηςμαςστοδικαίωμααγοράςτηνημερομηνίαλήξης T γιατηνεπένδυση (1) είναι (S T K 1 ) + ενώγιατηνεπένδυση (2)είναι (S T K 2 ) +.Παρατηρούμε,μετηβοήθειατου Σχήματος3,ότιησυνάρτηση (S T K) + είναιμη-αύξουσαωςπρος K,άρααφού K 2 > K 1, AXIA QESH S S T K Σχημα3.Ησυνάρτηση (S T K) + ωςπρος Kμεσταθερό S T = 100. (S T K 1 ) + (S T K 2 ) +, επομένως σύμφωνα με το γενικευμένο νόμο ενιαίας τιμής για να μην έχουμε βέβαιο κέρδος πρέπει το κόστος της επένδυσης(1) να είναι τουλάχιστο τόσο όσο αυτό της επένδυσης(2) δηλαδή C(K 1,T) C(K 2,T). Άσκηση 2.15.[4, Ασκ. 5.22] Αγοράζουμε ένα δικαίωμα προαίρεσης αγοράς με τιμή άσκησης 100καιτηνίδιαστιγμήπουλάμεέναδικαίωμαπροαίρεσηςαγοράςμετιμήάσκησης 105επίτου ίδιου τίτλου, με την ίδια ημερομηνία λήξης. (α) Είναι το αρχικό κόστος θετικό ή αρνητικό; (β) Σχεδιάστε την απόδοση τη στιγμή λήξης ως συνάρτηση της τιμής του τίτλου εκείνη τη στιγμή. ΛύσηΆσκησης2.15.Αγοράζουμετοδικαίωμαπροαίρεσηςαγοράςμετιμήεξάσκησης K 1 = 100,δίνοντας C(K 1,T)καιπουλάμετοδικαιώματοςπροαίρεσηςαγοράςμετιμήεξάσκησης

17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 17 K 2 = 105,λαμβάνοντας C(K 2,T).Τοαρχικόμαςκόστοςείναισύμφωναμετοαποτέλεσματης Άσκησης 2.14 C(K 1,T)+C(K 2,T) 0. Ως αγοραστής δικαιώματος προαίρεσης αγοράς(long call) η απόδοση της θέσης μας(κέρδος ή ζημιά)τηστιγμήλήξηςtείναι(s T 100) + C(100,T)ενώωςπωλητήςδικαιώματοςπροαίρεσης αγοράς(short call)ηαπόδοσητηςθέσηςμαςτηστιγμήλήξης Tείναι C(105,T) (S T 105) +. ΠαρατηρούμεαπόταΣχήματα4,5,και6,ότιόσομικραίνειηδιαφορά C(K 1,T)+C(K 2,T), κρατώνταςτο C(K 2,T)σταθερόηθέσημαςβελτιώνεται C K 2, T AXIA QESHS 0 K S T K40 K60 KC K 1, T K80 Σχημα4. Ησυνάρτηση (S T K 1 ) + C(K 2,T)+C(K 1,T) (S T K 2 ) + για C(K 1,T) = 40,C(K 2,T) = 15. Ορισμός2.16.Μίασυνάρτηση fκαλείταικυρτή,ανγιακάθε x,yκαι 0 < λ < 1έχουμε (2.5) f(λx+(1 λ)y) λf(x)+(1 λ)f(y). Γεωμετρικά,σύμφωνακαιμετοΣχήμα7,τοευθύγραμμοτμήμαπουσυνδέειτηκαμπύλη f(x) βρίσκεται πάντα πάνω από(ή πάνω στην) καμπύλη. Μία συνάρτηση f καλείται κοίλη, αν για κάθε x,yκαι 0 < λ < 1έχουμε (2.6) f(λx+(1 λ)y) λf(x)+(1 λ)f(y). Ηγεωμετρικήερμηνείατηςκυρτήςσυνάρτησης,σύμφωνακαιμετοΣχήμα7,είναιότιτο ευθύγραμμοτμήμαπουσυνδέειτηκαμπύλη f(x)βρίσκεταιπάνταπάνωαπό(ήπάνωστην) καμπύλη. Άσκηση 2.17.[4, Ασκ. 5.29] Δώστε μία γεωμετρική ερμηνεία της κοίλης συνάρτησης. Παραπέραδείξτεότιηfείναικοίλησυνάρτησηανκαιμόνοανηg = fείναικυρτήσυνάρτηση.

18 18 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ C K 2, T AXIA QESHS 0 K20 K S T KC K 1, T K60 K80 Σχημα5. Ησυνάρτηση (S T K 1 ) + C(K 2,T)+C(K 1,T) (S T K 2 ) + για C(K 1,T) = 30,C(K 2,T) = AXIA QESHS C K 2, T 0 K20 K S T KC K 1, T K60 K80 Σχημα6. Ησυνάρτηση (S T K 1 ) + C(K 2,T)+C(K 1,T) (S T K 2 ) + για C(K 1,T) = 20,C(K 2,T) = 15. Λύση Άσκησης Η γεωμετρική ερμηνεία της κοίλης συνάρτησης, σύμφωνα και με το Σχήμα8,είναιότιτοευθύγραμμοτμήμαπουσυνδέειτηκαμπύλη f(x)βρίσκεταιπάντακάτωαπό(ή πάνωστην)καμπύλη.ανηgείναικυρτή,τότεσύμφωναμεορισμό2.16έχουμεγια 0 < λ < 1

19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 19 lf x C 1 K l f y f(x) f(y) f lx C 1 K l y Σχημα7.Μίακυρτήσυνάρτηση f. lf x C 1 K l f y f x f y f lx C 1 Kl y Σχημα8.Μίακοίλησυνάρτηση f. g(λx+(1 λ)x) λg(x)+(1 λ)g(x) f(λx+(1 λ)x) λf(x) (1 λ)f(x) f(λx+(1 λ)x) λf(x)+(1 λ)f(x), τότε η f είναι κοίλη και αντίστροφα.

