ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ & ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ & ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΡΟΜΠΟΤ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΜΠΟΔΙΩΝ ΗΛΙΑΣ Κ. ΞΥΔΙΑΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΤΡΑ 2008

2 Πρόλογος Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε στο τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών από τον Απρίλιο του 2003 μέχρι τον Ιούνιο του Η ερευνητική αυτή εργασία στηρίχτηκε οικονομικά από τρία ερευνητικά προγράμματα: το Κ. Καραθεοδωρή 2003 με θέμα Σχεδιασμός βέλτιστης κίνησης ρομπότ βασισμένος στην υπολογιστική γεωμετρία που χρηματοδοτήθηκε από τη Επιτροπή Ερευνών του Πανεπιστήμιου Πατρών και τα ερευνητικά προγράμματα 4Μ και IPROMS που χρηματοδοτούνται από την Ευρωπαϊκή Ένωση. Επιβλέπων της διδακτορικής αυτής διατριβής ήταν ο κ. Νίκος Ασπράγκαθος, Καθηγητής στο τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών, τον οποίο ευχαριστώ για την υπόδειξη του θέματος, την επίβλεψη της εργασίας και την επιστημονική καθοδήγησή του σε όλη τη διάρκειά της εκπόνησής της. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον κ. Φίλιππο Αζαριάδη Τοπάλογλου Επίκουρο Καθηγητή στο τμήμα Μηχανικών Σχεδίασης & Προϊόντων, Πανεπιστήμιο Αιγαίου για τις πολύτιμες παρατηρήσεις και υποδείξεις του, τις συμβουλές και τη συνεργασίας μας. Θα ήθελα, επίσης, να ευχαριστήσω τον κ. Ανδρέα Νεάρχου Λέκτορα στο τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων, Πανεπιστήμιο Πατρών για τις υποδείξεις του, τις εποικοδομητικές παρεμβάσεις του και τη συνεργασία μας. Επίσης, τις θερμότερες ευχαριστίες οφείλω στην οικογένειά μου για την ουσιαστική συμπαράσταση, την κατανόηση, την υπομονή και τη συνεχή υποστήριξη σε όλα τα επίπεδα αλλά και σε όλους που με οποιονδήποτε τρόπο συνέβαλαν στην ολοκλήρωση της εργασίας αυτής

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η δημιουργία αυτόνομων ρομπότ (είτε οχημάτων ή αρθρωτών ρομπότ) έχει προσελκύσει το ενδιαφέρον πολλών ερευνητών που ασχολούνται με το αντικείμενο της ρομποτικής. Τα ρομπότ πρέπει να είναι ικανά να δέχονται υψηλού-επιπέδου οδηγίες για την εργασία τους και να την εκτελούν (με το μικρότερο δυνατόν κόστος) παίρνοντας μόνα τους αποφάσεις καθώς κινούνται με ασφάλεια στο χώρο εργασίας τους. Οι οδηγίες θα καθορίζουν τι πρέπει να κάνουν χωρίς να ορίζουν το τρόπο που θα το κάνουν. Αναγνωρίζοντας ότι η εκτέλεση οποιασδήποτε εργασίας από ένα ή περισσότερα ρομπότ είναι μια ακολουθία από διαδοχικές κινήσεις στο χώρο εργασίας τους, το ελάχιστο που μπορεί κάποιος να περιμένει από ένα ρομπότ είναι η ικανότητα δημιουργίας της διαδρομής που πρέπει να ακολουθήσει για να εκτελέσει τις απαιτούμενες εργασίες. Αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η μελέτη και η επίλυση του προβλήματος σχεδιασμού κίνησης για ένα ή περισσότερα ρομπότ (είτε οχημάτων ή βραχιόνων) τα οποία καλούνται να εκτελέσουν μια σειρά από εργασίες. Αρκετές βασικές βιομηχανικές και μη εφαρμογές όπως παραλαβή και παράδοση προϊόντων, συνεχής συγκόλληση, καθαρισμός κτιρίων κτλ, απαιτούν την ομαλή κίνηση του ρομπότ στο χώρο εργασίας του. Το ρομπότ θα πρέπει να αποφεύγει κινούμενα ή ακίνητα εμπόδια ή ακόμη και άλλα ρομπότ τα οποία μπορεί να εργάζονται στον ίδιο χώρο. Η δυσκολία του προβλήματος εξαρτάται από: τη γεωμετρία (πολυπλοκότητα) του περιβάλλοντος, τη διάσταση του χώρου εργασίας, τη διάσταση του ρομπότ και τους κινηματικούς περιορισμούς του ρομπότ. Αρχικά, έγινε η γενίκευση της Bump-Surface καθώς επίσης και το μαθηματικό της μοντέλο για την αντιμετώπιση του προβλήματος ΣΚΡ σε πολυδιάστατους χώρους. Με την χρήση της γενικευμένης Bump-Surface, οι ιδιότητες του χώρου εργασίας στον οποίο κινείται το ρομπότ μεταφέρονται στην επιφάνεια η οποία κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας γενικευμένες B-Splie επιφάνειες. Η διαδρομή του κινούμενου αντικειμένου παριστάνεται στο αρχικό περιβάλλον με μια B-Splie καμπύλη. Ο βασικός στόχος ήταν η ανάπτυξη μιας ενιαίας και ολοκληρωμένης μεθοδολογίας για τον σχεδιασμό κίνησης ρομπότ. Με τον τρόπο αυτό συμβάλλουμε στην εξέλιξη των - 3 -

4 μεθόδων, σχεδιασμού κίνησης ρομπότ εισάγοντας μια μεθοδολογία η οποία θα μπορεί να επίλυση το πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης μεταβάλλοντας την διάσταση του χώρου εργασίας και προσθαφαιρώντας κριτήρια και περιορισμούς ανάλογα με το πρόβλημα που θα έχουμε να αντιμετωπίσουμε. Έγινε διερεύνηση, της εξάρτησης του υπολογιστικού χρόνου που απαιτείται για την κατασκευή της γενικευμένης Bump-Surface από την διάσταση και την γεωμετρία του χώρου εργασίας και της εξάρτησης του υπολογιστικού χρόνου που απαιτείται για την επίλυση του προβλήματος ΣΚΡ όταν διατηρείται η γεωμετρία του περιβάλλοντος σταθερή και μεταβάλλεται ο αριθμός των ρομπότ που κινούνται στο χώρο εργασίας. Σε αντίθεση με τις προηγούμενες μεθόδους επίλυσης του προβλήματος σχεδιασμού κίνησης μη-ολονομικών ρομπότ οι οποίες έλυναν το πρόβλημα σε δύο στάδια: (α) προσδιορισμός της βέλτιστης διαδρομής του ρομπότ θεωρώντας το ρομπότ σημειακό (β) τροποποιούν τη διαδρομή λαμβάνοντας υπόψη τη διάσταση του και τους μηολονομικούς περιορισμούς του ρομπότ. Στη παρούσα διατριβή, προτάθηκε ένας ενιαίος τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος σχεδιασμού κίνησης μη-ολονομικών ρομπότ όπου τόσο η διάσταση του ρομπότ όσο και οι μη-ολονομικοί περιορισμοί στη κίνηση του λαμβάνονται υπόψη εξ αρχής στη διαδικασία εύρεσης της διαδρομής. Επίσης, επιλύθηκε για πρώτη φορά το πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης για μια ομάδα ρομπότ με την ταυτόχρονη εύρεση της βέλτιστης διαδρομής για κάθε ένα ρομπότ. Τέλος, η προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόστηκε με επιτυχία στο συνδυαστικό πρόβλημα ΣΚΡ και προγραμματισμού εργασιών για αυτόνομο όχημα. Λόγω της πολυπλοκότητας των δύο προβλημάτων δεν είχαν προταθεί μέχρι τώρα μέθοδοι για την ταυτόχρονη επίλυση τους

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 10 Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής Το βασικό πρόβλημα Σχεδιασμού Κίνησης Ρομπότ Χώρος Διαμορφώσεων (Cofiguratio Space) Μέθοδοι σχεδιασμού κίνησης Κατάτμηση σε κελιά ή μέθοδοι πλέγματος Τεχνητά δυναμικά πεδία Χάρτες Διαδρομών Προεκτάσεις του Βασικού Προβλήματος Πολλά Κινούμενα Αντικείμενα Κινούμενα Εμπόδια Ομάδα Ρομπότ Αρθρωτά Ρομπότ Κινηματικοί Περιορισμοί Ολονομικοί περιορισμοί Μη-ολονομικοί περιορισμοί Στόχοι και συμβολή της παρούσας διατριβής 39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο 44 Η γενίκευση της έννοιας της Bump-Surface σε Ν-διαστάσεων περιβάλλον Η έννοια της Bump-Surface Γενίκευση του βασικού προβλήματος σχεδιασμού κίνησης σε Ν- 46 διαστάσεων χώρο 2.3 Η διάσταση του χώρου εργασίας Κατασκευή της γενικευμένης Bump-Surface Δημιουργία του πλέγματος σημείων Προσδιορισμός των εσωτερικών σημείων ενός εμποδίου Δημιουργία της γενικευμένης Bump-Surface Πως εξασφαλίζουμε τοπική ισομετρία Η διαδρομή του ρομπότ Τα κριτήρια και οι περιορισμοί του προβλήματος (ποιοτικά 61 χαρακτηριστικά διαδρομής) 2.7 Μελέτη Υπολογιστικού χρόνου κατασκευής Η απόδοση του Ζ-value algorithm μεταβάλλοντας το μέγεθος του πλέγματος Η απόδοση του Ζ-value algorithm διατηρώντας το μέγεθος του πλέγματος 64 σταθερό και μεταβάλλοντας τη γεωμετρία του περιβάλλοντος και τη διάσταση του Τοπική ισομετρία και μεταβολή του κομβικό διάνυσμα της επιφάνειας Συμπεράσματα 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο 68 Επίλυση του προβλήματος σχεδιασμού κίνησης ολονομικών ρομπότ Σχεδιασμός κίνησης σημειακών ρομπότ Ικανοποιώντας τα κριτήρια Ι-ΙΙΙ Αύξουσα ως προς το χρόνο (Time Mootoe) Κάθε ρομπότ θα πρέπει να αποφεύγει τη σύγκρουση με τα υπόλοιπα ρομπότ Το συνολικό πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης σημειακών ρομπότ Σχεδιασμός κίνησης ρομποτικού βραχίονα Κινηματική επίπεδων αρθρωτών ρομπότ Ρομποτικός βραχίονας