20 20 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Άσκηση2.18.[2,Ασκ.3.2.5]ΘεωρούμεδικαιώματαπροαίρεσηςαγοράςC(K 1,T),C(K 2,T) και C(K 3,T),επίτουίδιουτίτλουμε K 1 < K 2 < K 3 και K 2 K 1 = K 3 K 2.Δείξτεότι 2C(K 2,T) C(K 1,T)+C(K 3,T). ΛύσηΆσκησης2.18.Ησυνάρτηση C(K,T)είναικυρτή 11 συνάρτησητου Kεπομένωςισχύει 12 C(λK 1 +(1 λ)k 3,T) λc(k 1,T)+(1 λ)c(k 3,T), γιακάθε λμε 0 < λ < 1.Ησχέση K 2 K 1 = K 3 K 2 μαςλέειότιτο K 2 είναιτομέσοτου διαστήματος [K 1,K 3 ]επομένωςγια λ = 1/2παίρνουμε C( 1 2 K K 3,T) 1 2 C(K 1,T)+ 1 2 C(K 3,T) 2C(K 2,T) C(K 1,T)+C(K 3,T) Άσκηση2.19.[4,Ασκ.5.24] ΕστωP(K,T)ητιμήδικαιώματοςπροαίρεσηςπώλησηςτίτλου μετιμήάσκησης Kκαιλήξη T.ΧρησιμοποιώνταςότιηC(K,T)είναικυρτήσυνάρτησηως προς K,για Tσταθερό,συμπεράνετεγιατηνκυρτότητατης P(K,T). ΛύσηΆσκησης2.19.Θεωρούμε Tσταθερόκαι K = λk 1 +(1 λ)k 2,με 0 < λ < 1.Σύμφωνα μετησχέσηισοτιμίαςδικαιωμάτωνπώλησηςαγοράςκαιτοότιηc(k,t)είναικυρτήσυνάρτηση ωςπρος K,έχουμεότι P(K,T) = Ke rt S +C(K,T) Ke rt S +λc(k 1,T)+(1 λ)c(k 2,T) = Ke rt S +λ(s +P(K 1,T) K 1 e rt )+(1 λ)(s +P(K 2,T) K 2 e rt ) = (K λk 1 (1 λ)k 2 )e rt +λp(k 1,T)+(1 λ)p(k 2,T) = λp(k 1,T)+(1 λ)p(k 2,T), επομένωςηp(k,t)κυρτήωςπρος Kγιασταθερό T. 3. Διωνυμικο Μοντελο Άσκηση 3.1.[2, Παρατ ] Θεωρούμε το διωνυμικό μοντέλο n περιόδων. Ο τίτλος τηστιγμή nμπορείναπάρειμίααπό 2 n τοπλήθοςτιμές. Αντηστιγμή tητιμήτουτίτλου είναι S t,k τότεδείξτεότιγιαναμηνυπάρχουνευκαιρίεςκερδοσκοπίαςστηνπαραπάνωαγορά, θα πρέπει να ισχύει S t,2k < S t 1,k e r t < S t,2k 1, γιαόλατα t = 1,2,...,nκαιόλατα k = 1,2,...,2 t 1,όπου t τομήκοςτης tπεριόδου. Λύση Άσκησης 3.1. Εστω ότι S t,2k S t 1,k e r t. Τότεακολουθώτηνεξήςστρατηγική.Τηστιγμή t 1δανείζομαιποσό S t 1,k απότηντράπεζα καιαγοράζωμίαμονάδατουτίτλου.τηστιγμή tπουλάωτοντίτλοκαιμεαυτόπουπερισσεύει κλείνω τη θέση μου με την τράπεζα εξοφλώντας το δάνειο. Συγκεκριμένα είτε θα εισπράξω S t,2k μεπιθανότητα 1 p,καιαπόαυτάθαδώσωτα S t 1,k e r t στηντράπεζα,είτεθαεισπράξω 11 Ηαπόδειξηβασίζεταιστογεγονόςότιησυνάρτηση (S T K) + είναικυρτήσυνάρτησηωςπρος K,καιστο γενικευμένο νόμο ενιαίας τιμής. Πιο αναλυτικά παραπέμπουμε[1, Πρόταση 5.2.4(ι)] 12 Επιλέξαμετοδιάστημα [K 1,K 3 ]σύμφωναμεταδεδομένατηςάσκησης.

21 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 21 S t,2k 1 μεπιθανότητα pκαιθαεξοφλήσωτηντράπεζα 13.Σεκάθεπερίπτωσηλοιπόν,τηχρονική στιγμή tέχω S t 1,k e r t } {{ } ποσό δανείου + S t,2k(μεπιθ. 1 p)ήs t,2k 1 (μεπιθ. p) } {{ } 0, είσπραξη από πώληση τίτλου το οποίο είναι μη αρνητικό. Επομένως έχω θετική πιθανότητα για ακίνδυνο κέρδος, άρα η αρχική μου υπόθεση δεν ισχύει. Αντίστοιχα έστω ότι S t 1,k e r t S t,2k 1. Τότεακολουθώτηνεξήςστρατηγική.Τηστιγμή t 1πουλάω (short)τοντίτλοκαιεισπράττω S t 1,k ταοποίακαταθέτωστηντράπεζαωςτηνεπόμενηπερίοδο. Τηστιγμή tεισπράττω S t 1,k e r t απότηντράπεζακαιαγοράζωτοντίτλοστηντρέχουσα τιμήτου,ώστενακλείσωτηθέσημου,δίνονταςτοπολύ S t,2k 1.Σεκάθεπερίπτωσηλοιπόν, τηχρονικήστιγμή tέχω S t 1,k e r t } {{ } ποσό κατάθεσης S t,2k(μεπιθ. 1 p)ήs t,2k 1 (μεπιθ. p) } {{ } 0, κόστος από αγορά τίτλου το οποίο είναι μη αρνητικό. Επομένως έχω θετική πιθανότητα για ακίνδυνο κέρδος, άρα η αρχική μου υπόθεση δεν ισχύει. Άσκηση 3.2.[2, Ασκ ] Η αναμενόμενη τιμή της λογαριθμοκανονικής απόδοσης μίας μετοχής είναι 12% ανά έτος και η μεταβλητότητα (volatility)της είναι 30% ανά έτος. Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή και η μεταβλητότητα της για περίοδο (α) ενός μηνός; (β) δύο μηνών; (γ) τριών μηνών; (δ) έξι μηνών; Λύση Άσκησης 3.2. Εφαρμόζουμε τις σχέσεις ER ti = µt i, Var(R ti ) = σ 2 t i, όπου µ = 12%ηαναμενόμενηλογαριθμικήετήσιααπόδοσηκαι σ = 30%ηετήσιαμεταβλητότητα,για t 1 = 1/12,t 2 = 1/6,t 3 = 1/4,t 4 = 1/2αντίστοιχα. 13 Η pείναιηπιθανότηταανόδουτηςτιμήςτουτίτλουκαιισχύει S t,2k 1 > S t,2k

22 22 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Άσκηση 3.3.[2, Ασκ ] Θεωρείστε το επόμενο διωνυμικό μοντέλο για μία μετοχή: t 0 t 1 t 2 S 2,1 = S 1,1 = S 0 = 100 S 2,2 = S 1,2 = S 2,3 = 81 (α)υπολογίστετηνπιθανότητατουενδεχομένου {S 2 = 121}. (β)υπολογίστετηνπιθανότητατουενδεχομένου {S 2 = 99}. (γ)υπολογίστετηνπιθανότητατουενδεχομένου {S 2 = 81}. (δ)ποιαείναιηαναμενόμενητιμήτηςμετοχήςτηστιγμή t 1 ; (ε)ποιαείναιηδιακύμανσητηςτιμήςτηςμετοχήςτηστιγμή t 1 καιποιατηστιγμή t 2 ;Η διακύμανση της μετοχής είναι αύξουσα, φθίνουσα ή σταθερή προς το χρόνο συνάρτηση; Λύση Άσκησης 3.3. Χρησιμοποιώντας το νόμο ολικής πιθανότητας έχουμε ότι P(S 2 = S 2,j ) = 2 P(S 2 = S 2,j S 1 = S 1,k )P(S 1 = S 1,k S 0 = 100), k=1 επομένως για το(β) για παράδειγμα έχουμε ότι P(S 2 = 99) = P(S 2 = S 2,2 ) = P(S 2 = S 2,2 S 1 = S 1,1 )P(S 1 = S 1,1 S 0 = 100) +P(S 2 = S 2,2 S 1 = S 1,2 )P(S 1 = S 1,2 S 0 = 100) = P(S 2 = 99 S 1 = 110)P(S 1 = 110 S 0 = 100)+P(S 2 = 99 S 1 = 90)P(S 1 = 90 S 0 = 100) = = 3 8 Εργαζόμαστε αντίστοιχα για τα(α) και(γ). Παραπέρα γνωρίζουμε ότι (3.1) E(S i ) = j P(S i = S i,j )S i,j, Var(S i ) = E(S i ) 2 E 2 (S i ) = E(S i E(S i )) 2 επομένωςγιατο(δ)έχουμεότι E(S 1 ) = 2 P(S 1 = S 1,j )S 1,j = = j=1