6 3.2.3 Κίνηση ελεύθερη από συγκρούσεις (Κριτήριο Ι) Ικανοποιώντας το κριτήριο ΙΙ Το συνολικό πρόβλημα βελτιστοποίησης Αλγόριθμος βελτιστοποίησης Η αρχιτεκτονική ενός ΓΑ Το χρωμόσωμα Η συνάρτηση προσαρμοστικότητας Οι γενετικοί τελεστές Πειραματικά Αποτελέσματα Συμπεράσματα 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο 96 Επίλυση του προβλήματος σχεδιασμού κίνησης μη-ολονομικών ρομπότ Δήλωση του προβλήματος, ορισμοί και παρατηρήσεις Το μοντέλο ενός μη-ολονομικού ρομπότ Το πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης Σχεδιασμός κίνησης μη-ολονομικών ρομπότ Ελάχιστου μήκους διαδρομές Περιορισμός στην καμπυλότητα Αύξουσα ως προς το χρόνο Σχεδιασμού κίνησης μη-ολονομικών ρομπότ Υπολογισμός βέλτιστων διαδρομών χρησιμοποιώντας ένα Γενετικό 105 Αλγόριθμο 4.4 Πειραματικά αποτελέσματα Μελέτη υπολογιστικού χρόνου Συμπεράσματα 110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο 112 Επίλυση του προβλήματος σχεδιασμού κίνησης και χρόνο προγραμματισμού 112 εργασιών αυτόνομων οχημάτων 5.1 Εισαγωγή Διατύπωση του προβλήματος και παρατηρήσεις Σχεδιασμός τροχιάς πάνω στη γενικευμένη Bump-Surface Σχεδιασμός κίνησης και χρόνο προγραμματισμός εργασιών Σχεδιασμός κίνησης και χρόνο προγραμματισμός εργασιών για δύο 118 οχήματα Βέλτιστη κίνηση και ταξινόμηση εργασιών Χρόνο Προγραμματισμός εργασιών οχήματος σε δύο διαστάσεων χώρους 122 εργασίας Αποφυγή εμποδίων και βέλτιστη διαδρομή Αλγόριθμος βελτιστοποίησης: ένας τροποποιημένος γενετικός αλγόριθμος Πειραματικά αποτελέσματα Συμπεράσματα 131 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο 133 Γενικά συμπεράσματα και προοπτικές Ανασκόπηση Ανοικτά προβλήματα, μελλοντική έρευνα 135 Παράρτημα 137 Αναφορές

7 Κατάλογοι εικόνων Εικόνα 1: Ένα ρομπότ ορθογωνίου σχήματος το οποία κινείται σε ένα χώρο δύο διαστάσεων 12 από το Α στο Τ αποφεύγοντας την επαφή με τα εμπόδια 2 Εικόνα 2: Το ρομπότ A στο χώρο εργασίας W R. 13 Εικόνα 3: (α) Ο «φυσικός» χώρος W. (β) Ο αντίστοιχος χώρος διαμορφώσεων C. 13 Εικόνα 4: (α) Ένα δύο διαστάσεων χώρος διαμόρφωσης ο οποίος περιέχει 2 πολυγωνικά εμπόδια-διαμόρφωσης. (β) Η αποσύνθεση του χώρου εργασίας του ρομπότ σε κελιά ακολουθώντας τις αρχές της Ακριβείς αποσύνθεσης σε κελιά. (γ) Ο αντίστοιχος γράφος οποίος αναπαριστά τη σχέση γειτνίασης μεταξύ των κελιών και το παραγόμενο κανάλι (η μαύρη έντονη γραμμή). (δ) Η προτεινόμενη διαδρομή του ρομπότ που ενώνει την αρχική διαμόρφωση Α με την τελική διαμόρφωση Τ. Εικόνα 5: (α) Ένα δύο διαστάσεων χώρος διαμορφώσεων ο οποίος περιέχει τρία εμπόδιαδιαμόρφωσης πολυγωνικού σχήματος. (β) Το αποτέλεσμα της κατά προσέγγισης αποσύνθεση σε κελιά. Τα άσπρα κελιά κείτονται έξω από τα εμπόδια-διαμόρφωσης, τα γκρι κελιά περιέχουν ένα μέρος των εμποδίων-διαμόρφωσης και τα μαύρα κελιά κείτονται ολόκληρα μέσα στα εμπόδιαδιαμόρφωσης. Εικόνα 6: (α) Ο αρχικός δύο διαστάσεων χώρος διαμορφώσεων ο οποίος περιέχει ένα πολυγωνικό εμπόδιο. (β) Η αντίστοιχη frame-quadtree αποσύνδεση. Εικόνα 7: Αυτή η σειρά εικόνων απεικονίζει την προσέγγιση των δυναμικών πεδίων. (α) Ο αρχικός δύο διαστάσεων χώρος διαμορφώσεων. (β) Το ελκτικό δυναμικό. (γ) Το απωθητικό δυναμικό. (δ) Το συνολικό δυναμικό. Εικόνα 8: Το visibility graph αναπαριστάτε από ένα γράφο του οποίου οι ακμές είναι ευθύγραμμα τμήματα τα οποία ενώνουν τις ορατές κορυφές των εμποδίων και την αρχική Α και τελική Τ διαμόρφωση του σημειακού ρομπότ. Η διαδρομή του ρομπότ αναπαριστάτε από την μαύρη παχιά γραμμή. Εικόνα 9: Το διάγραμμα Vorooi σε ένα δύο διαστάσεων χώρο διαμορφώσεων οποίος περιέχει 2 πολυγωνικά εμπόδια. Ο ελεύθερος χώρος του ρομπότ εξωτερικά περιορίζεται από ένα τετραγωνικού σχήματος σύνορο. Η αρχική Α και τελική Τ διαμόρφωση του ρομπότ απεικονίζονται στο διάγραμμα Vorooi από τα σημεία Α και Τ, αντίστοιχα. Εικόνα 10: (α) Ο δύο διαστάσεων χώρος διαμορφώσεων οποίος περιέχει ένα εμπόδιο, η αρχική (Α) και τελική (Τ) διαμόρφωση και ένα τυχαίο δείγμα ελεύθερων διαμορφώσεων του ρομπότ. (β) Σχηματισμός ενός πλήρη γράφου. (γ) Αφαίρεση των ακμών που τέμνουν εμπόδια. (δ) Η αρχική και τελική διαμόρφωση ενώνονται στο γράφο και στη συνέχεια εφαρμόζεται ένας searchig αλγόριθμος για τον προσδιορισμό της διαδρομής του ρομπότ. Εικόνα 11: Ο χάρτης διαδρομών που παράγεται κατά το sigle-query plaig σε ένα 2Δ χώρο διαμορφώσεων. Εικόνα 12: (α) Ένα κινούμενο αντικείμενο το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (παράλληλη στον άξονα x) σε 2Δ περιβάλλον. (β) Το αντίστοιχο Cofiguratio-Time Space το οποίο είναι 3Δ και το αντίστοιχο CT - εμπόδιο. Εικόνα 13: Ένας ρομποτικός βραχίονας ο οποίος αποτελείται από 7 συνδέσμους και 6 περιστροφικές αρθρώσεις. Εικόνα 14: Ένα car-like robot A. Οποιαδήποτε διαμόρφωση του A αναπαριστάτε από τους παραμέτρους 2 ( xyθ,, ) R [ 0,2π ). Η προβολή οποιαδήποτε διαδρομής του A στο επίπεδο xy είναι μια διαδρομή γ η οποία εφάπτεται στο κύριο άξονα του γ δίνεται από την σχέση A. Η καμπυλότητα της l, όπου είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων ta ( θ ) l R και F. R είναι το μεσαίο σημείο μεταξύ των δύο πίσω τροχών και F είναι το μεσαίο σημείο μεταξύ των δύο εμπρός τροχών. φ είναι η γωνία διεύθυνσης του A και G είναι το κέντρο καμπυλότητας της γ. Εικόνα 15: (α) Το δύο διαστάσεων περιβάλλον του ρομπότ. (β) Η αντίστοιχη B-Surface. (γ) Η προτεινόμενη λύση