23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 23 Γιατο(ε)συμφέρειναυπολογίσουμετηδιασποράμετηνδεύτερηέκφρασητηςαπότη(3.1) δηλαδή Var(S 1 ) = E(S 1 E(S 1 )) 2 = 2 P(S 1 = S 1,j )(S 1,j E(S 1 )) 2 =... = 75 j=1 Αντίστοιχαυπολογίζουμετηδιακύμανσητηςμετοχήςτηχρονικήστιγμή t 2 καιβρίσκουμε Var(S 2 ) = διαισθανόμενοιότιπρόκειταιπερίμηφθίνουσαςσυνάρτησηςωςπρος t. Άσκηση 3.4.[2, Ασκ ] Θεωρείστε λογαριθμοκανονική κατανομή με μέση ετήσια απόδοση µ = 0.05καιτυπικήαπόκλιση σ = 0.2. (α) Εκφράστε τους παράγοντες u και d τις διωνυμικής προσέγγισης σε αυτή τη λογαριθμοκανονική κατανομή συναρτήσει του χρονικού βήματος. (β)υπολογίστετιςτιμέςτωνπαραγόντων u,dτουπαραπάνωερωτήματοςγια = 1, 1 2, 1 4, 1 8. Ποιαηεξάρτησητων u,dμετο ; (γ)κατασκευάστεγια = 1τοδιωνυμικόδέντρογιαδύοπεριόδους,ότανηαρχικήτιμή της μετοχής είναι 100. S tk+1 ΛύσηΆσκησης3.4. Εχουμεότι S tk+1 = S tk S tk = S tk e Rt k+1,όπουσύμφωναμελογαριθμοκανονικήκατανομή,οι R tk είναιισόνομεςκαιανεξάρτητεςκανονικέςτυχαίεςμεταβλητές,με E(R tk+1 ) = µ,και Var(R tk+1 ) = σ 2,μεχρονικόβήμα = t k+1 t k.επομένωςέχουμεότι (3.2) ES t1 = S t0 exp{µ + σ2 2 } ενώ από την διωνυμική προσέγγιση έχουμε (3.3) ES t1 = qs t0 u+(1 q)s t0 d, όπου q, 1 q, οι ουδέτερες προς τον κίνδυνο (risk-neutral)πιθανότητες. Συνδυάζοντας τις(3.2) και(3.3) παίρνουμε (3.4) e r = qu+(1 q)d, q = er d u d, όπου r = µ+ σ2 2.Παραπέρα, (3.5) VarS t1 = S 2 t 0 σ 2, ενώ από την διωνυμική προσέγγιση έχουμε (3.6) Var Q S t1 = E Q (S t1 ) 2 E 2 Q(S t1 ) u er 1 q = u d, = qs 2 t 0 u 2 +(1 q)s 2 t 0 d 2 (qs t0 u+(1 q)s t0 d) 2 = S 2 t 0 ( qu 2 +(1 q)d 2 q 2 u 2 (1 q) 2 d 2 2q(1 q)ud ) = S 2 t 0 q(1 q)(u d) 2 = S 2 t 0 (e r d)(u e r ), όπου Q το ουδέτερο ως προς τον κίνδυνο μέτρο πιθανότητας, και στο τελευταίο βήμα, χρησιμοποιήσαμε την έκφραση του q από(3.4). Χρησιμοποιώντας την(3.5) καταλήγουμε (3.7) σ 2 = (e r d)(u e r ).

24 24 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Σεαυτότοσημείομπορούμενακάνουμετηπροσέγγιση e r = 1 + r,παραλείπονταςτους όρουςτάξης k,k 2,φτάνονταςστησχέση σ 2 = (u+d)(1+r ) 2r ud 1. Παραπέρα,θεωρώνταςεκθετικέςμορφέςγιατουςπαράγοντες, u = e X,d = e Y,καιαναπτύσσουμετηνεκθετικήπαραλείπονταςτουςόρουςτάξης k,k 3,φτάνουμεστησχέση σ 2 +2r +2 = (2+X +Y + X2 +Y 2 (X +Y)2 )(1+r ) (X +Y). 2 2 Τώρακάνονταςεπιπλέοντηνυπόθεσηότι ud = 1,δηλαδή X = Y,παίρνουμε σ 2 = X 2 +X 2 r, απότηνοποίααναγνοήσουμετονδεύτεροόροστοδεξίμέλοςτηςσχέσηςδίνειτομοντέλοτων Cox-Ross-Rubinstein (CRR), (3.8) u = e σ, d = e σ, q = er d u d Στηνπερίπτωσηπουθεωρήσουμετηνυπόθεσηq = 1/2αντίτηςud = 1,έχουμεαπόσυνδυασμό της(3.5)μετην(3.6)καιμετη(3.4),τοπαρακάτωσύστημα το οποίο δίνει το μοντέλο u d = 2σ u+d = e r, (3.9) u = e r +σ, d = e r σ, q = 1 2. Τόσοστομοντέλο CRRόσοκαιστομοντέλο(3.9) 14 παρατηρούμεότιότανμικραίνειτο μικραίνει και ο παράγοντας u, ενώ μεγαλώνει ο d.(τι σημαίνει αυτό); Τέλος, για δύο περιόδους, με = 1,τοδέντροπαίρνειτηνπαρακάτωμορφή, t 0 = 0 t 1 = = 1 t 2 = 2 = 2 S 0 u 2 q S 0 u q 1 q S 0 = 100 S 0 ud q 1 q S 0 d 1 q S 0 d 2 14 Στο(3.9)υπάρχειηίδιαεξάρτησητου μετα u,dδιότιοκύριοςόροςγια < 1είναιο.

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 25 όπουοιπαράγοντες u,dκαιτο qπαίρνουντημορφή(3.8),στηνπερίπτωσητουμοντέλου CRR ενώ τη(3.9) στην άλλη περίπτωση. Άσκηση 3.5.[2, Ασκ ] Η αναμενόμενη τιμή της λογαριθμοκανονικής απόδοσης είναι 12%τοχρόνοκαιημεταβλητότηταείναι 30%τοχρόνο. Ητρέχουσατιμήτηςμετοχήςείναι 100. (α)αντοδιάστημα επιλεγείναείναιίσομεμίαημέρα(δηλαδή = 1/365)χρησιμοποιήστε τη σχέση S t+ = { S t e µ +σ,μεπιθανότητα 1/2 S t e µ σ,μεπιθανότητα 1/2 για να υπολογίσετε την διωνυμική κατανομή της τιμής της μετοχής σε αυτό το διάστημα. (β)υπολογίστετηναναμενόμενητιμήτου S t1 /S t0. (γ)υπολογίστετηντυπικήαπόκλισητου S t1 /S t0.τισχέσηέχειητιμήπουβρήκατεμε τηντιμή σ ; ΛύσηΆσκησης3.5. ΕχουμεότιS t+ = S t e µ +σ X 1 όπουx 1 = Παραπέρα, επομένως S t1 = S = e µ e σ X1, S 0 S 0 { 1, με πιθανότητα 1/2 1, με πιθανότητα 1/2. E S t 1 S 0 = e µ Ee σ X1 = e µ e σ x P(X = x) x ( = e µ e σ 1 2 +e σ 1 ) 2 = 1 ( ) 2 eµ e σ +e σ. Με παρόμοιο τρόπο έχουμε ότι E( S t 1 S 0 ) 2 = e 2µ E(e 2σ X1 ) = 1 2 e2µ ( e 2σ +e 2σ ),

26 26 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ επομένως Var S t 1 S 0 = E( S t 1 S 0 ) 2 E S t 1 S 0 = 1 2 eµ e 2σ +e 2σ 2 = 1 2 (1+µ ) = 1+µ 2σ 2 = σ, 1+2σ + (2σ ) σ + ( 2σ ) όπουέχουμεπαραλείψειόρουςτηςμορφής k με k > 1. Άσκηση 3.6.[2, Ασκ ] Η αναμενόμενη τιμή της λογαριθμοκανονικής απόδοσης μιας μετοχήςείναι 15%τοχρόνοκαιημεταβλητότητατηςείναι 30%τοχρόνο. Ητρέχουσατιμή τηςμετοχήςείναιίσημε 100. (α)αντοδιάστημα είναιίσομεμίαεβδομάδα(δηλαδή = 7/365)χρησιμοποιήστετη σχέση S t+ = { S t e µ +σ,μεπιθανότητα 1/2 S t e µ σ,μεπιθανότητα 1/2 για να υπολογίσετε ένα διωνυμικό δέντρο για την τιμή της μετοχής με χρονικό ορίζοντα τριών εβδομάδων. (β) Υπολογίστε την αναμενόμενη τιμή της μετοχής στο τέλος της πρώτης εβδομάδας. (γ) Υπολογίστε την αναμενόμενη τιμή της μετοχής στο τέλος της δεύτερης εβδομάδας. (δ) Υπολογίστε την αναμενόμενη τιμή της μετοχής στο τέλος της τρίτης εβδομάδας. (ε)συγκρίνετετηναπάντησησαςστο(δ)μετηντιμήπουθαυπολογίζατεανείχατεχρησιμοποιήσειτησχέση E(S T S 0 ) = S 0 e µt+σ2 T/2.

27 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 27 Λύση Άσκησης 3.6. Το διωνυμικό δέντρο έχει την εξής μορφή, t 0 = 0 t 1 = t 2 = 2 t 3 = 3 S 0 u S 0 u S 0 u S 0 u 2 d S 0 = 100 S 0 ud S 0 d S 0 ud όπουοιπαράγοντες uκαι dέχουντημορφή, S 0 d 2 u = e µ +σ, e µ σ, 0.5 S 0 d 3 με µ = 0.15και σ = 0.3.Οιαναμενόμενεςτιμέςτιςδιακριτήςτ.μ. πουεκφράζειτηντιμήτης μετοχής δίνονται από κατάλληλη εφαρμογή του τύπου(3.1). Τέλος παρατηρείστε ότι E(S 3 ) = [ (1 3 ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ] P(S 3 = S 3,j )S 3,j = S 0 u 2) u2 d+ ud 2 + u j ( ) 3 1 ( = S 0 u 3 +3u 2 d+3ud 2 u 3) 2 = S ( ) 0 e 3µ +3σ +3e 2µ +2σ e µ σ +3e µ +σ e 2µ 2σ +e 3µ 3σ 8 = S ( ) 0 e 3µ +3σ +3e 3µ +σ +3e 3µ σ +e 3µ 3σ 8 ( = S 0 8 e3µ 1+3σ + (3σ ) 2 +3(1+σ + (σ ) 2 ) (1 σ + ( σ ) 2 )+1 3σ ) + ( 3σ ) = S ( ) ( ) 0 8 e3µ 8+24 σ2 = S 0 e 3µ 1+3 σ2 S 0 e 3µ +3σ2 2, 2 2