8 Εικόνα 16: (α) Ο δύο διαστάσεων χώρος και η κίνηση του τετραγωνικού αντικειμένου. (β) Ο 48 αντίστοιχος τριών διαστάσεων χώρο-χρόνος. Εικόνα 17: (α) Ένα δύο διαστάσεων (Ν=2) περιβάλλον το οποίο περιέχει ένα ακίνητο 50 πολυγωνικό εμπόδιο. (β) Το αντίστοιχο πλέγμα σημείων. Εικόνα 18: Ένα μη-κυρτό πολυγωνικό αντικείμενο 52 Εικόνα 19: (α) Ένα 3Δ αντικείμενο. (β) Το αντικείμενο μετά την αποσύνθεση σε κύβους. 52 Εικόνα 20: Η αντίστοιχη B-Surface του πολυγωνικού αντικειμένου της Εικόνα Εικόνα 21: (α) Ο αρχικός παραμετρικός χώρος και η προτεινόμενη διαδρομή. (β) Η αντίστοιχη Bump-Surface και η επιφανειακή καμπύλη όπου * f ( ) f ( ) Bump-Surface και η επιφανειακή καμπύλη όπου * = f ( ) f ( * ) A-A A - A *. (γ) Η αντίστοιχη A-A A - A. Εικόνα 22: (α)-(γ) Ο παραμετρικός χώρος ο οποίος περιέχει 11 εμπόδια. (β)-(δ) Η αντίστοιχη 57 Bump-Surface. Εικόνα 23: Οι γραφικές παραστάσεις υλοποίησης του Ζ-value algorithm όταν μεταβάλλεται το 63 μέγεθος του πλέγματος ως προς το χρόνο. Εικόνα 24: Οι γραφικές παραστάσεις υλοποίησης του Ζ-value algorithm όταν μεταβάλλεται ο 64 αριθμός των εμποδίων ως προς το χρόνο. Εικόνα 25: Γραφική παράσταση ποσοστού βελτίωσης της τ. ισομετρίας σε σχέση με τον αριθμό 65 σημείων του δείγματος. Εικόνα 26: Ένα N robot -βαθμών ελευθερίας αρθρωτό ρομπότ το οποίο επιχειρεί σε ένα 72 δυσδιάστατο περιβάλλον. Εικόνα 27: Ένας ρομποτικός βραχίονας N robot - βαθμών ελευθερίας. 74 Εικόνα 28: Ένα τυχαίο χρωμόσωμα. 81 Εικόνα 29 (α) Το δυσδιάστατο περιβάλλον. (β)-(γ) Οι προτεινόμενες διαδρομές οι οποίες 85 ορίζονται με διαφορετικό αριθμό σημείων ελέγχου. Εικόνα 30: (α) Το τρισδιάστατο περιβάλλον και η προτεινόμενη διαδρομή. (β)-(δ) Τρεις 86 διαφορετικές οπτικές γωνίες. Εικόνα 31: (α) Το αρχικό δυσδιάστατο περιβάλλον. (β) Ο αντίστοιχος τριών διαστάσεων χώρος 88 εργασίας, όπου έχει προστεθεί ο χρόνος σαν μια επιπλέον διάσταση. (γ) Ένα στιγμιότυπο της κίνησης του ρομπότ. (δ) Η προτεινόμενη διαδρομή. Εικόνα 32: (α) Το αρχικό δυσδιάστατο περιβάλλον. (β) Ο αντίστοιχος χώρος εργασίας W. (γ) 90 Οι προτεινόμενες διαδρομές. Εικόνα 33: Το δυσδιάστατο περιβάλλον και οι διαμορφώσεις του ρομπότ όταν αυτό προσεγγίζει 91 τα σημεία εργασίας. Εικόνα 34: Η προτεινόμενη διαδρομή του άκρου εργασίας του ρομπότ η οποία περνά από τα 92 σημεία εργασίας Εικόνα 35: Οι ενδιάμεσες διαμορφώσεις του ρομπότ μεταξύ των σημείων εργασίας (α) 3-2 (β) (γ) 4-1 (δ) 1-3. Εικόνα 36: Οι διαμορφώσεις του ρομπότ όταν προσεγγίζει τα σημεία εργασίας. 93 Εικόνα 37: Η τροχιά που διαγράφει το άκρο εργασίας του ρομπότ και η προτεινόμενη σειρά 93 επίσκεψης των σημείων εργασίας Εικόνα 38: Οι ενδιάμεσες διαμορφώσεις του ρομπότ μεταξύ των σημείων εργασίας (α) 3-2 (β) (γ)1-7 (δ) 6-5 Εικόνα 39: Ένα αυτοκίνητο-ρομπότ, όπου G είναι το στιγμιαίο κέντρο στροφής του 97 αυτοκινήτου-ρομπότ. Εικόνα 40: Η θέση R του -ρομπότ, τα χαρακτηριστικά σημεία A και η γωνίαω, 101 m=1,,n. Εικόνα 41: Δύο ρομπότ και και οι αντίστοιχοι κύκλοι. 102 Εικόνα 42: (α) Το δυσδιάστατο περιβάλλον. (β) Η Bump-Surface. (γ), (δ) Οι προτεινόμενες διαδρομές όταν το ρομπότ ξεκινά και τελειώνει την κίνηση του σε διαφορετικά σημεία. (ε) Μεγέθυνση της περιοχής που περιέχεται στον κόκκινο κύκλο της εικόνας (δ). Εικόνα 43: (α) Το αρχικό δύο διαστάσεων περιβάλλον. (β) Ο αντίστοιχος τρισδιάστατος χώρος εργασίας W. (γ)-(ζ) Τέσσερα χρονικά στιγμιότυπα της κίνησης των ρομπότ και των εμποδίων. m m

9 (ζ) Η τελικές διαδρομές των ρομπότ. Εικόνα 44: (α)-(γ) Το δυσδιάστατο περιβάλλον. (β)-(δ) Οι προτεινόμενες διαδρομές. 110 Εικόνα 45:Η γραφική παράσταση μεταβολής του υπολογιστικού χρόνου σε σχέση με τον 110 αριθμό των ρομπότ. Εικόνα 46: Ένα δύο διαστάσεων εργοστασιακό περιβάλλον. 114 Εικόνα 47: Μια τυχαία διαδρομή. 116 Εικόνα 48: Ένα δυσδιάστατο περιβάλλον το οποίο αποτελείται από 2 αποθήκες και 8 ΣΕ. 118 Εικόνα 49: Το χρωμόσωμα που αντιστοιχεί στη διαδρομή της Εικόνα Εικόνα 50: (α) Το αρχικό δυσδιάστατο περιβάλλον. (β) Η αντίστοιχη Bump-Surface. (γ) Η 129 προτεινόμενη λύση. Εικόνα 51: Η προτεινόμενη διαδρομή. 130 Εικόνα 52: (α) Το αρχικό περιβάλλον. (β) Η αντίστοιχη Bump-Surface. (γ) Οι προτεινόμενες διαδρομές. Εικόνα 53: Η απεικόνιση r

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής Το πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής μεταξύ δύο σημείων σε ένα περιβάλλον με εμπόδια έχει προσελκύσει το ενδιαφέρον πολλών ερευνητών. Μέθοδοι σχεδιασμού διαδρομών χρησιμοποιούνται σε μια πληθώρα εφαρμογών όπως είναι ο σχεδιασμός κίνησης ρομπότ (ενός ή περισσοτέρων), σε συστήματα πλοήγησης (GPS) και στο σχεδιασμό κυκλωμάτων (σε ηλεκτρονικές πλακέτες). Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται ανασκόπηση του προβλήματος Σχεδιασμού Κίνησης Ρομπότ (ΣΚΡ). Αρχικά θα παρουσιαστεί το βασικό πρόβλημα ΣΚΡ, στη συνέχεια θα γίνει παρουσίαση των πιο σημαντικών μεθόδων επίλυσης του και τέλος θα παρουσιαστούν επεκτάσεις του βασικού προβλήματος ΣΚΡ. Επίσης, θα παρουσιαστούν οι στόχοι και η συμβολή της παρούσας διατριβής. 1.1 Το βασικό πρόβλημα Σχεδιασμού Κίνησης Ρομπότ Στόχος του ορισμού του βασικού προβλήματος σχεδιασμού κίνησης ρομπότ είναι η απομόνωση κάποιων από τα κύρια ζητήματα του σχεδιασμού κίνησης για να τα ερευνήσουμε σε βάθος πριν λάβουμε υπόψη επιπρόσθετες δυσκολίες και παραμέτρους του γενικού προβλήματος. Στο βασικό πρόβλημα [1]: υποθέτουμε ότι το ρομπότ είναι το μόνο κινούμενο αντικείμενο στο χώρο εργασίας του και δεν λαμβάνουμε υπόψη τη δυναμική συμπεριφορά του ρομπότ. Επίσης, θεωρούμε ότι οι περιορισμοί στη κίνηση του ρομπότ οφείλονται μόνο στη διαδρομή που πρέπει να ακολουθήσει και όχι στη μηχανική του συστήματος του ρομπότ π.χ. στην τριβή που αναπτύσσεται ανάμεσα σε