28 28 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ η οποία είναι καλή προσέγγιση για μικρά, μικρότερα της μονάδας. Άσκηση 3.7.[2, Ασκ ] Ενα ευρωπαϊκό δικαίωμα προαίρεσης αγοράς με τιμή εξάσκησης 50 έχει ημερομηνία λήξης σε ένα έτος. Η τρέχουσα τιμή της υποκείμενης μετοχής είναι 40.Τοεπιτόκιοείναι 5%καιημεταβλητότητατηςμετοχής 30%τοχρόνο.Χωρίστετοέτοςσε δύο εξάμηνα και χρησιμοποιώντας τα μοντέλα(3.8) και(3.9) σχεδιάστε τα αντίστοιχα δέντρα και τιμολογείστε με τη μέθοδο των ουδέτερων προς τον κίνδυνο πιθανοτήτων το δικαίωμα προαίρεσης αγοράς, σε καθένα από αυτά τα δέντρα. Επίσης σε κάθε κορυφή των δέντρων σημειώστε ποιο είναι το ισοδύναμο χαρτοφυλάκιο σε μετοχές και σε δανεισμό. ΛύσηΆσκησης3.7. Εχουμετοδικαίωμαπροαίρεσηςαγοράς C(K,T)με K = 50,T = 1,επί τηςμετοχήςμε S 0 = 40.Ακόμαγνωρίζουμεότι σ = 0.3και r = 0.05.Χωρίζουμετοέτοςσε δύοεξάμηνα,επομένως = 0.5. Εχουμετοεξήςδέντρο 0 1/2 1 S 0 u 2 C 2,1 = (S 0 u 2 K) + q S 0 u q 1 q C 1,1,φ 1,1 S 0 = 40 S 0 ud C 2,2 = (S 0 ud 2 K) + 1 q C 0,φ 0 q S 0 d C 1,2,φ 1,2 1 q S 0 d 2 C 2,3 = (S 0 d 2 K) + όπουοιπαράγοντες u,dκαιτο qέχουντημορφήτων(3.8)και(3.9),ενώ C 0 ημηκερδοσκοπική τιμήτουδικαιώματοςαγοράςηοποίαείναιίσημε C 0 = e r (qc 1,1 +(1 q)c 1,2 ) = e r [ qe r (qc 2,1 +(1 q)c 2,2 )+(1 q)e r (qc 2,2 +(1 q)c 2,3 ) ]. Η θέση μας σε μετοχές στο ισοδύναμο χαρτοφυλάκιο είναι ίση σε κάθε περίπτωση με φ 0 = C 1,1 C 1,2 S 0 u S 0 d, φ 1,1 = C 2,1 C 2,2 S 0 u 2 S 0 ud, φ 1,2 = C 2,2 C 2,3 S 0 ud S 0 d 2,

29 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 29 και ο δανεισμός προκύπτει από τις ποσότητες, φ 0 S 0 C 0, φ 1,1 S 0 u C 1,1, φ 1,2 S 0 d C 1,2, αντίστοιχα. Άσκηση 3.8.[2, Ασκ ] Ενα προθεσμιακό συμβόλαιο επί μιας μετοχής A ωριμάζει σε 106 ημέρες. Χωρίστε το διάστημα των 106 ημερών σε 2 ίσες περιόδους. Το επιτόκιο είναι 4,35%καιημεταβλητότητατηςαπόδοσηςτηςμετοχήςείναι 25%τοχρόνο.Ητρέχουσατιμή της μετοχής είναι 60. Χρησιμοποιώντας τα μοντέλα(3.8) και(3.9) σχεδιάστε τα αντίστοιχα δέντρα, σημειώστε τις ουδέτερες προς τον κίνδυνο πιθανότητες και χρησιμοποιώντας τις, βρείτε σε κάθε κορυφή του δέντρου την αντίστοιχη προθεσμιακή τιμή. ΛύσηΆσκησης3.8. Εχουμετοπροθεσμιακόσυμβόλαιο F(T)με T = 106/365,επίτηςμετοχής Aμε S 0 = 60.Ακόμαγνωρίζουμεότι σ = 0.25και r = 4.35%.Χωρίζουμετηνπερίοδο T σε δύο περιόδους, επομένως = 53/365. Εχουμε το εξής δέντρο για την εξέλιξη της προθεσμιακήςτιμής, / /365 S 0 = 60 F 0 (T) = S 0 e 2r S 0 u 2 S 0 u F 1,1 (T) = S 0 ue r S 0 d S 0 ud = F 2,1 (T) = F 2,2 (T) F 1,2 (T) = S 0 de r S 0 d 2 = F 2,3 (T) όπουοιπαράγοντες u,dκαιτο qέχουντημορφήτων(3.8)και(3.9). 15 Ουσιαστικάηπροθεσμιακήτιμή, F i,j (t n ),τουσυμβολαίουεπίτηςμετοχήςaηοποίασυμφωνείταιτηστιγμή iότανητιμήτης Aείναι S i,j καιωριμάζειτηστιγμή t n δίνεταιαπότηνέκφραση F i,j (t n ) = S i,j e r(n i).