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής δύο μηχανικά μέρη. Αυτές οι υποθέσεις μετασχηματίζουν ουσιαστικά το «φυσικό» πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης σε ένα αμιγώς γεωμετρικό πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης. Απλοποιούμε ακόμα περισσότερο το πρόβλημα θεωρώντας ότι το ρομπότ είναι ένα ενιαίο άκαμπτο αντικείμενο. Έτσι, η κίνηση του ρομπότ περιορίζεται μόνο από τα εμπόδια που μπορεί να υπάρχουν στο χώρο εργασίας του. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το βασικό πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης ρομπότ διατυπώνεται ως εξής: Έστω A Ευκλείδειο χώρο ένα άκαμπτο αντικείμενο (ρομπότ) το οποίο κινείται στον N W R με N = 2 ή 3, ο οποίος καλείται χώρος εργασίας του ρομπότ. Έστω, B,..., 1 Bq άκαμπτα αντικείμενα τα οποία κείτονται στο W. Τα αντικείμενα B καλούνται εμπόδια. Υποθέτουμε ότι η γεωμετρία του A και ότι η γεωμετρία και η θέση των B,..., 1 Bq στο W είναι γνωστή. Επίσης, υποθέτουμε ότι το ρομπότ A μπορεί να κινείται ελεύθερα στο χώρο εργασίας του W (ο μόνος περιορισμός προέρχεται από τα εμπόδια).το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής: Δοθέντων μιας αρχικής θέσης και προσανατολισμού Α και μιας τελικής θέσης και προσανατολισμού Τ του A στο W, δημιούργησε μια διαδρομή τ (αν υπάρχει) η οποία αποφεύγει την επαφή με τα εμπόδια από το Α και καταλήγει στο Τ. i B,..., 1 Bq, ξεκινάει Στην Εικόνα 1 απεικονίζεται ένα δυσδιάστατο περιβάλλον W και η διαδρομή ενός ρομπότ A (ορθογωνίου σχήματος) η οποία συνδέει το Α με το Τ

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής A T Εικόνα 1: Ένα ρομπότ ορθογωνίου σχήματος το οποία κινείται σε ένα χώρο δύο διαστάσεων από το Α στο Τ αποφεύγοντας την επαφή με τα εμπόδια. Αν και το βασικό πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης παρουσιάζεται αρκετά απλοποιημένο, στη συνέχεια θα δούμε ότι πρόκειται για ένα δύσκολο πρόβλημα και αρκετές από τις λύσεις του μπορούν να εφαρμοστούν σε πιο σύνθετα προβλήματα. 1.2 Χώρος Διαμορφώσεων (Cofiguratio Space) N Ας θεωρήσουμε ένα ρομπότ A το οποίο κινείται στο χώρο εργασίας W R με N = 2 ή 3. Επιπλέον, θεωρούμε ότι το A περιγράφεται ως ένα συμπαγές υποσύνολο του χώρου W και ότι F και F είναι τα Καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων A W του A και του W, αντίστοιχα ( Εικόνα 2). Η αρχή του τοπικού συστήματος συντεταγμένων του F συμβολίζεται με O (σημείο αναφοράς του A ) και η αρχή του συστήματος F με O. Επίσης, κάθε σημείο του A ορίζεται ως προς το τοπικό σύστημα συντεταγμένων. W A W F A A

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής y F W F A y O A A χ O W χ Εικόνα 2: Το ρομπότ A στο χώρο εργασίας 2 W R. Ο χώρος διαμορφώσεων του A ορίζεται ως εξής [2]: Μία διαμόρφωση q του A είναι ένας προσδιορισμός της θέσης και του προσανατολισμού του F ως προς το F. Ο χώρος διαμορφώσεων του A είναι ο χώρος C όλων των δυνατών διαμορφώσεων του A. Η διάσταση του χώρου διαμορφώσεων A C είναι ίση με τον αριθμό των παραμέτρων που αναπαριστούν μια διαμόρφωση του A. W Στο χώρο αυτό το ρομπότ μετατρέπεται σε σημείο και τα εμπόδια μεγεθύνονται ανάλογα, όπως παρουσιάζεται στην Εικόνα 3. Ο χώρος διαμορφώσεων C είναι ανεξάρτητος από την επιλογή των συστημάτων F και F. Μόνον η αναπαράσταση του C εξαρτάται από αυτήν την επιλογή. Για ένα σημειακό ρομπότ ο χώρος C ταυτίζεται με τον χώρο W και έχουν την ίδια διάσταση. A W εμπόδιο εμπόδιο διαμόρφωσης ρομπότ ρομπότ ακτίνα του ρομπότ (α) Εικόνα 3: (α) Ο «φυσικός» χώρος W. (β) Ο αντίστοιχος χώρος διαμορφώσεων C. (β)

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής Οι διαμορφώσεις οι οποίες οδηγούν σε συγκρούσεις μεταξύ του A και των εμποδίων καλούνται εμπόδια-διαμορφώσεων (Cofiguratio Obstacles ή C- Obstacles), Εικόνα 3(β). Ένα σημείο το οποίο κείται μέσα ένα εμπόδιο-διαμόρφωσης αντιστοιχεί στην κατάσταση όπου το ρομπότ επικαλύπτει ένα ή περισσότερα εμπόδια και όταν ένα σημείο βρίσκεται στο σύνορο / περιφέρεια ενός εμποδίου-διαμόρφωσης αντιστοιχεί στην κατάσταση όπου το ρομπότ απλά αγγίζει ένα ή περισσότερα εμπόδια. Στο χώρο διαμορφώσεων, ένα πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης αντικειμένου (ρομπότ) απλοποιείται σε ένα πρόβλημα εύρεσης μιας ακολουθίας ελεύθερων από συγκρούσεις σημείων μεταξύ της αρχικής διαμόρφωσης και της τελικής διαμόρφωσης του ρομπότ. Οι περισσότερες από τις μεθοδολογίες, [3] που έχουν αναπτυχθεί για την αντιμετώπιση του προβλήματος σχεδιασμού κίνησης ρομπότ χρησιμοποιούν την έννοια του χώρου διαμορφώσεων. 1.3 Μέθοδοι σχεδιασμού κίνησης Πολλές μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για την επίλυση του βασικού προβλήματος σχεδιασμού κίνησης ρομπότ. Κάποιες από αυτές μπορούν να εφαρμοστούν και σε παραλλαγές του βασικού προβλήματος ενώ κάποιες άλλες έχουν περιορισμένη εφαρμογή. Για παράδειγμα ορισμένες μέθοδοι απαιτούν ο χώρος εργασίας του ρομπότ να είναι δυο διαστάσεων και τα εμπόδια να είναι πολυγωνικά ενώ άλλες μέθοδοι μπορούν να εφαρμοστούν και σε πολυδιάστατους χώρους διάσταση εργασίας. N 2, όπου Ν η Στην βιβλιογραφία οι μέθοδοι σχεδιασμού κίνησης ταξινομούνται έχοντας ως κριτήριο τη πληρότητα τους (ακριβής ή ευρετικός) και το πεδίο δράσης τους (γενικό ή τοπικό) [1], [3]. Οι ακριβείς μέθοδοι είτε βρίσκουν μία λύση ή αποδεικνύουν ότι δεν υπάρχει λύση. Επίσης, είναι υπολογιστικά χρονοβόροι (computatioal expesive). Σε αντίθεση, οι ευρετικές μέθοδοι στοχεύουν στη δημιουργία μιας λύσης σε σύντομο χρόνο. Αυτές οι μέθοδοι μπορεί να αποτύχουν να βρουν μια λύση σε δύσκολα προβλήματα ή να βρουν μια μη αποδεκτή. Υπάρχουν, άλλοι δύο τύποι μεθόδων ως προς την πληρότητα: resolutio completeess και στοχαστικά πλήρης