30 30 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Άσκηση 3.9.[2,Ασκ ]Θεωρείστετοεξήςσυμβόλαιοεπίτηςμετοχής B. Σεένα έτοςαπότώρα,ανητιμήτηςμετοχήςείναιμεταξύ 30και 60τότεπρέπειναπληρώσετετην τότεισχύουσατιμήτηςμετοχήςγιανααγοράσετετημετοχή. Ανητιμήτηςμετοχήςείναι μεγαλύτερηήίσηαπό 60τότεγιανααγοράσετετημετοχήθαπρέπειναπληρώσετεέναποσό πουδίνεταιαπότησχέση 60+(S 60)/10,όπου Sείναιητότεισχύουσατιμήτηςμετοχής. Τέλοςανητιμήτηςμετοχήςείναιτότεμικρότερηαπό 30τότεγιανααγοράσετετημετοχήθα πρέπει να πληρώσετε 30. (α)σχεδιάστεέναδιάγραμμαπουναδείχνειτοποσόπουθαπρέπειναπληρώσετεγιατη μετοχή κατά την ημερομηνία λήξης του συμβολαίου. (β) Χωρίστε το χρονικό διάστημα του ενός έτους σε δύο εξάμηνα. Χρησιμοποιήστε ένα διωνυμικό δέντρο για τη μετοχή, όπου οι παράγοντες ανόδου και καθόδου της τιμής της μετοχήςδίνονταιαπό u = e (r σ2 2 ) +σ = , d = e (r σ2 2 ) σ = , όπου r = 5.85%,σ = 35%τοχρόνοκαι = 0.5.Ητρέχουσατιμήτηςμετοχήςείναι 45. Χρησιμοποιήστε τις ουδέτερες ως προς τον κίνδυνο πιθανότητες για να τιμολογήσετε αυτό το συμβόλαιο. ΛύσηΆσκησης3.9. Εχουμετοσυμβόλαιο F(T)με T = 1,επίτηςμετοχής Bμε S 0 = 45. Ακόμαγνωρίζουμεότι σ = 0.35και r = 5.85%.Χωρίζουμετοέτοςσεδύοεξάμηνα,επομένως = 1/2. Εχουμετοεξήςδέντρογιατηνεξέλιξητηςπροθεσμιακήςτιμής 0 1/2 1 F 2,1 (T) = 60+ S 0u q S 0 u q 1 q F 1,1 (T) =? S 0 = 45 1 q F 0 (T) =? S 0 d q F 2,2 (T) = S 0 ud F 1,2 (T) =? 1 q F 2,3 (T) = 30

31 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 31 όπου u = ,d = ,ενώητιμολόγησητουσυμβολαίουπροκύπτειωςεξής F 0 (T) =e r (qf 1,1 (T)+(1 q)f 1,2 (T)) =e r [ qe r (qf 2,1 (T)+(1 q)f 2,2 (T))+(1 q)e r (qf 2,2 (T)+(1 q)f 2,3 (T)) ] =e [q (q(54+ 2r S ) ] 0u 2 10 )+(1 q)s 0ud +(1 q)(qs 0 ud+(1 q)30) =... Άσκηση 3.10.[2, Ασκ ] Ενα δικαίωμα προαίρεσης πώλησης P, επί μιας μετοχής S, μετιμήεξάσκησης K = 45λήγεισεέναέτος. Χωρίστετοχρονικόδιάστηματουενόςέτους σε δύο εξάμηνα. Το συνεχώς ανατοκιζόμενο τραπεζικό επιτόκιο είναι r = 4.5% και η ετήσια μεταβλητότητα της υποκείμενης μετοχής είναι σ = 20%. (α)ανησημερινήτιμήτηςμετοχήςείναι S 0 = 35,σχεδιάστεέναδέντροδύοπεριόδων για την εξέλιξη της τιμής της μετοχής χρησιμοποιώντας το CRR μοντέλο: (β) Υπολογίστε την ουδέτερη προς τον κίνδυνο πιθανότητα ανόδου (γ)υπολογίστετησημερινήτιμή P 0 τουδικαιώματοςπροαίρεσηςαγοράςχρησιμοποιώντας τις ουδέτερες ως προς τον κίνδυνο πιθανότητες. (δ) Για κάθε κορυφή του δέντρου σημειώστε ποιο είναι το ισοδύναμο χαρτοφυλάκιο σε μετοχές και δανεισμό. ΛύσηΆσκησης3.10. Εχουμετοδικαίωμαπροαίρεσηςπώλησης P(K,T)με K = 45,T = 1, επίτηςμετοχήςμε S 0 = 35.Ακόμαγνωρίζουμεότι σ = 0.2και r = Χωρίζουμετοέτος

32 32 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ σεδύοεξάμηνα,επομένως = 0.5. Εχουμετοεξήςδέντρο 0 1/2 1 S 0 u 2 P 2,1 = (K S 0 u 2 ) + q S 0 u q 1 q P 1,1,φ 1,1 S 0 = 35 S 0 ud P 2,2 = (K S 0 ud 2 ) + 1 q P 0,φ 0 q S 0 d P 1,2,φ 1,2 1 q S 0 d 2 P 2,3 = (K S 0 d 2 ) + όπουοιπαράγοντες u,dκαιτο qέχουντημορφήτων(3.8),ενώ P 0 ημηκερδοσκοπικήτιμή του δικαιώματος αγοράς η οποία είναι ίση με P 0 = e r (qp 1,1 +(1 q)p 1,2 ) = e r [ qe r (qp 2,1 +(1 q)p 2,2 )+(1 q)e r (qp 2,2 +(1 q)p 2,3 ) ]. Η θέση μας σε μετοχές στο ισοδύναμο χαρτοφυλάκιο είναι ίση σε κάθε περίπτωση με φ 0 = P 1,1 P 1,2 S 0 u S 0 d, φ 1,1 = P 2,1 P 2,2 S 0 u 2 S 0 ud, φ 1,2 = P 2,2 P 2,3 S 0 ud S 0 d 2, και ο δανεισμός προκύπτει από τις ποσότητες, αντίστοιχα. φ 0 S 0 P 0, φ 1,1 S 0 u P 1,1, φ 1,2 S 0 d P 1,2, Άσκηση3.11.[2,Ασκ ]Μιααγοράαποτελείταιαπόδύομετοχές Xκαι Y. Εστωότι σήμεραοιτιμέςτωνμετοχώνείναι X 0 = 100και Y 0 = 180,ενώέναχρόνοαργότεραγνωρίζουμε ότιδύομόνοκαταστάσειςενδέχεταινααντιμετωπίσουμε:είτε(α) X u = 120και Y u = 280είτε (β) X d = 80και Y d = 40.Τραπεζικόςλογαριασμόςδενυπάρχεισεαυτήτηναγορά.Μπορείτε ναβρείτεποιαθαπρέπειναείναιησημερινήτιμήενόςσυμβολαίουτοοποίομετάαπόέναχρόνο