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής (probabilistic completeess). Η resolutio completeess σχετίζεται με τη διακριτοποίηση του χώρου εργασίας, όσο πιο μεγάλη είναι η διακριτοποίηση του χώρου εργασίας τόσο η μέθοδος τείνει στο να γίνει πλήρης. Μια μέθοδος είναι στοχαστικά πλήρης αν η πιθανότητα να βρει μια λύση (αν υπάρχει) προσεγγίζει το 1. Αυτές οι μέθοδοι συνήθως απαιτούν μεγάλο υπολογιστικό χρόνο για να προσεγγίσουν τη πιθανότητα να βρουν μια λύση (αν υπάρχει) το 1. Οι γενικές μέθοδοι (χάρτες διαδρομών και κατάτμηση σε κελιά) λαμβάνουν υπόψη όλες τις πληροφορίες του χώρου εργασίας του ρομπότ και στη συνέχεια σχεδιάζουν μια κίνηση από την αρχική διαμόρφωση στη τελική διαμόρφωση. Οι τοπικές μέθοδοι (δυναμικά πεδία) είναι σχεδιασμένοι να αποφεύγουν τα εμπόδια που βρίσκονται στην περιοχή του ρομπότ και έτσι χρησιμοποιούν μόνο τις πληροφορίες που αφορούν την περιοχή του ρομπότ. Συνήθως, Οι τοπικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται ως συστατικό των γενικών μεθόδων ή ως ένα χαρακτηριστικό ασφαλείας για την αποφυγή απρόσμενων εμποδίων τα οποία δεν παρουσιάζονται στο μοντέλο του χώρου εργασίας αλλά εντοπίζονται από τους αισθητήρες του ρομπότ κατά την διάρκεια της κίνησης του. Οι περισσότερες από τις υπάρχουσες μεθόδους για τον σχεδιασμό κίνησης ρομπότ βασίζονται στην έννοια του Χώρου Διαμορφώσεων και ταξινομούνται σε τρεις γενικές κατηγορίες [1], [3]: σε αυτές που βασίζονται στην Κατάτμηση σε κελιά (Cell decompositio), σε αυτές που βασίζονται στα Τεχνητά Δυναμικά πεδία (Artificial Potetial fields) και σε αυτές που βασίζονται στους Χάρτες διαδρομών (Roadmaps) Κατάτμηση σε κελιά ή μέθοδοι πλέγματος Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν οι μέθοδοι οι οποίοι βασίζονται στην κατάτμηση του ελεύθερου από συγκρούσεις χώρου διαμορφώσεων του ρομπότ σε απλές περιοχές οι οποίες καλούνται κελιά (cells). Ένας μη κατευθυνόμενος γράφος που αναπαριστά τη σχέση γειτνίασης μεταξύ των κελιών κατασκευάζεται και στη συνέχεια ερευνάται. Οι κόμβοι του γράφου είναι τα παραγόμενα κελιά. Δύο κόμβοι ενώνονται μεταξύ τους με μια ακμή αν και μόνο αν τα αντίστοιχα κελιά είναι γειτονικά. Το αποτέλεσμα της αναζήτησης του γράφου είναι μια ακολουθία κελιών η οποία καλείται κανάλι. Μια

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής συνεχής ελεύθερη διαδρομή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το παραγόμενο κανάλι. Οι μέθοδοι, οι οποίοι βασίζονται στην κατάτμηση σε κελιά ταξινομούνται σε δύο βασικές κατηγορίες: στις Ακριβείς (Exact) και στις Προσέγγισης (Approximate). Οι Ακριβείς μέθοδοι (Exact Cell Decompositio) αποσυνθέτουν τον ελεύθερο από συγκρούσεις χώρο διαμορφώσεων του ρομπότ σε κελιά των οποίων η ένωση του μας οδηγεί στην ακριβή σύνθεση του ελεύθερου χώρου. Στην Εικόνα 4, απεικονίζεται η εφαρμογή μιας Ακριβούς μεθόδου κατάτμησης σε κελιά σε ένα δυσδιάστατο Χώρο Διαμόρφωσης. Ο ελεύθερος χώρος διαμόρφωσης του ρομπότ εξωτερικά περιορίζεται από ένα πολύγωνο τετραγωνικής μορφής και εσωτερικά περιορίζεται από δύο κυρτές πολυγωνικές περιοχές (εμπόδια-διαμόρφωσης). Ο ελεύθερος χώρος του ρομπότ αποσυντίθεται σε περιοχές που έχουν σχήμα ορθογωνίου και τραπεζίου (Εικόνα 4(β)). Αυτές οι περιοχές κατασκευάζονται φέρνοντας κάθετες στον οριζόντιο άξονα γραμμές οι οποίες περνάνε από τις κορυφές των εμποδίων-διαμόρφωσης. Δύο περιοχές (κελιά) είναι γειτονικές όταν έχουν μια κοινή ακμή. Μόλις κατασκευαστεί ο συνδετικός γράφος και βρεθεί ένα κανάλι (Εικόνα 4(γ)), υπολογίζεται μια ελεύθερη από συγκρούσεις διαδρομή η οποία ενώνει την αρχική διαμόρφωση Α και την τελική διαμόρφωση Τ. Η διαδρομή περνάει από τα μέσα των ακμών των ορθογώνιων και τραπεζίων (Εικόνα 4(δ)). Α Τ (α)

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής 5 Α Τ (β) (γ) 5 Α Τ (δ) Εικόνα 4: (α) Ένα δύο διαστάσεων χώρος διαμόρφωσης ο οποίος περιέχει 2 πολυγωνικά εμπόδιαδιαμόρφωσης. (β) Η αποσύνθεση του χώρου εργασίας του ρομπότ σε κελιά ακολουθώντας τις αρχές της Ακριβείς αποσύνθεσης σε κελιά. (γ) Ο αντίστοιχος γράφος οποίος αναπαριστά τη σχέση γειτνίασης μεταξύ των κελιών και το παραγόμενο κανάλι (η μαύρη έντονη γραμμή). (δ) Η προτεινόμενη διαδρομή του ρομπότ που ενώνει την αρχική διαμόρφωση Α με την τελική διαμόρφωση Τ

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής Οι Ακριβείς μέθοδοι είναι πλήρης (Complete) δηλαδή εγγυώνται να βρουν μια ελεύθερη διαδρομή αν υπάρχει. Οι μέθοδοι Προσέγγισης (Approximate Cell Decompositio) παράγουν κελιά προκαθορισμένου σχήματος (π.χ. τετράγωνα) των οποίων η ένωση είναι ένα υποσύνολο του ελεύθερου χώρου του ρομπότ. Όπως και στην Ακριβής προσέγγιση, αρχικά ένας συνδετικός γράφος, ο οποίος αναπαριστά την σχέση γειτνίασης μεταξύ των κελιών κατασκευάζεται και στην συνέχεια ερευνάται για μια διαδρομή. Στην Εικόνα 5 απεικονίζεται η μέθοδος της κατά Προσέγγιση Κατάτμησης σε κελιά. Ο δύο διαστάσεων χώρος διαμορφώσεων περιορίζεται εξωτερικά από ένα τετράγωνο και εσωτερικά από τρεις πολυγωνικές περιοχές. Σε κάθε αποσύνθεση παράγονται τέσσερα πανομοιότυπα κελιά. Αυτού του είδους η αποσύνθεση ονομάζεται quadtree. Όταν φτάσουμε στην επιθυμητή ανάλυση, κατασκευάζουμε τον συνδετικό γράφο χρησιμοποιώντας μόνο τα κελιά τα οποία κείτονται ολόκληρα στον ελεύθερο χώρο. Αν το αποτέλεσμα της έρευνας καταλήξει επιτυχώς, τότε μια διαδρομή η οποία ενώνει την αρχική και τελική διαμόρφωση μπορεί να παραχθεί εύκολα. Στην αντίθετη περίπτωση, είτε η ανάλυση που κάναμε δεν ήταν αρκετή ή δεν υπάρχει μια ελεύθερη διαδρομή που ενώνει την αρχική και τελική διαμόρφωση. Α Τ (α)

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής Α Τ (β) Εικόνα 5 [1]: (α) Ένα δύο διαστάσεων χώρος διαμορφώσεων ο οποίος περιέχει τρία εμπόδιαδιαμόρφωσης πολυγωνικού σχήματος. (β) Το αποτέλεσμα της κατά προσέγγισης αποσύνθεση σε κελιά. Τα άσπρα κελιά κείτονται έξω από τα εμπόδια-διαμόρφωσης, τα γκρι κελιά περιέχουν ένα μέρος των εμποδίων-διαμόρφωσης και τα μαύρα κελιά κείτονται ολόκληρα μέσα στα εμπόδια-διαμόρφωσης. Οι μέθοδοι Προσέγγισης δεν είναι πλήρης (Complete), βέβαια για τις περισσότερες μεθόδους που βασίζονται στην κατά Προσέγγιση κατάτμηση σε κελιά, η ακρίβεια της προσέγγισης μπορεί να βελτιωθεί αυξάνοντας την ανάλυση της κατάτμησης, γι αυτό αυτές οι μέθοδοι είναι resolutio complete. Επίσης, εκτός από τις απλές περιπτώσεις ΣΚΡ, οι μέθοδοι που βασίζονται στην Ακριβής κατάτμηση σε κελιά είναι πιο πολύπλοκες στην εφαρμογή τους από ότι αυτές που βασίζονται στην κατά Προσέγγιση κατάτμηση σε κελιά. Γι αυτό το λόγο οι μέθοδοι που βασίζονται στη Προσέγγιση κατάτμηση σε κελιά είναι πιο διαδεδομένες. Ένα σοβαρό μειονέκτημα των μεθόδων που βασίζονται στην κατάτμηση σε κελιά είναι το μέγεθος του πλέγματος. Αν υποθέσουμε ότι «χωρίζουμε» κάθε διάσταση του d-διαστάσεων χώρου διαμορφώσεων του ρομπότ σε διαστήματα, τότε συνολικά σχηματίζονται Ο( d ) κελιά. Έτσι η αποθήκευση και η επεξεργασία των δεδομένων όσο η διάσταση το χώρου διαμορφώσεων αυξάνεται γίνεται δύσκολα. Οι μέθοδοι που βασίζονται στα quadtree (2-διαστάσεων χώρος εργασίας) ή στα octree (3- διαστάσεων χώρος εργασίας) [4] είναι από τις πιο αποτελεσματικές μεθόδους στην