33 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 33 θααξίζει 20στηνκατάσταση(α)και 0στηνκατάσταση(β); Ποιαηπιθανότηταανόδουτων τιμών των μετοχών σε αυτόν τον κόσμο. ΛύσηΆσκησης3.11. Εστω F 0 ησημερινήτιμήτουσυμβολαίουκαι F 1,1 = 20,F 1,2 = 0,ηαξία τουμετάαπόέναχρόνο. Εστωότιδημιουργούμεχαρτοφυλάκιομε φμετοχέςτης Xκαι ψ μετοχέςτης Y.Τα φκαι ψπρέπειναείναιτέτοιαώστεηαξίατηςθέσηςμαςτηστιγμή 1να είναιίσημετηναξίατουσυμβολαίου,δηλαδήτα φ,ψικανοποιούντογραμμικό 2 2σύστημα 16, επομένως Σχηματικά, έχουμε φx u +ψy u = F 1,1 120φ+280ψ = 20 φ = 1 22 φx d +ψy d = F 1,2 80φ+40ψ = 0 ψ = 1, 11 F 0 = φx 0 +ψy 0 = = (X u,y u ) = F 1,1 q (X 0,Y 0 ) F 0 =? 1 q (X d,y d ) = F 1,2 από όπου συμπεραίνουμε ότι σε αυτόν τον κόσμο η πιθανότητα ανόδου q δίνεται από F 1,1 q +F 1,2 (1 q) = F 0 20q = q = Θεωρια Ωφελιμοτητας Άσκηση4.1.[2,Ασκ.5.5.1] Εχετεέσοδα 20,000 σεκάθεμίααπόδύοπεριόδους. Εχετε τη δυνατότητα να δανείσετε ή να δανεισθείτε με επιτόκιο 10% ετήσια ανατοκιζόμενο. Αν κάθε περίοδος διαρκεί ένα έτος και ο αρχικός σας πλούτος είναι 50, 000 προσδιορίστε το σύνολο των εφικτών επιλογών κατανάλωσης. 16 Ηγενικήμορφήτηςλύσηςείναι. ψ = F 1,2X u F 1,1 X d,φ = F 1,2X u Y u +F 1,1 X d Y u Y d X u Y u X d Y d Xu 2 + C u Y u X d X u X u

34 34 Ι. Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΛύσηΆσκησης4.1. ΕστωότιI 1,I 2 είναιταέσοδατουκαταναλωτήσεκάθεπερίοδο,καιc 1,C 2 τα ποσά που καταναλώνει ο καταναλωτής την πρώτη και δεύτερη περίοδο αντίστοιχα. Ακόμα με W 1 συμβολίζουμετοναρχικόπλούτοκαι rτοεπιτόκιοδανεισμού-κατάθεσης.ταπαραπάνω συνδέονται με τον εξής τρόπο, C 2 = I 2 +(W 1 +I 1 C 1 )(1+r) = I(2+r)+W 1 (1+r) (1+r)C 1, όπου I = I 1 = I 2 = 20,000. Τοσύνολοτωνεφικτώνεπιλογώνκατανάλωσηςπεριγράφεται στο επόμενο διάγραμμα, Σχήμα C C 1 Σχημα 9. Εφικτές επιλογές καταναλωτή Άσκησης 4.1. Άσκηση 4.2.[2, Ασκ ] Εχετε έσοδα σε κάθε μία από δύο περιόδους. Επίσης έχετε τη δυνατότητα να δανείσετε με επιτόκιο 10% και να δανεισθείτε με επιτόκιο 20% ετήσια ανατοκιζόμενα. Εστω ότι η διάρκεια κάθε περιόδου είναι ένα έτος. Προσδιορίστε το σύνολο εφικτών επιλογών κατανάλωσης. ΛύσηΆσκησης4.2. ΕστωότιI 1,I 2 είναιταέσοδατουκαταναλωτήσεκάθεπερίοδο,καιc 1,C 2 τα ποσά που καταναλώνει ο καταναλωτής την πρώτη και δεύτερη περίοδο αντίστοιχα. Ακόμα με r 1 συμβολίζουμετοεπιτόκιοδανεισμούκαι r 2 τοεπιτόκιοκατάθεσης.ταπαραπάνωσυνδέονται μετονεξήςτρόπο, C 2 = I 2 +(I 1 C 1 ) + (1+r 2 )+(I 1 C 1 ) (1+r 1 ) = I +(I C 1 ) + (1+r 2 )+(I C 1 ) (1+r 1 r 2 )+(I C 1 ) r 2 = I + [ (I C 1 ) + +(I C 1 ) ] (1+r 2 )+(I C 1 ) r 2 = I +(I C 1 )(1+r 2 )+(I C 1 ) r 2,