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής αντιμετώπιση των παραπάνω προβλημάτων, εντούτοις δεν είναι ικανές να βρουν διαδρομές που ικανοποιούν κάποιο κριτήριο π.χ. αυτό της μικρότερης σε μήκος διαδρομής. Οι Che κ.άλ. [5] εισήγαγαν μια μέθοδο κατάτμησης σε κελιά η οποία συνδυάζει τα πλεονεκτήματα των quadtree προσεγγίσεων και των προσεγγίσεων πλέγματος για τον υπολογισμό της συντομότερης σε μήκος διαδρομής. Τo Framedquadtree έχει ιδιότητες παρόμοιες με αυτές του quadtree εκτός από το ότι, κελιά με την υψηλότερη ανάλυση (το μέγεθος της ανάλυσης εξαρτάται από το φυσικό μέγεθος του ρομπότ) τοποθετούνται στην περιφέρεια κάθε quadtree περιοχής. Ένα παράδειγμα κατάτμησης του χώρου διαμορφώσεων του ρομπότ η οποία βασίζεται στη Framed-quadtree κατάτμηση φαίνεται στην Εικόνα 6(β). (α) (β) Εικόνα 6: (α) Ο αρχικός δύο διαστάσεων χώρος διαμορφώσεων ο οποίος περιέχει ένα πολυγωνικό εμπόδιο. (β) Η αντίστοιχη frame-quadtree κατάτμηση. Χρησιμοποιώντας τα Framed-quadtree (για δισδιάστατα προβλήματα) ή Framedoctree (για τρισδιάστατα προβλήματα) είναι εφικτό να υπολογιστεί η συντομότερη σε μήκος διαδρομή η οποία ενώνει την αρχική και τελική διαμόρφωση αποτελεσματικά και με ακρίβεια. Η αναζήτηση της διαδρομής στις μεθόδους που βασίζονται στην Κατάτμηση σε κελιά γίνεται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο τον Α*, best-first, bi-directioal search και brush fire [1]

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής Τεχνητά δυναμικά πεδία Μια ιστορική αναφορά στην προσέγγιση των Δυναμικών Πεδίων μπορεί να κάποιος να βρει στον Koditschek [6]. Η ιδέα χρησιμοποίησης δυναμικών συναρτήσεων για την αποφυγή εμποδίων αρχικά χρησιμοποιήθηκε από τους Khabit και Mampey [7] και από τους Miyazaki κ.άλ. [8]. Η μέθοδος αυτή θεωρεί το ρομπότ σαν ένα σημείο το οποίο κινείται στο Χώρο Διαμορφώσεων υπό την επίδραση ενός τεχνητού δυναμικού πεδίου το οποίο δημιουργείται από την τελική διαμόρφωση του ρομπότ και τα εμπόδια-διαμορφώσεων. Η τελική διαμόρφωση του ρομπότ δημιουργεί ένα «ελκτικό δυναμικό» το οποίο έλκει το ρομπότ προς τον στόχο Τ ενώ τα εμπόδιαδιαμορφώσεων παράγουν ένα «απωθητικό δυναμικό» το οποίο σπρώχνει το ρομπότ μακριά από αυτά. Η αρνητική κλίση του συνολικού δυναμικού (ελκτικό + απωθητικό) συμπεριφέρεται σαν μια τεχνητή δύναμη η οποία ασκείται στο ρομπότ. Σε κάθε διαμόρφωση του ρομπότ, η διεύθυνση αυτής της δύναμης μας δίνει τη διεύθυνση της κίνησης του ρομπότ. Στην Εικόνα 7 απεικονίζεται η έννοια του ελκτικού και απωθητικού δυναμικού, και ο συνδυασμός τους. Το ελκτικό δυναμικό (Εικόνα 7(β)) είναι μια δευτέρου βαθμού εξίσωση, η οποία παρουσιάζει ελάχιστο στην τελική διαμόρφωση Τ. Το απωθητικό δυναμικό (Εικόνα 7(γ)) είναι μη-μηδενικό μόνον σε κάποια προκαθορισμένη απόσταση από τα εμπόδια και τείνει στο άπειρο όταν η απόσταση από τα εμπόδια τείνει στο μηδέν. Μια διαδρομή η οποία ενώνει την Αρχική και Τελική διαμόρφωση κατασκευάζεται ακολουθώντας την αρνητική κλίση του συνολικού δυναμικού (Εικόνα 7(δ)). Τ Α (α) (β)

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής (γ) (δ) Εικόνα 7 [1]: Αυτή η σειρά εικόνων απεικονίζει την προσέγγιση των δυναμικών πεδίων. (α) Ο αρχικός δύο διαστάσεων χώρος διαμορφώσεων. (β) Το ελκτικό δυναμικό. (γ) Το απωθητικό δυναμικό. (δ) Το συνολικό δυναμικό. Σε σύγκριση με την αποσύνδεση σε κελιά τα τεχνητά δυναμικά πεδία είναι πιο αποτελεσματικά. Παρόλα αυτά, έχουν ένα σημαντικό μειονέκτημα. Οι δυναμικές συναρτήσεις συνήθως παρουσιάζουν περισσότερα από ένα τοπικά ελάχιστα, εκτός από αυτό της τελικής διαμόρφωσης, τα οποία μπορούν να παγιδεύσουν το ρομπότ. Πρέπει να σημειωθεί ότι ένα σημείο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο όταν το απωθητική δύναμη γίνει ίση με την ελκτική δύναμη. Ένας τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος των τοπικών ελαχίστων είναι η κατασκευή δυναμικών συναρτήσεων οι οποίες παρουσιάζουν τοπικό ελάχιστο μόνο στην τελική διαμόρφωση. Μια τέτοια συνάρτηση, αν υπάρχει, καλείται Συνάρτηση Πλοήγησης (Navigatio Fuctio) οι οποίες αρχικά προτάθηκαν από τους Rimo και Koditschek [9]. Έχουν γίνει πολλές εργασίες οι οποίες προτείνουν διαφορετικούς τρόπους για την κατασκευή των Συναρτήσεων Πλοήγησης [10]-[14]. Το κύριο μειονέκτημα των περισσότερων από τις προσεγγίσεις είναι ότι βασίζονται στη αποσύνθεση του χώρου εργασίας του ρομπότ, η οποία δεν είναι αποτελεσματική στο να περιγράψει πολύπλοκα εμπόδια. Επίσης, αν και οι περισσότερες από αυτές χρησιμοποιούνται είτε για τον έλεγχο ρομπότ οχημάτων είτε για τον έλεγχο αρθρωτών ρομπότ μόνο κάποιες από αυτές λαμβάνουν υπόψη και τον προσανατολισμό των ρομπότ. Τέλος, μια άλλη προσέγγιση αντιμετώπισης του προβλήματος των τοπικών ελαχίστων είναι η συμπλήρωση του συνολικού δυναμικού πεδίου με έναν μηχανισμό «απόδρασηςδιαφυγής» από τα τοπικά ελάχιστα. Οι Park και Lee [15] εισήγαγαν την έννοια των εικονικών εμποδίων για την αποφυγή των τοπικών ελαχίστων. Ένα εικονικό εμπόδιο

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής δημιουργείται γύρω από ένα σημείο που παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Με αυτό τον τρόπο παράγεται μια επιπλέον απωθητική δύναμη η οποία απωθεί το ρομπότ από αυτό το σημείο. Τέλος, έχουν γίνει αρκετές εργασίες οι οποίες συνδυάζουν τα δυναμικά πεδία με Simulated Aealig [16] για την αποφυγή των τοπικών ελαχίστων [17]-[19]. Αυτές οι μέθοδοι αρχικά εντοπίζουν τα τοπικά ελάχιστα και στη συνέχεια τροποποιούν την ολική συνάρτηση δυναμικού με τέτοιο τρόπο ώστε να «καλυφθούν» αυτές οι «τρύπες» (τα σημεία με τοπικό ελάχιστο) στην επιφάνεια δυναμικού. Το μειονέκτημα αυτών των μεθόδων είναι ότι παρουσιάζουν δυσκολίες στο να εφαρμοστούν σε ρομπότ με πολλούς βαθμούς ελευθερίας Χάρτες Διαδρομών Οι μέθοδοι για το σχεδιασμό κίνησης ρομπότ βασίζονται στην αναπαράσταση του ελεύθερου χώρου του ρομπότ μέσα από μονοδιάστατες καμπύλες οι οποίες αποτελούν τον χάρτη διαδρομών. Ο χάρτης διαδρομών βρίσκεται μέσα στον ελεύθερο χώρο διαμορφώσεων του ρομπότ ή στις παρυφές του. Μόλις κατασκευαστεί ο χάρτης R, η αρχική και τελική διαμόρφωση του ρομπότ προστίθενται στο χάρτη R και στη συνέχεια αυτός ερευνάται για μια διαδρομή, η οποία ενώνει την αρχική και τελική διαμόρφωση. Η διαδρομή του ρομπότ, αν υπάρχει, αποτελείται από τρία τμήματα: το πρώτο τμήμα της διαδρομής ενώνει την αρχική διαμόρφωση του ρομπότ με τον χάρτη R, το δεύτερο τμήμα της διαδρομής περιέχεται μέσα στον χάρτη R και το τρίτο τμήμα της διαδρομής ενώνει το χάρτη R με την τελική διαμόρφωση του ρομπότ. Μερικά τυπικά παραδείγματα μεθόδων που βασίζονται σε αυτήν την ιδέα είναι: Visibility Graph, Vorooi Diagram, και Probabilistic Roadmaps. Η μέθοδος Visibility Graph είναι μια από τις παλαιότερες μεθόδους σχεδιασμού κίνησης ρομπότ [20]. Εφαρμόζεται σε Χώρους Διαμορφώσεων δύο διαστάσεων οι οποίοι περιέχουν πολυγωνικά εμπόδια. Το Visibility Graph είναι ένας μη κατευθυνόμενος γράφος G του οποίου οι κόμβοι είναι, η Αρχική και Τελική διαμόρφωση του ρομπότ και όλες οι κορυφές των εμποδίων. Ακμές του γράφου G είναι όλα τα ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία ενώνουν δύο κόμβους και δεν τέμνονται

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής με τα εμπόδια. Το Visibility Graph μπορεί να υπολογιστεί σε χρόνο 2 O( log ) χρησιμοποιώντας έναν απλό sweet-lie algorithm [21], όπου είναι ο συνολικός αριθμός των κορυφών των πολυγωνικών εμποδίων. Στην Εικόνα 8 απεικονίζεται ένα παράδειγμα Visibility Graph. Ο δισδιάστατος χώρος διαμορφώσεων του ρομπότ περιέχει τρία πολυγωνικά εμπόδια. Η αναζήτηση της διαδρομής στο γράφο G γίνεται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Dijkstra ή τον Α* [1]. Το κριτήριο αναζήτησης είναι η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ της αρχικής διαμόρφωσης Α και της τελικής διαμόρφωσης Τ του ρομπότ να είναι η μικρότερη (η μαύρη έντονη γραμμή). Τ Α Εικόνα 8 [1]: Το visibility graph αναπαριστάται από ένα γράφο του οποίου οι ακμές είναι ευθύγραμμα τμήματα τα οποία ενώνουν τις ορατές κορυφές των εμποδίων και την αρχική Α και τελική Τ διαμόρφωση του σημειακού ρομπότ. Η διαδρομή του ρομπότ αναπαριστάται από την μαύρη παχιά γραμμή. Μπορεί να αποδειχτεί ότι η συντομότερη διαδρομή στο γράφο G είναι η συντομότερη από όλες τις πιθανές διαδρομές που ενώνουν τις διαμορφώσεις Α και Τ. Αυτό είναι και το κύριο πλεονέκτημα του visibility graph. Ωστόσο, παράγει διαδρομές οι οποίες φέρνουν το ρομπότ πολύ κοντά στα εμπόδια, κάτι που δεν είναι επιθύμητο στην πράξη. Μια άλλη μέθοδος σχεδιασμού κίνησης ρομπότ, για δύο διαστάσεων χώρο διαμορφώσεων, είναι το διάγραμμα Vorooi (Vorooi Diagram) [22][23]. Το

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής διάγραμμα Vorooi είναι ένα σύνολο από σημεία τα οποία ισαπέχουν από 2 ή περισσότερα εμπόδια διαμόρφωσης συμπεριλαμβανομένων και των ορίων του χώρου εργασίας, Εικόνα 9. Το πλεονέκτημα του διαγράμματος Vorooi είναι ότι παράγει διαδρομές οι οποίες τείνουν να μεγιστοποιήσουν την απόσταση ανάμεσα στο ρομπότ και τα εμπόδια. Όταν τα εμπόδια είναι πολυγωνικά, το διάγραμμα αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα και παραβολικές καμπύλες. Το διάγραμμα Vorooi μπορεί να κατασκευαστεί σε O( log ) χρόνο όπου είναι ο αριθμός των κορυφών [1]. Α Α Τ Τ Εικόνα 9 [1]: Το διάγραμμα Vorooi σε ένα δύο διαστάσεων χώρο διαμορφώσεων οποίος περιέχει 2 πολυγωνικά εμπόδια. Ο ελεύθερος χώρος του ρομπότ εξωτερικά περιορίζεται από ένα τετραγωνικού σχήματος σύνορο. Η αρχική Α και τελική Τ διαμόρφωση του ρομπότ απεικονίζονται στο διάγραμμα Vorooi από τα σημεία Α και Τ, αντίστοιχα. Στις περιπτώσεις όπου ο χώρος διαμορφώσεων είναι μεγαλύτερος από 2 ( N 2 ) τα διαγράμματα Vorooi παρουσιάζουν μεγαλύτερη πολυπλοκότητα. Για παράδειγμα, το διάγραμμα Vorooi μεταξύ πολυέδρων είναι μια συλλογή από έδρες και όχι μονοδιάστατες γραμμές. Η αναζήτηση της διαδρομής στο γράφο G γίνεται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Dijkstra ή τον Α*

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής Κατά την διάρκεια των τελευταίων ετών, η τυχαία δειγματοληψία του χώρου διαμορφώσεων του ρομπότ έχει αναδειχθεί ως ένα ισχυρό εργαλείο για το σχεδιασμό κίνησης ρομπότ σε χώρους διαμορφώσεων μεγάλης διάστασης. Αλγόριθμοι οι οποίοι βασίζονται στην τυχαία δειγματοληψία, π.χ., οι στοχαστικοί χάρτες διαδρομών (Probabilistic Roadmaps Plaers), είναι αποδοτικοί και εύκολοι στην υλοποίηση. Έχουν λύση προβλήματα σχεδιασμού κίνησης για ομάδες ρομπότ με πολλούς βαθμούς ελευθερίας [24]. Αν και αρχικά αυτοί οι αλγόριθμοι προτάθηκαν για αρθρωτά ρομπότ πολλών βαθμών ελευθερίας, η έννοια του χώρου διαμορφώσεων μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε αυτούς τους αλγόριθμους με την ίδια επιτυχία και για κινούμενα (mobile) ρομπότ. Όπως δηλώνει και το όνομα τους, ένας στοχαστικός χάρτης διαδρομών βασίζεται στην μέθοδο του χάρτη διαδρομών (roadmap approach). Σε αντίθεση με τις κλασικές μεθόδους Visibility Graph, διάγραμμα Vorooi που παρουσιάστηκαν παραπάνω, η κύρια διαφορά είναι ότι οι κόμβοι ενός στοχαστικού χάρτη διαδρομών είναι ελεύθερες από συγκρούσεις διαμορφώσεις, που επιλέγονται τυχαία, συνήθως ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή. Υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες προσεγγίσεων που βασίζονται στη τυχαία δειγματοληψία του χώρου διαμορφώσεων του ρομπότ: η multi-query plaig και η sigle-query plaig. Το Multi-query plaig υλοποιείται σε δύο στάδια: στο στάδιο προεργασίας όπου κατασκευάζεται ο στοχαστικός χάρτης διαδρομών και στο στάδιο αναζήτησης του χάρτη. Στο πρώτο στάδιο, κατασκευάζεται ένας στοχαστικός χάρτης διαδρομών του οποίου οι κόμβοι αντιστοιχούν σε τυχαίες ελεύθερες διαμορφώσεις του ρομπότ και οι ακμές του αντιστοιχούν σε ελεύθερες από συγκρούσεις διαδρομές, Εικόνα 10(α), (β). Στο δεύτερο στάδιο, η αρχική και τελική διαμόρφωση του ρομπότ ενώνονται με το γράφο και στη συνέχεια ο γράφος διερευνάται για μια διαδρομή η οποία ενώνει τις δύο διαμορφώσεις, Εικόνα 10(γ), (δ)

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής Τ Τ Α Α (α) (β) Τ Τ Α Α (γ) (δ) Εικόνα 10: (α) Ο δύο διαστάσεων χώρος διαμορφώσεων οποίος περιέχει ένα εμπόδιο, η αρχική (Α) και τελική (Τ) διαμόρφωση και ένα τυχαίο δείγμα ελεύθερων διαμορφώσεων του ρομπότ. (β) Σχηματισμός ενός πλήρη γράφου. (γ) Αφαίρεση των ακμών που τέμνουν εμπόδια. (δ) Η αρχική και τελική διαμόρφωση ενώνονται στο γράφο και στη συνέχεια εφαρμόζεται ένας searchig αλγόριθμος για τον προσδιορισμό της διαδρομής του ρομπότ. Το «κλειδί» στην κατασκευή των στοχαστικών γράφων στο multi-query plaig είναι η κατανομή της δειγματοληψίας για την παραγωγή των κόμβων. Αρχικά η επιλογή των κόμβων του στοχαστικού χάρτη γίνονταν ακολουθώντας την ομοιόμορφη κατανομή [25]. Στη συνέχεια προτάθηκαν και άλλοι τρόποι δειγματοληψίας του χώρου διαμορφώσεων του ρομπότ [26]-[31]. Οι περισσότεροι από αυτούς προσπαθούν να αυξήσουν την πυκνότητα της δειγματοληψίας στις περιοχές του χώρου διαμορφώσεων με στενά περάσματα. Επίσης, ένα ακόμα σημαντικό θέμα για τους σχεδιαστές στοχαστικών χαρτών είναι να προσδιοριστεί εάν η διαδρομή - ακμή που ενώνει δύο κόμβους τέμνει εμπόδια ή εάν είναι ελεύθερη από συγκρούσεις [32], [33]

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής Σε αντίθεση με το Multi-query plaig στο sigle-query plaig δεν υπάρχει στάδιο προεργασίας [34]-[36]. Αντ. αυτού κατασκευάζεται ένας χάρτης διαδρομών πολύ γρήγορα (o the fly) για να βρουν μια αρχική διαδρομή για το ρομπότ. Στο sigle-query plaig ο χάρτης διαδρομών αποτελείται από δύο δέντρα τα οποίο τα οποία έχουν ως βάση τις διαμορφώσεις Α και Τ, αντίστοιχα. Στα δύο δέντρα εισάγουμε κόμβους μέχρις ότου τα δυο δέντρα συναντηθούν δηλαδή όταν ένας κόμβος του ενός δέντρου ενωθεί με έναν κόμβο του άλλου δέντρου, Εικόνα 11. Τα δύο δέντρα επεκτείνονται με τον ίδιο τρόπο. Τ Α Εικόνα 11: Ο χάρτης διαδρομών που παράγεται κατά το sigle-query plaig σε ένα 2Δ χώρο διαμορφώσεων. Γενικά, οι αλγόριθμοι σχεδιασμού κίνησης οι οποίοι βασίζονται στη τυχαία δειγματοληψία του χώρου διαμορφώσεων του ρομπότ δεν μπορούν να εντοπίσουν ότι δεν υπάρχει διαδρομή. Για αυτό είναι απαραίτητο να αυξηθεί ο αριθμός των σημείων της δειγματοληψίας. Για το λόγο αυτοί οι αλγόριθμοι δεν είναι πλήρεις (complete). Αντ αυτού μπορούν να εγγυηθούν την στοχαστική πληρότητα (probabilistic complete). Η στοχαστική πληρότητα παρέχει μια εγγύηση της απόδοσης μόνο εάν υπάρχει μια διαδρομή. Επίσης, μπορεί να δειχθεί ότι κάτω υπό ορισμένες γεωμετρικές υποθέσεις που αφορούν το χώρο διαμορφώσεων, και οι multi-query αλγόριθμοι και οι sigle-query αλγόριθμοι είναι στοχαστικά πλήρεις με εκθετικό ποσοστό σύγκλισης [37], [38]

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής Η επιτυχία των στοχαστικών χαρτών οφείλεται σε διάφορους λόγους: o Μπορούν να αντιμετωπίσουν προβλήματα σχεδιασμού κίνησης σε μεγάλης διάστασης χώρους διαμορφώσεων. o Μπορούν να εφαρμοστούν εύκολα. Η αναζήτηση της διαδρομής στους στοχαστικούς γράφους γίνεται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Dijkstra ή τον Α*. 1.4 Προεκτάσεις του Βασικού Προβλήματος Στο βασικό πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης γίνονται υποθέσεις οι οποίες περιορίζουν σημαντικά την πρακτικότητα της λύσης. Με άλλα λόγια μπορεί να είναι αρκετά δύσκολο ένα πραγματικό πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης ρομπότ να αναχθεί σε μια περίπτωση του βασικού προβλήματος, στη συνέχεια να λυθεί αυτή η περίπτωση και τέλος η προτεινόμενη λύση να προσαρμοστεί στο πραγματικό πρόβλημα. Σε αυτήν την υπό-ενότητα θα παρουσιαστούν κάποιες από τις βασικές προεκτάσεις του βασικού προβλήματος και μεθοδολογίες αντιμετώπισης τους Πολλά Κινούμενα Αντικείμενα Στο βασικό πρόβλημα θεωρούμε ότι, (α) η θέση των εμποδίων είναι γνωστή, (β) υπάρχει ένα ρομπότ και (γ) αυτό το ρομπότ είναι ένα ενιαίο άκαμπτο αντικείμενο. Κάτω από τον τίτλο «Πολλά Κινούμενα Αντικείμενα», εξετάζουμε μια σειρά επεκτάσεων του βασικού προβλήματος που αναιρούν τις παραπάνω υποθέσεις. Μια προέκταση του βασικού προβλήματος είναι να συμπεριληφθούν κινούμενα εμπόδια στο χώρο εργασίας του ρομπότ. Μια άλλη παραλλαγή του βασικού προβλήματος είναι μια ομάδα ρομπότ να εργάζεται στον ίδιο χώρο εργασίας. Τέλος, μια τρίτη παραλλαγή είναι να θεωρήσουμε ότι τι ρομπότ είναι αρθρωτό δηλαδή αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο άκαμπτων αντικειμένων (σύνδεσμοι) τα οποία ενώνονται με αρθρώσεις

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής Κινούμενα Εμπόδια Στην περίπτωση που ο χώρος εργασίας του ρομπότ περιέχει κινούμενα και ακίνητα εμπόδια, το πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης δεν μπορεί να λυθεί με το να κατασκευάσουμε μια γεωμετρική διαδρομή. Πρέπει να κατασκευαστεί μια συνεχής συνάρτηση ως προς το χρόνο η οποία θα μας δείχνει τη διαμόρφωση (θέση και προσανατολισμό) του ρομπότ κάθε χρονική στιγμή. Αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί εισάγοντας στο χώρο διαμορφώσεων του ρομπότ μια νέα διάσταση που θα αναπαριστά το χρόνο. Ο νέος χώρος συμβολίζεται ως CT και ονομάζεται Cofiguratio-Time Space ( CT -space) [39]. Τα εμπόδια (κινούμενα και ακίνητα) απεικονίζονται στο CT ως ακίνητες απαγορευμένες περιοχές οι οποίες καλούνται CT - εμπόδια, Εικόνα 12. y (α) x t y (β) x Εικόνα 12: (α) Ένα κινούμενο αντικείμενο το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (παράλληλη σον άξονα x) σε 2Δ περιβάλλον. (β) Το αντίστοιχο Cofiguratio-Time Space το οποίο είναι 3Δ και το αντίστοιχο CT - εμπόδιο

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο :Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και η συμβολή της παρούσας διατριβής Με τον τρόπο αυτό, το πρόβλημα σχεδιασμού κίνησης επικεντρώνεται στη εύρεση μιας διαδρομής στο CT του ρομπότ και αποφεύγει τα η οποία ενώνει την αρχική (Α) και τελική (Τ) διαμόρφωση. Δεδομένου ότι ο χρόνος είναι μη αντιστρέψιμος, δηλ. δεν μπορούμε να πάμε πίσω στο χρόνο, η διαδρομή πρέπει να είναι αύξουσα ως προς το χρόνο. Ως εκ τούτου, οι βασικές μέθοδοι σχεδιασμού κίνησης πρέπει να τροποποιηθούν προκειμένου να λάβουν υπόψη τη διάσταση του χρόνου. CT - εμπόδια Οι υπάρχουσες μέθοδοι σχεδιασμού κίνησης για ρομπότ που κινείται σε περιβάλλον που περιέχει κινούμενα και ακίνητα εμπόδια μπορούν να ταξινομηθούν σε δυο κατηγορίες: σε αυτές που βασίζονται στα τεχνητά δυναμικά πεδία και σε αυτές που βασίζονται στους γράφους. Οι μέθοδοι που βασίζονται στα τεχνητά δυναμικά πεδία [40], [41] κατασκευάζουν ένα δυναμικό πεδίο όπου το ρομπότ κινείται υπό την επίδραση ενός ελκτικού πεδίου το οποίο δημιουργείται από την τελική διαμόρφωση του ρομπότ και από ένα απωθητικό πεδίο το οποίο δημιουργείται από τα ακίνητα εμπόδια και από την σχετική θέση και ταχύτητα του ρομπότ ως προς τα κινούμενα εμπόδια. Το βασικό μειονέκτημα των μεθόδων που βασίζονται στα δυναμικά πεδία είναι ότι παρουσιάζονται τοπικά ελάχιστα τα οποία μπορεί να παγιδέψουν το ρομπότ. Στις μεθόδους που βασίζονται στους γράφους [42]-[46], ο χρόνος ορίζεται ως μια επιπλέον διάσταση του χώρου εργασίας του ρομπότ. Ο γράφος κατασκευάζεται σε ένα χώρο μεγαλύτερης διάστασης [39] όπου τα κινούμενα εμπόδια μετατρέπονται σε ακίνητα ( CT -space). Έτσι ο σχεδιασμός κίνησης μεταξύ κινούμενων και ακίνητων εμποδίων απλοποιείται σε σχεδιασμό κίνησης μεταξύ ακίνητων εμποδίων. Το βασικό μειονέκτημα που παρουσιάζεται είναι ότι, όταν χώρος εργασίας του ρομπότ είναι πολύ μεγάλος η εφαρμογή του CT -space δεν είναι πολύ εύκολη. Επίσης, επειδή η διαδρομή που προκύπτει είναι μια αλληλουχία ευθυγράμμων τμημάτων το ρομπότ αναγκάζεται να σταματάει κάθε φορά που συναντάει ασυνέχεια, δηλαδή το ρομπότ σταματάει σε κάθε σημείο της διαδρομής όπου δύο ευθύγραμμα τμήματα ενώνονται